分式运算技巧

分式

概念

△

形如忍（A、B是，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。且当分式的分子的低于分母的次数时，我们把这个分式叫做；当分式的分子的高于分母的次数时，我们把这个分式叫做。

注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是豆的形式，关键要满足：分式的中必须含有，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。

由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

方法：数看结果，式看形。

分式条件：

1. 分式有意义条件：分母不为o。

2. 分式值为0条件：分子为0且分母不为0。

3. 分式值为正（负）数条件：分子分母同号得正，异号得负。

4. 分式值为1的条件：分子=分母工0

5. 分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。

代数式分类

和分式统称为。

带有且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无理式和有理式统称式。

分式的基本性质

分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为:

A _A K C_ A^-C

B ~ Bx

C ~ B^C（为整式，且B、80）

运算法则

约分

根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的。

约分步骤：

1. 如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式，将它们的公因式约去。

2. 分式的分子和分母都是，将分子和分母分别，再将公因式约去。

公因式的提取方法：取分子和分母系数的，字母取分子和分母共有的字母，取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

:一个分式不能时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。

通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

分式的乘法法则：

（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

a G ac

—X —=—

用字母表示为：b i bd

分式的加减法法则：

同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用字母表示为：

a c ad b匚 nd 士be

—±——— ±—— ------------------- b d bd bd bd

异分母分式的加减法法则

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则 进行计算。

分式的除法法则：

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

a c _ a d _ ad

■T - ---------- ----------- --------------------- -------------------- ----------------------------

除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数

b d b

c be

乘方

分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分，最后化成最简:

即二兰

\b ） b n

分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 分式方程的解法：

（1）去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程） （2 ）按解整式方程的步骤求出未知数的值

（3）验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大 了未知数的取值范围，可能产生增根）。

分式方程解法的归纳:

解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”， 即方程两边同

乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。

【基础精讲】

一、分式的概念

1、正确理解分式的概念:

中，属于整式的有： _____________ ;属于分式的有:

1

【例1】有理式（1）

3x y 3

(5)

1 x -1

(6)-

2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零

错解：x 3时原分式有意义.

（2）不要随意用“或”与“且”。

例如当时，分式。一巧有意义？

错解：由分母 - ' " ' ： _，得，"心一 °

3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制.

x 1 x 2 1

x_时，分式 无意义.当x_时，分式

值为0.

x -1

x —1

二、分式的基本性质：

1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变

（1）分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基 础，因此，我们要正

确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它.理解分式的基本性质 时，必须注意： ① 分式的基本性质中的 A 、B M 表示的都是整式. ② 在分式的基本性质中，

M 0.

③ 分子、分母必须“同时”乘以

M 昨0），不要只乘分子（或分母）.

④ 性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式 的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的. ⑵注意：

① 根据分式的基本性质有：分式的分子、 分母与分式本身的符号， 改变其中任何两个， 分式

的值不变.

② 分式的基本性质是一切分式运算的基础 ，分子与分母只能同乘以（或除以）同一个不等于零

的整式，而不能同时加上（或减去）同一个整式 【例3】下列变形正确的是（

）

（1）例如，当x 为

__________ 时，分式 —有意义.

3

x 1

当x_时，分式D 有意义•当

x -1