含有绝对值的方程
含绝对值的一元三次方程解法
含绝对值的一元三次方程解法1. 引言一元三次方程是数学中常见的方程形式之一。
当方程中含有绝对值时，解方程的方法可能会有所不同。
本文将介绍含有绝对值的一元三次方程的解法。
2. 解法步骤解含有绝对值的一元三次方程可以按照以下步骤进行：步骤一：确定绝对值的取值范围首先需要确定方程中绝对值的取值范围。
可以通过观察方程的系数和常数项来得到。
步骤二：分情况讨论根据绝对值的取值范围，我们将方程分为不同的情况进行讨论。
- 当绝对值的取值范围满足某个条件时，将绝对值去掉并恢复原方程形式。
- 当绝对值的取值范围不满足某个条件时，将绝对值去掉并取反，得到一个新的方程。
步骤三：解方程根据分情况讨论的结果，我们可以得到新的一元三次方程。
然后，可以采用通常的解方程的方法来求解。
步骤四：检验解的合法性在得到方程的解后，需要对解进行检验，确保解是符合原方程的。
3. 实例演示下面以一个具体的例子来演示含有绝对值的一元三次方程的解法：假设我们要解方程：|x|³ + 2x = 9步骤一：确定绝对值的取值范围。
由于绝对值函数的结果始终为正数，所以我们可以得出绝对值的取值范围为x ≥ 0。
步骤二：分情况讨论。
- 当x ≥ 0 时，绝对值去掉并恢复原方程形式。
得到方程 x³ + 2x = 9。
- 当 x < 0 时，绝对值取反。
得到方程 -x³ + 2x = 9。
步骤三：解方程。
- 对于第一种情况，我们可以采用传统的解一元三次方程的方法求解。
得到解 x = 2。
- 对于第二种情况，我们同样可以采用传统的解一元三次方程的方法求解。
得到解 x = -1。
步骤四：检验解的合法性。
将求解得到的解代入原方程，检验两边是否相等。
在这个例子中，将 x = 2 和 x = -1 代入方程均可以得到等式成立。
4. 总结含有绝对值的一元三次方程的解法可以通过分情况讨论和传统的解方程的方法来求解。
在解方程后，需要对得到的解进行检验，确保解是符合原方程的。
初中数学重点梳理：含绝对值的方程组
含绝对值的方程组知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本讲主要介绍解含有绝对值的方程四种方法：定义法、平方法、零点分区法、数轴、取这几个方程的公共解。
知识梳理从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的。
由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点。
一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：含绝对值的不等式的性质：（2）｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；（3）｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．注意：由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．例题精讲【试题来源】【题目】设|﹣|≥0，||≥0，求x+y【答案】1【解析】解：分析从绝对值的意义知≥0，≥0，两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零，可得：，解得x=﹣y，把③代入①得﹣﹣=0，解之得y=﹣3，所以x=4，故有x+y=4﹣3=1．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】解方程组【答案】，，或．【解析】解：由①得x﹣y=1或x﹣y=﹣1，即x=y+1或x=y﹣1．与②结合有下面两个方程组，（1），把x=y+1代入|x|+2|y|=3得，|y+1|+2|y|=3．去绝对值符号，可得y=﹣或y=﹣，再将其代入x=y+1可求出方程组（1）的解为：或，（2），把x=y﹣1代入|x|+2|y|=3得，|y﹣1|+2|y|=3．去绝对值符号，可得y=﹣或y=﹣，再将其代入x=y﹣1可求出方程组（1）的解为：或．故原方程组的解为：，，或．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习【难度系数】4【试题来源】【题目】解方程组：【答案】、【解析】解：原方程，把②代入①得：4y﹣4+|y﹣1|=5③，当y﹣1≥0时，③式=4y﹣4+y﹣1=5，解得y=2；把y=2代入②得：x=3或﹣5；当y﹣1≤0时，③式=4y﹣4﹣y+1=5，解得无解．综上得原方程组的解为：、．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程组【答案】、、、【解析】解：1.当x＞0，y＞0时，原方程组为，方程组无解；2.当x＞0，y＜0，且|x|＞|y|，原方程组为，解得；3.当x＞0，y＜0，且|x|＜|y|，原方程组为，解得；4.当x＜0，y＜0时，原方程组为，方程组无解；5.当x＜0，y＞0，且|x|＞|y|，原方程组为，解得；6.当x＜0，y＞0，且|x|＜|y|，原方程组为，解得．综上得原方程组的解为：、、、【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】要使关于x的方程||x﹣3|﹣2|=a有三个整数解，则a的值是多少？【答案】2【解析】解：∵||x﹣3|﹣2|=a，∴a≥0．∴|x﹣3|﹣2=a或|x﹣3|﹣2=﹣a．当|x﹣3|﹣2=a时，|x﹣3|=2+a，∴x﹣3=2+a或x﹣3=﹣2﹣a．∴x1=5+a，x2=1﹣a，当|x﹣3|﹣2=﹣a时，|x﹣3|=2﹣a，a≤2，∴x﹣3=2﹣a或x﹣3=﹣2+a，∴x3=5﹣a，x4=1+a，若方程有3个不同的整数解，则x1，x2，x3，x4中必有2个相同．当x1，x2=2时，a=﹣2，与a≥0矛盾；当x1=x3时，a=0，此时原方程有2个解；当x1=x4时，a无解；当x2=x3时，a无解；当x2=x4时，a=0，此方程有2个解；当x3=x4时，a=2．综上有：当a=2时，原方程有3个不同的解【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7【答案】x=8/3或x=-2【解析】解：(1) 当x≥2时，原方程化为(x-2)+(2x+1)=7，-(x-2)+(2x+1)=7．应舍去．-(x-2)-(2x+1)=7．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】若|m|=m+1，则（4m+1）2011=【答案】-1【解析】解：根据题意，可得m的取值有三种，分别是：当m＞0时，则|m|=m+1可转换为m=m+1，此种情况不成立．当m=0时，则|m|=m+1可转换为0=0+1，此种情况不成立．当m＜0时，则|m|=m+1可转换为﹣m=m+1，解得，m=﹣．将m的值代入，则可得（4m+1）2011=[4×（﹣）+1]2011=﹣1．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知|x+1|=4，（y+2）2=0，则x﹣y的值【答案】5或-3【解析】解∵（y+2）2=0，∴|y+2|=0，∴y=﹣2；又∵|x+1|=4，∴x+1=±4，即x=3或﹣5．1.当x=3，y=﹣2时，x﹣y=5；2.当x=﹣5，y=﹣2时，x﹣y=﹣3；所以，x﹣y的值为5或﹣3；【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】解方程组【答案】【解析】解：由①得，x+y=|x﹣y|+2．∵|x﹣y|≥0，∴x+y＞0，∴|x+y|=x+y．③把③代入②，有x+y=x+2，∴y=2．将y=2代入①，有|x﹣2|=x，∴x﹣2=x ④x﹣2=﹣x ⑤．方程④无解，解方程⑤，得x=1．故原方程组的解为．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|=c恰好有两个解的所有实数c范围【答案】c＞3或1＜c＜3【解析】解：（1）当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：x=，由＜1，得：c＞3；（2）当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：c=3，有无数多解；（3）当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6=c，解得：x=，由2≤＜3，得：1＜c≤3；（4）当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6=c，解得：x=，由≥3，得：c≥1．故当c＞3时，原方程恰有两解：，；当1＜c＜3时，原方程恰有两解：，【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】方程丨x+3丨+丨3﹣x丨=丨x丨+5的解【答案】x1=，x2=﹣【解析】解：①当x＞3的时，原方程可化为：x+3+x﹣3=4.5 x+5整理得：2x=4.5x+5解出来显然x＜0，（矛盾）②当0＜x＜3时，原方程可化为：x+3+3﹣x=4.5x+5解得：x=（满足条件）；③当﹣3＜x＜0时原方程可化为：x+3+3﹣x=﹣4.5x+5解得：x=﹣（满足条件）；④当x＜﹣3时，原方程可化为：﹣x﹣3+3﹣x=﹣4.5x+5解得：x=2（不满足条件）；∴x有两个解，为x1=，x2=﹣．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4。
含绝对值的函数方程解法
含绝对值的函数方程解法
对于含有绝对值的函数方程，求解的过程需要考虑绝对值的两种情况：正数和负数。
下面将介绍两种常见的解法。
1. 正数解法
当绝对值中的变量取正数时，可以将绝对值去除，直接求解函数方程。
例如，对于方程 $f(x) = |x - a| + b = c$，其中 $a,b,c$ 都是已知的实数常数，我们可以按照以下步骤求解：
1. 当 $x - a > 0$ 时，$|x - a| = x - a$，因此方程可转化为 $f(x) = x - a + b = c$；
2. 将方程整理为 $x = c - b + a$。
因此，当 $x - a > 0$ 时，方程的解为 $x = c - b + a$。
2. 负数解法
当绝对值中的变量取负数时，可以将绝对值去除，并加上负号，再求解函数方程。
例如，对于方程 $f(x) = |x - a| + b = c$，我们可以按照以下步骤
求解：
1. 当 $x - a < 0$ 时，$|x - a| = -(x - a)$，因此方程可转化为 $f(x) = -(x - a) + b = c$；
2. 将方程整理为 $x = a + c - b$。
因此，当 $x - a < 0$ 时，方程的解为 $x = a + c - b$。
需要注意的是，在求解含有绝对值的函数方程时，我们需要分
别考虑正数和负数的情况，并得到两组解。
最后，我们可以将两组
解合并为一个解集。
以上就是含绝对值的函数方程的解法。
希望以上内容能对你有
所帮助！。
怎么解绝对值方程
怎么解绝对值方程1. 什么是绝对值方程绝对值方程是一个包含绝对值符号的方程，形如：|x| = a，其中a为一个实数。
绝对值符号表示取绝对值，即将其内部的数去掉符号变成正数。
因此，绝对值方程|x| = a 的解就是使得|x|等于a的x的取值。
2. 解一元一次绝对值方程2.1 绝对值的定义首先我们需要了解绝对值的定义。
一个数x的绝对值（记作|x|）定义如下：•如果x大于等于0，则|x| = x•如果x小于0，则|x| = -x所以，当我们遇到一个带有绝对值符号的表达式时，我们需要根据其内部的数是正数还是负数来分情况讨论。
2.2 解法步骤下面介绍解一元一次绝对值方程的步骤：1.将方程拆分为两个不同情况下的等式，并去掉绝对值符号。
–如果 x 大于等于 0，则 |x| = x–如果 x 小于 0，则 |x| = -x2.对每个情况下得到的等式进行求解。
3.得到的解即为原方程的解。
2.3 示例假设我们需要解方程 |x - 2| = 3。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：情况1：x - 2 大于等于 0根据绝对值的定义，得到 |x - 2| = x - 2。
将其代入原方程，得到：x - 2 = 3解这个一元一次方程，可以通过移项和合并同类项的方法得到结果：x = 5情况2：x - 2 小于 0根据绝对值的定义，得到 |x - 2| = -(x - 2)。
将其代入原方程，得到：-(x - 2) = 3同样地，解这个一元一次方程，可以通过移项和合并同类项的方法得到结果：•x + 2 = 3•x = 1所以，绝对值方程 |x - 2| = 3 的解为 x = 5 和 x =1。
解多元一次绝对值方程当绝对值符号出现在多元一次方程中时，我们也可以通过分情况讨论来求解。
解法步骤下面介绍解多元一次绝对值方程的步骤：1.将每个含有绝对值符号的表达式拆分为两个不同情况下的等式，并去掉绝对值符号。
2.对每个情况下得到的等式进行求解。
绝对值方程 二元一次方程
绝对值方程二元一次方程
绝对值方程是指方程中含有绝对值符号的方程，通常形式为|ax + b| = c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
而二元一次方程是
指含有两个未知数的一次方程，通常形式为ax + by = c，其中a、b、c为实数且a和b不全为0。
当我们谈到绝对值方程和二元一次方程时，通常是指解这两种类型的方程。
解绝对值方程的一般步骤是将绝对值号内部的表达式分成两种情况进行讨论，分别取正负号，然后解出方程。
而解二元一次方程则可以利用代入消元法、加减消元法、和用克莱姆法则等方法来求解。
当绝对值方程和二元一次方程结合在一起时，可能会出现一些复杂的情况。
比如，可能会出现含有绝对值的二元一次方程，或者是含有二元一次方程的绝对值方程。
在这种情况下，我们需要根据具体情况，先解决其中一种方程，然后将解代入另一种方程中，进而求得未知数的值。
总的来说，解绝对值方程和二元一次方程需要灵活运用代数知识和方程求解技巧，结合具体的数学问题来综合运用。
在解决复杂
问题时，可能需要分步骤进行，逐步化繁为简，最终得出方程的解。
希望这样的回答能够全面地解答你的问题。
带有绝对值的曲线方程
带有绝对值的曲线方程
带有绝对值的曲线方程可以有多种形式，以下是一些常见的例子：
1. 绝对值函数（V型曲线）：
y = |x|
这是一个以原点为对称中心的V型曲线，x和y的取值范围可以是实数。
2. 绝对值方程（折线）：
y = |x - a| + b
这是一个以点(a, b)为顶点，两边呈V型的折线，x和y 的取值范围可以是实数。
3. 绝对值平方函数（U型曲线）：
y = (|x|)^2
这是一个以原点为对称中心的U型曲线，x和y的取值范围可以是实数。
4. 绝对值指数函数：
y = e^(-|x|)
这是一个以y轴为渐进线的指数函数，x和y的取值范围可以是实数。
这些是常见的带有绝对值的曲线方程示例，您可以根据具体需求和条件来选择适合的方程形式。
请注意，实际应用中可能会有更多特定需求的方程形式，这些仅是一些常见的例子。
七年级数学下册综合算式专项练习题解含有绝对值的方程
七年级数学下册综合算式专项练习题解含有绝对值的方程练习一：解绝对值方程1. 解方程：|3x - 2| = 5首先，我们可以将绝对值方程分为两种情况来求解。
当3x - 2 > 0时，方程可以简化为3x - 2 = 5，解得 x = 7/3。
当3x - 2 < 0时，方程可以简化为-(3x - 2) = 5，解得 x = -1。
所以，绝对值方程 |3x - 2| = 5 的解集为{x | x = 7/3 或 x = -1}。
2. 解方程：|2x + 1| = 3同样地，我们按照两种情况分别求解。
当2x + 1 > 0时，方程简化为2x + 1 = 3，解得 x = 1。
当2x + 1 < 0时，方程简化为-(2x + 1) = 3，解得 x = -2。
因此，绝对值方程 |2x + 1| = 3 的解集为{x | x = 1 或 x = -2}。
练习二：解含有绝对值的方程组1. 解方程组：|3x - 2| = 5y = 2x + 1我们可以利用已知的 y = 2x + 1，将其代入第一个方程。
|3x - 2| = 5 可以分为两种情况：情况一，当3x - 2 > 0时，方程可简化为 3x - 2 = 5。
解得 x = 7/3，并代入 y = 2x + 1，得到 y = 2(7/3) + 1 = 17/3。
情况二，当3x - 2 < 0时，方程可简化为 -(3x - 2) = 5。
解得 x = -1，并代入 y = 2x + 1，得到 y = 2(-1) + 1 = -1。
因此，方程组的解为 {(7/3, 17/3), (-1, -1)}。
练习三：解含有两个绝对值的方程1. 解方程：|x - 3| + |2x + 1| = 4同样地，我们按照不同情况来解这个方程。
情况一，当 x - 3 > 0 且 2x + 1 > 0 时，方程简化为 x - 3 + 2x + 1 = 4。
七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程
七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如∣ax＋b∣＝c(c≥0)的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax＋b＝c或ax＋b＝一C2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例1 方程∣x一5∣＋2x＝一5的解是_______．(四川省竞赛题) 解题思路设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解．例2 适当∣2a＋7∣＋∣2a－1∣＝８的整数a的值的个数有( )．(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解题思路发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解．例3 已知关于x的方程|ｘ|＝ａｘ＋１同时有一个正根和一个负根，求整数a的值．(第12届“希望杯”邀请赛试题) 解题思路去掉绝对值的符号，把x用a的代数式表示，首先确定a的取值范围．例4解下列方程：．(1)|x－|3x＋1∣∣＝4；(天津市竞赛题) (2)|x＋3|－|x－1|＝x＋1(北京市“迎春杯”竞赛题) (3|x－1|＋|x－5|＝4(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．例5讨论关于x的方程|x－2|＋|x－5|＝a的解的情况．(南京市竞赛题)解题思路方程解的情况取决于a的情况，口与方程中常数2，5有一定的依存关系，这种关系决定了方程解的情况．因此，探求这种关系是解本例的关键，借助数轴、利用绝对值的几何意义是探求这种关系的重要工具．A 级1．若x=9是方程|31x －2|=a 的解，则a=_______；又若当a=l 时，则方程|31x －2|=a 的解是_______．2．方程|31y ＋2|－|2y －53|的解是_______，方程3(|x|一1)=5x ＋1的解是_______． 3．已知|3990x ＋1995|=1995，那么x=_______(北京市“迎春杯”竞赛题) 4．已知|x|=x ＋2，那么19x 99+3x ＋27的值为_______．(“希望杯”邀请赛试题)5．方程|||x|－2|－1|=2的解是_______．6．满足(a －b)2＋(b －a)|a －b|=ab(ab ≠0)的有理数a 和b ，一定不满足的关系是( )(A)ab<O (B)ab>O (C)a+b>O (D)a+b<O7．有理数a 、b 满足|a ＋b|<|a －b|，则( )．(A)a ＋b 6≥O (B)a ＋b<0 (C)ab<O (D)ab≥O8．若关于x 的方程|2x －3|＋m=0无解，|3x －4|＋n=0只有一个解，|4x －5|＋k=0有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．(A)m>n>k (B)n>k>m (C)k>m>n (D)m>k>n9．方程|x －5|＋x 一5=O 的解的个数为( )．(A)不确定 (B)无数个 (C)2个 (D)3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)lO ．若关于x 的方程||x －2|－1|=a 有三个整数解，则a 的值是( )．(A)0 (B)2 (C)1 (D)3． (全国初中数学联赛试题)11．解下列方程：(1)4－2|21x ＋1|=3； (2)|21x －1|=x －3； (3)|x －|2x ＋11||=|x ＋1|；(五城市联赛题) (4) |2x －1|＋|x －2|=|x ＋1|(全国通讯赛试题)12．求关于x 的方程||x －2|－1|－a=0(0<口<1)的所有解的和． ．(陕西省竞赛题)B 级1．关于x 的方程|a|x=|a ＋1|－x 的解是x=0，则a 的值是_______；关于x 的方程|a|x=|a＋1|－x 的解是x=l ，则有理数a 的取值范围是_______．2．若O<x<10，则满足条件|x －3|的整数a 的值共有_______个，它们的和是_______．(第十届“希望杯”邀请赛试题)3．若a>0，b<0，则使|x －a|＋|x －b|=a －b 成立的x 的取值范围是_______．(武汉市选拔赛试题)4．已知|a|＋a=0且a ≠一l ，那么11+-a a =_______．5．若有理数x 满足方程|1－x|=1＋|x|，那么化简|x －1|的结果是( )．(A)1 (B)x (C)x 一1 (D)1一x6．适合关系式|3x －4|＋|3x ＋2|=6的整数x 的值有( )个．(A)0 (B)l (C)2 (D)大于2的自然数7．当a>0，且|x －2|＋|x －5|<以时，则以下结论正确的是( )．(A)0.001<a<3 (B)O<a<0.01 (C)0<a<3 (D)a>38．已知方程|x|=ax+l 有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是( )．(全国初中数学联赛试题)(A)a=1 (B)a>－1 (C)a ≥1 (D)a<19．设a 、b 为有理解，且|a|>O ，方程||x －a|－b|=3有三个不相等的解，求b 的值．(“华罗庚金杯”赛邀请赛试题)10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|x －2|－|x －5|=a 有一解?有无数多解?无解?(江苏省竞赛题)。
高中数学绝对值方程解题技巧
高中数学绝对值方程解题技巧绝对值方程是高中数学中常见的一种题型，解决这类问题需要掌握一些技巧和方法。
本文将介绍一些常见的绝对值方程解题技巧，并通过具体的例题进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这些技巧。
一、绝对值方程的定义和性质绝对值方程是指方程中含有绝对值符号的方程，通常形式为|ax + b| = c。
其中，a、b、c为已知实数，x为未知数。
解绝对值方程的关键在于利用绝对值的定义和性质，将方程转化为两个简单的线性方程。
二、绝对值方程的基本解法1. 消去绝对值符号对于形如|ax + b| = c的绝对值方程，首先要将绝对值符号消去。
根据绝对值的定义，当x满足ax + b = c时，|ax + b| = c成立；当x满足ax + b = -c时，|ax + b| =c也成立。
因此，我们可以得到两个方程：ax + b = c和ax + b = -c。
2. 解线性方程将消去绝对值符号后的方程ax + b = c和ax + b = -c分别解得x的值，即可得到绝对值方程的解。
举例说明：例题1：解方程|2x + 3| = 5。
解答：根据基本解法，我们先消去绝对值符号，得到两个方程：2x + 3 = 5和2x + 3 = -5。
解第一个方程2x + 3 = 5，得到x = 1。
解第二个方程2x + 3 = -5，得到x = -4。
所以，方程|2x + 3| = 5的解为x = 1和x = -4。
例题2：解方程|3x - 2| = 7。
解答：同样地，我们消去绝对值符号，得到两个方程：3x - 2 = 7和3x - 2 = -7。
解第一个方程3x - 2 = 7，得到x = 3。
解第二个方程3x - 2 = -7，得到x = -5/3。
所以，方程|3x - 2| = 7的解为x = 3和x = -5/3。
三、绝对值方程的拓展应用除了基本的绝对值方程解法外，我们还可以将绝对值方程与其他类型的方程相结合，进一步拓展应用。
含有绝对值符号的方程
含有绝对值符号的方程解含绝对值的方程的关键,是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值符号,把它化为一般的方程,从而解决问题.本文就近几年竞赛中可能出现的类型题加以研究解决,供参考.一,形如lax+bl=c的方程对此类方程可分三种情况讨论:(1)c<0,方程无解;(2)c=0,根据绝对值的定义,ax+b=0;f3)c>0,根据绝对值的定义,ax+b=+c.例1解方程12x+31=5.解:由绝对值的定义12x+31=51~1]2x+3=+5由2x+3=5解得x=l,由2x+3=一5解得=一4所以原方程的解为x=l或=一4..二,形如III盯一bl—cI—的方程此类型含有多层绝对值,求解时可以不断地利用例1的方法,从最外层开始,逐层去掉绝对值符号,最后化为一般的一次方程求解.例2解方程Illxl一21—11=3.解:根据绝对值的定义,由IIlxl一21—11=3得Ikl一21—1=±3,l~llllxl一21=4或一21=一2(无解),由IIxl一21=4,得Ixl一2=±4,l~1]lxl=6或Ixl=一2(无解),由Ixl=6~x=+6,所以原方程的解为x=6或=一6.三,形如lax+bl=cx+d的方程此类方程可将它变为:似+6=±(c+d)且cx+d~0.方程似+6=±(c+d)的根,只有同时满足cx+d~O,才是原方程的根,否则,就是增根,应当舍去.例3解方程14x+31=2x+9.解:由原方程得4x+3=+(2x+9),且2x+9I>0解+3=+9,得x=3.解4+3=一(2x+91,导=一2.由于x=3时,2x+9=15>0;=一2时,2x+9=5>0,所以原方程的解为x=3或一2.四,形如k~x+bl+lcx+dl=e的方程解此类方程有两种方法:(1)零点分段法;(2)绝对值几何意义法.例4解方程Ix一21+12x+11=8.11解:可用"零点法",即令一2=0,2x+l=O分别得到x=2,一÷,用2,一÷将数轴分成三段:戈<一1,一÷≤<2,I>2,就可去掉绝对值符号再求解. 111(1)当<一÷时,原方程为一一2)一(+1)=8,解得一/,在<一÷之内,当海浪拍打在岸边的礁石上,它们都在唱一支动人心弦的歌.杨金字绝对值符口所以是原方程的解.(2)当一÷≤<2时,原方程为一一2)+(+1)=8,解=5,它不在一÷≤<2之内,因此舍去.(3)当I>2时,原方程为一2)+(+1)=8,解-~x=3,在所给的范围内,所以x=3是原方程解.综上得,原方程解为=3或=一÷.例5求适合13x一41+13+21=6的整数的值.解:式子13x一41+13x+21=6的几何意义是:数轴上表示数3x的点到表示数4及一2的点的距离之和等于6,显然一2≤3≤4,所以一÷≤≤4,因此适合条件的整数有两个,即戈:0,:1.通过例5可以看出:利用绝对值的几何意义解此类型题更形象,直观,简捷.五,形如lax+bl—Icx+dl=ex+fllCJ方程解此类型方程只能用零点分段法.例6解方程12x+31一Ix一11=4x一3.解:易知零点分别为=一要和x=l,所以把的取值范围分为:≤一3,一3≤1和>1.(1)当≤一妄时,原方程化为一(+3)一(一一1)]=缸一3,解得x1,不在≤一丢内,舍去.(2)当一要≤1时,原方程化为(+3)一-(x一1)]=舐一3,解得=5,它不在一≤1之内,舍去.(3)当x>l时,原方程化为(+3)～一1)=4x一3,解得=了7,~Ex>l之内,所以=÷是原方程的解.综上得,原方程的解为=_=-/.≥六,求参数型此类型一般利用绝对值意义,约去参量,从而求出参量或参量范围.例7若关于的方程I一21—11=a有三个整数解,求a的值.解:当a<Ol~,-J",原方程无解;当口≥0时,由绝对值的定义知Ix一21—1=±口,所以Ix～21=l+a.(1)若a>l,解Ix一21=1一a<O,无解.所以ix一21=l+a,只能有两解x=3+a~x=l-a; (2)若0≤口≤1,则由Ix一21=1+a,得x=l—a或x=3+a,由Ix一21=1～a,导=1+(威=3一ck原方程的解为x=3+a,3-a,1+a,1-a,为使方程有三个整数解,口必为整数,所以a只能取0 或1.当a=0时,原方程的解为x=3和x=l,两个解与题设不符,所以口≠0;当a=l时,原方程的解为x=4,0,2---"个解.综上得a=1.【练习】解方程1.I4x一51=82.IJ一21+11+31=123.I5一31—3x=24.I2x+51+14x一31+12x一21=85.+1I+一2l+一3I+I2y—4I+I),+1I=76.Ix+31—13x一21=5x+87.已知方程Ixl=ax+l有一负根,且无正根,求a的取值范围.【练习答案】=÷2.=一6或x=lO;3丢或x=18;4÷或X-----1;5.=2,y=2;6.:～13:37.a≥1.我携文学同行,走向壮丽人生.陈旭。
63含绝对值符号一元一次方程全部详细的答案解析
6.3含绝对值符号一元一次方程全部(详细的答案解析)一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，即未知数的最高次数为1。
而含有绝对值符号的一元一次方程可以分为两种情况：一种是绝对值内含有未知数的情况，另一种是绝对值外含有未知数的情况。
下面将详细解析这两种情况。
1. 绝对值内含有未知数的情况：这种情况下，方程的形式为 |ax + b| = c，其中a、b、c为已知数且a≠0，x为未知数。
首先，我们需要注意绝对值的定义：|m| = m (当m≥0)，|m| = -m (当m<0)。
根据这个定义，我们可以将上述方程分为两种情况来进行讨论。
情况1：ax + b ≥ 0，即ax + b的值大于等于0。
此时，方程可以简化为 ax + b = c，解得 x = (c - b) / a。
情况2：ax + b < 0，即ax + b的值小于0。
此时，方程可以简化为 -(ax + b) = c，解得 x = (b - c) / a。
因此，绝对值内含有未知数的一元一次方程的解为 x = (c - b) / a 或 x =(b - c) / a，具体取决于ax + b的值是大于等于0还是小于0。
2. 绝对值外含有未知数的情况：这种情况下，方程的形式为 a|x + b| = c，其中a、b、c为已知数且a≠0，x为未知数。
同样地，我们需要注意绝对值的定义：|m| = m (当m≥0)，|m| = -m (当m<0)。
根据这个定义，我们可以将上述方程分为两种情况来进行讨论。
情况1：x + b ≥ 0，即x + b的值大于等于0。
此时，方程可以简化为 a(x + b) = c，解得 x = (c / a) - b。
情况2：x + b < 0，即x + b的值小于0。
此时，方程可以简化为 -a(x + b) = c，解得 x = -((c / a) + b)。
因此，绝对值外含有未知数的一元一次方程的解为 x = (c / a) - b 或 x = -((c / a) + b)，具体取决于x + b的值是大于等于0还是小于0。
带有绝对值一元一次方程
带有绝对值一元一次方程带有绝对值一元一次方程是数学中一类重要的问题，它是由一元一次方程与绝对值结合而成的，因此它有着独特的特征与解题思路。
本文将阐释带有绝对值一元一次方程的概念、形式及解题方法，以期帮助读者更深入地理解它。
首先，什么是带有绝对值一元一次方程？它是由一元一次方程与绝对值运算符表达式结合而成的。
它的一般形式为：|ax + b|= c，其中a、b和c是实数，其中c≠0。
解决带有绝对值一元一次方程的方法主要有两种：一种是将原方程移项化简法，将等式两边的绝对值表达式分解为两部分来解决；另一种是直接解法，它是利用绝对值表达式的定义来解决的。
用移项化简法解决带有绝对值一元一次方程需要将绝对值表达式分解成两部分，分别令两部分等于c并求根，假设ax+b=0，则可以得出下面两个方程：ax+b = cax+b = -c这两个方程的解分别是x1= (c-b)/a x2=(-c-b)/a。
另一种解法是直接解法，其实质是利用绝对值的定义例如|x|=c，表示x是c的正数或者负数，由此可以得出两个方程：x=c 以及 x=-c，解即是x1=c和x2=-c。
与一元一次方程相比，解决带有绝对值一元一次方程有些特殊之处，因为它同时包括了绝对值表达式，因此它有时会有两个解，即x1和x2，或者一个解，即x1=x2。
带有绝对值一元一次方程是数学中一类重要的问题，它是由一元一次方程与绝对值结合而成的，本文通过介绍它的概念、形式及解题方法，以期帮助读者更深入地理解它。
解带有绝对值一元一次方程的两种方法各有特点：一种是将原方程移项化简法，将等式两边的绝对值表达式分解为两部分来解决；另一种是直接解法，它是利用绝对值表达式的定义来解决的。
它们都有一定的优势与不足，但总是可以从中得到一个正确的解。
在解题过程中，正确理解绝对值的定义，并合理安排解题步骤，有助于我们更高效地解决此类问题。
含绝对值的方程
含绝对值的方程绝对值是数学中的一个重要概念，它可以将一个数的正负性转化为非负数，从而方便我们进行计算和分析。
在解方程时，含有绝对值的方程也是比较常见的一种形式。
本文将从基本概念、解法和应用三个方面来介绍含绝对值的方程。
一、基本概念绝对值的定义是：对于任意实数x，其绝对值|x|等于x的绝对值，如果x≥0，则|x|=x；如果x<0，则|x|=-x。
例如，|3|=3，|-3|=3，|0|=0。
含有绝对值的方程一般具有以下形式：|f(x)|=g(x)，其中f(x)是一个实数函数，g(x)是一个非负实数函数。
这种方程的解一般有两个，一个是f(x)=g(x)，另一个是f(x)=-g(x)。
二、解法对于含有绝对值的方程，我们可以采用以下方法来求解：1. 分类讨论法当g(x)=0时，方程只有一个解x=0；当g(x)>0时，方程等价于f(x)=g(x)或f(x)=-g(x)，分别解出两个方程的解集，再将它们合并即可。
2. 图像法我们可以将|f(x)|和g(x)的图像画出来，然后找到它们的交点，即为方程的解。
这种方法适用于简单的方程，但对于复杂的方程则不太实用。
3. 代数法我们可以将含有绝对值的方程转化为不含绝对值的方程，然后再求解。
具体方法是：当f(x)≥0时，|f(x)|=f(x)；当f(x)<0时，|f(x)|=-f(x)。
将这两种情况代入原方程，得到两个不含绝对值的方程，分别解出它们的解集，再将它们合并即可。
三、应用含有绝对值的方程在实际问题中也有广泛的应用。
例如，在物理学中，速度的绝对值等于速度的大小，可以用含有绝对值的方程来描述；在经济学中，收入的绝对值等于收入的绝对值，可以用含有绝对值的方程来计算。
总之，含有绝对值的方程是数学中的一个重要概念，它不仅有着广泛的应用，而且也是我们学习数学的一个重要环节。
通过本文的介绍，相信读者对含有绝对值的方程有了更深入的了解。
3含绝对值的一次方程
含绝对值的一次方程绝对值符号内含有未知数的方程，称之为含有绝对值的方程。
在解含有绝对值的方程时，关键是利用绝对值的定义，去掉绝对值的符号，从而转化为不含绝对值的方程。
如果x a =，（a 是常数）当0a 时，x a =± 当0a =时，0x =当0a 时，此方程无解 1．含绝对值的一次方程的解法 （1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法： ①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解； ②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a=-；③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c bx a -=或c b x a--=．（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解． （3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+； ②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+． （4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-；②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b cx +-=；②当x b >时，原方程的解为2a b cx ++=．（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法： ①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =；②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥； ③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号： 按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解． 解法二：由外而内去绝对值符号： ①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．例题：1. 解方程235x +=答案：1x =或4x =- 2. 解方程 3434x x -=-答案：43x ≥3. 解方程 143x x -+-=答案：14x ≤≤4. 若010x ，则满足条件3x a -=的整数a 的值有___个，它们的和等于___.(第10届初一希望杯)答案：当03x 时，则有33,12x x a a -=-==、 当310x ≤ 时，则有33,0123456.x x a a -=-==、、、、、、 则a 的值有9个，它们的和等于24。
绝对值方程的解法初一
绝对值方程的解法初一绝对值方程是初中数学中比较基础的一部分，也是初中数学考试中出现频率比较高的一个知识点。
在解绝对值方程时，我们需要掌握一些基本的方法和技巧，才能够更加准确地求出方程的解。
一、绝对值方程的定义绝对值方程是指一个方程中含有绝对值符号的方程，通常形式为：|x| = a，其中a为一个非负实数。
二、绝对值方程的解法解绝对值方程的方法主要有以下几种：方法一：分情况讨论法当绝对值符号内的表达式为正数时，方程变为x = a；当绝对值符号内的表达式为负数时，方程变为x = -a。
因此，我们可以将方程分成两种情况进行讨论，分别求出方程的解。
例如，对于方程|2x - 1| = 5，我们可以分别讨论2x - 1 > 0和2x - 1 < 0的情况，得到x = 3和x = -2的两组解。
方法二：代数法我们可以将绝对值符号内的表达式拆分成两种情况，一种是当x≥0时，|x| = x；另一种是当x<0时，|x| = -x。
然后将方程化简为一个一元二次方程，进而求出方程的解。
例如，对于方程|2x - 3| - x = 1，我们可以将绝对值符号内的表达式拆分成两种情况：当2x - 3≥0时，|2x - 3| = 2x - 3；当2x - 3<0时，|2x - 3| = -(2x - 3)。
然后将方程化简为一个一元二次方程，得到x = 4/3和x = -1/2的两组解。
方法三：图像法我们可以将绝对值符号内的表达式视为一条折线，然后根据方程所表示的图像进行分析，求出方程的解。
例如，对于方程|2x - 5| + |x + 1| = 6，我们可以将绝对值符号内的表达式视为两条折线，然后根据方程所表示的图像进行分析，得到x = -2、x = 1和x = 3的三组解。
三、绝对值方程的注意事项在解绝对值方程时，有一些需要注意的事项：1. 方程的解可能包含多组解。
2. 方程的解可能不存在。
3. 在分情况讨论法中，需要根据方程的实际情况进行分类讨论。
初中数学重点梳理：含绝对值的方程及方程组
含绝对值方程知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中含绝对值方程的常见题型及其求解方法，本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a=-； ③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a--=． （2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+； ②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+． （4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=； ②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=． （5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =； ②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．例题精讲【试题来源】【题目】若关于x 的方程｜｜x-2｜-1｜=a 有三个整数解．则a 的值是多少？【答案】a=1【解析】 解： 若a ＜0，原方程无解，所以a ≥0．由绝对值的定义可知｜x-2｜-1=±a ，所以 ｜x-2｜=1±a ．(1) 若a ＞1，则｜x-2｜=1-a ＜0，无解｜x-2｜=1＋a ，x 只能有两个解x=3+a 和x=1-a ．(2) 若0≤a ≤1，则由｜x-2｜=1+a ，求得x=1-a 或x=3+a ；由｜x-2｜=1-a ，求得x=1+a 或x=3-a ．原方程的解为x=3+a ，3-a ，1+a ，1-a ，为使方程有三个整数解，a 必为整数，所以a 只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a ≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．综上可知，a=1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围【答案】a≥1【解析】解：设x为方程的负根，则-x=ax+1，即所以应有a＞-1，反之，a＞-1时，原方程有负根．设方程有正根x，则x=ax＋1，即所以a＜1，反之，a＜1时，原方程有正根．综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？【答案】a≥3【解析】解：(1)当x≤-2时，｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2(-2)-1=3．(2)当-2＜x＜1时，｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．(3)当x≥1时，｜x+2｜+｜x-1｜=2x+1≥2·1+1=3．所以，只有当a≥3时，原方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|的结果是【答案】0【解析】解：根据关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，可得出：a＞0，由|4x﹣3|+b=0有两个解，可得出：b＜0，由|3x﹣2|+c=0只有一个解，可得出：c=0，故|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|可化简为：|a|+|b|﹣|a﹣b|=a﹣b﹣a+b=0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】(北京市“迎春杯”竞赛题)【题目】│x+3│-│x-1│=x+1;【答案】为x=-5,-1,3【解析】解：当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】(第15届江苏省竞赛题)【题目】已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.【答案】-3，6【解析】解：|x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y|，∴|x+2|+|1-x|+|y-5|+|1+y|=9，（1）当x≥1，y≥5时，x+2+x-1+y-5+y+1=9，2x+2y=12，x+y=6，（2）当-2≤x＜1，-1≤y＜5时，x+2+1-x+5-y+y+1=9，但-3≤x+y＜6，（3）当x＜-2，y＜-1时，-x-2+1-x+5-y-1-y=9，-2x-2y=6，x+y=-3，故x+y最小值为-3，最大值为6．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况【答案】如下解析【解析】解：（1）当k<0时,原方程无解（2）当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;（3）当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k此时原方程有四解:x=-3±(2±k);（4）当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;（5）当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】(“华杯赛”邀请赛试题)【题目】设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.【答案】b=±3【解析】解：由题意得|x-a|=b±3，x-a=±(b±3)x-a=b+3,b-3,-b+3,-b-3有三个则其中两个相等，b+3和b-3,-b+3和-b-3不会相等所以b+3=-b+3，即b=0此时只有两个3和-3所以b+3=-b-3，即b=-3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b+3，即b=3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b-3，即b=0此时只有两个3和-3所以b=±3【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】若关于的方程|1﹣x|=mx有解，则实数m的取值范围【答案】m≥0或m＜﹣1【解析】解： |1﹣x|=mx，①当x≥1时，x﹣1=mx，（1﹣m）x=1，m≠1时，x=，∴≥1，解得：0＜m＜1；②当x＜1时，1﹣x=mx，（1+m）x=1，m≠﹣1时，x=，＜1，∴1+m＜0或1+m≥1，∴m＜﹣1或m≥0；综上所述：解集是：m≥0或m＜﹣1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x+3|+|x﹣6|=a有解，那么a的取值范围是【答案】a≥9【解析】解：（1）当x≥6时，原方程化为x+3+x﹣6=a，∴x=≥6∴a≥9（2）当﹣3≤x＜6时，原方程化为﹣x﹣3﹣x+6=a，∴x=＜﹣3，∴a＞9（3）当x＜﹣3时，原方程化为﹣x﹣3+6﹣x=a∴x=＜﹣3∴a＞9综上，a≥9方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是【答案】a＞1或a≤﹣1【解析】解：①当ax﹣a≥0，a（x﹣1）＞0，解得：x≥1且a≥0或x≤1且a≤0，②正根条件：x＞0，x=ax﹣a，即x=＞0，解得：a＞1 或a＜0，由①，即得正根条件：a＞1且x≥1，或者a＜0，0＜x≤1，③负根条件：x＜0，得：﹣x=ax﹣a，解得：x=＜0，即﹣1＜a＜0，由①，即得负根条件：﹣1＜a＜0，x＜0，根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取a＞1（此时x≥1，没负根），或者a≤﹣1（此时0＜x≤1，没负根）综合可得，a＞1或a≤﹣1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有【答案】﹣3，﹣2，﹣1，0【解析】解：（1）当2a+7≥0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7+2a﹣1=8解得a=0.5解不等式2a+7≥0，2a﹣1≥0得，a≥﹣3.5，a≥0.5，所以a≥0.5，而a又是整式，故a=0.5不是方程的一个解；（2）当2a+7≤0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7﹣2a+1=8解得a=﹣3.5解不等式2a+7≤0，2a﹣1≤0得，a≤﹣3.5，a≤0.5，所以a≤﹣3.5，而a又是整数，故a=﹣3.5不是方程的一个解；（3）当2a+7≥0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7﹣2a+1=8解得a可为任何数．解不等式2a+7≥0，2a﹣1≤0得，a≥﹣3.5，a≤0.5，所以﹣3.5≤a≤0.5，而a又是整数，故a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0．（4）当2a+7≤0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7+2a﹣1=8，可见此时方程不成立，a无解．综合以上4点可知a的值有四个：﹣3，﹣2，﹣1，0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】5习题演练【试题来源】【题目】方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是【答案】2【解析】解：①当x≥2时，由原方程，得3x+x﹣2=4，即4x﹣2=4，解得x=3/2（舍去）；②当0＜x＜2时，由原方程，得3x﹣x+2=4，解得x=1；③当x＜0时，由原方程，得﹣3x﹣x+2=4，解得x=﹣．综上所述，原方程有2个解【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个【答案】0,1【解析】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥4/3时，原方程就可化简为：3x﹣4+3x+2=6，解得：x=4/3；第二种：当﹣2/3＜x＜4/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4+3x+2=6，恒成立；第三种：当x≤﹣2/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4﹣3x﹣2=6，解得：x=﹣2/3；所以x的取值范围是：﹣2/3≤x≤4/3，故符合条件的整数位：0，1【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个【答案】2【解析】解：根据题意，知（1）|x﹣2|﹣|x﹣6|=1，①当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；②当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=1，即﹣4=1，显然不成立；③当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=1，解得x=4.5；（2）|x﹣2|﹣|x﹣6|=﹣1，④当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=﹣1，解得x=﹣3，不合题意，舍去；⑤当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=﹣1，即﹣4=﹣1，显不成立；⑥当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=﹣1，解得x=3.5；综上所述，原方程的解是：x=4.5，3.5，共有2个【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则A．0，2，4全是根 B.0，2，4全不是根 C.0，2，4不全是根 D.0，2，4之外没有根【答案】A【解析】解：①当x≥4时，原方程化为x﹣4=0，解得x=4，在所给的范围x≥4之内，x=4是原方程的解；②当3≤x＜4时，原方程化为4﹣x=0，解得x=4，不在所给的范围3≤x＜4之内，x=4不是原方程的解；③当2≤x＜3时，原方程化为x﹣2=0，解得x=2，在所给的范围2≤x＜3之内，x=2是原方程的解；④当1≤x＜2时，原方程化为2﹣x=0，解得x=2，不在所给的范围1≤x＜2之内，x=2不是原方程的解；⑤当0≤x＜1时，原方程化为x=0，在所给的范围0≤x＜1之内，x=0是原方程的解；⑥当﹣1≤x＜0时，原方程化为x=0，不在所给的范围﹣1≤x＜0之内，x=0不是原方程的解；⑦当﹣2≤x＜﹣1时，原方程化为x+2=0，解得x=﹣2，在所给的范围﹣2≤x＜﹣1之内，x=﹣2是原方程的解；⑧当x＜﹣2时，原方程化为﹣2﹣x=0，解得x=﹣2，不在所给的范围x＜﹣2之内，x=﹣2不是原方程的解．综上，可知原方程的解为x=4，2，0，﹣2．故选A．【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5【试题来源】【题目】使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|=c恰好有两个解的所有实数c的取值范围【答案】c＞3或1＜c＜3【解析】解：（1）当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：x=，由＜1，得：c＞3；（2）当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：c=3，有无数多解；（3）当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6=c，解得：x=，由2≤＜3，得：1＜c≤3；（4）当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6=c，解得：x=，由≥3，得：c ≥1．故当c＞3时，原方程恰有两解：，；当1＜c＜3时，原方程恰有两解：，．故答案为：c＞3或1＜c＜3【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3含绝对值的方程组知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本讲主要介绍解含有绝对值的方程四种方法：定义法、平方法、零点分区法、数轴、取这几个方程的公共解。