高考数学培优 第43讲圆锥曲线小题精选

第四十三讲圆锥曲线小题精选

A 组

一、选择题

1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=

>>的左焦点，,A B 分别为C

的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）

A ．13

B ．1

2 C ．2

3 D ．34

【答案】A 【解析】 如

图

取

P

与

M

重合，则由

2

(,0),(,)b A a M c a

--⇒

直线

2

2:()(0,)

b b a AM y x a E

c a a c

=+⇒-+-同理由

222221

(,0),(,)(0,)33

b b b b B a M

c G a c e a a c a c a c -⇒⇒=⇒=⇒=+-+,故选A.

2．如图，12,F F 分别是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与

双曲线分别交于点,A B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）

A ．3±．2± C. 6 D ．2±【答案】C 【解析】

由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又

2ABF ∆为等边三角形，所以121AF AF BF -=

2a =，所以24BF =.在12AF F ∆中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，

1260F AF ∠=︒，由余弦定理得22243616264cos60c a a a a =+-⨯⨯⨯︒，所以

227c a =，22226b c a a =-=，所以

6b

a

= C. 3．已知命题p ：直线220x y +=与直线220x y +-=之间的距离不大于1，命题q ：椭圆2

2

22754x y +=与双曲线2

2

916144x y -=有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）

A ．()p q ∧⌝

B ．()p q ⌝∧ C. ()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∧ 【答案】B 【解析】

对于命题p ，将直线l 平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为20x y m ++=，联

立方程组224120x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得22

2210x mx m ++-=.由0∆=得，所以

2m =±，椭圆上的点到直线l 最近距离为直线220x y +=与l 的距离

d =

226210112

-+=>+，所以命题p 为假命题，于是p ⌝为真命题.对于命题q ，

椭圆2

2

22754x y +=与双曲线2

2

916144x y -=有相同的焦点()5,0±，故q 为真命题.

从而()p q ⌝∧为真命题，故选B.

3．如图，12,F F 分别是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与

双曲线分别交于点,A B ，且()

1,3A ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ）

A ．1

B 2 3．2 【答案】

C 【解析】

由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又

2ABF ∆为等边三角形，所以121AF AF BF -=

2a =，所以24BF =.在12AF F ∆中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，

1260F AF ∠=︒，由余弦定理得22243616264cos60c a a a a =+-⨯⨯⨯︒，所以

2

2

7c a =，2

2

2

2

6b c a a =-=，所以双曲线方程为22

2216x y a a

-=，又(3A 在双曲

线上，所以

22

1316a a -=，解得2

12a =，即22a =. 所以1221

24sin1202332

BF F S a a a ∆=

⨯⨯⨯︒==，故选C. 4．已知点()00,A x y 是抛物线()2

20y px p =>上一点，且它在第一象限内，焦点为

,F O 坐标原点，若32

p

AF =

，23AO = ） A ．4x =- B ．3x =- C. 2x =- D ．1x =- 【答案】D 【解析】

因为0322

p p x +=，所以0x p =，02y =.又)

2

2

212p +

=，所以2p =，准

线方程为1x =-，故选D.

5．已知椭圆22

:1169

x y C +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线交椭圆C 于P Q 、两点，若1F P +1

10FQ =，则PQ 等于（ ） A ．8 B ．6 C. 4 D ．2 【答案】B 【解析】

因为直线PQ 过椭圆的右焦点2F ，由椭圆的定义，在1F PQ ∆中，

11416F P FQ PQ a ++==.又11

10F P FQ +=，所以6PQ =，故选B. 6．设1F ，2F 分别为双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一

点P 使得123PF PF b +=，129

4

PF PF ab •=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．

4

3

B ．53

C ．9

4

D ．3

【答案】B 【解析】

由双曲线的定义可得，a PF PF 2||||||21=-，由b PF PF 3||||21=+，

ab PF PF 4

9

||||21=

⋅，则有221|)||(|PF PF +2221499||||4a ab b PF PF =-=⋅-，即有0)3)(43(=+-a b a b ，即有a b 43=，即)(91692

2

2

2

a c a

b -==，则

22259a c =，即有a c 53=，则3

5

e ==

a c ．故选B ． 7．已知双曲线()22

22:10 0x y C a b a b -=>>，的左焦点为() 0F c -，

，点M 、N 在双曲线

C 上，O 是坐标原点，

若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN ，则双曲线C 的离心率为（ ）

A ．2

C.．【答案】D

【解析】

设()00 M x y ，

，∵四边形OFMN 为平行四边形，∴02c

x =-，∵四边形OFMN 的面积

，