5-2欧式空间的基本概念

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高等代数课件(北大版)第九章-欧式空间§9

L (1 ,2 , ,s)
中向量 Y 使 B 到它的距离 ( Y B ) 比到
L (1 ,2 , ,s)中其它向量的距离都短.
§9.7 向量到子空间的距离数学与计算科学学院
设 C B Y B A X ,
为此必 C L (1 ,2 , ,s )
这等价于 ( C , 1 ) ( C , 2 ) ( C , s ) 0 , （4）
第九章欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法 §8酉空间介绍小结与习题
2024/10/23
数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离
一、向量到子空间的距离二、最小二乘法
§9.7 向量到子空间的距离数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离数学与计算科学学院
即为
1 0 6 . 7 5 a 2 7 . 3 b 1 9 . 6 7 5 0 2 7 . 3 a 7 b 5 . 1 2 0 解得 a 1 .0 5 , b 4 .8 1（取三位有效数字）.
§9.7 向量到子空间的距离数学与计算科学学院
可能无解，即任意 x1,x2, ,xn都可能使
n
ai1x1ai2x2 ainxnbi 2
i 1
不等于零．
（2）
§9.7 向量到子空间的距离数学与计算科学学院
设法找实数组 x10,x02,
,x0 使（2）最小, n
这样的 x10,x02,
,x0 为方程组（1）的最小二乘解， n
此问题叫最小二乘法问题.
最小二乘法的表示:
设
n
n

第二节欧式空间的基本概念

α1 = (1 , 1 , 1)T , α2 = (1 , 0 , -1)T , α3 = (1 , -2 , 1)T ,
是一个正交向量组 ,请将该向量组化为正交单位向量组 .
解
ao = 1 a
|| a ||
1
=
1
|| 1
||1
=
1 (1,1,1)T = ( 1 ,
3
3
1, 3
1 )T . 3
2
=
1
证毕
, .
(3)三角不等式 ||α+β||||α||+||β||.
3 、向量的夹角
定义非零向量a与b的夹角φ为
= arccos a,b ,
|| a || || b ||
(0 )
规定: 零向量与任意向量成任意角.
• 若<a,b>=0, 则称向量a与b正交.
• 范数为 1 的向量称单位向量.
α = 0.
其中α,β和γ是V中任意向量, k是任意实数, 则称实数 <α,β>为α和β的内积, 称定义了内积的实线性空间V为实内积空间或欧几里得空间, 简称为欧氏空间.
❖ 关于欧氏空间的两点说明
① 欧氏空间定义中的条件(1)-(4)称为内积公理,
其中的(2), (3)统称为内积的线性性质, 且可以写成
(1)与(2)的证明板书推导. 下面证明(3).
三角不等式的证明
|| ||2 = , =|| ||2 2 , || ||2
|| ||2 2 || || || || || ||2 = (|| || || ||)2
两边同时开方可得
||α+β||||α||+||β||, 故三角不等式成立.

欧式空间

欧氏空间(Euler space )一、内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、长度与夹角1。

欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。

，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。

装饰展示空间设计的知识点

装饰展示空间设计的知识点一、空间设计的基本概念空间设计是指通过对空间的布局和装饰，使其具有美观、舒适、实用等特点的过程。

它是室内设计的重要组成部分，包括了室内布局、色彩搭配、材质选择、家具摆放等方面。

二、空间设计的原则1. 功能性原则：空间设计应根据使用需求合理布局，使空间具有实用性和便利性。

例如，厨房的设计应考虑厨具摆放的便利性，客厅的设计应满足家庭成员的休闲和交流需求。

2. 美观性原则：空间设计应注重美感，从整体到细节都要考虑美观性。

例如，通过色彩搭配、灯光设计、家具选择等方面，创造出具有艺术感的空间。

3. 协调性原则：空间设计应保持整体协调，各个空间之间要有统一的风格和色彩搭配。

例如，客厅和餐厅的设计要保持一致，形成整体的和谐感。

4. 运动性原则：空间设计应考虑人们在空间中的运动轨迹和行为习惯，合理安排家具和设施的摆放位置。

例如，客厅的沙发和电视柜之间的距离要考虑人们观看电视的舒适度。

5. 色彩搭配原则：空间设计应根据空间功能和氛围选择合适的色彩搭配。

例如，卧室可以选择柔和的色彩，创造出温馨舒适的氛围，办公室可以选择明亮的色彩，提升工作效率。

三、空间设计的要素1. 空间布局：通过合理的布局，将空间划分为不同的功能区域，使其具有良好的使用效果。

例如，将客厅分为休闲区、娱乐区和用餐区等。

2. 色彩搭配：选择合适的色彩组合，使空间具有艺术感和舒适感。

例如，卧室可以选择柔和的色彩，厨房可以选择明亮的色彩。

3. 材质选择：选择适合空间的材质，使其具有美观性和实用性。

例如，地板可以选择木质地板或瓷砖，墙面可以选择壁纸或涂料。

4. 家具摆放：根据空间大小和功能需求，选择合适的家具摆放位置。

例如，客厅可以选择沙发、茶几和电视柜等家具。

5. 灯光设计：通过合理的灯光设计，营造出适合空间功能和氛围的光线效果。

例如，卧室可以选择柔和的灯光，客厅可以选择明亮的灯光。

6. 装饰品选择：选择合适的装饰品，增加空间的美感和个性化。

高等代数第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质

称为n维向量x与y的夹角 .
x, y
x y
例求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质：（1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度或范数 .

第五章线性空间与欧式空间

有
k1 k 2 , k1 E11 k 2 E12 k 3 E 21 k 4 E 22 k3 k 4
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
有 A a11 E11 a12 E12 a 21 E 21 a 22 E 22
因此
E11 , E12 , E 21 , E 22 为V的一组基.
（ 3 ） V1 , k F ,恒有f ( k ) kf ( ).
如果两个线性空间V1与V2之间能够建立一个同构映射，那么就称V1与V2同构.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例10： n维线性空间 Vn x11 x2 2 xn n x1 , x2 ,, xn R
( 2)设
( x1 , x2 ,, xn )T ( y1 , y2 ,, yn )T
( x1 , x 2 ,, x n ) ( y1 , y2 ,, yn )
T T
则有
( x1 , x2 ,, xn )
同构具有下列简单的性质：
T
(1) 自反性：V1与V1同构；
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例8：在线性空间 R [ x ]n中, 取一组基
1 1, 2 ( x a ), 3 ( x a ) ,, n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是 (a ) f ''(a ) f ( f (a ), f '(a ), , , ) . 2! ( n 1)!

线性空间和欧式空间

线性空间和欧式空间第六章线性空间和欧式空间§1线性空间及其同构一线性空间的定义设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k与的数量乘积，记为k，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。

加法满足下面四条规则：1）；交换律2）()()；结合律3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有0（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；存在零元4）对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得0（称为的负元素）.存在负元数量乘法满足下面两条规则：5）1；存在1元6）k(l)(kl).数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7）(kl)kl；数的分配律8）k()kk.元的分配律在以上规则中，k,l表示数域中的任意数；,,等表示集合V中任意元素。

例1．元素属于数域K的mn矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K上的一个线性空间，记为Mm,n(K)。

例2．全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。

例3．n维向量空间K是线性空间。

n1例4．向量空间的线性映射的集合HomK(K,K)是线性空间。

二．简单性质1．零元素是唯一的。

2．负元素唯一。

3．00，k00，(1)4．若k0，则k0或者0。

三.同构映射定义：设V,V是数域K上的线性空间.AHomK(V,V)是一个线性映射.如果A 是一一映射，则称A是线性空间的同构映射，简称同构。

线性空间V与V'称为同构的线性空间。

定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。

同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。

习题解答第九章欧氏空间(定稿)

定理 1 （柯西—布涅柯夫斯基不等式）设 V 是欧氏空间，则 , V , 有（，）
当且仅当与线性相关时，等号成立. 2. 标准正交基
定义 6 称欧氏空间 V 中一组两两正交的非零向量组1,2 , ,m 为一个正交向量组. 定义 7 设1,2,L ,n 是 n 维欧氏空间 V 中的一组基，若它们两两正交，则称 1,2,L ,n 为 V 的一组正交基；若正交基中的向量1,2,L ,n 都为单位向量，则称为标
n
( A, A) 0 ai2j 0 A 0 i, j1
此即证V是欧式空间。
(1)证：Eij是(i, j)元为1，其余一元皆为0的n阶方阵，那么可证 B11 E11, B12 E12 E21,L , B1n E1n En1 B22 E22 , B2n E2n En2 ,L , Bnn Enn 为V的一组基，于是
故○1 成立，且
V =S (S )
故S和(S)是同一子空间S的正交补，由正交补的唯一性，即证 ○2 .
4.设是欧式空间V的线性变换，设是V的一个变换，且, V ,都有(( ), )=(,( )). 证明：
(1) 是V的线性变换 (2)的值域 Im 等于的核ker的正交补。
四、典型题解析
例1.设A, B是n阶实对称阵，定义
(A, B) trAB
○1
证明：所有n阶实对称阵V 关于( A, B)成一欧式空间。 (1)求V的维数。 (2)求使trA=0的空间S的维数。 (3)求S的维数。
证首先可证V {A Rnn | A A}是R上的一个线性空间。再证○1 是V 的内积，从而得证V 是关于内积○1 的欧式空间. 事实上A,B,CV ,k R,有

欧式空间

1. 定义
= 3 . ( f + g, h )

= = ( f , h) + ( g , h) 4 . ( f , f ) = ∫ f 2 ( x ) dx
a b
∫a ( f ( x ) + g( x ) ) h( x ) dx b b ∫a f ( x )h( x ) dx + ∫a g( x )h( x ) dx
(α , β )′ 满足定义中的性质 1 ～4 . 易证所以(α , β )′ 也为内积. 从而 R n 对于内积 (α , β )′ 也构成一个欧氏空间. 注意：由于对 ∀α ⋅ β ∈ V , 未必有 (α , β ) = (α , β )′ 所以1），2）是两种不同的内积.
从而 R 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.
反之，若等号成立，由以上证明过程知或者 β
即
(α , β )2 ≤ (α ,α )( β , β )
2. 内积的性质当α、β 线性相关时，不妨设 α = k β
(α , β ) (= (β , β ) k β . kβ , β ) k = = 于是， = α β k = β β k β
2 2
∴ (α , β ) = α β. 等号成立.
n
1. 定义
例2．C (a , b) 为闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数所成线性空间，对于函数 f ( x ), g( x ) ，定义则 C (a , b) ∀ f ( x ), g ( x ), h( x ) ∈ C (a , b ), ∀ k ∈ R 证：
1 . ( f , g) 2 . ( k f , g )
= α
α ⋅α
(α ⋅ β )
夹角： cos < α , β > =

欧式空间

欧式空间————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:第八章欧氏空间向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广,然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念,而一般的向量空间里却没有得到反映。

这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念，从而可以合理的定义有向量的长度和夹角，这样的向量空间称为欧氏空间，在许多领域里有广泛的应用。

学习中还要注意学习具体到抽象,再从抽象到具体的辩证的思想方法。

§1 定义和性质几何空间3V 里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的,即||||cos ξηξηθ⋅=⋅,||ξ表示ξ的长度,θ表示ξ与η的夹角。

我们不能直接按上面方式定义内积,因为还没有定义长度和夹角。

我们要根据几何内积所满足的性质来定义，回想到在第四章第8节在n R 定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。

所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。

定义1 设V 是实数域R 上的一个向量空间，有一个V V ⨯到R 的二元实函数，记作(,)αβ，具有以卡性质:,,V αβγ∀∈，k R ∀∈1） (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+; 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)0αα≥，等号成立当且仅当0α=(,)αβ叫做向量α与β的内积,V 叫做对这个内积来说的欧氏空间。

在需要和其它的内积区别的时候，我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。

在欧氏空间的定义中，对向量空间的维数并无要求,可以是有限维的,也可以是无限维的。

几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。

例1 1212(,,,)',(,,,)'n n n a a a b b b R αβ∀==∈，规定α与β的内积为1122(,)'n n a b a b a b αβαβ=+++=，则n R 作成一个欧氏空间。

高等代数教案(北大版)第九章欧式空间

第九章
Euclid 空间
Euclid 空间是定义了内积的实线性空间，在线性空间中，向量间的基本运算只限于线性运算，而几何空间作为具体模型，还有很多性质没有推广到线性空间中来。把几何空间中的长度、夹角等度量概念引入线性空间，就成了建立 Euclid 空间的一个基本目的，其中内积的概念起了关键作用，它使得 Euclid 空间具有更丰富的几何内容。 Euclid 空间的理论在解析几何等数学分支和涉及正交变换的应用学科中都具有广泛的应用。教学目的：为解决用正交变换把二次型化为标准形问题，必须在线性空间的基础上引入度量，建立 Eulicd 空间。通过本章的学习，让学生了解并领会 Eulicd 空间的定义及基本性质、内积的定义、标准正交基、同构正交矩阵、正交变换、子空间、正交补的概念，掌握标准正交基的求法、无关向量组扩充为标准正交基的 Schmidt 正交化方法、同构的充要条件、正交矩阵的性质和判定方法、正交补的存在唯一性和实对称阵正交相似标准对角矩阵的求法。教学重点：Eulicd 空间的基本概念、度量矩阵、标准正交基、正交矩阵、实对称矩阵的标准形。教学难点：正交变换、对称变换和正交子空间。教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。 2．习题课以多媒体教学为主。教学内容：
§2
一、概念
标准正交基
定义 1 正交向量组：欧氏空间 V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为正交向量组. 规定：单个非零向量组成的向量组是正交向量组. 性质证明正交的向量组必线性无关设α1, α2,…, αm是一正交向量组，即(αi, αj)=0, i≠j.
令k1α1+k2α2+…+kmαm=0, 在等式两边用 α i 作内积：

欧式空间的定义

欧式空间的定义欧几里德空间编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。

简介编辑约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。

欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。

这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间(甚至简称 n维空间)或有限维实内积空间。

这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间(不一定完备)，希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。

为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。

尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。

还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。

有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。

其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。

其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。

欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形(也就是子集)应被认为是等价的(全等)。

(参见欧几里得群)。

欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。

直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。

这种技术本文中很大程度上被忽略了。

欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。

第九章欧式空间(第一讲)

0 ( , ) ( , ) ( , )

2
( , )

2

( , )
2

2
,
即
( , )
2

2

2
.
开方便得
( , )

.
综合ⅰ，ⅱ便知定理成立. 基于定理1.1的结果，又可以给出欧氏空间中两向量夹角的定义.
定义1.3 对于欧氏空间中两个非零向量α, β ，定义α与 β的夹角为
累次应用以上两条及欧氏空间定义中的条件2）3）即可得到3）式.
性质2 对于欧氏空间中任意向量α ，总有（α ，0）= （0，α）=0. 证明由
( , 0) ( , 0 0) ( , 0) ( , 0)
即得（α ，0）=0.再由内积的交换律又知（0，α）= （α ，0）=0 . 特别，有（0，0）=0 .再结合欧氏空间定义中的第4）条规定，便得如下结论：内积空间中向量α为零向量的充分必要条件是（α ，α ）=0 ，也就是说，零向量是内积空间中与自身的内积为0的唯一向量.
即对欧氏空间中任一组向量我们看到殴氏空间在向量的长度夹角正交等方面与我们已熟知的普通几何空间确有许多相像之处
线性代数
机动
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结束
第九章
欧氏空间*
通过上两章的学习，我们对线性空间有了比较深入的了解.线性空间是涉及一个集合、一个数域、两种运算、八个条件的一个整体概念.它包含着丰富的内容，有着广泛的应用.在这一章里将讨论一类特殊发线性空间—欧氏空间.我们还将发现，欧氏空间与人们熟悉的几何空间有许多相似的结果.通常的实向量内积、长度、夹角、距离等概念都可以平行地在欧氏空间上建立起来，并得到类似的相应结果.

第七章欧氏空间

ξη
π
2
时, cos θ = 0.即 < ξ , µ >= 0称 ξ与 η 正交 .
补充定义: 零向量与任意向量均正交. 补充定义
ξ 推广：推广：在欧氏空间中，与向量 η ⋯ η n 中每个向量正交.则 ξ与η1 ⋯η 的任意线性组
合也正交.即 < ξ ,η i
>= 0 ⇒< ξ , ∑ a iη i >= 0
d (iii) 三角不等式：(ξ ,η ) ≤ d (ξ , ζ ) + d (ζ ,η ). 称(i)、(ii)、(iii)为距离公理。（iii）在解析几何中的意义是：三角形两边之和大于第三边。
定理2 定理如果W是欧氏空间V的一个子空间，那么
对V的内积来说，W也是一个欧氏空间。
7.2
正交基
n n
则< ξ,η >= a1b1 +⋯+ anbn , 由定理1得：
(a1b1 + ⋯+ anbn ) ≤ (a1 + ⋯an )(b1 + ⋯bn )
2 2 2 2 2
这正是大家熟知的Cauchy（柯西）不等式。
在 C [ a , b ] 中， f , g ∈ C[a, b]，规定 ∀
< f , g >= ∫ fgdx 则 ∫ a a
1）求出A 的特征根λ1 … λt是A 的不同特征根;
定义 1. 欧氏空间Ｖ中的一组两两正交的非零向量叫Ｖ的一个正交组。如果这组向量都是单位向量。则称为一个标准正交组。说明：正交组是线性无关的向量组。 ① ② 在ｎ维欧空间Ｖ中.两两正交的非零空间 . 向量个数不超过n个.在面几何中.正交的非零向量是有两个.在空间解几中.正交的非零向量是有3个. ③特别:如果α1 ⋯α n 是n维欧氏空间Ｖ的一组正 α是交组.则称 α1 ⋯α为V的一个正交基.如果 α1 ⋯ n n n维欧氏空间V的标准正交基.则称为V的一个标准正交基.

第九章欧几里得空间

已知欧氏空间上的一组基,如何求正交基? 定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一组基
, , , , 使 1 2 n
, , , 1 2 n ,都可以找到一组标准正交基
L ( , , , ) L ( , , , ) ,1 i , 2 , , n . 1 2 i 1 2 i

( AA ) ( ) ,
则称A 为正交变换.
定理 4 设A 是n维欧氏空间 V 的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的: 1) A 是正交变换;
V ,A ; 2) A 保持向量的长度不变,即对于
, , , 3) 如果 1 2 n 是标准正交基,那么
引入“长度”的概念：
几何空间中: 向量的长度: 定义 2

.
非负实数 ( α , α ) 称为向量 α 的长度,记为 α
引入“夹角”的概念：
几何空间中:
非零向量的夹角: c o s ,
在欧式空间中能否类似定义？
柯西－布涅柯夫斯基不等式：对任意的向量α , β ，
(α , β) α β .
当且仅当 α , β 线性相关时，等号才成立. 定义 3 非零向量 α , β 的夹角 < α, β > 规定为： (α , β) <α , β> =a rc c o s . αβ
定义 4
如果向量 α , β 的内积为零，即
(α, β) 0,
那么 α , β 称为正交或互相垂直，记为 α β .
1 T 'A T TA T 成对角形.
要证明这个结果,需要如下准备: 引理 1 设A是实对称矩阵,则A的特征值皆为实数.
n 对应于实对称矩阵A,在n维欧氏空间 R 上定义一个线性变换A 如下: x1 x1 x x2 2 A A . xn xn

第九章欧式空间(第二讲)

由内积性质1，知
( , ) xi y j ( i , j ).
i 1 j 1
m
n
令
aij ( i , j ),
i. j 1, 2, , n,
显然aij=aji.于是矩阵
a11 a 21 A an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
定义2.2 每个向量都是单位向量的正交组称为一个标准正交组或单位正交组.
定义2.3 在欧氏空间中，由正交向量组形成的基称为正交基；由标准正交组形成的基称为标准正交基或单位正交基.
n维欧氏空间的n个向量ε1，ε2 ，· · ·，ε n构成标准正交基的充要条件是
1, ( i , j ) ij 0,
1
x2 ( x
( k 2 3)
于是
(3) g3 ( x) k1(3) g1 ( x) k2 g2 ( x) f3 ( x) 1 1 x x2 3 2 1 2 x x . 6
在将g1(x) ，g2(x) ，g3(x)单位化.由前面计算已得 1 2 2 g1 ( x) 1, g 2 ( x) . 再计算出 12
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§ 度量矩阵与标准正交基
2.1 欧氏空间的度量矩阵
设V是n维欧氏空间. ε1，ε2 ，· · ·，ε n是V的一个基.对于V中两个向量 x1 1 x2 2 xn n ,
y1 1 y2 2 yn n ,
为一个实对称矩阵.向量α, β的内积可表为
( , ) x T Ay.
（1）
这里x,y分别是α, β的坐标.我们称A为在基ε1，ε2 ，· · ·， ε n下的度量矩阵.上述结果表明，当知道了某组基下的度量矩阵A时，任意两向量的内积可以通过这两个向量的坐标按（1）式来计算.可见，度量矩阵完全确定了内积.

北京大学数学系《高等代数》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】第9章欧式空间【圣才出品】

第9章欧式空间[视频讲解]9.1本章要点详解本章要点■欧式空间的定义■标准正交基■同构■正交变换■子空间■对称矩阵的标准型重难点导学一、定义与基本性质1．欧式空间的定义设V 是实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，记作（α，β），若（α，β）满足（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（k α，β）＝k （α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0．这里α，β，r 是V 中任意的向量，k 是任意实数，则称（α，β）为α和β的内积，并称线性空间V 为欧几里得空间．2．内积的简单性质V 为欧氏空间，∀α，β，γ，∀k ∈R ，则（1）(,)(,)k k =αβαβ；（2）(,)(,)(,)+=+αβγαβαγ；（3）(0,)=0β．2．欧氏空间中向量的长度（1）向量长度的定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零；②|kα|＝|k||α|；③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，称此过程为把α单位化．3．欧氏空间中向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角<α，β>定义为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，则称α，β为正交或互相垂直，记为α⊥β．注：零向量才与自己正交．（4）勾股定理：当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n）有a ij＝a ji，则（α，β）还可写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC，则不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，称为正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．注：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，存在一组标准正交基η1，η2，…，η，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．n把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称为施密特正交化过程．3．标准正交基间的基变换设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，则第二组基一定也是标准正交基．三、同构。

三维空间欧式距离计算公式

三维空间欧式距离计算公式在三维空间中，我们常常需要计算两点之间的距离，这个距离被称为欧式距离。

欧式距离是一种用于测量两点之间直线距离的常见方法。

在三维空间中，欧式距离的计算公式如下：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)其中，d代表两点之间的距离，(x1, y1, z1)代表第一个点的坐标，(x2, y2, z2)代表第二个点的坐标。

通过这个公式，我们可以计算出任意两点在三维空间中的距离。

下面，我们将通过实际案例来说明如何应用这个公式。

假设我们有两个点A和B的坐标分别为A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，我们希望计算出它们之间的距离。

按照欧式距离的计算公式，把这些数值代入公式中计算：d = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27≈ 5.196因此，点A和点B之间的距离约为5.196。

三维空间欧式距离计算公式可以推广到多个点之间的距离计算。

例如，我们有三个点A、B和C的坐标分别为A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)和C(7, 8, 9)，我们可以分别计算出它们之间的距离，然后比较它们的大小。

假设我们已经计算出了点A、B、C两两之间的距离分别为AB、AC和BC，我们可以比较这些距离来判断它们之间的远近。

如果AB < AC < BC，那么点B就是离点A最近的点；如果AC < AB < BC，那么点A就是离点B最近的点；如果AC < BC < AB，那么点C就是离点A和点B都最近的点。

通过这种方式，我们可以根据欧式距离计算公式来比较三个或多个点之间的距离，以便做出相应的判断。

除了在数学领域应用之外，三维空间欧式距离计算公式还有许多实际应用。

欧式空间和欧式距离、曼哈顿距离

欧式空间和欧式距离、曼哈顿距离从起源来讲，欧式空间是满⾜欧⼏⾥得《⼏何原本》中⼏何五公理的空间。

维基百科欧⼏⾥得⼏何中给出的解释如下：1. 从⼀点向另⼀点可以引⼀条直线。

2. 任意线段能⽆限延伸成⼀条直线。

3. 给定任意线段，可以以其⼀个端点作为圆⼼，该线段作为半径作⼀个圆。

4. 所有直⾓都相等。

5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同⼀边的内⾓之和⼩于两个直⾓，则这两条直线在这⼀边必定相交。

在数学中，欧⼏⾥得距离或是欧⼏⾥得空间中两点间“普通”（即直线）距离。

使⽤这个距离，欧⽒空间成为度量空间。

相关联的范数称为欧⼏⾥得范数。

欧⼏⾥得度量（euclidean metric）（也称欧⽒距离）是⼀个通常采⽤的距离定义，指在m维空间中两个点之间的真实距离，或者向量的⾃然长度（即该点到原点的距离）。

在⼆维和三维空间中的欧⽒距离就是两点之间的实际距离。

它将样本的不同属性（即各指标或各变量量纲）之间的差别等同看待，这⼀点有时不能满⾜实际要求。

例如，在教育研究中，经常遇到对⼈的分析和判别，个体的不同属性对于区分个体有着不同的重要性。

因此，欧⽒距离适⽤于向量各分量的度量标准统⼀的情况。

曼哈顿距离，我们可以定义曼哈顿距离的正式意义为L1-距离或城市区块距离，也就是在欧⼏⾥得空间的固定直⾓坐标系上两点所形成的线段对轴产⽣的投影的距离总和。

例如在平⾯上，坐标（x1, y1）的点P1与坐标（x2, y2）的点P2的曼哈顿距离为：，要注意的是，曼哈顿距离依赖座标系统的转度，⽽⾮系统在坐标轴上的平移或映射。

当坐标轴变动时，点间的距离就会不同。

通俗来讲，想象你在曼哈顿要从⼀个⼗字路⼝开车到另外⼀个⼗字路⼝，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除⾮你能穿越⼤楼。

⽽实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”，这也是曼哈顿距离名称的来源，同时，曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)。

图中红线代表曼哈顿距离曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由⼗九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使⽤在⼏何度量空间的⼏何学⽤语，⽤以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和。

一、欧式空间的定义及性质课件

1.欧氏空间V的内积具有以下基本性质.
(1)a V , , 0 0, 0
证 ,0 0, 0 , 0
(2) , , V , , , ,
证
, , , ,
, ,
, 2 , k 2 k2 , 2 , k ,k , , .
如果与线性无关, 那么, 对任意实数 k 都有
k 0. 于是
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即 k2 , 2k , , 0
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(3) , V ,k R, ,k k ,
证 ,k k , k , k ,
(4)i , j V ,ai ,bj R, i 1, 2, , m, j 1, 2, , n
m
n
mn
aii , bj j
2
三向量的正交
定义 4 欧氏空间的两个向量与说是正交的, 如果 , 0. 记作:
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定理 7.1.2 在一个欧氏空间 V 里，如果向量与 1, 2 , ,m中每一个正交，那么与 1, 2 , ,m 的任意一个线性组合也正
aibj i , j
i 1
j1
i1 j1
例设 1,2 , ,n 是欧氏空间的n个向量，行列式
1 ,1
G 1, ,n 2 ,1
1 , 2 2 , 2
1 , n 2 ,n
n,1 n,2
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n ,n
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叫做 1,2 , ,n 的格兰姆（Gram）行列式.

5-2欧式空间的基本概念

高等代数课件(北大版)第九章-欧式空间§9

第二节 欧式空间的基本概念

欧式空间

装饰展示空间设计的知识点

高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质

第五章 线性空间与欧式空间

线性空间和欧式空间

习题解答 第九章 欧氏空间(定稿)

欧式空间

欧式空间

高等代数教案(北大版)第九章 欧式空间

欧式空间的定义

第九章 欧式空间(第一讲)

第七章 欧氏空间

第九章欧几里得空间

第九章 欧式空间(第二讲)

北京大学数学系《高等代数》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】第9章 欧式空间 【圣才出品】

三维空间欧式距离计算公式

欧式空间和欧式距离、曼哈顿距离

一、欧式空间的定义及性质课件

第二节欧式空间的基本概念

高等代数第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质

第五章线性空间与欧式空间

习题解答第九章欧氏空间(定稿)

高等代数教案(北大版)第九章欧式空间

第九章欧式空间(第一讲)

第七章欧氏空间

第九章欧式空间(第二讲)

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