在三角形中巧用面积法解题
同(等)底、同(等)高三角形面积计算在解题中的应用
所以 Ｂ Ｄ＝Ｃ Ｄ．
底 （ 或 等底 ）不 同高的三 角形 面积 的计算在解 三角形 、四边 形 以及二 次函数 习题 中的作 用非 常重要 ，总结 出的知 识点能在 综
合 题 里 直接 应 用 ， 与二 次 函数 结合 关 于 三 角形 面积 的 问题 化 繁
、
在 三 角 形 中 的应 用
１ ． 在教学 三角形的中线 、角平分线 、高的时候 ，我们得 出
了三角形 的中线 把三角形 的面积平分 ，这是 为什么呢？如 图 １ ， 因为 ＡＤ是 ｃ边上 的中线 ，
・ 十 “ — 十 一 。 十 ＊ — ‘ 卜 ” — 十 一 一 十 “ 十 － 十 一 十 ” — 十 一 － 一 十 一 十 ” 十 ” ＋ “ — ● 一 ” ‘ － 卜” ＋
Ｙ ． Ｎ￣ Ｊ ， ｓ ：１ －Ｂ Ｄ・ Ａ Ｅ
． ｓ ∞＝ １ Ｃ Ｄ‘ ＡＥ
，
所以 Ｓ 丑 Ｄ ＝Ｓ △ ｄ ∞ ．
图１
为简 ，在 同类题 里能举一反 三 ，帮助 学生快速 找到 解题 思路 ，
２ ．由此我们可以引 出问题 ，那 如果 ４ Ｄ不是 ＡＡＢ Ｃ的中线
的趣 味编话很 受学生 的欢迎 ，例如 ，① 用 “ 风筝 ” 、“ 童年 ” 、
“ 梦想 ”三个词语 写一 段话 ，运用 一种修 辞手 法 ，展 开联想 ． 五个词语写一段话 ，表现班 中某位 同学身上所具有 的优 良品质．
事实证 明 ，在这些 特定 的背景语 言环境 中，既培 养 了学生
句或拟人句 ：阳光普照 、凉风习习 、花 红柳绿 、神 清气 爽 、小 指导学生用 同一个词造 句时 ，可 以把 这个词用在句 首 ，也可 以 鸟啁啾 、翩翩起舞 、绿草如茵 、清澈见底．以下便是我班一位 同 把这个词放在句中，也可 以用在句尾 ． 如 “ 精彩”一词 ，经过指 学在第二个训 练 中所写 的一 段话 ：我们 班的陈星星 上课 的时候 导 ，学生就能造 出句式不 同的几个句子 ：“ 精 彩的直播节 目进行 专心致志 ，发 言也非 常积 极 ，回到家也 不忘勤奋学 习 ，除 了很 了大约一个小时． ” ；“ 这位同学在校级演讲 比赛中表现得太精彩
在三角形中用面积法解题专题训练
。 是 …ｃ平线 以ｃ Ｚ Ｃ② ｉ 。… 所 肋 ２ Ｂ ； ’ Ｄ 的分 ， 一： Ａ ． … … 一” ……… 。
又因 Ｄ￣＿Ｃ 的 分 为Ｃ ：＿ Ｅ 平 线， ｚＡ ／ 所以 ＡＤ Ｌ Ｃ。 Ａ Ｃ ： ＡＥ
２ ： 从而Ｌ Ｃ Ａ Ｂ＋— ／ Ｃ Ｂ Ｄ： Ｃ ＿ Ｅ：Ｌ Ｃ １＿ Ａ Ａ Ｂ＋：
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． ．
两三形 中角间关Ｄ角 １Ａ Ｃ ｉ 个角之 内之的系Ｃ＝ １／ 条 ， 分＿ Ｂ件 平 ，ｉ 线 的 为我们提供了信息 ，事实上Ｌ Ｂ
Ｄ ： ＡＣ ＡＣ ． 已知 ， Ｄ： 。 凹 Ｂ＋ Ｄ由 ，
Ｉ
，
Ｉ ｌ ｌ 三 形内 和 利用 角 角 等于１ 。 题 题训 题 ８ 解 专 练（ 在第 ０
ｌ７ 页） ２ ｌ ． 解：由 析 １ 三角形的三 角和 个内 等于 １ 。 得 ８ ， Ａ＋ ０
， ；
ｌ １８０。一２１。一１３０。＝２９。 Ｌ＝８一Ａ ＝ ＋ Ｃ １。所 Ｃ １。 一 Ｌ ＝８， 以 ０ 。 ０
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５ 析解 ： Ｌ Ｄ ． 要求 Ｂ Ｃ的度数 ， 由
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十 一 一 ２’
于 中 出 三 形 所 图未现角 ，以
和。 我们可以 构造三角形， 然
三角形等面积法在初中数学中的应用
三角形等面积法在初中数学中的应用作者：王斌杰来源：《试题与研究·教学论坛》2012年第13期三角形等面积法是指利用三角形面积自身相等的性质进行解题的一种方法。
此法是初中数学中常用的一种解题方法。
它具有解题便捷快速、简单易懂等特点。
现举例如下：．例1如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，求AB边上的高CD的长。
解析：因为AB2=AC2+BC2,所以AB=5。
又因为S△ABC=12AC·BC=6，S△ABC=12AB·CD=52CD，所以52CD=6，得CD=125。
例2在△ABC中，AB=12,BC=13,AC=5，点P是△ABC内切圆的圆心，求△ABC内切圆的半径。
解析：因为AB2+AC2=169，BC2=169，所以AB2+AC2=BC2。
所以△ABC为直角三角形。
连接AP，PC，BP。
设圆P的半径为r。
S△ABC=12AC·AB=30，S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=12AB·r+12AC·r+12BC·r=12r(AB+AC+BC)=15r，所以15r=30，解得r=2。
例3在等腰三角形ABC中，AB=AC。
点P为BC边上的一个动点，PE垂直AC,PF垂直AB，垂足分别为E，F，求证：PE+PF为定值。
解析：连接AP,过点B作BD垂直AC于点D。
因为S△ABC=S△ABP+S△APC=12AB·PF+12AC·PE，又因为AB=AC，所以S△ABC=12AC(PE+PF)。
又因为S△ABC=12AC·BD，所以12AC(PE+PF)=12AC·BD。
所以PE+PF=BD（定值）。
小结：通过上述的例子可以看出，利用三角形等面积法的性质解题，可从不同的角度使用面积公式表示同一个三角形的面积，列出等式求出未知量。
北师版数学九年级上 应用相似三角形的面积之比解题
北师版数学九年级 应用相似三角形的面积之比解题相似三角形的面积之比，等于相似比的平方，是相似三角形的一条非常重要的性质。
它在解题中也有着十分灵活的应用。
下面就举例加以说明，供同学们学习时参考。
1、根据面积的变化，描述边长的变化例1、把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的 。
A 、10000倍B 、1000倍C 、100倍D 、10倍分析：题目中已经说明两个三角形是相似的，所以，我们就可以直接相似三角形的性质了：相似三角形的面积之比，等于相似比的平方，也就是说，相似三角形的相似比，等于对应三角形面积比的算术平方根，即相似比=100=10，因此，边长扩大到原来的10倍。
解：选D点评：这道题可以作如下的引申：把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的n 倍，那么边长扩大到原来的n 倍。
如果同学们能熟记这个结论，对于解这方面的选择题或者是填空题，将会大大提高解题的速度。
2、已知相似三角形的面积，求边长例2、已知：△ABC∽△A ′B ′C ′，且它们的面积分别是7cm 2和28cm 2，若AB=5cm ， 则A ′B ′= 。
分析：巧用方程的思想，把性质的文字描述转化成等式。
解：设A ′B ′=xcm ，因为，△ABC∽△A ′B ′C ′， 所以，'''=''C B A ABC S S B A AB △△）（2, 因为，△ABC 的面积是7cm 2、△A ′B ′C ′的面积是28cm 2，AB=5cm ， 所以，4128752==）（x ， 所以，1002=x ，解得：x=10（cm ），即A ′B ′的长度为10cm 。
3、已知相似三角形的面积，求三角形的面积例3、如图1所示，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．分析：由于DE ∥MN ，EM ∥NH ，所以，∠DME=∠MHN ，∠EDM=∠NMH ，四边形AEMN 是平行四边形，所以，△DME ∽△MHN ，AE=MN ，942==MHN DEM S S MN DE △△）（,即DE:MN=2:3，因为，AE=MN ， 所以，DE:EA=2:3；由于DM ∥FG ，DE ∥FM ，所以，∠DME=∠FMG ，∠EMD=∠MGF ，四边形BDMF 是平行四边形，所以，△DME ∽△FMG ，BD=FM ，4942==FMG DEM S S FM DE △△）（,即DE:FM=2:7，因为，FM=BD ， 所以，DE:BD=2:7；由于DM ∥BC ，EM ∥AC ，所以，∠EDM=∠B ，∠DEM=∠A ，所以，△DME ∽△BCA ， 所以，BCADEM S S BA DE △△）（=2, 设DE=2k ，则EA=3k ，BD=7k ，所以，AB=2k+3k+7k=12k ， 所以，61122==k k BA DE 所以，361612==BCA DEM S S △△）（， 所以，三角形ABC 面积为：36×4=144。
专题14 三角形章末重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.4 三角形章末重难点题型【考点1 三角形的边角关系】【方法点拨】解题的关键是了解三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【例1】（2019秋•庐江县期末）已知4条线段的长度分别为2，4，6，8，若三条线段可以组成一个三角形，则这四条线段可以组成三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．【答案】解：首先任意的三个数组合可以是2，4，6或2，4，8或2，6，8或4，6，8．根据三角形的三边关系：其中4+6＞8，能组成三角形．∴只能组成1个．故选：A．【点睛】考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式1-1】（2018秋•当涂县期末）若一个三角形的两边长分别为4和7，则周长可能是（）A．11B．18C．14D．22【分析】根据第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，可求出第三边长的范围，从而得出答案．【答案】解：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系，得7﹣4＜x＜7+4，即3＜x＜11．∴14＜周长＜22，∴周长可能为18，故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．【变式1-2】（2019春•临清市期末）a，b，c为三角形的三边长，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【分析】根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可．【答案】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，＝a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c，＝0．故选：A．【点睛】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．【变式1-3】（2019秋•江东区期末）已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（）A．3B．10C．6.5D．3或6.5【分析】因为腰长没有明确，所以分边长3是腰长和底边两种情况讨论．【答案】解：（1）当3是腰长时，底边为16﹣3×2＝10，此时3+3＝6＜10，不能组成三角形；（2）当3是底边时，腰长为×（16﹣3）＝6.5，此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形．所以腰长为6.5．故选：C．【点睛】本题要分情况讨论，注意利用三角形的三边关系判断能否组成三角形，是学生容易出错的题．【考点2 巧用三角形中线求面积】【方法点拨】解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．【例2】（2019秋•长丰县期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是32，则图中阴影部分面积等于（）A．16B．8C．4D．2【分析】首先根据D是BC的中点，可得：S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，再根据E是AD的中点，可得：S＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，所以S△BCE＝S△ABC；然后根据F是CE的中点，求出△BEF的面△BDE积是多少即可．【答案】解：∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，∴S△BCE＝S△ABC＝×32＝16，∵F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE＝×16＝8．答：图中阴影部分面积等于8．故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握．【变式2-1】（2019秋•宁阳县期末）如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD ＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【答案】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式2-2】（2019秋•椒江区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE为△ABD中AB边上的中线，△ABC的面积为6，则△ADE的面积是（）A．1B．C．2D．【分析】根据三角形的中线的性质，得△ADE的面积是△ABD的面积的一半，△ABD的面积是△ABC 的面积的一半，由此即可解决问题．【答案】解：∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ABC＝3．∵DE为△ABD中AB边上的中线，∴S△ADE＝S△ABD＝．故选：B．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．【变式2-3】（2019秋•温州期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（）A．15B．20C．25D．30【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解．【答案】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得∵F是BE的中点，S△CFE＝S△CFB＝5，∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，∵E是AD的中点，∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE∴S△BDE+S△CDE＝10∴S△AEB+S△AEC＝10∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20故选：B．【点睛】本题考查了三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．【考点3 三角形内角和之折叠变换】【方法点拨】解题的关键是掌握折叠的性质．【例3】（2019秋•潮州期末）如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．32°B．45°C．60°D．64°【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠B＝32°，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【答案】解：如图所示：由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，∴∠1﹣∠2＝64°．故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3-1】（2020春•岱岳区期中）如图，将△ABC沿MN折叠，使MN∥BC，点A的对应点为点A'，若∠A'＝32°，∠B＝112°，则∠A'NC的度数是（）A．114°B．112°C．110°D．108°【分析】由MN∥BC，可得出∠MNC与∠C互补，由三角形的内角和为180°可求出∠C的度数，从而得出∠MNC的度数，由折叠的性质可知∠A′NM与∠MNC互补，而∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM，套入数据即可得出结论．【答案】解：∵MN∥BC，∴∠MNC+∠C＝180°，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠A′＝32°，∠B＝112°，∴∠C＝36°，∠MNC＝144°．由折叠的性质可知：∠A′NM+∠MNC＝180°，∴∠A′NM＝36°，∴∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM＝144°﹣36°＝108°．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质、折叠的性质以及三角形的内角和为180°，解题的关键是找出∠MNC 与∠A′NM的度数．本题属于基础题，难度不大，根据平行线的性质找出角的关系，结合图形即可得出结论．【变式3-2】（2020春•江阴市期中）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（）A．27°B．59°C．69°D．79°【分析】先根据折叠的性质得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，则∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，根据三角形内角和定理得∠3+∠C＝106°，在△ABC中，利用三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C＝180°，则20°+2∠3+106°＝180°，可计算出∠3＝27°，即可得出结果．【答案】解如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，∴∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABC＝3∠3，在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，即20°+2∠3+106°＝180°，∴∠3＝27°，∴∠ABC＝3∠3＝81°，∠C＝106°﹣27°＝79°，故选：D．【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出∠ABC和∠CBD的倍数关系是解决问题的关键．【变式3-3】（2019春•繁昌县期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）【分析】根据三角形的内角和为180°以及四边形的内角和为360°得到几个角之间的等量关系，整理化简即可得到所求角之间的关系．【答案】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°①；在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED＝180°②；在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED＝360°③；∴①+②﹣③得2∠A＝∠1+∠2．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，以及翻折变换，解题的关键是求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．【考点4 三角形内角和之角平分线】【例4】（2019秋•顺义区期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是（）A．2∠DAE＝∠B﹣∠C B．2∠DAE＝∠B+∠CC．∠DAE＝∠B﹣∠C D．3∠DAE＝∠B+∠C【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，即可得到∠DAE、∠B、∠C之间的数量关系．【答案】解：∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C），∵AE是高，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝（90°﹣∠C）﹣（180°﹣∠B﹣∠C）＝（∠B﹣∠C），故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．【变式4-1】（2019秋•璧山区期中）如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线，∠BDC＝120°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．75°【分析】根据角平分线的定义得到∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可．【答案】解：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°，∴∠A＝60°；故选：C．【点睛】本题考查的是三角形的内角和，掌握三角形的内角和是解题的关键．【变式4-2】（2020•拱墅区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，则∠EAC的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．38°【分析】根据∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF，求出∠BAC，∠BAF即可解决问题．【答案】解：∵∠ABC＝36°，∠C＝44°，∴∠BAC＝180°﹣36°﹣44°＝100°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝18°，∵AE⊥BD，∴∠BF A＝90°，∴∠BAF＝90°﹣18°＝72°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF＝100°﹣72°＝28°，故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式4-3】（2019春•巴州区期末）如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝β，那么∠A等于（）A．180°﹣B．180°﹣2βC．90°﹣βD．90°﹣【分析】在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠BCD+∠CBD的度数，由角平分线的定理可得出∠CBE+∠BCF的度数，由邻补角互补可求出∠ABC+∠ACB的度数，再在△ABC中利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数．【答案】解：∵∠BCD+∠CBD+∠D＝180°，∠D＝β，∴∠BCD+∠CBD＝180°﹣β．∵BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，∴∠CBE+∠BCF＝2（∠BCD+∠CBD）＝360°﹣2β，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠CBE+180°﹣∠BCF＝360°﹣（∠CBE+∠BCF）＝2β．又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣2β．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、邻补角以及角平分线的性质，利用三角形内角和定理、角平分线的性质及邻补角互补求出∠ABC+∠ACB的度数是解题的关键．【考点5 全等三角形的判定】【方法点拨】全等三角形的判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【例5】（2019秋•九龙坡区校级期末）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．CD＝BE D．∠ADC＝∠AEB【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【答案】解：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴当添加AE＝AD时，可根据“SAS”判断△ABE≌△ACD；当添加∠B＝∠C时，可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD；当添加∠AEB＝∠ADC时，可根据“AAS”判断△ABE≌△ACD．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式5-1】（2019秋•东阿县期末）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB＝BD B．∠E+∠D＝90°C．AC＝AE+CD D．∠EBD＝60°【分析】由于∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，根据直角三角形全等的判定方法对各选项进行判断．【答案】解：∵∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，∴当添加EB＝BD时，则可根据“HL”判定△EAB≌△BCD；当添加AE＝BC，即AC＝AE+CD，则可根据“SAS”判定△EAB≌△BCD；当添加∠ABE＝∠D时，此时∠D+∠E＝90°，∠EBD＝90°，则可根据“SAS”判定△EAB≌△BCD，．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式5-2】（2019秋•正定县期中）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（）A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可【分析】要想买一块和以前一样的玻璃，只要确定一个角及两条边的长度或两角及一边即可，即简单的全等三角形在实际生活中的应用．【答案】解：由图可知，带上1，4相当于有一角及两边的大小，即其形状及两边长确定，所以两块玻璃一样；同理，3，4中有两角夹一边，同样也可得全等三角形；2，4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，又由2确定了底边的方向，进而可得全等．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定，能够联系实际，灵活应用所学知识．【变式5-3】（2019•鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】结合已知条件与全等三角形的判定方法进行思考，要综合运用判定方法求解．注意高的位置的讨论．【答案】解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD＝DE，A′D′＝D′E′，∴△ADC≌△EDB，∴BE＝AC，同理：B′E′＝A′C′，∴BE＝B′E′，AE＝A′E′，∴△ABE≌△A′B′E′，∴∠BAE＝∠B′A′E′，∠E＝∠E′，∴∠CAD＝∠C′A′D′，∴∠BAC＝∠B′A′C′，∴△BAC≌△B′A′C′．③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；要根据选项提供的已知条件逐个分析，分析时看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA是不能判得三角形全等的．【考点6 尺规作图】【例6】（2019秋•蜀山区期末）如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：（1）作∠A＝∠1；（2）在∠A的两边分别作AM＝AN＝a；（3）连接MN．【分析】先以A为圆心，a为半径画弧，即可作∠A＝∠1，则AM＝AN＝a；最后连接MN即可．【答案】解：如图所示：【点睛】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图的方法．【变式6-1】（2019春•秦都区期中）如图，已知△ABC中，∠ACB＞∠ABC，用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM＝∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）【分析】根据尺规作图的方法，以AC为一边，在∠ACB的内部作∠ACM＝∠ABC即可；【答案】解：如图所示，射线CM即为所求：【点睛】本题主要考查了基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图．【变式6-2】（2019春•平川区期末）已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝2∠α，AB＝2α．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】先作AB＝2a，再作∠A＝∠α，然后作∠B＝2∠α即可．【答案】解：如图，△ABC为所作．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．【变式6-3】（2019秋•包河区期末）已知平面内有∠α，如图（1）．（1）尺规作图：在图（2）∠AOB的内部作∠AOD＝∠α（保留作图痕迹，不需要写作法）；（2）已知（1）中所作的∠AOD＝40°，OE平分∠BOC，∠AOE＝2∠BOE，求∠BOD．【分析】（1）依据基本作图，即可得到∠AOD＝∠α；（2）依据角平分线的定义，即可得到∠AOD的度数，进而得出∠BOD的度数．【答案】解：（1）如图2所示，∠AOD即为所求；（2）∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE，又∵∠AOE＝2∠BOE，∴∠AOB＝∠BOE，∴∠AOB＝∠AOC＝60°，又∵∠AOD＝40°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝60°﹣40°＝20°．【点睛】本题主要考查了基本作图以及角的计算，掌握作一个角等于已知角是解决问题的关键．【考点7 全等三角形的证明】【例7】（2019秋•东西湖区期中）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．【分析】根据角的和差得到∠AOC＝∠BOD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【答案】证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式7-1】（2019秋•大观区校级期中）如图，△ABC的两条高AD、BE相交于点H，且AD＝BD，试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH＝∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．【分析】（1）利用，△ABC的两条高AD、BE相交于点H得出，∠ADC＝∠BEC＝90°，再利用三角形内角和定理得出答案；（2）因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC，又因为AD＝BD，∠DBH＝∠DAC，故可根据ASA判定两三角形全等．【答案】证明：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠C＝∠C，∴∠DBH＝∠DAC；（2）∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC在△BDH与△ADC中，∴△BDH≌△ADC．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式7-2】（2019春•黄岛区期末）如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，那么△BCE和△BDE 全等吗？请说明理由．【分析】根据全等三角形的判定定理，观察图形上的已知条件，已知告诉的条件是一角一边分别对应相等，加上公共边就可证两对三角形全等．【答案】解：△BCE≌△BDE，理由如下：在△ACB与△ADB中，∴△ACB≌△ADB（SAS），∴BC＝BD，∠ABC＝∠ABD，在△BCE与△BDE中，∴△BCE≌△BDE（SAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；关键是根据全等三角形的判定定理证明．【变式7-3】（2019秋•北碚区校级期末）如图，点D在△ABC外部，点C在DE边上，BC与AD交于点O，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：（1）∠B＝∠D；（2）△ABC≌△ADE．【分析】（1）由三角形内角和定理可知∠E＝∠180°﹣∠3﹣∠ACE，∠ACB＝180°﹣∠2﹣∠ACE，再根据∠2＝∠3，∠ACE＝∠ACE，证明△ABC≌△ADE（ASA），即可证明．（2）只要证明△ABC≌△ADE（ASA）即可．【答案】证明：（1）∵∠1＝∠3，∴∠1+∠DAC＝∠3+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∵∠E＝∠180°﹣∠3﹣∠ACE，∠ACB＝180°﹣∠2﹣∠ACE，∵∠2＝∠3，∠ACE＝∠ACE，∴∠ACB＝∠E，在△ABC与△ADE中，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴∠B＝∠D．（2）由（1）可得△ABC≌△ADE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【考点8 全等三角形的应用】【例8】（2019春•开江县期末）如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步．（1）根据题意，画出示意图；（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．【分析】（1）根据题意所述画出示意图即可．（2）根据AAS可得出△ABC≌△DEC，即求出DE的长度也就得出了AB之间的距离．【答案】解：（1）所画示意图如下：（2）在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（ASA），∴AB＝DE，又∵小刚共走了140步，其中AD走了60步，∴走完DE用了80步，小刚一步大约50厘米，即DE＝80×0.5米＝40米．答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米．【点睛】本题考查全等三角形的应用，像此类应用类得题目，一定要仔细审题，根据题意建立数学模型，难度一般不大，细心求解即可．【变式8-1】（2019春•峄城区期末）如图，点C、E分别在直线AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF．小华的想法对吗？为什么？【分析】通过全等三角形得到内错角相等，得到两直线平行，进而得到同旁内角互补．【答案】解：小华的想法对，理由是：∵O是CF的中点，∴CO＝FO（中点的定义）在△COB和△FOE中，∴△COB≌△FOE（SAS）∴BC＝EF（全等三角形对应边相等）∠BCO＝∠F（全等三角形对应角相等）∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）∴∠ACE和∠DEC互补（两直线平行，同旁内角互补），【点睛】本题考查了三角形的全等的判定和性质；做题时用了两直线平行内错角相等，同旁内角互补等知识，要学会综合运用这些知识．【变式8-2】（2019春•槐荫区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．【答案】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．【变式8-3】（2019秋•临海市期末）如图1，为测量池塘宽度AB，可在池塘外的空地上取任意一点O，连接AO，BO，并分别延长至点C，D，使OC＝OA，OD＝OB，连接CD．（1）求证：AB＝CD；（2）如图2，受地形条件的影响，于是采取以下措施：延长AO至点C，使OC＝OA，过点C作AB的平行线CE，延长BO至点F，连接EF，测得∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，CE＝11m，EF＝10m，请直接写出池塘宽度AB．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答．【答案】证明：（1）在△ABO与△CDO中，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；（2）如图所示：延长OF、CE交于点G，∵∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，∴∠FEG＝40°，∠EFG＝70°，∴∠G＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∴EF＝EG，∵CE＝11m，EF＝10m，∴CG＝CE+EG＝CE+EF＝11+10＝21m，∵CG∥AB，∴∠A＝∠C，在△ABO与△CGO中，∴△ABO≌△CGO（ASA）∴AB＝CG＝21m．【点睛】此题考查全等三角形的应用，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．【考点9 全等三角形中的动点问题】【例9】（2019秋•莱山区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm 和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为多少时，△PEC与△QFC全等？【分析】推出CP＝CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6﹣t＝8﹣3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6﹣t＝3t﹣8，Q在AC上，求出即可得出答案．【答案】解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC，∵△PEC≌△QFC，∴斜边CP＝CQ，有2种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP＝6﹣t，CQ＝8﹣3t，∴6﹣t＝8﹣3t，∴t＝1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP＝6﹣t＝3t﹣8，∴t＝3.5；答：点P运动1或3.5时，△PEC与△QFC全等．【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．【变式9-1】（2019秋•娄底期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？【分析】（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，据（1）同理可得当BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC时两三角形全等，求x的解即可．【答案】解：（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，∵△ABC中，AB＝AC，∴在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD＝PC，BP＝CQ时，②当BD＝CQ，BP＝PC时，两三角形全等；①当BD＝PC且BP＝CQ时，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD＝CQ，BP＝PC时，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x＝；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP 全等．【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【变式9-2】（2019秋•内乡县期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC+∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ；（2）讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可．【答案】解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，∵AP＝BQ＝2，∴BP＝5，∴BP＝AC，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；∴∠C＝∠BPQ，∵∠C+∠APC＝90°，∴∠APC+∠BPQ＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t解得：x＝，t＝．综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式9-3】（2019秋•梁平区期末）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B 出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．（1）PC＝cm（用含t的代数式表示）．（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用速度公式，用t表示出BP，从而可用t表示出PC；。
13 三角形面积求最大值问题——铅垂法-【初中数学】120个题型大招!冲刺满分秘籍!
铅垂法求三角形面积最值问题求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积．这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABC ACD BCD S S S CD AE CD BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离．由题意得：AE +BF =6．下求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标（4,7）可得D 点横坐标为4，将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2，故D 点坐标为（4,2），CD =5,165152ABC S =⨯⨯= ．【方法总结】作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABC S ⨯ 水平宽铅垂高【解题步骤】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ；（3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标；（4）根据C 、D 坐标求得铅垂高；（5）利用公式求得三角形面积．【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似：【铅垂法大全】（1）取AB 作水平宽，过点C 作铅垂高CD ．（2）取AC 作水平宽，过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ，BD 即对应的铅垂高，=2ABC ABD BCD S S S ⨯-= 水平宽铅垂高（3）取BC 作水平宽，过点A 作铅垂高AD ．甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．（4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．（5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．（6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．方法突破例一、如图，已知抛物线25y ax bx =++经过(5,0)A -，(4,3)B --两点，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为m ．当点P 在直线BC 的下方运动时，求PBC ∆的面积的最大值．【分析】（1）265y x x =++，（2）取BC 两点之间的水平距离为水平宽，过点P 作PQ ⊥x 轴交直线BC 于点Q ，则PQ 即为铅垂高．根据B 、C 两点坐标得B 、C 水平距离为4，根据B 、C 两点坐标得直线BC 解析式：y =x +1，设P 点坐标为（m ，m ²+6m +5），则点Q （m ，m +1），得PQ =-m ²-5m -4，考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．当52-时，△BCP 面积最大，最大值为278．【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．例二、在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图像与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图像下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标．【分析】（1）抛物线解析式：21322y x x =--；一次函数解析式：1122y x =+．（2）显然，当△ACE 面积最大时，点E 并不在AC 之间．已知A （-1,0）、10,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点E 坐标为213,22m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点E 作EF ⊥x 轴交直线AD 于F 点，F 点横坐标为m ，代入一次函数解析式得11,22m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可得213222EF m m =-++考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了，对坐标系中已知三点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，按铅垂法思路，可得：12233121321312ABC S x y x y x y x y x y x y =++--- 如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．专项训练1．已知二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，且二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -．（1）分别求m 、n 和b 、c 的值；（2）点P 是二次函数2y x bx c =-++的图象上一动点，且点P 在x 轴上方，写出ACP ∆的面积S 关于点P 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．【分析】（1）把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答案；（2）分两种情况：①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D ，分别根据三角形面积公式得到关系式，利用函数式表示三角形PAC 的面积，配方可得答案．【解答】解：（1） 二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -，∴301m n n -+=⎧⎨=-⎩，∴131m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ，∴9303b c c --+=⎧⎨=⎩，∴23b c =-⎧⎨=⎩．（2）由（1）知一次函数与二次函数的解析式分别为：113y x =--或223y x x =--+，①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，则13|3|22PAC S PD PD ∆=⨯⨯-=，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D，则13|3|22PAC S PD x x PD ∆=⨯⨯+-=， 点P 在抛物线上，设2(,23)P x x x --+，则1(,1)3D x x --，2215231433PD x x x x x ∴=--+++=--+，233535169(4)(2232624PAC S PD x x x ∆∴==-++=-++，即当56x =-时，PAC S ∆最大16924=．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形面积的计算等，掌握其性质及运算是解决此题关键，2．如图，抛物线经过(2,0)A -，(4,0)B ，(0,3)C -三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 下方的抛物线上有一动点P ，使得PBC ∆的面积最大，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）由PBC ∆的面积PHB PHC S S ∆∆=+，即可求解；（3）分AC 是边、AC 是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解．【解答】解：（1）将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得42016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得38343a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，故抛物线的表达式为233384y x x =--；（2）设直线BC 的表达式为y mx n =+，则043m n n =+⎧⎨=-⎩，解得343m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线BC 的表达式为334y x =-，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设点P 的坐标为233(,3)84x x x --，则点3(,3)4H x x -，则PBC ∆的面积221133334(33)3224844PHB PHC S S PH OB x x x x x ∆∆=+=⋅=⨯⨯--++=-+，304-< ，故该抛物线开口向下，PBC ∆的面积存在最大值，此时2x =，则点P 的坐标为(2,3)-；（3）存在，理由：设点N 的坐标为(,)m n ，则233384n m m =--①，①当AC 是边时，点A 向下平移3个单位得到点C ，则点()M N 向下平移3个单位得到点()N M ，则03n -=或03n +=②，联立①②并解得23m n =⎧⎨=-⎩或13m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（不合题意的值已舍去）；②当AC 是对角线时，则由中点公式得：11(03)(0)22n -=+③，联立①③并解得23m n =⎧⎨=-⎩（不合题意的值已舍去）；综上，点N 的坐标为(2,3)-或(1-3)或(1--3)．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -三点，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P 运动到什么位置时，PBC ∆的面积最大，求出此时P 点坐标及PBC ∆面积的最大值；（3）在y 轴上是否存在点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A 、B 、C 坐标代入即可求解析式；（2）设P 坐标，表示出PBC ∆的面积，再求出最大面积和面积最大时P 的坐标；（3）两个直角顶点是对应点，而AOC ∆两直角边的比为14，只需BOQ ∆两直角边比也为14，两个三角形就相似，分两种情况列出比例式即可．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为12()()y a x x x x =--，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -，11x ∴=-，23x =，124()()a x x x x -=--，解得11x =-，23x =，43a =，∴二次函数的解析式为2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--，故答案为：2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--；（2）设直线BC 解析式为y kx b =+，将(3,0)B ，(0,4)C -代入得034k b b =+⎧⎨-=⎩，解得43b =，4c =-，BC ∴解析式是443y x =-，如答图1，过P 作//PD y 轴，交BC 于D ，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，03m ∴<<，248433n m m =--，4(,4)3D m m -，224484(4)(4)43333PD m m m m m ∴=----=-+，22211439()(4)(30)262()22322PBC B C S PD x x m m m m m ∆∴=⋅-=-+⋅-=-+=--+，3032<< ，32m ∴=时，PBC S ∆最大为92，此时224843834()45333232n m m =--=⨯-⨯-=-，3(2P ∴，5)-，故答案为：3(2P ，5)-，PBC S ∆最大为92；(3(1,0)A - ，(0,4)C -，(3,0)B ，∴14OA OC =，3OB =， 点Q 在y 轴上，90BOQ AOC ∴∠=∠=︒，若以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似，则BOQ ∠与AOC ∠对应，分两种情况：①如答图2，AOC QOB∆∆∽，则14OQ OAOB OC==即134OQ=，解得34OQ=，13(0,4Q∴或23 (0,)4Q-；②AOC BOQ∆∆∽，则14OB OAOQ OC==即314OQ=，解得12OQ=，3(0,12)Q∴或4(0,12)Q-，综上所述，存在y轴上的点Q，使以O，B，Q为顶点的三角形与AOC∆相似，这样的点一共4个：13 (0, 4Q或23 (0,)4Q-，3(0,12)Q或4(0,12)Q-，故答案为：存在这样的点Q，坐标分别是：13 (0, 4Q或23 (0,)4Q-，3(0,12)Q或4(0,12)Q-，【点评】本题是二次函数、相似三角形、面积等问题的综合题，主要考查坐标、线段的转化，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等，难度适中．4．如图1，抛物线2y x bx c=-++与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(3,0)，点C 坐标为(0,3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC ∆的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 为该抛物线的顶点，直线MD x ⊥轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，先求出BC 的解析式，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，由三角形面积公式可得221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+，由二次函数的性质可求解；（3）设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，先求出点A ，点M 坐标，可求MC 解析式，可得4DE MD ==，由等腰直角三角形的性质可得MQ NQ ==，由两点距离公式可列222(|4|)42n n -=+，即可求解．【解答】解：（1） 点(3,0)B ，点(0,3)C 在抛物线2y x bx c =-++图象上，∴9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为：223y x x =-++；（2） 点(3,0)B ，点(0,3)C ，∴直线BC 解析式为：3y x =-+，如图，过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，22(23)(3)3PG m m m m m ∴=-++--+=-+，221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+ ，∴当32m =时，PBC S ∆有最大值，∴点3(2P ，154；（3）存在N 满足条件，理由如下： 抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴点(1,0)A -，2223(1)4y x x x =-++=--+ ，∴顶点M 为(1,4)，点M 为(1,4)，点(0,3)C ，∴直线MC 的解析式为：3y x =+，如图，设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，∴点(3,0)E -，4DE MD ∴==，45NMQ ∴∠=︒，NQ MC ⊥ ，45NMQ MNQ ∴∠=∠=︒，MQ NQ ∴=，22MQ NQ ∴==，设点(1,)N n ，点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离，NQ AN ∴=，22NQ AN ∴=，222()2MN AN ∴=，222(|4|)42n n ∴-=+，2880n n ∴+-=，46n ∴=-±，∴存在点N 满足要求，点N 坐标为(1,426)-+或(1,426)--．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数列方程是本题的关键．5．如图，抛物线过点(0,1)A 和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为B ，0)，平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F 的横坐标为3，四边形BDEF 为平行四边形．（1）求点F 的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．【分析】（1）由待定系数法求出直线AB 的解析式为13y x =-+，求出F 点的坐标，由平行四边形的性质得出1613181(33a a a -+=-+--，求出a 的值，则可得出答案；（2）设2(,1)P n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则(,1)P n '+，得出2PP n '=-+，由二次函数的性质可得出答案；（3）联立直线AC 和抛物线解析式求出C ，4)3-，设Q ，)m ，分两种情况：①当AQ 为对角线时，②当AR 为对角线时，分别求出点Q 和R 的坐标即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，(0,1)A ，B ，0)，设直线AB 的解析式为y kx m =+，∴01m m +==⎪⎩，解得31k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为13y x =+， 点FF ∴点纵坐标为113=-，F ∴点的坐标为，1)3-，又 点A 在抛物线上，1c ∴=，对称轴为：2b x a=-=，b ∴=-，∴解析式化为：21y ax =-+，四边形DBFE 为平行四边形．BD EF ∴=，1613181(33a a a ∴-+=-+--，解得1a =-，∴抛物线的解析式为21y x =-++；（2）设2(,1)P n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则3(,1)3P n '+，2733PP n n '∴=-+，2213737493)32222624ABP S OB PP n n ∆'==-+=--+ ，∴当736n =ABP ∆49324，此时7(36P 47)12．（3） 231231y y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩，0x ∴=或733x =7(33C ∴，43-，设(3Q ，)m ，①当AQ 为对角线时，47(3,)33R m ∴+，R 在抛物线2(3)4y x =--+上，274(33)433m ∴+=--+，解得443m =-，44(3,3Q ∴-，437(3,33R -；②当AR 为对角线时，107(3,33R m ∴-，R 在抛物线2(4y x =--+上，2743m ∴-=--+，解得10m =-，Q ∴10)-，37)3R -．综上所述，443Q -，37(3R -；或Q ，10)-，37)3R -．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．6．在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA 、OB 、OC ，进而得A 、B 、C 三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组求得12||x x -，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，由OP OQ =列出方程求得m 的值，再根据题意舍去不合题意的m 值，再求得PQ 的中点坐标，便可求得直线l 的解析式．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-；（2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由2122y x y kx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=，122x x k ∴+=，124x x =- ，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-= ，∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，OP OQ ∴==解得，1m 2m =，31m =，41m =-，31m = ，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -，线段PQ 的中点为1)-，∴1=-，∴1k =，∴直线l 的表达式为：(1y x =-，当2m =时，点(P 1)2-，线段PQ 的中点为，1)-，∴1=-，∴1k =，∴直线l 的解析式为(1y x =+．综上，点P ，1)2-，直线l 的解析式为(1y x =-或点(P ，1)2-，直线l 的解析式为(1y x =+．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第（2）①题关键是求得M 、N 两点的横坐标之差，第（2）②小题关键是根据轴对称性质列出m 的方程，以及求得PQ 的中点坐标．。
七年级数学下册巧用三角形的中线求长度和面积
9．微专题：巧用三角形的中线求长度和面积◆类型一求线段长【方法点拨】由中线得线段相等，再结合中线这条公共边相等解题．如图，BD为△ABC 的中线，则AD＝CD，C△ABD－C△BCD＝AB－BC.1．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，△ABD 的周长为15cm，求AC的长．◆类型二求面积【方法点拨】(1)中线把三角形分成两个面积相等的三角形．如图①，若BD为△ABC的中线，则S△ABD＝S△BCD.若DE为△BCD的中线，则S△BDE＝S△CDE＝12S△BCD＝14S△ABC.图①图②(2)若题中有中点，求面积，要考虑在三角形中连接中线，利用①中的性质求解，如T4.(3)同一三角形被不同中线分成的三角形面积也相等．如图②，BD，AE均为△ABC的中线，则S△ABD＝S△BCD＝S△ABE＝S△ACE＝12S△ABC.2．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC＝3cm2，则S△ABC＝________．第2题图第3题图3．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2.若S△ABC＝12，则S1＋S2＝________．4．如图①，已知AD为△ABC中BC边上的中线．(1)试说明：S△ADB＝S△ADC；(2)如图②，若O为AD的中点，连接BO和CO，设△ABC的面积为S，△ABO的面积为S1，用含S的代数式表示S1，并说明理由；(3)如图③，学校有一块面积为40m2的三角形空地ABC，按图③所示分割，其中点D、E、F分别是线段BC、AD、EC的中点，拟计划在△BEF内栽种花卉，其余地方铺草坪，则栽种花卉(阴影部分)的面积是________m2.参考答案与解析1．解：∵AB＝6cm，AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，∴BD＝15－6－5＝4(cm)．∵AD 是BC边上的中线，∴BC＝8cm.∵△ABC的周长为21cm，∴AC＝21－6－8＝7(cm)．2．12cm2 3.144．解：(1)作AE⊥BC.∵S△ADB＝12BD·AE，S△ADC＝12CD·AE，又AD为△ABC中BC边上的中线，∴BD＝CD，∴S△ADB＝S△ADC.(2)由(1)可知S△ADB＝S△ADC，同理S△ABO＝S△DBO＝12S△ADB，∴S△ABO＝14S△ABC，即S1＝14S.(3)10解析：S△BEF＝12S△BEC＝12(S△BDE＋S△CDE)＝14(S△ABD＋S△ACD)＝14S△ABC.。
面积——等面积法
面积法在中学数学解题中的巧用利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。
利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数”的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。
用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。
运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明”的效果。
有关面积的公式（1）矩形的面积公式：S=长⨯宽 （2）三角形的面积公式：ah S 21=（3）平行四边形面积公式: S=底⨯高（4）梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高（5）对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半（如正方形、菱形等） 有关面积的公理和定理 1、面积公理（1）全等形的面积相等；（2）一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理（1）等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD（2）等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；（3）等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（5）在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；（6）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。
问：长方形的面积是__________平方厘米。
等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。
如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则AFC S =△ 9 2cm如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止。
思维点拨：巧解三角形典型例题
思维点拨：巧解三角形典型例题【例1】如图，已知五角星ABCDE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.【思考与分析】我们可以连结DE，在由三角形ACF和三角形DEF构成的图形中，∠A+∠C=∠CED+∠EDA，从而把五角星ABCDE的五个内角放到了三角形BED中，根据三角形内角和定理即可求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解：连结DE，由以上结论可知：∠A+∠C=∠CED+∠EDA，又因为在三角形BED中，∠B+∠BEC+∠BDA+∠CED+∠EDA=180°，所以∠B+∠BEC+∠BDA+∠A+∠C=180°.即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.【例2】如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.【思考与分析】我们按照例1的思路，连结CD，则在三角形AEF和三角形DCF 所构成的图形中，∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，这样就把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5同时放到了三角形BDC中，即可求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.解：连结CD，则∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，又因为在三角形BDC中，∠1+∠5＋∠2+∠EDC+∠DCA=180°，所以∠1+∠5＋∠2+∠3+∠4=180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=180°.【小结】按照这种思路，以上两题还有多种解法，大家不妨试一试，看能找到多少种解法.【例3】如图，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（）.【思考与解】因为EG⊥AD，交点为H，AD平分∠BAC，所以在直角三角形AHE中，∠1＝90°－12BAC在三角形ABC中，易知∠BAC＝180°－（∠2＋∠3），所以∠1＝90°－12［180°－（∠2＋∠3）］=12（∠3+∠2）.又因为∠1是三角形EBG的外角，所以∠1＝∠2＋∠G.所以∠G＝∠1－∠2＝12（∠3+∠2）－∠2＝12（∠3－∠2）.所以应选C.【例4】如图，点D为三角形ABC内的一点，已知∠ABD＝20°，∠ACD＝25°，∠A＝35°.你能求出∠BDC的度数吗？【思考与解】延长BD，与AC交于E点，因为∠DEC是三角形ABE的外角，所以∠DEC=∠A+∠ABD＝35°+20°=55°.又因为∠BDC是三角形CDE的外角，所以∠BDC=∠DEC+∠ACD=55°+25°=80°.【小结】记准一些常用的结论，有助于我们快速地、正确地解题.【例5】如图，已知∠B＝10°，∠C＝20°，∠BOC＝110°，能求出∠A的度数吗？【思考与分析】要求∠A的度数，我们可以设法让∠A成为某个与已知角相关的三角形的内角.我们可延长BO交AC于D，则∠A、∠B即为三角形ABD 的两个内角.根据三角形外角的性质，欲求∠A的度数，可先求∠ODC的度数，由∠BOC＝110°，∠C＝20°即可求出∠ODC的度数.解：延长BO交AC于D.因为∠BOC是三角形ODC的外角，所以∠BOC＝∠ODC+∠C.因为∠BOC=110°，∠C＝20°，所以∠ODC＝110°－20°＝90°.因为∠ODC是三角形ABD的外角，所以∠ODC＝∠A+∠B.因为∠B＝10°，所以∠A＝90°－10°＝80°.【例6】如图，点D是三角形ABC内一点，连结BD、CD，试说明∠BDC>∠BAC.【思考与分析】∠BDC和∠BAC在两个不同的三角形内，而且不能直接比较它们的大小，必须做辅助线把这两个角联系起来.我们延长BD交AC于P，或连结AD并延长交BC于Q，都可以利用三角形外角的性质解题.解：延长BD交AC于P，则∠BDC>∠DPC，∠DPC>∠BAC，所以∠BDC>∠BAC.【反思】我们还可以连结AD并延长交BC于Q，如图，请大家试一试，看能不能得到相同的结论.【例7】已知三角形ABC的一个内角度数为40°，且∠A=∠B，你能求出∠C的外角的度数吗？【思考与分析】在三角形ABC中，∠A=∠B，因此三角形ABC是一个等腰三角形，我们必须要讨论40°的角是三角形ABC的顶角还是底角，应分两种情况解答.解：（1）设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的顶角时，则∠α的外角等于180°－40°＝140°，而∠C＝∠α，所以∠C的外角的度数为140°.（2）设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的底角时，∠A=∠B＝∠α＝40°，此时∠C的外角＝∠A＋∠B＝80°.【例8】已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在的直线交于H，你能求出∠BHC的度数吗？【思考与分析】三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，因此我们应该分两种情况进行讨论.解：（1）当三角形ABC为锐角三角形时，如图1所示.因为BD、CE是三角形ABC的高，∠A=45°，所以∠ADB=∠BEH=90°，∠ABD=90°－45°＝45°.所以∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.（2）当三角形ABC为钝角三角形时，如图2所示.因为H是三角形的两条高所在直线的交点，∠A=45°，所以∠ABD＝90°－45°＝45°.所以在直角三角形EBH中，∠BHC=90°－∠ABD＝90°－45°＝45°.由（1）、（2）可知，∠BHC的度数为135°或45°.【小结】我们在解题中，经常遇到题目中某些条件交代不清，此时，我们一定要注意分情况考虑，用分类讨论的方法使解完整.【例9】如图，已知三角形ABC中，∠B=∠C＝2∠A，你能求出∠A的度数吗？【思考与分析】我们由三角形内角和可知，∠A+∠B+∠C=180°，又因为∠B=∠C＝2∠A，可得∠A+∠B+∠C=∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，即可求出∠A 的度数.我们还可以用方程来解这道题，根据三角形内角和定理与∠B=∠C＝2∠A 这两个已知条件求未知量∠A的度数.用方程解决问题，我们必须在弄清题中已知数量和未知数量的关系的基础上，要抓住题中的不变量，建立等量关系.题中的不变量是三角形内角和等于180°，其等量关系是∠A+∠B+∠C=180°，然后我们用数学语言把这个等量关系式转化为方程.设∠A的度数为x，则可以用2x分别表示∠B、∠C的度数，将这个等式转化为方程x＋2x＋2x＝180°，即可求出∠A的度数.解法一：因为∠B=∠C＝2∠A，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠B+∠C=∠A ＋2∠A＋2∠A＝180°，即∠A＝36°.解法二：设∠A的度数为x，则∠B、∠C的度数都为2x，列方程得x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠A＝36°.【例10】判断适合下列条件的三角形ABC是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形.（1）∠A=80°，∠B=25°；（2）∠A－∠B=30°，∠B－∠C=36°；【思考与分析】根据角判断三角形的形状，我们只需求出三角形中各角的度数就可以了，本题判断三角形是否是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，只需求出三角形中最大角的度数即可.（1）题通过直接计算就可以求出∠C的度数，（2）（3）题不便于直接计算，可以运用方程思想抓住等量关系，列方程进行求解.解：（1）因为∠A＝80°，∠B=25°，所以∠C=180°-80°-25°=75°，所以三角形ABC是锐角三角形.（2）设∠B＝x°，则∠A＝（30+x）°，∠C＝（x-36）°，所以x°＋（30+x）°+（x-36）°＝180°，解得x＝62，所以最大角∠A＝92°，所以三角形ABC是钝角三角形.（3）设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝6x°，则x°＋2x°＋6x°＝180°，解得x ＝20，所以∠C＝120°，所以三角形ABC是钝角三角形.【小结】利用方程求角度是我们常用的方法之一.在三角形中，给出的条件不能直接求出结果，且各角之间有相互关系，我们可以设其中一个角为未知数，再把其它角用此未知数表示，然后列方程即可求解.1.利用高线与边垂直的性质求度数【例11】已知△ABC的高为AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数．【思考与分析】由于AD为底边BC上的高，过A做底边BC的垂线时，垂足D可能落在底边BC上，也有可能落在BC的延长上.因此，我们需要分情况讨论．解：（1）当垂足D落在BC边上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.（2）当垂足D落在BC的延长线上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．所以∠BAC为90°或50°．【小结】由于三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形，在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时，我们就要分类讨论，以防遗漏.2. 利用三角形面积公式求线段的长度【例12】如图，△ABC中，AD，CE是△ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的长吗？【思考与分析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半.因此，三角形的面积就有三种不同的表达方式.我们若设△ABC的三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为h a，h b，h c，那么三角形的面积S=12ah a=12bh b=12ch c.本题中已知三角形的两条高与其中一条高所对应的边，求另一条边，利用三角形面积S△ABC=12BC·AD=12AB·CE，解决十分方便.解：S△ABC =12BC·AD=12AB·CE1 2×5×3=12AB·4，解得AB=154（cm）．【小结】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用．【例13】如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则三角形ABD与三角形ACD的周长之差为，三角形ABD 与三角形ACD的面积之间的关系为.【思考与解】（1）三角形ABD与三角形ACD的周长之差＝（AB+BD+AD）－（AD+CD+AC）=AB+BD-CD-AC.而BD=CD ，所以上式＝AB-AC=5-3=2（cm ）.（2）因为S 三角形ABD ＝12BD×AE ，S 三角形ACD ＝12CD×AE ，而BD=CD ，所以S 三角形ABD ＝S 三角形ACD .【例14】如图，在三角形ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于为AB 上的一点，CF ⊥AD 于H.下列判断正确的有（ ）.（1）AD 是三角形ABE 的角平分线.（2）BE 是三角形ABD 边AD 上的中线.（3）CH 为三角形ACD 边AD 上的高.个 个 个 个【思考与解】由∠1＝∠2，知AD 平分∠BAE ，但AD 不是三角形ABE 内的线段，所以（1）不正确；同理，BE 虽然经过三角形ABD 边AD 的中点G ，但BE 不是三角形ABD 内的线段，故（2）不正确；由于CH ⊥AD 于H ，故CH 是三角形ACD 边AD 上的高，（3）正确.应选A.【例15】如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AB ＝13cm ，BC=12cm ，AC=5cm.（1）求三角形ABC 的面积.（2）求CD 的长.【思考与分析】求直角三角形的面积，有两种方法：①S △=12ab （a 、b 为两条直角边的长）；②S △=12ch （c 为直角三角形斜边的长，h 为斜边上的高）.由此可知ab ＝ch ，在a 、b 、c 、h 四个量中，已知其中三个量，就可以求出第四个量.解：（1）在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC=12cm ，AC=5cm ，所以S△ABC ＝12AC×BC＝30（cm2）.（2）因为CD是AB边上的高，所以S△ABC ＝12AB×CD，即12×13×CD＝30.解得CD＝6013cm.【例16】如图1所示，你能求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数吗？【思考与解】我们可以连结EF，把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数转化为求四边形BCEF的内角和.如图2所示.因为∠A+∠D+∠AOD=∠OFE+∠EOF+∠OEF=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠OFE+∠OEF＋∠C+∠B+∠E+∠F＝360°.【例17】如图3，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝2cm，BC=8cm，CD＝11cm，DE＝6cm，你能求出这个六边形的周长吗？【思考与分析】要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长.由六边形ABCDEF的六个角都是120°，可知六边形的每一个外角的度数都是60°，如图4，如果延长BA，得到的∠PAF=60°，延长EF，得到的∠PFA=60°，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF中，∠P的度数为180°－60°－60°＝60°，因此三角形APF是等边三角形.同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形.分别延长FE、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形.所以∠P=∠G=∠H=60°.所以三角形GHP也是等边三角形.于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四个等边三角形.于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题.利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长.解：如图4，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P.因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形.所以GC=BC=8cm，DH=DE＝6cm.所以GH=8＋11＋6＝25cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8＝15cm，EF=PH-PF-EH=25-15-6＝4cm.所以六边形的周长为2＋8+11+6+4+15＝46cm.【反思】本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，利用六边形构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题.方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一.用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到解决.方程思想应用非常广泛.我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题.【例18】已知三角形的第一个内角是第二个内角的倍，第三个内角比这两个内角的和大30°，求这三个内角的度数.【思考与分析】题中的已知量是“第一个内角是第二个内角的倍，第三个内角比这两个内角的和大30°”，未知量是这三个角的度数.题中没有给出三角形内角的度数.但第一个内角和第三个内角与第二个内角的度数相关联，所以解这道题的关键是求出第二个内角的度数.要想解决这个问题，不妨设第二个内角的度数为x，利用方程思想来解.根据三角形的内角和为180°，由此我们可以得到这样的等式关系：第一个内角＋第二个内角＋第三个内角＝180°.当我们用数学语言表示第二个内角为x，第一个内角为，第三个内角为x++30°，利用代换法，将上述的等量关系转化为方程：x+＋（x++30°）＝180°.通过解这个方程就能使问题得到解决.解：设这个三角形的第二个内角的度数为x，则第一个内角的度数为，第三个内角的度数为（x＋＋30°），列方程可得x+＋（x++30°）＝180°，解得x＝30°.所以三角形的三个内角分别为45°，30°，105°.【例19】如图，已知在三角形ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC 边上的高，求∠DBC的度数.【思考与分析】我们欲求∠DBC的度数，因为∠DBC是直角三角形DBC 的一个内角，因此问题转化为求∠C的度数，由已知条件知三角形ABC的三个内角关系为∠C=∠ABC=2∠A，又根据三角形内角和定理有等量关系：∠A+∠ABC+∠C＝180°，从而我们用一个角的度数来表示另外两个角，代入这个等量关系求三个内角的度数，即用方程的方法解决问题.可设∠A＝x，则∠C=∠ABC=2x，代入上述等量关系得方程x＋2x＋2x＝180°，可解得x的值，从而可求得∠DBC的度数.解：设∠A=x，∠C=∠ABC＝2x，在三角形ABC中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，则∠C＝72°.因为BD是AC边上的高，所以∠BDC＝90°.在直角三角形BDC中，∠DBC＝90°－72°＝18°.。
三角形面积公式边长乘边长乘夹角的正弦值
三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它的面积是解题的基础。
想要求解三角形的面积，我们通常会使用公式“三角形面积 = 1/2 x 底边长 x 高”，但是在一些特殊情况下，如果我们知道三角形的两边长度和它们夹角的正弦值，我们也可以通过另外一种公式来求解三角形的面积。
本文将介绍这种方法，并且演示它的应用。
1. 三角形面积公式之夹角正弦公式通过学习三角函数的知识，我们知道正弦函数代表的是一个角的对边与斜边的比值。
对于三角形ABC来说，如果我们知道了边AB和边AC的长度以及它们夹角的正弦值，那么可以使用以下公式来计算三角形ABC的面积：S(ABC) = 1/2 x AB x AC x sin(∠BAC)2. 具体步骤那么，当我们知道边长和夹角的正弦值时，具体该如何求解三角形的面积呢？下面将详细介绍具体的步骤：第一步：确定已知量我们需要明确已知的量，即边AB的长度、边AC的长度，以及它们夹角的正弦值。
在解题之前，确保这些数值都已经获得。
第二步：计算面积接下来，根据公式S(ABC) = 1/2 x AB x AC x sin(∠BAC)，将已知的量带入公式，即可得出三角形ABC的面积。
3. 应用举例为了更好地理解这个三角形面积公式，下面通过一个具体的实例来演示其应用：例题：已知三角形ABC中，边AB的长度为5cm，边AC的长度为7cm，∠BAC的正弦值为0.6，求三角形ABC的面积。
解：根据已知量，利用夹角正弦公式直接计算即可得到结果：S(ABC) = 1/2 x 5 x 7 x 0.6 = 1/2 x 35 x 0.6 = 10.5三角形ABC的面积为10.5平方厘米。
通过以上实例，我们可以看到，夹角正弦公式对于求解三角形面积非常有效，并且在一定的条件下，可以帮助我们更加灵活地解决三角形相关的问题。
4. 总结夹角正弦公式是求解三角形面积的一种常用方法，它适用于已知两边长和它们夹角的正弦值的情况下。
通过本文的介绍和举例，相信读者对于这种方法有了更深入的理解。
利用图形面积妙解问题例析
我们 生 活 的世 界 是 个 丰 富多 彩 的 图形 世 界 ．利 用 这 些 千 变 万 被 广 泛 地 应 用 ．
化 的图形我们可 以解决很多 问题．其 中方法的优美 与巧妙 ，直观
据不完全统计 ， 勾股定理的证 明方法多达 ４ ０多种 ，其 中 ０
总之 ，人贵在创造 ， 创造思维是创造力的核心． 培养有创新
意识 和创 造才能 的人 才是 中华 民族 振兴 的需 要 ，让我们 共 同从
启发 学生进行 猜想 ，作为教师 ，首先要 点燃学 生主动探 索 课堂做起 ．
［ １年 期 基 教 论 ３ ２ ２ 第３ ］ 础 育 坛 ５ ０
方形 的面积 等于 图 ２中两个正方形 面积 的和 ，即 Ｃ ＝ａ ＋ｂ．由 ２ 面积 （ ＋ｂ （ ｏ ）ｏ—ｂ 由此 可 验 证 平 方 差 公 式 一６ ＝（ ＋ｂ （ ） ｏ ）ｏ一
形 面积的差（ 一ｂ） ２．图 １ ２平行 四边形形 的面积等于 （ 十ｂ （ ｏ ）ｎ一
６ ．由 于 图 ｌ 由 图 １ ） ２是 １的 阴影 部 分 切 割 拼 接 而 成 的 ，所 以 一
的会徽就是赵爽所使用 的这个 弦图．
ｂ等 于（ ６ （ 一ｂ ，由此可验证平方差公式 Ｇ一ｂ ＝（ ｂ （ ｚ 口＋ ）口 ） ２ 口＋ ）口一
３ 基 教 论 ２１年 期］ ６ 础 育 坛［ ２ 第３ ０
解题研究 ｒ——一
全平方公式 （ 。一ｂ ２ ａ ）＝ａ —２ｈ＋ｂ．
（ 结 图１的 法 们 以 到 下 计 仅 参 ． ２ 合 ５ 做 我 可 得 以 设 ， 供 考 ）
方法二 ：如 图 １ ３中大正方形是 由两个 小正方形和两个长 方 形组成 的．显而易见 ，其大正方形 的面积 （ ｏ＋６ 于两个小 正 ）等 方形 的面积 与两个全 等的长方 形的面积 的和 ＋２ｈ＋６．由此 ａ 验证 了（ ｂ ２ ａ ａ － ）＝ａ＋２ｈ＋６．同样道理如 图 １ ４ ： ４中的边长 为 一 ６ ）的正方形面积等 于边 长为 。的正方 形面积减去两个长 和宽分
例谈“面积法”在“三角形角平分线模型”中的巧用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１６０㊀例谈面积法三角形角平分线模型中的巧用例谈 面积法 在 三角形角平分线模型 中的巧用Һ徐乐乐㊀王玮玮㊀（深圳市龙华区外国语学校，广东㊀深圳㊀５１８０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 三角形角平分线模型 中蕴含 同高 等高的特点，巧用三角形的面积公式，可以直观㊁快速地建立起边角联系，突破难点．建构三角形角平分线模型，呈现三角形面积法在典型题中的一次㊁二次应用，结合角平分线的性质定理及逆定理可以破解难题；归纳模型的性质结论和应用题型，引导学生在解题中恰当运用三角形面积法，从而发展学生的数学思维和几何模型思想．ʌ关键词ɔ三角形面积法；角平分线的性质；几何模型一般而言，在平面几何题的求解过程中，运用三角形面积公式和由面积公式推出的相关结论来计算或者证明的方法，称之为面积法．但是，三角形面积法在日常教学中，往往容易被学生和教师忽视．在初中数学几何难题中，常会包含三角形的角平分线的有关问题，虽然用常规的方法可以解决，但是步骤烦琐㊁计算量大，有时辅助线的添加还不明了．本文通过分析 三角形角平分线模型 问题的特性，在解题时巧妙应用三角形面积法，最终收到良好的教学效果．一㊁三角形的角平分线模型在三角形的角平分线模型中，由角平分线的性质可知：角平分线上任意一点到角两边的距离相等．所以，学生能自然联想到原三角形被角平分线所分得的两个三角形的高相等，结合三角形面积法，就可以将同高（或等高）的两个三角形的面积比转化为底之比．图１㊀图２如图１，ＢＤ是әＡＢＣ的角平分线，则由定义可知，øＡＢＤ＝øＣＢＤ＝１２øＡＢＣ．如图２，过点Ｄ分别向边ＡＢ，ＢＣ作垂线ＤＥ，ＤＦ，则ＤＥ，ＤＦ分别是әＡＢＤ和әＣＢＤ的高，由角平分线的性质可知ＤＥ＝ＤＦ，则ＳәＡＢＤＳәＣＢＤ＝ＡＢＢＣ．我们不妨把图２称为 三角形的角平分线模型 ，它完整地呈现了三角形的性质的推导过程；从 面积法 的角度看，它直观地呈现了被角平分线分得的两个三角形的底和高，并且是较为特别的 等高 三角形．当我们建立了这样的双视角几何模型，就能够在常规的 角相等 的基础上，发展出 边成比例 的结论．从而为含有角平分线的几何难题提供了新的解题思路 构造等（同）高，巧用面积法．二㊁角平分线模型的应用１．面积法在模型中的一次应用例１㊀如图３，әＡＢＣ中，ＡＤʅＢＣ交ＢＣ于Ｄ，ＡＥ平分øＢＡＣ交ＢＣ于Ｅ，Ｆ为ＢＣ的延长线上一点，ＦＧʅＡＥ交ＡＤ的延长线于Ｇ，ＡＣ的延长线交ＦＧ于Ｈ，连接ＢＧ，下列结论：①ＳәＡＥＢʒＳәＡＥＣ＝ＡＢʒＡＣ；②øＤＡＥ＝øＦ；③øＤＡＥ＝１２（øＡＢＤ－øＡＣＥ）；④øＡＧＨ＝øＢＡＥ＋øＡＣＢ．其中正确的结论是．图３㊀图４分析㊀这个题目是八年级数学期中考试的压轴题，这是一个几何图形综合题，难度很大，学生的正确率只有１０％．②③④都是关于角的结论，通过角的转化可以推导出三个结论都是正确的，此处省略．①就是典型的三角形的角平分线模型的直接应用．如图４，通过抽离出әＡＢＣ，并作出边ＡＢ，ＡＣ上的高，由于角平分线的性质，高相等，因此，面积比转化为底之比，①正确．例２㊀如图５，在直线ＡＢＣ的同一侧作两个等边三角形әＡＢＤ和әＢＣＥ，连接ＡＥ与ＣＤ，求证：（１）ＡＥ＝ＤＣ；（２）ＨＢ平分øＡＨＣ．图５㊀图６分析㊀很多老师和学生都对这个类型的题目非常熟悉，并且形象地称为 手拉手 模型，这个模型的图形特征是两个形状相同㊁大小不同的特殊图形（等边三角形㊁正方形等）绕着一个公共顶点旋转，在变化的过程中有着许多不变的结论，属于典型的动态变化过程中的不变性问题．例２中，әＡＢＤ和әＢＣＥ都是等边三角形，则存在对应相等的边和角，结合公共夹角构造出新的等角，从而证得㊀㊀㊀解题技巧与方法１６１㊀㊀әＡＢＥɸәＤＢＣ，故ＡＥ＝ＤＣ得证．第（２）问是关于角平分线的判定，此题如果采用常规的角相等去证明会十分烦琐，而采用角平分线的判定定理，如图６，作出两个全等三角形的高线，通过面积法证明就非常简便．教学中，学生常常会有强烈的顿悟感，感觉柳暗花明㊁十分巧妙．证明㊀过点Ｂ作ＢＭʅＡＥ，ＢＮʅＣＤ．（１）ȵәＡＢＤ，әＢＣＥ都是等边三角形，ʑＡＢ＝ＢＤ，ＢＥ＝ＢＣ，øＡＢＤ＝øＥＢＣ＝６０ʎ．ȵøＡＢＤ＋øＤＢＥ＝øＥＢＣ＋øＤＢＥ，ʑøＡＢＥ＝øＤＢＣ，ʑәＡＢＥɸәＤＢＣ（ＳＡＳ），ʑＡＥ＝ＤＣ．（２）由（１）知әＡＢＥɸәＤＢＣ，ʑＳәＡＢＥ＝ＳәＤＢＣ，即ＡＥ㊃ＢＭ２＝ＤＣ㊃ＢＮ２，ʑＢＭ＝ＢＮ．又ȵＢＭʅＡＥ，ＢＮʅＣＤ，ʑＨＢ平分øＡＨＣ．变式㊀如图７，将әＡＢＣ绕点Ａ逆时针旋转６０ʎ得到әＡＤＥ，ＤＥ与ＢＣ交于点Ｐ，求证：ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＥ．图７㊀图８分析㊀如图８，此题通过连接ＢＤ与ＣＥ就变成等边三角形 手拉手 模型．过点Ａ向两边作高线，构造三角形的角平分线模型．结合三角形面积法与角平分线的性质便可证得øＡＰＢ＝６０ʎ；在ＢＣ边上截取ＰＧ＝ＰＡ，连接ＡＧ，则әＡＰＧ为等边三角形，进而证明әＡＰＥɸәＡＧＣ，ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＥ得证．２．面积法在模型中的二次应用例３㊀如图９，әＡＢＣ中，ＢＤ是øＡＢＣ的平分线，求证：ＡＢＢＣ＝ＡＤＤＣ．图９㊀图１０分析㊀此题求证的边之比相等是典型的相似三角形问题，常规方法就是构造相似三角形，利用边的转化求证．当换个思路 用三角形的面积法，会收到意想不到的效果．如图１０，过点Ｄ分别向边ＡＢ，ＢＣ作垂线，则ＤＥ，ＤＦ分别是әＡＢＤ和әＣＢＤ的高，由角平分线的性质可知，ＤＥ＝ＤＦ，则ＳәＡＢＤＳәＣＢＤ＝ＡＢＢＣ．如图１１，过点Ｂ向边ＡＣ作垂线，ＢＧ是әＡＢＤ和әＣＢＤ的公共高，ＳәＡＢＤＳәＣＢＤ＝ＡＤＤＣ，所以ＡＢＢＣ＝ＡＤＤＣ．图１１例４㊀（２０１６年深圳中考２３题（１）（２）问）如图１２，抛物线ｙ＝ａｘ２＋２ｘ－３与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点，且点Ｂ的坐标为（１，０）．（１）求抛物线的解析式和点Ａ的坐标；（２）如图１２，点Ｐ是直线ｙ＝ｘ上的动点，当直线ｙ＝ｘ平分øＡＰＢ时，求点Ｐ的坐标．图１２㊀㊀图１３分析㊀第（１）问为基础考查，易得点Ａ的坐标为（－３，０），抛物线的解析式为ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３．对于第（２）问，将图形简化，如图１３，可以理解为ＰＯ平分øＡＰＢ，这就是三角形的角平分线模型，采取与例３的相同方法，二次应用三角形面积法得ＰＡＰＢ＝ＡＯＢＯ＝３，将点Ｐ的坐标设为（ｘ，ｘ），列方程（ｘ＋３）２＋ｘ２＝９（ｘ－１）２＋９ｘ２，解得ｘ＝３２（０舍去），故点Ｐ的坐标为３２，３２()．通过上述例题发现，在三角形的角平分线模型中巧妙使用三角形的面积法，会为解题带来极大的便利．无论是一次应用还是二次应用，其依据都是同高（等高）的两个三角形的面积之比等于底之比．理解并熟练掌握三角形的角平分线模型的特点与结论，便能在复杂的问题中快速想到解题思路，通过辅助线的添加构造模型．在教学过程中，要利用基本几何模型将复杂的问题简单化，透过问题看本质，从而提高探究问题的能力和数学核心素养．ʌ参考文献ɔ［１］黄孝培．浅谈三角形面积法在初中几何问题中的基本运用［Ｊ］．中国数学教育∙初中版，２０１９（７－８）：９０－９３．［２］祝林华．角平分线模型的构造及应用［Ｊ］．初中数学教与学，２０１５（０７）：２４－２６．［３］王霞，房文慧．最短路径与几何定值［Ｊ］．中学数学教学参考，２０２０（０８）：４１－４６．。
“算两次”在解三角形中的运用
－11
＋6＝0，解
高中总复习·数学
2
2
当 ＝ ，即 c ＝ a 时，
3
3
2
＋
2 −
2
＝
4 2
9
＋2 −232
4 2
3
cos ∠ ABC ＝
7
＝ ；
12
当 ＝3，即 c ＝3 a 时，
cos ∠ ABC ＝
2 ＋2 −
92 ＋2 −32
7
＝
＝ ＞1（舍去）.
2 ＋2 −
.
2
因为∠ BED ＝π－∠ ABC ，所以 cos ∠ BED ＝－ cos ∠
2 +42 −9
2 ＋2 −
ABC ，所以
＝－
，化简得3 c 2＋6 a 2－11
4
2
ac ＝0，方程两边同时除以 a 2，得3
2
得 ＝ 或 ＝3.
3
2
2
，因为 BC ＞ AB ，所以 C ＝45°，
2
∠ ABC ＝180°－60°－45°＝75°，又因为 AD 平分
∠ BAC ，所以∠ CAD ＝∠ BAD ＝30°，在△ ADC 中，由正弦定理得
sin45°
sin75°
＝
＝
sin30°
sin30°
，所以 2 CD ＝ AD ，①.在△ ADB 中，由正弦定理得
2
2
6
6
综上， cos
7
∠ ABC ＝ .
12
高中总复习·数学
反思感悟
规范审答导课例2 三角形中的面积、中线问题
三角形中的面积、中线问题典例 (10分)(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 面积为3，D 为BC 的中点，且AD ＝1.(1)若∠ADC ＝π3，求tan B ；(2)若b 2＋c 2＝8，求b ，c .问题1：如何利用△ABC 的面积为3？——→思路由于D 是BC 的中点，所以S △ABC ＝2S △ADC .问题2：已知△ABC 中的两边及其夹角，如何解这个三角形？——→思路用余弦定理求出已知角的对边，然后利用正弦定理或余弦定理求解其他边和角.问题3：如何利用三角形的中线解三角形？——→思路由于cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ，所以可以利用余弦定理构建方程求解.(1)第1步：由三角形面积公式求a因为D 为BC 的中点，所以S △ABC ＝2S △ADC ＝2×12×AD ×DC sin ∠ADC ＝2×12×1×DC ×32＝3，解得DC ＝2，所以BD ＝DC ＝2，a ＝4. 1分第2步：由余弦定理求c因为∠ADC ＝π3，所以∠ADB ＝2π3. 在△ABD 中，由余弦定理，得c 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ＝1＋4＋2＝7，所以c ＝7. 2分第3步：求sin B ，cos B法一：在△ADC 中，由余弦定理，得b 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠ADC ＝1＋4－2＝3，所以b ＝ 3.在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝7＋16－32×4×7＝5714， 3分 所以sin B ＝1－cos 2B ＝2114. 4分法二：在△ABD 中，由正弦定理，得c sin ∠ADB＝AD sin B ， 所以sin B ＝AD sin ∠ADB c ＝2114， 3分所以cos B ＝1－sin 2B ＝5714. 4分第4步：由同角三角函数的基本关系求结果所以tan B ＝sin B cos B ＝35. 5分(2)第1步：由余弦定理求a因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC .因为∠ADB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ，则在△ABD 与△ADC 中，由余弦定理，得AD 2＋BD 2－c 22AD ·BD ＝－AD 2＋DC 2－b 22AD ·DC， 得1＋BD 2－c 2＝－(1＋BD 2－b 2)，所以2BD 2＝b 2＋c 2－2＝6，所以BD ＝3，所以a ＝2 3. 6分第2步：由余弦定理及三角形面积公式求bc在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8－122bc ＝－2bc ， 7分所以S △ABC ＝12bc sin ∠BAC＝12bc1－cos 2∠BAC ＝12bc1－（－2bc ）2 ＝12 b 2c 2－4＝3，解得bc ＝4. 9分第3步：结合已知条件建立方程组求结果则由⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝4，b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2. 10分1.得步骤分：对于解题过程中是得分点的，有则给分，无则没分，对于得分点步骤一定要写全.第(1)问中反复利用余弦定理和正弦定理解三角形.公式利用正确得分，公式应用错误不得分.2.得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，解题时一定要写清得分的关键点.第(1)问中利用中线的性质，得到S△ABC＝2S△ADC，这是解题的关键之一.第(2)问中，由∠ADB＋∠ADC＝π，故cos∠ADB＝－cos∠ADC，这也是解题的关键点，写出这些关键点，不但可得关键分，这也是解题继续的保证.3.得计算分：第(1)问和第(2)问题，都有利用三角形的面积公式及正、余弦定理进行计算，结果正确得分，错误则没分.。
求三角形周长(面积)范围类问题解法探究
求三角形周长(面积)范围类问题解法探究楚雄第一中学赵泽民解三角形是高考的常考题型，主要出现在高考试卷 的解答题中，以解答题第17题的位置较为常见，偶尔也会 出现在选择题和填空题中.其考法主要围绕着正、余弦定 理，结合三角恒等变换，重点考査正、余弦定理的边角互 化及三角恒等变换公式的灵活应用，往往要求考生计算 边长、周长和面积的大小或范围.这类试题以中档题为主， 是考生志在必得却又容易卡壳的题目之一.本文主要以三 角形周长范围的求解为例，探讨此类题的解法，总结解题 规律，帮助考生摆脱“会而不对，对而不全”的苦恼.解决这类问题的方法主要有两种:一是利用“正弦定 理结合三角函数的值域”来求得最终范围；二是利用“余 弦定理结合基本不等式”来构造不等式使问题得到很好 的解决.在遇到此类问题时，学生往往偏向于计算量相对 较少的“余弦定理结合基本不等式”的解题思路来解决问题，但随着解题的深人，往往会遇到诸如范围被放大或缩 小的困境;另外一部分学生会考虑用“正弦定理结合三角 函数值域”的求解策略，但随着解决问题的深人往往会受 正弦定理转化的影响使问题变得“无从下手”，最终使自 己的心态从“满满的期待”转变为“满心的无奈与紧张那 么，当我们遇到这样的问题时，应该采取什么样的解题策 略呢？原题呈现：在锐角A /1SC 中，角的对边分别为 a ,6 ,c ,已知6=3，sin /l +asinfi =2(1) 求角4的大小;(2) 求周长的取值范围.对于A 4S C 周长的取值范围问题，我们驾轻就熟的往 往是“已知三角形的一个内角和其对边求周长的大小或 周长的最值”这一类问题.而本题的第(2)问却巧妙地避开① 当a 矣1时，由1矣*矣3得g U )矣0，/，U )«0，.../U ) 在[1,3]上单调递减，此时/(x K 1 )=-a -l =-2,解得a =l ;② 当时，由 1以《3得g U )>0，/，(*)>0, .•./0«:)在[1,3]上单调递增，此时/U )_=/(3)=U -l )ln 3-f -3=-2,解得a =」^±L <3,舍去；ln 3-—3③ 当l <a <3时，由 l <Cc <a 得g (;c )>0，/彳*)>0,由a <x <3得 g U )<0,/' U )<0,此时/U )在[1, a ]上单调递增，在[a , 3]上单 调递减，从而〇 )=( a_ 1) l na_ 1 _a =_2,解得a =e .综上所述，a =l 或a =e .【点拨】在例4中,/'U )的函数值符号由函数g U )z -U +D U -a )的函数值符号决定，/'U )的零点即的 零点为-1和a ,其中a 与定义域[1,3]的关系不确定,应分为 三类，即①a 矣1,②a >3,③l <a <3.总之，在解函数导数综合题的过程中，当导函数含函数g U )=ax +6,且导函数的符号由)函数值符号决定，要根据一次项系数的符号进行分类.当导函数含函数g U )z a ^+h +c ,且导函数的符号由g U )函数值符号决定，要把 握好分类讨论的层次.一般按下面次序进行讨论:首先，根 据二次项系数的符号进行分类;其次，根据方程g U )=0的 判别式A 的符号进行分类;最后，在根存在时，根据根的 大小进行分类.◊责任编辑邱艳〇Journal of Yunnan Education 65了平时复习中“练熟练透”的解题方法，把已知条件由常 规的“已知三角形的一个内角和其对边”变为“已知三角 形的一边和与这条边不相对的角”，还加上了一条限制一“A/l f i C为锐角三角形”,最终要求考生求“周长的 取值范围”，成功地把一道毫无新意的“陈题”装满了“新 酒解决该题的第(2)问时无论考生选择“余弦定理结合 基本不等式”，还是选择“正弦定理结合三角函数值域”的解题策略都会不同程度受挫，造成一定的心理负担.一、一波三折，尝试解答在解决第(2)问时，如果采用“余弦定理结合基本不 等式”的解题策略，能顺利地解决问题吗？我们又会遇到 哪些困惑呢？第一种境遇，由第(1)问很容易求得/1= |，结合已知条件6=3，我们容易想到P d+c^a cco sB或^(a+c)2 -l a c d+c o s S)，但苦于B角未知导致解题受阻，进而尝试 a^/^+^-Sfcccos/l或 +c)2-26c(l+cos/4),也因没有任何解题进展而放弃，最终无奈地写下“a+c>3”这一常见结 论，出现虽“惺惺相惜，但不得不罢手”的遗憾，因为这个 题由不得考生花太多的时间尝试.第二种境遇，尝试用“正弦定理结合三角函数值域”求解，考生受制于定式思维的影响，往往第一时间想到 a=2/?sin/4, 6=2/?siaB ,c=2/?sinC ,进一步得到a+ c= 2/f (sia4+S inC),结合/I+S+C=i7，快速地达到统一角的目 标，欣喜之余，发现2/?成了解下去的拦路虎，解题受挫，产 生“放弃与坚持”的纠结.第三种境遇，考生静下心来认真审视正弦定理+sirvi=2f t的结构和已知条件“6=3,4 =，找到解sin B sinC决问题的突破口，通过尝试发现，虽然“边不是角的对边，角也不是边的对角”,但只要搭配得当，也一样可以达到2V J统一角的目标.由-sin5-可知，csin；4 sinB3sinC-可知,0sinB，进一步得到a+c=2s\n B3V T;再由csinC3sinC合三角形内角和定理可知a+c:3V T2s\nB2sinB sin B3sin(^--B)sin/?，结，化简得a+c=3V T21+cosB 3 _ 3\^3~sin B 2 21+w寻-i..B Bzsin—cos—22•一1到此，本题基本上可以算是考生2 2 B2tan—2的囊中之物了，但部分欣喜若狂的考生可能会忘记题设对“三角形为锐角三角形”这一条件的限制而出现“大意失荆州”的苦恼与失落.由A/1S C为锐角三角形可知2(I,I),进一步求得tan!£(2-\A T,l),从而求得12 4 2-^E(1,2+\A T),q+c E( 3-^?—,3V T+6),又因B 2tan—2为6=3,所以周长的取值范围为a+6+C e(i V^,3V T+9).通过上述分析与解答，我们不难发现该题虽属中档题，每一个学生都是有思路的，但在解答的过程中却总是遇到或这样或那样的解题挫折，从心理上给学生造成相当大的压力，致使学生出现求之不得、弃之可惜的犹豫，导致宝贵的作答时间白白浪费.本题命题者设置了较多的“陷阱”，稍不留神，就会出现“会而不对，对而不全”的遗憾.另外，本题解题过程看似很新，实则还是利用了常规的“正弦定理结合三角函数值域”的解题策略，只是方法和以往解题常规略有差异导致考生解题时“困难重重二、遇见真题，强化巩固变式：（2019年全国卷nUZUBC的内角的对边分别为a,6，c,已知o sin l^"=fesinA.2(1) 求 S;(2) 若A/IBC为锐角三角形，且c=l,求厶/1BC面积的取值范围.分析：（1)已知边角等式asin^^=6Sin A.结合三角形2内角和定理得到sin土1^"=cos呈，进一步可求得s in Z■，最222终求出角5.(2)由（1)求得角S，结合三角形面积公式、正弦定理，以及三角形内角和定理得到关于面积的表达式，从66 4左焱1 •中学教师202 U、2方法与策略A XB C为锐角三角形出发，可求得面积的范围.有前面的解题实践，我们很快就可以将解题策略放在“正弦定理结合三角函数求值域”这一路径上.解答：⑵由（1)可知又因为c=l,所以S A,sc=V T 4由正弦定理可知〇=csin/1sinC sinC2tanCj.因为A薦为锐角三角形，所如(+’2)，S导，苧点评:在本题第(2)问的解答过程中，准确地用好正 弦定理是关键，其易错点是忽视“S C为锐角三角形”这 一题设条件,导致角4 ,C的取值偏大，从而影响最终结果.三、反思人教A版《数学》（必修五）第一章“解三角形”重点讲 了正弦定理及其变形、余弦定理及其变形和三角形面积 公式，而这些内容往往结合三角恒等变换成为高考的热 点，深受命题者青睐.近几年,这一题型的命题方式呈现考 点被细化、方法更灵活、解题“陷阱”更隐秘的特点.表面上 考生人手是容易的，但要做对、做全却并非易事.在平时的 教学中，无论是教师，还是学生都认为这道题往往是考卷 中解答题的第一题，其难度中档，是平时训练力度较大、解题方法较全的题型.在大多数学生心中这类题是志在必 得的题目，是后进生突破90分，中等生突破120分的关键 题型之一,也是考生愉悦地解决后续大题的心理基础，对 提升应考状态也至关重要.解决这类问题,定理的选择很 重要，有效的边角互化是解题的关键,方法一旦出错，便 容易在这个问题上绕弯，甚至出现“无法自拔”的解题投 人，最终是“求之不得，弃之不舍”的无奈.所以，教师在平 时讲解训练时，一定要注重对方法的总结，鼓励学生大胆 尝试，重视对一题多解和多题一解的强化.总之，所有解题 时的从容应对，都是平时解题方法的日积月累，静下心 来，用心投人，所有的问题都经不起琢磨.解三角形中的面积与周长的相关问题其难度一般属 于中档题，解题关键是灵活应用正(余)弦定理及其变形，有效地结合三角函数值域或基本不等式来找到解题的突 破口，但在解题时需破除解题定式干扰，勇于尝试.一般情况是若已知当中给定的边是角的对边（或角是边的对 角）,则选择“余弦定理结合基本不等式”或“正弦定理结 合三角函数值域”都可以解决问题;但如果题设条件中限 制三角形为锐角三角形（或钝角三角形）则宜选择“正弦 定理结合三角函数值域”来解决问题;若已知三角形的边 不是已知角的对边（或已知三角形的角不是已知边的对 角）,则优先选择“正弦定理结合三角函数值域”来解决问 题.在使用正弦定理时，应规避三角形外接圆半径对解题 的影响，直接使用正弦定理解决问题即可.解题时,必须注 意三角形形状对解题结果的影响，注意角的取值范围.从近几年高考题来看，命题者往往选择比较熟悉的 命题背景，在题目中布下隐秘的陷阱.如在求周长或面积 的范围时，考生往往比较熟悉最值,而命题者在考生熟悉 的解题题型上，稍加改进，就可能困住考生.譬如在已知条 件中限制三角形形状或所给的边与角并不对应等.这提醒 我们在平时的教学训练中，应有针对性地进行一题多解 和多题一解的训练.这样可有效地提髙学生V I别问题和解 决问题的效率，可有效增强学生的解题自信.在教学中，教师强化学生的解后反思意识是非常有 必要的.引导学生写好解题反思有助于学生发现解题亮 点,关注解题过程中遇到的困难，优化解题过程和解题思 路.通过对解题过程的回顾与探讨、分析与研究，领悟解题 的主要思想，关键因素，掌握数学中的基本思想和通性通 法，并能灵活地应用其去解决不同的问题.◊责任编辑邱艳〇Journal of Yunnan Education 67。
三角形等面积法在初中教学中的应用
三角形等面积法在初中教学中的应用摘要：关于三角形等面积法是近些年初中数学的一种常规解题思路，它的优势在于可以更加快速的找到解题关键，将一些晦涩难懂的知识点变得简单化。
本文将结合现有的一些典型例题，利用三角形等面积法解决相关问题，以此来培养学生的数学思维，提高学生的解题能力。
关键词：三角形等面积法；初中数学；具体应用前言：在现有的初中数学教学中，采用三角形等面积法是一个比较快捷实用的方法，结合几年的教学经验可以发现，即便部分几何题目的问题并没有涉及到三角形的面积计算，但是我们却可以按照图形进行数形结合，将其与实际问题相联系，进而解决这类问题一、分析三角形之间的相关联系，提升学生简单几何的能力在解决三角形的面积时，通常会利用到三角形的边长以及角度之间的关系。
尤其是在一些几何题目当中可能会让你求解一些与已知条件看似毫无关系的边长和角度，此时，很多同学就会将问题复杂化，但实际上如果你仔细观察就会发现，这道题很可能就是利用了三角形的等面积公式，将一个复杂的几何问题转变为一个解方程的题目，而这类题型的实际目的就是让学生发现图形中图形之间的关系，培养学生的数学几何能力，采用“以数解形”的思想，了解几何题背后的实际含义。
例题1如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°BC=4,AC=4，求CD的长度图1解：∵根据勾股定理可知，AB²=AC²＋BC²∴AB=4又∵S△ABC=AB*CD/2=AC*BC/2即4*CD/2=4*4/2∴CD=4二、熟悉三角形的基本属性，培养学生的空间想象能力在一些复杂的几何题目中，通常会将圆、平行四边形等图形与三角形结合起来，此时学生不仅要熟知三角形的一些基本定理，尤其是等腰三角形、等边三角形等特殊图形，要充分利用45°、60°等角度。
同时也要熟悉相关图形的定理，做到活学活用，最后看能否利用等面积法将几何问题转换为简单方程，进而更快速的求解题目。
在三角形中巧用面积法解题
现 提供 部 分 习题供 同学 们练 习 ： １如图， 、 已知 ＡＡ Ｃ和 ＡＢ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ ， Ｇ与 Ｂ 交 于 点 ０ 且 直 线 Ｄ ，
ＡＡ Ｃ的面积为 Ｂ
Ａ
Ａ Ｄ∥Ｂ 图 中 四个小 三 角形 的 面 积分 别 为 ５ 、２Ｓ、 ， 判 断 Ｃ， ｌＳ 、３岛 试
ｓ 和 的大 小 关 系 ， 说 明理 由。 ， 并
高， 试判断 Ｂ Ｆ和 Ｃ Ｅ的大小关系 ， 明理由。 并说
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
解 析 ： 接 Ｐ 、 Ｂ Ｐ ， 题 意 得 ＳＡＰ Ｃ＋ＳＡＰ Ｃ ＋． 连 Ａ Ｐ 、Ｃ 由 Ｂ Ａ ｓ
ＡＰ Ｂ＝ＳＡＡ Ｃ， 以 日ｃ ・ Ａ Ｂ 所 肋 ＋ ｃ ・咫 ＋ Ｂ ・Ｐ Ｆ＝
÷ Ｂ ｈ又因为 Ａ Ａ Ｂ ， Ｐ ＋ ＋ ＝ 。 ｃ・ ， Ｂ＝ Ｃ： Ｃ 所以 Ｄ 船 ｈ
ＰＦ ：ｈ。
Ａ
Ｄ
Ｂ
解 ： ＪＡ ＝Ａ× ，ＳＡ ＝ × ， 析因 ｓ ÷曰ＣＲＡ Ｃ １ｃＢ 为△ ｃ Ｄ Ｂ Ｃ
所 以 Ｂ ｘ Ｄ＝ Ｃ ｃ× Ｃ 即 １ ×Ｃ Ｂ ， ３ Ｄ＝１ ５ 得 ∞ ＝６ ２× ， Ｏ
。
例 ２在 ＡＡ Ｃ中 ，Ｂ ＞ Ｃ Ｂ Ｃ 分 别 是 Ａ 、Ｂ边 上 的 Ｂ Ａ Ａ ， Ｄ、Ｅ ＣＡ
，
都 市 家教 ６ ６
关 于 小 学 语 文 阅 读 教 学 的思 考
２２４ 江 苏省连 云 港 市连 岛小 学 陈 芸 ２０ １ 阅 读教 学 是语 文 教 学 不 可缺 少 的 环 节 ， 具 备 听 、 、 、 它 说 读 写训 练 的综 合 性 ， 既是 识 字 的重 要 途 径 ， 又是 写作 的必 备 前 提 ， 也是 提 高学 生 语 文 水 平 的手 段 。新 课 程 标 准 指 出 ： 阅读 教 学 “ 要 让学 生 充 分地 读 ， 在读 中整 体 感 知 ， 读 中有 所 感悟 ， 读 中 在 在 培养 语感 ， 在读 中受 到 情 感 的 熏 陶。 那 么 ， 们 如 何 才 能 做 好 ” 我 小学 生 的 阅读 教学 呢 ， 者认 为 应从 以下几 方 面 着 手 。 笔
头歌计算三角形面积
头歌计算三角形面积三角形面积计算题的解题方法有三种：一种：计算三角形面积，必须掌握以下四种方法：①观察和计算；③试着画出计算图形；④找出三角形各边宽；⑤算出结果；⑥应用或解答以上方法。
这首歌是计算三角形面积的典型例题，同学们要熟练掌握计算步骤、方法及注意事项及计算过程；会编计算方法会应用。
请听音乐“头歌”。
这首歌的第一句是歌唱三角形面积计算方法——“先问底边对角边长对边两边长（高）比：底边长多少？”并问边长是否相同即面积；第二句计算方法：以长度为单位分别求出底边长:1*2;边长10.2厘米;32厘米。
四句式中各三个数相加得总和小于5的乘积；最后一个数相等等于3;如果相加等于6怎么办？请用下面方法来计算:(2)②求“底边与两边边长之和或把两个边角相等而又不是等号的三角形形状面积在下列各式中最小值为60mm2?》——三个小数均为9 (3)2”;(也就是9/8比5,)=0.(x1+ x)/=0÷3=3=12平方米/平方4*30=10厘米；这样计算三角形面积就能得到结果了。
一、在学习本学期，学生已初步掌握了四种计算三角形面积的方法。
我们把四种方法都总结为“加减法”，加减法相结合，计算就比较容易了。
再问底边长与两边沿高比：底边长多少？”我们再编一首歌：“两数相加去减一得，两边长（高）为六”（也就是3=6)。
为什么呢？因为底边比两边长高出了5厘米即“底边长”4厘米这是一种三角形体积法，如果求底边长而求边长，所以底边长等于宽来求边长。
由于我们有1个边是2,所以只要是边长为3个小数点都是9。
这就是六。
所以底边长是5厘米。
所以我们需要多两个6,所以这个多项式中不等于3 (4+4)×5=10厘米。
1、从“底边长与两边沿高比”算起可以用4、3、2、1的乘积除以4得到，的面积和底边长一样。
方法也很简单：在不改变三角形长度的情况下，把3次乘4,最后得到“底边长与两边沿高比”为4.9:1。
这种方法是用已知三角形面积的计算公式减去未知三角形面积的公式例：有3个矩形、两个正方形和一个三角形。
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.在三角形中巧用面积法解题
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专题：在三角形中巧用面积法解题
（一）证明面积问题常用的理论依据
1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。
（二）证明面积问题常用的证题思路和方法
1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。
3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。
4. 还可以利用面积解决其它问题。
一、利用面积自身相等的性质解题
例1 如图，在直角三角形ABC 中，AB=13,AC=12,BC=5,求AB 边上的高AD 的长。
C
A
B
D。
例3 如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，可得ABC 的面积为 。
F
E
D
C B A
O
25 35
30
40
小结：我们知道等底等高的两三角形的面积相等，等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的两三角形面积的比等于其对应底的比。
三、利用面积的可分性解题
例 4 如图，已知等边三角ABC ，P 为ABC 内一点，过P 作
,,,PD BC PE AC PF AB ABC ⊥⊥⊥的高为h.试说明PD PE PF h ++=。
A
B
C
D P
F
E
小结：用面积的可分性解题，一般要将图形分成若干个小三角形，利用其整体等于部分之和建立关于条件和结论的关系式，从而方便快捷地解决问题。
练习：
1、如图，已知ABC 和BDC ，AC 与BD 交于点ｏ，且直线AD ∥BC,图中四个小三角形的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，试判断2S 和4S 的大小关系，并说明理由。
D
B A
O
C
S4
S3
S1
S2
2、如图，四边形ABCD 中，对角线BD 上有一点O ，OB ：OD=3：2,S AOB =6,S COD =1,试求S AOD 与S BOC 的面积比。
D
A
C
B O
3、 如图，P 是等腰三角形ABC 底边BC 上的任一点，PE AB ⊥于E,PF AC ⊥于F ，BH 是等腰三角形AC 边上的高。
猜想：PE 、PF 和BH 间具有怎样的数量关系？
A
B
C
p
E F
H
1. 如图，在正方形ABCD 中，BC =2，∠DCE 是正方形ABCD 的外角，P 是∠
DCE 的平分线CF 上任意一点，则△PBD 的面积等于_________．
F E
C
D
B A
P
2. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，延长DC 到E ，使CE =AB ，连接BD ，
BE ．若梯形ABCD 的面积为25cm 2，则△BDE 的面积为__________．
E
D
C B
A D C G
F P K
R
E
B A
第5题图 第6题图
3. 正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段
DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为____________． 4. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小
方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个．
B
A
B
A
第7题图 第8题图
5. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方
格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2，则满足条件的格点C 的个数是_______个． 6. 如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，点E 在AD 上，AE =2DE ，若△ABE
的面积是4，则△ABC 的面积是_______．
E
D C
B A
7. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =16，
则S △DEF =_____________．
E
C
B A D
F
8. 如图，在△ABC 中，E 是BC 边上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设
△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF S △BEF =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
F
E
D C
B A
9. 如图所示，S △ABC =6，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，则S △ADE =______．
E
D C
B A
10. 如图，设E ，F 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，线段BE ，CF 交于点D ．若
△BDF ，△BCD ，△CDE 的面积分别是3，7，7，则△EDF 的面积是_______，△AEF 的面积是______．
E
F
D
C B A
11. 如图，在长方形ABCD 中，△ABP 的面积为20cm 2，△CDQ 的面积为35cm 2，
则阴影四边形EPFQ 的面积是
_________． A B
C
D
E
F
P Q。