弹性理论基础
弹性力学基本理论
15
1.1.3 应变的概念
(a) x方向的线应变
(b) y方向的线应变
(c) xy面内的剪应变
图 1-3 单元体应变的几何描述
在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元 体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即
x
u x x
y
u y x
（1.9）
u y y
ux y
相应地，y轴方向的正应变为： x-y 平面内的剪应变：
tan 1
（1.10）
; tan 2
（1.11）
16
1.1.3 应变的概念
因此，剪应变 xy 为
xy
u x 1 2 x y u y
（1.12）
应变分量的矩阵型式
x xy ij yx y zx yy
2 2 Tn n n 2
m A
B T
G
P A
n
o
y
图1-1 物体内任意点处的应力
（1.6）
12
1.1.2 应力的概念 应力状态
在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力是不同的。只有 同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面 上应力的大小和方向，才能表示这一点的应力状态。
x' ' y z'
=
0 1 0 cos 0 sin
0 x1 sin y1 cos z1
（b）
将第一式代入上式，可得
x ' 1 0 0 cos sin 0 x ' y y 0 cos sin = sin cos 0 z' z 0 sin cos 0 0 1
弹性力学知识基础
上述6个方程称几何方程
u v w
唯一确定
{ε }
{f}
但
{ε }
不唯一确定
原因：刚体位移不能确定。
第三节 物理方程
当材料是均匀、连续、各向同性，应力与应变成正比 （小变形）,即广义虎克定律
ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )] E ε y = [σ y − µ (σ z + σ x )] E ε z = [σ z − µ (σ x + σ y )] E = τ xy G , γ yz = τ yz G , γ zx = τ zx G
T
（1-2）
2、平衡微分方程 、
∂σ x τ yx τ zx + + + ∂y ∂z ∂x ∂ σ y τ xy τ zy + + + ∂x ∂z ∂y ∂ σ z + τ yz + τ xz + ∂y ∂x ∂z
F F F
Vx
=0 =0 =0
Vy
Vz
反映了物体内的应力场所须满足的静力关系， 或者应力分量的关系。
（1-9）
γ xy
其中： E
G
弹性模量 切变模量 泊松比
µ
G = E [2(1 + µ )]
解（1-9）式, 得物理方程：
{σ } = [D]{ε }
{σ } = σ xσ yσ zτ xyτ yzτ zx
T
（1-10）
{ε } = ε xε yε zγ xyγ yzγ zx
a、正应力虚功： 正应力 虚位移 虚功 b、切应力虚功
x方向
经济学基础知识弹性理论
Q=aP+b
P-自变量 Q-因变量
供给价格弹性，也称 为供给弹性，它表示 在一定时期内一种商 品的供给变动对于该 商品的价格变动的反 应程度。
即当自变量价格P变 动1%，引起因变量 供给量Q变动的百分 比
供给价格弹性类型
P
P
P
Q 0
０＜ Es＜１
Q0
Q
富有弹性
P
P1 P0
0
Q1 Q0
Q
缺乏弹性
P
P1 P0
0
Q1
Q0
Q
单位弹性
富有弹性的产品，适时采取降价策略
缺乏价格弹性的产品，适时采取提价 策略
单位价格商品，价格变动无效
生活必需品为高价高利，即价格越高，厂商收益越 多。牛奶为缺乏弹性的生活必需品，把部分牛奶倒 进河里，使得市场牛奶供给减少，牛奶价格上升以 获取更多的收益。
他做了一个统计，当价格下降10%时，侦探小 说的销量增加了30%；同样，当价格上升10%时， 侦探小说的销量减少了30%。而对于教辅书，价格 变动10%只会带来1%的销量变动。老板百思不得其 解，同样是书本，为什么市场反应如此不同呢？
分析：侦探小说富有弹性，教辅书缺乏弹性
需求价格弹性影响因素
因素
表现
弹性对税负分摊的影响
税负分摊 主要由生产者承担 主要由消费者承担 主要由消费者承担 主要由生产者承担
案例分析
1990年，美国国会通过对游艇、私人飞机、珠宝、皮草 、豪华轿车这类奢侈品征收新的奢侈品税。支持这项税的 人认为，这些奢侈品全部由富人消费，这种税也必然由富 人承担。向富人收税以补助低收入者，平等又合理。但实 施之后反对者并不是富人，而是生产这些奢侈品的企业与 工人，其中大部分是这项税所要帮助的低收入者。为什么 这些并不消费奢侈品的人反而反对这项税呢?
《弹性理论基础》课后答案
《弹性理论基础》课后答案
一、原题
1.什么是弹性理论？
2.弹性理论的基本原理是什么？
3.弹性理论的应用有哪些？
二、答案
1.弹性理论是一种物理学理论，它描述了物体在受到外力作用时的变形和变形后的恢复情况。
它是一种描述物体受力变形的数学模型，可以用来描述物体在受力作用时的变形情况，以及变形后的恢复情况。
2.弹性理论的基本原理是：物体在受到外力作用时，会发生变形，但是当外力消失时，物体会恢复原状。
这种变形和恢复的过程受到物体的弹性性质的影响，即物体的弹性系数。
3.弹性理论的应用非常广泛，主要应用于工程学、力学、材料学、地质学等领域。
在工程学中，弹性理论可以用来计算建筑
物、桥梁、桥梁等结构物的受力情况，以及结构物的强度和稳定性。
在力学中，弹性理论可以用来计算物体在受力作用时的变形情况，以及变形后的恢复情况。
在材料学中，弹性理论可以用来研究材料的弹性性质，以及材料在受力作用时的变形情况。
在地质学中，弹性理论可以用来研究地壳的变形情况，以及地壳在受力作用时的变形情况。
西方经济学-第3章弹性理论
需求弹性的类型
需求完全无弹性
需求弹性为0，表示无论价格如何变化，需求量都 不会发生改变。
需求单位弹性
需求弹性等于1，表示需求量与价格变化相同。
需求缺乏弹性
需求弹性小于1，表示需求量对价格的变动反应较 小。
需求富有弹性
需求弹性大于1，表示需求量对价格的变动反应较 大。
需求弹性的影响因素
商品的性质
生活必需品的需求弹性较小，奢侈品的需求 弹性较大。
市场结构的差异可能导致弹性理论的适用性受限，需要具体情况具体分析。
弹性理论的假设条件
完全竞争市场假设
弹性理论通常基于完全竞争市 场的假设，但在现实中完全竞 争市场并不常见。
需求和供给曲线不变
弹性理论假设需求和供给曲线 在一定时期内保持不变，但实 际情况并非如此。
无外部效应
弹性理论假设市场中的外部效 应不存在，但现实中外部效应 是普遍存在的。
政策制定
政府可以通过分析商品的需求弹性和供给弹性，制 定相应的经济政策，以实现宏观经济的稳定和增长 。
02
需求弹性
需求弹性的定义与计算
敏感程度，通常用需求量变化 的百分比与价格变化的百分比之 比来表示。
02
计算公式为：需求弹性 = (需求量 变化的百分比) / (价格变化的百分 比)。
供给弹性的影响因素
生产周期
生产成本
生产周期较长的商品，其供给弹性通常较 小；生产周期较短的商品，其供给弹性通 常较大。
生产成本与价格直接相关，生产成本较高 的商品，其供给弹性通常较小；生产成本 较低的商品，其供给弹性通常较大。
生产技术
市场需求
生产技术的改进可以提高生产效率，从而 增加供给弹性。
市场需求的变化会影响供给量的变化，从 而影响供给弹性。
弹性力学基础知识点复习
弹性力学基础知识点复习固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力，又称弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。
当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。
弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。
连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。
这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动（或平衡）规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。
弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。
①变形连续规律弹性力学（和刚体的力学理论不同）考虑到物体的变形，但只限于考虑原来连续、变形后仍为连续的物体，在变形过程中，物体不产生新的不连续面。
如果物体中本来就有裂纹，则弹性力学只考虑裂纹不扩展的情况。
反映变形连续规律的数学方程有两类：几何方程和位移边界条件。
几何方程反映应变和位移的联系，它的力学含义是，应变完全由连续的位移所引起，。
第2章 弹性理论
第二章需求分析价格上升意味着收益的增加。
收益=P×Q，当Q一定时，P上升---利润的增加。
有时，价格的上升，意味着收益的减少。
由于P上升，转为购买其他厂商的产品。
我们需要了解价格的变化量对需求量的敏感性的度量。
这就是本章要学习的内容：弹性理论。
供需法则说明了当P变化时，需求和供给的方向变化，不能说明其变化的数量。
只“定性分析”而非“定量分析”，弹性理论可以说明这种量的变化程度：定量需求分析。
第一节弹性的一般原理1、弹性的概念弹性（Elasticity）是物理学中的概念，泛指物体对外界作用力的反应能力。
经济分析中引用弹性的概念，测算因变量变化率对自变量变化率的反应的敏感程度。
通常对y=f(x)这一函数的弹性系数E。
则有：()()变化的百分比自变量变化的百分比因变量xyE=例（a）（b）（c）图1（a）、（b）、（c）三种情况，价格变化率相同，而需求量的变化率却是不相等。
（a）最小，（c）为最大，（b）为二者之间。
说明，三者在这一价格区间的（P0、P1）弹性不同。
2、弹性分析的重要意义弹性分析对企业管理决策有着重要的意义。
价格上升5%，对销售额有什么影响？销售额增加20%，价格需下降多少？如果大米和彩电同时涨价20%，为什么人们可能继续买大米而暂时放弃买彩电等等。
弹性分析与边际分析一样都是管理经济学中的重要分析工具。
弹性理应用最广泛莫过于需求弹性和供给弹性。
第二节、需求弹性需求量受众多的因素的影响，最主要： （1）该商品的自身价格变化称为需求价格弹性。
（2）该商品相关商品的价格变化，称为需求交叉价格弹性。
（3）消费者实际收入的变化，称为需求收入弹性。
1、需求的价格弹性在需求量与价格这两个经济变量中，价格是自变量，需求量是因变量。
一、需求价格弹性的定义：价格变化所引起的需求量变动的程度，或者说是需求量变动对价格变动的反应程度。
Q P P Q PP QQEd ⋅∆∆=∆∆==价格变动的百分比需求数量变化的百分比（1）Ed 被定义为自变量变动（ΔP ）的百分比（P P ∆）与因变量变动（ΔQ ）的百分比（QQ∆）这两个百分比的比率。
弹塑性力学基础理论与应用
弹塑性力学基础理论与应用弹塑性力学是力学中一个重要的分支，涵盖了弹性力学和塑性力学的基本原理和应用。
本文将简要介绍弹塑性力学的基础理论和一些应用领域。
一、弹塑性力学的基础理论1. 弹性力学理论弹性力学研究材料在外力作用下的弹性变形及其恢复过程。
根据胡克定律，应力与应变成正比。
弹性力学理论通过应力张量与应变张量之间的关系描述了弹性材料的力学行为。
弹性模量是弹性力学的重要参数，表征了材料的刚度。
2. 塑性力学理论塑性力学研究材料在超过弹性极限后的变形行为。
当外力超过材料的弹性极限时，材料会发生塑性变形，而不是立即恢复到原来的形状。
塑性力学理论包括弹塑性本构方程的建立和塑性流动规律的描述。
3. 弹塑性力学理论弹塑性力学是弹性力学和塑性力学的综合应用。
它考虑了材料在弹性和塑性行为之间的转换。
在某些情况下，材料可以同时表现出弹性和塑性特性。
弹塑性力学理论利用不同的本构关系来描述材料在变形过程中的不同阶段。
二、弹塑性力学的应用1. 材料工程弹塑性力学在材料工程领域中具有重要的应用价值。
通过研究材料的弹性行为和塑性行为，可以确定材料的强度、韧性和耐久性，从而指导材料的选用和设计。
在材料的加工过程中，弹塑性力学理论也可以用于模拟和预测材料的变形行为。
2. 结构工程在结构设计和分析中，弹塑性力学也发挥着重要作用。
结构的承载能力和变形行为与材料的弹性和塑性特性密切相关。
通过考虑弹塑性行为，可以更准确地评估结构的安全性和稳定性。
3. 土木工程土木工程中的地基和土壤材料往往存在复杂的弹塑性特性。
弹塑性力学可用于分析土壤的沉降和变形行为，以及地基的稳定性。
在岩土工程中，弹塑性力学理论也可以用于分析岩土体的稳定性和变形行为。
4. 金属加工金属的塑性变形是金属加工过程中的核心问题。
弹塑性力学理论可以用于研究金属的屈服和流动行为，从而指导金属的模具设计和加工工艺的优化。
总结：弹塑性力学是力学中的一个重要分支，它综合了弹性力学和塑性力学的基础理论与应用。
第4讲-基础2：弹性理论1--需求价格弹性
对自变量变化的敏感程度。
需求弹性
（影响需求的因素与需求的关系？）
需求价格弹性
？
需求收入弹性
需求交叉弹性
供给弹性
（影响供给的因素与供给的关系？）
供给价格弹性
供给收入弹性
供给交叉弹性
弹性理论的运用---需求价格弹性与 总收益的变化关系（上讲中图中白色面积？）
一、弹性的一般含义
弹性是指经济变量之间存在函数关系时，因变量对自变量变化的反应的敏 感程度。两个变化的百分比之比来表示。即X变动1%时Y会变动多少？
5、同一条需求曲线上不同点的弹性系数大小并不 相同。这一点可以用点弹性的计算来说明。
一般，商品价格下降将导致需求量增加
例：价格从 １元降到0.8 元,
需求量从100 斤增加到150 斤,则:
价格从3元降到２元，需求量从８个单位增 加到10个单位，这时卖者的总收益怎样？
减少
三、需求价格弹性：弧弹性
D5
品牌衣服、钻石
项链等
商品价格上升6%，而需求量减少9%时， 该商品属于？
富有需求弹性。
需求缺乏弹性E < 1
需求量变动的比率小于 价格变动的比率。
主要是生活必需品 ，粮 食，油
D4
病人对产品（不包括滋补品） 的需求的价格弹性<1
若某商品价格上升20％，其需求量下降 10％，则该商品的需求价格弹性为？
NO.2 为什么春运期间火车票价格上浮了15%，还是有很多人买 不到票？
NON.O5.经3 济为危什机么发汽生油时价，格资一本上家涨为，什汽么车宁厂愿商把就牛紧奶张倒？掉也不肯降价出售？三 鹿事件发生后，为什么很多牛奶品牌买一送一了大家还是不埋单？
如何解释这 些现象吗？
弹性力学理论基础
2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 2）应力 物体受外力作用后，在其内部将要产生 应力。 六面体称为微元体：从物体中取出一 个无限小的平行六面体，它的棱边平行于 坐标轴。 将微元体每一个面上的应力分解成为一 个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴 平行，并称为该面的三个应力分量
2.1 基本假设和基本概念
1）分析各点的位移
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 2）求正应变
根据弹性力学的基本假设，限定位移是微小 的。
正应变的定义有：
u dx
x
dx
u dx x
dx
u x
同理：
y
PB2 PB
PB
v y
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 3）求剪应变
在弹性力学里假想把物体分成无限多个微小六面体(在物 体边界处可能是微小四面体)，称为微元体。
考虑任一微元体的平衡(或运动)，可写出一组平衡(或运 动)微分方程及边界条件。
2.1 基本假设和基本概念
（3）弹性力学问题求解的基本方法 弹性力学问题都是超静定的，必须同时再考虑微元体
的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相 应地称为几何方程和物理方程。平衡(或运动)方程、几何方 程和物理方程以及边界条件称为弹性力学的基本方程。
2 x
x 2
dx 2
略去二阶及二阶以上的微量后：
x
x
x
dx
同样设左面的剪应力是 xy
右面的剪应力将是
xy
xy x
dx
2.2 弹性力学的基本方程
（1）平衡方程
各个面上所受的应力可以假设为均匀分
布，并作用在对应面的中心。六面体所受的 体力，也可假设为均匀分布，并作用在它的 体积的中心。
弹性力学基础(二)
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、外力等)， 求解物体内由此产生的应力场和位移场。
对物体内任意一点，当它处在弹性阶段时，其应力分量、应变分量、 位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几何方程、本构方程，这15个 泛定方程，同时在边界上要满足给定的全部边界条件。
定解条件：
满足基本方程和边界条件的解是存在的，而且在小变形条件下，对于受 一组平衡力系作用的物体，应力和应变的解是唯一的。
7.6 弹性力学问题的基本解法
7.6.1 位移法 以位移作为基本未知量，将泛定方程用位移u,v,w来表示。
sx
2G
x
u 1 2u
sy
2G
y
u 1 2u
sz
2G
z
u 1 2u
t xy 2G xy t yz 2G yz t zx 2G zx
t zx z
Fbx
0
t xy x
s y y
t zy z
Fby
0
t xz x
t yz y
s z z
Fbz
0
将本构关系代入到平衡方程中
x
2u
Fbx
0
y
2v Fby
0
z
2w
Fbz
0
u j, ji ui, jj 0
式中▽2为拉普拉斯(Laplace)算子
2u 2u 2v 2w x2 y 2 z 2
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
w x
u
z
将几何关系代入到本构关系中
经济学基础2--弹性理论
三）、供给弹性
四）、弹性理论与厂商的价格决策
共二十七页
一）、需求价格(jiàgé)弹性
（一）需求价格弹性的含义 （二）影响(yǐngxiǎng)需求弹性的因素 （三）需求点弹性
（四）需求弧弹性
共二十七页
(一)需求价格弹性(tánxìng)的含义
共二十七页
三、供给 弹性 (gōngjǐ)
（一）供给(gōngjǐ)弹性的定义
（二）供给价格弹性分类 （三）影响供给弹性的因素
共二十七页
（一）供给弹性(tánxìng)的定义
表示一种商品的供给量对其价格变动
(biàndòng)的反应程度。弹性系数等于供给量变
动 的百分比与价格变动 百分比 (biàndòng)
▪ ΔQ/Q为需求量变动的百分比，ΔY/Y为收入变动的百分比
Ey
Q Y
Q Y
▪ 对于大多数商品来说，收入弹性都是正的
• 正常(zhèngcháng)品：EY>0
• 必需品: 0 <EY<1 • 奢侈品: EY>1
• 低档品（劣质品）: EY<0
共二十七页
（二）需求的交叉(jiāochā)弹性
1、定义：表示一种商品的需求量对另一种商品价格变动
Q1 Q2
ED
(Q2 P2
Q1) 2 P1
Q2 P2
Q1 P1
P2 Q2
P1 Q1
(P2 P1)
2
共二十七页
二）、其他需求(xūqiú)弹性
（一）需求的收入弹性(tánxìng) （二）需求的交叉弹性
共二十七页
（一）需求(xūqiú)的收入弹性
弹性理论基础
弹性理论基础1. 弹性理论概述弹性理论是固体力学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的变形和恢复能力。
弹性理论基于两个基本假设： 1. 物体在受力作用下具有可逆的变形。
2. 变形仅仅取决于受力的大小和方向，而与受力的作用时间和路径无关。
弹性理论可以应用于各种材料和结构的力学分析中，尤其在工程设计和材料科学中非常重要。
本文将介绍弹性理论的基本概念、方程和应用。
2. 线弹性理论线弹性理论是根据胡克定律，假设应力与应变之间呈线性关系的弹性理论。
根据这个理论，应力与应变之间的关系可以用弹性模量（Young’s modulus）来描述，即：Stress = Young's modulus × Strain弹性模量是一个材料的特性参数，反映了该材料的刚度。
常见的弹性模量有弹性模量、剪切模量和体积模量。
线弹性理论在许多工程问题中被广泛应用，可以用于计算材料的应力分布、变形情况以及结构的稳定性等问题。
3. 弹性参数在弹性理论中，有一些重要的弹性参数需要了解。
除了上文提到的弹性模量外，还有泊松比、剪切模量和体积模量。
泊松比（Poisson’s ratio）是描述材料在拉伸或压缩过程中侧向收缩或扩张程度的参数。
它可以通过应变沿着拉伸或压缩方向与侧向应变之间的比值来计算。
剪切模量（Shear modulus）是描述材料在受到切割作用时的抵抗能力的参数。
它反映了材料的刚度，与弹性模量之间有一个可以通过泊松比计算的关系。
体积模量（Bulk modulus）是描述材料在受到体积压缩作用时的抵抗能力的参数。
它反映了材料的刚度，与弹性模量之间有一个可以通过泊松比计算的关系。
4. 非线性弹性理论尽管线弹性理论在很多情况下足够准确，但在一些材料和结构上，它的应用存在一定的限制。
例如，当应力超过材料的弹性极限时，材料将发生塑性变形，并且无法回复到初始状态。
为了解决这个问题，非线性弹性理论应运而生。
非线性弹性理论通过引入非线性的应力-应变关系，能够更准确地描述材料的变形和恢复能力。
弹性理论
二、需求弹性
（三）需求交叉弹性 1．需求交叉弹性 在两种不同的商品之间，当其中一种商品的 价格发生变化时，另外一种商品的需求量因 此而发生变化的敏感程度。
二、需求弹性
2．需求交叉弹性的三种判断 I. eXY＜０，为互补性商品 Ⅱ. eXY>０，为替代性商品 Ⅲ. eXY=０，为非关联性商品或称独立品
(3).供给价格弹性为负值。一般在规模收益递 增时才有可能出现这种情况
(4).供给价格弹性等于１。在这种情况下，价 格与供给量成等比例变动，这同样是罕见的 例子
(5).供给价格弹性小于１。在这种情况下，供 给量变动的幅度小于价格变动的幅度
(6).供给价格弹性大于１。在这种情况下，供 给量变动的幅度大于价格变动的幅度
Es＞1
Es→∞
供给富有弹性
供给弹性无限大
供给量变动的幅度大于价格变动的幅度
供给量的变动对于价格变化的反应非常敏 感，如果价格稍有下降，供给量便减至为 零。
案例：谁支付奢侈品税？
1990年，美国国会针对游艇、私人飞机、皮 衣、珠宝和豪华轿车这类物品通过了一项新 的奢侈品税。这种税的目的是增加那些承担 税收负担最轻松的人的税收。由于只有富人 能买得起这类奢华东西，所以，对奢侈品征 税看来是向富人征税的一种合理方式。
三、供给弹性
1．供给价格弹性 供给弹性：反映供给量的变动对价格变动的 敏感程度。 供给价格弹性的计算
2．供给价格弹性的六种情况。 （1）供给价格弹性等于零。这是罕见的例子， 通常认为只有极其稀缺、珍贵和无法复制的 物品才会出现这种情形
(2).供给价格弹性无穷大。在劳动力过剩非常 严重的地区，在一定的工资率条件下，就可 能源源不断地得到劳动力的供给
经济学基础知识弹性理论
经济学基础知识弹性理论一、概括经济学中的弹性理论是探讨价格变动与需求量变动之间关系的重要理论。
弹性理论主要关注商品或服务的价格变化如何影响消费者的购买行为，进而对经济产生何种影响。
该理论通过弹性系数的概念，量化分析了价格变动与需求量变动的敏感程度，从而帮助企业预测市场走势，做出正确的经济决策。
此外弹性理论的应用广泛，不仅在微观经济决策中发挥着重要作用，如商品定价、库存管理、市场营销策略等，也在宏观经济政策制定中占据重要地位，如政府调控物价、制定经济政策等。
弹性理论是经济学中不可或缺的一部分，对于理解市场经济运行、企业决策以及政策制定都具有重要的指导意义。
1. 介绍经济学的背景和重要性经济学是一门研究人类社会在各个发展阶段上的各种经济活动和各种相应的经济关系及其运行、发展的规律的学科。
其研究的内容涉及经济活动背后的规律，以及其与社会生活各方面之间的相互关系与影响。
随着全球化的不断发展，经济活动日益频繁和复杂，经济学的知识和理论在指导经济决策、优化资源配置、促进经济发展等方面发挥着越来越重要的作用。
在此背景下，弹性理论作为经济学的一个重要组成部分，其地位也日益凸显。
弹性理论主要探讨的是商品需求与供给量对于价格变动的反应程度，即价格的变动如何影响消费者购买习惯和生产者供应策略的变化。
这一概念背后的核心思想贯穿了整个经济学的基本假设，也就是经济主体基于理性的经济行为进行选择。
然而这并不意味着每个人都能熟知并运用这些理论知识，因此为了深入理解经济活动背后的规律，以及如何利用这些规律做出更好的经济决策，我们需要学习并理解弹性理论的基础知识和核心概念。
弹性理论的重要性在于它为我们提供了理解和预测市场经济行为的工具，帮助我们更好地适应复杂多变的经济环境。
更重要的是，通过理解弹性理论，我们可以更好地了解如何在各种经济条件下做出最佳决策，从而实现资源的优化配置和经济的可持续发展。
因此学习弹性理论对于理解经济学的整体框架和现实生活中的应用具有极其重要的意义。
第二章 弹性力学基础1026
2.3弹性力学基本变量
正面（外法线是沿着坐标轴的正方向） 负面（外法线是沿着坐标轴的负方向） 正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负 方向为负 负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正 方向为负
正应力以拉应力为正，压应力为负
2.3弹性力学基本变量
剪应力互等定律：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交
x
x
y
y
xy
x y
变形协调条件
它的物理意义是：材料 在变形过程中应该是整 体连续的，不应该出现 “撕裂”和“重叠”现 象发生。
2 2 x y 3u 3v 2 2 2 y x xy yx 2
一般而论, 弹性体内任意一点的体力分量、面力分 量、应力分量、应变分量和位移分量,都是随着该点的 位置而变的, 因而都是位置坐标的函数。
u u ( x, y , z ) v v ( x, y , z ) w w( x, y, z )
2.3弹性力学基本变量
位移与应变的关系
ui ui ij dx j wij dx j
2.3弹性力学基本变量
内力：应力 --外力(或温度)的作用 内力
设作用于 A 上的内力为 Q , 则内力的平均集度,即平均应 力 ,为 Q / A Q lim S A 0 A
这个极限矢量S,就是物体在截面 mn上、P点的应力。
应力就是弹性体内某一点作用于某截面单位面积上的内力
均匀性：也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，
整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性 常 数(弹性模量和泊松系数)才不随位置座标而变。
2.2 弹性力学中关于材料性质的假定
弹性理论基础答案
弹性理论基础答案【篇一：弹性力学基础习题答案nnnn1】/p> 2.1计算：(1)?pi?iq?qj?jk，(2)epqieijkajk，(3)eijpeklpbkiblj。
解：(1)?pi?iq?qj?jk(2)epqieijkajk2.2证明：若aij(3)eijpeklpbkiblj??pq?qj?jk??pj?jk??pk;?(?ik?jl??il?jk)bkiblj?biibjj?bjibij。
?(?pj?qk??pk?qj)ajk?apq?aqp;?aji，则eijkajk?0。
证：2eijkajk?eijkajk?eikjakj?eijkajk?eijkakj?eijkajk?eijkajk?0。
2.3设a、b和c是三个矢量，试证明：a?aa?ba?cb?ab?bb?c?[a,b,c]2 c?ac?bc?ca?aa?ba?caiaiaibiaicia1a2a3a1b1c12证：b?ab?bb?c?biaibibibici?b1b2b3a2b2c2?[a,b,c]。
c?ac?bc?cciaicibicicic1c2c3a3b3c32.4设a、b、c和d是四个矢量，证明：(a?b)?(c?d)?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c)证：(a?b)?(c?d)?aibjeijkek?cldmelmnen?aibjcldmeijkelmk ?aibjcld m(?il?jm??im?jl)?(aici)(bjdj)?(aidi)(bjcj) ?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c )。
2.5设有矢量u?uiei。
原坐标系绕z轴转动?系，如图2.4所示。
试求矢量u在新坐标系中的分量。
解：?1?1?cos?，?1?2?sin?，?1?3?0，?2?1??sin?，?2?2?cos ?，?2?3?0，?3?1?0，?3?2?0，?3?3?1。
u1???1?iui?u1cos??u2sin?，图2.41u2???2?iui??u1sin??u2cos?，u3???3?iui?u3。
弹性定理知识点总结
弹性定理知识点总结1. 弹性定理的基本概念弹性定理是固体力学中的一个基本原理，描述了弹性体在受力时的变形规律。
弹性体是指在外力作用下发生变形，但在去除外力后能够完全恢复原状的物质。
弹性定理认为，当一个弹性体受到力F时，它的变形量x与力F成正比，即弹性体的变形量是力的函数。
这种描述可以用数学公式表示为F=kx，其中F是受力，k是弹性系数，x是变形量。
弹性定理的基本概念可以用一个简单的例子来说明。
当我们拉动一个弹簧时，弹簧的长度会发生变化，而这种变化的大小与我们施加的力的大小成正比。
这种变化的规律可以用弹性定理来描述，即拉伸力F与弹簧的伸长量x成正比，其比例系数就是弹簧的弹性系数k。
2. 弹性定理的数学表示弹性定理可以用数学公式F=kx来表示，其中F是受力，k是弹性系数，x是变形量。
这个数学公式揭示了弹性体的变形规律，即受力与变形量成正比。
F=kx的数学表示也可以通过微积分的方法推导出来，在初等数学中我们学到了弹性势能函数的求导和积分，这就是用来解释弹性定理的数学工具。
弹性定理的数学表示可以进一步扩展到三维空间中，即一个弹性体受到外力时，在各个方向上的变形与受力也成正比。
这时公式可以表示为F=K∆L，其中K是弹性系数矩阵，∆L是位置矢量的变化量。
弹性系数矩阵K描述了弹性体在各个方向上的变形规律，它是一个对称矩阵，反映了弹性体的各向同性。
弹性系数矩阵K的具体含义可以通过广义胡克定律来解释，这是根据矩阵代数的理论推导出来的。
3. 弹性定理的应用范围弹性定理的应用范围非常广泛，包括弹簧、橡胶、金属等材料的弹性变形，以及地震波的传播等。
弹性定理可以用来解释各种物体受力时的变形规律，也可以用来计算物体在受力时的变形量。
在工程领域中，弹性定理的应用非常普遍，例如在建筑结构设计、材料强度分析、机械设计等方面都会用到弹性定理。
弹性定理还可以用来解释弹性体在受力时的振动特性。
当一个弹性体受到外力时，它会产生振动，这种振动的频率和幅度可以通过弹性定理来计算。
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弹性理论基础
产生弹性形变的介质叫弹性介质。
（一）各向同性介质和各向异性介质
对弹性介质，如果沿不同方向测定的物理性质均相同，称各向同性介质，否则是各向异性介质。
（二）均匀介质、层状介质
若介质的弹性性质不仅与测定方向无关，而且与坐标位置无关，就称为均匀介质；非均匀介质中，介质的性质表现出成层性，称这种介质为层状介质；其中每一层是均匀介质；不同介质层的分界处称界面（平面或曲面）；两个界面之间的间隔称为该层的厚度。
（三）连续介质
将速度v是空间连续变化函数的介质定义为连续介质。
连续介质是层状介质的一种极限情况。
即当层状介质的层数无限增加，每层厚度无限减小，层状介质就过渡为连续介质，如 v=v0 (1+bz)叫线性连续介质。
（四）单相介质和双相介质
只考虑单一相态的介质称单相介质，由两种相态组成例如一种是固相一种是流相的，称为双相介质。
二、弹性模量
（一）应力与应变
1.应力：弹性体受力后产生的恢复原来形状的内力称内应力，简称为应力。
应力和外力相抗衡，阻止弹性体的形变。
对于一个均匀各向同性的弹性圆柱体，设作用于s面上的法向应力为N，若力f在s面上均匀分布，则应力pn定义为 Pn=f/s ，若外力f非均匀分布，则可以取一小面元△S,作用于小面元上的力为△f，则应力定义为（lim(△f/△S)）。
因此应力的数学定义为：单位横截面上所产生的内聚力称为内力。
根据力的分解定理，可以将力分解成垂直于单元面积的应力—法向应力（正应力）；相切于单元面积的应力—切向应力（剪切应力）。
2.应变：物理定义：弹性体受应力作用，产生的体积和形状的变化称为应变。
只发生体积变化而形状不变的应变称正应变；反之，只发生形状变化的应变称切应变。
数学定义：弹性理论中，将单位长度所产生的形变称应变。
3.应力与应变的关系：应力与应变成正比关系的物体叫完全弹性体，虎克定律表示了应力与应变之间的线性关系。
对于一维弹性体，虎克定律为： F=kx； F: 外力； x: 形变； k: 弹性系数。
对于三维弹性体，用广义虎克定律表示应力与应变之间的关系。
（二）弹性模量
1.杨氏弹性模量（E）表示膨胀或压缩情况下应力与应变的关系，所以又叫压缩模量。
数学定义：物体受胀缩力时应力与应变之比。
物理定义：杨氏弹性模量表示固体对所受作用力的阻力的度量。
固体介质对拉伸力的阻力越大，则杨氏弹性模量大，物体越不易变形；反过来说，坚硬的不易变形的物体，杨氏弹性模量大。
2.泊松比（s）在拉伸变形中，物体的伸长总是伴随着垂直方向的收缩，所以把介质横向应变与纵向应变之比称泊松比，显然泊松比是表示物体变形性质的一个参数，如果介质坚硬，，在同样作用力下，横向应变小，泊松比就小，可小到0.05 。
而对于软的未胶结的土或流体，泊松比可高达0.45 —0.5。
3.体变模量（K）设一物体，受到静水柱压力p 的作用，产生体积形变，△v/v, 其中v是物体的原体积，△v 是体积变化量。
但形状未发生变化。
则在这种情况下的应力与应变的比称为体变模量。
体变模量表示物体的抗压性质，有时也称为抗压缩系数，其倒数称为压缩系数。
4.剪切模量（m）指物体受剪切应力作用，并发生形状变化，应力与应变之比。
m是阻止剪切应变的度量。
液体的m=0，没有抗剪切能力。
5. 拉梅常数（l）横向拉应力与纵向应变之比。
以上五个弹性常数E, k ,s, m ,l,中的任一个，均可用其余两个常数表示。