菱形的定义及其性质
(人教版)菱形的定义、性质
二、探究菱形的性质。
动手做一做：将一张长方形的纸对折、再对 折，然后沿图中的虚线剪下，打开就可以得 到菱形.它会有什么性质呢？
(1)观察得到的菱形,它是中心 分组讨论：
A B C D
对称图形吗？ 它是轴对称图 形吗?如果是，有几条对称 轴? 对称轴之间有什么位置关系? (2)从边、角、对角线等方 面来探讨，从图中你能得到 哪些结论?并说明理由.
（A）对角线相等（B）对角线互相垂直（C） 是轴对称图形（D）对角线平分
A
D
C
B
D
5.如图：在菱形ABCD中，AE⊥BC， B AF⊥CD，垂足分别为点E、F， 求证：△ABE ≌△ADF
E C F
【菱形的面积公式】
A
菱形
B
O E
C
D
S菱形=BC×AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利
用对角线能 计算菱形的面积吗? S菱形ABCD=S△ABD+S△BCD= 1 AC×BD
D
边
菱形的两组对边平行且相等 A
O B 数学语言
C
菱形的四条边相等
∵四边形ABCD是菱形
角 菱形的两组对角分别相等
∠DCA=∠BCA ∠ADC=∠ABC AB ∥ CD ∠ADB=∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线
∴∴ ∠DAC=∠BAC AD ∥BC ∴OA=OC;OB=OD AB=BC=CD=DA ∴ ∴ ∠DAB=∠DCB =
三、应用新知
A
D
O
C
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O. （1）图中有哪些线段是相等的？哪 些角是相等的？ （2）有哪些特殊的三角形？ （3）有哪些全等的三角形？
菱形的性质和判定
要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. 要点三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．3.菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．一.选择题1. 下列命题中，正确的是()A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______ 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E 和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。
八年级数学菱形的定义和性质华东师大版知识精讲
初二数学菱形的定义和性质华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：菱形的定义和性质二. 重点、难点：1. 重点：菱形的定义和性质2. 难点：菱形的性质菱形的定义三. 知识梳理：如图，菱形是四条边都相等的四边形，它也是一组邻边相等的平行四边形，它的两条对角线互相垂直平分．如上图，菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线．这样，菱形具有以下的性质：菱形的性质：菱形的四条边都相等．菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．平行四边形所具有的性质，菱形都具有。
这样，我们还可以列出菱形所具有的一些性质：菱形的定义：四条边都相等的四边形。
菱形的性质：两组对边分别平行。
菱形的性质：菱形对角线互相平分菱形的性质：菱形的对边相等即：在菱形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC，AB＝DC菱形的性质：菱形的对角相等．菱形的性质：菱形的对角线互相平分．菱形的应用非常广泛．现在流行一种新式的衣帽架，可以根据需要将它伸缩，形成各种形状的菱形，固定在墙上，既美观又实用．可伸缩的衣帽架【典型例题】例1. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B的度数，并说明△ABC是等边三角形．解：（1）在菱形ABCD中，∠B＋∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．又∵∠BAD＝2∠B，∴∠B＝60°．（2）在菱形ABCD中，AB＝BC（菱形的四条边都相等），∴在△ABC中，∠BAC＝∠BCA（等边对等角）．又∵∠B＋∠BAC＋∠BCA＝180°（三角形内角和公式），∴∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60°．∴AB＝BC＝AC（等角对等边），即△ABC是等边三角形．例2. 如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．分析：运用菱形的定义和性质进行解题： 解：（1） 在菱形ABCD 中， ∠BAO ＝21∠BAD ＝21×120°＝60°（菱形的每一条对角线平分一组对角）． 又在△ABC 中，AB ＝BC ，∴ ∠BCA ＝∠BAC ＝60°（等边对等角），∠ABC ＝180°－∠BCA －∠BAC ＝60°， ∴ △ABC 为等边三角形， ∴ AC ＝AB ＝2（cm ）． （2） 在菱形ABCD 中，AC ⊥BD （菱形的对角线互相垂直）， ∴ △ A ＯB 为直角三角形，∴ 312AO AB BO 2222=-=-=cm （勾股定理）， ∴ BD ＝2BO ＝32（cm ）．例 3. 如图，菱形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果每个小三角形的周长是26cm ，对角线AC 和BD 长的和是32cm ，那么菱形的周长是多少?分析：运用菱形的定义和性质进行解题： 解：△AOB 的周长为26cm ， 又∵ AC ＋BD ＝32cm ∴AO+BO=16cm ∴ AB ＝10（cm ）即菱形ABCD 的周长等于40cm ．例4. 如图，在菱形ABCD 中，已知∠ABC ＝40°，求∠BCD ，∠BCA 度数．分析：运用菱形的定义和性质进行解题： 解：在菱形ABCD 中，∠ABC ＝40°， ∠BCD ＝140°（菱形的定义和性质） ∠ACB ＝70°（菱形的定义和性质）例5. 如图，已知菱形ABCD的边AB长5cm，一条对角线AC长6cm，求这个菱形的周长和它的面积．分析：运用菱形的定义和性质进行解题：解：在菱形ABCD中，∵AB＝5，AC＝6，AO＝3BO＝4BD＝2BO＝8AB＋BC＋CD＋DA＝20（cm），cm）∴菱形ABCD的面积＝24（2例6. 如图，在菱形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少?分析：运用菱形的定义和性质进行解题：解：在ABCD中，已知AB＝6，AO＋BO＋AB＝15，∴AO＋BO＝15－6＝9．又∵AO＝OC，BO＝OD（菱形对角线互相平分），∴AC＋BD＝2AO＋2BO＝2（AO＋BO）＝2×9＝18．【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 选择题：1. 已知在菱形ABCD中，下列哪个是错误的（）A. 两组对边分别平行B. 菱形对角线互相平分C. 菱形的对边相等D菱形的对角线相等．2. 已知在菱形ABCD中，下列哪个是错误的（）A. AB＝CDB. AO＝BOC. ∠ABC＝∠ADCD. ∠ABO＝∠CBO3. 已知在菱形ABCD中，若∠ABO＝40°，则哪个角为40°。
菱形的定义和性质
菱形的定义和性质
一、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
二、菱形的性质：
1、对角线互相垂直且平分；
2、四条边都相等；
3、对角相等，邻角互补；
4、每条对角线平分一组对角；
5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形；
6、在60度的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号3倍；
7、菱形具备平行四边形的一切性质。
三、菱形的判定：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、四边相等的四边形是菱形；
3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
菱形的定义、性质
S菱形ABCD=S△ABD+S△BCD= 1 AC×BD
2
面积： 菱形 菱形=底 面积：S菱形 底×高=对角线乘积的一半 对角线乘积的一半
D O
A
C
B
如图，在菱形ABCD中 对角线AC、BD相交于点O 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ABCD AC 相交于点 （1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相 图中有哪些线段是相等的？ 等的？ 等的？ （2）有哪些特殊的三角形？ 有哪些特殊的三角形？
∴∴ ∠∥∠ DCB DAC=∠ ∴ ∠DAB+∠ABC= 180° ∴ AB=BC=CD=DA ° ∴ AD = BC∠BAC ∠DAB=∠ ∠ ∴ OA=OC;OB=OD
=
菱形的两条对角线互相垂直平分， 菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。 并且每一条对角线平分一组对角。
菱形就在我们身边
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 如何利用折纸、剪切的方法， 确地剪出一个菱形的纸片？ 确地剪出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的： 有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 再对折，然后沿图中的虚线剪下， 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？ 开即可 你知道其中的道理吗？ 你知道其中的道理吗
【菱形的面积公式】 菱形的面积公式】
A 菱形是特殊的平行四边形 菱形是特殊的平行四边形, 特殊的平行四边形 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗? 面积公式计算菱形的面积吗 D
菱形
B
O E
C
S菱形=BC●AE
为 什 么 ?
思考:计算菱形的面积除了上式方法外 利 思考 计算菱形的面积除了上式方法外,利 计算菱形的面积除了上式方法外 计算菱形的面积公式吗? 用对角线能 计算菱形的面积公式吗
菱形性质和判定
菱形性质和判定
菱形是一种多边形，其特征是其连线两两相交，四个顶点均有四条边，形状非常规整，因而极受欢迎。
菱形性质及其判定是用于识别多边形类型的最常用工具，在几何中也有很
多应用。
菱形的特征有：
1．四边形。
菱形是四边形，具有四条边，每条边两两之间都相交。
2．正方形。
每条边都是相等的，也就是说四条边的长度都是相等的，也就是菱形是
正方形的一种。
3．对称。
由于菱形是正方形，所以它具有对称特性，即对称轴对称，对称中心对称。
4．角相等。
四条边不仅长度相等，而且角度也是一样的，都是90°。
因此，通过菱形的特征来判定它是菱形，只需满足以上四个条件即可完成菱形判定：
2．正方形：检查每个边的长度，如果都是相等的，即为正方形。
3．对称：检查菱形是否具有对称特性，垂直方向上两条边完全相等，水平方向上也
完全相等。
综上所述，菱形性质主要是指具有以上四类属性：四边形、正方形、对称性和角相等，如果多边形满足这四个条件，则可以判定其是菱形。
初中数学知识点总结
初中数学知识点总结新人教版初中数学知识点总结(完整版)总结是对某一特定时间段内的学习和工作生活等表现情况加以回顾和分析的一种书面材料，它可使零星的、肤浅的、表面的感性认知上升到全面的、系统的、本质的理性认识上来，让我们来为自己写一份总结吧。
如何把总结做到重点突出呢？下面是店铺整理的新人教版初中数学知识点总结(完整版)，仅供参考，大家一起来看看吧。
新人教版初中数学知识点总结(完整版) 篇1诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n(/2)的三角函数转化为角的三角函数。
常用的诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2k)=sin kzcos(2k)=cos kztan(2k)=tan kzcot(2k)=cot kz公式二：设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin()=-sincos()=-costan()=tancot()=cot公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sin(-)=-sincos(-)=costan(-)=-tancot(-)=-cot公式四：利用公式二和公式三可以得到与的三角函数值之间的关系：sin()=sincos()=-costan()=-tancot()=-cot新人教版初中数学知识点总结(完整版) 篇21、正数和负数的有关概念(1)正数：比0大的数叫做正数;负数：比0小的数叫做负数;0既不是正数，也不是负数。
(2)正数和负数表示相反意义的量。
2、有理数的概念及分类3、有关数轴(1)数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
数轴是一条直线。
(2)所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。
(3)数轴上，右边的数总比左边的数大;表示正数的点在原点的右侧，表示负数的点在原点的左侧。
(2)相反数：符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。
若a、b互为相反数，则a+b=0;相反数是本身的是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。
菱形的定义及其性质(教案)
教案：菱形的定义及其性质第一章：菱形的定义1.1 引言向学生介绍菱形的概念，并提出问题：“你们认为菱形是什么样的图形？”引导学生通过观察实物或图片来猜测菱形的特征。
1.2 菱形的定义给出菱形的正式定义：“菱形是一个四边形，它的四条边都相等，且对角线互相垂直且平分。
”解释菱形的名称来源，菱形的特点像菱角一样。
1.3 菱形的性质引导学生观察菱形的图形，发现其性质：四条边相等对角线互相垂直对角线平分对方每个角都是直角第二章：菱形的对称性2.1 引言提出问题：“你们认为菱形有什么特殊的对称性吗？”引导学生思考菱形的对称性。
2.2 菱形的对称性给出菱形的对称性定义：“菱形具有轴对称和中心对称的性质。
”解释菱形的轴对称性：菱形有两组对边平行，可以沿两条对角线进行折叠，两边重合。
解释菱心的概念：菱形的中心点是两条对角线的交点，它是菱形的中心对称点。
2.3 菱形的对称性应用引导学生通过实际操作，画出菱形的轴对称和中心对称图形。
让学生尝试解决与菱形对称性相关的问题，如：如果给出一个菱形的一部分，能否确定整个菱形的形状？第三章：菱形的面积计算3.1 引言提出问题：“你们认为如何计算菱形的面积？”引导学生思考菱形面积的计算方法。
3.2 菱形的面积计算公式给出菱形面积的计算公式：“菱形的面积等于对角线之积的一半。
”解释公式背后的原理，通过实际操作或几何证明来说明。
3.3 菱形的面积计算应用引导学生通过实际操作，计算给定菱形的面积。
让学生尝试解决与菱形面积相关的问题，如：如果给出一个菱形的对角线长度，能否计算出其面积？第四章：菱形的构造4.1 引言提出问题：“你们认为如何构造一个菱形？”引导学生思考菱形的构造方法。
4.2 菱形的构造方法给出菱形的构造方法：“通过画两条互相垂直的线段，在对角线上分别标记四个点，连接相邻点即可得到菱形。
”解释菱形构造的原理，通过实际操作或几何证明来说明。
4.3 菱形的构造应用引导学生通过实际操作，尝试构造一个菱形。
九年级上数学1.1菱形知识点总结及习题含答案 Word
菱形性质与判定练习题纯题部分一．选择题（共4小题）1．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）A、163B、16C、83D、82．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（） 4.5题图A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．5.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）A．2 B． C．4 D．二．填空题（共15小题）6．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．8．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．7题图8题图9题图10题图9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．10．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= _________度．11．如图，活动菱形衣架的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=度．11题图13题14题图15题图12．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．13．如图，两个全等菱形的边长为1米，一机器人由A点开始按A—B—C—D—E—F—C—G—A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_____点．14．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．15．已知：菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______．16．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．17．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．18．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC 交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．18题图19题图20题图19．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．20．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=度．三．解答题21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．菱形性质与判定练习题答案部分一．选择题（共4小题）1．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（C）A、163B、16C、83D、82．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（C）A．2 B．C．1 D．3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（C）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（A）A．15 B．C．7.5 D．5.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ C ） 4.5题图A．2 B． C．4 D．二．填空题（共15小题）6．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是____3_____cm2．7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_2.4________．8．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD2．7题图8题图9题图10题图9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_60________．10．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=__65°_______度．11．如图，活动菱形衣架的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= 120°度．11题图13题14题图15题图12．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为2或6_________．13．如图，两个全等菱形的边长为1米，一机器人由A点开始按A—B—C—D—E—F—C—G—A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_B____点．14．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是____3_____cm．15．如图：菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_16_____．16．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_96________cm2．17．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是__120_______cm2．18．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是__2.5_(示AP与EF交于Q.S厶FQP=S厶EQA_．18题图19题图20题图19．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB PE+PB=PE+PD=ED_______．20．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=45度．提示连接AC证厶ABE 厶ACF 得到AE=AF 得出∠AFE=60°三．解答题21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．60°作DF⊥AB则F是AB的中直E是BF的中点BE=123．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥AD 、BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ． （1）求证：BE=BF ；（2）当菱形ABCD 的对角线AC=8，BD=6时，求BE 的长．（2）提示: 连接AC. BD 用勾3股4得AB=5再用等积法求BE11528622BE ⨯⋅⋅=⨯⨯24．如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接DP 交对角线AC 于E 连接BE ．（1）证明：∠APD=∠CBE ；（2）若∠DAB=60°，试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的，为什么？(1) ∆ ∴ ∠ DB 关于AC 对称 ∴∠EDC=∠CBE 而 ∠CDP=∠DPA ∴∠APD=∠CBE（2）当P 点运动到AB 的中点位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的，因为S ∆APD=APh= .AB h s 囗=ABh25．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm 、点P 从点D 出发向点A 运动，同时点Q 从点B 出发向点C 运动，点P 、Q 的速度都是1cm/s ．（1）在运动过程中，四边形AQCP 可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 是菱形？（2）分别求出菱形AQCP 的周长、面积．解(1) 设运动了x 秒 则得方程 8x =- 得x=3(2)C=4(8-3)=20cm s=(8-3)4=202cm解法二: 可以建立直角平面BA 为y 轴 BC 为x 轴, 在AC 的中点坐标(4.2) 和AC 的钭率, 求出直线QP, 从而可求出Q.P 的坐标, 找到PD 的长就能求出秒数。
菱形的定义、性质
菱 形
前面我们学习了平行四边形和矩形， 知道了如果 平行四边形 + 一个角是直角时, 成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊的四边形呢?
在平行四边形中，如果内角大小保 持不变仅改变边的长度，能否得到一个 特殊的平行四边形？
A
D ∵四边形ABCD是菱形
B
C
∴∠A = ∠C ∠B = ∠D
探究性质，尝试证明
由于平行四边形的对角线互相平 分，故： 菱形的性质3：菱形的对角线互相垂直 且平分，并且每一条对角线平分一组 对角．
菱形的性质3
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图， 求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC
平行四边形 邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
．
让我们一同走进生活中的菱形
2000多年前……
一把埋藏在地下的古剑，出土时 依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无 比，稍一用力，便可将多层白纸划 破，剑身上整齐排列着黑色菱形暗 花纹——越王勾践剑
菱形是特殊的平行四边形，它 具有平行四边形的一切性质．
A D
O
B
C
D A O C
边
菱形的两组对边平行Hale Waihona Puke 相等菱形的四条边相等B
角
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
对角线
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的 3cm 边长是______.
2.如下图：菱形 ABCD中∠BAD＝60度， 0 60 则∠ABD＝_______. D 3、菱形的两条对角线长 O 分别为6cm和8cm，则菱形 A 的边长是（ C ）
菱形的定义、性质石惠文
中考赏析： 中考赏析：
例2：菱形 ：菱形ABCD中，对角线 、BD相 中 对角线AC、 相 交于点O， 、 分别是 分别是AB、 的中点 求证： 的中点， 交于点 ，E、F分别是 、AD的中点，求证： OE＝OF。 ＝ 。
达标练习： 达标练习：
1、菱形的两条对角线长分别是3cm和4cm， 、菱形的两条对角线长分别是 和 ， 则菱形的周长 ，面积 。 2、菱形的面积为 、菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为 一条对角线的长为 6cm，则另一条对角线长为 ；边长为 ， 。
3、已知菱形的一个内角为120°，平分这 、已知菱形的一个内角为
个内角的对角线长9cm，则这个菱形的周长是 ， 个内角的对角线长 cm， ，
课堂反思
你的收获是什么？ 你的收获是什么？
看变化，找不同，边相等， 看变化，找不同，边相等，线平分且垂直
19
菱形
作
业
P98练习题 P98练习题 习题19.2 习题19.2
菱形
临沂高都中学
石惠文
菱形
临沂高都中学
石惠文
利用折纸、剪切的方法，剪出一个菱形 利用折纸、剪切的方法， 的纸片
将一张长方形的纸对折、再对折， 将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿 图中的虚线剪下，打开即可. 图中的虚线剪下，打开即可
菱形的性质： 菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形， 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形的所有性质. 边形的所有性质
菱形的性质1： 菱形的性质 ： 菱形的四条边都相等 四条边都相等。 菱形的四条边都相等。
A B C D
菱形的性质2： 菱形的性质 ： 菱形的两条对角线互相垂 菱形的两条对角线互相垂 直，并且每一条对角线平 分一组对角。 分一组对角。
菱形的性质与判定 (第1课时菱形的定义与性质)
求证：（1）AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD.
证明：
（2）∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD.
总结：菱形的性质
D
O
菱形的两组对边平行且相等 A
边
菱形的四条边相等
定义：一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
菱形定义的几何表示
∵ ABCD中，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
问题: 菱形与平行四边形有什么关系？
平行四边形集合
平行四边形
菱形
菱形集合
归纳
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性
质，但平行四边形不一定是菱形.
2、菱形的性质
做一做
请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
等腰三角形：
△ABC △ DBC △ACD △ABD
直角三角形：
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
Rt△DOA
全等三角形：Rt△AOB
≌ Rt△COB≌ Rt△COD ≌ Rt△ＡOＤ
△ABD≌△CBD
△ABC≌△ADC
例 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠BAD=60°，BD =2，求AB和AC的长.
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称
轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有
性质.
A
由于平行四边形的对边相等，故菱形
的对边相等，由于菱形的邻边相等，故
菱形及其性质课件
知1－讲
解：四边形DECF是菱形．理由如下： ∵DE∥FC，DF∥EC， ∴四边形DECF为平行四边形． 由AC∥DE，知∠2＝∠3. ∵CD平分∠ACB， ∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC， ∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平 行四边形是菱形)．
之差为12时，AE的长为( )
A．6.5
B．6
C．5.5
D．5
知2－练
3 如图所示，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC等于( ) A．20 B．15 C．10 D．5
知识点 3 菱形的对角线的性质
知3－导
思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的
所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行 四边形不具有的一些特殊性质呢？
知2－练
1 边长为3 cm的菱形的周长是( )
A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．15 cm
2 (2015·台州)如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，
F分别在
交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与
FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长
菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?
归纳
知3－导
对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研 究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以 下性质：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线 平分一组对角.
知3－导
问题
菱形的面积如何计算呢？
菱形的面积有两种计算方法： 一种是底乘以高的积； 另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积 时，要灵活运用使计算简单.
菱形的定义及性质课件
B
D
A.75°B.60°C.45°D.30°
E
F
C
探究三、例3：如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，
∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD．求两条小路的长和花坛的面积。
A
B
O
D
C
例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长；
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅 改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程 中，哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形
邻边相等
菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么 这个平行四边形成为怎样的四边形？
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
AB=BC ABCD 四边形ABCD是菱形
你能举出生活中的菱形的实际例子吗？ 追问：你能画出一个菱形吗？
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， B
C
则∠BAC＝__6_0_度___.
D
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，
则菱形的边长是（C ）
A
OC
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD， A B
E、F分别为BC，CD的中点，那么
∠EAF的度数是（ B ）
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？
1、相等的线段： AB=CD=AD=BC OA=OC
OB=OD
2、相等的角： ∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA B ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
菱形的性质及知识点归纳
菱形的性质及知识点归纳1500字菱形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特点。
下面是关于菱形的性质及相关知识点的归纳。
1. 边长性质：菱形的四条边边长相等。
2. 角度性质：菱形的内角都是直角，即90度。
3. 对角线性质：菱形的两条对角线相等且互相垂直。
4. 对称性质：菱形具有对称性，可以通过对角线进行对称。
5. 直角菱形：若菱形的一对对角线垂直，那么该菱形就是直角菱形。
6. 正菱形：若菱形的四个内角均为直角，则该菱形称为正菱形。
7. 等边菱形：菱形的四条边均相等，则称之为等边菱形。
8. 面积性质：菱形的面积可以通过对角线的乘积除以2来计算。
设菱形的对角线长为d1和d2，则菱形的面积S = (d1 × d2) / 2。
9. 周长性质：菱形的周长可以通过边长的四倍来计算。
设菱形的边长为a，则菱形的周长L = 4a。
10. 利用菱形的角平分线性质：菱形的角平分线上的长度都相等，并且菱形的左右两对角线划分出的小菱形相似，并且边长与菱形相比为1/2。
11. 利用菱形的内切圆性质：菱形的四条边都切内切圆的话，内切圆的直径等于菱形的对角线长度。
12. 利用菱形的封闭性质：菱形的内部由四个直角三角形组成。
可以通过计算这四个直角三角形的面积来计算菱形的面积。
13. 特殊菱形性质：如果一个四边形的对角线相等并且互相垂直，那么它就是一个菱形。
14. 利用菱形的边长性质：如果一个四边形的四条边相等，那么它就是一个菱形。
15. 利用菱形的角度性质：如果一个四边形的四个内角都是直角，那么它就是一个菱形。
16. 利用菱形的对称性质：如果一个四边形可以通过对角线进行对称，那么它就是一个菱形。
菱形是几何学中的一个重要概念，具有许多重要的性质和应用。
在解决几何问题和计算菱形的面积和周长时，以上这些性质和知识点都非常有用。
菱形的定义、性质
△ABC≌△ACD
A
D O C
1.已知菱形的周长是12cm，那 3cm 么它的边长是______. 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， 60度 则∠BAC＝_______.
B
D
3
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm A，4 O 则菱形的边长是（ ）C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
A
C
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD， E、F分别为BC，CD的中点，那么 B ∠EAF的度数是（ ）B
A.75°B.60°C.45°D.30°
E
B
D F
C
5、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的 交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角 线BD的长。 D
解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 O C
例：如果菱形的一个角是1200，那么这个 角的顶点向两条对边所引的两条垂线分别平 分两边。
A
D
F E C
B
A
D
B
F E
C
已知如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 上的点，且∠B= ∠ EAF=60 , ∠ BAE=18, 求∠ CEF的度数.
成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。 ——爱迪生
=
菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。
【菱形的面积公式】
A B 菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗? D
菱形
O E
C
S菱形=BC●AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 为 什 用对角线能 计算菱形的面积公式吗? 么 1 S菱形ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD 2 面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
菱形的判定和性质
BCADO菱形的剖断和性质一.基本常识 （一）菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （二）菱形的性质：1、 具有平行四边形的一切性质;2、 菱形四条边都相等;3、 菱形的对角线互相垂直等分,每条对角线等分一组对角;4、 菱形是轴对称图形;边 角 对角线 对称性 菱形对边平行; 四边相等对角相等; 邻角互补互相垂直等分且等分对角轴对称（三）菱形的剖断：1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形;2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形;3、 四条边都相等的四边形是菱形;（四）菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算（S=21底×高）2、用对角线盘算（面积的两对角线的积的一半 S=21ab)BCDE二.例题讲授考点一 ：菱形的剖断例1：下列命题准确的是（ ）（A ） 一组对边相等,另一组对边平行的四边形必定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形必定是矩形（C ） 两条对角线互相垂直的四边形必定是菱形（D ） 两条对角线相等且互相垂直等分的四边形必定是正方形演习1：菱形的对角线具有( )A ．互相等分且不垂直B ．互相等分且相等C ．互相等分且垂直D ．互相等分.垂直且相等演习2：如图,菱形ABCD 中,对角线AC.BD 订交于点O,M.N 分离是边AB.AD 的中点,衔接OM.ON.MN,则下列论述准确的是（ ）A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形演习3：如图,,,,,则下列说法准确的是( )ABCD演习4：如图,下列前提之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（）DBCA NM OA．①③B．②③C．③④D．①②③例2 ：已知AD是△ABC的等分线于E,DF∥AB交AC于F,则四边形AEDF变更：若D是等腰三角形底边BC AC∥AB交AC于F,则四边形AEDF演习1：如图,AD是Rt△ABC斜边上的高,BE过E作EF⊥BC于F,试解释四边形AEFG是菱形．演习2：如图,E是菱形ABCD边AD的中点,EF⊥ACF,交AB于点G,求证：AB与EF互相等分.演习3：如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠BAC＝60°,DE垂直等分BC,垂足为D,交AB于点E,又点F在DE的延伸线上,且AF＝CE,求证：四边形ACEF 是菱形.考点二：菱形的性质例1：如图,四边形ABCD中,∠ADC＝90°,AC＝CB,E.F分离是AC.AB的中点,且∠DEA＝∠ACB＝45°,BG⊥AE于G,求证：（1）四边形AFGD是菱形;（2）若AC＝BC＝10,求菱形的面积.演习1：如图,在菱形ABCD中,E是AB中点,且DE⊥AB,AB＝4,求：（1）∠ABC的度数;AB CDAHGFE DCBAFEDCBABED CBAGFEDCBA（2）菱形ABCD 的面积.例2 ：如图 5,ABCD 是菱形,对角线AC 与BD 订交于O（1）求证：△ABD 是正三角形;（2）求 AC 的长（成果可保存根号）．演习1：若菱形的边长为1cm,个中一内角为60°,则它的面积为 ( ) A演习2：若菱形的周长为16cm,两相邻角的度数之比是1：2,则菱形的面积是（ ）（A ）4 3 cm （B ）8 3 cm （C ）16 3 cm （D ）20 3 cm演习3：已知菱形的周长为96㎝,两个邻角的比是1︰2,这个菱形的较短对角线的长是( )A ．21㎝B ．22㎝C ．23㎝D ．24㎝ 例3： 如图,将一个长为10cm,宽为8cm 的矩形纸片半数两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下,再打开,得到的菱形的面积为( )A演习1：菱形的两条对角线分离是12cm.16cm,则菱形的周长是（ ）A ．24cmB ．32cmC ．40 cmD ．60cm演习2：若菱形ABCD 中,AE 垂直等分BC 于E,AE ＝1cm,则BC 的长是（ ）O DB ABCADOBCADO（A ）1cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm 演习3:若菱形周长为52cm,一条对角线长为10cm,则其面积为( )A ．240 cm 2B ．120 cm 2C ．60 cm 2D ．30 cm2例4:如图,菱形ABCD,E,F 分离是BC,CD 上的点,∠B ＝∠EAF ＝60°,∠BAE ＝18°求∠CEF 的度数.演习1:如图,菱形ABCD 中,∠B ＝60°,AB ＝2,E .F 分离是B C ．CD 的中点,衔接AE .EF .AF ,则△AEF 的周长为（ ）A ． 32B ． 33C ． 34D ． 3演习2：如图,在菱形ABCD 中,60A ∠=°,E .F 分离是AB .AD 的中点,若2EF =,则菱形ABCD 的边长是_____________．演习3：如图所示,已知菱形ABCD 中,E.F 分离在BC 和CD 上,且∠B=∠EAF=60°,∠BAE=15°, 求∠CEF 的度数.例5：如图,菱形ABCD 是边长为13cm,个中对角线AC=10cm,求（1）菱形ABCD 的面积;（2）作BC 边上的高AH,求出AH 的长度演习1：如图,在菱形ABCD 中,∠ABC 与∠BAD 的度数比为1：2,周长是48cm ．求：（1）两条对角线的长度; （2）菱形的面积．例6：已知：如图,在菱形ABCD 中,E.F 分离是BC.CD 上的点,且CE=CF.过点C 作CG ∥EA 交AF 于H,交AD 于G,若∠BAE=25°,∠BCD=130°,求∠AHC 的度数.HG F EDCB A演习1：如图所示,已知菱形ABCD 中E 在BC 上,且AB=AE,∠BAE=21∠EAD,AE交BD 于M,试解释BE=AM.演习2：如图,菱形ABCD 的边长为2,BD ＝2,E .F 分离是边AD ,CD 上的两个动点,且知足AE ＋CF ＝2．(1) 求证：△BDE ≌△BCF ; (2) 断定△BEF 的外形,并解释来由;(3) 设△BEF的面积为S ,求S 的取值规模．考点三：分解例1：如图,菱形111AB C D 的边长为1,160B ∠=;作211AD B C ⊥于点2D ,以2AD 为一边,做第二个菱形222AB C D ,使260B ∠=;作322AD B C ⊥于点3D ,以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ,使360B ∠=;依此类推,如许做的第n 个菱形n n n AB C D 的边nAD 的长是．例2：菱形ABCD 的对角线交于O,AO=1,且∠ABC ∶∠BAD=1∶2,∠ABO=300则下列结论：①．∠ABC=600;②．AC=2;③．BD=4;④．SABCD=23;⑤菱形ABCD 的周长是8,个中准确的有（ ）A ．①②③④⑤B ．①②④⑤C ．②③④⑤D ．①②③例3：如图所示,在Rt ABC △中,90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针偏向扭转60︒得到DEC △，点E 在AC 上,再将1D B 3A C 2B 2C 3D 3 B 1D 2C 1ABDO（1;（2别平行四边形？为什么？课后演习:1.若菱形的边长是它的高的2倍,则它的一个较小内角的度数是.2.如图1,在菱形ABCD 中,AB = 5,∠BCD = 120°,则对角线AC 等于（ ）A ．20B ．15C ．10D ．53.菱形ABCD 中,AE 垂直等分BC ,垂足为E ,AB ＝4cm ．那么,菱形ABCD 的面积是,对角线BD 的长是．4.如图,在菱形ABCD 中,∠A =110°,E ,F 分离是边AB 和BC 的中点,EP ⊥CD 于点P ,则∠FPC =（ ）A ．35°B ．45°C ．50°D ．55°ADFCEGBBBAC DDAE PCB F5.已知：如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延伸线于点F.（1）求证：AM=DM;（2）若DF=2,求菱形ABCD的周长．。
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菱形的定义及其性质————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ1９．2.2 菱形的定义及其性质课题菱形的定义及其性质课型新授课课时第1课时授课时长４５分钟授课题目(章,节) 第十九章第二节19．２.２圆的一般方程教材及参考书目义务教育课程标准实验教材书数学八年级下册（人民教育出版社）●教学目的与要求1、知识目标:掌握菱形的定义和菱形的特殊性质,并熟练运用其进行有关的证明和计算。
2、能力目标:通过学生实践、观察、猜想、探究得出菱形的定义和性质，培养学生合情推理能力和演绎推理能力。
３、情感目标：经历“几何画板”探索数学规律,激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。
●教学重难点➢菱形是特殊的平行四边形,因而她有着自己的定义和不同于平行四边形的性质，菱形的定义和性质即是平行四边形定义与性质的延续，又是以后学习正方形的基础。
因此本节课的重难点定为：1、教学重点:菱形的概念与性质２、教学难点：菱形性质和直角三角形的知识的综合应用.➢而解决这一难点的关键在于关键在于把握平行四边形的概念,引伸到菱形定义，再研究菱形的性质。
●教学方法➢由于八年级学生思维的不成熟,在解决实际问题中考虑不够深入。
并根据本节内容,采用师生合作探究和学生动手实践、观察、猜想、探究相结合的教学方法。
●教学辅助多媒体教学演示折纸剪纸探究●教学过程及时间分配1、情景创设,引入新课(９分钟）2、探索活动，讲授新课(14分钟）3、例题讲解，指导应用（8分钟) ４、课堂练习,动手实践（８分钟)5、归纳小结,反馈回授(3分钟)6、知识延伸,分层作业（3分钟）教学环节教学基本内容设计意图一、情景创设，引入新课创设情境(１分钟)在前面同学们学习了平行四边形与矩形的相关知识，这节课我们将共同学习一种新的图形。
引入新课（８分钟)用“几何画板”画出等腰△ABC，并作出关于底边中点O对称的图形。
如图，在△ABC中，AB=ＡC，O为BC边上的中点,△DＢC为△ＡＢC关于点Ｏ的对称图形。
观察猜想:四边形AＢCＤ为什么图形？并且具有什么特点?师生探究：通过“几何画板”演示、老师提问和学生小组讨论的方式的方式,最后得出四边形ABCD是中心对称图形,是平行四边形,并且有一组邻边相等。
归纳总结:四边形ＡBCD是中心对称图形，是平行四边形,并且有一组邻边相等对称轴是两条对角线，又是中心对称图形，对称中心是对角线交点。
启发导入：为四边形AＢCＤ是简单的平行四边形吗?带着这个问题,我们今天来共同来探讨这种特殊的平行四边形的性质。
⑴简单的情境创设，激发兴趣,指明了课型的性质。
⑴通过几何画板演示，自然地从平行四边形过渡到菱形,为引入菱形的概念做铺垫。
⑵引导学生观察猜想,探究四边形ＡBCＤ的性质和特点,学生观察思考过程中学会了动眼、动口、动脑三维一体,多种刺激,调动了学生学习的积极性,培养学生勇于探索,团结协作的精神。
⑶归纳总结，得出菱形这种特殊的平行四边形具有对称性，为用对称图形的性质得出菱形性质做铺垫。
二、探索活动,讲授新课讲授新课:（２分钟)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形思考讨论:菱形是平行四边形,它具有平行四边形的一切性质;菱形又是特殊的平行四边形,它还具有哪些特殊性质？探究活动:（8分钟）请同学们拿出矩形纸片,对折两次,然后沿一个角剪开打开,看一看得到了什么图形?教师活动：教师使用投影仪,和同学们一起进行实践操作,观察剪下来的图形是怎样的图形。
实际上，学生很容易发现,剪下的一个图形是菱形。
探究思考：学生动手操作后发现，菱形是轴对称图形,对称轴就是它对角线所在的直线。
从中利用轴对称图形的性质可和: ⑴AB=BC=CD＝ＤＡ、ＢＤ⊥AC⑵∠ＢAC＝∠DAC、∠BCA=∠DＣA、∠AＢD=∠CBD∠AＤＢ＝∠ＣDB。
结论用文字如何表述？（2分钟)（幻灯片展示）性质：⑴菱形的四边相等。
⑵菱形的对角线互相垂直平分，并且平分一组对角。
⑴启发引入,让学生理解，既然菱形是特殊的平行四边形,那么它就应该具有平行四边形的一切性质。
⑵通过动手实验,引导学生通过合情推理去探究,发现结论。
⑴在合情推理的基础上,引导学生说理(分别从菱形的定义与中心对称性两个方面)，最后得出菱形的性质。
⑵要求学生用数学语言和文字语言表述性质内容，发展有条理的表达能力。
问题一：菱形的性质的题设和结论分别是什么?题设:四边形ABCD是菱形。
结论:对角线互相垂直平分，并且平分一组对角。
问题二：菱形的性质是我们通过对称图形的性质得到的,那还有没有其他的数学方法呢?利用等腰三角形和全等三角形证明(2分钟）⑴强调菱形定义和性质的本质,让学生理解记忆菱形的几何特征。
⑵引导学生从不同的角度思考，培养学生思维的多样性。
三、例题讲解、指导应用例题讲解：(8分钟）例1、四边形ABCD是菱形，点Ｏ是两条对角线的交点,AB＝５cm,AＯ=４ｃm，求两条对角线AC和BD的长度。
解：应用菱形的性质⑵和勾股定理(见幻灯片)例2、如图，菱形花坛ABCＤ的边长为２０m，∠ＡBC=60,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的长(结果保留小数点后2位)和花坛的面积（结果保留小数点后1位)解:∵花坛ABＣD为菱形∴AＣ⊥BD,∠AＢＯ=12∠AＢC=12×6０°=30°在Ｒｔ△OＡB中，AO=12AB=12×20＝１0(ｍ)BO=22AB AO-=222010-＝300(m)⑴通过例题讲解,指导应用,加深对所学知识的理解应用，使学生掌握基础知识。
⑵熟悉、应用菱形的有关性质；由于菱形的对角线互相垂直平分,菱形的二条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形,结合图形思考求出菱形的面积,培养学生数型结合的思想。
⑴教学中应注意引导学生探索解题途径，培养学生有条理地思考∴花坛的两条小路长AＣ=２AO=20mBD=２BＯ≈3４．６４m花坛的面积S＝４×ABCS=12A C﹒ＢＤ≈346.42m导析应用:⑴菱形的辅助线的做法通常是做对角线。
⑵利用菱形的性质。
和表达并规范书写。
⑵突破辅助线难关，让学生熟悉解题的一般方法。
四、课堂练习，动手实践课堂练习:（8分钟）(幻灯片展示)1．菱形的两条对角线长分别为1６cm,12cm,那么这个菱形的高是_＿＿＿＿_＿.2. 已知菱形两邻角的比是１:2,周长是4０cm,则较短对角线长是____＿___3．如图,在菱形ＡBCD中,E、F为BC、BＤ重点，求证：AE=AＦ。
（用两种做法)思路：证法1：利用菱形性质再运用△ABE≌△ADF证法2：连线AC，证△AEC≌△AFC（SAS）⑴同步练习,检测学生的掌握情况,及时回授，强化知识点的应用。
五、归纳小结,反馈回授归纳小结：（3分钟）（幻灯片展示）1、菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质:⑴菱形的四边相等。
⑵菱形的对角线互相垂直平分，并且平分一组对角。
⑶菱形的面积等于两对角线乘积的一半。
⑴有利于学生理清本节课的知识点，深化对菱形定义和性质的理解。
⑵启发引导学生进行归纳整理,培养学生宏观掌握知识的能力。
知识延伸:(2分钟)(幻灯片展示)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角,利用其其性质可以很快求出菱形的面积六、知识延伸，分层作业菱形的对角线将菱形切成4•个全等的直角三角形，即菱形的面积S=4×Ｒｔ△BOA=12ＢD·AC,•即菱形面积也可以等于对角线乘积的一半．思考:应用以上性质求巩固练习的第2题分层作业:（1分钟）必做题：课本9８页2、选做题:课本120页5、2、⑴知识延伸，有利于学生更高思维能力的发展。
⑵必做题与选做题相结合,面向全体学生，激发学生兴趣。
板书设计:1．菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2．菱形的性质:⑴菱形的四边相等。
⑵菱形的对角线互相垂直平分,并且平分一组对角。
19.２．2菱形的性质及其定义(例题讲解)例1.例２．（巩固练习）1.2.3.(分层作业)。