在三角形中巧用面积法解题

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专题：在三角形中巧用面积法解题

（一）证明面积问题常用的理论依据

1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。

2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。

4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。

5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法

1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。

3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。

4. 还可以利用面积解决其它问题。

一、利用面积自身相等的性质解题

例1 如图，在直角三角形ABC 中，AB=13,AC=12,BC=5,求AB 边上的高AD 的长。

C

A

B

D

。例3 如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，可得ABC 的面积为 。

F

E

D

C B A

O

25 35

30

40

小结：我们知道等底等高的两三角形的面积相等，等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的两三角形面积的比等于其对应底的比。

三、利用面积的可分性解题

例 4 如图，已知等边三角ABC ，P 为ABC 内一点，过P 作

,,,PD BC PE AC PF AB ABC ⊥⊥⊥的高为h.试说明PD PE PF h ++=。

A

B

C

D P

F

E

小结：用面积的可分性解题，一般要将图形分成若干个小三角形，利用其整体等于部分之和建立关于条件和结论的关系式，从而方便快捷地解决问题。

练习：

1、如图，已知ABC 和BDC ，AC 与BD 交于点ｏ，且直线AD ∥BC,图中四个小三角形的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，试判断2S 和4S 的大小关系，并说明理由。

D

B A

O

C

S4

S3

S1

S2

2、如图，四边形ABCD 中，对角线BD 上有一点O ，OB ：OD=3：2,S AOB =6,S COD =1,试求S AOD 与S BOC 的面积比。

D

A

C

B O

3、 如图，P 是等腰三角形ABC 底边BC 上的任一点，PE AB ⊥于E,PF AC ⊥于F ，BH 是等腰三角形AC 边上的高。猜想：PE 、PF 和BH 间具有怎样的数量关系？

A

B

C

p

E F

H

1. 如图，在正方形ABCD 中，BC =2，∠DCE 是正方形ABCD 的外角，P 是∠

DCE 的平分线CF 上任意一点，则△PBD 的面积等于_________．

F E

C

D

B A

P

2. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，延长DC 到E ，使CE =AB ，连接BD ，

BE ．若梯形ABCD 的面积为25cm 2，则△BDE 的面积为__________．

E

D

C B

A D C G

F P K

R

E

B A

第5题图 第6题图

3. 正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段

DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为____________． 4. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小

方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个．

B

A

B

A

第7题图 第8题图

5. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方

格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2，则满足条件的格点C 的个数是_______个． 6. 如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，点E 在AD 上，AE =2DE ，若△ABE

的面积是4，则△ABC 的面积是_______．

E

D C

B A

7. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =16，

则S △DEF =_____________．

E

C

B A D

F

8. 如图，在△ABC 中，E 是BC 边上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设

△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF S △BEF =（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

F

E

D C

B A

9. 如图所示，S △ABC =6，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，则S △ADE =______．

E

D C

B A

10. 如图，设E ，F 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，线段BE ，CF 交于点D ．若

△BDF ，△BCD ，△CDE 的面积分别是3，7，7，则△EDF 的面积是_______，△AEF 的面积是______．

E

F

D

C B A

11. 如图，在长方形ABCD 中，△ABP 的面积为20cm 2，△CDQ 的面积为35cm 2，

则阴影四边形EPFQ 的面积是

_________． A B

C

D

E

F

P Q