2020—2021年高考总复习数学(理)高考模拟试题及参考答案(一)(精品试题).docx

年高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上．1．若M⊆{a1，a2，a3，a4，a5}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}，则满足上述要求的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．复数的共轭复数是（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i3．若向量=（3，4），且存在实数x，y，使得=x，则可以是（）A．=（0，0），=（﹣1，2）B．=（﹣1，3），=（2，﹣6）C．=（﹣1，2），=（3，﹣1）D．=（﹣，1），=（1，﹣2）4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为（）A．B． C．D．45．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）A．﹣32 B．0 C．32 D．16．若x，y满足约束条件则z=3x+2y 的取值范围（）A．[，5] B．[，5] C．[，4] D．[，4]7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P 的值是（）A．2 B．3 C．9 D．278．在△ABC中，若a2﹣b2=bc，且=2，则角A=（）A． B． C．D．9．下列四种说法中，正确的个数有（）①命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x0∈R，使得”；②∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上是单调递增；③不过原点（0，0）的直线方程都可以表示成；④回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08．A．3个B．2个C．1个D．0个10．如图所示，M，N是函数y=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，当△MPN面积最大时，PM ⊥PN，则ω=（）A． B． C． D．811．已知抛物线y2=4px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，] C．（0，）D．[，e]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是．14．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有种（用数字作答）．15．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．16．给出下列命题：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=0.3；②f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是；④已知a＞0，b＞0，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则的最小值是．其中正确命题的序号是（把你认为正确的序号都填上）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．数列{a n}是首项a1=4的等比数列，s n为其前n项和，且S3，S2，S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log2|a n|，设T n为数列{}的前n项和，求证T n＜．18．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元a=30 b捐款不超过500元c d=6合计P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828附：临界值表参考公式：，．19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O是AE的中点，以AE为折痕向上折起，使D为D′，且D′B=D′C．（Ⅰ）求证：平面D′AE⊥平面ABCE；（Ⅱ）求CD′与平面ABD′所成角的正弦值．20．已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足=，=0．（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立，请说明理由．21．设函数f（x）=ax﹣sinx，x∈[0，π]．（1）当a=时，求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≤1﹣cosx恒成立，求实数a的取值范围．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知ΘO1和ΘO2相交于A，B两点．过点A作ΘO1的切线交ΘO2于点C，过点B作两圆的割线，分别交ΘO1，ΘO2于点D，E，DE与AC相交于点P，（Ⅰ）求证：PE•AD=PD•CE；（Ⅱ）若AD是ΘO2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，设M是圆C上任一点，连结OM并延长到Q，使|OM|=|MQ|．（Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上．1．若M⊆{a1，a2，a3，a4，a5}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}，则满足上述要求的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】根据交集的关系判断出a1，a2是集合M中的元素，a3不是M 的元素，再由子集的关系写出所有满足条件的M．【解答】解：∵M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}，∴a1，a2∈M且a3∉M，∵M⊆{a1，a2，a3，a4，a5}，∴M={a1，a2，a4，a5}或{a1，a2，a4}或{a1，a2，a5}或{a1，a2}，故选D．【点评】本题考查了交集的性质，以及子集的定义的应用，属于基础题．2．复数的共轭复数是（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求其共轭得答案．【解答】解：∵，∴，故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．若向量=（3，4），且存在实数x，y，使得=x，则可以是（）A．=（0，0），=（﹣1，2）B．=（﹣1，3），=（2，﹣6）C．=（﹣1，2），=（3，﹣1）D．=（﹣，1），=（1，﹣2）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由平面向量基本定理便知，与不共线，这样根据共面向量基本定理容易判断A，B，D中的向量与共线，而根据共线向量的坐标关系可判断C中的不共线，从而便得出正确选项为C．【解答】解：根据平面向量基本定理知：不共线；A.，共线；B.，共线；C.，∴﹣1×（﹣1）﹣2×3=﹣5≠0，∴与不共线，即该选项正确；D.，∴共线．故选：C．【点评】考查共面向量基本定理，平面向量基本定理：，其中要求不共线，以及共线向量的坐标关系．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为（）A．B． C．D．4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．【解答】解：由题意知三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是2×=，∴侧视图的面积是2．故选A．【点评】本题考查简单的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观察三视图的大小，本题是一个易错题，易错点在侧视图的宽，错成底边的边长．5．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（）A．﹣32 B．0 C．32 D．1【考点】二项式系数的性质．【专题】转化思想；定义法；二项式定理．【分析】由二项式系数的性质求出n的值，再令x=1求出展开式中各项系数的和．【解答】解：二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，∴2n=32，解得n=5；令x=1，可得展开式中各项系数的和为（3×12﹣）5=32．故选：C．【点评】本题考查了二项式系数和与展开式中各项系数的和的计算问题，是基础题．6．若x，y满足约束条件则z=3x+2y 的取值范围（）A．[，5] B．[，5] C．[，4] D．[，4]【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作出其平面区域，令z=3x+2y，从而可化得y=﹣x+，再解出C，D两点的坐标，由的几何意义及图象求解即可．【解答】解：由题意作出其平面区域，令z=3x+2y，则y=﹣x+；由解得，x=y=；故C（，）；由解得，x=y=1；故D（1，1）；结合图象及的几何意义知，3×+2×≤3x+2y≤3×1+2×1；即≤3x+2y≤5；故选A．【点评】本题考查了线性规划的应用及学生的作图用图能力，属于中档题．7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P 的值是（）A．2 B．3 C．9 D．27【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得P=153，Q=63不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．在△ABC中，若a2﹣b2=bc，且=2，则角A=（）A． B． C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知及正弦定理可得c=2b，结合a2﹣b2=bc，可得a2=7b2，由余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值．【解答】解：∵在△ABC中，==2，由正弦定理可得：=2，即：c=2b，∵a2﹣b2=bc，∴a2﹣b2=b×2，解得：a2=7b2，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．9．下列四种说法中，正确的个数有（）①命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x0∈R，使得”；②∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上是单调递增；③不过原点（0，0）的直线方程都可以表示成；④回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08．A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】特称命题；全称命题．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；概率与统计；简易逻辑．【分析】根据命题的否定判断①，根据幂函数的定义判断②，根据直线方程判断③，根据线性回归方程判断④．【解答】解：①命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x0∈R，使得﹣3x0﹣2＜0，故①错误；②∃m=1，使是幂函数，且在（0，+∞）上是单调递增，故②正确；③不过原点（0，0）的直线方程不都可以表示成，比如a=0或b=0时，故③错误；④回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08，故④正确；故选：B．【点评】本题考查了命题的否定，幂函数的定义，直线方程以及线性回归方程问题，是一道基础题．10．如图所示，M，N是函数y=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，当△MPN面积最大时，PM ⊥PN，则ω=（）A． B． C． D．8【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】由图形可以看出当P位于M、N之间函数y=2sin（wx+φ）（ω＞0）图象的最高点时，△MPN面积最大，再根据此时=0得到△MPN为等腰直角三角形，由三角函数的最大值求出周期，然后利用周期公式求解ω的值．【解答】解：由图象可知，当P位于M、N之间函数y=2sin（wx+φ）（ω＞0）图象的最高点时，△MPN面积最大．又此时=0，∴△MPN为等腰直角三角形，过P作PQ⊥x轴于Q，∴|PQ|=2，则|MN|=2|PQ|=4，∴周期T=2|MN|=8．∴ω==．故选：A．【点评】本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了y=Asin （ωx+φ）的图象，训练了三角函数周期公式的应用，属于中档题．11．已知抛物线y2=4px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，由抛物线方程求得A（p，2p），结合双曲线的焦距，得到△AFF'是以AF'为斜边的等腰直角三角形．再根据双曲线定义，得实轴2a=2p（），而焦距2c=2p，由离心率公式可算出该双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，连接AF'∵F是抛物线y2=4px的焦点，且AF⊥x轴，∴设A（p，y0），得y02=4p×p，得y0=2p，A（p，2p），因此，Rt△AFF'中，|AF|=|FF'|=2p，得|AF'|=2p∴双曲线的焦距2c=|FF'|=2p，实轴2a=|AF'|﹣|AF|=2p（）由此可得离心率为：e====故选：B【点评】本题给出双曲线与抛物线有共同的焦点，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线、抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．12．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，] C．（0，）D．[，e]【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f （x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是．【考点】定积分；几何概型．【专题】计算题．【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出叶形图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为S==，所以p=．故答案为：．【点评】本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有60 种（用数字作答）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；概率与统计．【分析】9个数中，有5个奇数4个偶数，同时取4个不同的数，其和为奇数，包括1奇3偶和3奇1偶两类，然后利用分布乘法原理分别求每一类中的方法种数，最后作和．【解答】解：9个数中，有5个奇数4个偶数同时取4个不同的数，和为奇数分下面几种情况1个奇数3个偶数，共有=20种取法；3个奇数1个偶数，共有=40种取法．∴不同的取法共有60种．故答案为60．【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，是中档题．15．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；数形结合法；空间位置关系与距离；球．【分析】证明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△PAB≌△PAC≌△PBC．∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC．以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．16．给出下列命题：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=0.3；②f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是；④已知a＞0，b＞0，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则的最小值是．其中正确命题的序号是①②（把你认为正确的序号都填上）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】①根据正态分布的性质进行判断，②根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断，③根据直线垂直的等价条件进行判断，④根据基本不等式的性质进行判断即可．【解答】解：①若ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）===0.3，故①正确，②f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f（x）关于x=﹣1对称，且在（﹣1，+∞）上单调递增，＞1，log2=﹣3，（）2∈（0，1），则f（log2）=f（﹣3）=f（1），则f（）＞f（1）＞f（（）2），即f（）＞f（log2）＞f（（）2），故②正确，③当b=0，a=0时，两直线分别为l1：3y﹣1=0，l2：x+1=0，满足l1⊥l2，故l1⊥l2的充要条件是错误，故③错误，④已知a＞0，b＞0，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则2a+b=1，则=（）（2a+b）=2+1++≥3+2=3+2，即则的最小值是3+2．故④错误，故答案为：①②．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．数列{a n}是首项a1=4的等比数列，s n为其前n项和，且S3，S2，S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log2|a n|，设T n为数列{}的前n项和，求证T n＜．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，先看当q=1时，S3，S2，S4不成等差数列，不符合题意，判断出q≠1，进而根据等比数列求和公式表示出S3，S2，S4，根据等差中项的性质建立等式，求得q，则数列{a n}的通项公式可得．（Ⅱ）把（1）中的a n代入b n=，进而利用裂项法求得前n项的和，根据．原式得证．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q．当q=1时，S3=12，S2=8，S4=16，不成等差数列∴q≠1，2S2=S3+S4，∴，即q4+q3﹣2q2=0．∵q≠0，q≠1，∴q=﹣2，∴a n=4（﹣2）n﹣1=（﹣2）n+1（Ⅱ）b n=log2|a n|=log2|（﹣2）n+1|=n+1，∴∴，∴．【点评】本题主要考查了数列的求和．应熟练掌握常用的数列求和的方法，如公式法，错位相减法，裂项法等．18．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元a=30 b捐款不超过500元c d=6合计P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828附：临界值表参考公式：，．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【专题】计算题；规律型；转化思想；概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失；（Ⅱ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，即可求这两户在同一分组的概率；（Ⅲ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（Ⅱ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，因此，这两户在同一分组的概率为P==…（Ⅲ）如图：经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30 9 39捐款不超过500元5 6 11合计35 15 50K2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…【点评】本题考查频率分布直方图，独立性检验知识，考查古典概型，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O是AE的中点，以AE为折痕向上折起，使D为D′，且D′B=D′C．（Ⅰ）求证：平面D′AE⊥平面ABCE；（Ⅱ）求CD′与平面ABD′所成角的正弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离．【分析】（I）取BC中点F，连结OF，D′O，D′F，则BC⊥平面D′OF，于是BC⊥OD′，又OD′⊥AE，于是OD′⊥平面ABCE，故而平面D′AE ⊥平面ABCE；（II）以O为原点建立平面直角坐标系，求出平面ABD′的法向量，则CD′与平面ABD′所成角的正弦值等于|cos＜，＞|．【解答】解：（I）取BC中点F，连结OF，D′O，D′F，则BC⊥OF，∵D′B=D′C，∴BC⊥D′F，又∵OF⊂平面D′OF，D′F⊂平面D′OF，OF∩D′F=F，∴BC⊥平面D′OF，∵D′O⊂平面D′OF，∴BC⊥D′O，∵DA=DE，即D′A=D′E，∴D′O⊥AE，又∵AE⊂平面ABCE，BC⊂平面ABCE，AE与BC相交，∴D′O⊥平面ABCE，∵D′O⊂平面D′AE，∴平面D′AE⊥平面ABCE．（II）以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），B（1，3，0），C（﹣1，3，0）．D′（0，0，）．∴=（1，﹣1，﹣），=（1，3，﹣）.=（﹣1，3，﹣）．设平面ABD′的法向量为=（x，y，z），则，．∴，令z=，得x=2，y=0，∴=（2，0，）．||=，||=2.=﹣4．∴cos＜，＞==﹣．∴CD′与平面ABD′所成角的正弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的求解方法，属于中档题．20．已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足=，=0．（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设出N点的坐标，由已知条件可知P为MN 的中点，由题意设出P和M的坐标，求出和的坐标，代入•可求动点N的轨迹E的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系写出A，B两点的纵坐标的和与积，假设存在点C（m，0）满足条件，则，由|CA|2+|CB|2=|AB|2成立得到，代入坐标后得到关于m的一元二次方程，分析知方程有解，从而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）设N（x，y），则由，得P为MN的中点．∴，M（﹣x，0）．∴，．∴，即y2=4x．∴动点N的轨迹E的方程y2=4x．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1），由，消去x得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=﹣4．假设存在点C（m，0）满足条件，则，，∴===．∵，∴关于m的方程有解．∴假设成立，即在x轴上存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题是考查的中点，常和弦长问题、存在性问题结合考查，解答时往往采用“设而不求”的解题方法，借助于一元二次方程的根与系数关系解题，该种类型的问题计算量较大，要求学生有较强的运算能力，是难题．21．设函数f（x）=ax﹣sinx，x∈[0，π]．（1）当a=时，求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≤1﹣cosx恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；作图题；数形结合；导数的综合应用．【分析】（1）当a=时，f（x）=x﹣sinx，x∈[0，π]，从而求导f′（x）=﹣cosx，从而判断函数的单调性；（2）化简可得ax﹣sinx≤1﹣cosx，作函数y=ax﹣1与函数y=sinx﹣cosx 的图象，结合图象求解即可．【解答】解：（1）当a=时，f（x）=x﹣sinx，x∈[0，π]，f′（x）=﹣cosx，故x∈[0，）时，f′（x）＜0，x∈（，π]时，f′（x）＞0；故f（x）在[0，）上是减函数，在[，π]上是增函数；（2）由题意得，ax﹣sinx≤1﹣cosx，故ax﹣1≤sinx﹣cosx，作函数y=ax﹣1与函数y=sinx﹣cosx的图象如图，结合图象可得，a≤=；故实数a的取值范围为（﹣∞，]．【点评】本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于中档题．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知ΘO1和ΘO2相交于A，B两点．过点A作ΘO1的切线交ΘO2于点C，过点B作两圆的割线，分别交ΘO1，ΘO2于点D，E，DE与AC相交于点P，（Ⅰ）求证：PE•AD=PD•CE；（Ⅱ）若AD是ΘO2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）连接AB，根据弦切角定理和圆周角定理的推论得到∠CAB=∠D，∠CAB=∠E，则∠F=∠D，根据内错角相等，得到AD∥CE，即可证明PE•AD=PD•CE；（Ⅱ）利用△PCE∽△PAD，结合相交弦定理，切割线定理，即可求AD的长．【解答】（1）证明：连接AB，∵CA切⊙O1于A，∴∠CAB=∠D，∵∠CAB=∠E，∴∠E=∠D．∴AD∥CE，∴△PCE∽△PAD．∴．∴PE•AD=PD•CE；（Ⅱ）解：设BP=x，PE=y，∵PA=6，PC=2，∴xy=12①∵△PCE∽△PAD，∴，∴②由①②可得或（舍去），∴DE=9+x+y=16，∵AD是ΘO2的切线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12．【点评】本题考查三角形相似的证明，考查相交弦定理，切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，设M是圆C上任一点，连结OM并延长到Q，使|OM|=|MQ|．（Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，把代入即可得直角坐标方程：x2+y2=4x，设Q（x，y），则，代入圆的方程即可得出．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入点Q的方程可得，利用根与系数的关系及其|PA|+|PB|=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4x，配方为（x﹣2）2+y2=4，设Q（x，y），则，代入圆的方程可得，。