第四章-多自由度体系结构的地震反应

m1 0 [M] 0 x g t
k k 2 －k 2 [K] 1 － k k 2 2
(t) x x1 t x t 2
第四章 多自由度体系结构的地震反应
概 述

实际房屋的自由度：无限个； 简化：有限自由度模型。 常用分析模型：层间模型。对于建筑结构而言，一般每层 楼面及屋面可作为一个质点，而楼面与楼面（屋面）之间 墙 柱的质量则分别向 墙、柱的质量则分别向上、向下集结到楼面及屋面质点处。 向下集结到楼面及屋面质点处 这种多自由度模型在工程上一般称作为层间模型。 图4 1所示为这种层间模型的计算简图 图4.1所示为这种层间模型的计算简图

由式（4 7） 由式（4.7） 对应于1 对应于2
X 12 k 1 k 2 m1 12 ＝ X 11 k2
2 X 22 k 1 k 2 m1 2 ＝ X 21 k2
主振型

由式（4.6）得体系自由振动时的位移为 对应于1
x 11 t X11 ＝ sin 1 t 1 x 12 t X12

2 2
k 1 k 2 k 2 2 k1k 2 ＝0 m m2 m1 m 2 1
解之可得
k 1k 2 1 k1 k 2 k 2 1 k1 k 2 k 2 2 ＝ 2 m1 m2 4 m1 m2 m1m 2
矩阵[M]称为体系的质量矩阵；矩阵[K]称为体系的刚度 矩阵 而 矩阵；而 t 和 x t 称为体系的加速度矢量和位 x 移矢量。如考虑阻尼影响，则体系的运动方程为
t Cx t K x t g t M x x ＝－M I
根据达朗贝尔原理上述两力构成平衡力系（暂不考虑阻尼影响）
1 t m 1 g t －k 1 x 1 t k 2 x 2 t k 2 x 1 t ＝0 f I1 f S1＝－m 1 x x
即
1 t k 1 k 2 x 1 t k 2 x 2 t ＝－m 1 g t m1 x x
（4.4）
矩阵[C]称为体系的阻尼矩阵,如采用瑞利阻尼假定，则阻 尼矩阵为
C＝ 0 M 1 K
其中 0， 1为与体系有关的常数 其中，
4.2.2 多自由度体系的自振频率及振型

自振频率
令式（4.4）右端项为零并忽略阻尼的影响，即得该 体系的无阻尼自由振动方程为
t K x t M x ＝0
XiT K Xj＝0
i2 Xi M Xj＝0
T

因i≠ j ，则
XiT M Xj＝0
（4.18）
式（4.18）称为振型的第 正交条件，即振型关于质量 式（4.18）称为振型的第一正交条件，即振型关于质量 矩阵的正交条件或振型关于质量矩阵的加权正交性。 将式（4 18）代入式（4 17），得 将式（4.18）代入式（4.17），得
x 21 t X 21 ＝ sin 2 t 2 x 22 t X 22
对应于2

当体系分别按第一自振频率或第二自振频率振动时， 质 移 为 两质点的位移比值为
主振型
对应于1 对应于2
x 12 t X 12 k 1 k 2 m1 12 ＝ ＝ x 11 t X 11 k2
可得到的两个正号实根，它们就是两自由度体系的两个 的两个正号实根 它们就是两自由度体系的两个 自振圆频率。其中较小的一个1为第一自振圆频率或基本 自振圆频率 较大的一个2称为第二自振圆频率。 自振圆频率；较大的一个 称为第二自振圆频率
主振型

将求得的1和2分别代入式（4.7），可求得质点 l、 2的位移幅值X1和X2 ；解X1和X2不是唯 不是唯一的 的 对应于1 ，令X1和X2的解为X11和X12 对应于2 ，令X 令X1和X2的解为X21和X22
i j
i j
（4 18） （4.18） （4 19） （4.19）
振型的正交性证明
由式（4.7）
K M X ＝0 K MX ＝0
2 i i
2 j j
（4.12） （4 13） （4.13）
分别用 Xj 和 Xi 左乘式（4.12）和式（4.13），得
振型的正交性

振型的正交性，是指在多自由度体系中，任意两个不 同频率的主振型间 都存在着下述互相正交的性质： 同频率的主振型间，都存在着下述互相正交的性质： 设i为第i个频率，对应的振型为{X}i，j为第j个频率， 对应的振型为{X}j，则有： 则有：
XiT M Xj＝0
XiT K Xj＝0
即
2 t k 2 x 2 t k 2 x 1 t ＝－m 2 g t m 2 x x
（4.2）
运动方程的建立
将式（4.1）和式（4.2）合并写成矩阵形式，有
m1 0
令
1 t k 1 k 2 －k 2 x 1 t 0 x m1 x t ＝－ 0 m2 k k x t － 2 2 2 2
1 I＝ 1
x(t)
x 1 t x t 2
则两自由度体系的运动方程可写成
t K x t g t M ＝－M I x x
多自由度体系的运动方程也可以按上式表示
（4.3）
运动方程的建立


主振型
x1 t X11 X 21 xt ＝ ＝ sin1t 1 sin 2 t 2 x 2 t X12 X 22
由上式可见，在一般的初始条件下，任一质点的振动都 是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动 它不 是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动，它不 再是简谐振动，而且各质点之间位移的比值也不再是 常数 而是随时间而发生变化的 常数，而是随时间而发生变化的。
（4.5）
考虑两自由度体系的情况，令位移矢量
x 1 (t) X 1 x(t) sin t x (t) ( ) 2 X 2

（4.6）
式中，X1和X2分别为质点 l和质点2的位移幅值 将式（4.6）代入式（4.5），得
X1 2 X1 － M ＝0 sin t K sin t X X 2 2
对于一般的建筑结构，刚度矩阵和质量矩阵均 为对称矩阵 T T K ＝ K ，M ＝ M 从而，式（4.16）可写为
XiT K i2 M Xj＝0
将式（ 将式（4.17）减去式（4.15），得 ）减去式（ ） 得
（4.17）
振型的正交性证明

2 j
主振型

一般，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应的 就有多少个主振型，它们是体系的固有特性 只有各质点初位移的比值和各质点初速度的比值与该 主振型的这些比值相同时 也就是在这样特定的初始 主振型的这些比值相同时，也就是在这样特定的初始 条件下，才能出现这种振型的振动形式 在一般的初始条件下，体系的振动曲线将包含全部的 在 般的初始条件下 体系的振动曲线将包含全部的 振型 ；从线性齐次方程的特性可知，其通解为各线性 无关的特解的线性组合 对于两自由度体系而言 其 无关的特解的线性组合，对于两自由度体系而言，其 通解为
2 x 22 t X 22 k1 k 2 m1 2 ＝ ＝ x 21 t X 21 k2
上述比值与时间无关，且为常数。也就是说，当体系按其 上述比值与时间无关 且为常数 也就是说 当体系按其 自振频率振动时，两个质点的位移比值始终保持不变， 这种特殊的振动形式通常称为主振型 或简称振型 当 这种特殊的振动形式通常称为主振型，或简称振型，当 体系按1振动时称第一振型或基本振型，当按2振动时 称第 振型 称第二振型。
2 t g t f I2＝－ m 2 x x


f S2＝－f S21＝－k 2 x 2 t x 1 t
根据达朗贝尔原理上述两力构成平衡力系（暂不考虑阻尼 影响）
2 t －m 2 g t －k 2 x 2 t x 1 t f I 2 f S 2＝－m 2 x x ＝0
g 2 ) f I 2 m2 ( x x
图4 1 层间模型计算简图 图4.1
……
g n ) f In m n ( x x
4.2

多自由度体系的自由振动
4 2 1运动方程的建立 4.2.1运动方程的建立 4.2.2多自由度体系的自振频率及振型 1.自振频率 2.主振型 4.2.3多自由度体系的自振频率及振型的计算
2
（4 10） （4.10）
化简后 可得 化简后，可得
2 k k k k k k 2 k k 2 k 1 2 1 2 2 1 2 2 2＝ 1 2 （4.11） 2 m1 m2 m m m m m 2 1 1 2 1
Xn(t) mn mi m2 X1(t) m1 Xg(t) Xi(t) X2(t)
在单向水平 面运动作用下 在单向水平地面运动作用下， 多自由度体系的变形如图所 示。 设该体系各质点的相对水平 位移为xi(i=1,2,…,n), 其中n为体系自由度数， 则各质点所受的水平惯性力 为
g 1 ) f I 1 m1 ( x x

运动方程的建立
如图4.2 ,两个自由度的层间剪切模型；对质点 l，取隔离体如图4.2 （c）所示，质点 l所受的惯性力fI1和恢复力fS1分别为
1 t g t f I1＝－m1 x x


fS1＝－ fS11 fS12＝－ k1x1 t k2 x2 t x1 t