空间点线面的位置关系

公理2
公理3
β
a
α α β
β
α
小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
a B B α
b a
α A
a
A
A
α
A a Ba
β
a
α
A B
α β
a b A
a 或a //
β
α
a
// 或
平面α与平面β重合
练习
3.平面的基本性质
4.点线共面问题
a a
α α
a
a
A
α
2.点、直线、平面的位置关系
(4)平面与平面的位置关系：按有否公共点分两类
①当两个不同平面α与平面β有公共点时，它们的公共点组成 直线a，称平面α与平面β相交.记作： a
②当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β平行. 记作： // 或 注2：当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合. （当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合)
3.平面的基本性质
思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？
不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点， 并且这些公共点在一条直线上.
3.平面的基本性质
(2)公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线. ①图形语言：

P

l
②符号语言：P l且P l ③该公理反映了平面与平面的位置关系：
a
b
c
e
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
3.平面的基本性质
(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示: a // b, b // c a // c.
c
a
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a
b
c
α 注4：①平行具有传递性； ②该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条 直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.
4.点线共面问题
例1 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.
B
证法二：
A
C
因为A 直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面 .（推论1） 因为B∈BC，所以B∈ . 又A∈，故AB ，同理AC ， 所以AB，AC，BC共面. 证法三： 因为A，B，C三点不在一条直线上， 所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理2） 因为A∈，B∈，所以AB .（公理1） 同理BC ，AC ，所以AB，BC，CA三直线共面.
证明： 连结BD，
∵ EH是△ABD的中位线， 1 ∴EH ∥BD且EH = 2 BD． H
1 同理，FG ∥BD且FG = 2 BD．
E
D G B F C
∴EH ∥FG且EH =FG． ∴EFGH是一个平行四边形．
另 注 ： 平 行 线 段 成 比 例
法二：往证EH//FG,EF//HG呢?
“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法． 问1:若上例加上条件AC=BD，则四边形EFGH是一个什么图形？ 菱形 问2:若上例中四边形EFGH为矩形，AC与BD垂直吗？
例1 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AB与C1D1 ，AD1与 BC1是什么位置关系？为什么？
解： 1）∵AB∥A1B1， C1D1 ∥A1B1， ∴ AB ∥ C1D1 2）∵AB ∥C1D1 ，且AB = C1D1
A1
D1
B1
C1
D A B
C
∴ ABC1D1为平行四边形
故AD1 ∥ BC1
A1 B1
D
C
A
B
1.平面的基本知识
(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是 最基本的概念，即为不加定义的原始概念. (2)平面的基本特征是无限延展性.
平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）； 平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的.
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中 的平面概念是现实平面加以抽象的结果. 思考:能不能说一个平面长4米,宽2米？为什么? 不能.
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线， 以及侧面、地面之间的关系吗？
长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的， 有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在 的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内 的直线等等.
空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题. D1 C1
3.平面的基本性质
公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A
推论2 推论3 a
B C
A
B
a
C
经过两条相交直线，有且只有一个平面. 经过两条平行直线，有且只有一个平面. a b
α
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
练习
例3 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， (1)判断下列命题是否正确，并说明理由： A. 直线AC1在平面CC1 B1 B内； B. 点A, O, C可确定一个平面； C. 由点A, C1 , B1确定的平面与由点A, C1 , D确定的平面是同一个 平面； 面BB1 D1 D的交线为OO1.
分析：找面DMN 与面ABCD的交线
N 即交线为QN 找面DMN 与面ABCD的两个公共点. ?? Q MD 面DMN AD 面ABCD D' MD, AD在同一个平面ADD'A'内,且交点为 Q
C'
MD和AD的交点Q 面DMN 面ABCD
A' M A Q D N P
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
直尺落在桌面上（直线AB在平面α内）
3.平面的基本性质
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内， 则这条直线在此平面内. ①图形语言：

A
l
B
②符号语言： A l , B l且A , B l
③该公理反映了直线与平面的位置关系： 可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面.
C
A
B
自行车需要一个支脚架就可以保持平衡.
3.平面的基本性质
(3)公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. ①图形语言： B A C ②符号语言：
A, B, C不共线 有且只有一个平面，使得A , B , C
③定义的说明：
过不在一条直线上的四点，不一定有平面.故要充分重视“不在 一条直线上的三点”这一条件；
2.点、直线、平面的位置关系
(1)点、线、面的表示
点(元素):大写字母A、B、C、D…… 直线(点的集合):小写英文字母 a, b, c 或者两个大写英文字母 平面(点的集合):用希腊字母表示 , , ； 用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.
(2)点、线、面之间的位置关系的表示 用集合中的关系符号 元素与集合关系： 集合与集合关系： , ;
练习
画出两个竖直放置的相交平面.
1.平面的基本知识
(3)平面的画法及表示
D C
A


B
表示方法：
①把希腊字母 , , 等写在代表平面的平行四边形的一个角上， 如平面 ，平面 . ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示， 如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表 示，如平面AC或者平面BD.
i)该公理是用以判定两个平面相交的依据：只要两个平面有一个 公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线. (找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可) ii)该公理可用以判定点在直线上：点是某两平面的公共点，线 是这两个平面的公共交线，则该点在交线上.
3.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
√
√
D. 设正方形ABCD与A1 B1C1D1的中心分别为O, O1 , 则面AA1C1C与
D1
O1
1
C1 B1
E. AC1与面BDD1B1的交点落在直线OO1上. A
√
D
O
C B
A
例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）
长方体ABCD A1 B1C1 D1中，画出下列平面的交线： (1)平面A1C1 D与平面B1 D1 D; (2)平面A1C1 B与平面AB1 D1 ;
,
2.点、直线、平面的位置关系
(1)点与直线的位置关系： 点A在直线a上，记作 A a 点B不在直线a上，记作 B a (2)点与平面的位置关系： 点A在平面α上，记作 A 点B不在平面α上，记作 B
α
A A a
B
B
2.点、直线、平面的位置关系
(3)直线与平面的位置关系：按公共点个数分三类
B' C
B
拓展
4.点线共面问题
(1)证明的主要依据：公理1；公理2及其三个推论.
(2)证明的常用方法： ①纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余有关的 点、线在此平面内； ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元 素确定平面，最后证明平面、重合.
4.点线共面问题
例1 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.
D1 O
A1
找两平面的两个公共点
C1 B1
A1
D1
F
B1 D E
C1
D A
C
C B
B
A
例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）
*在棱长为a的正方体ABCD A'B'C'D'中，M , N 分别是AA', D'C'的中点. (1)画出过点D, M , N的平面与正方体的下底面的交线l ; (2)设平面l AB P, 求PB'的长;
练习
3.平面的基本性质
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
D' C' B' D A B C
观察：在右图的长方体中， BB '// AA ', DD '// AA '，那么 BB ' 与DD ' 平行吗？
A'
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？ d
B
A C
确定一个面，再 证明其余线在该 面内.
已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C 求证：直线AB，BC，AC共面. 证明： 因为AB∩AC=A，
所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2） 因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈， 故BC.（公理1） 因此直线AB，BC，CA共面.
练习：上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？
若E, F , G, H 分别是AB, AD, C1D1的中点,判断下列直线是否平行: i) EF与GH ; ii) DE与HB1;
例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F， G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证： EFGH是一个平行四边形. A
“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只 有一个”替代； 确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词.
3.平面的基本性质
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A
B
aC
已知点A a，求证过点A和直线a可以确定一个平面. 存在性. 证明： 因为Aa，在a上任取两点B，C. 所以过不共线的三点A，B，C有一个平面.（公理2） 因为B∈，C∈， 所以a .（公理1） 故经过点A和直线a有一个平面. 唯一性. 因为B，C在a上， 所以过直线a和点A的平面一定经过点A，B，C. 由公理2，经过不共线三点A，B，C的平面只有一个， 所以过直线a和点A的平面只有一个.
1.平面的基本知识
(3)平面的画法及表示 画法 ——立体几何中通常用平行四边形来表示平面，
有时也用圆或三角形等图形来表示平面.
ß

水平放置
画平面水平放置时， 常把平行四边形的 锐角通常画成45°， 且横边长等于邻边 长的2倍.
垂直放置
为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮 挡的部分用虚线画出来.
①直线a与平面α有无数个公共点，称直线a在平面α内， 或称平面α通过直线a.记为： a
公理1
②直线a与平面α有且只有一个公共点，称直线a与平面α相交. 记为： a A ③直线a与平面α没有公共点，称直线a与平面α平行. 记为： // 或 a a 注1：情况②和③统称为直线a在平面α外，记作