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中学初高中数学衔接教材

中学初高中数学衔接教材目录引入乘法公式第一讲因式分解1.1提取公因式1.2.公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1.3分组分解法1.4十字相乘法（重、难点）1.5关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．第二讲函数与方程2.1一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2．2二次函数2.2.1二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质2.2.2二次函数的三种表示方式2.2.3二次函数的简单应用第三讲三角形的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；22()()a b a b a b +−=−（2）完全平方公式．222()2a b a ab b ±=±+我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；2233()()a b a ab b a b +−+=+（2）立方差公式；2233()()a b a ab b a b −++=−（3）三数和平方公式；2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++（4）两数和立方公式；33223()33a b a a b ab b +=+++（5）两数差立方公式．33223()33a b a a b ab b −=−+−对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1计算：．22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +−−+++解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤−+−⎣⎦=242(1)(1)x x x −++=．61x −解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +−+−++=33(1)(1)x x +−=．61x −例2已知，，求的值．4a b c ++=4ab bc ac ++=222a b c ++解：．2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++−++=练习1．填空：（1）（）；221111()9423a b b a −=+（2）；(4m +22)164(m m =++)(3)．2222(2)4(a b c a b c +−=+++)2．选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于（）212x mx k ++k （A ）（B ）（C ）（D ）2m 214m 213m2116m （2）不论，为何实数，的值（）a b 22248a b a b +−−+（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数第一讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）；（4）．22()x a b xy aby −++1xy x y −+−解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得＝22()x a b xy aby −++()()x ay x by −−（4）＝xy ＋(x －y )－11xy x y −+−＝(x －1)(y+1)（如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）__________________________________________________。

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目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述，原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题：下 )(A )(C )化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =4，贝y x= _____ ；若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值解： 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练习1. 填空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)( )；9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( )；(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式，(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3；(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac)；对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值(（A ）总是正数（B ）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式：(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二：解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ；(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ；(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ，所以，原式=-x密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解：「X y ：3 ：；〕2 (―2)2do ， 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1，2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练习1.1.4 .分式1.分式的意义形如A 的式子，若B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分BB式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空：1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ，求 a a 1比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明：对任意大于计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解：由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数，二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去； •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ，求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式：(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3；(2) x 3x 27 ；x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空：(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知：x 1 2，y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0，则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算：-——-1 L 1.132 43 59 114.试证：对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式： (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —（3） x 2 （a b ）xy aby 2 ；（4） xy 1 x y .解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项，所以，有x 2- 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。

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. ... .初高中数学衔接教材1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-．初中升高中数学教材变化分析解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。

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图象与 x 轴的交点个数：
①当 b2 4ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1，0，Bx ，2 0 (x1 x 2) ，其中的 x1 ，x2是一元二次方程
ax2
bx c 0a 0 的两根。这两点间的距离 AB x2 x1
b2 4ac . a
②当 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③当 0 时，图象与 x 轴没有交点.
必然相交于
点，此时m ．
例 4.抛物线 y x2 (2m 1)x 6m 与 x 轴交于两点(x，0) 和 (x ，0)，若 x x x x 49 ，要使抛物线
1
2
12
1
2
经过原点，应将它向右平移
个单位．
例 5.关于 x 的二次函数 y 2mx2 (8m 1)x 8m 的图像与 x 轴有交点，则 m 的范围是（）
（4） 3x 2 7 (5) 5x 7 8
3、因式分解乘法公式
1 平方差公式(a b)(a b) a2 b2 2 完全平方公式(a b)2 a2 2ab b2 （3）立方和公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 （4）立方差公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 5 三数和平方公式(a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac) 6 两数和立方公式(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
4.若二次函数 y ax2 c ，当 x 取 x 、 x （ x x ）时，函数值相等，则当 x 取 x x 时，函数值为
1
2
1
2
Байду номын сангаас
1
2
（）
Ａ． a c Ｂ． a c Ｃ． c Ｄ． c
5、已知二次函数 y 1 x2 bx c ，关于 x 的一元二次方程 1 x2 bx c 0 的两个实根是1和 5 ，

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目录第一章数与式数与式的运算绝对值乘法公式二次根式分式分解因式第二章二次方程与二次不等式一元二次方程根的判别式根与系数的关系二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质二次函数的三种表达方式二次函数的应用方程与不等式二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆相似形平行线分线段成比例定理相似三角形形的性质与判定三角形三角形的五心解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用圆直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理点的轨迹四点共圆的性质与判定直线和圆的方程（选学）数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4，解得x ＞4．又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．A C P |x －1| |x －3|图1．1－1练习 1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：下列叙述正确的是（）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b ，等是无理式，而21x ++，22x y ++ 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果与，等等．一般地，，，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥；（30)x <．解：（1=（20)a ==≥；（3220)x x x ==-<．例2 (3．解法一：(3-＝393-＝1)6＝12．解法二：(3-＝＝＝＝＝例3 试比较下列各组数的大小：（1 （2.解：（11===，1===，>．（2）∵=== 又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，＜例4 化简：20042005+⋅．解：20042005⋅-＝20042004⋅⋅＝2004⎡⎤+⋅-⋅-⎣⎦＝20041⋅例 5 化简：（1；（21)x <<．解：（1）原式===2=-2=-．（2）原式1x x=-， ∵01x <<，∴11x x >>，所以，原式＝1x x-．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值．解： ∵2210x y +==+=，1xy==，∴22223533()1131011289x xy y x y xy-+=+-=⨯-=．练习1．填空：（1＝__ ___；（2(x=-x的取值范围是_ _ ___；（3）=__ ___；（4）若2x=+=______ __．2．选择题：等式=成立的条件是（）（A）2x≠（B）0x>（C）2x>（D）02x<<3．若1ba=+，求a b+的值．4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．.４．分式1．分式的意义形如AB的式子，若B中含有字母，且0B≠，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：A A MB B M⨯=⨯；A A MB B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像abc d+，2m n pmn p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1若54(2)2x A Bx x x x+=+++，求常数,A B的值．解：∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A xx x x x x x x x++++++===++++，∴5,24,A BA+=⎧⎨=⎩解得2,3A B==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯L ；（3）证明：对任意大于1的正整数n ，有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+L ．（1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯L 11111(1)()()223910=-+-++-L 1110=- ＝910．（3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+L ＝111111()()()23341n n -+-++-+L ＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1一定为正数， ∴1112334(1)n n +++⨯⨯+L ＜12．例3 设c e a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得2e 2－5e ＋2＝0，∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12＜1，舍去；或e ＝2．∴e ＝2．练习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)； 2．选择题：若223x y x y -=+，则x y＝（）（A ）１（B ）54 （C ）45（D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x yx y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1 A 组1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：（1）1819(2(2+＝________；（22=，则a 的取值范围是________；（3=________．B 组1．填空：（1）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+-____ ____；（2）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y ++=+__ __；2．已知：11,23x y ==的值．C 组1．选择题：（1）若=，则（）（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<（2）计算等于（）（A ）（B （C ）（D ）2．解方程22112()3()10x x x x +-+-=． 3．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯L ． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++L ＜14 ．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。

初高中数学衔接课(高一)PPT课件图文(2024)

02
展示正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，分析三角函数的
周期性、奇偶性、单调性等性质。
三角恒等变换
03
介绍三角恒等式，如和差化积、积化和差等公式，以及它们在
三角函数计算中的应用。
13
数列与数学归纳法
2024/1/29
数列的概念及表示方法
阐述数列的定义、数列的通项公式及递推公式等基础知识。
等差数列与等比数列
详细讲解等差数列和等比数列的定义、性质及求和公式。
数学归纳法及其应用
介绍数学归纳法的原理及步骤，通过实例演示数学归纳法在证明数列问题中的应用。
14
04
初高中数学衔接关键点分析
2024/1/29
15
思维方式转变
从具象到抽象
初中数学以具象思维为主，而高中数学则更强调抽象思维，需要学生逐渐适应并培养抽象思维能
力。
从静态到动态
初中数学问题多为静态的，而高中数学则涉及更多动态变化的问题，需要学生理解并掌握变量之
间的关系。
从单一到多元
初中数学知识点相对单一，而高中数学知识点更加多元化，需要学生建立多元化的知识体系和思
维方式。
2024/1/29
16
学习方法调整
2024/1/29
课前预习与课后复习
高中数学内容相对复杂，需要学生做好课前预习和课后复习，加深对知识点的理解和记忆。
教材内容
涵盖初中数学与高中数学衔接部分的核心知识点，包括函数、方程、不等式、数列、概率统计等
。
2024/1/29
教材结构
按照知识模块进行划分，每个模块包含知识点讲解、例题分析、练习题等内容，便于学生理解和掌握。
辅助资源

初升高数学衔接教材(最新版;可直接打印)

初高中数学衔接教材现有初高中数学知识存在以下“脱节”1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。

3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。

配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。

方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

目录1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.４分式1．2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理3.1.2相似形3.2 三角形3.2.1 三角形的“四心”3.2.2 几种特殊的三角形3．3圆3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2 点的轨迹1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．例1 解不等式：＞4．解法一：由，得；由，得；①若，不等式可变为，即＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若，不等式可变为，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若，不等式可变为，即＞4，解得x ＞4．又x ≥3，\点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式‘由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4．练习1．填空：（1）若，则x =_________；若，则x =_________.（2）如果，且，则b ＝________；若，则c ＝________.2．选择题：下列叙述正确的是（）（A ）若，则（B ）若，则（C ）若，则（D ）若，则3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩b a -a b 13x x -+-01=-x 1=x 30x -=3x =1<x (1)(3)4x x ---->24x -+12x ≤<(1)(3)4x x --->3x ≥(1)(3)4x x -+->24x -5=x 4-=x 5=+b a 1-=a 21=-c a b =a b =a b >a b >a b <a b <a b =a b=±1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三数和平方公式；（4）两数和立方公式；（5）两数差立方公式．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：．解法一：原式== =．解法二：原式= = =．例2 已知，，求的值．解：．练习1．填空：（1）（）；（2）；（3）．2．选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于（）（A ）（B ）（C ）（D ）（2）不论，为何实数，的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数22()()a b a b a b +-=-222()2a b a ab b ±=±+2233()()a b a ab b a b +-+=+2233()()a b a ab b a b -++=-2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++33223()33a b a a b ab b +=+++33223()33a b a a b ab b -=-+-22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦242(1)(1)x x x -++61x -22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++33(1)(1)x x +-61x -4a b c ++=4ab bc ac ++=222a b c ++2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=221111()9423a b b a -=+(4m +22)164(m m =++)2222(2)4(a b c a b c +-=+++)212x mx k ++k 2m 214m 213m 2116m a b 22248a b a b +--+1.1.3．二次根式的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如，理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与等．一般地，，与，与互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2的意义例1将下列式子化为最简二次根式：（1（2；（3．解：（1；（2；（3．例2．解法一：解法二：．例3 试比较下列各组数的大小：（1；（2和.0)a≥32a b 21x ++22x y ++-++-b +b -0,0)a b =≥≥a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩0)a ≥0)x <=0)a =≥20)x x =-<(3÷-(3(3解：（1），，，．（2）∵ 又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，＜例4　化简：．解：　＝＝＝　．例 5化简：（1；（2．解：（1）原式．（2）原式，∵，∴，所以，原式＝．例 6 已知的值．　解：　∵，， ∴．练习1．填空：（1＝_____；（2，则的取值范围是_ ____；===-===>-===20042005+⋅-20042005+⋅-20042004+⋅-⋅-2004⎡⎤+⋅-⋅-⎣⎦20041⋅-1)x <<===2=-21x x =-01x <<11x x>>1x x-x y ==22353x xy y -+2210x y +==++=1xy ==22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=(x =-x（3）__ ___；（4）若______ __．2．选择题：成立的条件是（）（A ）　（B ）（C ）（D ）3．若，求的值．4．比较大小：2－35－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如的式子，若B 中含有字母，且，则称为分式．当M ≠0时，分式具有下列性质：；．上述性质被称为分式的基本性质．　2．繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1　若，求常数的值．解： ∵， ∴解得．例2　（1）试证：（其中n 是正整数）；（2）计算：；（3）证明：对任意大于1的正整数n ，有．（1）证明：∵，=x ===0x >2x >02x <<b =+a b +A B 0B ≠A B ABA A MB B M ⨯=⨯A A M B B M÷=÷ab c d+2m n pm n p +++54(2)2x A Bx x x x +=+++,A B (2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++5,24,A B A +=⎧⎨=⎩2,3A B ==111(1)1n n n n =-++1111223910+++⨯⨯⨯ 11112334(1)2n n +++<⨯⨯+ 11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++∴（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知＝．（3）证明：∵ ＝＝，又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1一定为正数，∴＜12．例3　设，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12＜1，舍去；或e ＝2．∴e ＝2．练习1．填空题：对任意的正整数n ， ()；2．选择题：若，则＝（）（A ）１（B ）（C ）　（D ）3．正数满足，求的值．4．计算．习题1．1A 组1．解不等式：111(1)1n n n n =-++1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)(()223910=-+-++- 1110=-9101112334(1)n n +++⨯⨯+ 111111()(()23341n n -+-++-+ 1121n -+1112334(1)n n +++⨯⨯+ ce a=1(2)n n =+112n n -+223x y x y -=+xy544565,x y 222x y xy -=x y x y-+1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯(1) ； (2) ；(3) ．２．已知，求的值．3．填空：（1）＝________；（2，则的取值范围是________；（3________．B 组1．填空：（1），，则____ ____；（2）若，则__ __；2．已知：的值．C 组1．选择题：（1（）（A ）（B ）（C ）（D ）（2）计算等于（）（A （B （C ）（D ）2．解方程．3．计算：．4．试证：对任意的正整数n ，有＜14．1.1.1．绝对值1．（1）；（2）；或 2．D 3．3x －181.1.2．乘法公式1．（1）（2）（3）　2．（1）D （2）A1.1.3．二次根式1．（1 （2）（3）42．C 3．1 4．＞1.1.4．分式13x ->327x x ++-<116x x -++>1x y +=333x y xy ++1819(2(2-2=a =12a =13b =2223352a ab a ab b -=+-2220x xy y +-=22223x xy y x y++=+11,23x y ===a b <a b >0a b <<0b a <<22112()3()10x x x x +-+-=1111132435911++++⨯⨯⨯⨯ 111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++ 5±4±4±1-31132a b -11,24424ab ac bc --2-35x ≤≤-1．122．B 3． 4．习题1．1A 组1．（1）或（2）－4＜x ＜3 （3）x ＜－3，或x ＞32．1 3．（1）（2）（3B 组1．（1）（2），或－15 2．4．C 组1．（1）C （2）C 2． 3．4．提示：1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）；（4）．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．2－4，得＝（4）＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．2．提取公因式法与分组分解法1-991002x <-4x >2-11a -≤≤1-3752121,22x x ==36551111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++22()x a b xy aby -++1xy x y -+-22()x a b xy aby -++()()x ay x by --1xy x y -+-－1－2x x图1．2－1－1－211图1．2－2－2611图1．2－3－ay －byx x图1．2－4－11x y图1．2－5例2 分解因式：（1）；（2）．解：（1）== =．或＝＝＝＝＝．（2）= ==．或= = =．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.例3　把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）；（2）．解：（1）令=0，则解得，，∴==．（2）令=0，则解得，，∴=．练习1．选择题：多项式的一个因式为（）（A ）（B ）（C ）（D ）2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8；（2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1；（4）．习题1．21．分解因式：　（1）；（2）；32933x x x +++222456x xy y x y +--+-32933x x x +++32(3)(39)x x x +++2(3)3(3)x x x +++2(3)(3)x x ++32933x x x +++32(331)8x x x ++++3(1)8x ++33(1)2x ++22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+2(3)(3)x x ++222456x xy y x y +--+-222(4)56x y x y y +--+-22(4)(2)(3)x y x y y +----(22)(3)x y x y -++-222456x xy y x y +--+-22(2)(45)6x xy y x y +----(2)()(45)6x y x y x y -+---(22)(3)x y x y -++-20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x 2(0)ax bx c a ++≠12()()a x x x x --221x x +-2244x xy y +-221x x +-11x =-+21x =--221x x +-(1(1x x ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦(11x x +++2244x xy y +-1(2x y =-+1(2x y =--2244x xy y +-[2(1][2(1]x y x y ++22215x xy y --25x y -3x y -3x y +5x y-4(1)(2)x y y y x -++-31a +424139x x -+（3）；（4）．2．在实数范围内因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）．3．三边，，满足，试判定的形状．4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．1.2分解因式1． B 2．（1）(x ＋2)(x ＋4)（2）（3）（4）．习题1．21．（1）（2）（3）（4）2．（1）；　（2）；　（3）；（4）．3．等边三角形4．22222b c ab ac bc ++++2235294x xy y x y +-++-253x x -+23x --2234x xy y +-222(2)7(2)12x x x x ---+ABC ∆a b c 222a b c ab bc ca ++=++ABC ∆22(2)(42)a b a ab b -++(11x x ---(2)(22)y x y --+()()211a a a +-+()()()()232311x x x x +-+-()()2b c b c a +++()()3421y y x y -++-x x ⎛-- ⎝(x x ---+3x y x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()3(1)(11x x x x -+---+(1)()x a x a -++2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为． ①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；②当a ≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根， ②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；2224()24b b acx a a-+=2b a2()2b x a+2b a1x =2x =11x =+21x =-③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)程x 2＋px ＋q ＝0的两根，出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－．所以，方程的另的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4． ∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21，∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简，得 m 2－16m －17＝0，解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m ＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元大方向个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x ，y ，则 x ＋y ＝4， ①xy ＝－12． ②由①，得 y ＝4－x ，代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0，∴x 1＝－2，x 2＝6．b aca35∴ 或因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0的两个根．解这个方程，得 x 1＝－2，x 2＝6．所以，这两个数是－2和6．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求的值；（3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴，）．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则，，∴| x 1－x 2|于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|Δ＝b 2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设x 1，x 2是方程的两根，则 x 1x 2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②由①得 a ＜4，由②得 a ＜174．∴a 的取值范围是a ＜4．112,6,x y =-⎧⎨=⎩226,2.x y =⎧⎨=-⎩221211x x +1252x x +=-1232x x =-22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-525232-21582x ===练习1．选择题：（1）方程的习题2.1A 组1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2（2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B 组1．选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）02．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是．3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．4．－1 提示：(x 1－3)( x 2－3)＝x 1 x 2－3(x 1＋x 2)＋9习题2．12．（1）2006 提示：∵m ＋n ＝－2005，mn ＝－1，∴m 2n ＋mn 2－mn ＝mn (m ＋n －1)＝－1×(－2005－1)＝2006．（2）－3 提示；∵a ＋b ＝－1，ab ＝－1，∴a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3＝a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋b )＝(a ＋b )( a 2＋b 2)＝(a ＋b )[( a ＋b ) 2－2ab ]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．3．（1）∵Δ＝(－k )2－4×1×(－2)＝k 2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根．（2）∵x 1＋x＝k ，x x ＝－2，∴2k ＞－2，即k ＞－1．4．（1）| x 1－x 2|，＝；（2）x 13＋x 23＝．5．∵| x 1－x 2|，∴m ＝3．把m ＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m ＝3．2230x k -+=73-122x x +2b a -333abc b a -2==C 组1．（1）B （2）A（3）C 提整数的实数k 的整数值为－2，－3和－5．（3）当k ＝－2时，x 1＋x 2＝1，① x 1x 2＝， ②①2÷②，得＋2＝8，即，∴，∴．4．（1）Δ＝；（2）∵x1x 2＝－≤0，∴x 1≤0，x 2≥0，或x 1≥0，x 2≤0．①若x 1≤0，x ≥0，则x 2＝－x 1＋2，∴x 1＋x 2＝2，∴m －2＝2，∴m ＝4．此时，方程为x 2－2x －4＝0，∴，②若x 1≥0，x 2≤0，则－x 2＝x 1＋2，∴x 1＋x2＝－2，∴m －2＝－2，∴m ＝0．此时，方程为x 2＋2＝0，∴x 1＝0，x 2＝－2．5．设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝a ，由一根大于1、另一根小于1，得(x 1－1)( x 2－1)2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关？为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．先列表：x …－3－2－10123…x 2…9410149…2x 2…18822818从表中不难看出，要得到2x 2的值，只要把相应的x 2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．181221x x x x +16λλ+=2610λλ-+=3λ=±22(1)20m -+>24m 11x =+21x =12通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋)＋c ＝a (x 2＋＋)＋c －，所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x ＝－；当x ＜时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝时，函数取最小值y ＝．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x ＝－；当x ＜时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝时，函数取最大值y ＝．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4，∴函数图象的开口向例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表所示：x /元130150165y /件705035若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？b x a b x a 224b a 24ba224(24b b aca x a a-=++24(,)24b ac b a a --2b a2b a -2b a -2ba-244ac b a-24(,)24b ac b a a --2b a2b a -2b a -2ba-244ac b a-分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于设每天的利润为z （元），则z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，y ＝x 2的图像，等价bx ＋c 的图像．＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－88，c ＝14．4，此时x x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；＝0时，函数取最小值y ＝0；y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．2b 24bc +-22(4)224b b y x c =+++-+40,2b⎧--=⎪⎪①图2.2－6②③练习1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2（C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（）（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝，n＝．（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝时，函数图象经过原点．（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x＝时，函数取最值y＝；当x时，y随着x的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6 x－x2．4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac 有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，即＝－(x 1＋x 2)，＝x 1x 2．所以，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a ()= a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]＝a (x －x 1) (x －x 2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴，解得a ＝－2．∴二次函数的解析式为，即y ＝－2x 2＋8x －7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，展开，得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝．所以，二次函数的表达式为y ＝，或y ＝－．分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．b a -c ab a ca2b c x x a a++2(2)1(0)y a x a =-+<21(32)1a -=-+22(2)1y x =--+2212444a a a a--=-12±21322x x +-21322x x -+又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－，或a ＝．所以，所求的二次函数为y ＝－(x ＋1)2＋2，或y ＝(x ＋1)2－2．说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练习1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）无法确定（2）函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的顶点坐标是（）（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2)2．填空：（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a(a ≠0) ．（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为．3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．2.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1．平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．例1 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．1212121222,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩。

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初高中数学衔接教材(共28页)令狐采学创作令狐采学创作初高中数学衔接教材令狐采学目录引入乘法公式第一讲因式分解1.1提取公因式1.2.公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1.3分组分解法1.4十字相乘法（重、难点）1.5关于某的二次三项式a某2+b某+c(a≠0)的因式分解．第二讲函数与方程2.1一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2．2二次函数2.2.1二次函数y＝a某2＋b某＋c的图象和性质2.2.2二次函数的三种表示方式2.2.3二次函数的简单应用第三讲三角形的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()ababab+-=-；（2）完全平方公式222()2abaabb±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()abaabbab+-+=+；（2）立方差公式2233()()abaabbab-++=-；（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33abaababb+=+++；（5）两数差立方公式33223()33abaababb-=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．令狐采学创作令狐采学创作例1计算：22(1)(1)(1)(1)某某某某某某+--+++．解法一：原式=2222(1)(1)某某某-+-=242(1)(1)某某某-++=61某-．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)某某某某某某+-+-++=33(1)(1)某某+-=61某-．例2已知4abc++=，4abbcac++=，求222abc++的值．解：2222()2()8abcabcabbcac++=++-++=．练习1．填空：（1）221111()9423abba-=+（）；（2）(4m+22)164(mm=++)；(3)2222(2)4(abcabc+-=+++)．2．选择题：（1）若212某m某k++是一个完全平方式，则k等于（）（A）2m（B）214m（C）213m（D）2116m（2）不论a，b为何实数，22248abab+--+的值（）（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数第一讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法令狐采学创作令狐采学创作例1分解因式：（1）某2－3某＋2；（2）某2＋4某－12；（3）22()某ab某yaby-++；（4）1某y某y-+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项某2分解成图中的两个某的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3某，就是某2－3某＋2中的一次项，所以，有某2－3某＋2＝(某－1)(某－2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个某用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得某2＋4某－12＝(某－2)(某＋6)．（3）由图1．1－4，得22()某ab某yaby-++＝()()某ay某by--（4）1某y某y-+-＝某y＋(某－y)－1＝(某－1)(y+1)（如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652某某__________________________________________________。

2023年初高中衔接数学教材

第一节恒等变形与因式分解1、恒等：如果将两个代数式里的字母换成任意的数值(使两式都有意义)，这两个代数式的值都相等，我们就说这两个式子恒等.例如：2(a+1)与2a+2恒等，(a+b)(a-b)与a2-b2恒等.2、恒等式：表示两个式子恒等的等式叫做恒等式.例如，a+b=b+a,(a±b)2=a2±2ab+b2.3、恒等变形：把一个式子变换成另一个和它恒等的式子，叫做恒等变形.4、乘法公式(1)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2(2)平方差公式:a2-b2=(a-b)(a+b)(3)三数和平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；(4)立方和公式:(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；(5)立方差公式:(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；(6)两数和立方公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(7)两数差立方公式:(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3．5、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma +mb+na+nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：(1)分组后能提取公因式 (2)分组后能直接运用公式6、十字相乘法(1)x2+(p+q)x+pq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．∵x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)，∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．(2)一般二次三项式ax2+bx+c型的因式分解由a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成a1a2×c1c2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1，如果它正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解成(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．7、其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：(1)配方法；(2)拆、添项法；(3)试根法(有目的性)8、方程根与因式的关系：记一个关于x的n次多项式方程为p n(x)=0。

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创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*初高中数学衔接教材编者的话现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。

而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。

高中则在使用。

另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。

新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。

本书当然也没有详尽列举出来。

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初下中数教贯串课本之阳早格格创做目录引进乘法公式第一道果式收会1.1 提与公果式1.2. 公式法（仄圆好，真足仄圆，坐圆战，坐圆好）1.3分组收会法1.4十字相乘法（沉、易面）1.5闭于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的果式收会．第二道函数与圆程2.1 一元二次圆程2.1.2 根与系数的闭系（韦达定理）2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象战本量2.2.2 二次函数的三种表示办法2.2.3 二次函数的简朴应用第三道三角形的“四心”乘法公式咱们正在初中已经教习过了下列一些乘法公式：（1）仄圆好公式22+-=-；a b a b a b()()（2）真足仄圆公式222±=±+．()2a b a ab b咱们还不妨通过道明得到下列一些乘法公式：（1）坐圆战公式2233a b a ab b a b+-+=+；()()（2）坐圆好公式2233-++=-；a b a ab b a b()()（3）三数战仄圆公式2222++=+++++；()2()a b c a b c ab bc ac（4）二数战坐圆公式33223+=+++；()33a b a a b ab b（5）二数好坐圆公式33223()33-=-+-．a b a a b ab b对付上头列出的五个公式，有兴趣的共教不妨自己去道明．例1 估计：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：本式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：本式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，供222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习1．挖空：（1）221111()9423a b b a -=+（）；（2）(4m +22)164(m m =++)；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．2．采用题：（1）假如212x mx k ++一个真足仄办法，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不管a ，b 为何真数，22248a b a b +--+的值（）（A ）经常正数（B ）经常背数（C ）不妨是整（D ）不妨是正数也不妨是背数第一道果式收会果式收会的主要要收有：十字相乘法、提与公果式法、公式法、分组收会法，其余还应相识供根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 收会果式：（1）x2－3x ＋2；（2）x2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x2收会成图中的二个x 的积，再将常数项2收会成－1与－2的乘积，而图中的对付角线上的二个数乘积的战为－3x ，便是x2－3x ＋2中的一次项，所以，有x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．道明：以后正在收会与本例类似的二次三项式时，不妨间接将图1．1－1中的二个x 用1去表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂训练一、挖空题：1、把下列各式收会果式：（1）=-+652x x __________________________________________________.－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay－byx x 图1．1－4 －1 1 xy图1．1－5（2）=+-652x x __________________________________________________. （3）=++652x x __________________________________________________. （4）=--652x x __________________________________________________.（5）()=++-a x a x 12__________________________________________________.（6）=+-18112x x __________________________________________________.（7）=++2762x x __________________________________________________.（8）=+-91242m m __________________________________________________.（9）=-+2675x x __________________________________________________.（10）=-+22612y xy x __________________________________________________.2、()() 3 42++=+-x x x x3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b .二、采用题：（每小题四个问案中惟有一个是透彻的）1、正在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x（5）44152++x x 中，有相共果式的是（）A 、惟有（1）（2）B 、惟有（3）（4）C 、惟有（3）（5）D 、（1）战（2）；（3）战（4）；（3）战（5）2、收会果式22338b ab a -+得（）A 、()()3 11-+a a B 、()()b a b a 3 11-+ C 、()()b a b a 3 11-- D 、()()b a b a 3 11+-3、()()2082-+++b a b a 收会果式得（）A 、()()2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()()10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a 4、若多项式a x x +-32可收会为()()b x x --5，则a 、b 的值是（） A 、10=a ，2=b B 、10=a ，2-=b C 、10-=a ，2-=b D 、10-=a ，2=b5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102其中a 、b 为整数，则m 的值为（） A 、3或者9 B 、3± C 、9± D 、3±或者9±三、把下列各式收会果式1、()()3211262+---p q q p2、22365ab b a a +-3、6422--y y4、8224--b b2．提与公果式法例2 收会果式：（1）()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++解：（1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a（2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或者32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++课堂训练：一、挖空题：1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公果式是_______________.2、()()()•-=-+-y x x y n y x m __________________.3、()()()•-=-+-222y x x y n y x m ____________________.4、()()()•--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________.5、()()•--=++---z y x z y x z y x m ______________________.6、523623913x b a x ab --收会果式得_____________________.7．估计99992+=二、推断题：（透彻的挨上“√”，过失的挨上“×” ）1、()b a ab ab b a -=-24222………………………………………………………… （）2、()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （）3、()5231563223-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （）4、()111+=+--x x x x n n n ……………………………………………………………… （）3：公式法例3收会果式：（1）164+-a （2）()()2223y x y x --+ 解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-(2)()()2223y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++ 课堂训练一、222b ab a +-，22b a -，33b a -的公果式是______________________________.二、推断题：（透彻的挨上“√”，过失的挨上“×” ）1、()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1.032 1.0321.03201.094222x x x x …………………………（）2、()()()()b a b a b a b a 43 4343892222-+=-=-………………………………… （）3、()()b a b a b a 45 4516252-+=-………………………………………………… （）4、()()()y x y x y x y x -+-=--=-- 2222………………………………………… （）5、()()()c b a c b a c b a +-++=+- 22……………………………………………… （）五、把下列各式收会1、()()229n m n m ++--2、3132-x3、()22244+--x x4、1224+-x x4．分组收会法例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或者222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．课堂训练：用分组收会法收会多项式（1）by ax b a y x 222222++-+- （2）91264422++-+-b a b ab a5．闭于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的果式收会．若闭于x 的圆程20(0)ax bx c a ++=≠的二个真数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠便可收会为12()()a x x x x --.例5 把下列闭于x 的二次多项式收会果式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-．解：（1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-， ∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦ =(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练习1．采用题：多项式22215x xy y --的一个果式为（）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．收会果式：（1）x2＋6x ＋8；（2）8a3－b3；（3）x2－2x －1；（4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．收会果式：（1） 31a +；（2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++；（4）2235294x xy y x y +-++-．2．正在真数范畴内果式收会：（1）253x x -+ ；（2）23x --；（3）2234x xy y +-；（4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ，b ，c 谦脚222a b c ab bc ca ++=++，试判决ABC ∆的形状．4．收会果式：x2＋x －(a2－a)．第二道函数与圆程2.1 一元二次圆程{情境树坐：可先让教死通过简曲真例探索二次圆程的根的供法，如供圆程的根（1）0322=-+x x (2) 0122=++x x (3)0322=++x x } 咱们相识，对付于一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），用配要收不妨将其变形为2224()24b b ac x a a-+=． ① 果为a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当b2－4ac ＞0时，圆程①的左端是一个正数，果此，本圆程有二个不相等的真数根x1，2（2）当b2－4ac ＝0时，圆程①的左端为整，果此，本圆程有二个等的真数根x1＝x2＝－2b a；（3）当b2－4ac ＜0时，圆程①的左端是一个背数，而圆程①的左边2()2b x a+一定大于或者等于整，果此，本圆程不真数根．由此可知，一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的情况不妨由b2－4ac 去判决，咱们把b2－4ac 喊干一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的判别式，通时常使用标记“Δ”去表示．综上所述，对付于一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），有（1）当Δ＞0时，圆程有二个不相等的真数根x1，2＝2b a -±；（2）当Δ＝0时，圆程有二个相等的真数根x1＝x2＝－2b a；（3）当Δ＜0时，圆程不真数根．例1 判决下列闭于x 的圆程的根的情况（其中a 为常数），如果圆程有真数根，写出圆程的真数根．（1）x2－3x ＋3＝0；（2）x2－ax －1＝0；（3） x2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x2－2x ＋a ＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴圆程不真数根．（2）该圆程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以圆程一定有二个不等的真数根1x =， 2x = （3）由于该圆程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a －1)＝a2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以圆程有二个相等的真数根 x1＝x2＝1；②当a≠2时，Δ＞0，所以圆程有二个不相等的真数根 x1＝1，x2＝a －1．（3）由于该圆程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a)，所以①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a ＜1时，圆程有二个不相等的真数根11x = 21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，圆程有二个相等的真数根x1＝x2＝1；③当Δ＜0，即a ＞1时，圆程不真数根．道明：正在第3，4小题中，圆程的根的判别式的标记随着a 的与值的变更而变更，于是，正在解题历程中，需要对付a 的与值情况举止计划，那一要收喊干分类计划．分类计划那一思维要收是下中数教中一个非常要害的要收，正在以后的解题中会时常天使用那一要收去办理问题．2.1.2 根与系数的闭系（韦达定理）若一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）有二个真数根1x =，2x =，则有122222b b b b x x a a a a-+---+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====．所以，一元二次圆程的根与系数之间存留下列闭系：如果ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的二根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝b a -，x1·x2＝c a．那一闭系也被称为韦达定理．特天天，对付于二次项系数为1的一元二次圆程x2＋px ＋q ＝0，若x1，x2是其二根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p ，x1·x2＝q ，即 p ＝－(x1＋x2)，q ＝x1·x2，所以，圆程x2＋px ＋q ＝0可化为 x2－(x1＋x2)x ＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次圆程x2＋px ＋q ＝0的二根，所以，x1，x2也是一元二次圆程x2－(x1＋x2)x ＋x1·x2＝0．果此有以二个数x1，x2为根的一元二次圆程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例2已知圆程2560x kx+-=的一个根是2，供它的另一个根及k的值．收会：由于已知了圆程的一个根，不妨间接将那一根代进，供出k的值，再由圆程解出另一个根．但是由于咱们教习了韦达定理，又不妨利用韦达定理去解题，即由于已知了圆程的一个根及圆程的二次项系数战常数项，于是不妨利用二根之积供出圆程的另一个根，再由二根之战供出k的值．解法一：∵2是圆程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，圆程便为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－35．所以，圆程的另一个根为－35，k的值为－7．解法二：设圆程的另一个根为x1，则2x1＝－65，∴x1＝－35．由（－35）＋2＝－5k，得k＝－7．所以，圆程的另一个根为－35，k的值为－7．例3已知闭于x的圆程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有二个真数根，而且那二个真数根的仄圆战比二个根的积大21，供m的值．收会：本题不妨利用韦达定理，由真数根的仄圆战比二个根的积大21得到闭于m的圆程，进而解得m的值．但是正在解题中需要特天注意的是，由于所给的圆程有二个真数根，果此，其根的判别式应大于整．解：设x1，x2是圆程的二根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或者m＝17．当m＝－1时，圆程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，谦脚题意；当m＝17时，圆程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，分歧题意，舍去．综上，m＝17．道明：（1）正在本题的解题历程中，也不妨先钻研谦脚圆程有二个真数根所对付应的m的范畴，而后再由“二个真数根的仄圆战比二个根的积大21”供出m的值，与谦脚条件的m的值即可．（1）正在以后的解题历程中，如果只是由韦达定明白题时，还要思量到根的判别式Δ是可大于或者大于整．果为，韦达定理创造的前提是一元二次圆程有真数根．例4 已知二个数的战为4，积为－12，供那二个数．收会：咱们不妨设出那二个数分别为x，y，利用二元圆程供解出那二个数．也不妨利用韦达定理转移出一元二次圆程去供解．解法一：设那二个数分别是x，y，则x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代进②，得x(4－x)＝－12，即x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴112, 6,x y =-⎧⎨=⎩或者226,2.xy=⎧⎨=-⎩果此，那二个数是－2战6．解法二：由韦达定理可知，那二个数是圆程x2－4x －12＝0的二个根．解那个圆程，得x1＝－2，x2＝6．所以，那二个数是－2战6．道明：从上头的二种解法咱们不易创造，解法二（间接利用韦达定理去解题）要比解法一简便．例5 若x1战x2分别是一元二次圆程2x2＋5x －3＝0的二根．（1）供| x1－x2|的值；（2）供221211x x +的值；（3）x13＋x23．解：∵x1战x2分别是一元二次圆程2x2＋5x －3＝0的二根， ∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝253()4()22--⨯- ＝254＋6＝494， ∴| x1－x2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158．道明：一元二次圆程的二根之好的千万于值是一个要害的量，以后咱们时常会逢到供那一个量的问题，为相识题烦琐，咱们不妨探讨出其普遍顺序：设x1战x2分别是一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），则12b x a -+=，22b x a -=，∴| x1－x2|-=||||a a ==．于是有底下的论断：若x1战x2分别是一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），则| x1－x2|＝||a （其中Δ＝b2－4ac ）．以后，正在供一元二次圆程的二根之好的千万于值时，不妨间接利用上头的论断．例6 若闭于x 的一元二次圆程x2－x ＋a －4＝0的一根大于整、另一根小于整，供真数a 的与值范畴．解：设x1，x2是圆程的二根，则x1x2＝a －4＜0， ①且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②由①得 a ＜4，由②得 a ＜174．∴a 的与值范畴是a ＜4．练习1．采用题：（1）圆程2230x k -+=的根的情况是（）（A ）有一个真数根（B ）有二个不相等的真数根（C ）有二个相等的真数根（D ）不真数根（2）若闭于x 的圆程mx2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有二个不相等的真数根，则真数m 的与值范畴是（）（A ）m ＜14（B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠02．挖空:（1）若圆程x2－3x －1＝0的二根分别是x1战x2，则1211x x +＝．（2）圆程mx2＋x －2m ＝0（m≠0）的根的情况是．（3）以－3战1为根的一元二次圆程是．3|1|0b -=，当k 与何值时，圆程kx2＋ax ＋b＝0有二个不相等的真数根？4．已知圆程x2－3x －1＝0的二根为x1战x2，供(x1－3)( x2－3)的值．A 组1．采用题:（1）已知闭于x 的圆程x2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2（2）下列四个道法：①圆程x2＋2x －7＝0的二根之战为－2，二根之积为－7；②圆程x2－2x ＋7＝0的二根之战为－2，二根之积为7；③圆程3 x2－7＝0的二根之战为0，二根之积为73-； ④圆程3 x2＋2x ＝0的二根之战为－2，二根之积为0．其中透彻道法的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（3）闭于x的一元二次圆程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是，则a的值是（）（A）0 （B）1 （C）－1（D）0，或者－12．挖空:（1）圆程kx2＋4x－1＝0的二根之战为－2，则k＝．（2）圆程2x2－x－4＝0的二根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知闭于x的圆程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）圆程2x2＋2x－1＝0的二根为x1战x2，则| x1－x2|＝．3．试判决当m与何值时，闭于x的一元二次圆程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有二个不相等的真数根？有二个相等的真数根？不真数根？4．供一个一元二次圆程，使它的二根分别是圆程x2－7x－1＝0各根的好同数．B 组1．采用题:若闭于x的圆程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的二根互为好同（A）1，或者－1 （B）1 （C）－1 （D）2．挖空:（1）若m，n是圆程x2＋2005x－1＝0的二个真数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．（2）如果a，b是圆程x2＋x－1＝0的二个真数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3．已知闭于x的圆程x2－kx－2＝0．（1）供证：圆程有二个不相等的真数根；（2）设圆程的二根为x1战x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，供真数k 的与值范畴．4．一元二次圆程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的二根为x1战x2．供：（1）| x1－x2|战122x x +；（2）x13＋x23．5．闭于x 的圆程x2＋4x ＋m ＝0的二根为x1，x2谦脚| x1－x2|＝2，供真数m 的值．C 组1．采用题：（1）已知一个曲角三角形的二条曲角边少恰佳是圆程2x2－8x ＋7＝0的二根，则那个曲角三角形的斜边少等于（）（A（B ）3 （C ）6 （D ）9（2）若x1，x2是圆程2x2－4x ＋1＝0的二个根，则1221x x x x +的值为（）（A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）32（3）如果闭于x 的圆程x2－2(1－m)x ＋m2＝0有二真数根（A）α＋β≥12（B）α＋β≤12（C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1（4）已知a，b，c是ΔABC的三边少，那么圆程cx2＋(a（A ）不真数根（B ）有二个不相等的真数根（C ）有二个相等的真数根（D ）有二个同号真数根2．挖空：若圆程x2－8x ＋m ＝0的二根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m ＝．3．已知x1，x2是闭于x 的一元二次圆程4kx2－4kx ＋k ＋1＝0的二个真数根．（1）是可存留真数k ，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－32创造？若存留，供出k 的值；若不存留，道明缘由；（2）供使1221x x x x +－2的值为整数的真数k 的整数值；（3）若k ＝－2，12x x λ=，试供λ的值． 4．已知闭于x 的圆程22(2)04m x m x ---=．（1）供证：无论m 与什么真数时，那个圆程总有二个相同真数根；（2）若那个圆程的二个真数根x1，x2谦脚|x2|＝|x1|＋2，供m 的值及相映的x1，x2．5．若闭于x 的圆程x2＋x ＋a ＝0的一个大于1、整一根小于1，供真数a 的与值范畴．2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象战本量{情境树坐：可先让教死通过简曲真例探索二次函数的图象，如做图（1）2x y = (2) 2x y -= (3)322-+=x x y 西席可采与估计机画图硬件辅帮教教}问题1 函数y ＝ax2与y ＝x2的图象之间存留何如的闭系？为了钻研那一问题，咱们不妨先画出y ＝2x2，y ＝12x2，y ＝－2x2的图象，通过那些函数图象与函数y ＝x2的图象之间的闭系，推导出函数y ＝ax2与y ＝x2的图象之间所存留的闭系．先画出函数y ＝x2，y ＝2x2的图象．先列表：从表中不易瞅出，要得到2x2只消把相映的x2的值夸大二倍便不妨了．再描面、连线，便分别得到了函数y ＝x2，y ＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1咱们不妨得到那二个函数图象之间的闭系：函数y ＝2x2的图象不妨由函数y ＝x2的图象各面的纵坐标形成本去的二倍得到．共教们也不妨用类似于上头的要收画出函数y ＝12x2，y ＝－2x2的图象，并钻研那二个函数图象与函数y ＝x2的图象之间的闭系．通过上头的钻研，咱们不妨得到以下论断：二次函数y ＝ax2(a≠0)的图象不妨由y ＝x2的图象各面的纵坐标形成本去的a 倍得到．正在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a 决断了图象的启心目标战正在共一个坐标系中的启心的大小．问题2 函数y ＝a(x ＋h)2＋k 与y ＝ax2的图象之间存留何如的闭系？共样天，咱们不妨利用几个特殊的函数图象之间的闭系去钻研它们之间的闭系．共教们不妨做出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的共教咱们不易创造，只消把函数y ＝2x2的图象背左仄移一个单位，再进与仄移一个单位，便不妨得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．那二个函数图象之间具备“形状相共，位子分歧”的特性．类似天，还不妨通过画函数y ＝－3x2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，钻研它们图象之间的相互闭系．通过上头的钻研，咱们不妨得到以下论断：二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k(a≠0)中，a 决断了二次函数图象的启心大小及目标；h 决断了二次函数图象的安排仄移，而且“h 正左移，h 背左移”；k 决断了二次函数图象的上下仄移，而且“k 正上移，k 背下移”．由上头的论断，咱们不妨得到钻研二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的要收：由于y ＝ax2＋bx ＋c ＝a(x2＋b x a )＋c ＝a(x2＋b x a ＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a -=++，所以，y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象不妨瞅做是将函数y ＝ax2的图象做安排仄移、上下仄移得到的，于是，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)具备下列本量：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象启心进与；顶面坐标为24(,)24b ac b a a --，对付称轴为曲线x ＝－2b a；当x ＜2b a -时，y 随着x 的删大而减小；当x ＞2b a-时，y 随着x 的删大而删大；当x ＝2b a -时，函数与最小值y ＝244ac b a -．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象启心背下；顶面坐标为24(,)24b ac b a a --，对付称轴为曲线x ＝－2b a；当x ＜2b a -时，y 随着x 的删大而删大；当x ＞2b a-时，y 随着x 的删大而减小；当x ＝2b a-时，函数与最大值y ＝244ac b a -．上述二次函数的本量不妨分别通过图2．2－3战图2．2x 与何解：∵y ＝－3x2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4，∴函数图象的启心背下；对付称轴是曲线x ＝－1；顶面坐标为(－1，4)；当x ＝－1时，函数y 与最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的删大而删大；当x ＞－1时，y 随着x 的删大而减小；采与描面法画图，选顶面A(－1，4))，与x 轴接于面B 战C (，与y 轴的接面为D(0，1)，过那五面画出图象（如图2－5所示）．道明：从那个例题不妨瞅出，根据配圆后得到的本量画函图2.2－5数的图象，不妨间接选出闭键面，缩小了选面的盲目性，使画图更烦琐、图象更透彻．函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象做图办法：（1）决定启心目标：由二次项系数a 决断（2）决定对付称轴：对付称轴圆程为ab x 2-= （3）决定图象与x 轴的接面情况，①若△>0则与x 轴有二个接面，可由圆程x2＋bx ＋c=0供出②①若△=0则与x 轴有一个接面，可由圆程x2＋bx ＋c=0供出③①若△<0则与x 轴有无接面.（4）决定图象与y 轴的接面情况,令x=0得出y=c ，所以接面坐标为（0，c ）（5）由以上各果素出草图.训练：做出以下二次函数的草图（1）62--=x x y (2)122++=x x y (3)12+-=x y例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的卖价x （元）与产品的日出卖量y （件）之间闭系如下表所示：若日出卖量y 是出卖价x 的一次函数，那么，要使每天所赢得最大的成本，每件产品的出卖价应定为几元？此时每天的出卖成本是几？收会：由于每天的成本＝日出卖量y×(出卖价x －120)，日出卖量y 又是出卖价x 的一次函数，所以，欲供每天所赢得的成本最大值，最先需央供出每天的成本与出卖价x 之间的函数闭系，而后，再由它们之间的函数闭系供出每天成本的最大值．解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ）将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代进圆程，有解得 k ＝－1，b ＝200．∴y ＝－x ＋200．设每天的成本为z （元），则z ＝(－x+200)(x －120)＝－x2＋320x －24000＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 与最大值1600．问：当卖价为160元/件时，每天的成本最大，为1600元．例3 把二次函数y ＝x2＋bx ＋c 的图像进与仄移2个单位，再背左仄移4个单位，得到函数y ＝x2的图像，供b ，c 的值．解法一：y ＝x2＋bx ＋c ＝(x+2b )224b c +-，把它的图像进与仄移2个单位，再背左仄移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也便是函数y ＝x2的图像，所以， 240,220,4b b c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14．解法二：把二次函数y ＝x2＋bx ＋c 的图像进与仄移2个单位，再背左仄移4个单位，得到函数y ＝x2的图像，等价于把二次函数y ＝x2的图像背下仄移2个单位，再背左仄移4个单位，得到函数y ＝x2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x2的图像背下仄移2个单位，再背左仄移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x2－8x ＋14与函数y ＝x2＋bx ＋c 表示共一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．道明：本例的二种解法皆是利用二次函数图像的仄移顺序去办理问题，所以，共教们要坚韧掌握二次函数图像的变更顺序．那二种解法反映了二种分歧的思维要收：解法一，是间接利用条件举止正背的思维去办理的，其运算量相对付较大；而解法二，则是利用顺背思维，将本去的问题等价转移成与之等价的问题去解，具备估计量小的便宜．以后，咱们正在解题时，不妨根据题手段简曲情况，采用妥当的要收去办理问题．例4 已知函数y ＝x2，－2≤x≤a ，其中a≥－2，供该函数的最大值与最小值，并供出函数与最大值战最小值时所对付应的自变量x 的值．收会：本例中函数自变量的范畴是一个变更的范畴，需要对付a 的与值举止计划．解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x2的图象只是对付应着一个面(－2，4)，所以，函数的最大值战最小值皆是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数与最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数与最小值y ＝a2；（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数与最大值y ＝4；当x ＝0时，函数与最小值y ＝0；（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数与最大值y ＝a2；当x ＝0时，函数与最小值y ＝0．道明：正在本例中，利用了分类计划的要收，对付a 的所有大概情形举止计划．别的，本例中所钻研的二次函数的自变量的与值不是与任性的真数，而是与部分真数去钻研，正在办理那一类问题时，常常需要借帮于函数图象去曲瞅天办理问题．①图2.2－6② ③练习1．采用题：（1）下列函数图象中，顶面不正在坐标轴上的是（）（A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2（C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x （2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（）（A）背左仄移1个单位、再进与仄移2个单位得到的（B）背左仄移2个单位、再进与仄移1个单位得到的（C）背下仄移2个单位、再背左仄移1个单位得到的（D）进与仄移2个单位、再背左仄移1个单位得到的2．挖空题（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶面坐标为(1，－2)，则m＝，n＝．（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的顶面正在y轴上；当m＝时，函数图象的顶面正在x轴上；当m＝时，函数图象通过本面．（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的启心背，对付称轴为，顶面坐标为；当x＝时，函数与最值y＝；当x时，y随着x的删大而减小．3．供下列扔物线的启心目标、对付称轴、顶面坐标、最大（小）值及y随x的变更情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6 x－x2．4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x正在下列与值范畴内时，分别供函数的最大值或者最小值，并供当函数与最大（小）值时所对付应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．2.2.2 二次函数的三种表示办法通过上一小节的教习，咱们相识，二次函数不妨表示成以下二种形式：1．普遍式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶面式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶面坐标是(－h，k)．除了上述二种表示要收中，它还不妨用另一种形式去表示．为了钻研另一种表示办法，咱们先去钻研二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴接面个数．当扔物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相接时，其函数值为整，于是有ax2＋bx＋c＝0．①而且圆程①的解便是扔物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴接面的横坐标（纵坐标为整），于是，不易创造，扔物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴接面个数与圆程①的解的个数有闭，而圆程①的解的个数又与圆程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有闭，由此可知，扔物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴接面个数与根的判别式Δ＝b2－4ac 存留下列闭系：（1）当Δ＞0时，扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴有二个接面；反过去，若扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴有二个接面，则Δ＞0也创造．（2）当Δ＝0时，扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴有一个接面（扔物线的顶面）；反过去，若扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴有一个接面，则Δ＝0也创造．（3）当Δ＜0时，扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴不接面；反过去，若扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴不接面，则Δ＜0也创造．于是，若扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴有二个接面A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是圆程ax2＋bx ＋c ＝0的二根，所以x1＋x2＝b a -，x1x2＝c a，即 b a ＝－(x1＋x2)， c a＝x1x2．所以，y ＝ax2＋bx ＋c ＝a(2b c x x a a ++) = a[x2－(x1＋x2)x ＋x1x2]＝a(x －x1) (x －x2)．由上头的推导历程不妨得到底下论断：若扔物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴接于A(x1，0)，B(x2，0)二面，则其函数闭系式不妨表示为y ＝a(x －x1) (x －x2) (a≠0)．那样，也便得到了表示二次函数的第三种要收：3．接面式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴接面的横坐标．以后，正在供二次函数的表白式时，咱们不妨根据题目所提供的条件，采用普遍式、顶面式、接面式那三种表白形式中的某一形式去解题．例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶面正在曲线y＝x＋1上，而且图象通过面（3，－1），供二次函数的剖析式．收会：正在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶面位子，进而不妨将二次函数设成顶面式，再由函数图象过定面去供解出系数a．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶面的纵坐标，∴顶面的纵坐标为2．又顶面正在曲线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶面坐标是（1，2）．设该二次函数的剖析式为2=-+<，y a x a(2)1(0)∵二次函数的图像通过面（3，－1），∴2-=-+，解得a＝－2．1(32)1a∴二次函数的剖析式为2=--+，即y＝－2x2＋8x－7．y x2(2)1道明：正在解题时，由最大值决定出顶面的纵坐标，再利用顶面的位子供出顶面坐标，而后设出二次函数的顶面式，最后办理了问题．果此，正在解题时，要充分掘掘题目所给的条件，并巧妙天力用条件简便天办理问题．例2 已知二次函数的图象过面(－3，0)，(1，0)，且顶面到x轴的距离等于2，供此二次函数的表白式．收会一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的二面本量上便是二次函数的图象与x 轴的接面坐标，于是不妨将函数的表白式设成接面式．解法一：∵二次函数的图象过面(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a(x ＋3) (x －1) (a≠0)，展启，得 y ＝ax2＋2ax －3a ，顶面的纵坐标为 2212444a a a a--=-，由于二次函数图象的顶面到x 轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a ＝12±．所以，二次函数的表白式为y ＝21322x x +-，或者y ＝－21322x x -+．收会二：由于二次函数的图象过面(－3，0)，(1，0)，所以，对付称轴为曲线x ＝－1，又由顶面到x 轴的距离为2，可知顶面的纵坐标为2，或者－2，于是，又不妨将二次函数的表白式设成顶面式去解，而后再利用图象过面(－3，0)，或者(1，0)，便不妨供得函数的表白式．解法二：∵二次函数的图象过面(－3，0)，(1，0)，∴对付称轴为曲线x ＝－1．又顶面到x 轴的距离为2，∴顶面的纵坐标为2，或者－2．于是可设二次函数为y ＝a(x ＋1)2＋2，或者y ＝a(x ＋1)2－2，由于函数图象过面(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或者0＝a(1＋1)2－2．∴a ＝－12，或者a ＝12．所以，所供的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或者y ＝12(x ＋1)2－2．道明：上述二种解法分别从与x轴的接面坐标及顶面的坐标那二个分歧角度，利用接面式战顶面式去解题，正在以后的解题历程中，要擅于利用条件，采用妥当的要收去办理问题．例3 已知二次函数的图象过面(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，供此二次函数的表白式．解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过面(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所供的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．通过上头的几道例题，共教们是可归纳出：正在什么情况下，分别利用函数的普遍式、顶面式、接面式去供二次函数的表白式？练习1．采用题:（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的接面个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法决定（2）函数y＝－12(x＋1)2＋2的顶面坐标是（）（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)2．挖空：（1）已知二次函数的图象通过与x轴接于面(－1，0)战(2，0)，则该二次函数的剖析式可设为y＝a(a≠0) ．（2）二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴二接面之间的距离为．3．根据下列条件，供二次函数的剖析式．（1）图象通过面(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x＝3时，函数有最小值5，且通过面(1，11)；（3）函数图象与x轴接于二面(1－2，0)战(1＋2，0)，并与y轴接于(0，－2)．2.2.3 二次函数的简朴应用一、函数图象的仄移变更与对付称变更1．仄移变更问题1 正在把二次函数的图象举止仄移时，有什么特性？依据那一特性，不妨何如去钻研二次函数的图象仄移？咱们不易创造：正在对付二次函数的图象举止仄移时，具备那样的特性——只改变函数图象的位子、不改变其形状，果此，正在钻研二次函数的图象仄移问题时，只需利用二次函数图象的顶面式钻研其顶面的位子即可．例1供把二次函数y＝x2－4x＋3的图象通过下列仄移变更后得到的图象所对付应的函数剖析式：（1）背左仄移2个单位，背下仄移1个单位；（2）进与仄移3个单位，背左仄移2个单位．收会：由于仄移变更只改变函数图象的位子而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶面位子（即只改变一次项战常数项），所以，最先将二次函数的剖析式变形为顶面式，而后，再依据仄移变更后的二次函数图象的顶面位子供出仄移后函数图像所对付应的剖析式．解：二次函数y＝2x2－4x－3的剖析式可形成y＝2(x－1)2－1，其顶面坐标为(1，－1)．（1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象背左仄移2个单位，背下仄移1个单位后，其函数图象的顶面坐标是(3，－2)，。

中学初高中数学衔接教材

中学初高中数学衔接教材目录引入乘法公式第一讲因式分解 1. 1 提取公因式1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差） 1. 3分组分解法1. 4十字相乘法（重、难点）1. 5关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．第二讲函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用第三讲三角形的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数第一讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。

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目录第一章数与式1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4 分式1.2 分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表达方式2.2.3 二次函数的应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1 相似形3.1.1 平行线分线段成比例定理3.1.2 相似三角形形的性质与判定3.2 三角形3.2.1 三角形的五心3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3 圆3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理3.3.2 点的轨迹3.3.3 四点共圆的性质与判定3.3.4 直线和圆的方程〔选学〕1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①假设1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1， ∴x ＜0；②假设12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③假设3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4，解得x ＞4．又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点 A B C P |x －1| |x －3|图1．1－1练习 1．填空：〔1〕假设5=x ，那么x =_________；假设4-=x ，那么x =_________.〔2〕如果5=+b a ，且1-=a ，那么b ＝________；假设21=-c ，那么c ＝________. 2．选择题：以下表达正确的选项是〔〕〔A 〕假设a b =，那么a b = 〔B 〕假设a b >，那么a b > 〔C 〕假设a b <，那么a b < 〔D 〕假设a b =，那么a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|〔x ＞5〕．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式：〔1〕平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；〔2〕完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式：〔1〕立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；〔2〕立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；〔3〕三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；〔4〕两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；〔5〕两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．例2 4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习 1．填空：〔1〕221111()9423a b b a -=+〔〕；〔2〕(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：〔〕〔A 〕2m 〔B 〕214m 〔C 〕213m 〔D 〕2116m 〔2〕不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值〔〕〔A 〕总是正数〔B 〕总是负数〔C 〕可以是零〔D 〕可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b 等是无理式，而21x ++，22x y ++ 1．分母〔子〕有理化把分母〔子〕中的根号化去，叫做分母〔子〕有理化．为了进行分母〔子〕有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式与，等等．一般地，，，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的根底上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将以下式子化为最简二次根式：〔1 〔20)a ≥；〔30)x <．解：〔1=〔20)a ==≥；〔3220)x x x ==-<．例2 (3．＝393-＝1)6＝12．解法二：(3-＝＝＝＝＝例3 试比拟以下各组数的大小：〔1 〔2.解：〔11===，1===，>．〔2〕∵=== 又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，＜例4 化简：20042005+⋅．解：20042005⋅-＝20042004⋅⋅＝2004⎡⎤+⋅-⋅-⎣⎦＝20041⋅例 5 化简：〔1；〔21)x <<．解：〔1〕原式===2=-2=-．〔2〕原式1x x=-， ∵01x <<，∴11x x >>，所以，原式＝1x x-．例 6 x y ==22353x xy y -+的值．1xy==，∴22223533()1131011289x xyy x y xy-+=+-=⨯-=．练习1．填空：〔1＝__ ___；〔2(x=-x的取值范围是_ ____；〔3〕=__ ___；〔4〕假设2x=+=________．2．选择题：等式=成立的条件是〔〕〔A〕2x≠〔B〕0x>〔C〕2x>〔D〕02x<<3．假设ba=，求a b+的值．4．比拟大小：2－4〔填“＞〞，或“＜〞〕．1.1.４．分式1．分式的意义形如AB的式子，假设B中含有字母，且0B≠，那么称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有以下性质：A A MB B M⨯=⨯；A A MB B M÷=÷．上述性质被称为分式的根本性质．2．繁分式像abc d+，2m n pmn p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1假设54x A B+=+，求常数,A B的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x xx x x x x x x ++++++===++++， ∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2 〔1〕试证：111(1)1n n n n =-++〔其中n 是正整数〕；〔2〕计算：1111223910+++⨯⨯⨯；〔3〕证明：对任意大于1的正整数n ，有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+．〔1〕证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，∴111(1)1n n n n =-++〔其中n 是正整数〕成立．〔2〕解：由〔1〕可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++-1110=- ＝910．〔3〕证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+＝111111()()()23341n n -+-++-+＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1 一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+＜12 ．例3 设c e a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．练习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)； 2．选择题：假设223x y x y -=+，那么x y＝〔〕〔A 〕１〔B 〕54 〔C 〕45〔D 〕653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x yx y-+的值．1111习题1．1 A 组1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．２．1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：〔1〕1819(2(2+＝________；〔22=，那么a 的取值范围是________；〔3=________．B 组1．填空：〔1〕12a =，13b =，那么2223352a ab a ab b -=+-____ ____；〔2〕假设2220x xy y +-=，那么22223x xy y x y++=+__ __；2．：11,23x y ==的值． C 组1．选择题：〔1〕假设=，那么〔〕〔A 〕a b < 〔B 〕a b > 〔C 〕0a b << 〔D 〕0b a <<〔2〕计算等于〔〕〔A〔B 〔C 〕〔D 〕2．解方程22112()3()10x x x x +-+-=． 3．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14． 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法〔3〕22()x a b xy aby -++；〔4〕1xy x y -+-．解：〔1〕如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示〔如图1．1－2所示〕．〔2〕由图1．1－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．〔3〕由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- 〔4〕1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1 ＝(x －1) (y+1) 〔如图1．1－5所示〕．课堂练习一、填空题：1、把以下各式分解因式：〔1〕=-+652x x __________________________________________________。