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2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学三模试卷(理科)(解析版)

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2018-2019学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高三数学文模拟试卷含解析

2018-2019学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高三数学文模拟试卷含解析

2018-2019学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．参考答案：B略2. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点( )A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度参考答案：D略3. 今有10个大小相同的乒乓球都放在一个黑色的袋子里，其中4个球上标了数字1，3个球上标了数字2，剩下的球都标了数字5，现从中任取3个球，求所取的球数字总和超过8的概率是（）．A. B. C. D.参考答案：C4. 已知α满足，则cos(+α)cos(－α)=A. B. C. D.参考答案：A5. 设全集,集合则为( )A、 B、 C、D、参考答案：A6. 设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有( )参考答案：【知识点】对数值大小的比较．L4【答案解析】C 解析：∵f（2﹣x）=f（x）∴函数的对称轴为x=1∵x≥1时，f（x）=lnx∴函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大，故选C.【思路点拨】由f（2﹣x）=f（x）得到函数的对称轴为x=1，再由x≥1时，f（x）=lnx 得到函数的图象，从而得到答案.7. “”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A8. 已知命题使；命题，则下列判断正确的是（）为真为假为真为假参考答案：B9. 根据如下样本数据：( )得到的回归方程为=x+，则．A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0参考答案：D考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：利用公式求出b，a，即可得出结论．解答：解：样本平均数=5.5，=0.25，∴=23.75，=17.5，∴b≈1.4＞0，∴a=0.25﹣1.4?5.5＜0，故选：D．点评：本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．10. 将函数f（x）=l+cos 2x－2sin2（x－）的图象向左平移m（m>0）个单位后所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为A． B． C． D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i＜m中的整数m的值是．参考答案：6【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；算法和程序框图．【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质．然后对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及i的关系．最终得出结论．【解答】解：第一次循环：S=0+=，i=1+1=2；第二次循环：S=+=，i=2+1=3；第三次循环：S=+=，i=3+1=4；第四次循环：S=+=，i=4+1=5；第五次循环：S=+=，i=5+1=6；输出S，不满足判断框中的条件；∴判断框中的条件为i＜6？故答案为：6．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题12. 对任意实数表示不超过的最大整数，如，关于函数，有下列命题：①是周期函数；②是偶函数；③函数的值域为；④函数在区间内有两个不同的零点，其中正确的命题为（把正确答案的序号填在横线上）．参考答案：13. 在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________．参考答案：1/314. 设数列{a n}中，a1=3，（n∈N*，n≥2），则a n= ．参考答案：（3n﹣2）?3n．【考点】数列递推式．【分析】（n∈N*，n≥2），可得=3，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵（n∈N*，n≥2），∴=3，∴数列是等差数列，公差为3，首项为1．∴=1+3（n﹣1）=3n﹣2，则a n=（3n﹣2）?3n．故答案为：（3n﹣2）?3n．15. 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则＝_____________．参考答案：【知识点】二项式定理 J3由二项式定理知: 的展开式中的系数为,的展开式中的系数为，于是有C解得，所以可得，故答案为.【思路点拨】根据二项式定理的展开式可得的展开式中的系数为,的展开式中的系数为，列的等式关系即可求解.16. 已知O为△的边BC的中点，过点O的直线交直线AB、AC分别于点M、N，若，则的值为_____________．参考答案：2略17. 若向量满足，且，则在方向上的投影的取值范围是.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

吉林省东北师范大学附中2018届高三三校联考理数试题 Word版含解析

吉林省东北师范大学附中2018届高三三校联考理数试题 Word版含解析

吉林省东北师范大学附中2018届高三三校联考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集{}8≤∈=x N x U ，集合{}7,3,1=A ，{}8,3,2=B ，则=)()(B C A C U U （ ） A ．{}8,7,2,1 B ．{}6,5,4 C ．{}6,5,4,0 D ．{}6,5,4,3,0 【答案】C 【解析】试题分析：{}{}80,1,2,3,4,5,6,8U x N x =∈≤= ，(){}()()0,4,5,6U U U C A C B C A B ∴=⋃= ，故选C ．考点：集合交、并、补的运算． 2.已知复数i z +=11，i z -=22，则=iz z 21（ ） A ．i 31- B ．i 31+- C ． i 21+ D ．i 21- 【答案】A考点：复数的运算．3.若实数数列：1231,,,,81a a a 成等比数列，则圆锥曲线1222=+a y x 的离心率是（ ）A ．10 或322B ．10C ． 322 D ． 31或10【答案】C 【解析】试题分析：因为81,,,,1321a a a 成等比数列，所以2281a =，又因为20a >，所以29a =，所以离心率223ce a ===，故选C ．考点：等比数列中项性质，椭圆离心率.4.函数2)(1-=-x a x f )1,0(≠>a a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=--ny mx 上，其中0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．223+ 【答案】D考点：基本不等式．5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ．π220+ B ．π320+ C ．π224+ D ．π324+俯视图侧视图正视图12222【答案】B 【解析】试题分析：根据三视图的特征，得到该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体.其底面积的面积：22282S ππ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭；底面周长：6C π=+；侧面面积：()62122ππ+⨯=+.所以几何体的表面积：()()8123203πππ+++=+，故选B ． 考点：三视图的识别，几何体的表面积计算.6.气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于C ︒22”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位C ︒） ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为2.10. 则肯定进入夏季的地区有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3 【答案】C考点：中位数、平均数、众数的概念及运用.7.24(1)(2)x x +-的展开式中含3x 项的系数为（ ） A ．16 B ．40 C ．40- D ．8 【答案】D 【解析】试题分析： 242444(1)(2)(2)2(2)(2)x x x x x x x +-=-+-+-，∴3x 项的系数为4(2)x -中x 、2x 与3x的系数决定，即()()()3212344422228C C C -+-+-=，故选D ．考点：二项式定理．8.若如图所示的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ）A ．?5≤nB ．?6≤nC ．?7≤nD ．?8≤n【答案】B考点：程序框图．9.若方程1)sin 2()cos 2(22=-+-θθy x (02)θπ≤<的任意一组解),(y x 都满足不等式x y 33≥，则θ的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,6ππ B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1213,125ππ C. ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3 【答案】D 【解析】试题分析：根据题意可得，方程1)sin 2()cos 2(22=-+-θθy x )20(πθ<≤的任意一组解),(y x 都满足不等式x y 33≥表示方程1)sin 2()cos 2(22=-+-θθy x )20(πθ<≤在y x =的左上方或相切，所以12sin 2cos θθ≥⎪≥⎩，∴1sin 62πθ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 02θπ≤<∴,3πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选D ． 考点：圆的方程，三角函数知识的运用.10.已知ABC ∆外接圆的圆心为O ，32=AB ，22=AC ，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则=⋅（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6OM CBA【答案】C考点：向量内积运算，圆直径所对的圆周角等于090.【思路点晴】本题主要考查向量数量积和圆的综合性质，属于中档题.根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅可知，要求向量数量积必须知道向量的模长和向量的夹角，所以需要进行恰当的转化.本题的突破口就是将AM转化成()12AM AB AC =+ ，进而得到()12AM AO AB AO AB AO ⋅=⋅+⋅，再结合圆的性质直径所对的圆周角等于090求出最终答案.11.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点1F ，作圆222a y x =+的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ） A ．MT MO a b -=- B ．MT MO a b ->- C ．MT MO a b -<- D ．MT MO a b +=- 【答案】A考点：双曲线的定义，直线与圆相切．【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的定义、直线与圆相切的性质和三角形中位线的综合运用，属于难题.解题的关键是根据相切，得到1OT PF ⊥，再根据双曲线的性质，求出1TF b =；又因为M 点是中点，在焦点三角形12PF F ∆中，运用中位线定理得212OM PF =，再结合双曲线定义122PF PF a -=，最终求出答案．12.函数()f x =.给出函数)(x f 下列性质：①函数的定义域和值域均为[]1,1-；②函数的图像关于原点成中心对称；③函数在定义域上单调递增；④⎰=badx x f 0)(（其中b a ,为函数在定义域上的积分下限和上限）；⑤N M ,为函数)(x f 图象上任意不同两点，则22≤<MN .则关于函数)(x f 性质正确描述的序号为（ ）A ．①②⑤B ．①③⑤C ．②③④D ．②④ 【答案】D 【解析】考点：函数的性质和定积分的运算．【方法点晴】本题主要考查函数()f x =的一些性质，综合比较强，属于难题.解决函数问题第一步求出函数的定义域，这是研究函数问题的基础；第二步观察函数解析式能否化简，能化简的化成最简，这样能给我们后面研究性质带来方便．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.1=2=，)2()(b a b a -⊥+，则向量与的夹角为 ．【答案】2π【解析】试题分析： )2()(-⊥+，∴()(2)0a b a b +⋅-= ，即222c o s ,0a ab a b b +⋅-= ，∴cos ,0a b = ，即向量a 与b 的夹角为2π.考点：向量的乘积运算．14.函数x x x f sin 22cos )(-=的值域为 .【答案】33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：2213()cos 22sin 12sin 22sin 22f x x x x sinx x ⎛⎫=-=--=-++ ⎪⎝⎭，又 []sin 1,1x ∈-，∴()33,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()f x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．考点：三角函数二倍角公式，二次函数求值域．15.设O 为坐标原点，)1,2(A ，若点),(y x B 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+10121122y x y x ，则⋅的最大值是 . 【答案】5考点：线性规划和向量数量积的坐标运算．【方法点晴】本主要考查线性规划中已知可行域求目标函数的最值，属于容易题.本题关键是将目标函数转化成坐标：2OA OB x y ⋅=+，利用数形结合的方法求出目标函数的最大值.在直角坐标系画可行域时注意“直线定界，点定域”的原则.16.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=2,1,21,31,21P ，集合P 的所有非空子集依次记为：3121,,,M M M ，设,,21m m 31,m 分别是上述每一个子集内元素的乘积，（如果P 的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身），那么=+++3121m m m .【答案】5 【解析】试题分析：集合P 所有子集的“乘积”之和为函数()()()11112232f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭展开式中所有项数之和1T -；因为()1431236232T f ==⨯⨯⨯⨯=，所以15T -=. 考点：集合、二项式定理．【方法点晴】本题主要考查的集合子集的判定，构造函数求解，属于难题.本题的关键是根据二项定理的推导过程构造出函数()()()11112232f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x =时，函数的值就是所有子集的乘积.这种转化思想是需要注意的.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知b A c C a 252cos 22cos 222=+． （Ⅰ）求证：b c a 3)(2=+； （Ⅱ）若41cos =B ，15=S ，求b . 【答案】（1）证明见解析；（2）4．（Ⅱ）41cos =B ，所以：415sin =B ，………….6分 151581sin 21===ac B ac S ，8=ac ………….8分 又：)cos 1(2)(cos 22222B ac c a B ac c a b +-+=-+=， 由b c a 3)(2=+，所以：)411(16452+=b ，所以：4=b ………….12分 考点：正弦定理和余弦定理的运用．【方法点晴】本题主要考查解三角形，正弦定理和余弦定理得综合运用，属于基础题.解三角形中，常用的的技巧“边化角”或者“角化边”，特别是当遇到题干有每项都含有边的齐次式的等式时，多选择边化角.题上出现三角形面积时要合理利用公式111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===. 18.（本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱BCF ADE -和一个正四棱锥ABCD P -组合而成，AF AD ⊥，2==AD AE .（Ⅰ）证明：平面⊥PAD 平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥ABCD P -的高h ，使得二面角P AF C --的余弦值是322.E【答案】（1）证明见解析；(2)1．所以：⊥AD 平面ABFE ，⊂AD 平面PAD ， 所以：平面⊥PAD 平面ABFE ………….5分考点：证明面面垂直；利用空间向量求二面角.【易错点晴】本题主要考查面面垂直的证明和用向量求二面角的综合运用，属于中档题.证明面面垂直常用的方法：通过线面垂直证明面面垂直，关键是找准其中一个平面存在一条直线垂直另一个平面.空间向量在立体几何中的运用要保证所建坐标系正确和向量的一些公式.19.（本小题满分12分）生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[)76,70[)82,76[)88,82[)94,88[)94,100元件甲81240328元件乙71840296（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在（Ⅰ）的前提下：（1）记X 为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）求生产5件元件乙所获得的利润不少于140元的概率 【答案】（Ⅰ）甲45、乙34；（Ⅱ）（1）随机变量X 的分布列见解析，数学期望是66；（2）81128．（2）设生产的5件元件乙中正品有n 件，则次品有n -5件， 依题意，140)5(1050≥--n n ，解得：619≥n ，所以4=n 或5=n ， 设“生产5件元件乙所获得的利润不少于140元”为事件A ，则：12881)43(41)43()(5445=+=C A P ………….12分考点：古典概率；分布列和期望．20.（本小题满分12分）椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率22=e ，并且2C 的短轴 为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. （Ⅰ）求椭圆1C 与2C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于点E ，F .（1）求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；（2）直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.【答案】（Ⅰ）1C ：1222=+y x ，2C ：14222=+y x ；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）18-．（2）设),(11y x E ，则122121=+y x ， 211+=x y k EA ，211-=x y k EB ，所以：212211220212121-=--=-=⋅x x x y k k EBEA ， 同理：21-=⋅FB FA k k ………….10分所以：41.=⋅⋅FB FA EB EA k k k k ，由PA EA k k =，PB FB k k =，结合（1）有 81-=⋅FB EA k k ………….10分考点：椭圆标准方程、直线与椭圆相交． 21.（本小题满分12分） 设函数()ln 1af x x x =+-（0>a ）． （Ⅰ）当301=a 时，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若)(x f 在)1,0(e 内有极值点，当)1,0(1∈x ，),1(2+∞∈x ，求证：342)()(12->-e x f x f .（ 71828.2=e ）【答案】（Ⅰ）函数单调增区间为：)65,0(，),56(+∞，函数单调减区间为：)1,65(，)56,1(； （Ⅱ）证明见解析．（Ⅱ）证明：2221(2)1()(1)(1)a x a x f x x x x x -++'=-=--， 令：0))((1)2()(2=--=++-=n x m x x a x x g ，所以：2+=+a n m ，1=mn ，若)(x f 在)1,0(e内有极值点， 不妨设e m 10<<，则：e m n >=1，且212-+>-+=ee n m a 由0)(>'xf 得：m x <<0或n x >， 由0)(<'x f 得：1<<x m 或n x <<1所以)(x f 在),0(m 递增，)1,(m 递减；),1(n 递减，),(+∞n 递增当)1,0(1∈x 时，1ln )()(1-+=≤m am m f x f ； 当),1(2+∞∈x 时，1ln )()(2-+=≥n an n f x f考点：利用导函数求单调区间，利用导数去证明函数不等式．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲如图，P 是圆O 外一点，PA 是圆O 的切线，A 为切点，割线PBC 与圆O 交于B ，C ，PA PC 2=，D 为PC 中点，AD 的延长线交圆O 于点E ，证明：（Ⅰ）EC BE =； （Ⅱ）22PB DE AD =⋅.P【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）连接AB ，AC ，因为PD PA =，故P D A PAD ∠=∠，又因为：DCA DAC PDA ∠+∠=∠，PAB BAD PAD ∠+∠=∠，根据弦切角等于同弦所对的圆周角：PAB DCA ∠=∠，所以：BAD DAC ∠=∠，从而弧BE =弧EC ，因此：EC BE =；(II)由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2和 DC PD PA ==，能得到PB DC 2=，PB BD =，再根据相交弦定理得：DC BD DE AD ⋅=⋅，所以 22PB DE AD =⋅．考点：圆的性质．23.（本题满分10分）选修4——4 坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数），直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 23321,(t 为参数).以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为 )2,3(π.（Ⅰ）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，求PB PA +的值.【答案】（Ⅰ）)3,0(P ，115522=+y x ；（Ⅱ）6． 【解析】考点：坐标系与参数方程，直线与曲线相交． 24.（本题满分10分）选修4——5 不等式选讲 已知函数5)(++-=x a x x f .（Ⅰ）若1=a ，解不等式：52)(+≥x x f ； （Ⅱ）若8)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）{}2-≤x x ；（Ⅱ） 3≥a 或13-≤a . 【解析】试题分析：（Ⅰ）当1=a 时，写出不等式，运用零点分区间的方法，讨论3≥x 时，当21≤x 时，当321<<x 时，去掉绝对值解不等式，然后取并集；（Ⅱ）因为55+≥++-a x a x ，所以将8)(≥x f 转化85≥+a 就可以解出来.试题解析：（Ⅰ）当1=a 时，0)51)(42(5152)(≥---+⇔+≥-⇒+≥x x x x x x x f 解得：2-≤x ，所以原不等式解集为{}2-≤x x ………5分（Ⅱ）5)5(5)(+=+--≥++-=a x a x x a x x f ，若8)(≥x f 恒成立， 只需：85≥+a解得：3≥a 或13-≤a ………10分 考点：不等式求解，恒成立．。

2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4} 3．（5分）等比数列{a n}中，a3＝﹣2，a11＝﹣8，则a7＝（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣54．（5分）已知向量，，若，则t＝（）A．0B．C．﹣2D．﹣35．（5分）执行如图的程序框图，若输出T的值为，则“？”处可填（）A．n＜6B．n＜5C．n＜4D．n＜36．（5分）将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）A．240B．480C．720D．9607．（5分）函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（）A．B．8πC．6πD．9．（5分）F1，F2是双曲线的左右焦点，过F1且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若α∩β＝m，n∥α，n∥β，则m∥nD．若α⊥β，且α∩β＝m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥β11．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖．甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”．四位同学的话恰有两句是对的，则（）A．甲和乙不可能同时获奖B．丙和丁不可能同时获奖C．乙和丁不可能同时获奖D．丁和甲不可能同时获奖12．（5分）已知当x∈（1，+∞）时，关于x的方程有唯一实数解，则k 值所在的范围是（）A．（3，4）B．（4，5）C．（5，6）D．（6，7）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设随机变量X～B（6，），则P（X＝3）＝．14．（5分）已知递增的等差数列{a n}的前三项和为﹣6，前三项积为10，则前10项和S10＝．15．（5分）函数在闭区间上的最小值是．16．（5分）设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若（a﹣c）（sin A+sin C）＝b（sin A﹣sin B）．（1）求角C；（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值．18．（12分）经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：，，（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9～1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06～1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12～1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的 1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为菱形，∠BAD＝120°，AB＝2，E，F为CD，AA1中点．（1）求证：DF∥平面B1AE；（2）若AA1⊥底面ABCD，且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为，求AA1的20．（12分）椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），若椭圆过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A，B为椭圆的左、右顶点，P（x0，y0）（y0≠0）为椭圆上一动点，设直线AP，BP 分别交直线l：x＝6于点M，N，判断线段MN为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1，曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线经过点（e，0）．（1）证明：f（x）≥0；（2）若当x∈[1，+∞）时，，求p的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝，∴复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4}【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}．故选：B．3．（5分）等比数列{a n}中，a3＝﹣2，a11＝﹣8，则a7＝（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣5【解答】解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，∴a7＝﹣＝﹣＝﹣4．故选：A．4．（5分）已知向量，，若，则t＝（）A．0B．C．﹣2D．﹣3【解答】解：∵，，∴，，由，得2（2+2t）+（2﹣t）＝0，即t＝﹣2．故选：C．5．（5分）执行如图的程序框图，若输出T的值为，则“？”处可填（）A．n＜6B．n＜5C．n＜4D．n＜3【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T＝1+ xdx+x2dx+…的值，由题意，T＝1+xdx+x2dx+…+x n dx＝，可得：1+x2|+x3|+…+x n+1|＝，可得：1++…+＝，解得：n＝3，即当n＝3时满足条件，当n＝4时不满足条件，退出循环，可得判断框内的条件为n＜4？故选：C．6．（5分）将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）A．240B．480C．720D．960【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个位置，有A44＝24种情况，②，4人排好后有5个空位，在其中任选2个，一个空位安排2个空座位，另一个安排一个空座位，有A52＝20种情况，则恰有两个空位相邻的不同坐法有24×20＝480种；故选：B．7．（5分）函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝e x+＝e x+1﹣，当x→﹣∞时，f（x）→1，故排除A，B，当x＞0时，f′（x）＝e x+，∵f′（1）＝e+，f（2）＝e2+，∴f′（1）＜f′（2），当x＞0时，函数的变化越来越越快，故排除C，故选：D．8．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（）A．B．8πC．6πD．【解答】解：由几何体的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，底面是等腰直角三角形，斜边长为2，高为1，棱柱的高为：2．四棱锥的外接球的直径是三棱柱面积比较大的侧面的对角线的长度，外接球的半径为：．所以三棱柱外接球的表面积为：4＝8π．故选：B．9．（5分）F1，F2是双曲线的左右焦点，过F1且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：解：设F（﹣c，0），则过F作斜率为1的直线为：y＝x+c，而渐近线的方程是：y＝±x，由得：A（﹣，﹣），由得，B（﹣，），∵，则⇒b＝2a，则双曲线的离心率为e＝，故选：B．10．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若α∩β＝m，n∥α，n∥β，则m∥nD．若α⊥β，且α∩β＝m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥β【解答】解：A选项不正确，因为α⊥β，m⊥β时，可能有m⊂α；B选项不正确，因m∥α，n⊂α，则m∥n或异面．C选项正确，因为α∩β＝m，n∥α，n∥β，则画图如下：必有m∥n，D选项不正确，画图如下：故选：C．11．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖．甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”．四位同学的话恰有两句是对的，则（）A．甲和乙不可能同时获奖B．丙和丁不可能同时获奖C．乙和丁不可能同时获奖D．丁和甲不可能同时获奖【解答】解：假设甲、乙、丙获奖，丁没获奖，则甲、丙说的是假话，乙、丁说的是真话，符合题意；假设甲、乙、丁获奖，丙没获奖，则甲、丙、丁说的是真话，乙说的是假话，不符合题意；假设甲、丙、丁获奖，乙没获奖，则甲、乙说的是真话，丙、丁说的是假话，符合题意；假设乙、丙、丁获奖，甲没获奖，则甲、乙、丙说的是假话，丁说的是真话，不符合题意．综上，乙和丁不可能同时获奖．故选：C．12．（5分）已知当x∈（1，+∞）时，关于x的方程有唯一实数解，则k 值所在的范围是（）A．（3，4）B．（4，5）C．（5，6）D．（6，7）【解答】解：由方程，得xlnx+（2﹣k）x＝﹣k即xlnx＝（k﹣2）x﹣k，关于x的方程有唯一实数解，即函数y＝xlnx与y＝（k﹣2）x﹣k的图象有唯一交点，由y＝xlnx，得y′＝lnx+1，由y′＞0，得x＞，由y′＜0，得0＜x＜．∴y＝xlnx在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数．画出函数y＝xlnx与y＝（k﹣2）x﹣k的图象如图：直线y＝（k﹣2）x﹣k过定点P（1，﹣2），设过点P的直线与y＝xlnx相切于（x0，x0lnx0），则切线的斜率为lnx0+1＝k﹣2，∴切线方程为y﹣x0lnx0＝（lnx0+1）（x﹣x0），把（1，﹣2）代入，可得﹣2﹣x0lnx0＝（lnx0+1）（1﹣x0）＝lnx0﹣x0lnx0+1﹣x0，即lnx0+3﹣x0＝0．令g（x）＝lnx+3﹣x，则g′（x）＝﹣1＜0（x＞1），∴g（x）＝lnx+3﹣x在（1，+∞）上为减函数，由g（4）＞0，g（5）＜0，∴x0∈（4，5），则k∈（ln4+3，ln5+3）⊂（4，5），故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设随机变量X～B（6，），则P（X＝3）＝．【解答】解：∵随机变量X服从二项分布B（6，），∴P（X＝3）＝C36（）3×（1﹣）3＝．故答案为：．14．（5分）已知递增的等差数列{a n}的前三项和为﹣6，前三项积为10，则前10项和S10＝85．【解答】解：设此等差数列的公差为d＞0，a2＝a，则a﹣d+a+a+d＝﹣6，（a﹣d）a（a+d）＝10，联立解得：a＝﹣2，d＝3．∴a1＝﹣2﹣3＝﹣5．∴S10＝﹣5×10+＝85．故答案为：85．15．（5分）函数在闭区间上的最小值是﹣．【解答】解：，＝cos x（）﹣，＝，＝，由于：，则：，则函数的取值范围为：，则函数的最小值为：﹣．故答案为：﹣16．（5分）设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝．【解答】解：∵抛物线方程为y2＝2x，∴焦点F的坐标为（，0），准线方程为x＝﹣如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则，|BF|＝x2+＝x2+＝2，∴x2＝把x2＝代入抛物线y2＝2x，得，y2＝﹣，∴直线AB过点与（，﹣）方程为x+（﹣）y﹣3＝0，代入抛物线方程，解得，x1＝2∴|AE|＝2+＝，∵在△AEC中，BN∥AE，∴，＝＝故答案为三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若（a﹣c）（sin A+sin C）＝b（sin A﹣sin B）．（1）求角C；（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理得（a﹣c）（a+c）＝b（a﹣b），∴a2﹣c2＝ab﹣b2，∴，即，∵0＜C＜π，∴则．（2）由正弦定理，∴a＝4sin A，b＝4sin B，，∴周长l＝a+b+c＝＝＝＝＝，∵，∴，∴当，即时，，∴当时，△ABC 周长的最大值为．18．（12分）经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：，，（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9～1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06～1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12～1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的 1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？【解答】解：（1）由表中数据，可得散点图：（如下）（2）∴回归直线方程为．（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为0.91×70+88.05＝151.75（mmHg）∵∴收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为菱形，∠BAD＝120°，AB＝2，E，F为CD，AA1中点．（1）求证：DF∥平面B1AE；（2）若AA1⊥底面ABCD，且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为，求AA1的长．【解答】证明：（1）设G为AB1的中点，连EG，GF，因为FG，又DE，所以FG DE，所以四边形DEGF是平行四边形，所以DF∥EG又DF⊄平面B1AE，EG⊂平面B1AE，所以DF∥平面B1AE．解：（2）因为ABCD是菱形，且∠ABD＝60°，所以△ABC是等边三角形取BC中点G，则AG⊥AD，因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AG，AA1⊥AD建立如图的空间直角坐标系，令AA1＝t（t＞0），则A（0，0，0），，，D1（0，2，t），，，，设平面B1AE的一个法向量为，则且，取，设直线AD1与平面B1AE所成角为θ，则，解得t＝2，故线段AA1的长为2．20．（12分）椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），若椭圆过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A，B为椭圆的左、右顶点，P（x0，y0）（y0≠0）为椭圆上一动点，设直线AP，BP 分别交直线l：x＝6于点M，N，判断线段MN为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由．【解答】解：（1）由已知c＝1，∴a2＝b2+1①∵椭圆过点，∴②联立①②得a2＝4，b2＝3，∴椭圆方程为；（2）设P（x0，y0），已知A（﹣2，0），B（2，0），∵y0≠0，∴x0≠±2∴AP，BP都有斜率∴，∴，③∵，∴，④将④代入③得，设AP方程y＝k（x﹣2），∴BP方程，∴，由对称性可知，若存在定点，则该定点必在x轴上，设该定点为T（t，0），则，∴，∴（6﹣t）2＝24，∴，∴存在定点或以线段MN为直径的圆恒过该定点．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1，曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线经过点（e，0）．（1）证明：f（x）≥0；（2）若当x∈[1，+∞）时，，求p的取值范围．【解答】解：（1）证明：函数f（x）＝x﹣alnx﹣1的导数为f′（x）＝1﹣，曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线为y＝f′（1）（x﹣1），即y＝（1﹣a）（x﹣1）由题意得0＝（1﹣a）（e﹣1），解得a＝1，所以f（x）＝x﹣lnx﹣1，从而，因为当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）在区间（0，1）上是减函数，区间（1，+∞）上是增函数，从而f（x）≥f（1）＝0；（2）由题意知，当x∈[1，+∞）时，p+lnx≠0，所以p＞0，从而当x∈[1，+∞）时，p+lnx＞0，由题意知，即[（p﹣1）x+1]lnx﹣px+p≥0，其中x∈[1，+∞），设g（x）＝[（p﹣1）x+1]lnx﹣px+p，其中x∈[1，+∞）设h（x）＝g'（x），即h（x）＝（p﹣1）lnx+﹣1，其中x∈[1，+∞）则，其中x∈[1，+∞），①当p≥2时，因为x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，所以h（x）是增函数；从而当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）＝0，所以g（x）是增函数，从而g（x）≥g（1）＝0．故当p≥2时符合题意；②当1＜p＜2时，因为时，h'（x）＜0，所以h（x）在区间上是减函数，从而当时，h（x）＜h（1）＝0，所以g（x）在上是减函数，从而，故当1＜p＜2时不符合题意．③当0＜p≤1时，因为x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，所以h（x）是减函数，从而当x∈（1，+∞）时，h（x）＜h（1）＝0，所以g（x）是减函数，从而g（2）＜g（1）＝0，故当0＜p≤1时不符合题意．综上p的取值范围是[2，+∞）．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．【解答】（1）曲线C1的参数方程（θ为参数）可化为普通方程x2+（y﹣1）2＝1，由，可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+cos2θ）＝2．（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的交点A的极径为，射线（ρ＞0）与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．【解答】解：（1）f（x）+f（x+1）＜5，即|2x﹣1|+|2x+1|＜5；当时，不等式化为1﹣2x﹣2x﹣1＜5，∴；当时，不等式化为1﹣2x+2x+1＜5，不等式恒成立；当时，不等式化为2x﹣1+2x+1＜5，∴；综上，集合；（2）证明：由（1）知m＝1，则a+b+c＝1；则；同理；则；即M≥8．。

吉林省长市东北师大附中高考数学三模试卷 理(含解析)

吉林省长市东北师大附中高考数学三模试卷 理(含解析)

吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|2x+1≥4}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）2．（5分）若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+1≤3x0B．∀x∈R，x2+1≤3xC．∀x∈R，x2+1＜3x D．∀x∈R，x2+1＞3x3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S5=15，则a6等于（）A．8 B．7 C．6 D．54．（5分）“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．36．（5分）设α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，则cosβ=（）A．B．﹣C．或﹣D．或7．（5分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，则f（x）的最小正周期T和其图象的一条对称轴方程是（）A．2π，x=B．2π，x=C．π，x=D．π，x=8．（5分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣3x，则其导函数f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A．ln2 B．﹣ln2 C．+ln2 D．9．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2C．4 D．210．（5分）若f（x）的定义域为R，f′（x）＞2恒成立，f（﹣1）=2，则f（x）＞2x+4解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）11．（5分）设0＜a≤1，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为（）A．（0，1] B．（0，e﹣2] C．[e﹣2，1] D．[1﹣，1]12．（5分）定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，2n]（n∈N*）内的所有零点的和为（）A．n B．2n C．（2n﹣1）D．（2n﹣1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=（x＞0）的最大值为．14．（5分）△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且a2=b（b+c），则=．15．（5分）函数f（x）=xln（ax）（a＜0）的递增区间是．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=5，a n=2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3），则a20﹣3a19=．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．己知csinA=ccosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．18．（12分）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令c n=1﹣（﹣1）n a n，不等式c k≥2014（1≤k≤100，k∈N*）的解集为M，求所有a k（k∈M）的和．19．（12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立．课程[来初等代数平面几何初等数论微积分初步合格的概率（Ⅰ）求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（Ⅱ）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F为棱AA1上的动点，A1A=4，AB=AC=2．（1）当F为A1A的中点，求直线BC与平面BFC1所成角的正弦值；（2）当的值为多少时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m，n是正数，且m≠n，求证：＜．吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|2x+1≥4}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的交集运算进行求解．解答：解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜3}，故选C．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+1≤3x0B．∀x∈R，x2+1≤3xC．∀x∈R，x2+1＜3x D．∀x∈R，x2+1＞3x考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是∀x∈R，x2+1≤3x，故选B．点评：本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S5=15，则a6等于（）A．8 B．7 C．6 D．5考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列性质计算可得，也可由S5=15直接求公差．解答：解：，公差d=1，所以a6=6，故选：C．点评：本题考查数列的第6项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．（5分）“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性．专题：函数的性质及应用．分析：由“λ＜1”可得 a n+1﹣a n＞0，推出“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”．由“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，不能推出“λ＜1”，由此得出结论．解答：解：由“λ＜1”可得 a n+1﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1＞0，故可推出“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，故充分性成立．由“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”可得 a n+1﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n ﹣2λ+1＞0，故λ＜，故λ＜，不能推出“λ＜1”，故必要性不成立．故“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，数列的单调性的判断方法，属于基础题．5．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．解答：解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．点评：本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）设α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，则cosβ=（）A．B．﹣C．或﹣D．或考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：注意到角的变换β=α﹣（α﹣β），再利用两角差的余弦公式计算可得结果．解答：解：∵α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，∴sinα==；同理可得，∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=•+•=，故选：A．点评：本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．7．（5分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，则f（x）的最小正周期T和其图象的一条对称轴方程是（）A．2π，x=B．2π，x=C．π，x=D．π，x=考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：先化简即可求周期与对称轴方程．解答：解：=，∴T=π，对称轴：，∴，当k=0时，．故选D．点评：本题考查三角函数图象与性质，两角和与差的三角函数，基本知识的考查．8．（5分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣3x，则其导函数f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A．ln2 B．﹣ln2 C．+ln2 D．考点：定积分在求面积中的应用；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：由题可得f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为：，代入计算可得结果．解答：解：令f'（x）=0，得：或1，所以f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为：=；故选B．点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积．9．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2C．4 D．2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵lg2x+lg8y=lg2，∴lg（2x•8y）=lg2，∴2x+3y=2，∴x+3y=1．∵x＞0，y＞0，∴==2+=4，当且仅当x=3y=时取等号．故选C．点评：熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键．10．（5分）若f（x）的定义域为R，f′（x）＞2恒成立，f（﹣1）=2，则f（x）＞2x+4解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：导数的概念及应用．分析：利用条件，构造函数，利用函数的单调性和函数的取值进行求解．解答：解：设F（x）=f（x）﹣2x﹣4，则F'（x）=f'（x）﹣2，因为f′（x）＞2恒成立，所以F'（x）=f'（x）﹣2＞0，即函数F（x）在R上单调递增．因为f（﹣1）=2，所以F（﹣1）=f（﹣1）﹣2（﹣1）﹣4=2+2﹣4=0．所以所以由F（x）=f（x）﹣2x﹣4＞0，即F（x）=f（x）﹣2x﹣4＞F（﹣1）．所以x＞﹣1，即不等式f（x）＞2x+4解集为（﹣1，+∞）．故选B．点评：本题主要考查导数与函数单调性的关系，利用条件构造函数是解决本题的关键．11．（5分）设0＜a≤1，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为（）A．（0，1] B．（0，e﹣2] C．[e﹣2，1] D．[1﹣，1]考点：函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：运用导数可得f（x），g（x）在x∈[1，e]时单调递增，要使对任意的x1，x2∈[1，e]，有f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x）min≥g（x）max．解答：解：由于，，∵x∈[1，e]，0＜a≤1，∴f'（x）＞0，g'（x）＞0，即f（x），g（x）在x∈[1，e]时单调递增，由任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，所以f（x）min≥g（x）max，即f（1）≥g（e），∴1+a≥e﹣1，∴a≥e﹣2，又0＜a≤1，得e﹣2≤a≤1，故选C．点评：本题考查函数的单调性的运用，考查运用导数判断函数的单调性，考查不等式恒成立问题转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．12．（5分）定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，2n]（n∈N*）内的所有零点的和为（）A．n B．2n C．（2n﹣1）D．（2n﹣1）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x ＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．解答：解：当时，f（x）=8x﹣8，所以，此时当时，g（x）max=0；当时，f（x）=16﹣8x，所以g（x）=﹣8（x﹣1）2+2＜0；由此可得1≤x≤2时，g（x）max=0．下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，由函数f（x）的定义知，因为，所以，此时当x=3•2n﹣2时，g（x）max=0；当3•2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，．由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max=0．综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间[2n﹣1，2n]上有1个零点，从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．故选：D点评：本题属于根的存在性及根的个数的判断的问题，是一道较复杂的问题，首先它是分段函数，各区间上的函数又很复杂，挑战人的思维和耐心．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=（x＞0）的最大值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：思路点拨令t=2x+1（t＞1），原式==，利用基本不等式即可得出．解答：解：令t=2x+1（t＞1），原式==，∵，当且仅当t=时取等号．∴原式，故最大值为．点评：本题考查了换元法、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．14．（5分）△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且a2=b（b+c），则=．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形为a2=b2+bc代入，约分后再将b+c=代入，利用正弦定理化简得到sinA=2sinBcosB=sin2B，进而得到A=2B，即可求出所求式子的值．解答：解：∵a2=b（b+c），即a2=b2+bc，b+c=，∴由正弦、余弦定理化简得：cosB======，则sinA=sin2B，即A=2B或A+2B=π，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，且a2=b（b+c）=b2+bc，∴cos A===＞0，即c＞b，∴C＞B，∵A+B+C=π，∴A+2B＜π，故A+2B=π不成立，舍去，∴A=2B，则=．故答案为：点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．15．（5分）函数f（x）=xln（ax）（a＜0）的递增区间是．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求单调区间先求定义域，再根据f'（x）＞0解出x的范围即可．解答：解：∵a＜0，∴定义域为（﹣∞，0），f'（x）=ln（ax）+1，当f'（x）＞0时，函数f（x）递增，此时，故递增区间为．故答案为：点评：本题考查函数的导数的应用，函数的单调区间的求法，考查分析问题解决问题的能力．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=5，a n=2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3），则a20﹣3a19=﹣1．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：把给出的数列递推式变形，得到等比数列{a n﹣3a n﹣1}，求出其通项公式即可．解答：解：由a n=2a n﹣1+3a n﹣2，得a n﹣3a n﹣1=﹣（a n﹣1﹣3a n﹣2）（n≥3），∵a1=2，a2=5，∴a2﹣3a1=5﹣3×2=﹣1≠0，∴数列{a n﹣3a n﹣1}是以﹣1为首项，以﹣1为公比的等比数列，∵a20﹣3a19是这个数列的第19项，∴，故答案为：﹣1．点评：本题考查了递推式的变形、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．己知csinA=ccosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（I）根据正弦定理算出csinA=asinC，与题中等式比较可得，结合C为三角形内角，可得C的大小；（II）余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，列式解出a=5，b=1，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△ABC的面积．解答：解：（I）根据正弦定理，可得csinA=asinC，∵，∴，可得，得，∵C∈（0，π），∴；（II）∵∴sinC=sin（A+B）∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵A、B、C为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a (1)由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴ (2)由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．点评：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于基础题．18．（12分）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令c n=1﹣（﹣1）n a n，不等式c k≥2014（1≤k≤100，k∈N*）的解集为M，求所有a k（k∈M）的和．考点：数列递推式；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公比为q，由a52=a10，可得，解得a1=q．再利用2（a n+a n+2）=5a n+1，可得q，即可得出a n．（II）由（I）可得：．当n为偶数，不成立．当n为奇数，，可得n=2m+1，得到m的取值范围．可知{a k}（k∈M）组成首项为211，公比为4的等比数列．求出即可．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公比为q，∴，解得a1=q，又∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴则2（1+q2）=5q，2q2﹣5q+2=0，解得（舍）或q=2．∴．（Ⅱ）由（I）可得：，当n为偶数，，即2n≤﹣2013，不成立．当n为奇数，，即2n≥2013，∵210=1024，211=2048，∴n=2m+1，5≤m≤49，∴{a k}（k∈M）组成首项为211，公比为4的等比数列．则所有a k（k∈M）的和．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．19．（12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立．课程[来初等代数平面几何初等数论微积分初步合格的概率（Ⅰ）求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（Ⅱ）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为，由事件A，B，C，D相互独立能求出结果．（II）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：=．（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，，，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P∵，∴．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F为棱AA1上的动点，A1A=4，AB=AC=2．（1）当F为A1A的中点，求直线BC与平面BFC1所成角的正弦值；（2）当的值为多少时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面BFC1所成角的正弦值．（2）求出平面BFC1的一个法向量，利用向量法能求出当时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．解答：解：（1）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），∵F为AA1r 中点，∴，设是平面BFC1的一个法向量，则，得x=﹣y=z取x=1，得，设直线BC与平面BFC1的法向量的夹角为θ，则，∴直线BC与平面BFC1所成角的正弦值为．（2）设，设是平面BFC1的一个法向量，则，取z=2，得是平面FC1C的一个法向量，，得，即，∴当时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角为45°时点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知得：，2b=2，易得双曲线标准方程；（Ⅱ））设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，代入即可求解．解答：解：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，2b=2，又a2+b2=c2，解得a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，有，，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，∴y1y2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，∴，∴3m2﹣16mk+20k2=0．解得m=2k或m=．当m=2k时，l的方程为y=k（x+2），直线过定点（﹣2，0），与已知矛盾；当m=时，l的方程为y=k（x+），直线过定点（﹣，0），经检验符合已知条件．故直线l过定点，定点坐标为（﹣，0）．点评：本题主要考查双曲线方程的求解，以及直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m，n是正数，且m≠n，求证：＜．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，对a分情况讨论，（1）当0≤a≤2时，（2）当a＜0或a＞2时，求出导数为0的根，即可得到单调区间；（Ⅱ）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证，根据题意得到g（x）在x≥1时单调递增，且，利用函数的单调性可得证．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（1，+∞），，令h（x）=x2﹣2ax+2a，由题意得x2（x﹣1）＞0，则△=4a2﹣8a=4a（a﹣2），对称轴为x=a，（1）当0≤a≤2时，h（x）≥0，即f′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上递增；（2）当a＜0或a＞2时，h（x）=0的两根为，，由h（1）=1﹣2a+2a=1＞0，a＞2，得1＜x1＜x2，当x∈（x1，x2）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（1，x1）∪（x2，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）递增，所以f（x）的递增区间为，减区间为．a＜0时，对称轴在y轴左边，那么一根必然为负值，虽然有一根大于零，但由于此时h（1）=1﹣2a+2a=1＞0，也就是在对称轴与1之间产生了一个零点，而函数定义域为（1，+∞），所以此时原函数在（1，+∞）恒为增函数．（Ⅱ）要证，只需证，即，即，设，由题知g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又，所以，即成立，得到．点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，考查不等式的证明，正确利用函数的单调性是关键．。

2018长春三模理科数学含答案 吉林省长春市普通高中2018届高三质量检测(三)数学(理)试卷

2018长春三模理科数学含答案 吉林省长春市普通高中2018届高三质量检测(三)数学(理)试卷

长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. A3. C4. D5.C6. D7. A8. B9. B 10. D 11. B 12. B简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合的运算. 【试题解析】C {|11},{|03},(1,3)A x x B x x A B =-<<=<<=-.故选C.2. 【命题意图】本题考查复数.【试题解析】A ,||1z i z ==.故选A.3. 【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题.【试题解析】C 由算筹含义. 故选C.4. 【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质.【试题解析】D 由函数是偶函数，排除A ，C ，当(0,)2x π∈，tan 0x >.故选D.5. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由题意知，,12a k k ππ=-+∈Z .故选C.6. 【命题意图】本题主要考查算法的相关知识.【试题解析】D 根据程序框图.故选 D 7. 【命题意图】本题考查计数原理的应用.【试题解析】A 由题意知23223224A A A =.故选A.8. 【命题意图】本题主要考查三视图问题.【试题解析】B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，123V =⋅=故选B.9. 【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识.【试题解析】B 由题意知60B =︒，由余弦定理，224ac a c =+-，故22424ac a c ac =+-≥-，有4ac ≤，故1sin 2ABC S ac B ∆=≤故选B. 10. 【命题意图】本题主要考查球的相关问题.【试题解析】D 折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为，5π.故选D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由双曲线可知122213,4PF F S m m ∆=-==，从而e =.故选B.12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】B 令()()2=+F x f x x ，有()()20''=+>F x f x ，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f ，因为2(log |31|)3|31|-<--x xf 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<x x f ，令2log |31|=-xt ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2log |31|1-<x ，从而0|31|2x<-<，解得1,<x 且0≠x . 故选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 9 14. 1.7 15. (,1][4,)-∞-+∞16. 48-简答与提示：13. 【命题意图】本题考查线性规划问题.【试题解析】由可行域可确定目标函数在(1,4)处取最大值9. 14. 【命题意图】本题考查回归方程的相关知识.【试题解析】将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，则4 6.7m =， 解得 1.675m =，即精确到0.1后m 的值约1.7.15. 【命题意图】本题考查分段函数的相关知识.【试题解析】当10,()2,12x x x ≤≥≤-，当20,log 2,4x x x >≥≥，故(,1][4,)-∞-+∞. 16. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识. 【试题解析】由题意可知其最小值为48-三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和. 【试题解析】解：（1）2n S n n =-，∴令1n =，10a =()121n n n a S S n -=-=-，()2n ≥∴()21n a n =- 又数列{}n b 为等比，222b a ==，458b a == ∴2424bq b ==，又各项均为正∴2q =，∴12n n b -= （2）由（1）得：()12nn c n =-⋅∴()()()23021231212n n T n =+-⋅+-⋅++-⋅()23122212n n =⋅+⋅++-⋅()()341212222212n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅()2341222212n n n T n +-=++++--⋅()()2112121212n n n -+-=--⋅-()112124n n n ++=--⋅-∴()1224n n T n +=-⋅+18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识.【试题解析】解：（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =， （2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，则()()1227312122121021031221|.()50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为4,5P =X 的可能取值为0，1，2，3. ()033410(1)5125P X C ∴==-=，()112344121()(1)55125P X C ==-=()221344482()(1)55125P X C ==-=，()3334643()5125P X C ===~(3,)5X B ，()3.55E X np ==⨯=19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】答案：（1）取PC 中点M ，连接MF DM , F M , 分别是PB PC ,中点， CB MF CB MF 21,//=∴，E 为DA 中点，ABCD 为矩形，CB DE CB DE 21,//=∴，DE MF DE MF =∴,//，∴四边形DEFM 为平行四边形⊄∴EF DM EF ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面RDC（2）⊥PA 平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A -则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D 111(0,0,),(,,0)222E F设平面EFC 法向量为1(,,)n x y z =，111(,,)222EF =-，11(,,1)22FC =-则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n FC n EF ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+021210z y x z y x ，取()2,1,31-=n 则设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =，(1,0,1)PD =-，(1,1,1)PC =-则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022n PC n PD ， 即⎩⎨⎧=++-=+-00z y x z x ， 取()1,0,12=n 121212311021cos ,||||n nn n n n ⨯+-⨯+⨯⋅<>===⋅∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为1475. 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻 辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1)设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，并去 除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为221(2)43x y x +=≠-. （2）设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得22(34)690m y mx ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有12122269,,3434m y y y y m m --+==++则2212(1)||34m AB m +==+， 点(2,0)P -到直线l(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ的面积222112(1)23434m S m m +=⨯=++令1t t ≥，有224241313t S t t t==++，函数13y t t =+在[1,)+∞上单调递增， 有134t t +≥，故2242461313t S t t t==≤++，即四边形APBQ 面积的最大值为6.21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解：（1）()f x 的定义域为x R ∈且单调递增，∴在x R ∈上，()240x af x x e'=-+≥恒成立，即：(42)x a x e ≥-∴设()(42)xh x x e =- x R ∈ ，∴()(22)x h x x e '=-，∴当(,1)x ∈-∞时()0h x '>，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时()0h x '≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，∴max ()(1)2h x h e ==max [(42)]x a x e ≥-，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞ .（2）()()()245x x g x e f x x x e a ==-+-()()()122g x g x g m += [)1,m ∈+∞，∴()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+- ∴()()()1222211224545245x x m x x e x x e m m e -++-+=-+∴设()()245x x x x e ϕ=-+ x R ∈，则()()()122x x m ϕϕϕ+=， ∴()()210x x x e ϕ'=-≥ ∴()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'=令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，()0,x ∈+∞∴()()()2211m x m x F x m x e m x e +-'=+----0x > ∴0m x m x e e +->>，()()()22112220m x m x m x +----=-≥∴()0F x '≥，()F x 在()0,x ∈+∞上递增， ∴()()()02F x F m ϕ>=， ∴()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞，令1x m x =-∴()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>即：()()()1122m x x m ϕϕϕ-+>又12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即：()()122m x x ϕϕ->1x m <，2x m >∴12m x m ->，()x ϕ在x R ∈上递增∴122m x x ->，即：122x x m +<，得证.22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】 （1）联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，20πθ<≤ ，6πθ=，32=ρ交点坐标)6π.（2）设()θρ,P ，()00,θρQ 且.cos 400θρ=0[0,)2πθ∈，由已知,32QP OQ =得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052θρcos 452=∴，点P 的极坐标方程为10cos ,[0,)2πρθθ=∈.23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）当2m =-时，()41(0)32232=1(0)2345()2x x f x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪=++--⎨⎪⎪--≤-⎪⎩＜＜当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立.当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为1[2]2-，.()43+(0)3223=3(0)2343()2x m x f x x x m m x x m x ⎧+≥⎪⎪⎪=++++-⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩（2）＜＜当(,0)x ∈-∞时，()33(0)2223=343()2m x f x x x m x m x ⎧+-⎪⎪=+++⎨⎪--+≤-⎪⎩＜＜当302x -＜＜时，()=3+f x m ，当()3=432x f x x m ≤---+，单调递减，∴f (x )的最小值为3+m ，设()()20g x x x x=+<当20,x x x ->-+≥-，当且仅当2=x x --时，取等号2x x∴+≤即x g(x)取得最大值要使()2f x x x≥+恒成立，只需3m +≥-m ≥-.。

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，则A∪B等于（）A．{3，5}B．{3，4}C．{﹣9，3}D．{﹣9，3，4}2．复数z满足zi=1﹣i（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣﹣i B．﹣i C．i D．﹣i3．已知向量，，且||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），则||等于（）A．6 B．6C．12 D．124．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．25．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）A．5 B．4 C．3 D．26．某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元C．4.3亿元D．4.2亿元7．已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b8．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．πB．C．D．11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．直线kx﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长的最小值为．16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．18．（12分）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．20．（12分）已知F1，F2分别是长轴长为的椭圆C：的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l：（为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线P（x0，y0）上点P 的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2018年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，则A∪B等于（）A．{3，5}B．{3，4}C．{﹣9，3}D．{﹣9，3，4}【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】利用交集性质求出a=﹣3，从而求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，∴，解得a=﹣3，∴A={﹣9，3}，B={3，4}，A∪B={﹣9，3，4}．故选：D．【点评】本题考查交集、并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．复数z满足zi=1﹣i（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣﹣i B．﹣i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵zi=1﹣i，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．已知向量，，且||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），则||等于（）A．6 B．6C．12 D．12【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得||．【解答】解：∵||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），∴•（3﹣）=3﹣=3•12﹣2•||•cos=0，∴||=12，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式、通项公式列出方程组，由此能求出公差．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，∴，解得a3=﹣2，d=4．故选：B．【点评】本题考查公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，a，n的值，当s=时，不满足条件，退出循环，输出n的值即可．【解答】解：s=0，a=2，n=1；s=2，a=，n=2；s=，a=，n=3；s=＞3，a=；输出n=3；故选：C．【点评】本题主要考查了算法和程序框图，属于基本知识的考查．6．某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元C．4.3亿元D．4.2亿元【考点】线性回归方程．【分析】根据表中数据，计算、以及回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x=7时的值即可．【解答】解：根据表中数据，计算=×（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4，=×（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2，∴=2﹣0.8×4=﹣1.2，∴回归直线方程为=0.8x﹣1.2，计算x=7时=0.8×7﹣1.2=4.4（亿元），即2017年该公司收入为7亿元时的支出为4.4亿元．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．7．已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】a=2﹣1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，可得b＞c．即可得出．【解答】解：a=2﹣1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，∴b＞c．∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，要使z=y﹣x的最小值为﹣12，即y=x﹣12，则不等式对应的区域在y=x﹣12的上方，先作出对应的图象，由得，即C（12，0），同时C（12，0）也在直线kx﹣y+3=0上，则12k+3=0，得k=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，画出直观图如图所示；则几何体的体积为V几何体=V三棱柱+V三棱锥=××2+×××2=．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目．10．设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．πB．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由x∈[0，]求出2x+的范围，由正弦函数的图象画出函数的大致图象，由函数的图象，以及正弦图象的对称轴求出x1+x2、x2+x3的值，即可求出x1+2x2+x3的值．【解答】解：由题意x∈[0，]，则2x+∈[，]，画出函数的大致图象：由图得，当时，方程f（x）=a恰好有三个根，由2x+=得x=，由2x+=得x=，由图知，点（x1，0）与点（x2，0）关于直线对称，点（x2，0）与点（x3，0）关于直线对称，∴x1+x2=，x2+x3=，即x1+2x2+x3=+=，故选C．【点评】本题考查正弦函数的图象，以及正弦函数图象对称性的应用，考查整体思想，数形结合思想．11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与AF所成角的余弦值．【解答】解以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，∴A1（4，0，6），E（2，2，3），F（0，0，4），A（4，0，0），=（﹣2，2，﹣3），=（﹣4，0，4），设异面直线A1E与AF所成角所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）A．B．C． D．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意，可得2a≥[]min（x≥﹣2），构造函数g （x）==﹣，利用导数法可求得g（x）的极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，从而可得答案．【解答】解：f（x）=﹣x≤0在[﹣2，+∞）上有解⇔2ae x≥﹣x在[﹣2，+∞）上有解⇔2a≥[]min（x≥﹣2）．令g（x）==﹣，则g′（x）=3x2+3x﹣6﹣=（x﹣1）（3x+6+），∵x∈[﹣2，+∞），∴当x∈[﹣2，1）时，g′（x）＜0，g（x）在区间[﹣2，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；∴当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，∴2a≥﹣﹣，∴a≥．故选：C．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想，突出分离参数法、构造法与导数法的综合运用，属于难题．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是15斤．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，由等差数列的前n项和得答案．【解答】解：由题意可知等差数列中a1=4，a5=2，则S5=，∴金杖重15斤．故答案为：15斤．【点评】本题考查等差数列的前n项和，是基础的计算题．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x•sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），（2分）f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x（4分）．故答案为：y=x．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．直线kx﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长的最小值为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点的距离为，因此最短弦长为．【解答】解：由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点（0，1））的距离为，当圆心到直线kx﹣3y+3=0的距离最大时（即等于圆心（1，3）到定点（0，1））的距离）所得弦长的最小，因此最短弦长为2=．故答案为：2．【点评】题考查直线和圆的位置关系，以及最短弦问题，属于中档题16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点F作的垂线方程为，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．【解答】解法一：由，可知A为BF的中点，由条件可得，则Rt△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k==tan=，即离心率e===．解法二：设过左焦点F作的垂线方程为联立，解得，，联立，解得，，又，∴y B=﹣2y A∴3b2=a2，所以离心率．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2017•长春三模）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（1）∵，∴，∴当时，f（x）取得最小值2．（2）∵f（A）=4，∴，又∵BC=3，∴，∴9=（b+c）2﹣bc．，∴，∴，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．18．（12分）（2017•长春三模）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）根据已知可得频率，进而得出矩形的高=，即可得出图形．（II）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，利用超几何分布列的计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户更稳定．（4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，；P（X=2）= =；．所以X的分布列为．（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式、分层抽样，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•长春三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M （2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•长春三模）已知F1，F2分别是长轴长为的椭圆C：的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由已知2a=2，解得a=，记点P（x0，y0），k OM=，可得k OM•=•利用斜率计算公式及其点P（x0，y0）在椭圆上，即可得出．（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，记A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）由已知2a=2，解得a=，记点P（x0，y0），∵k OM=，∴k OM•=•=•=，又点P（x0，y0）在椭圆上，故+=1，∴k OM•=﹣=﹣，∴，∴b2=1，∴椭圆的方程为．（4分）（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，记A（x1，y1），B（x2，y2）．由韦达定理可得，可得，故AB中点，QN直线方程：，∴，已知条件得：，∴0＜2k2＜1，∴，∵，∴．（12分）【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•长春三模）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；（2）问题转化为证明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e ﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=，f（x）的定义域是（0，+∞），x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值．（2）要证f（e+x）＞f（e﹣x），即证：，只需证明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）．设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），，∴F（x）＞F（0）=0，故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），即f（e+x）＞f（e﹣x），（3）证明：不妨设x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e，由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2），又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，∴2e﹣x1＜x2，即x1+x2＞2e，∴，∴f'（x0）＜0．【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017•长春三模）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l：（为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线P（x0，y0）上点P 的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线l的距离公式能求出点M到直线l的最大距离．【解答】解：（1）由曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，得直角坐标方程，直线l：，消去参数，可得普通方程l：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，M到l的距离d==，从而最大值为．（10分）【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，参数方程的运用．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2017•长春三模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．。

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)含解析

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)含解析

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)含解析2018年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1.已知复数z=1+2i，则z²+4z+3的值为（）。

A．5 B．5+4i C．-3 D．3-4i2.已知集合A={x|x²-2x-3<0}，B={x||x|<2}，则A∩B=（）。

A．{x|-2<x<2} B．{x|-2<x<3} C．{x|-1<x<3} D．{x|-1<x<2}3.设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a³>|b|³”的（）。

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.直线x-3y+3=0与圆(x-1)²+(y-3)²=10相交所得弦长为（）。

A．√5 B．2√5 C．4 D．35.下列命题中错误的是（）。

A．如果平面α外的直线a不平行于平面α，则内不存在与a平行的直线。

B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γ。

C．如果平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β。

D．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交。

6.在平面内的动点（x，y）满足不等式|x+2|+|y-1|≤5，则z=2x+y的最大值是（）。

A．-4 B．4 C．-2 D．27.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）。

A．4 B．8 C．16 D．328.某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作ai（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（）。

A．求24名男生的达标率 B．求24名男生的不达标率C．求24名男生的达标人数 D．求24名男生的不达标人数9.等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）。

高三数学-【数学】吉林省东北师大附中2018届高三上学期第三次模底考试(理) 精品

高三数学-【数学】吉林省东北师大附中2018届高三上学期第三次模底考试(理) 精品

东北师大附中2018—2018学年度上学期高三年级第三次摸底考试数学试题（理科）说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置． 4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案． 参考公式：圆锥表面积公式：()S r r l π=+（r 是圆锥底面半径，l 是母线） 圆锥体积公式：213V r h π=（r 是圆锥底面半径，h 是高）球体积公式：343R V π=（R 是球的半径）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．已知集合{}x x y x M 32+-==，{}|||2N x x =>，则MN =（ ）A ．{}|13x x <<B ．{}|03x x <<C ．{}|23x x <<D ．{}32≤<x x2．命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（ ）A ．不存在0x ∈R ， 02x>0 B ．存在0x ∈R ，02x ≥0C ．对任意的x ∈R ，2x≤0 D ．对任意的x ∈R ， 2x>03．已知：090711090711...a log .b log .c .===，，，则a b c ，，的大小关系为 （ ）A ．c b a <<B ．b c a <<侧视图正视图C．cab<<D．c4．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为：（）A．224cmπ，312cmπB．215cmπ，312cmπC．224cmπ，336cmπD．以上都不正确5．已知函数()sin(0)4f x x x Rπωω=+∈>，的最小正周期为π，为了得到函数()cosg x xω=的图象，只要将()y f x=的图象（）A．向左平移8π个单位长度B．向右平移8π个单位长度C．向左平移4π个单位长度D．向右平移4π个单位长度6．关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是：（）A．βα//,//nm且βα//，则nm//；B．βα⊥⊥nm,且βα⊥，则m//n；C．βα//,nm⊥且βα//，则nm⊥；D．βα⊥nm,//且βα⊥，则nm//．7．若实数a满足()12a y y y R>---∈恒成立，则函数()()256af x log x x=-+的单调减区间为（）A．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,25B．()+∞,3C．⎪⎭⎫⎝⎛∞-25,D．()2,∞-8．正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为（）A B．33C．36D．229．已知向量()()75751515a cos sinb cos sin|a b|==-，，，，那么的值是（）A．21B．22C．23D．110．已知数列{}n a 是正项等比数列，{}n b 是等差数列，且68a b =，则一定有 （ ） A ．7993b b a a +≤+ B ．7993b b a a +≥+C ．7993b b a a +>+D ．7993b b a a +<+11．定义两种运算：22b a b a -=⊕，2)(b a b a -=⊗，则()()222xf x x ⊕=-⊗是（ ）函数．（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数12．已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <， 25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n N *∈）的前n 项和等于3231，则n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ． 7第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．） 13．函数23y x =与1x =、2x =及x 轴围成的图形的面积是 ． 14．函数)(cos x f y =的定义域为()22263k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，，则函数)(x f y =的定义域为_____________．15．()()111a m b n ==-，，，（其中m n 、为正数），若a //b ，则12m n+的最小值是 ． 16．已知三棱锥A BCO -，OA OB OC 、、两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在BCO ∆内运 动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）OAB M NCP∙17．（本题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且213*n n S a (n N )=+∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a n 的前n 项和为n T ，求数列{}n T 的通项公式． 18．（本题满分12分）如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，EB AE 3=． （Ⅰ）若FA F A 311=，求证: EF ∥面11DD C C ； （Ⅱ） 求二面角1A EC D --的正切值．19．（本题满分12分）ABC ∆的三个内角A B C ，，依次成等差数列． （Ⅰ）若C A B sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状； （Ⅱ）若ABC ∆为钝角三角形，且c a >，试求代数式212222C A A sincos +-的取值范围．A 11C20．（本题满分12分）已知()323f x x ax x.=--（1）若()f x 在[)∞+，2上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]1a ，上的最小值和最大值．21．（本题满分12分）函数()f x 对任意x R ∈都有()()11f x f x .+-= （1）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）数列{}n a 满足：()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求n a ；（3）令2221224821n n n n n b T b b b S a n==+++=--，，，试比较n T 与n S 的大小．22．（本题满分12分）设函数2()()()x f x x a x b e =-+，a b R ∈、，x a =是()f x 的一个极大值点． （Ⅰ）若0a =，求b 的取值范围；（Ⅱ） 当a 是给定的实常数，设123x x x ，，是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x R ∈，使得1234x x x x ，，，的某种排列1234,,,i i i i x x x x （其中{}1234i i i i ，，，={}1234，，，）依次成等差数列?若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 DDCAA CDBDB AB 二、填空题 13．7 14．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 15．3+ 16．6π或366π-三、解答题17．解：（Ⅰ）13a =，当2≥n 时，11213n n S a --=+， ∴ 2n ≥时，112233n n n n n a S S a a --=-=-，∴ 2n ≥时，12nn a a -=- ∴数列{}n a 是首项为13a =，公比为2q =-的等比数列， ()132n n a -=⋅-，*N n ∈（Ⅱ）由（Ⅰ）知，132n n n a n -=⋅∴ ()1231312232422n n T n -=+⋅+⋅+⋅++⋅()()123123122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅∴ ()2313122222n n n T n --=+++++-⋅∴ 123212n n n T n ⎡⎤--=-⋅⎢⎥-⎣⎦∴ 33232n n n T n =+⋅-⋅18．解法1(Ⅰ)法1：连1A B ，∵EB AE 3=.FA F A 311=∴31==FA AFEB AE ,∴FE ∥B A 1，又C D 1∥B A 1∴FE ∥面11DD C C法2：利用平面11ABB A //平面11DD C C ，直接得证. (Ⅱ)过点D 作DG EC ⊥,连接1D G .由1DD ⊥平面ABCD 得1D G CE ⊥,又DG EC ⊥，1DG DD D ⋂=,CE ∴⊥平面1D DG.1CE D G ∴⊥,1D GD ∴∠就是二面角1A EC D --的平面角.设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为4，则1,3==EB AE.CE =DEC ∆中，由等面积法，DG ==. ∴1D DG ∆中，114DD tan D GD DG === 解法2：向量法（略）19．解：（Ⅰ）∵C A B sin sin sin 2=，∴ ac b =2.∵C B A ,,依次成等差数列，∴B C A B -=+=π2,3π=B .由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，ac ac c a =-+22，∴c a =.∴ABC ∆为正三角形. （Ⅱ）212cos 2sin 32sin2-+A A C =21sin 232cos 1-+-A C=12223sin A cos A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭=A A A sin 43cos 41sin 23-+=A A cos 41sin 43+ =)6sin(21π+A ∵223A ππ<<,∴25366A πππ<+<，∴126sin A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭，11426sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭. ∴代数式232cos 2sin 32sin 2++A A C 的取值范围是14⎛ ⎝⎭，. 20．【解析】（1）由题知，()2323f x x ax '=--，令()()02f x x '>≥，得312a x .x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭记()312t x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当2x ≥时，()t x 是增函数， ()3192224min t x ⎛⎫∴=⨯-= ⎪⎝⎭，94a ∴<，又94a =时，()29332f x x x '=--=32375416x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在[)2+∞，上恒大于等于0，94a ∴=也符合题意，94a .∴≤ （2）由题意，得()30f '=，即276304a a --=∴=，， ()()32243383f x x x x f x x x .'∴=--=--，令()0f x '=，得12133x x =-=，， 又[]1143x x ∈∴=-，，舍，故3x =，当()()()130x f x f x '∈<∴，，，在()13，上为减函数； 当()()()0x f x f x '∈>∴3，4，，在()34，上为增函数，3x ∴=时()f x 有极小值.于是，当[]14x ,∈时，()()318min f x f ==-，而()()16412f f =-=-，，()()16max f x f .∴==-21．【解析】（1）令12x =， 则有11111111222222f f f f .f .⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）令1x n=，得1111f f .n n ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即111n f f .n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()12110n n n a f f f f f .n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加得：()()()()11201101n n a f f ff f f n n n ⎡-⎤⎛⎫⎛⎫=++++++=+⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，12n n a n N *.+∴=∈， （3）2221n n b a n==-， 1n =时，n n T S =； 2n ≥时，222122*********n n T b b b n ⎛⎫∴=+++=++++⎪⎝⎭()1114112231n n ⎡⎤≤++++⎢⎥⨯⨯-⎣⎦=411111112231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=41428n S n n⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ n n T S .∴≤22．解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识．（Ⅰ）解：0a =时，()()2x f x x x b e =+，()()()()()22232x x x f x x x b e x x b e e x x b x b '''⎡⎤⎡⎤∴=+++=+++⎣⎦⎣⎦，令()()232g x x b x b =+++，()()2238180b b b ∆=+-=-+>， ∴设12x x <是()0g x =的两个根，（1）当10x =或20x =时，则0x =不是极值点，不合题意；（2）当10x ≠且20x ≠时，由于0x =是()f x 的极大值点，故120x x .<<()00g ∴<，即20b <，0b .∴<(Ⅱ)解：()()x f x e x a '=-2(3)2x a b x b ab a ⎡⎤+-++--⎣⎦，令2()(3)2g x x a b x b ab a =+-++--，22=(3)4(2)(1)80a b b ab a a b ∆-+---=+-+>则，于是，假设12x x ，是()0g x =的两个实根，且12x x .<由（Ⅰ）可知，必有12x a x <<，且12x a x 、、是()f x 的三个极值点，则1x =2x =假设存在b 及4x 满足题意，（1）当12x a x ，，等差时，即21x a a x -=-时，则422x x a =-或412x x a =-，于是1223a x x a b =+=--，即3b a .=--此时4223x x a a b =-=--+a a =+或4123x x a a b =-=--a a =- （2）当21x a a x -≠-时，则212()x a a x -=-或12()2()a x x a -=-①若()122x a a x -=-，则224x a x +=， 于是()()2813323221+-+---=+=b a b a x x a ， 即()().33812++-=+-+b a b a两边平方得()()2191170a b a b +-++-+=，30a b ++<，于是1a b +-=，此时b a =- 此时224x a x +==()().231343332++=--=++---+a b b a b a a ②若12()2()a x x a -=-，则214x a x +=，于是2132a x x =+=，()33a b .=++两边平方得()()2191170a b a b +-++-+=，30a b ++>，于是1a b +-=92-，此时b a =-此时142(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++===--=+综上所述，存在b 满足题意，当b =－a －3时，4x a =±72b a +=--时，412x a =+，72b a -=--时，412x a =+.。

吉林省长春市东北师大附中高考数学三模试卷(理科)

吉林省长春市东北师大附中高考数学三模试卷(理科)

高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合，集合B={x|1＜x＜2}，则A∪B=（）A. {x|x＜2}B. {x|0＜x＜2}C. {x|0＜x≤1}D. ∅3.已知命题p：，则￢p为（）A. B.C. D.4.等差数列{a n}中，若（a1+a4+a7）+3a9=15，则此数列的前12项和S12=（）A. 24B. 30C. 36D. 485.已知向量，=（2，x-3），，若且，则x的值为（）A. 2B. -2C. 1D. -16.已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，给出下列四个结论：①ab＞ac；②c（b-a）＞0；③cb＜ab；④，其中正确结论的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，BC=2，D，E分别是AC1，BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）A.B.C.D.8.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A. 图象关于直线对称B. 图象关于点对称C. 在上的最大值为D. 的单调递减区间为9.已知a＞0，b＞0，且ab=2a+b，若a+2b≥m2-8m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. 或C. -1≤m≤9D. m≥9或m≤-110.在正项等比数列{a n}中，a3=2，16a52=a2a6，则数列{a n}的前n项积T n中最大的值是（）A. T3B. T4C. T5D. T611.如图，将平面直角坐标系的格点（横，纵坐标均为整数点）按如下规则标上数字标签：原点处标0，点（1，0）处标1，点（1，-1）处标2，点（0，-1）处标3，点（-1，-1）处标4，点（-1，0）点标5，点（-1，1）处标6，点（0，1）处标7，以此类推，则标签20192的格点坐标为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=，g（x）=（其中e为自然对数的底数）．当k∈（0，-）时，函数h（x）=f[g（x）]-k的零点个数为（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x,y满足约束条件,则的最小值是______.14.已知向量，向量在方向上的投影为，且，则=______15.函数，其中e是自然对数的底数，若f(a-3)+f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是______．16.在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P-BD-C的大小为120°，则三棱锥P-BCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=3，S3=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列的前n项和为T n，求T n的最小值．18.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos C（a cos B+b cos A）=c（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若△ABC的中线CD的长为，求△ABC的面积的最大值．19.已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞0，当x∈[-3，a]时，求函数f（x）的最大值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，△PAD为等边三角形，且侧面PAD与底面ABCD垂直，，AD=CD=2AB，E为PD的中点，（Ⅰ）证明：AE∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A-PB-C的余弦值．21.设圆x2+y2=1与x轴交于两点A，B，曲线C上的任意一点P都满足，O为坐标原点（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若圆x2+y2=1的切线与曲线C交于两点M，N，求△OMN面积的最大值22.已知函数，（Ⅰ）过点（0，0）作函数f（x）图象的切线，求该切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）有且只有两个零点，求实数a．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】B【解析】解：A={x|0＜x≤1}；∴A∪B={x|0＜x＜2}．故选：B．可求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法的定义，对数函数的单调性和定义域，以及并集的运算．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：，则￢p为：．故选：C．4.【答案】B【解析】解：等差数列{a n}中，若（a1+a4+a7）+3a9=15，由于：a1+a7=2a4，所以：3a4+3a9=15，整理得：a4+a9=a1+a12=5，则：．故选：B．直接利用等差数列的性质和前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的坐标计算，涉及向量垂直与平行的判定，属于基础题．根据题意，由向量数量积的性质可得若，则•=2+x（x-3）=0，即x2-3x+2=0，由向量平行的判断方法可得若，则1×4=x2，联立两个式子分析可得x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量，=（2，x-3），，若，则•=2+x（x-3）=0，即x2-3x+2=0，①若，则1×4=x2，②，联立①②可得：x=2，故选：A．6.【答案】B【解析】解：因为c＜b＜a且ac＜0，所以a＞0，c＜0，∴ab-ac=a（b-c）＞0，故①正确；c（b-a）＞0，故②正确；cb-ab=b（c-a）的符号不确定，③不正确；当b＜0时，由c＜b可得＞，④不正确；故选：B．因为c＜b＜a且ac＜0，所以a＞0，c＜0，根据不等式的性质作差比较可得①②正确，b的符号不确定可得③④不正确．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面BB1C1C所成的角的正弦值．【解答】解：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，且，，BC=2，∴AB2+BC2=AC2，即AB⊥BC，又BB1⊥平面ABC，所以以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵D，E分别是AC1，BB1的中点，设AA1=t，∴A（0，，0），C1（2，0，t），D（1，，），E（0，0，），=（-1，-，0），取平面BB1C1C的法向量=（0，1，0），设直线DE与平面BB1C1C所成的角为θ，则sinθ=|cos<>|===．∴直线DE与平面BB1C1C所成的角的正弦值为．故选A．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象和性质，三角函数图象的平移，考查了逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．根据题意得到函数g（x）的解析式，利用正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）=sin[2（x-）-]=sin（2x-），对于A，g（）=sin（2×-）≠±1，不是最值点，错误；对于B，g（）=sin（2×-）≠0，错误；对于C，x∈，2x-∈[-π，]，可得g（x）max=g（）=sin=，故正确；对于D，令2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数g（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z，故错误．故选C．9.【答案】C【解析】解：a＞0，b＞0，且ab=2a+b，∴1=+，∴a+2b=（a+2b）（+）=1+4++≥5+2=9，当且仅当a=b=3时取“=”；若a+2b≥m2-8m恒成立，则9≥m2-8m，即m2-8m-9≤0，解得-1≤m≤9，∴实数m的取值范围是[-1，9]．故选：C．由题意化ab=2a+b为1=+，利用基本不等式求出a+2b的最小值，再解关于m的一元二次不等式即可．本题考查了基本不等式与不等式恒成立应用问题，是基础题．10.【答案】A【解析】解：依题意，数列{a n}是等比数列，所以16a52=a2a6=，所以q2=，又因为数列{a n}为正项等比数列，所以q=，所以a n==2•43-n=27-2n，令a n＞1，即27-2n＞1，得n＜，因为n∈N*，所以n≤3，要使数列{a n}的前n项积T n中T3最大，故选：A．根据a3=2，16a52=a2a6，求出数列{a n}的通项公式，计算出T n的表达式，讨论其指数的最值即可．本题考查了等比数列的性质、通项公式、前n项积的最大值等．属于中档题．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知平面直角坐标系的格点的规则，找出表上数字标签所示的规律，是解答的关键．考查学生的观察能力．根据条件寻找规律，归纳出其中奇数平方坐标的位置出现的规律，即可得到答案．【解答】解：观察已知中点（1，0）处标1，即12，点（2，1）处标9，即32，点（3，2）处标25，即52，…由此推断点（n+1，n）处标（2n+1）2，当2n+1=2019时，n=1009，故标签20192的格点的坐标为（1010，1009），故选B．12.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2|x|-x2为偶函数，且f（x）的最大值为1，作出f（x）的图象；由g（x）=的导数为g′（x）=，可得x＞-1时，g（x）递增，x＜-2或-2＜x＜-1时，g（x）递减，x=-1取得极小值，作出g（x）的图象，函数h（x）=f[g（x）]-k的零点个数，即为f[g（x）]=k的解的个数，可令t=g（x），k=f（t），若k∈（0，-），则k=f（t）有4解，两个负的，两个正的（一个介于（0，），一个大于1），则t=g（x）有4解，符合题意．故选：B．分别讨论函数f（x），g（x）的性质和画出图象，函数h（x）=f[g（x）]-k的零点的个数，即为f[g（x）]=k的解的个数，可令t=g（x），k=f（t），通过图象观察，分析即可得到结论．本题考查复合函数的图象交点问题，以及函数的零点个数，考查数形结合思想方法，以及分类讨论思想方法，属于中档题．13.【答案】-6【解析】【分析】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合解题方法，是基础题．画出约束条件表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值．【解答】解：画出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数z=x-2y过点C时，z取得最小值，由，解得C（-2，2），所以z的最小值为z=-2-2×2=-6．故答案为：-6．14.【答案】3【解析】解：依题意，向量，所以==，向量在方向上的投影为，即=，所以=5．2=|-|=，即4=，所以=4+2×5-5=9，所以=3．故填：3．向量，所以==，向量在方向上的投影为，即=，所以=5.2=|-|=，两边平方，解出即可．此题考查了平面向量模的坐标表示、向量数量积的几何意义，平面向量的性质．本题属于中档题．15.【答案】[]【解析】【分析】先判断函数f(x)的奇偶性、单调性，然后利用这些性质转化不等式．本题考查利用单调性求解函数不等式，属于中档题目．【解答】解：=-f(x)，所以f(x)为奇函数，，所以f(x)为增函数；由f(a-3)+f(2a2)≤0可知f(2a2)≤-f(a-3)=f(3-a)，即2a2≤3-a，解之得．故答案为．16.【答案】【解析】【分析】本题考查了棱锥与外接球的关系，是较难题．设菱形中心为E，则△BCD为等边三角形，利用球的对称性以及等边三角形的性质和勾股定理求出球的半径，则答案可求．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，A=60°，∴△BCD是等边三角形，过球心O作OO'⊥平面BCD，则O'为等边三角形BCD的中心，设AC，BD交于点E，则∠PEA=60°，∵AB=2，∴CE=，∴EO'=，CO'=，过点P作PH⊥AC于H，,设外接球半径为R，,则,,解得,∴三棱锥P-BCD的外接球的表面积为S=．故答案为：．17.【答案】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，且a1=3，S3=15．可得3×3+3d=15，解得d=2，则a n=3+2（n-1）=2n+1；（Ⅱ）S n=n（3+2n+1）=n（n+2），==（-），T n=（1-+-+…+-+-）=（--），由T n=（--）为N*上的增函数，可得T n的最小值为T1=．【解析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得S n=n（n+2），==（-），再由数列的裂项相消求和和数列的单调性，可得所求最小值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵2cos C（a cos B+b cos A）=c，∴由正弦定理可得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，可得：2cos C sinC=sin C，∵C∈（0，π），sin C＞0，∴解得cos C=，可得：C=．（Ⅱ）∵∠ADC=π-∠BDC，可得：cos∠ADC=-cos∠BDC，∴由余弦定理可得：=-，解得：c2=2（a2+b2）-12，又由C=，利用余弦定理可得：c2=a2+b2-ab，∴2（a2+b2）-12=a2+b2-ab，整理可得：a2+b2=12-ab≥2ab，即：ab≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，∴S△ABC=ab sin C≤=，当且仅当a=b=2时等号成立，即△ABC的面积的最大值为．【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cos C=，结合C的范围可得C的值．（Ⅱ）由cos∠ADC=-cos∠BDC，利用余弦定理解得：c2=2（a2+b2）-12，又由C=，利用余弦定理可得：c2=a2+b2-ab，联立结合基本不等式可求ab≤4，利用三角形的面积公式即可计算得解．19.【答案】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=x2+2x，令f′（x）≥0⇒x≥0或≤-2，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），（-∞，-2）；单调减区间为（-2，0）；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的图象如下（a＞0）．可得f（-2）=f（1），∴当a∈（0，1]时，f（x）max=f（-2）=．当a∈（1，+∞）时，f（x）max=f（a）=+a2+a．【解析】（Ⅰ）求得函数的导数f′（x）=x2+2x，利用导数与单调性关系求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的图象，又可得f（-2）=f（1），分当a∈（0，1]与a∈（1，+∞）讨论即可．本题考查了利用导数求函数的单调性及最值．属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：取AD的中点O，以O为原点，建立坐标系如图，不妨设AB=1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（-1，2，0），P（0，0，），E（-，0，），∴，，，设是平面PBC的法向量，则，∴，取x=1，可得=（1，2，），∵==0，∴，又AE⊄平面PBC，∴AE∥平面PBC；（Ⅱ）设是平面APB的法向量，由（1）知，，则，∴，取，设二面角A=PB-C的平面角为θ，cosθ=||==．故二面角A-PB-C的余弦值为．【解析】（Ⅰ）以AD的中点O为原点建立空间坐标系，找到平面PBC的法向量，计算=0，即，得证；（Ⅱ）找到平面APB的法向量，由二面角的余弦公式可得解．此题考查了利用空间向量研究线面平行，求解二面角等，难度适中．21.【答案】解：（Ⅰ）设A（-1，0），B（1，0），∵＞|AB|，∴P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其中c=1，a=，则b2=1，C的方程为+y2=1（Ⅱ）由已知△OMN的面积S=|MN|×1=|MN|，当直线MN的斜率不存在时，|MN|=，则三角形OMN的面积S=，当斜率存在时，设为k，则MN：y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由判别式△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）＞0得2k2-m2+1＞0，由直线MN与圆相切得=1，即m2=k2+1，代入2k2-m2+1＞0得k2＞0，则x1+x2=-，x1x2=，则|MN|=•=•=2•=•==，∵k2＞0，∴0＜＜1，∴，0＜＜，则0＜|MN|＜，综上可知当直线MN与x轴垂直时，△OMN的面积最大，最大值为．【解析】（Ⅰ）求出A，B的坐标，结合椭圆的定义得到P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，进行求解即可（Ⅱ）结合三角形的面积公式，得到S=|MN|×1=|MN|，讨论直线MN的斜率是否成立，联立方程组，利用设而不求思想进行转化求解即可．本题主要考查轨迹方程的求解，结合椭圆的定义，利用定义法先求出轨迹方程，然后利用设而不求思想联立方程组进行转化求解是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.【答案】解：（Ⅰ）设切点为（m，n），可得n=，函数的导数为f′（x）=，可得切线的斜率为==，解得m=0或-1，即切线的斜率为2或e，可得切线的方程为y=2x或y=ex；（Ⅱ）若函数g（x）有且只有两个零点，即为e x=a（x+），即=有两个实根，函数的导数为f′（x）=，可得-＜x＜时，f（x）递增；x＞或x＜-时，f（x）递减，且f（-）=（2-2）e为极小值，f（）=为极大值，作出f（x）的图象，由图象可得=，解得a=e（-1），或（2-2）e＜＜0，解得a＜-（+1）e，可得实数a的范围是a=e（-1）或a＜-（+1）e．【解析】（Ⅰ）设切点为（m，n），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得m，即有切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）有且只有两个零点，即为e x=a（x+），即=有两个实根，考虑f（x）的图象，结合图象可得a的范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查方程思想和转化思想，以及数形结合思想，属于综合题．。

吉林省长春市东北师大附中高考数学三模试卷 文(含解析)

吉林省长春市东北师大附中高考数学三模试卷 文(含解析)

吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题，共60分1．（5分）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）2．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x3．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|4．（5分）函数的图象（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称5．（5分）已知条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣3 D．a≤﹣36．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则sinC=（）A．0 B．2 C．1 D．﹣18．（5分）若b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（）A．＞B．|a|＞|b| C．+＞2 D．a+b＞ab9．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（）A．B．C．D．10．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是数列{a n}的前n项和，若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S5等于（）A．15 B．31 C．32 D．5111．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且∀x∈∈R，f（x）=f（x+4）．当x∈∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f﹣f的值为（）A．﹣B．0 C．D．112．（5分）已知直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有四个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）其中x1＜x2＜x3＜x4，则有（）A．sinx4=1 B．sinx4=（x4+1）cosx4C．sinx4=kcosx4D．sinx4=（x4+1）tanx4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）sin15°+cos15°=．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，则a99=．15．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是．16．（5分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点，若某函数f（x）图象恰好经过n个格点，则称此函数为n阶格点函数，给出以下函数：①f（x）=x2，②f（x）=In|x|；③；④．其中所有满足二阶格点函数的序号是．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}前 n项和为S n，且S n=n2，（1）求{a n}的通项公式（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）若函数f（x）=cosxsin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）写出函数f（x）在[0，π]上的单调区间．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2B，．（Ⅰ）求cosA及sinC的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积．20．（12分）某单位用2560万元购得一块空地，计划在这块地上建造一栋至少12层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥12）层，则每平方米的平均建筑费用为520+50x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值为多少元？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx（a≤0）．（Ⅰ）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）有唯一零点，求实数m的取值范围．吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题，共60分1．（5分）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合B，然后直接求解A∩B．解答：解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，故选：D．点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．2．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：∃x0∈R，=x0．故选：D．点评：本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．3．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．解答：解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．点评：本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．4．（5分）函数的图象（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称考点：奇偶函数图象的对称性．专题：函数的性质及应用．分析：将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．解答：解：因为═，所以f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），所以函数f（x）是偶函数，即函数图象关于y轴对称．故选A．点评：本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．5．（5分）已知条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣3 D．a≤﹣3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：综合题；简易逻辑．分析：把充分性问题，转化为集合的关系求解．解答：解：∵条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件∴集合q是集合p的真子集，q⊊P即a≥1故选：A点评：本题考察了简易逻辑，知识融合较好．6．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．7．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则sinC=（）A．0 B．2 C．1 D．﹣1考点：正弦定理．专题：计算题．分析：根据已知三内角的关系，利用内角和定理可求出B的度数，进而求出sinB和cosB的值，由a，b及cosB的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后再由b，c及sinB的值，利用正弦定理求出sinC的值即可．解答：解：由A+C=2B，且A+B+C=π，得到B=，所以cosB=，又a=1，b=，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即c2﹣c﹣2=0，因式分解得：（c﹣2）（c+1）=0，解得c=2，c=﹣1（舍去），又sinB=，b=，根据正弦定理=得：sinC===1．故选C点评：此题考查了正弦定理，余弦定理以及特殊角的三角函数值，根据已知角度的关系，利用三角形内角和定理求出B的度数是本题的突破点，熟练掌握定理是解本题的关键．8．（5分）若b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（）A．＞B．|a|＞|b| C．+＞2 D．a+b＞ab考点：不等关系与不等式．专题：常规题型．分析：利用不等式的基本性质，两个负数取倒数或去绝对值不等式方向应该改变，得到AB 不正确，在根据均值不等式得到C是正确的，对于显然知道a+b＜0而ab＞0故D也不正确．解答：解：∵b＜a＜0∴取倒数后不等式方向应该改变即＜，故A不正确∵b＜a＜0∴两边同时乘以﹣1后不等式方向应该改变﹣b＞﹣a＞0即|a|＜|b|，故B不正确∵b＜a＜0根据均值不等式知：+＞2故C正确∵b＜a＜0∴a+b＜0，ab＞0∴a+b＜ab故D不正确故选C点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．9．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：由题意可知，A、T利用T求出ω，利用（）再求φ即可．解答：解：由图象可知，A=2，，T=π，所以ω=2函数y=Asin（ωx+φ）=2sin（2x+φ），当x=时，y=2，因为2sin（+φ）=2，|φ|＜，所以φ=故选C．点评：本题考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，考查学生分析问题和解决问题的能力，是基础题．10．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是数列{a n}的前n项和，若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S5等于（）A．15 B．31 C．32 D．51考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：解一元二次方程由题意可得a1=1，a3=4，公比q=2，由等比数列的求和公式可得．解答：解：解方程x2﹣5x+4=0可得两个根为1和4，由题意得a1=1，a3=4，公比q=2，∴，故选：B点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题．11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且∀x∈∈R，f（x）=f（x+4）．当x∈∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f﹣f的值为（）A．﹣B．0 C．D．1考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意得周期T=4，可得f﹣f=f（﹣1）﹣f（1）=2f（﹣1），运用已知区间上的解析式即可求解．解答：解：∀x∈∈R，f（x）=f（x+4）可得周期T=4，f﹣f=f（﹣1+4×504）﹣f（1+4×503）=f（﹣1）﹣f（1），由f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）﹣f（1）=2f（﹣1），由于x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（﹣1）=2﹣1=，即有f﹣f=2×=1．故选D．点评：本题考查函数的奇偶性和周期性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）已知直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有四个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）其中x1＜x2＜x3＜x4，则有（）A．sinx4=1 B．sinx4=（x4+1）cosx4C．sinx4=kcosx4D．sinx4=（x4+1）tanx4考点：正弦函数的图象．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：依题意，在同一坐标系中作出直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象，利用导数的几何意义可求得切线的斜率，从而将切点坐标代入直线方程（即切线方程）即可求得答案．解答：解：∵直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有四个公共点，如图：当x∈（π，2π）时，函数y=|sinx|=﹣sinx，y′=﹣cosx，依题意，切点坐标为（x4，y4），又切点处的导数值就是直线y=k（x+1）（k＞0）的斜率k，即k=﹣cosx4，∴y4=k（x4+1）=﹣cosx4（x4+1）=|sinx4|=﹣sinx4，∴sinx4=（x4+1）cosx4，故选：B．点评：本题考查正弦函数的图象，着重考查导数的几何意义的应用，考查等价转化思想与数形结合思想的综合应用，考查作图能力与分析、运算能力，属于难题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）sin15°+cos15°=．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：原式提取，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，即可得到结果．解答：解：sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°）=sin（15°+45°）=sin60°=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，则a99=5049．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：根据递推公式a1=2，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，利用累加法和等差数列的前n项和公式求出a99的值．解答：解：由题意知，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，所以a2﹣a1=3，a3﹣a2=4，a4﹣a3=5，…，a99﹣a98=100，上述各式相加得：a99﹣a1=3+4+5+ (100)又a1=2，则a99=2+3+4+5+…+100==5049，故答案为：5049．思路点拨由递推公式相加易得a99=2+3+4+5+…+100=5049．点评：本题考查数列的递推公式的应用，等差数列的前n项和公式，以及累加法求数列的项，难度不大．15．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是4．考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可．解答：解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4．点评：本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．16．（5分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点，若某函数f（x）图象恰好经过n个格点，则称此函数为n阶格点函数，给出以下函数：①f（x）=x2，②f（x）=In|x|；③；④．其中所有满足二阶格点函数的序号是2，4．考点：函数的图象．专题：新定义．分析：①当x=﹣2，0，2，…，f（x）=x2，有无数个格点；②只有x=±1时，f（x）=In|x|=0，满足横、纵坐标均为整数；③当x=0，﹣1，﹣2…，均为整数，及该函数有无数个格点；④=2+，只有x=1与x=3时，满足题意．解答：解：①当x=﹣2，0，2，…，f（x）=x2，有无数个格点，可排除A；对于f（x）=In|x|，只有x=±1时，f（x）=In|x|=0，满足横、纵坐标均为整数，故②为二阶格点函数；③当x=0，﹣1，﹣2…，均为整数，及该函数有无数个格点，故可排除C；对于④，=2+，显然只有x=1与x=3时，满足横、纵坐标均为整数，故④为二阶格点函数．故答案为：②④．点评：本题考查函数的图象，着重考查基本初等函数的性质，注重排除法与转化法的考查，属于中档题．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}前 n项和为S n，且S n=n2，（1）求{a n}的通项公式（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）将S n=n2中的n用n﹣1代替仿写出一个新的等式，两个式子相减，即得到函数的通项公式．（2）将a n的值代入b n，将其裂成两项的差，利用裂项求和的方法求出数列{b n}的前 n项和T n．解答：解：（1）∵S n=n2∴S n﹣1=（n﹣1）2两个式子相减得a n=2n﹣1；（2）=（故Tn=+++…+==点评：求数列的前n项和问题，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法，常见的求和方法有：公式法、倒序相加的方法、错位相减法、裂项相消法、分组法．18．（12分）若函数f（x）=cosxsin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）写出函数f（x）在[0，π]上的单调区间．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）先化简f（x）=cosxsin（x+）=sin（2x+）+，由正弦函数的性质即可求函数f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递增区间，由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递减区间，从而可求函数f（x）在[0，π]上的单调区间．解答：解：f（x）=cosxsin（x+）=cosx（sinx+cosx）=sin（2x+）+．（Ⅰ）由正弦函数的性质：f（x）的最小正周期为T==π；最大值为．（Ⅱ）∵由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递增区间为：[k，k]，k∈Z，由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递减区间为：[k，k]，k∈Z，∴函数f（x）在[0，π]上的单调区间：函数f（x）在[0，]和[，π]上单调递增，在[，]上单调递减．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，A=2B，．（Ⅰ）求cosA及sinC的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积．考点：解三角形；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据cosA=cos2B=1﹣2sin2B，及，可求cosA及sinC的值；（Ⅱ）先计算sinA的值，再利用正弦定理，确定a的值，过点C作CD⊥AB于D，利用c=acosB+bcosA，即可求得三角形的面积．解答：解：（Ⅰ）因为A=2B，所以cosA=cos2B=1﹣2sin2B．…（2分）因为，所以cosA=1﹣=．…（3分）由题意可知，B，所以cosB=．…（5分）所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（8分）（Ⅱ）sinA=sin2B=2sinBcosB=因为，b=2，所以，所以a=．…（10分）由cosA=可知，A．过点C作CD⊥AB于D，所以c=acosB+bcosA=．…（12分）所以．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，考查正弦定理的运用，解题的关键是搞清三角形中边角之间的关系．20．（12分）某单位用2560万元购得一块空地，计划在这块地上建造一栋至少12层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥12）层，则每平方米的平均建筑费用为520+50x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值为多少元？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：由题意可得平均综合费y=520+50x+，利用导数求出函数的最小值以及对应的x的值．解答：解：设楼房每平方米的平均综合费为y元，依题意得；y=520+50x+=520+50x+（x≥12，且x∈N*），当x≥12时，y′=50﹣，令y′=0，即50﹣=0，解得x=16；∴当x＞16时，y′＞0；当0＜x＜16时，y′＜0；∴当x=16时，y取得极小值也是最小值，此时最小值为2120．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为16层，此时每平方米的平均综合费用的最小值为2120元．点评：本题考查了函数模型的应用问题，也考查了利用导数求函数最值的应用问题，是综合性题目．21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知得：，2b=2，易得双曲线标准方程；（Ⅱ））设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，代入即可求解．解答：解：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，2b=2，又a2+b2=c2，解得a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，有，，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，∴y1y2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，∴，∴3m2﹣16mk+20k2=0．解得m=2k或m=．当m=2k时，l的方程为y=k（x+2），直线过定点（﹣2，0），与已知矛盾；当m=时，l的方程为y=k（x+），直线过定点（﹣，0），经检验符合已知条件．故直线l过定点，定点坐标为（﹣，0）．点评：本题主要考查双曲线方程的求解，以及直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（12分）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx（a≤0）．（Ⅰ）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）有唯一零点，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）f′（x）=﹣ax+a﹣1=．此题需分a=0和a＜0两种情况讨论；（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）=mx2﹣x﹣lnx，可得g′（x）=（x＞0）．通过对m分情况讨论，利用导数研究函数的单调性极值，即可得到结果．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣ax﹣b，由f′（1）=0，得b=1﹣a．∴f′（x）=﹣ax+a﹣1=．当a=0时，f′（x）=，可得x=1是f（x）的极大值点，符合题意．当a＜0时，由f′（x）=0，得x=1或x=﹣．∵x=1是f（x）的极大值点，∴﹣1，解得﹣1＜a＜0．综上：a的取值范围是﹣1＜a≤0．（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）=mx2﹣x﹣lnx，则g′（x）=（x＞0）．令h（x）=2mx2﹣x﹣1．（1）当m=0时，g′（x）=＜0，则g（x）在（0，+∞）上为减函数．又=﹣+1＞0，g（1）=﹣1＜0，∴函数g（x）有唯一零点．（2）当m＜0时，令h（x）=2mx2﹣x﹣1的图象对称轴为x=＜0，且h（0）=﹣1＜0，∴当x＞0时，h（x）＜0．∴函数g（x）在（0，+∞）上为减函数．当x→0时，g（x）→+∞，即∃x0＞0，使g（x0）＞0，而g（1）=m﹣1＜0，∴函数g（x）存在唯一零点．（3）当m＞0时，方程2mx2﹣x﹣1=0有两个不相等的实数根x1、x2，又x1x2=﹣＜0，不妨设x1＜0，x2＞0．当0＜x＜x2时，h（x）＜0；当x＞x2时，h（x）＞0．∴函数g（x）在（0，x2）上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，∴函数g（x）有最小值g（x）min=g（x2）．要使g（x）=mx2﹣x﹣lnx存在唯一零点，应满足，即，消去m得 2lnx2+x2﹣1=0．令u（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），则+1＞0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，又h（1）=0，所以h（x）=0有唯一的实根x=1，因此x2=1，代入方程组得m=1．综上可知，m≤0或m=1．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、函数零点与函数单调性的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)
A. B. C. D.
8.某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）是（）
A. B. C. D.
9. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 面积的最大值是（）
A. B. C. D.
10.已知边长为 的等边三角形 ， 为 的中点，以 为折痕，将 折成直二面角 ，则过 ， ， ， 四点的球的表面积为（）
A. B. C. D.
4.函数 的部分图象大致为（）
A. B.
C. D.
5.将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，则 的值可以为（）
A. B. C. D.
6.如图所示的程序框图是为了求出满足 的最小偶数 ，那么空白框中的语句及最后输出的 值分别是
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
7. 本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两段端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种．
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
圆的较坐标停程【解Fra bibliotek】此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
[选修4-5：不等式选讲].
23.
【答案】
此题暂无答案
2018年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.已知复数 ，则

吉林省东北师范大学附中2018届高三三校联考数学(理)试题 Word版含答案

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俯视图侧视图正视图12222吉林省东北师范大学附中2018届高三三校联考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设全集{}8≤∈=x N x U ，集合{}7,3,1=A ，{}8,3,2=B ，则=)()(B C A C U U （ ） A ．{}8,7,2,1 B ．{}6,5,4 C ．{}6,5,4,0 D ．{}6,5,4,3,0 2．已知复数i z +=11，i z -=22，则=iz z 21 （ ） A ．i 31- B ．i 31+- C ． i 21+ D ．i 21-3．若实数数列：81,,,,1321a a a 成等比数列，则圆锥曲线1222=+a y x 的离心率是（ ）A ．10 或322 B ．10 C ． 322 D ． 31或104．函数2)(1-=-x a x f )1,0(≠>a a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=--ny mx 上，其中0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．223+ 5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ．π220+ B ．π320+ C ．π224+ D ．π324+OM CBA6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于C ︒22”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位C ︒） ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24； ③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26， 方差为2.10.则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3 7．42)2()1(-+x x 的展开式中含3x 项的系数为（ ） A ． 16 B ．40 C ．40- D ．8 8．若如图所示的程序框图输出的S 是126，则条件① 可为（ ） A ．?5≤n B ．?6≤n C ． ?7≤nD ．?8≤n9．若方程1)sin 2()cos 2(22=-+-θθy x )20(πθ<≤的任意一组解),(y x 都满足不等式x y 33≥，则θ的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,6ππ B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1213,125ππ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3 10.已知ABC ∆外接圆的圆心为O ，32=AB ，22=AC ，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则=⋅AO AM （ ）A ．3B ．4C ． 5D ．611．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点1F ，作圆222a y x =+的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）A ．MT MO a b -=-B ．MT MO a b ->-C ．MT MO a b -<-D ．MT MO a b +=-12.函数22)(42---=x x x x f .给出函数)(x f 下列性质：①函数的定义域和值域均为[]1,1-；②函数的图像关于原点成中心对称；③函数在定义域上单调递增；④⎰=badx x f 0)(（其中b a ,为函数在定义域上的积分下限和上限）；⑤N M ,为函数)(x f 图象上任意不同两点，则22≤<MN .则关于函数)(x f 性质正确描述的序号为（ ）A ．①②⑤B ．①③⑤C ．②③④D ．②④第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分） 131=2=，)2()(-⊥+，则向量与的夹角为 .14．函数x x x f sin 22cos )(-=的值域为 .15．设O 为坐标原点，)1,2(A ，若点),(y x B 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+10121122y x y x ，则OB OA ⋅的最大值是 . 16．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=2,1,21,31,21P ，集合P 的所有非空子集依次记为：3121,,,M M M ，设,,21m m 31,m 分别是上述每一个子集内元素的乘积，（如果P 的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身），那么=+++3121m m m .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知b A c C a 252cos 22cos 222=+ （Ⅰ）求证：b c a 3)(2=+； （Ⅱ）若41cos =B ，15=S ，求b .PF EDC BA如图所示，该几何体是由一个直三棱柱BCF ADE -和一个正四棱锥ABCD P -组合而成，AF AD ⊥，2==AD AE .（Ⅰ）证明：平面⊥PAD 平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥ABCD P -的高h ，使得二面角P AF C --的余弦值是322.19. （本小题满分12分）生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 [)76,70 [)82,76[)88,82[)94,88 [)100,94元件甲 8 1240 32 8 元件乙71840296（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在（Ⅰ）的前提下：（1）记X 为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）求生产5件元件乙所获得的利润不少于140元的概率椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率22=e ，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. （Ⅰ）求椭圆1C 与2C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于点E ，F .（1）求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；（2）直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值； 若不是，说明理由.21. （本小题满分12分） 设函数1ln )(-+=x ax x f ，（0>a ） （Ⅰ）当301=a 时，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若)(x f 在)1,0(e 内有极值点，当)1,0(1∈x ，),1(2+∞∈x ，求证：342)()(12->-e x f x f .（ 71828.2=e ）P请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲如图，P 是圆O 外一点，PA 是圆O 的切线，A 为切点，割线PBC 与圆O 交于B ，C ，PA PC 2=，D 为PC 中点，AD 的延长线交圆O 于点E ，证明： （Ⅰ）EC BE =； （Ⅱ）22PB DE AD =⋅.23.（本题满分10分）选修4——4 坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 15cos 5y x ，（ϕ为参数），直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=ty t x 23321,(t 为参数).以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为)2,3(π. （Ⅰ）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，求PB PA +的值.24（本题满分10分）选修4——5 不等式选讲已知函数5)(++-=x a x x f ， （Ⅰ）若1=a ，解不等式：52)(+≥x x f ； （Ⅱ）若8)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围.PF EDC BA 吉林省东北师范大学附中2018届高三三校联考数学（理）试题参考答案及评分标准一、选择题（每题5分，共60分）13.2π 14.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,3 15. 5 16. 5 三、解答题17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由条件：b A c C a 25)cos 1()cos 1(=+++， 由于：b A c C a =+cos cos ，所以：b c a 23=+， 即：b c a 3)(2=+………….5分（Ⅱ）41cos =B ，所以：415sin =B ，………….6分 151581sin 21===ac B ac S ，8=ac ………….8分 又：)cos 1(2)(cos 22222B ac c a B ac c a b +-+=-+=， 由b c a 3)(2=+，所以：)411(16452+=b ，所以：4=b ………….12分 18. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：直三棱柱BCF ADE -中，⊥AB 平面ADE ，所以：AD AB ⊥，又AF AD ⊥，所以：⊥AD 平面ABFE ，⊂AD 平面PAD ， 所以：平面⊥PAD 平面ABFE ………….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）⊥AD 平面ABFE ，以A 为原点，AD AE AB ,,方向为z y x ,,轴建立空间直角坐标系xyz A -，设正四棱锥ABCD P -的高h ，2==AD AE ， 则)0,0,0(A ，)0,2,2(F ，)2,0,2(C ，)1,,1(h P -，)0,2,2(=，)2,0,2(=，)1,,1(h -=设平面ACF 的一个法向量),,(111z y x = 则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0220221111z x y x ，取11=x ，则111-==z y ，所以：)1,1,1(--=设平面ACP 的一个法向量),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅002222222z hy x AP n y x ，取12=x ，则12-=y ，h z --=12，所以：)1,1,1(h ---=………….10分 二面角P AF C --的余弦值是322，所以：322)1(23111,cos 2=+++++=>=<h h n m ， 解得：1=h ………….12分19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：5410083240=++元件乙为正品的概率约为：4310062940=++………….4分（Ⅱ）（1）随机变量X 的所有取值为90，45，30，15-，而且534354)90(=⨯==X P ；2034351)45(=⨯==X P ； 514154)30(=⨯==X P ；2014151)15(=⨯=-=X P 所以随机变量X 的分布列为：………….8分所以：66201155130203455390)(=⨯-⨯+⨯+⨯=X E ………….9分 （2）设生产的5件元件乙中正品有n 件，则次品有n -5件， 依题意，140)5(1050≥--n n ，解得：619≥n ，所以4=n 或5=n ， 设“生产5件元件乙所获得的利润不少于140元”为事件A ，则：12881)43(41)43()(5445=+=C A P ………….12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意22=e ，设1C ：122222=+b y b x ，2C ：1422222=+b y b x ，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积2222221=⨯⨯=b b S ，解得：12=b ，所以椭圆1C ：1222=+y x ，2C ：14222=+y x ………….4分 （Ⅱ）（1）设),(00y x P ，则142220=+y x ，)0,2(-A ，)0,2(B 200+=x y k PA ，200-=x y k PB ………….6分所以：2224220202020-=--=-=⋅x x x y k k PBPA ， 直线PA ，PB 斜率之积为常数2-………….8分（2）设),(11y x E ，则122121=+y x ， 211+=x y k EA ，211-=x y k EB ，所以：212211220212121-=--=-=⋅x x x y k k EBEA ， 同理：21-=⋅FB FA k k ………….10分所以：41.=⋅⋅FB FA EB EA k k k k ，由PA EA k k =，PB FB k k =，结合（1）有 81-=⋅FB EA k k ………….10分21. （本小题满分12分）（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),1()1,0(+∞ ， 当301=a 时，2)1()56)(65()(---='x x x x x f ，…………3分 令：0)(>'x f ，得：56>x 或65<x ，所以函数单调增区间为：)65,0(，),56(+∞ 0)(<'x f ，得：5665<<x ，所以函数单调减区间为：)1,65(，)56,1(…………5分 （Ⅱ）证明：222)1(1)2()1(1)(-++-=--='x x x a x x a x x f ， 令：0))((1)2()(2=--=++-=n x m x x a x x g ，所以：2+=+a n m ，1=mn ，若)(x f 在)1,0(e内有极值点，不妨设e m 10<<，则：e m n >=1，且212-+>-+=ee n m a 由0)(>'xf 得：m x <<0或n x >， 由0)(<'x f 得：1<<x m 或n x <<1所以)(x f 在),0(m 递增，)1,(m 递减；),1(n 递减，),(+∞n 递增 当)1,0(1∈x 时，1ln )()(1-+=≤m am m f x f ； 当),1(2+∞∈x 时，1ln )()(2-+=≥n a n n f x f 所以：)1111(ln 21ln 1ln )()()()(12---+=----+=-≥-m n a n m a m n a n m f n f x f x f nn n 1ln 2-+=，e n >设：n n n n F 1ln 2)(-+=，e n >，则0212)(2>++='nn n F 所以：)(n F 是增函数，所以ee e F n F 12)()(-+=> 又：03)3)(13(331033101)342(122>---=-+-=+--=---+ee e e e e e e e e e 所以：342)()(12->-e x f x f22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲（Ⅰ）证明：连接AB ，AC ,由题设知PD PA =，故PDA PAD ∠=∠ 因为：DCA DAC PDA ∠+∠=∠，PAB BAD PAD ∠+∠=∠，由弦切角等于同弦所对的圆周角：PAB DCA ∠=∠，所以：BAD DAC ∠=∠，从而弧BE =弧EC ，因此：EC BE = ………5分（Ⅱ）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2，因为DC PD PA ==，所以：PB DC 2=，PB BD =由相交弦定理得：DC BD DE AD ⋅=⋅所以：22PB DE AD =⋅ ………10分23.（本题满分10分）选修4——4坐标系与参数方程（Ⅰ）由极值互化公式知：点P 的横坐标02cos 3==πx ，点P 的纵坐标32sin 3==πx所以)3,0(P ；消去参数ϕ的曲线C 的普通方程为：115522=+y x ………5分 （Ⅱ）点P 在直线l 上，将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得： 0822=-+t t ，设其两个根为1t ，2t ，所以：221=+t t ，821-=t t ， 由参数t 的几何意义知：64)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA .………10分24. （本题满分10分）选修4——5 不等式选讲 （Ⅰ）当1=a 时，0)51)(42(5152)(≥---+⇔+≥-⇒+≥x x x x x x x f 解得：2-≤x ，所以原不等式解集为{}2-≤x x ………5分（Ⅱ）5)5(5)(+=+--≥++-=a x a x x a x x f ，若8)(≥x f 恒成立， 只需：85≥+a解得：3≥a 或13-≤a ………10分。

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)

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2018年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合A={x||x|<1}，B={x|x(x−3)<0}，则A∪B=()A.(−1, 0)B.(0, 1)C.(−1, 3)D.(1, 3)2. 已知复数z=1+i，则|z|=()1−iA.2B.1C.0D.√23. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A. B.C. D.4. 函数f(x)=1+x2+tan x的部分图象大致为（）xA.B.C.D.5. 将函数f(x)=sin(2x+π3)的图象向右平移a个单位得到函数g(x)=cos2x的图象，则a的值可以为（）A.π12B.5π12C.11π12D.17π126. 如图所示的程序框图是为了求出满足2n−n2>28的最小偶数n，那么空白框中的语句及最后输出的n值分别是()A.n=n+1和6B.n=n+2和6C.n=n+1和8D.n=n+2和87. 6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两段端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种．A.24B.36C.48D.608. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A.4√3B.10√33C.2√3 D.8√339. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，b=2，则△ABC面积的最大值是（）A.1B.√3C.2D.410. 已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将△ABC折成直二面角B−AD−C，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（）A.3πB.4πC.5πD.6π11. 已知双曲线C:x2m2−y2m2−1=1的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为3，则该双曲线的离心率为()A.√52B.√72C.2D.312. 已知定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1, 1)，且对∀x∈R，都有f′(x)>−2，则不等式f(log2|3x−1|)<3−log√2|3x−1|的解集为（）A.(−∞, 0)∪(0, 1)B.(0, +∞)C.(−1, 0)∪(0, 3)D.(−∞, 1)二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.设实数x，y满足约束条件{y≥04x−y≥0x+y≤5，则z=x+2y的最大值为________．已知x，y取值如表：画散点图可知：y与x线性相关，且求得回归线方程为y^=x^+1，则m的值为________（精确到0.1）已知函数f(x)={(12)x ,x ≤0log 2x,x >0，若f(a)≥2，则实数a 的取值范围是________．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若|PC →|=2，则(PA →⋅PB →+4)⋅(PC →⋅PM →)的最小值为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2−n ，在正项等比数列{b n }中，b 2=a 2，b 4=a 5．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n =a n ⋅b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15, 25)，第2组[25, 35)，第3组[35, 45)，第4组[45, 55)，第5组[55, 65]，得到的频率分布直方图如图所示（1）求a 的值（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，PA =AB =1． (Ⅰ)求证：EF // 平面DCP ；(Ⅱ)求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值．在平面直角坐标系中，已知圆C1的方程为(x−1)2+y2=9，圆C2的方程为(x+1)2+ y2=1，动圆C与圆C1内切且与圆C2外切．（1）求动圆圆心C的轨迹E的方程；（2）已知P(−2, 0)与Q(2, 0)为平面内的两个定点，过(1, 0)点的直线l与轨迹E交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值．已知函数f(x)=x2−4x+5−ae(a∈R)．(Ⅰ)若f(x)在(−∞, +∞)上是单调递增函数，求a的取值范围；(Ⅱ)设g(x)=e x f(x)，当m≥1时，若g(x1)+g(x2)=2g(m)，且x1≠x2，求证：x1+x2<2m．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1:ρ=4cosθ(0≤θ<π2)，C2:ρcosθ=3．(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标；(Ⅱ)设点Q在C1上，OQ→=23QP→，求动点P的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲].已知函数f(x)=|2x|+|2x+3|+m，m∈R．(Ⅰ)当m=−2时，求不等式f(x)≤3的解集；(Ⅱ)∀x∈(−∞, 0)，都有f(x)≥x+2x恒成立，求m的取值范围．参考答案与试题解析2018年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】解不等式得出集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．【解答】集合A={x||x|<1}={x|−1<x<1}，B={x|x(x−3)<0}={x|0<x<3}，则A∪B={x|−1<x<3}=(−1, 3)．2.【答案】B【考点】复数的模【解析】通过分母有理化即得结论．【解答】∵z=1+i1−i =(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+2i+i21−i2=i，∴|z|=|i|=1，3.【答案】C【考点】进行简单的合情推理合情推理的作用【解析】由算筹含义直接求解．【解答】解：由算筹含义得到8771用算筹可表示为．故选C.4.【答案】D【考点】函数的图象变化【解析】本题主要考查函数的图象及性质．【解答】解：由函数f(x)=1+x2+tan xx易得f(x)为偶函数，则其图象关于y轴对称，排除A，C，再由f(π)=1+π2>0，排除B．故选D．5.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据三角函数的图象变换规律，即可求解．【解答】由题意知，函数f(x)=sin(2x+π3)的图象向右平移a个单位，可得y=sin[2(x−a)+π3]=sin(2x−2a+π3)；与函数g(x)=cos2x的相同，则π3−2a=π2+kπ，∴a=−12kπ−π12，令k=−1，可得：a=11π12，6.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：程序框图是为了求出满足2n−n2>28的最小偶数n，故循环变量的步长为2，即空白框中的语句为：n=n+2n=0时，执行循环体后，A=1，满足继续循环的条件．n=2；n=2时，执行循环体后，A=0，满足继续循环的条件．n=4；n=4时，执行循环体后，A=0，满足继续循环的条件．n=6；n=6时，执行循环体后，A=28，满足继续循环的条件．n=8；n=8时，执行循环体后，A=192，不满足继续循环的条件；故输出n值为8，故选D.7.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分3步进行分析：①，将甲、乙两本书必须放在两端，②，将丙、丁两本书看成一个整体，③，将丙丁这个整体与另外2本书全排列，安排在中间的3个位置，由分步计数原理计算可得答案．【解答】根据题意，分3步进行分析：①，将甲、乙两本书必须放在两端，有A22=2种情况，②，将丙、丁两本书看成一个整体，考虑2本书的顺序有A22=2种顺序，③，将丙丁这个整体与另外2本书全排列，安排在中间的3个位置，有A33=6种情况，则有2×2×6=24种不同的摆放方法；8.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】首先对三视图进行复原，进一步求出几何体的体积．【解答】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，如图所示：V=4√3−13∗2∗√3=103√3．故选：B．9.【答案】B【考点】三角形求面积【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosB=sinB，结合sinB≠0，可求cosB的值，进而可求B的值，由余弦定理，基本不等式可得：ac≤4，进而利用三角形面积公式即可得解△ABC面积的最大值．【解答】（1）∵2bcosB=acosC+ccosA，∴可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=1．B=60∘2由余弦定理可得ac=a2+c2−4，∴由基本不等式可得ac=a2+c2−4≥2ac−4，可得：ac≤4，当且仅当a=c时，“=”成立，∴从而△ABC面积S=1acsinB=√3，故△ABC面积的最大值为√3．2故选：B．10.【答案】【考点】球的体积和表面积【解析】首先对平面图形进行转换，进一步求出外接球体的半径，最后求出球的表面积．【解答】如图所示：边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将△ABC折成直二面角B−AD−C，则：AD=√3，BD＝CD＝1，设求的半径为r，故：(2r)2＝1+1+3＝5，，所以：r2=54=5π，所以S=4πr2=4π⋅54故球体的表面积为5π．故选：C．11.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】根据双曲线的定义结合直角三角形的性质建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵不妨设双曲线右支上存在一点P，使PF1⊥PF2，可得|PF1|−|PF2|=2a，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴|PF1|⋅|PF2|=2b2，∴△PF1F2的面积为12|PF1|⋅|PF2|=b2=3，即m2−1=3，∴a2=m2=4，c2=7则该双曲线的离心率为e=ca =√72．故选B.12.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】令F(x)＝f(x)+2x，求出导函数F′(x)＝f′(x)+2>0，判断F(x)在定义域内单调递增，由f(1)＝1，转化f(log2|3x−1|)<3−log√2|3x−1|为f(log2|3x−1|)+2log2|3x−1|<3，然后求解不等式即可．【解答】令F(x)＝f(x)+2x，有F′(x)＝f′(x)+2>0，所以F(x)在定义域内单调递增，由f(1)＝1，得F(1)＝f(1)+2＝3，因为f(log2|3x−1|)<3−log√2|3x−1|等价于f(log2|3x−1|)+2log2|3x−1|<3，令t=log2|3x−1|，有f(t)+2t<3，则有t<1，即log2|3x−1|<1，从而|3x−1|<2，解得x<1，且x≠0．故选：A．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.【答案】9【考点】简单线性规划【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】作出实数x，y满足约束条件{y≥04x−y≥0x+y≤5对应的平面区域，由z=x+2y，得y=−12x+z2，平移直线y=−12x+z2，由图象可知当直线y=−12x+z2经过点A时，直线y=−12x+z2的截距最大，此时z最大．由可行域可确定目标函数在A(1, 4)处取最大值9【答案】1.7【考点】求解线性回归方程【解析】将x =3.2代入回归方程为y ^=x ^+1可得y =4.2，则4m =6.7，即可得出结论． 【解答】将x =3.2代入回归方程为y ^=x ^+1可得y =4.2，则4m =6.7，解得m =1.675， 即精确到0.1后m 的值为1.7． 【答案】(−∞, −1]∪[4, +∞) 【考点】分段函数的应用 【解析】讨论a >0，a ≤0，由指数不等式、对数不等式的解法，即可得到所求范围． 【解答】函数f(x)={(12)x ,x ≤0log 2x,x >0 ， 当a ≤0，(12)a ≥2，解得a ≤−1；当a >0，log 2a ≥2，解得a ≥4， 【答案】 48−32√2 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示平面向量，求出平面向量的数量积， 再根据三角函数的性质求出平面向量数量积的最小值． 【解答】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示； 则C(0, 0)，B(2, 0)，A(0, 2)，M(1, 1)，由|PC →|=2知，点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆， 设点P(2cosθ, 2sinθ)，θ∈[0, 2π)； 则PA →=(−2cosθ, 2−2sinθ)， PB →=(2−2cosθ, −2sinθ)， PC →=(−2cosθ, −2sinθ)， PM →=(1−2cosθ, 1−2sinθ)， ∴ (PA →⋅PB →+4)⋅(PC →⋅PM →)=[(−2cosθ)(2−2cosθ)+(−2sinθ)(2−2sinθ)+4]•[(−2cosθ)(1−2cosθ) +(−2sinθ)(1−2sinθ)]=(8−4cosθ−4sinθ)(4−2cosθ−2sinθ) =8(4−4cosθ−4sinθ+2sinθcosθ+1) =8(5−4cosθ−4sinθ+2sinθcosθ)设t=sinθ+cosθ，∴t=√2sin(θ+π4)∈[−√2, √2]，∴t2=1+2sinθcosθ，∴2sinθcosθ=t2−1，∴y=8(5−4t+t2−1)=8(t−2)2，t=√2时，y取得最小值为48−32√2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】∵S n=n2−n，∴令n=1，a1=0．a n=S n−S n−1=2(n−1)，(n≥2)∴a n=2(n−1)．又∵数列{b n}为等比，b2=a2=2，b4=a5=8，∴b4b2=q2=4，又各项均为正，∴q=2，∴b n=2n−1；由（1）得：c n=(n−1)∗2n，∴T n=0+(2−1)∗22+(3−1)∗23+⋯+(n−1)∗2n=1⋅22+2⋅23+...+(n−1)⋅2n，∴2T n=23+2⋅24+……+(n−2)⋅2n+(n−1)⋅2n+1，−T n=22+23+24+⋯+2n−(n−1)∗2n+1=22(1−2n−1)−(n−1)∗2n+1=2n+1−(n−1)⋅2n+1−4，∴T n=(n−2)∗2n+1+4．【考点】数列的求和【解析】（1）由S n=n2−n，令n=1，a1=0．a n=S n−S n−1，(n≥2)，可得a n．根据数列{b n}为等比，b2=a2=2，b4=a5=8，可得b4b2=q2=4，又各项均为正，可得q，即可得出b n．（2）由（1）得：c n=(n−1)∗2n，利用错位相减法即可得出．【解答】∵S n=n2−n，∴令n=1，a1=0．a n=S n−S n−1=2(n−1)，(n≥2)∴a n=2(n−1)．又∵数列{b n}为等比，b2=a2=2，b4=a5=8，∴b4b2=q2=4，又各项均为正，∴q=2，∴b n=2n−1；由（1）得：c n=(n−1)∗2n，∴T n=0+(2−1)∗22+(3−1)∗23+⋯+(n−1)∗2n=1⋅22+2⋅23+...+(n−1)⋅2n，∴2T n=23+2⋅24+……+(n−2)⋅2n+(n−1)⋅2n+1，−T n=22+23+24+⋯+2n−(n−1)∗2n+1=22(1−2n−1)1−2−(n−1)∗2n+1=2n+1−(n −1)⋅2n+1−4， ∴ T n =(n −2)∗2n+1+4． 【答案】由频率分布直方图得：10×(0.010+0.015+a +0.030+0.010)=1， 解得a =0.035．第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人．设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ， 则P(B|A)=P(AB)P(A)=C 21C72C 123C 21C102+C22C101C 123=2150．从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为P =45， X 的可能取值为0，1，2，3．P(X =0)=C 30(1−45)3=1125， P(X =1)=C 31(45)1(1−45)2=12125，P(X =2)=C 32(45)2(1−45)1=48125， P(X =3)=C 33(45)3=64125，∴ X 的分布列为：∵ X ∼B(3, 45)，∴ E(X)=np =3×45=125．【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a ．（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人．设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，利用条件概率计算公式能求出在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率．（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为P =45，X 的可能取值为0，1，2，3．X ∼B(3, 45)，由此能求出X 的分布列和数学期望． 【解答】由频率分布直方图得：10×(0.010+0.015+a +0.030+0.010)=1， 解得a =0.035．第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人．设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ， 则P(B|A)=P(AB)P(A)=C 21C72C 123C 21C102+C22C101C 123=2150．从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为P =45， X 的可能取值为0，1，2，3．P(X =0)=C 30(1−45)3=1125，P(X =1)=C 31(45)1(1−45)2=12125， P(X =2)=C 32(45)2(1−45)1=48125， P(X =3)=C 33(45)3=64125，∴ X 的分布列为：∵ X ∼B(3, 45)，∴ E(X)=np =3×45=125．【答案】（本小题满分1【试题解析】证明：(Ⅰ)证法一：取PC 中点M ，连接DM ，MF ， ∵ M ，F 分别是PC ，PB 中点， ∴ MF ∥CB,MF =12CB ，∵ E 为DA 中点，ABCD 为正方形，∴ DE ∥CB,DE =12CB ，∴ MF // DE ，MF =DE ，∴ 四边形DEFM 为平行四边形…… ∴ EF // DM ，∵ EF 平面PDC ，DM ⊂平面PDC ，∴ EF // 平面PDC …………………………………………… 证法二：取PA 中点N ，连接NE ，NF ．∵ E 是AD 中点，N 是PA 中点，∴ NE // DP ， 又∵ F 是PB 中点，N 是PA 中点，∴ NF // AB ，∵ AB // CD ，∴ NF // CD又∵ NE ∩NF =N ，NE ⊂平面NEF ，NF ⊂平面NEF ，DP ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴ 平面NEF // 平面PCD ………………………………………又∵ EF ⊂平面NEF ，∴ EF // 平面PCD ．…………………………………………… 证法三：取BC 中点G ，连接EG ，FG ，在正方形ABCD 中，E 是AD 中点，G 是BC 中点，∴ GE // CD ，又∵ F 是PB 中点，G 是BC 中点，∴ GF // PC ，又PC ∩CD =C ，GE ⊂平面GEF ，GF ⊂平面GEF ，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴ 平面GEF // 平面PCD ……………………∵ EF ⊂平面GEF ，∴ EF // 平面PCD …………………………证法四：∵ PA ⊥平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，∴ AD ，AB ，AP 两两垂直， 以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz ，…………………则P(1, 0, 0)，D(0, 0, 1)，C(0, 1, 1)，E(0,0,12),F(12,12,0)， EF →=(12,12,−12)，………则设平面PDC 法向量为n →=(x,y,z)，PD →=(−1,0,1),PC →=(−1,1,1)则{PD →⋅n →=0PC →⋅n →=0 ，即{−x +z =0−x +y +z =0，取n →=(1,0,1)…………… n →⋅EF →=12−12=0……………………………………………∴ EF →⊥n →，又∵ EF 平面PDC ，∴ EF // 平面PDC …（2）∵ PA ⊥平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，∴ AD ，AB ，AP 两两垂直， 以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz ，………………………………………………则P(1, 0, 0)，D(0, 0, 1)，C(0, 1, 1)，E(0,0,12),F(12,12,0)设平面EFC 法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)，EF →=(12,12,−12),FC →=(−12,12,1)则{EF →⋅n 1→=0FC →⋅n 1→=0，即{x 1+y 1−z 1=0−12x 1+12y 1+z 1=0 ， 取n 1→=(3,−1,2)……则设平面PDC 法向量为n 2→=(x 2,y 2,z 2)，PD →=(−1,0,1),PC →=(−1,1,1) 则{PD →⋅n 2→=0PC →⋅n 2→=0，即{−x 2+z 2=0−x 2+y 2+z 2=0，取n 2→=(1,0,1)……… cos⟨n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|=√14×√2=5√714……… ∴ 平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为5√714……【考点】二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)法一：取PC中点M，连接DM，MF，推导出四边形DEFM为平行四边形，EF // DM，由此能证明EF // 平面PDC．法二：取PA中点N，连接NE，NF．推导出平面NEF // 平面PCD，由此能证明EF // 平面PCD．法三：取BC 中点G ，连接EG ，FG ，推导出平面GEF // 平面PCD ，由此能证明EF // 平面PCD ．法四：以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法能证明EF // 平面PDC ．(Ⅱ)以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法能求出平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值． 【解答】（本小题满分1【试题解析】证明：(Ⅰ)证法一：取PC 中点M ，连接DM ，MF ， ∵ M ，F 分别是PC ，PB 中点， ∴ MF ∥CB,MF =12CB ，∵ E 为DA 中点，ABCD 为正方形，∴ DE ∥CB,DE =12CB ，∴ MF // DE ，MF =DE ，∴ 四边形DEFM 为平行四边形…… ∴ EF // DM ，∵ EF 平面PDC ，DM ⊂平面PDC ，∴ EF // 平面PDC …………………………………………… 证法二：取PA 中点N ，连接NE ，NF ．∵ E 是AD 中点，N 是PA 中点，∴ NE // DP ， 又∵ F 是PB 中点，N 是PA 中点，∴ NF // AB ，∵ AB // CD ，∴ NF // CD又∵ NE ∩NF =N ，NE ⊂平面NEF ，NF ⊂平面NEF ，DP ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴ 平面NEF // 平面PCD ………………………………………又∵ EF ⊂平面NEF ，∴ EF // 平面PCD ．…………………………………………… 证法三：取BC 中点G ，连接EG ，FG ，在正方形ABCD 中，E 是AD 中点，G 是BC 中点，∴ GE // CD ， 又∵ F 是PB 中点，G 是BC 中点，∴ GF // PC ，又PC ∩CD =C ，GE ⊂平面GEF ，GF ⊂平面GEF ，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴ 平面GEF // 平面PCD ……………………∵ EF ⊂平面GEF ，∴ EF // 平面PCD …………………………证法四：∵ PA ⊥平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，∴ AD ，AB ，AP 两两垂直， 以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz ，…………………则P(1, 0, 0)，D(0, 0, 1)，C(0, 1, 1)，E(0,0,12),F(12,12,0)， EF →=(12,12,−12)，………则设平面PDC 法向量为n →=(x,y,z)，PD →=(−1,0,1),PC →=(−1,1,1)则{PD →⋅n →=0PC →⋅n →=0 ，即{−x +z =0−x +y +z =0，取n →=(1,0,1)…………… n →⋅EF →=12−12=0……………………………………………∴ EF →⊥n →，又∵ EF 平面PDC ，∴ EF // 平面PDC …（2）∵ PA ⊥平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，∴ AD ，AB ，AP 两两垂直， 以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz ，………………………………………………则P(1, 0, 0)，D(0, 0, 1)，C(0, 1, 1)，E(0,0,12),F(12,12,0)设平面EFC 法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)，EF →=(12,12,−12),FC →=(−12,12,1)则{EF →⋅n 1→=0FC →⋅n 1→=0，即{x 1+y 1−z 1=0−12x 1+12y 1+z 1=0， 取n 1→=(3,−1,2)……则设平面PDC 法向量为n 2→=(x 2,y 2,z 2)，PD →=(−1,0,1),PC →=(−1,1,1) 则{PD →⋅n 2→=0PC →⋅n 2→=0，即{−x 2+z 2=0−x 2+y 2+z 2=0，取n 2→=(1,0,1)……… cos⟨n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|=√14×√2=5√714……… ∴ 平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为5√714……【答案】设动圆C 的半径为r ，由题意知|CC 1|=3−r ，|CC 2|=1+r从而有|CC 1|+|CC 2|=4，故轨迹E 为以C 1，C 2为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(−2, 0)， 从而轨迹E 方程为x 24+y 23=1(x ≠−2)．设l 方程为x =my +1，联立{x 24+y 23=1x =my +1， 消去x 得(3m 2+4)y 2+6mx −9=0，设点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，有y 1+y 2=−6m3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4，有|AB|=√1+m 212√1+m 23m 2+4=12(1+m 2)3m 2+4， 点P(−2, 0)到直线了的距离为√1+m 2，点Q(2, 0)到直线了的距离为√1+m 2， 从而四边形APBQ 的面积S =12×12(1+m 2)3m 2+4√1+m2=24√1+m 23m 2+4令t =√1+m 2,t ≥1，有S =24t3t 2+1=243t+1t，由函数y =3t +1t 在[1, +∞)单调递增有3t +1t ≥4，故S =24t 3t 2+1=243t+1t≤6，四边形APBQ 面积的最大值为6．【考点】 椭圆的定义 【解析】（1）根据椭圆的定义以及圆和圆的位置关系可得，（2）设l 方程为x =my +1，联立{x 24+y 23=1x =my +1 ，利用韦达定理以及弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出四边形的面积，再根据函数的单调性即可求出． 【解答】设动圆C 的半径为r ，由题意知|CC 1|=3−r ，|CC 2|=1+r从而有|CC 1|+|CC 2|=4，故轨迹E 为以C 1，C 2为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(−2, 0)， 从而轨迹E 方程为x 24+y 23=1(x ≠−2)．设l 方程为x =my +1，联立{x 24+y 23=1x =my +1， 消去x 得(3m 2+4)y 2+6mx −9=0，设点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，有y 1+y 2=−6m3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4，有|AB|=√1+m 212√1+m 23m 2+4=12(1+m 2)3m 2+4， 点P(−2, 0)到直线了的距离为√1+m 2，点Q(2, 0)到直线了的距离为√1+m 2，从而四边形APBQ 的面积S =12×12(1+m 2)3m 2+42=24√1+m 23m 2+4令t =√1+m 2,t ≥1，有S =24t3t 2+1=243t+1t，由函数y =3t +1t 在[1, +∞)单调递增有3t +1t ≥4，故S =24t 3t 2+1=243t+1t≤6，四边形APBQ 面积的最大值为6．【答案】（1）函数f(x)=x 2−4x +5−ae x 在(−∞, +∞)上是单调递增函数， ∴ 在x ∈R 上，f ′(x)=2x −4+a e x ≥0恒成立，即：a ≥(4−2x)e x ；，∴ 设ℎ(x)=(4−2x)e x ，x ∈R ； 则ℎ′(x)=(2−2x)e x ，∴ 当x ∈(−∞, 1)时ℎ′(x)>0，ℎ(x)在x ∈(−∞, 1)上为增函数， ∴ 当x ∈(1, +∞)时ℎ′(x)<0，ℎ(x)在x ∈(1, +∞)上为减函数， ∴ ℎ(x)max =ℎ(1)=2e ， ∵ a ≥[(4−2x)e x ]max ， ∴ a ≥2e ，即a ∈[2e, +∞)；（2）方法一：因为g(x)=e x (x 2−4x +5)−a ， 所以g ′(x)=e x (x −1)2≥0，所以g(x)在(−∞, +∞)上为增函数， 因为g(x 1)+g(x 2)=2g(m)， 即g(x 1)−g(m)=g(m)−g(x 2)，所以g(x 1)−g(m)和g(m)−g(x 2)同号，不妨设x 1<m <x 2，ℎ(x)=g(2m −x)+g(x)−2g(m)(x >m ≥1)， 所以ℎ′(x)=−e 2m−x (2m −x −1)2+e x (x −1)2，因为e 2m−x <e x ，(2m −x −1)2−(x −1)2=(2m −2)(2m −2x)≤0， 所以ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(m, +∞)上为增函数，所以ℎ(x)>ℎ(m)=0，ℎ(x 2)=g(2m −x 2)+g(x 2)−2g(m)>0， 所以g(2m −x 2)>2g(m)−g(x 2)=g(x 1)， 所以2m −x 2>x 1，即x 1+x 2<2m ； 方法二：∵ g(x)=e x f(x)=(x 2−4x +5)e x −ag(x 1)+g(x 2) =2g(m)，m ∈[1, +∞)，∴ (x 12−4x 1+5)e x 1−a +(x 22−4x 2+5)e x 2−a =2(m 2−4m +5)e m −2a ， ∴ (x 12−4x 1+5)e x 1+(x 22−4x 2+5)e x 2=2(m 2−4m +5)e m ， ∴ 设φ(x)=(x 2−4x +5)e x x ∈R ， 则φ(x 1)+φ(x 2)=2φ(m)，∴φ′(x)=(x−1)2e x≥0，φ(x)在x∈R上递增且φ′(1)=0；令x1∈(−∞, m)，x2∈(m, +∞)，设F(x)=φ(m+x)+φ(m−x)，x∈(0, +∞)；∴F′(x)=(m+x−1)2e m+x−(m−x−1)2e m−x；∵x>0，∴e m+x>e m−x>0，且(m+x−1)2−(m−x−1)2=(2m−2)2x≥0，∴F′(x)>0，F(x)在x∈(0, +∞)上递增，∴F(x)>F(0)=2φ(m)，∴φ(m+x)+φ(m−x)>2φ(m)x∈(0, +∞)；令x=m−x1，∴φ(m+m−x1)+φ(m−m+x1)>2φ(m)，即：φ(2m−x1)+φ(x1)>2φ(m)，又∵φ(x1)+φ(x2)=2φ(m)，∴φ(2m−x1)+2φ(m)−φ(x2)>2φ(m)，即：φ(2m−x1)>φ(x2)，∵φ(x)在x∈R上递增，∴2m−x1>x2，即：x1+x2<2m．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）根据函数f(x)在R上是单调递增，f′(x)≥0恒成立，利用分离常数法得出a≥(4−2x)e x，构造函数ℎ(x)=(4−2x)e x，求ℎ(x)的最大值，从而求得a的取值范围；（2）方法一：利用导数判断g(x)的单调性，根据g(x)的单调性，利用g(x1)+g(x2)= 2g(m)得出g(x1)−g(m)和g(m)−g(x2)同号，构造函数ℎ(x)=g(2m−x)+g(x)−2g(m)，利用导数判断ℎ(x)的单调性，从而求得ℎ(x)>ℎ(m)=0，即得结论成立．方法二：由g(x)化简，构造函数φ(x)=(x2−4x+5)e x，由φ(x1)+φ(x2)=2φ(m)，利用导数判断φ(x)的单调性，从而证得结论成立．【解答】在(−∞, +∞)上是单调递增函数，（1）函数f(x)=x2−4x+5−ae x∴在x∈R上，f′(x)=2x−4+a≥0恒成立，e x即：a≥(4−2x)e x；，∴设ℎ(x)=(4−2x)e x，x∈R；则ℎ′(x)=(2−2x)e x，∴当x∈(−∞, 1)时ℎ′(x)>0，ℎ(x)在x∈(−∞, 1)上为增函数，∴当x∈(1, +∞)时ℎ′(x)<0，ℎ(x)在x∈(1, +∞)上为减函数，∴ℎ(x)max=ℎ(1)=2e，∵a≥[(4−2x)e x]max，∴a≥2e，即a∈[2e, +∞)；（2）方法一：因为g(x)=e x(x2−4x+5)−a，所以g′(x)=e x(x−1)2≥0，所以g(x)在(−∞, +∞)上为增函数，因为g(x1)+g(x2)=2g(m)，即g(x1)−g(m)=g(m)−g(x2)，所以g(x1)−g(m)和g(m)−g(x2)同号，不妨设x1<m<x2，ℎ(x)=g(2m−x)+g(x)−2g(m)(x>m≥1)，所以ℎ′(x)=−e2m−x(2m−x−1)2+e x(x−1)2，因为e 2m−x <e x ，(2m −x −1)2−(x −1)2=(2m −2)(2m −2x)≤0， 所以ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(m, +∞)上为增函数，所以ℎ(x)>ℎ(m)=0，ℎ(x 2)=g(2m −x 2)+g(x 2)−2g(m)>0， 所以g(2m −x 2)>2g(m)−g(x 2)=g(x 1)， 所以2m −x 2>x 1，即x 1+x 2<2m ； 方法二：∵ g(x)=e x f(x)=(x 2−4x +5)e x −ag(x 1)+g(x 2) =2g(m)，m ∈[1, +∞)，∴ (x 12−4x 1+5)e x 1−a +(x 22−4x 2+5)e x 2−a =2(m 2−4m +5)e m −2a ， ∴ (x 12−4x 1+5)e x 1+(x 22−4x 2+5)e x 2=2(m 2−4m +5)e m ， ∴ 设φ(x)=(x 2−4x +5)e x x ∈R ， 则φ(x 1)+φ(x 2)=2φ(m)，∴ φ′(x)=(x −1)2e x ≥0，φ(x)在x ∈R 上递增且φ′(1)=0； 令x 1∈(−∞, m)，x 2∈(m, +∞)，设F(x)=φ(m +x)+φ(m −x)，x ∈(0, +∞)；∴ F ′(x)=(m +x −1)2e m+x −(m −x −1)2e m−x ； ∵ x >0，∴ e m+x >e m−x >0，且(m +x −1)2−(m −x −1)2=(2m −2)2x ≥0， ∴ F ′(x)>0，F(x)在x ∈(0, +∞)上递增， ∴ F(x)>F(0)=2φ(m)，∴ φ(m +x)+φ(m −x)>2φ(m)x ∈(0, +∞)；令x =m −x 1，∴ φ(m +m −x 1)+φ(m −m +x 1)>2φ(m)， 即：φ(2m −x 1)+φ(x 1)>2φ(m)， 又∵ φ(x 1)+φ(x 2)=2φ(m)，∴ φ(2m −x 1)+2φ(m)−φ(x 2)>2φ(m)， 即：φ(2m −x 1)>φ(x 2)， ∵ φ(x)在x ∈R 上递增，∴ 2m −x 1>x 2，即：x 1+x 2<2m ．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 【答案】（1）∵ 曲线C 1:ρ=4cosθ(0≤θ<π2)，C 2:ρcosθ=(3) ∴ 联立{ρcosθ=3ρ=4cosθ ，cosθ=±√32，………∵ 0≤θ<π2，θ=π6…………………………………………… ∴ ρ=2√3………………………………………………………∴ C 1与C 2交点的极坐标为(2√3,π6)…………………………………………… （其他形式请酌情给分）（2）设P(ρ, θ)，Q(ρ0, θ0)且ρ0=4cosθ0，θ0∈[0,π2)………… 由已知OQ →=23QP →，得{ρ0=25ρθ0=θ……………………………∴ 23ρ=4cosθ，∴ 点P 的极坐标方程为ρ=6cosθ,θ∈[0,π2)……………………………………… 【考点】圆的极坐标方程 【解析】(Ⅰ)联立{ρcosθ=3ρ=4cosθ，能求出C 1与C 2交点的极坐标．(Ⅱ)设P(ρ, θ)，Q(ρ0, θ0)且ρ0=4cosθ0，由OQ →=23QP →，能求出点P 的极坐标方程．【解答】（1）∵ 曲线C 1:ρ=4cosθ(0≤θ<π2)，C 2:ρcosθ=(3) ∴ 联立{ρcosθ=3ρ=4cosθ ，cosθ=±√32，………∵ 0≤θ<π2，θ=π6…………………………………………… ∴ ρ=2√3………………………………………………………∴ C 1与C 2交点的极坐标为(2√3,π6)…………………………………………… （其他形式请酌情给分）（2）设P(ρ, θ)，Q(ρ0, θ0)且ρ0=4cosθ0，θ0∈[0,π2)………… 由已知OQ →=23QP →，得{ρ0=25ρθ0=θ……………………………∴ 23ρ=4cosθ，∴ 点P 的极坐标方程为ρ=6cosθ,θ∈[0,π2)……………………………………… [选修4-5：不等式选讲]. 【答案】（1）当m =−2时，f(x)=|2x|+|2x +3|+m ={4x +1,x ≥01,−32<x <0−4x −5,x ≤−32当{4x +1≤3x ≥0，解得0≤x ≤12； 当−32<x <0,1≤3恒成立 当{−4x −5≤3x ≤−32解得−2≤x ≤−32 此不等式的解集为[−2,12]……………………………………（2）当x ∈(−∞, 0)时f(x)=|2x|+|2x +3|+m ={3+m,(−32<x <0)−4x −3+m,(x ≤−32) ．当−32<x <0时，不等式化为3+m ≥x +2x由x +2x=−[(−x)+(−2x)]≤−2√(−x)(−2x)=−2√2当且仅当−x =−2x 即x =−√2时等号成立．∴ m +3≥−2√2，∴ m ≥−3−2√2…………………………当x ≤−32时，不等式化为−4x −3+m ≥x +2x ．∴ m ≥5x +2x +3 令y =5x +2x +3，x ∈(−∞,−32]∵ y ′=5−2x 2>0,x ∈(−∞,−32]， ∴ y =5x +2x +3在(−∞,−32]上是增函数．∴ 当x =−32时，y =5x +2x +3取到最大值为−356∴ m ≥−356…………… 综上m ≥−3−2√2…………………………………………… 【考点】绝对值三角不等式 【解析】(Ⅰ)f(x)=|2x|+|2x +3|+m ={4x +1,x ≥01,−32<x <0−4x −5,x ≤−32，分段解不等式即可． (Ⅱ)f(x)=|2x|+|2x +3|+m ={3+m,(−32<x <0)−4x −3+m,(x ≤−32)．当−32<x <0时，不等式化为3+m ≥x +2x ，当x ≤−32时，不等式化为−4x −3+m ≥x +2x ．m ≥5x +2x +3，利用恒成立求得m 的取值范围． 【解答】（1）当m =−2时，f(x)=|2x|+|2x +3|+m ={4x +1,x ≥01,−32<x <0−4x −5,x ≤−32当{4x +1≤3x ≥0，解得0≤x ≤12； 当−32<x <0,1≤3恒成立 当{−4x −5≤3x ≤−32解得−2≤x ≤−32 此不等式的解集为[−2,12]……………………………………（2）当x ∈(−∞, 0)时f(x)=|2x|+|2x +3|+m ={3+m,(−32<x <0)−4x −3+m,(x ≤−32) ．当−32<x <0时，不等式化为3+m ≥x +2x 由x +2x =−[(−x)+(−2x )]≤−2√(−x)(−2x)=−2√2当且仅当−x =−2x 即x =−√2时等号成立．∴ m +3≥−2√2，∴ m ≥−3−2√2…………………………当x ≤−32时，不等式化为−4x −3+m ≥x +2x ．∴ m ≥5x +2x +3 令y =5x +2x +3，x ∈(−∞,−32]∵ y ′=5−2x 2>0,x ∈(−∞,−32]， ∴ y =5x +2x +3在(−∞,−32]上是增函数．∴ 当x =−32时，y =5x +2x +3取到最大值为−356∴ m ≥−356……………综上m ≥−3−2√2……………………………………………。

2018年东北三省三校（哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）

2018年东北三省三校（哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）

2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，那么A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{0}2．（5分）已知复数z=，那么复数z的模为（）A．5B．C．D．3．（5分）在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N（85.9），假设已知P（80＜X≤85）=0.35，那么从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A．0.85B．0.65C．0.35D．0.154．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，假设a1=1，S10=3S5，那么a6=（）A．2B．C．4D．15．（5分）已知cos（）=，那么sin2α=（）A．B．C．D．6．（5分）非零向量，知足；||=||，，那么与夹角的大小为（）A．135°B．120°C．60°D．45°7．（5分）如图是某几何体的视图，那么该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）已知实数a，b知足0≤a≤1，0≤b≤1，那么函数f（x）=x3﹣ax2+bx+1存在极值的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）执行下面的程序框图，假设输入S，a的值别离为1，2，输出的n值为4，那么m 的取值范围为（）A．3＜m≤7B．7＜m≤15C．15＜m≤31D．31＜m≤6310．（5分）已知点F1，F2别离是双曲线C：（a＞0，b＞0），的左、右核心，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OP|，△PF1F2的面积为4，且该双曲线的两条渐近线相互垂直，那么双曲线C的方程为（）A．B．C．=1D．11．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）A．5B．2C．2D．612．（5分）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，那么x1x2+x3x4的取值范围为（）A．[4，5）B．（4，5]C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过抛物线C：x2=4y的核心F的直线与抛物线C交于A、B两点，假设弦AB中点到x 轴的距离为5，那么|AB|=．14．（5分）设x，y知足约束条件，那么z=x﹣y的最小值为．15．（5分）已知数列{a n}知足a1=1，a n+1=，记C n=，那么数列{C n}的前n项和C1+C2+…+C n=．16．（5分）已知概念在R上的函数f（x）知足：①f（1+x）=f（1﹣x），②在[1，+∞）上为增函数；假设x∈[]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，那么实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）=，直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴．（I）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，已知f（A）=0，c=3，a=，求b边长18．（12分）哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数，每一个班级20名同窗，现有甲、乙两班本次考试数学分数如以下茎叶图所示：（I）依照茎叶图求甲、乙两班同窗数学分数的中位数，并将乙班同窗的分数的频率散布直方图填充完整；（Ⅱ）依照茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同窗数学分数的平均水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅲ）假设规定分数在[100，120）的成绩为良好，分数在[120，150）的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同窗中，依照各班成绩为优秀的同窗人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出12位同窗参加数学提优培训，求这12位同窗中恰含甲、乙两班所有140分以上的同窗的概率．19．（12分）已知等腰直角△S′AB，S′A=AB=4，S′A⊥AB，C，D别离为S′B，S′A的中点，将△S′CD 沿CD折到△SCD的位置，SA=2，取线段SB的中点为E．（I）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右核心为F（c，0），点P为椭圆C上的动点，假设|PF|的最大值和最小值别离为2和2．（I）求椭圆C的方程（Ⅱ）设只是原点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，假设直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值21．（12分）已知函数f（x）=（1﹣ax）e x+b在点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣ex+e﹣1．（1）求a，b的值及函数f（x）的最大值；（2）假设实数x，y知足xe y=e x﹣1（x＞0）．（i）证明：0＜y＜x；（ii）假设x＞2，证明：y＞1．请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）假设曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的一般方程（Ⅱ）假设曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点别离为P，Q，求的取值范围，[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）假设b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）假设不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，那么A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{0}【解答】解：∵集合A={x|≤0}={x|﹣1≤x＜1}，B={0，1，2，3}，∴A∩B={0}．应选：D．2．（5分）已知复数z=，那么复数z的模为（）A．5B．C．D．【解答】解：∵z==，∴|z|=||==．应选：B．3．（5分）在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N（85.9），假设已知P（80＜X≤85）=0.35，那么从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A．0.85B．0.65C．0.35D．0.15【解答】解：∵学生成绩X服从正态散布N（85，9），∴其图象关于直线x=85对称，∵P（80＜X≤85）=0.35，∴P（85＜X≤90）=P（80＜X≤85）=0.35，∴P（X＞90）=0.5﹣P（85＜X≤90）=0.5﹣0.35=0.15．应选：D．4．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，假设a1=1，S10=3S5，那么a6=（）A．2B．C．4D．1【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a1=1，S10=3S5，∴=3×，可得：q5+1=3，解得q5=2．那么a6=1×2=2．应选：A．5．（5分）已知cos（）=，那么sin2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（）=，即cosα+sinα=，平方可得+sinαcosα=，∴sinαcosα=，那么sin2α=2sinαcosα=，应选：B．6．（5分）非零向量，知足；||=||，，那么与夹角的大小为（）A．135°B．120°C．60°D．45°【解答】解：依照题意，设=，=，那么﹣=﹣=，若||=||，，即||=||，且⊥，则△OAB为等腰直角三角形，则与的夹角为180°﹣45°=135°，应选：A．7．（5分）如图是某几何体的视图，那么该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：依照三视图取得几何体的恢复图为：因此：V=，应选：B．8．（5分）已知实数a，b知足0≤a≤1，0≤b≤1，那么函数f（x）=x3﹣ax2+bx+1存在极值的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：对f（x）=x3﹣ax2+bx+1求导数可得f′（x）=3x2﹣2ax+b，由函数有极值可得△=4a2﹣12b＞0，即b＜a2，∴知足0≤a≤1，0≤b≤1的点（a，b）的区域为边长为1正方形，∴知足0≤a≤1，0≤b≤1且b＜a2的点（a，b）的区域为正方形内曲线b=a2下方的部份，由定积分可得S==a3=，而正方形的面积为1，∴所求概率为P=，应选：A．9．（5分）执行下面的程序框图，假设输入S，a的值别离为1，2，输出的n值为4，那么m的取值范围为（）A．3＜m≤7B．7＜m≤15C．15＜m≤31D．31＜m≤63【解答】解：依照程序框图：S=1，a=2，n=1，当1＜m时，S=1+21=3，a=2，n=2，当3＜m时，S=3+22=7，a=2，n=3，当7＜m时，S=7+23=15，a=2，n=4，输出n=4，故：7＜m≤15，应选：B．10．（5分）已知点F1，F2别离是双曲线C：（a＞0，b＞0），的左、右核心，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OP|，△PF1F2的面积为4，且该双曲线的两条渐近线相互垂直，那么双曲线C的方程为（）A．B．C．=1D．【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，∵△PF1F2的面积为4，∴|PF1|•|PF2|=8，∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，∴（|PF1|﹣|PF2|）2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|，由双曲线概念可得|PF1|﹣|PF2|=2a，∴4a2=4c2﹣16，∴b2=4，∵该双曲线的两条渐近线相互垂直，∴a=b，∴双曲线C的方程为﹣=1，应选：B．11．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）A．5B．2C．2D．6【解答】解：取BC中点F，A1D1中点G，连结DF、B1F、DB1、DG、GB1，GF，∵棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，∴BE∥DF，A1E∥GD，又A1E∩BE=E，DG∩DF=D，A1E、BE⊂平面A1BE，DG、DF⊂平面DFB1G，∴过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面为四边形DFB1G，∵DF=FB1=B1G=DG=，DB1==2，GF=2=2，∴过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为：===2．应选：C．12．（5分）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，那么x1x2+x3x4的取值范围为（）A．[4，5）B．（4，5]C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]【解答】解：当x＞0时，f（x）=x+﹣3≥2﹣3=1，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，由f（x）=e，x≤0，x＜﹣1时，f（x）递减；﹣1＜x＜0时，f（x）递增，可得x=﹣1处取得极小值1，作出f（x）的图象，和直线y=a，可得e=e=x3+﹣3=x4+﹣3，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=﹣2﹣x2，﹣1＜x2≤0，x3﹣x4=﹣=，可得x3x4=4，x1x2+x3x4=4﹣2x2﹣x22=﹣（x2+1）2+5，在﹣1＜x2≤0递减，可得所求范围为[4，5）．应选：A．二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过抛物线C：x2=4y的核心F的直线与抛物线C交于A、B两点，假设弦AB中点到x 轴的距离为5，那么|AB|=6．【解答】解法一：抛物线C：x2=4y的核心F（0，1），过核心的直线方程为y=kx+1，联立，得x2﹣4kx﹣4=0，△=16k2+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），那么x1+x2=4k，y1+y2=k（x1+x2）+2，∵弦AB中点到x轴的距离为5，∴y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2=10，解得k2=2，设直线AB的倾斜角为θ，那么tan2θ=2，sin2θ=，cos2θ=，∴|AB|===12．解法二：抛物线C：x2=4y的核心F（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），∵弦AB中点到x轴的距离为5，∴y1+y2=10，∴|AB|=y1+y2+p=12．故答案为：12．14．（5分）设x，y知足约束条件，那么z=x﹣y的最小值为﹣2．【解答】解：由x，y知足约束条件作出可行域如图，A（﹣1，1），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z 有最小值为﹣2．故答案为：﹣2．15．（5分）已知数列{a n}知足a1=1，a n+1=，记C n=，那么数列{C n}的前n项和C1+C2+…+C n= n•2n．【解答】解：数列{a n}知足a1=1，a n+1=，可得：，因此{}是等差数列，首项为：1，公差为：，因此=1+（n﹣1）=，C n==（n+1）•2n﹣1．令T n=C1+C2+…+C n=2×21﹣1+3×22﹣1+4×23﹣1+…+（n+1）•2n﹣1，…①，2T n=2×22﹣1+3×23﹣1+4×24﹣1+…+n•2n﹣1+（n+1）•2n，…②，①﹣②可得：﹣T n=2+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n+1）•2n=2+﹣（n+1）•2n=﹣n•2n．T n=n•2n．故答案为：n•2n．16．（5分）已知概念在R上的函数f（x）知足：①f（1+x）=f（1﹣x），②在[1，+∞）上为增函数；假设x∈[]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，那么实数a的取值范围为（0，2）．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）的函数图象关于直线x=1对称，∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，∵当x∈[]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，∴|ax﹣1|＜|1﹣（x﹣1）|在[，1]上恒成立，即x﹣2＜ax﹣1＜2﹣x在[，1]上恒成立，∴1﹣＜a＜﹣1在[，1]上恒成立．设m（x）=1﹣，n（x）=﹣1，x∈[，1]，m（x）的最大值为m（1）=0，n（x）的最小值为n（1）=2．∴0＜a＜2．故答案为：（0，2）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）=，直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴．（I）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，已知f（A）=0，c=3，a=，求b边长【解答】解：（Ⅰ）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）==sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ω﹣），由于直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴．因此f（）=±2，因此•ω﹣=k，（k∈Z），因此．由于0＜ω＜1，因此：当k=0时，ω=因此f（x）=2sin（x﹣）．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），因此函数的单调递增区间为[]（k∈Z），（Ⅱ）由于f（A）=，因此A﹣=kπ，解得A=k，由于A∈（0，π），那么A=．在△ABC中，由余弦定理：，因此：，即b2﹣3b﹣4=0，解得b=4或﹣1（舍去）．故：b=4．18．（12分）哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数，每一个班级20名同窗，现有甲、乙两班本次考试数学分数如以下茎叶图所示：（I）依照茎叶图求甲、乙两班同窗数学分数的中位数，并将乙班同窗的分数的频率散布直方图填充完整；（Ⅱ）依照茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同窗数学分数的平均水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅲ）假设规定分数在[100，120）的成绩为良好，分数在[120，150）的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同窗中，依照各班成绩为优秀的同窗人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出12位同窗参加数学提优培训，求这12位同窗中恰含甲、乙两班所有140分以上的同窗的概率．【解答】解：（1）依照茎叶图得：甲班数学分数的中位数：=118，乙班数学分数的中位数：=128．（2）乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度．（3）有频率散布直方图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数别离为10、14，假设从中分层抽样选出12人，那么应从甲、乙两班各选出5人、7人，设“选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同窗”为事件A那么P（A）=×=，因此选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同窗的概率为．19．（12分）已知等腰直角△S′AB，S′A=AB=4，S′A⊥AB，C，D别离为S′B，S′A的中点，将△S′CD 沿CD折到△SCD的位置，SA=2，取线段SB的中点为E．（I）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取SA中点F，连接DF，EF，∵SE=EB，SF=FA，∴EF∥AB，EF=，又∵CD∥AB，CD=，∴CD=EF，CD∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形，那么CE∥FD．∵CE⊄平面SAD，FD⊂平面SAD，∴CE∥平面SAD；（Ⅱ）解：∵面SCD⊥面ABCD，面SCD∩面ABCD=CD，SD⊥CD，SD⊂面SCD，∴SD⊥面ABCD，∵AD，CD⊂面ABCD，∴SD⊥AD，SD⊥CD．又∵AD⊥DC，∴DA，DC，DS两两相互垂直，如下图，别离以DA，DC，DS为x，y，z轴成立空间直角坐标系D﹣xyz．那么A（2，0，0），C（0，2，0），S（0，0，2），B（2，4，0），E（1，2，1），，，，设平面ECA，平面ECB的法向量别离为，，则，取y1=1，可得；，取y2=﹣1，得．∴cos＜＞=．∴二面角A﹣EC﹣B的平面角的余弦值为﹣．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右核心为F（c，0），点P为椭圆C上的动点，假设|PF|的最大值和最小值别离为2和2．（I）求椭圆C的方程（Ⅱ）设只是原点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，假设直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值【解答】解：（I）由已知得：，解得a=2，c=，∴b2=4﹣3=1椭圆方程为+y2=1（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，即4k2﹣m2+1＞0，且x1+x2=，x1x2=，故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，∴•==k2，即+m2=0，又m≠0，因此k2=，即k=±．由△＞0，及直线OP，OQ的斜率存在，得0＜m2＜2，∵|PQ|=•=，点O到直线的距离d==S△OPQ=|PQ|•d==≤1，当m2=1时取等号，的最大值为1．现在直线l的方程为y=±x±1时，S△OPQ21．（12分）已知函数f（x）=（1﹣ax）e x+b在点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣ex+e﹣1．（1）求a，b的值及函数f（x）的最大值；（2）假设实数x，y知足xe y=e x﹣1（x＞0）．（i）证明：0＜y＜x；（ii）假设x＞2，证明：y＞1．【解答】（1）由点（1，f（1））在切线上可知，f（1）=﹣e+e﹣1=﹣1，即切点为（1，﹣1）又f'（x）=﹣ae x+（1﹣ax）e x=e x（1﹣ax﹣a），由题可知f'（1）=﹣e，那么f'（1）=e1（1﹣2a）=﹣e，那么1﹣2a=﹣1，解得a=1，即f（x）=（1﹣x）e x+b，又由f（1）=﹣1，可得b=﹣1，故a=1，b=﹣1；即f（x）=（1﹣x）e x﹣1；由上知f'（x）=e x（1﹣x﹣1）=﹣xe x，当x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，故．（2）由实数x，y知足xe y=e x﹣1（x＞0）可得，，即，（i）先证y＜x，，由（1）知f（x）=（1﹣x）e x﹣1＜0=f（x）max，那么有，即证得y＜x；再证明y＞0，令g（x）=e x﹣x﹣1（x＞0），那么g'（x）=e x﹣1＞0（x＞0），故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（0）=0，故在（0，+∞）上恒有e x＞x+1，即，则，即y＞0，综上，0＜y＜x，证毕．（ii）由（1）可知，，令，那么，又由上可知，x＞0时，恒有（1﹣x）e x﹣1＜0，那么xe x﹣e x+1＞0恒成立，故恒成立，即h（x）在（0，+∞）上单调递增，那么有，又因为故h（2）＞e，那么h（x）＞e，即x＞2时，h（x）＞e，即e y＞e，即y＞1，故x＞2时，y＞1；请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）假设曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的一般方程（Ⅱ）假设曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点别离为P，Q，求的取值范围，【解答】解：（I）∵曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．∴ρ2=2ρcosθ，x2+y2=2x．曲线C2，参数方程为：（α为参数），∴曲线C2的一般方程：x2+（y﹣1）2=t2．（II）将C2的参数方程：（α为参数），代入C1的方程得：t2+（2sinα﹣2cosα）t+1=0，∵△=（2sinα﹣2cosα）2﹣4=8﹣4＞0，∴||∈，∴∈∪，∴t1+t2=﹣（2sinα﹣2cosα），t1t2=1，∴t1与t2同号，∴|t1|+|t2|=|t1+t2|，由的几何意义可得：=+===2||∈（2，2]，∴∈（2，2]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）假设b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）假设不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|，b=1时，不等式f（x）＞4为|2x+b|+|2x﹣b|＞4，它等价于或或，解得x＞1或x＜﹣1或x∈∅；∴不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（Ⅱ）f（a）=|2a+b|+|2a﹣b|=|2a+b|+|b﹣2a|≥|（2a+b）+（b﹣2a）|=|2b|，当且仅当（2a+b）（b﹣2a）≥0时f（a）取得最小值为|2b|；令|2b|＞|b+1|，得（2b）2＞（b+1）2，解得b＜﹣或b＞1，∴b的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．。

东北师大附中2018届高三第三次模拟考试文数试题

东北师大附中2018届高三第三次模拟考试文数试题

东北师大附中2018届高三第三次模拟考试文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数错误！未找到引用源。

的共轭复数是（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】A【解析】错误！未找到引用源。

，其共轭复数为错误！未找到引用源。

，故选A．2. 已知集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则下列结论正确的是（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】D【解析】由题意错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，故选D．3. 平面向量错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

的夹角为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】C4. 阅读如图所示的程序框图，若输入错误！未找到引用源。

，则输出错误！未找到引用源。

的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B5. 已知错误！未找到引用源。

是第二象限角，且错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的值为（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】试题分析：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

考点：1．诱导公式；2．同角间的三角函数关系式；3．二倍角公式6. “错误！未找到引用源。

”是“直线错误！未找到引用源。

：错误！未找到引用源。

与直线错误！未找到引用源。

：错误！未找到引用源。

垂直”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】试题分析：由题意得，直线错误！未找到引用源。

2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷(理科)

2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷(理科)

2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(★)设集合A={x|x 2-x-2＜0}，集合B={x|1＜x＜4}，则A∪B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|-1＜x＜4}C．{x|-1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4}3．(★★)等比数列{a n}中，a 3=-2，a 11=-8，则a 7=（）A．-4B．4C．±4D．-54．(★)已知向量，，若，则t=（）A．0B．C．-2D．-35．(★★)执行如图的程序框图，若输出T 的值为 ，则“？”处可填（ ）A ．n ＜6B ．n ＜5C ．n ＜4D ．n ＜36．(★★)将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ）A ．240B ．480C ．720D ．9607．(★★★)函数的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．(★★)《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（）A．B．8πC．6πD．9．(★★)F 1，F 2是双曲线的左右焦点，过F 1且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．(★★)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若α∩β=m，n∥α，n∥β，则m∥nD．若α⊥β，且α∩β=m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥β11．(★★)甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖．甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”．四位同学的话恰有两句是对的，则（）A．甲和乙不可能同时获奖B．丙和丁不可能同时获奖C．乙和丁不可能同时获奖D．丁和甲不可能同时获奖12．(★★★)已知当x∈（1，+∞）时，关于x的方程有唯一实数解，则k值所在的范围是（）A．（3，4）B．（4，5）C．（5，6）D．（6，7）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．(★★)设随机变量X～B（6，），则P（X=3）= ．14．(★★★)已知递增的等差数列{a n}的前三项和为-6，前三项积为10，则前10项和S10= ．15．(★★)函数在闭区间上的最小值是．16．(★★★)设抛物线y 2=2x的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比= ．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(★★★)已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若（a-c）（sinA+sinC）=b（sinA-sinB）．（1）求角C；（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值．18．(★★★)经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：，，（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9～1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06～1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12～1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？19．(★★★★)如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面为菱形，∠BAD=120°，AB=2，E，F为CD，AA 1中点．（1）求证：DF∥平面B 1AE；（2）若AA 1⊥底面ABCD，且直线AD 1与平面B 1AE所成线面角的正弦值为，求AA 1的长．20．(★★★★★)椭圆C：的左、右焦点分别为F 1（-1，0）、F 2（1，0），若椭圆过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A，B为椭圆的左、右顶点，P（x 0，y 0）（y 0≠0）为椭圆上一动点，设直线AP，BP分别交直线l：x=6于点M，N，判断线段MN为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由．21．(★★★)已知函数f（x）=x-alnx-1，曲线y=f（x）在（1，0）处的切线经过点（e，0）．（1）证明：f（x）≥0；（2）若当x∈[1，+∞）时，，求p的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．(★★★★)在直角坐标坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为（θ为参数），曲线C 2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C 1的异于极点的交点为A，与曲线C 2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．(★★★★)设函数f（x）=|2x-1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c=m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．。

师范大学附属中学2018届高三数学下学期测试(三模)试题理(含解析)

师范大学附属中学2018届高三数学下学期测试(三模)试题理(含解析)

江西师大附中2018届高三年级测试（三模)理科数学一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

已知集合，则（)A。

B. C。

D.【答案】A【解析】分析:先化简集合M和N，再求.详解：由题得所以。

由题得所以.故答案为:A点睛:(1）本题主要考查集合的化简即交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力。

（2)解答本题的关键是求,由于集合中含有k，所以要给k赋值,再求。

2。

已知复数满足，则（)A。

B. C。

D。

【答案】B【解析】分析：先求出复数z,再求。

详解：由题得所以故答案为:B点睛：（1)本题主要考查复数的运算和复数的共轭复数,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力. (2）复数的共轭复数3。

设两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（)A。

若，则 B. 若，则C。

若，则 D. 若,则【答案】D【解析】分析:利用空间线面位置关系逐一判断每一个选项的真假得解.详解：对于选项A, 若，则或，所以选项A是假命题。

对于选项B, 若,则或a与相交。

所以选项B是假命题。

对于选项C，若,则或与相交。

所以选项C是假命题。

对于选项D, 若，则，是真命题。

故答案为：D点睛：（1）本题主要考查空间直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对线面位置关系定理的掌握能力和空间想象能力。

(2）对于空间线面位置关系的判断,一般利用举反例和直接证明法。

4。

执行如图的程序框图，如果输入的分别为，输出的,那么判断框中应填入的条件为( ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:直接按照程序运行即可找到答案。

详解:依次执行程序框图中的程序,可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件,继续运行；③,不满足条件,停止运行，输出．故判断框内应填n＜4，即n＜k+1．故选C．点睛：本题主要考查程序框图和判断框条件，属于基础题，直接按照程序运行，一般都可以找到答案.5. 已知函数，若,则( )A。

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19.已知等腰直角 ， ， ， ， 分别为 ， 的中点，将 沿 折到 的位置， ，取线段 的中点为 ．
求证： 平面 ；
Ⅱ 求二面角 的余弦值．
20.已知椭圆 的右焦点为 ，点 为椭圆 上的动点，若 的最大值和最小值分别为 和 ．
求椭圆 的方程
Ⅱ 设不过原点的直线 与椭圆 交于 ， 两点，若直线 ， ， 的斜率依次成等比数列，求 面积的最大值
故答案为： ．
14.
【答案】
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：作出不等式组表示的可行域如图所示，
由 ，可得 ，
根据 的几何意义，可以确定其在直线 和直线 的交点 处取得最小值，
由 解得 代入求得 ，从而确定出最小值为 ．
故答案为： ．
15.
【答案】
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
（2）根据茎叶图比较，在一模考试中甲、乙两班同学数学分数的平均水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）;
（3）若规定分数在 的成绩为良好，分数在 的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同学中，按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出 位同学参加数学提优培训，求这 位同学中恰含甲、乙两班所有 分以上的同学的概率．
【解答】
解：取 中点 ， 中点 ，连结 ， ， ， ， ， ，
∵棱长为 的正方体 中， 为棱 中点，
∴ ， ，
又 ， ，
， 平面 ， 、 平面 ，
∴过点 ，且与平面 平行的正方体的截面为四边形 ，
∵ ，
，
，
∴过点 ，且与平面 平行的正方体的截面面积为：
．
点】
分段函数的应用
17.已知 ， （ ）， 函数 ，直线 是函数 图象的一条对称轴．
求函数 的解析式及单调递增区间；
Ⅱ 在 中，已知 ， ， ，求 边长
18.某校统计甲、乙两个班级一模数学分数（满分 分），每个班级 名同学，现有甲、乙两班本次考试数学分数如下列茎叶图所示：
（1）根据茎叶图求甲、乙两班同学数学分数的中位数，并将乙班同学的分数的频率分布直方图填充完整；
A. B. C. D.
9.执行下面的程序框图，若输入 ， 的值分别为 ， ，输出的 值为 ，则 的取值范围为（）
A. B. C. D.
10.已知点 ， 分别是双曲线 ，的左、右焦点， 为坐标原点，点 在双曲线 的右支上， ， 的面积为 ，且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线 的方程为（）
A. B. C. D.
21.
已知函数 在点 处的切线方程是 ．
（1）求 的值及函数 的最大值；
（2）若实数 满足 ．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）若 ，证明： ．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，以 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为： ．
（3）由茎叶图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为 ，若从中分层抽样选出 人，则应从甲、乙两班各选出 人、 人.
设“选出的 人中恰含有甲、乙两班的所有 分以上的同学”为事件 ,
则 ( ) .
19.
【答案】
Ⅰ 证明：取 中点 ，连接 ， ，
∵ ， ，∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，则 ．
【解答】
解：由已知得 ，所以 ．
故选 ．
3.
【答案】
D
【考点】
随机事件
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意，得 ，结合正态分布的性质，可知其概率密度曲线关于直线 对称，所以 ，从而求得 ．
故选 ．
4.
【答案】
A
【考点】
等比数列的性质
【解析】
设等比数列 的公比为 ，由 ， ，可得 ，化简解得 ．即可得出．
令 ，则有 ，
从而有 ，所以 ，
故选 ．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.
【答案】
【考点】
抛物线的求解
【解析】
抛物线的性质
【解答】
解：如图，根据题意可知，抛物线 的准线方程 ，设弦 的中点为 ，由题意弦 中点到 轴的距离为 ，可知弦的中点 到抛物线的准线的距离等于 ．由 ， 两点向准线作垂线，垂足分别为 ， ，根据梯形中位线的性质，可知 ，则根据抛物线的定义，可知 ．
11.棱长为 的正方体 中， 为棱 中点，过点 ，且与平面 平行的正方体的截面面积为( )
A. B. C. D.
12.已知函数 函数 有四个不同的零点，从小到大依次为 ， ， ， ，则 的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.过抛物线 ： 的焦点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，若弦 中点到 轴的距离为 ，则 ________．
设“选出的 人中恰含有甲、乙两班的所有 分以上的同学”为事件 ,
则 ( ) .
【考点】
频率分布直方图
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）甲班数学分数的中位数： ，
乙班数学分数的中位数： ．
（2）乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度.
若曲线 ，参数方程为： （ 为参数），求曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程
Ⅱ 若曲线 ，参数方程为 （ 为参数）， ，且曲线 ，与曲线 交点分别为 ， ，求 的取值范围，
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数 ．
若 ．解不等式 ．
Ⅱ 若不等式 对任意的实数 恒成立，求 的取值范围．
参考答案与试题解析
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图， 为 的中点，且 ，
为直角三角形，设双曲线的标准方程为 且点 在右支上，
则 ，又 ，将 两边平方后可得 ，
故 ．又双曲线的渐近线方程为 ，由双曲线的两条渐近线互相垂直可知 ，即 ．因此所求双曲线方程为 .
故选 .
11.
【答案】
C
【考点】
棱柱的结构特征
【解析】
取 中点 ， 中点 ，连结 、 、 、 、 ， ，则 ， ，从而过点 ，且与平面 平行的正方体的截面为四边形 ，由此能求出过点 ，且与平面 平行的正方体的截面面积．
A. B. C. D.
4.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A. B. C. D.
5.已知 ，则 ＝（）
A. B. C. D.
6.非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 夹角的大小为（）
A. B. C. D.
7.如图是某几何体的视图，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
8.已知实数 ， 满足 ， ，则函数 存在极值的概率为（）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为 ，所以 ，又 ，两边平方可得 ，整理可得 ，所以有 ．设 与 的夹角为 ，则有 ．又因为 ，所以 ．
故选 ．
7.
【答案】
B
【考点】
由三视图求体积
【解析】
直接对几何体进行复原，进一步分割，利用体积公式求出结果．
【解答】
根据三视图得到几何体的复原图为：
所以： ，
8.
2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
集合 ， ， ．
【解答】
∵集合 ，
，
∴ ．
2.
【答案】
B
【考点】
复数的运算
【解析】
此题暂无解析
Ⅱ 利用函数的关系式求出 的值，进一步利用余弦定理求出结果．
【解答】
Ⅰ 已知 ， （ ），
函数
，
由于直线 是函数 图象的一条对称轴．
所以 ，
所以 ， ，
所以 ．
由于 ，
所以：当 时，
所以 ．
令： ，
解得： ，
所以函数的单调递增区间为 ，
Ⅱ 由于 ，
所以 ，
解得 ，
由于 ，
则 ．
在 中，由余弦定理： ，
14.设 ， 满足约束条件 则 的最小值为________．
15.已知数列 满足 ， ，记 ，则数列 的前 项和 ________．
16.已知定义在 上的函数 满足：① ，②在 上为增函数．若 时， 成立，则实数 的取值范围为________．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由于 的导函数为 ，则函数在区间 上为减函数，在区间 上为增函数，且函数关于直线 对称，因此根据题中所给的函数解析式，画出函数的图象如图所示．
由图象可知，要使函数 有四个不同的零点，则有 ，
根据 ， ， ， 为从小到大的顺序以及二次函数的对称性可知 ，且 ， ，从而可以确定 ．
所以函数 有极值的概率为 ，
故选 ．
9.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
直接利用程序框图求出结果．
【解答】
根据程序框图： ＝ ， ＝ ， ＝ ，
当 时， ＝ ＝ ， ＝ ， ＝ ，
当 时， ＝ ＝ ， ＝ ， ＝ ，
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