5-2欧式空间的基本概念

1 , k1 1 k 2 2 k m m 1 ,0 0
2
k1 1 , 1 0 k1 1
0 k1 0
同理有 k 2 k m 0
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线性代数与空间解析几何
定义5.2.6（正交基与标准正交基） 在n维欧氏空间V中,由n个向量组 成的正交向量组称为V的正交基, 由n个向量组成的正交单位向量 组称为V的标准正交基（或规范 正交基）.
2 x12 xn ;
( 4) d ( , ) ( x1 y1 )2 ( xn yn )2 .
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3 T 在 R 中 , 求 ( 1 , 2 , 3 ) 在标准正交基 例6 1 1 T 1 1 T T 1 (1,0,0) , 2 (0, , ) , 3 (0, , ) 2 2 2 2 下的坐标 .
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定理5.2.3 设 1 , , n 是n维欧氏空间V的一个
, V , 设 标准正交基，
x11 xn n y11 yn n
( xi , yi R, i 1, , n)
则有 (1) xi , i , ( i 1,, n); ( 2) , x1 y1 xn yn ; (3)
是内积， V 是一个欧氏空间.
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线性代数与空间解析几何
n n 例3: n阶实方阵的全体构成的线性空间 R 中,
A (aij )nn , B (bij )nn ,
定义
A, B aij bij
i 1 j 1 n n
标准内积
可以验证满足内积公理，
因此R nn 构成一个欧氏空间.

1 1 , 1
0 1 , 1
2 1 1
正交基
1 3 1 , 3 1 3 0 1 , 2 1 2 2 6 1 6 1 6
设 1 , 2 , , n 是向量空间Ｖ的一个基，求向量空间
Ｖ的一个标准正交基 e1 , e 2 , , e n 且满足：e1 , e 2 , , e n 与 1 , 2 , , n 等价，
此问题称为把 1 , 2 , , n这组基标准正交化. 对一组基可以依次经过正交化和标准化的过程得到与 之等价的一组标准正交基, 具体步骤如下：
, k , k , k 2 , ,
k , k , , , .
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Cauchy-Schwarz不等式就是 a1 b1 a n bn a a
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1）正交化过程 令 1 1
2 , 1 2 2 1 1 , 1
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定义5.2.1中的4个条件称为内积公理，其中的(2) 和(3)统称为内积对第一变元的线性性质,可以写成
k l , k , l ,
其中， ， , 是V中任意向量 , k和l是任意实数 .
由内积的对称性，有
5 1 , 3 , , 解 由于 1 , 1, 2 , 2 2 5 1 T 故 在该基下的坐标为 (1, , ) ,即 2 2 5 1 1 2 3 2 2
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四、Gram-Schmidt(格拉姆_施密特) 正交化方法
, k l k , l , .
一般地，有
ki i , l j j ki l j i , j
i 1 j 1 i 1 j 1 m n m n
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例1： 在线性空间中 R n中，对于任意的向量
(1) 对称性 ： , , ; (2) 加性 , , , ;
(3)齐性 k , k , ;
( 4 )非负性 , 0， 而且 , 0 0. 则称实数 , 为向量α与β的内积， V为实内积空间或Euclid空间，简称欧氏空间.
1 0 , 0
0 1 , 0
0 0 1
标准正交基
标准正交基
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1 1 1 , 2 例5 已知三维向量空间中， 1 2 正交， 1 1 试求 3 , 使1 , 2 , 3是三维向量空间的一个正交基.
2 1 2 n
b b
2 1
2 n
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二、范数和夹角
定义5.2.2 (向量的范数) 在欧式空间V 中,称非负 实数 , 为向量 的范数(或长度),记作 ，即
,
例如
(1,2,2 )T R 3 , 则
, 12 2 2 2 2 3
解 设 3 x1 则 即
x2
x3 0
T
1 , 3 0, 2 , 3 0. x1 x2 x3 0 x1 2 x2 x3 0 x1 x3 1 3 0 . x2 0 x x 1 3 3
(a1 , , a n ) , (b1 , , bn ) ,
T T
定义
, a1b1 a2b2 anbn T
标准内积
满足内积公理，则Rn是欧氏空间. 例2： 线性空间C[a, b],
f,g
标准内积

b
a
f ( x ) g ( x )dx , f ( x ), g ( x ) C a , b
2
,

2
, 2 , ,
2
2
2 , 2

2
( )2
两边开方，得性质（3）
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零向量：范数为零的向量 单位向量：范数为1的向量 若 0,则 就是一个单位向量，称 为把向量 单位化 .
t , t 0
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即
t 2 , 2 t , , 0
由代数知识可知它的判别式必小于零，因此有，
, , ,
如果与 线性相关,不妨设 =k (kR),于是有
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定理 5.2.2 ：正交向量组必是线性无关的向量组. 证明: 设1 , 2 ,, m 是一组正交的向量组 , 则
i , j 0
(i , j 1,2,, m, 且i j )
设k11 k2 2 km m 0
用 1与上式两端作内积 即
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定理5.2.1(Cauchy-Schwarz(柯西-施瓦兹)不等式) 设V是欧氏空间,则对任意 , V 有
, , ,
其中，等号成立的充要条件是 与 线性相关. 证明：如果与 线性无关,则对于任意的实数t , t + 0, 由内积的非负性可得
距离的基本性质:
(1)对称性 : d ( , ) d ( , ); ( 2)非负性 : d ( , ) 0, 且d ( , ) 0 ; (3)三角不等式 : d ( , ) d ( , ) d ( , ) .
证（3） d ( , ) ( ) ( )
柯西不等式用范数可以表示为
,

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范数的基本性质：向量的范数具有以下基本性质：
(1) 0, 而且 0当且仅当 0； ( 2) k k ( k为实数 )；
(三角不等式 ).
(3)
证（3）


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定义5.2.3 (非零向量的夹角) 在欧式空间V 中, 规定两个非零向量与 的夹角为
arccos
，

(0 ).
, 0, 则称 与 正交或相互垂直，记作 .
故零向量与任何向量正交 .
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2
勾股定理： 当 时,
.
2
2
勾股定理推广：对于m个两两正交的向量1 2 m， 有
1 2 m 1 2 m .
2
2
2
2
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, V , 称 为 与 的距离 , 定义5.2.4（距离） 记为 d ( , ) 即 d ( , )
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第二节 欧式空间的基本概念
作业 习题5.1（A）P202 5,10,12, 17
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一、内积及其基本性质
定义5.2.1(内积)设V是实数域R上的一个线性空间。 如果 , V , 均有一个确定的实数与之对应， 这个实数记为 , , 并且满足下列条件：
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例4 在R 3中，
2 0 0 , 1 , 1 1 0 2 3 0 1 1
是一个正交向量组。
2/3 2/3 1 / 3 向量组 1 2 / 3 , 2 1 / 3 , 3 2 / 3 是一个 1/ 3 2 / 3 2 / 3 正交单位向量组 .
1 1 2 2 T 0 T 例如 (1, 2, 2)T , 单位化得： (1, 2, 2) ( , , ) 3 3 3 3
1
在几何空间中向量 的内积定义为
, cos
为 与 的夹角， 还可以表示为 ， arccos (0 ).
d ( , ) d ( , )
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三、标准正交基及其基本性质
定义5.2.5（正交向量组与正交单位向量组） 对于欧氏空间V中的一个向量组， 如果其中不含零向量，且其中的向量两两正交， 则称它为一个正交向量组. 如果一个正交向量组中的每个向量都是单位向量， 则称它为一个正交单位向量组.