分式运算技巧
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
分式运算的技巧方法
分式运算的技巧方法分式运算是数学中的一种运算方法，主要涉及到分数的加减乘除等运算。
下面给出一些分式运算的技巧方法：一、分式的加减运算：1.确定两个分式的分母是否相同，如果相同，则可以直接将两个分子相加或相减，分母保持不变。
2.如果分母不同，则需要寻找一个公共分母，并通过乘以适当的因数将分子和分母都变换为公共分母的倍数。
最后再将两个分子相加或相减。
二、分式的乘除运算：1.分式的乘法是将两个分式的分子相乘，并将分母相乘，得到的分子和分母再化简为最简形式。
2.分式的除法是将除数的分子和被除数的分母相乘，除数的分母和被除数的分子相乘，再将两个分子相除，两个分母相除，得到的分子和分母再化简为最简形式。
3.对于有多个分式相乘或相除的情况，可以先进行一些分式的合并，再进行乘除运算。
三、分式的化简：1.将分子和分母的最大公因数约分，使得分式变为最简形式。
2.将分子和分母进行因式分解，然后进行约分化简。
3.分式相加或相减时，可以先将分子和分母的最小公倍数作为公共分母，再进行化简运算。
四、分式的整理：1.将分式中的分子和分母按照一定的规律整理成一个分数或者整数。
2.使用括号来整理分子或分母，减少操作的复杂性和错误的发生。
五、化简复杂分式：1.对于复杂的分式，可以先分解分子和分母，再进行化简运算。
2.对于双重分式（一个分子或分母是另一个分式的情况），可以使用变量来进行整理和化简。
3.对于有多个分式相加或相减的情况，可以先将分式按照一定的规律进行合并，再进行化简运算。
六、变量的运算：1.在分式中使用变量进行运算时，可以运用代数的基本运算规则进行计算。
2.在变量的运算中，可以利用代数的性质进行合并和化简，最后得到一个最简形式。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法1.分数的乘法和除法：分数的乘法：分数的乘法可以直接将分子和分母相乘。
例如，计算2/3*4/5，可以直接计算出8/15分数的除法：分数的除法可以转化为乘法的逆运算。
例如，计算2/3÷4/5，可以将除法转化为乘法，即2/3*5/4=10/12，再进行约分得到5/62.分数的加法和减法：分数的加法：对于相同分母的分数，直接将分子相加即可；对于不同分母的分数，需要先进行通分，然后再进行相加。
例如，计算2/3+4/5，需要先找到两个分数的最小公倍数（如15），然后进行通分，计算得到10/15+12/15=22/15分数的减法：分数的减法可以转化为加法的逆运算。
例如，计算2/3-4/5，可以将减法转化为加法，即2/3+(-4/5)=10/15+(-12/15)=-2/153.分数的化简：分数的化简即将分数表示成最简形式。
最简形式的分数是指分子和分母没有公共因子，即它们的最大公约数为1、例如，将4/6化简成最简形式，找到最大公约数（如2），然后将分子和分母同时除以最大公约数，得到2/3化简还可以使用质因数分解的方法，将分子和分母分别进行质因数分解，然后约去公共的质因数。
例如，将20/30化简成最简形式，将分子和分母分别进行质因数分解（20=2*2*5，30=2*3*5），然后约去公共的质因数2和5，得到2/34.分数的比较：分数的比较可以通过交叉相乘的方法。
对于两个分数a/b和c/d，可以将它们转换为分数的乘法形式，即a/b和c/d可以写成a*d和b*c。
然后，将乘积进行比较，即比较a*d和b*c的大小。
例如，比较2/3和3/5的大小，可以计算2*5和3*3的大小，得到10和9，所以2/3大于3/55.分数的倒数和相反数：分数的倒数是指分子和分母互换位置，例如，分数3/4的倒数即为4/3、分数的相反数是指分子加上负号，例如，分数3/4的相反数即为-3/46.分式方程的解法：对于含有分式的方程，可以通过通分、化简、消去分母等方法进行求解。
分式技巧
一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分 例1 计算2312+++x x x +4222--x xx2、分离整数 例2 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x3、裂项相消 例3 计算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x4、分组通分 例4 计算21-a +12+a -12-a -21+a二、分式方程的特殊解法1、交叉相乘法 例1．解方程：231+=x x2、化归法 例2．解方程：012112=---x x3、左边通分法 例3：解方程：87178=----x x x4、分子对等法 例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+5、观察比较法 例5．解方程：417425254=-+-x x x x6、分离常数法 例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x7、分组通分法 例7．解方程：41315121+++=+++x x x x三、条件分式求值的常用技巧1、整体代入法例1. 若分式73222++y y 的值为41，则21461y y +-的值为 . 例2. 已知a 1+b 1=4，则bab a b ab a 323434-+-++= 。
例3. 已知a 2-3a+1=0，求142+a a 的值。
2、参数法例4. 已知c z b y a x ==，求证：22ax ca bc ab zx yz xy =++++例5.已知532-==z y x ，求xz y x 232++的值．三、倒数法例6.已知a 1+b 1=61，b 1+c 1=91，a 1+c 1=151，求bc ac ab abc ++的值。
例7.已知,,,0.xy xz yz a b c abc x y x z y z===≠+++且求证ab ac bc abc x -+=2四、主元法例8.已知：2a-3b+c=0,3a-2b-6c=0,且abc ≠0,求2223333242ac c b b a c b a +-+-的值．例9.已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0，求2ab bc ca b++的值.五、变形代入法 例10.（非负变形）. 已知：2286250a b a b +-++=，求22222644a ab b a ab b ---+的值.例11.（归类变形）. 已知a c c b b a 111+=+=+，且a 、b 、c 互不相等，求证：1222=c b a。
分式加减法运算法则
分式加减法运算法则分式加减法运算法则：1. 分式加法：分式加法是把分子相加或者相减，而分母保持不变，用一个新分式来表示和或差。
一般格式是：（分子1/分母）➕（分子2/分母）=（分子1+分子2/分母）。
2. 分式减法：分式减法也是把分子相减或者相加，而分母保持不变，用一个新分式来表示差。
一般格式是：（分子1/分母）➖（分子2/分母）=（分子1-分子2/分母）。
3. 分式整体乘法：分式整体乘法是将两个分式的分子相乘，而分母相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）×（分子2/分母2）=（分子1×分子2/分母1×分母2）。
4. 分式整体除法：分式整体除法是将分式的分母相乘，而分子相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）÷（分子2/分母2）=（分子1×分母2/分母1×分子2）。
5. 一般的分式的运算：在分式加减法和分式乘除法之后，还可以进行一般的计算，比如：（分子/分母）+（x/分母）+3=（分子+x+3×分母/分母）。
其中的 +x 和+3 就是一般的计算。
因此，在做分式加减法和乘除法的时候，我们首先要确定每个分式中分子和分母，然后根据其法则做整体或一般计算，得出正确结果。
此外，分母一般不能为0，否则会出现无穷大或者不可定义解答；分子和分母要使用相同的符号，否则会导致结果的正负不正确；如果分子和分母出现了负数，要根据实际情况将负号带到分子或者分母，以便能够得到正确的答案。
此外，分式的运算还有一个重要的技巧，即分数化简，就是用数学技巧找出分数的最简形式。
常用的分数化简诀窍就是先分子分母分别除以最大公约数，然后将分子和分母比较，可以将分母统一为最小值，再算出最终结果。
例如，有分式等式：（4/8）=（2/4），明显可以看出它们的最简形式应该为：（1/2）=（1/2），所以，我们只要在做分数运算的时候注意分数化简，就可以得出正确的答案。
总之，分式加减法和乘除法运算都要掌握其基本原理和规律，熟悉一般计算技巧，注意分数化简，以及分母不能为0，就可以得出正确的结果了。
小学数学中的简单分式运算技巧
小学数学中的简单分式运算技巧在小学数学中，分式运算是一个相对简单但又重要的概念。
掌握一些简单的分式运算技巧可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
本文将介绍一些小学数学中的简单分式运算技巧，帮助学生们提高计算效率和准确性。
1. 分数的加法和减法在小学数学中，我们经常需要对分数进行加法和减法运算。
当分母相同时，我们可以直接将分子相加或相减，并保持分母不变。
例如，计算1/4 + 2/4，我们只需要将分子1和2相加得到3，然后写上共同的分母4，答案为3/4。
同样地，对于减法运算，我们也是将分子相减，并保持分母不变。
当分母不同时，我们可以通过找到它们的最小公倍数，将分母变成相同的，并保持分子不变。
例如，计算1/3 + 1/4，我们可以找到它们的最小公倍数为12，然后将分子和分母分别乘以相应的倍数，得到4/12 + 3/12 = 7/12。
2. 分数的乘法在小学数学中，分数的乘法可以通过将分子相乘，分母相乘来完成。
例如，计算1/3 × 2/5，我们将分子1乘以2得到2，将分母3乘以5得到15，答案为2/15。
3. 分数的除法分数的除法可以通过将除数的倒数乘以被除数来完成。
倒数是指在分数中，将分数的分子和分母对调位置。
例如，计算1/3 ÷ 2/5，我们可以将除数2/5的倒数变成5/2，然后乘以被除数1/3，得到5/2 × 1/3 =5/6。
4. 分数的化简分数的化简是指将一个分数表示为最简形式，即将分子和分母的公因数约分至最小。
例如，对于分数4/8，我们可以将分子和分母同时除以它们的最大公因数4，得到1/2。
5. 分数的比较在小学数学中，我们经常需要对分数进行比较大小。
当分母相同时，我们可以比较分子的大小。
例如，比较1/3和2/3的大小，由于分母相同，我们可以直接比较分子的大小，答案为1/3 < 2/3。
同样地，当分母不同时，我们可以找到它们的相等分数，然后比较分子的大小。
百分数的分式运算
百分数的分式运算
技巧一：约分计算法
在先通分比较麻烦的情况下，我们可以先分子分母因式分解。
因式分解后进行约分，最后再通分计算。
可以通过加括号或化为分母为1的分数，将整数部分看成一个整体。
再进行化简通分得出答案。
技巧三：换元通分法
在分式中有相同的复杂项时，（如例题）可以通过换元的方法，使计算更加简单。
注意，整理结束后要将原式转换回来。
技巧四：顺次相加法
当分式项数过多、分母不同，不容易通分时。
我们采用顺次相加的方法提高正确率。
先把前两个分式计算整理，将所得结果和第三个式子通分化简，最后再和第四个式子通分化简。
技巧五：裂项相消法 1/n(n+1)=1/n-1/n+1
根据公式把每一项写成两个分式差的形式。
分裂后各项相加减只剩下头和尾，即可求得结果。
技巧六：消元法
用于分式中未知数过多的情况。
通过各未知数之间的数量关系化简并达到消元的目的，（如例题）
将含未知数的代数式代入所求式，化简约分，得到结果。
技巧七：倒数求值法
当分母的次数大于分子的次数时，可把分子分母颠倒。
利用已知条件，将其分子分母颠倒得到化简后的式子。
整理并将式子代入所求分式的倒数，化简得出结果。
注意: 结果要再次颠倒回来!
技巧八：整体代入法
根据已知条件，不需要将所有未知数都求出来，只需要得到我们所需要的整体结果。
如例题：将3个已知式子整理得出1/a+1/b+1/c的值。
再把所求式子化简成含有1/a+1/b+1/c的式子，代入求值即可得出结果。
分式的乘除运算与简化规则
分式的乘除运算与简化规则在分式的乘除运算与简化规则方面，有一些基本的知识和方法可以帮助我们解决问题。
本文将在此基础上详细介绍分式的乘除运算以及简化规则，并通过示例来加深理解。
让我们一起来探索吧！一、分式的乘法运算分式的乘法运算是指两个分式相乘的操作。
具体计算方法如下：1. 乘法法则：两个分式相乘，先将分子相乘，再将分母相乘。
例如：(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)2. 乘法简化：如果分子和分母有公因数，可以约去这些公因数，使分式更简洁。
例如：(4/6) * (9/12) = (4*9) / (6*12) = 36 / 72= 1 / 2 (将分子和分母都除以公因数12得到简化形式)二、分式的除法运算分式的除法运算是指将一个分式除以另一个分式的操作。
具体计算方法如下：1. 除法法则：两个分式相除，先将除数的分子乘以被除数的分母，再将除数的分母乘以被除数的分子。
例如：(a/b) ÷ (c/d) = (a * d) / (b * c)2. 除法简化：如果分子和分母有公因数，可以约去这些公因数，使分式更简洁。
例如：(12/15) ÷ (8/10) = (12*10) / (15*8) = 120 / 120= 1 (将分子和分母都除以公因数120得到简化形式)三、分式的简化规则分式的简化规则是指将分子和分母中的公因数约去，使分式达到最简形式。
简化规则如下：1. 寻找公因数：分子与分母中有相同的因数，即为公因数。
例如：分式3/6中，公因数为3。
2. 约去公因数：将分子和分母都除以最大公因数，得到简化形式。
例如：分式3/6可以约去公因数3，得到最简形式1/2。
四、示例分析接下来，我们通过一些示例来加深理解分式的乘除运算和简化规则。
1. 示例一：计算分式的乘法运算和简化已知 (2/3) * (9/10)，我们按照乘法法则进行计算：(2/3) * (9/10) = (2 * 9) / (3 * 10) = 18 / 30将分子和分母都约去公因数6，得到最简形式 3 / 5。
分式运算的若干技巧
分式运算的若干技巧
在数学中，分式的运算经常被用来解决一些复杂的方程，这使得计算机科学、物理学及工程学方面的研究都变得更加得心应手。
尽管分式运算看起来有点复杂，但是通过一些有效的技巧，可以让分式运算变得简单易行。
以下是一些有效的分式运算技巧：
1、约分：约分是分式运算中最基本也是最常用的技巧，约分的目的是将分子和分母同时约简，在计算机科学上分式约分可以减少计算量，同时也有助于保持正确的结果。
2、简单运算：有时候分式运算中也可以使用简单运算，比如加减乘除等操作，比如：2/3 + 3/4 = 10/12。
3、使用分母的公约数：如果要将两个或多个分式相加减，那么，可以先将分母转化为同一个公约数，然后在进行加减操作，比如：2/3 + 3/4 = 8/12。
4、共轭分式：共轭分式是一种特殊的分式，其分子和分母的和等于1。
这种可以使用在分式的乘法、除法中，比如：3/5 * 5/3 = 3/5 * 3/5 = 1/1。
5、指数运算：指数不仅可以用来记录分式，也可以用来解决分式运算中的问题，比如：(2/3)^2 = 4/9。
6、求分式的逆数：对于一般的分式，求其逆数的步骤是：将分子和分母互换，然后用分子的取反数再除以分母，比如：2/3的逆数为：-2/3。
7、分式的混合运算：有时候也可以在分式运算中结合上述种运
算来完成混合运算，比如：(2/3 + 3/4) * 5/6 = 20/36。
以上就是一些常见的分式运算技巧，其实还有更多复杂的技巧，这里只是简单介绍了一些最基本的运算技巧。
当然，想要掌握这些技巧，不光是要理论知识，更重要的是要多加练习，不断的练习才能掌握这些技巧，实现分式运算中的高效率。
分式运算的八种技巧
技巧1、直接约分法:
通过公式提公因式，直接约分即可！技巧2、整体通分法:
技巧3:顺次相加法:
先计算前两项，通分化简的结果再和第三项结合计算！技巧4:通分换元法
每个多项式有相同项的时候，可以考虑换技巧5:裂项相消法:
通过把每一项变形，达到与其它项相抵消技巧6:整体带入法
每一项通分整理后，把相同的项整体带入
技巧7:倒数求值法
直接求不方便，可先求其倒数
技巧8:消元法
多个参数计算，可用一个参数表示出其它
分式的基本性质，以及通分、约分都是分式运算的基础！。
分式运算的几种技巧
分式运算的几种技巧分式运算是数学中常见的一种运算形式，也是解决实际问题中经常使用的一种方法。
在进行分式运算时，我们可以运用一些技巧来简化运算，提高计算效率。
下面将介绍几种常用的分式运算技巧。
1.化简分式化简分式是指将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去分子和分母中的公因式。
这样可以使分式的形式变得更简单，计算也更方便。
例如，对于分式$\dfrac{4x^2}{8x^3}$，我们可以将分子和分母都除以$4x^2$，得到$\dfrac{1}{2x}$。
2.扩展分式扩展分式是指将分数表达式进行相乘或相除，以得到更大的分子或分母。
这种方法在化简有理函数、做分式方程的分母有理化等问题中经常使用。
例如，对于分数$\dfrac{1}{2}$，如果要得到一个分子为3的分式，我们可以将$\dfrac{1}{2}$扩展为$\dfrac{3}{6}$。
3.分解分式分解分式是指将分式分解为其它分式的和或差。
这种方法在化简复杂的分式、分数的加减运算等问题中非常有用。
例如，对于分式$\dfrac{3x+6}{2x+4}$，我们可以将其分解为$\dfrac{3(x+2)}{2(x+2)}$，然后约去分子和分母中的公因式，得到$\dfrac{3}{2}$。
4.分数的合并与拆分分数的合并与拆分是指将多个分数合并成一个分数，或者将一个分数拆分成多个分数。
这种方法在分数的加减运算中经常使用。
例如，对于两个分数$\dfrac{2}{3}$和$\dfrac{5}{6}$，如果要将它们合并成一个分数，我们可以找到它们的最小公倍数为6，然后将分子相加得到$\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{9}{6}$。
如果要将一个分数拆分成多个分数，我们可以找到它们的最大公约数，然后将分子和分母同时除以最大公约数。
5.分式的通分通分是指将两个或多个分母不同的分式的分母进行相乘，使它们的分母相同。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式，掌握一些常用的技巧和方法可以帮助我们更快、更准确地进行计算。
以下是一些分式运算的常用技巧和方法：一、化简与约分：化简和约分是分式运算的基本操作，可以简化分式，使其更容易处理。
化简分式的方法有：1.因式分解：将分子和分母同除以其最大公因数，化简为最简形式的分式。
2.合并同类项：对于分子或分母中含有多项的情况，将同类项相加或相减，化简为简单的形式。
3.分解为部分分式：一些分式可以通过分解为部分分式的形式进行化简，如等式两端分别乘以一个分子时。
二、通分：当两个分式的分母不同时，我们需要将分母化为相同的公分母，这个过程称为通分。
通分的方法有：1.找到两个分母的最小公倍数，在分子和分母同时乘上适当的倍数，使得两个分母相等。
2.当两个分式的分母为一次因式的幂指时，可以将较高次幂的分母分解为较低次幂的分母，再进行通分。
三、分式的加减运算：分式的加减运算可以通过通分和合并同类项来进行。
具体的步骤如下：1.找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。
2.将两个分式的分子乘以一个适当的倍数，使得它们的分母相同。
乘上的倍数可以通过最小公倍数与原分母的比值得到。
3.合并同类项，将分子进行相加或相减。
四、分式的乘除运算：分式的乘除运算可以通过相乘或相除的方式进行。
具体的步骤如下：1.乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分子和分母后化简。
2.除法：将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，得到新的分子和分母后化简。
五、分式的倒数和幂运算：分式的倒数就是将分子和分母互换的操作。
分式的幂运算可以通过将分子和分母同时进行幂运算来进行。
六、一些特殊的分式运算：除了以上常见的分式运算方法，还有一些特殊的分式运算，如：1.分式的比较大小：将两个分式的分子和分母相乘后进行比较。
2.分式的求值：将分式中的变量替换为具体的数值进行计算。
分式的运算法则
分式的运算一.通分的方法:1.分式通分的涵义和分数通分的涵义有类似的地方;(1)把异分母分式化为同分母分式; (2)同时必须使化得的分式和原来的分式分别相等;(3)通分的根据是分式的根本性质,且取各分式分母的最简公分母,否那么使运算变得烦琐.2.求最简公分母是通分的关键,其法那么是:(1)取各分母系数的最小公倍数;(2)凡出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取;(3)一样字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最高的.这样取出的因式的积,就是最简公分母.例1.通分:解:∵8,12,20的最小公倍数为120,字母因式x、y、z的最高次幂分别为x3、y3、z2,所以最简公分母是120x3y3z2.∴.通分过程中,如果字母的系数是负数,一般先把负号提到分式的前面.例2.通分:解:将分母分解因式:a2-b2=(a+b)(a-b);b-a=-(a-b) ∴最简公分母为(a+b)(a-b)2∴[分子,分母同乘以(a-b)]=[分子作整式乘法]∴[分子,分母同乘以(a+b)]=[分子作整式乘法]∴[分子,分母同乘以(a+b)(a-b)]=-[分子作整式乘法]说明: (1)分式的通分必须注意整个分子和整个分母,分母是多项式时,必须先分解因式,分子是多项式时,要把分母所乘的一样式子与这个多项式相乘,而不能只同其中某一项相乘。
(2)通分是和约分相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去.将分式化为较简单的形式;通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以一样的因式,使几个较简单的分式变成分母一样的较复杂的形式。
约分是对一个分式而言的;通分那么是对两个或两个以上的分式来说的。
二.分式的乘除法:1.同分数乘除法类似,分式乘除法的法那么用式子表示是：，其中a、b、c、d可以代表数也可以代表含有字母的整式.2.分式乘除法的运算.归根到底是乘法的运算,当分子和分母是多项式时,一般应先进展因式分解,再约分。
3.整式和分式进展运算时,可以把整式看成分母为1的分式。
分式计算及方法
分式计算及方法
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一. 分段分步法
例1. 计算：
解：原式
说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
同类方法练习题：计算
（答案：）
二. 分裂整数法
例2. 计算：
解：原式=
说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，
各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。
在解某些分式方程中，也可使用拆项法。
同类方法练习题：计算：
（答案：）
四. 活用乘法公式
例4. 计算：
解：当时，
原式
说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。
同类方法练习题：计算：
（答案：）
五. 巧选运算顺序
例5. 计算：
解：原式
说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。
同类方法练习题：解方程
（答案：）
六. 见繁化简
例6. 计算：
解：原式
说明：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。
同类方法练习题：解方程
（答案：）
在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。
方能起到事半功倍的效率。
分式的加减法运算技巧及应用场景
分式的加减法运算技巧及应用场景一、分式的加减法运算技巧1.分式的概念与基本性质–分式是指有分数形式的表达式，一般形式为 a/b，其中 a 和 b 都是整式，且b ≠ 0。
–分式的基本性质包括：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
2.分式的加减法原则–同分母分式相加减，分子相加减，分母保持不变。
–异分母分式相加减，先通分，再按照同分母分式相加减的方法进行计算。
3.分式的加减法步骤–判断分式是否为同分母，若是同分母，则直接相加减分子的对应项。
–若异分母，则先进行通分，即将分式化为同分母分式，再进行相加减。
–通分的方法：求最简公分母，将各个分式的分母乘以相应的倍数，使得分母相同。
4.最简公分母的求法–最简公分母是指几个分式的分母的最小公倍数，且不含有公因数。
–求最简公分母的方法：分别对各个分式的分母进行质因数分解，取各个质因数的最高次幂的乘积。
5.通分后的计算方法–通分后，分式的分子相加减，分母保持不变。
–计算过程中，注意化简分式，使其保持最简形式。
二、分式的应用场景1.溶液稀释问题–溶液的稀释问题中，浓度与体积的关系可以表示为分式，通过分式的加减法运算，可以求得稀释后的浓度。
2.分数运算问题–在解决分数运算问题时，如分数的加减乘除等，可利用分式的加减法技巧进行计算。
3.比例问题–在解决比例问题时，如求解比例系数，可以将比例关系表示为分式，通过分式的加减法运算求解。
4.几何问题–在解决几何问题时，如求解三角形面积、相似三角形问题等，可以将相关量表示为分式，利用分式的加减法运算求解。
5.函数问题–在解决函数问题时，如求解分段函数的值域、函数的交点等，可以将函数表达式表示为分式，利用分式的加减法运算求解。
6.实际应用问题–在解决实际应用问题时，如经济问题、物理问题等，可以将相关量表示为分式，利用分式的加减法运算求解。
通过以上分式的加减法运算技巧及应用场景的学习，可以更好地理解和运用分式，提高解决实际问题的能力。
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分式概念△形如忍（A、B是，B中含有字母）的式子叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
且当分式的分子的低于分母的次数时，我们把这个分式叫做；当分式的分子的高于分母的次数时，我们把这个分式叫做。
注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是豆的形式，关键要满足：分式的中必须含有，分子分母均为整式。
无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。
由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。
方法：数看结果，式看形。
分式条件：1. 分式有意义条件：分母不为o。
2. 分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3. 分式值为正（负）数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4. 分式值为1的条件：分子=分母工05. 分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
代数式分类和分式统称为。
带有且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无理式和有理式统称式。
分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为:A _A K C_ A^-CB ~ BxC ~ B^C（为整式，且B、80）运算法则约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的。
约分步骤：1. 如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式，将它们的公因式约去。
2. 分式的分子和分母都是，将分子和分母分别，再将公因式约去。
公因式的提取方法：取分子和分母系数的，字母取分子和分母共有的字母，取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
:一个分式不能时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
分式的乘法法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
a G ac—X —=—用字母表示为：b i bd分式的加减法法则：同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用字母表示为：a c ad b匚 nd 士be—±——— ±—— ------------------- b d bd bd bd异分母分式的加减法法则异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则 进行计算。
分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
a c _ a d _ ad■T - ---------- ----------- --------------------- -------------------- ----------------------------除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数b d bc be乘方分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分，最后化成最简:即二兰\b ） b n分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的解法：（1）去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程） （2 ）按解整式方程的步骤求出未知数的值（3）验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大 了未知数的取值范围，可能产生增根）。
分式方程解法的归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”， 即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。
【基础精讲】一、分式的概念1、正确理解分式的概念:中，属于整式的有： _____________ ;属于分式的有:1【例1】有理式（1）3x y 3(5)1 x -1(6)-2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零错解：x 3时原分式有意义.（2）不要随意用“或”与“且”。
例如当时，分式。
一巧有意义？错解：由分母 - ' " ' ： _，得，"心一 °3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制.x 1 x 2 1x_时，分式 无意义.当x_时，分式值为0.x -1x —1二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变（1）分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基 础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它.理解分式的基本性质 时，必须注意： ① 分式的基本性质中的 A 、B M 表示的都是整式. ② 在分式的基本性质中，M 0.③ 分子、分母必须“同时”乘以M 昨0），不要只乘分子（或分母）.④ 性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式 的值是相等的。
但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的. ⑵注意：① 根据分式的基本性质有：分式的分子、 分母与分式本身的符号， 改变其中任何两个， 分式的值不变.② 分式的基本性质是一切分式运算的基础 ，分子与分母只能同乘以（或除以）同一个不等于零的整式，而不能同时加上（或减去）同一个整式 【例3】下列变形正确的是（）（1）例如，当x 为__________ 时，分式 —有意义.3x 1当x_时，分式D 有意义•当x -1【例4】如果把分式缶中的x,y都扩大3倍，那么分式的值一定A.扩大3倍B. 扩大9倍C.扩大6倍D. 不变2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式化为最简分式或整式，根据是分式的基本性质,约分过程实际是作除法目的在于把分式【例2 a5】(1)化简—ab2—的结果为(ab)A.(2) 化简xy 2yx2 4x 4的结果() A. B.C.D.(3) 化简2x竺卫的结果是()2x 6B.x292C.x292D.3、通分通分的依据是分式的基本性质, 确定：通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数;(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幕的积三、分式的运算1、分式运算时注意:(1)注意运算顺序•例如，计算计算的法则进行.错解：原式11 a1 (1 a) 1 a(3 a) ，应按照同一级运算从左到存依次3 a1(1 07(2) 通分时不能丢掉分母.例如, 计算x 1 1 .分式通分是等值变形,xx 1不能去分母，不要同解方程的去分母相混淆;X 1，出现了这样的解题错误：原式(3) 忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略.(4)最后的运算结果应化为最简分式.2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则•(1) 先把除法变为乘法；(2) 接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3) 再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4) 最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式.3、加减的加减1) 同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
2) 异分母分式加减法则：运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分，化为分母相同；③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简•4、分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算,遇有括号，先算括号内的•如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算•【例6】计算: ( 1)a241) aa 2212(2) xx 22 ；；a 22 (3) 1 2x x 1 x 4(4)已知1丄x y3，则代数式2xx14xy2y的值y x 2 x22x2xy 分式运算中的技巧与方法在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法, 常常收到事半功倍的效果。
现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、整体通分法2例1 •化简：—1a 1分析将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。
逐项通分法分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算a2 6a a2 4a(a6)(a 2)(a 2) a 6 a22a 4c解,2 2a 2a a 4a 4a(a2)(a 2)2a 2 a22a 2四、整体代入法例41 1 l + 2X.已知5求5xy2y的值x y x2xy y2 2解：旦1上(1)=a 1 a 1 孑(a 1)(a 1) a 1 a2 (a2 1) 1a 1 a 1分析:2ba b a b a2b2计算二 -注意到各分母的特征,解：a b a b2b a2b2(a b) (a b)a2b22b a2b22b a2b22ba2b2 a44b3b44b3a4 b4联想乘法公式，适合采用逐项通分法4b3a4 b44b32b(a2b2) 2b(a2 b2)~4Z4a b4b3 a4 b44b3a4 b44b3先约分, 后通分例3 •计算: a2 6a------- + --2 r 2a 2a aa2 44a 422 〜1 1、52(- )5解法1:••• 1 15 0,•所以 2X 5Xy2y y x x y 2 5 5x yx 2xyy 1 2 1 1 1 2 5 2yx x y解法2:由1丄5得，x yx y=5, xy 5.2x5xy 2y 2(x y) 5xy 2 5xy 5xy 5xy 5 x 2xy y (x y) 2xy5xy 2xy 7xy7 五、运用公式变形法1 例5 •已知a 2_5l=0，计算a 4+ 4a解：由已知条件可得1a 丰 0, ••• 5a111二 a44(a 2+ 2)2-2=[( )2-2]2-2=(52-2)2-2=527 a a a六、设辅助参数法例6 .已知匕上=a c = ab 计算(a b)(b c)(c a)a b c abc解：设—=.U=U ，则；；；abc把这3个等式相加得2()= ()k 若0，，则-1 若工0,贝U 2abc 当1时，原式=-1(a b)(bc)(c a) ak bk ck 3 abc当2时，原式=8 七、应用倒数变换法a例7 .已知飞a解：由条件知例8 .已知：工00,计算上二x解：根据条件可设112.则3•当然本题也可以设为其他合适的常数。
x y z九、把未知数当成已知数法2 ,2 2例9 .已知340,280,计算：-b 一—ab bc ac解：把c 当作已知数，用c 表示得3c, 2c2 2 2 2,ab c 14c 14 (2)'ab bc ac 11c 11十、巧用因式分解法2b 2 2 例10.已知0，计算 a_b2a bc 2b ac 2c ab71=7,=7即4a 2 a 12 1 22aa2a49 4 a 2 a 1 1515 49八、取常数值法1=(1" — a 49解：••• 0,a 2b 2c 2(a-b)(a-c) (a-b)(b-c) (c-a)(c-b)a 2(b c) b 2(a c)c 2(a b)(a b)(a c)(b c)a 2(b c) b 2a b 2c c 2a c 2b a 2(b c) a(b c)(b c) bc(b c) (a b)(a c)(b c)(a b)(a c)(b c)2(b c)(a ab ac be)(a b)(a c)(b c)〔 (a b)(a c)(b c) (a b)(a c)(b c)分式运算的几种技巧(二)x 1 x2 2x1、先约分后通分技巧例1计算x 2 3x 2 + x 2 4分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算x 1 ______ x(x 2)解：原式(x 1)(x 2) (x 2)(x 2)1x x 1 x 2 x 2x 22 x3x 3 x 2 5x 712、分离整数技巧例 2计算x 23x 2 x 2 5x 6 x 2 4x 3分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。