中学数学研究(代数部分)考试试题A参考答案及评分标准
初中数学代数式经典测试题附答案
初中数学代数式经典测试题附答案一、选择题1.如果(x2+px+ q)(x2—5x+ 7)的展开式中不含x2与x3项，那么p与q的值是(A. p = 5, q= 18B. p=—5, q= 18C. p = — 5, q= — 18D. p=5, q = — 18【答案】A【解析】试题解析：丁( x2+px+q) (x2-5x+7) =x4 5+ (p-5) x3+ (7-5p+q) x2+ (7-5q) x+7q, 又•.•展开式中不含x2与x3项，p-5=0, 7-5p+q=0 ,解得p=5 ，q=18．故选A．2 ．如果多项式4x44x2A 是一个完全平方式，那么A 不可能是( )．A．1 B．4 C．x6 D ．8x3【答案】B【解析】【分析】根据完全平方式的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案．【详解】•-4x44x21= (2x+1) 2,•.A=1,不符合题意，•••4x44x24不是完全平方式，•• A=4,符合题意，4x44x2x6= (2x+x3) 2,•.A= x6,不符合题意，•■4x44x28x3= (2x2+2x) 2,• .A=8x3,不符合题意.故选B．【点睛】本题主要考查完全平方式的定义，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．【详解】3 ．下列运算正确的是( )A. 3a3+a3=4a6B. (a+b) 2= a2+b2C. 5a-3a= 2aD. (-a) 2?a3= - a6【答案】C【解析】【分析】依次运用合并同类型、完全平方公式、幂的乘法运算即可．A.3a3+a3=4a3,故A 错误；B. (a+b) 2 = a2+b2+2ab,故B 错误；C.5a- 3a = 2a,故C正确；D. (-a) 2?a3=a5,故D 错误；故选C．【点睛】本题考查了幂的运算与完全平方公式，熟练掌握幂运算法则与完全平方公式是解题的关键．4．下列计算正确的是( )22 3 5 23 6 6 3 3 3 9A．x x x B．x gx x C．x x x D ．x x【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项的法则，同底数的乘除法以及幂的乘方的运算法则分别求出结果再起先判断即可得解.【详解】A.X2与x3不能合并，故该选项错误；B.x2 gx3x5，故该选项错误；C.x6x3x3，计算正确，故该选项符合题意；32 6D.x3x6，故该选项错误.故选C.【点睛】此题主要考查了合并同类项，同底数的乘除法以及幂的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解决此题的关键.5．下列运算错误的是( )32 3 6 10 9 3 5 8 4 3 7 A．m m B．a a a C．x x x D ．a a a【答案】D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法运算法则化简求出即可．【详解】A、m m2) 3=m6,正确;B、a10+ 9=a,正确；C 、 x 3?x 5=x 8，正确；D 、 a 4+a 3=a 4+a 3，错误；故选： D ． 【点睛】此题考查合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法运算法则等知 识，正确掌握运算法则是解题关键．6 ． 下列运算正确的是（）2n 12n 1aa23 234 234 5．观察等式：2 2 22 ； 2 22 2 2 ；2 2 2 22 2已知按一定规律排列的一组数： 250、 251、 252、 、 299 、 2100 ．若 250 a ，用含 a 的式子表 示这组数的和是（ ）A ． 2a 2 2aB ． 2a 2 2a 2C ． 2a 2 aD ． 2a 2a【答案】 C 【解析】 【分析】根据题意，一组数：250、251、252、、299、2100 的和为 250 + 251 + 252+-+ 299 + 2100= =a+（2+22+…+ 250）a,进而根据所给等式的规律，可以发现 2+22+…+ 250= 251 -2,7A ． a 336aaB ．C ．D ．【答案】【解分别求出每个式子的值，2a 35a ，39a 9再进行判断即可 .【详解】 解： A: a 3 a 3 2a 3，故选项 A错；B ： a 6a 3a 3,故选项B 错；23 5C ：a a a ，故本选项正确；3故答案为 C. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除，合并同类项，幂的乘方和积的乘方的应用；掌握乘方的概 念，即求 n 个相同因数的乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫做幂；分清2na2na ，由此即可求得答案.【详解】250+ 251+ 252+…+ 299+2 100=a + 2a+ 22a +…+ 250a= a+(2+22+…+ 250)a,232 22232 ，2 2223242，23452 2 2 2 2 2，.•-2+22+ …+ 250= 251 -2 .・.250 + 251 + 252 + …+ 299 + 2100 = a+(2+22+…+ 250)a a＋ (251－ 2)a =a + (2 a —2)a= 2a2—a ,故选C.【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，仔细观察，发现其中哪些发生了变化，哪些没有发生变化，是按什么规律变化的是解题的关键.8 ．下列运算正确的是( )A．2a 3a 5a2B．(a 2b)2a24b2C．a2a3a623 36D ．( ab ) a b【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂乘法法则、积的乘方法则逐一进行计算即可得.【详解】A. 2a 3a 5a ，故A 选项错误；B.(a 2b)2 a2 4ab 4b2 ,故B选项错误；C.a2 a3a5,故C选项错误；D.( ab2)3a3b6，正确，故选D.【点睛】本题考查了整式的运算，涉及了合并同类项、完全平方公式、积的乘方等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.9．下列各计算中，正确的是( )2 3 326 8243、26A- a 2a 3aB- a a a C. a a a D. （a ） a【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的就是同底数哥的计算法则 【详解】解：A 、不是同类项，无法进行合并计算；5B 、同底数哥乘法，底数不变，指数相加，原式 =a ; G 同底数塞的除法，底数不变，指数相减，原式 =a 6; D 、哥的乘方法则，底数不变，指数相乘，原式=a 6.【点睛】本题主要考查的就是同底数哥的计算法则.在运用同底数哥的计算的时候首先必须将各募的底数化成相同，然后再利用公式来进行计算得出答案.同底数哥相乘，底数不变，指数相加；同底数哥相除，底数不变，指数相减；哥的乘方法则，底数不变，指数相乘 .在进行逆运算的时候很多同学容易用错，例如：a m n a m a n 等等.10 .若3m5，3n 4,则32m n等于（）A. 25B. 6C. 214【答案】A 【解析】 【分析】根据哥的运算法则转化式子，代入数值计算即可. 【详解】 解：: 3m 5, 3n 4,254 故选：A.本题考查了同底数哥的除法和哥的乘方的逆用，熟练掌握同底数哥的除法和哥的乘方的运 算法则是解题的关键.11.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（ a+b ） n 的展开式的各项系 数，此三角形称为 杨辉三角D. 20••• 32m n 32 m 3n (3m )2 3n 52 4他十占户............. ④........................ ①①后」妙工......... ①②①8-3户........ ①③③①市十以4................... ①®⑥©①(a-b) *皿① ⑤@ ⑩⑤①*«■♦■喉根据杨辉三角”请计算(a+b) 20的展开式中第三项的系数为( )A. 2017B. 2016C. 191D. 190【答案】D【解析】试题解析：找规律发现(a+b) 3的第三项系数为3=1+2；(a+b) 4的第三项系数为6=1+2+3;(a+b) 5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现(a+b) n的第三项系数为1+2+3+•••+ (n-2) + (n-1),・•. (a+b) 20第三项系数为1+2+3+•••+20=190,故选D.考点：完全平方公式.12. 5.某企业今年3月份产值为亡万元，4月份比3月份减少了10%, 5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是()A. (注—10%)(门+15%)万元B. & (1—10%) ( 1+15%)万元C.(4―10%+15%)万元D. 4 (1 —10% + 15%)万元【答案】B【解析】列代数式.据3月份的产值是a万元，用a把4月份的产值表示出来a (1-10%),从而得出5月份产值列出式子a 1 — 10%) ( 1+15%),故选B.13.下列计算正确的是( )C. 3a+2a= 5a2D. (a2b) 3= a2?b3A. a?a2=a2B. (a2) 2= a4【答案】B【解析】本题考查嘉的运算.点拨：根据哥的运算法则.解答：a a2a1 2a3a2 23a 2a 5aA. ab【答案】B 【解析】B. 2abC. 3abD. 4ab2.361 3a b a b故选B.14.下列说法正确的是（）C.若将分式一xy —中，x 、y 都扩大3倍，那么分式的值也扩大 3倍 x y D .若 3m5,3n 4 则 32mn -2【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义、塞的乘方、同底数塞相除、分式的基本性质解答即可 【详解】A.若A 、B 表示两个不同的整式，如果B 中含有字母，那么称 公是分式.故此选项错误B, 2B. a a a a a ,故故此选项错误.C.若将分式一xy —中，x 、y 都扩大3倍，那么分式的值也扩大 3倍，故此选项正确 x y2…25D.若3m 5,3n 4则33m3n25 4，故此选项错误.4故选：C 【点睛】本题考查的是分式的定义、哥的乘方、同底数哥相除、分式的基本性质，熟练掌握各定 义、性质及运算法则是关键 .15 .如图，是一块直径为 2a+2b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为2a 、2b 的两个圆，则剩下的钢板的面积为（）A. 若A 、B 表示两个不同的整式，则 A 、一.A一定是分式BB.a 42 a 4a 2【分析】利用圆的面积公式列出关系式，化简即剩下钢板的面积等于大圆的面积减去两个小圆的面积可.【详解】解：S剩下=S大圆-S小圆1-S小圆2/2a+2b、2 /a、2 2b?=（----- ）-（一）-（一）2 2 2,2 2 , 2= a+b -a -b =2 ab,故选：B【点睛】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：圆的面积公式，完全平方公式，去括号、合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键.16.下列运算中正确的是（）2 _ .2 2,2A. 2a 3a 5a2B. （2a b） 4a b2 2C. 2a23a36a6D. 2ab 2ab 4a b【答案】D【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的法则，分别进行计算，即可求出答案.【详解】A、2a+3a=5a,故本选项错误；B、（2a+b）2=4a2+4ab+b2,故本选项错误；G 2a2?3a3=6a5,故本选项错误；D、（2a-b）（2a+b） =4a2-b2,故本选项正确.故选D.【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式.注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项.17.如图，从边长为（a + 4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a 1）cm的正方形（a 0）,剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）2 2 2 2 2A. (2a 5a)cmB. (3a 15)cmC. (6a 9)cmD. (6a 15)cm【答案】D【解析】【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算.【详解】矩形的面积为：(a+4) 2- (a+1) 2=(a 2+8a+16) - (a 2+2a+1)=a 2+8a+16-a 2-2a-1=6a+15.故选D.根据题意，每个选项进行计算，即可判断.【详解】 解：A 、当a= 3, b=2时，y=^^ = —=1,符合题意；a 2 3 2B 、当 a= - 3, b= - 1 时，y=b 2_3=1_3=_ 2,不符合题意；G 当 a=1, b = 3 时，y= b 2-3=9-3=6,不符合题意；1 1 1D 、当 a= 4, b = 2 时，y = = =一, 不付 口 题忌.a 2 4 2 2故选：A.【点睛】本题考查有理数的混合运算，代数式求值等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考 题型.19.如图，将图1中阴影部分拼成图2,根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列A. a= 3, b= 2 【答案】AD. a = 4, b = 2 18.按如图所示的运算程序，能使输出 y 的值为1的是( )B. a=- 3, b=-1C. a=1, b = 3哪个计算公式()A. (a+b) (a-b) =a2-b2B. (a-b) 2=a2-2ab+b2C. (a+b) 2= a2+2ab+b2D. (a+b) 2= (a- b) 2+4ab【答案】B【解析】【分析】根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，由此即可解答.【详解】•••图1中阴影部分的面积为：(a-b) 2;图2中阴影部分的面积为：a2-2ab+b2; ( a- b) 2= a2- 2ab+b2,故选B.【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键.20.下列运算正确的是 ()2 3 6 6 3 2A. a a aB. a6a3a22 2 23 6C. 2a 2a2D. a2a6【答案】D【解析】【分析】根据哥的乘方与积的乘方的运算法则和同底数哥的乘除法运算法则对各选项进行计算，最后进一步判断即可.【详解】2 3 5A： a a a ,计算错误；B：a6a3a3,计算错误；2 2C：2a 4a2,计算错误；c 3D： a a ,计算正确；故选：D.【点睛】比特主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算和同底数幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键.。
初中数学代数式经典测试题及答案解析
初中数学代数式经典测试题及答案解析一、选择题1.如图，大正方形与小正方形的面积之差是60,则阴影部分的面积是（）A. 30B. 20C. 60D. 40【答案】A【解析】【分析】设大正方形的边长为x,小正方形的边长为y,表示出阴影部分的面积，结合大正方形与小正方形的面积之差是60即可求解.【详解】设大正方形的边长为x,小正方形的边长为y,则X? —）3 = 60,1 1= -(x-y)-x+-(x-y)-y乙1/，八:5（厂一厂）」x602=30.故选A.【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，读懂图形和熟练掌握平方差公式是解此题的关键.2 .下列计算正确的是（）A. a2+a3=a5B. a2*a3=a6C. （a2）3=a6D. （ab）2=ab2【答案】C【解析】试题解析：A.a2与a3不是同类项，故A错误；B.原式=a',故B错误;D.原式=a2b2,故D错误；故选C.考点：幕的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数基的乘法.3.下列各式中，计算正确的是( )A. 8a — 3b = 5abB. (^2)3 = a5C. a3 -^-a4 = a2D. a2 -a = a5【答案】D【解析】【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幕的乘法法则、察的乘方法则以及同底数幕除法法则解答即可.【详解】解：A、8a与劭不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、1/丫=。
6,故选项B不合题意；C、a3^a4=a\故选项C不符合题意；D、a2-a = a\故选项D符合题意.故选：D.【点睛】本题主要考查了幕的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.4.下列运算正确的是( )A.2m2+m2=3m4B. (mn2) 2=mn4C. 2m*4m2=8m2D. m54-m3=m2【答案】D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的乘除运算分别计算后即可解答.【详解】选项4,2"2+万2=3团2,故此选项错误：选项8,(mM)2=m2〃4,故此选项错误；选项C,2nr4m2 = 8m3,故此选项错误；选项D,m5+m3=n?2,正确.故选D.【点睛】本题考查了合并同类项以及积的乘方运算、整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.5.下列说法正确的是()AA.若A、B表示两个不同的整式，则一一定是分式BB.（1）、/ = /C.若将分式一2一中，x、y都扩大3倍，那么分式的值也扩大3倍x + yLD.若3"' = 5,3"=4则32"'-"=22【答案】C【解析】【分析】根据分式的定义、幕的乘方、同底数幕相除、分式的基本性质解答即可.【详解】AA.若A、B表示两个不同的整式，如果B中含有字母，那么称"是分式.故此选项错误.D8.（，）2 +/=/+/=/,故故此选项错误.xyC•若将分式一中，x、y都扩大3倍，那么分式的值也扩大3倍，故此选项正确. x+ yD.若3"' = 5,3〃 = 4 则3-" =（3"）- + 3" = 25 + 4 = j ,故此选项错误.故选：C【点睛】本题考查的是分式的定义、累的乘方、同底数幕相除、分式的基本性质，熟练掌握各定义、性质及运算法则是关键.9.己知：（2x + l）（x-3）= 2x?+px + q,则p, q 的值分别为（）A. 5, 3B. 5, -3C. -5, 3D. -5, -3【答案】D【解析】【分析】此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到P、q的值.【详解】由于（2x + l）（x —3）=2X?-6X+X-3=2 X2-5X-3=2X2 +px + q ,则p=-5,q=-3,故答案选D.【点睛】本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键.10图为〃L〃型钢材的截面，要计算其截面面积，下列给出的算式中，错误的是（A. ab - c 2B. ac + (b — c)cC. be + (a - c)c D, ac + be — c?【答案】A 【解析】 【分析】根据图形中的字母，可以表示出“L”型钢材的截面的面积，本题得以解决. 【详解】 解：由图可得，“L”型钢材的截面的面积为：ac+ (b-c) c=ac +bc-c 2,故选项材D 正确,或“L 〃型钢材的截面的面积为：bc + (a-c) c=bc +ac-c 2,故选项C 正确，选项A 错误， 故选:A. 【点睛】本题考查整式运算的应用，解答本题的关键是理解题意，掌握基本运算法则，利用数形结 合的思想解答.8 .下列图形都是由同样大小的五角星按照一定规律所组成的，按此规律排列下去，第〃个根据前4个图形中五角星的个数得到规律，即可列式得到答案. 【详解】 观察图形可知：第1个图形中一共是4个五角星，即4 = 3xl+l, 第2个图形中一共是7个五角星，即7 = 3x2 + l, 第3个图形中一共是10个五角星，即10 = 3x3 + 1,第4个图形中一共是13个五角星，即13 = 3x4+1, …，按此规律排列下去， 第n 个图形中一共有五角星的个数为3〃 + 1, 故选：c. 【点睛】此题考查图形类规律的探究，观察图形得到五角星的个数的变化规律并运用解题是关键.9 .计算3x2-x2的结果是（ ）A. 2B. 2x 2C. 2xD. 4x 2图形中五角星的个数为()★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ 阳I用2A. 3/? -1【答案】C 【解析】【分析】★★ ★★ ★★★* ★ ★图3B. 3〃 ★★★★★★★★机C. 3〃 + 1D. 3〃 + 2【解析】【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可得.【详解】3x2 - x2=（3-1） x2二2x2,故选B.【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则.10.下列运算中正确的是（）A. 2a + 3a = 5a2B. （2a+ b）2 = 4a2 +b2C. 2a2 - 3a5 = 6a6D.（2a-Z?）（2a + 6） = 4/-Z??【答案】D【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的法则，分别进行计算，即可求出答案.【详解】A、2a+3a=5a,故本选项错误;（2a+b）2=4a2+4ab+b2,故本选项错误；C、2a2*3a3=6a5,故本选项错误；D、（2a-b）（2a+b） =4a2-b2,故本选项正确.故选D.【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式.注意不要漏项，漏字母，有.同类项的合并同类项.11.我国占代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）。
(专题精选)初中数学代数式经典测试题及答案解析
（专题精选）初中数学代数式经典测试题及答案解析一、选择题1．下列运算正确的是（ ）A ．2352x x x +=B ．()-=g 23524x x xC ．()222x y x y +=-D ．3223x y x y xy ÷=【答案】B【解析】【分析】A 不是同类项，不能合并，B 、D 运用单项式之间的乘法和除法计算即可，C 运用了完全平方公式．【详解】A 、应为x 2+x 3=（1+x ）x 2；B 、（-2x ）2•x 3=4x 5，正确；C 、应为（x+y ）2= x 2+2xy+y 2；D 、应为x 3y 2÷x 2y 3=xy -1．故选：B ．【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，单项式除单项式，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．2．一种微生物的直径约为0.0000027米，用科学计数法表示为（ ）A ．62.710-⨯B ．72.710-⨯C ．62.710-⨯D ．72.710⨯【答案】A【解析】【分析】绝对值小于1的正数科学记数法所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定.【详解】解：0.0000027的左边第一个不为0的数字2的前面有6个0，所以指数为-6，由科学记数法的定义得到答案为62.710-⨯.故选A.【点睛】本题考查了绝对值小于1的正数科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯.3．计算 2017201817(5)()736-⨯ 的结果是（ ）36367【答案】A【解析】【分析】根据积的乘方的逆用进行化简运算即可．【详解】2017201817(5)()736-⨯ 20172018367()()736=-⨯ 20173677()73636=-⨯⨯ 20177(1)36=-⨯ 736=- 故答案为：A ．【点睛】本题考查了积的乘方的逆用问题，掌握积的乘方的逆用是解题的关键．4．若352x y a b +与2425y x a b -是同类项．则（ ）A ．1,2x y =⎧⎨=⎩B ．2,1x y =⎧⎨=-⎩C ．0,2x y =⎧⎨=⎩D ．3,1x y =⎧⎨=⎩ 【答案】B【解析】【分析】根据同类项的定义列出关于m 和n 的二元一次方程组，再解方程组求出它们的值．【详解】 由同类项的定义，得：32425x y x y =-⎧⎨=+⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩：． 故选B ．【点睛】同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值．5．（x 2﹣mx +6）（3x ﹣2）的积中不含x 的二次项，则m 的值是（ ）332【答案】C【解析】 试题解析：（x 2﹣mx+6）（3x ﹣2）=3x 3﹣（2+3m ）x 2+（2m+18）x ﹣12，∵（x 2﹣mx+6）（3x ﹣2）的积中不含x 的二次项，∴2+3m=0，解得，m=23-， 故选C ．6．下列运算正确的是（ ）A ．a 5﹣a 3＝a 2B ．6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2C ．2212a 2a -= D ．（﹣2a ）3＝﹣8a 3 【答案】D【解析】【分析】直接利用单项式除以单项式以及积的乘方运算法则、负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】A 、a 5﹣a 3，无法计算，故此选项错误；B 、6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝6x 3y 2÷9x 2＝23xy 2，故此选项错误； C 、2a ﹣2＝22a ，故此选项错误； D 、（﹣2a ）3＝﹣8a 3，正确．故选D ．【点睛】 此题主要考查了单项式除以单项式以及积的乘方运算、负指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．下列运算正确的是( )A ．2235a a a +=B ．22224a b a b +=+()C ．236a a a ⋅=D ．2336()ab a b -=- 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂乘法法则、积的乘方法则逐一进行计算即可得.【详解】A. 235a a a +=，故A 选项错误；B. 222244a b a ab b +=++()，故B 选项错误；C. 235a a a ⋅=，故C 选项错误；D. 2336()ab a b -=-，正确，故选D.【点睛】本题考查了整式的运算，涉及了合并同类项、完全平方公式、积的乘方等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.8．如果长方形的长为2(421)a a -+，宽为(21)a +，那么这个长方形的面积为（ ） A ．228421a a a -++B ．328421a a a +--C ．381a -D ．381a +【答案】D【解析】【分析】利用长方形的面积等于长乘宽，然后再根据多项式乘多项式的法则计算即可．【详解】解：根据题意，得：S 长方形=(4a 2−2a +1)(2a +1)= 322814422-++-+a a a a a =8a 3+1，故选：D ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算方法：()()++=+++a b p q ap aq bp bq 是解题的关键．9．下列各计算中，正确的是( )A ．2323a a a +=B ．326a a a ⋅=C ．824a a a ÷=D ．326()a a =【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的就是同底数幂的计算法则【详解】解：A 、不是同类项，无法进行合并计算；B 、同底数幂乘法，底数不变，指数相加，原式=5a ；C 、同底数幂的除法，底数不变，指数相减，原式=6a ；D 、幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，原式=6a .【点睛】本题主要考查的就是同底数幂的计算法则.在运用同底数幂的计算的时候首先必须将各幂的底数化成相同，然后再利用公式来进行计算得出答案.同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方法则，底数不变，指数相乘.在进行逆运算的时候很多同学容易用错，例如：m n m n a a a +=+等等.10．多项式2a 2b ﹣ab 2﹣ab 的项数及次数分别是（ ）A ．2，3B ．2，2C ．3，3D ．3，2【答案】C【解析】【分析】多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定．【详解】2a 2b ﹣ab 2﹣ab 是三次三项式，故次数是3，项数是3．故选：C.【点睛】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．11．若x 2+2(m+1)x+25是一个完全平方式，那么m 的值（ ）A ．4 或-6B ．4C ．6 或4D ．-6【答案】A【解析】【详解】解：∵x 2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴△=b 2-4ac=0，即：[2（m+1）]2-4×25=0整理得，m 2+2m-24=0，解得m 1=4，m 2=-6，所以m 的值为4或-6．故选A.12．若3,2x y xy +==， 则()()5235x xy y +--的值为（ ） A ．12B ．11C ．10D ．9 【答案】B【解析】【分析】项将多项式去括号化简，再将3,2x y xy +==代入计算.【详解】()()5235x xy y +--=235()xy x y -++，∵3,2x y xy +==，∴原式=2-6+15=11，故选：B.【点睛】此题考查整式的化简求值，正确去括号、合并同类项是解题的关键.13．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）A ．(2)(2)a b b a +-B ．11(1)(1)22x x +-- C ．(3)(3)x y x y --+D ．()()m n m n ---+ 【答案】D【解析】【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】（-m-n ）（-m+n ）=（-m ）2-n 2=m 2-n 2，故选D ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．14．按如图所示的运算程序，能使输出y 的值为1的是（ ）A ．a ＝3，b ＝2B ．a ＝﹣3，b ＝﹣1C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝4，b ＝2【答案】A【解析】【分析】 根据题意，每个选项进行计算，即可判断．【详解】解：A 、当a ＝3，b ＝2时，y ＝12a -＝132-＝1，符合题意； B 、当a ＝﹣3，b ＝﹣1时，y ＝b 2﹣3＝1﹣3＝﹣2，不符合题意；C 、当a ＝1，b ＝3时，y ＝b 2﹣3＝9﹣3＝6，不符合题意；D 、当a ＝4，b ＝2时，y ＝12a -＝142-＝12，不符合题意． 故选：A ．【点睛】 本题考查有理数的混合运算，代数式求值等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．15．已知112x y +=，则23xy x y xy +-的值为（ ） A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-【答案】D【解析】【分析】先将已知条件变形为2x y xy +=，再将其整体代入所求式子求值即可得解．【详解】 解：∵112x y+= ∴2x y xy+= ∴2x y xy += ∴2222323xy xy xy x y xy xy xy xy===-+---． 故选：D【点睛】本题考查了分式的化简求值，此题涉及到的是整体代入法，能将已知式子整理变形为2x y xy +=的形式是解题的关键．16．计算1.252 017×2?01945⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是( ) A ．45 B ．1625 C ．1 D ．-1【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得积的乘方，根据积的乘方等于乘方的积，可得答案．【详解】原式=1.252017×（45）2017×（45）2=（1.25×45）2012×（45）2=16 25．故选B．【点睛】本题考查了积的乘方，利用同底数幂的乘法底数不变指数相加得出积的乘方是解题关键．17．若55+55+55+55+55＝25n，则n的值为（）A．10 B．6 C．5 D．3【答案】D【解析】【分析】直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】解：∵55+55+55+55+55=25n，∴55×5=52n，则56=52n，解得：n=3．故选D．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．18．若x+y＝，x﹣y＝3﹣的值为（）A．B．1 C．6 D．3﹣【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质解答．【详解】解：∵x+y＝，x﹣y＝3﹣，==1．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行解题．19．若（x +4）（x ﹣1）＝x 2+px +q ，则（ ） A ．p ＝﹣3，q ＝﹣4 B ．p ＝5，q ＝4C ．p ＝﹣5，q ＝4D ．p ＝3，q ＝﹣4【答案】D【解析】【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【详解】解：∵（x +4）（x ﹣1）＝x 2+3x ﹣4∴p ＝3，q ＝﹣4故选：D ．【点睛】考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则.20．下列计算正确的是（ ）A ．a•a 2＝a 2B ．（a 2）2＝a 4C ．3a+2a ＝5a 2D ．（a 2b ）3＝a 2•b 3 【答案】B【解析】本题考查幂的运算．点拨：根据幂的运算法则．解答：2123a a a a +⋅==()22224a a a ⨯==325a a a +=()3263a b a b =故选B ．。
0772西南大学 中学代数研究 A卷
5、实数大小的比较：任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数的绝对值大的反而小．
6、实数的运算：
实数的运算和在有里数范围内一样，值得一提的是，实数既可以加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算．在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．在教学实数中，要用好1．转化思想：
定义（戴德金分割）把全体有理数集合分成两个集合A和A＇，满足下列三个条件：
（1）集合A和 都是非空的（不空）
（2）每一个有理数在而且只在A和 两个集合的一个之中（不漏）
（3）集合A中的每一个数a都小于集合 中的每一个数 （不乱）
则称上述分法为戴德金分割，把集合A叫做分割的下集，集合 叫上集，记为 。
4．通过创设问题情景，让学生能初步运用所学知识和技能解决问题；通过与同伴进行交流、讨论，让学生在合作学习的过程中，探索有理数运算的不同方法和解决间题的不同途径。
5．通过有理数的学习，学会用数表达和交流信息；学会用数学的眼光观察、分析、处理生活中的实际问题。
6、在进行有理数的有关概念的教学时，应尽量从实际问题引入，除教科书提供的实例外，教师还可根据学生已有的知识选择一些学生身边的数学问题、生活问题帮助学生理解有理数的有关概念。借助数轴，通过数形结合，帮助学生建立相反数、绝对值的概念，比较有理数大小。在有理数的教学中，数轴的引人，为有理数、相反数、绝对值、有理数大小的比较、有理数的运算法则的教学提供了直观的工具。
二定义实数的另一个方法戴德金分割定义实数的方法不只一种以上我们用区间套原理理解了康托尔的实数基本序列定义法如果把区间套定义实数看作为通过在数轴采用以区间的形式从外围步步紧逼缩小包围圈的方法那么是否可以采用中间开花的方法定义实数呢
中学数学研究在线测试答案
中学数学研究在线测试答案第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）1、用0，1，2，3，4五个数字组数，则下列结论正确的有：A、可以组成120个没有重复数字的五位数；B、可以组成96个没有重复数字的五位数；C、可以组成60个没有重复数字的四位偶数；D、可以组成60个没有重复数字的四位奇数；E、可以组成36个没有重复数字的四位偶数；2、a,b,c,d,e五人排成一排，则下列结论正确的有：A、a不在两端的排法有96种；B、a不在两端的排法有72种；C、a,b相邻的排法有48种；D、a,b不相邻的排法有72种；E、a,b不在两端的排法有36种。
3、a,b,c三位先生和d,e，f三位女士围着圆桌就坐，则下列结论正确的有：A、六人围着圆桌就坐共有120种不同的就坐方式；B、六人围着圆桌就坐共有720种不同的就坐方式；C、若a,b相邻共有48种不同就坐方式；D、若男、女相间就坐共有6种不同就坐方式；E、如男、女相间就坐共有9种不同就坐方式。
4、从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任取两个不同的数，则下列结论正确的有：A、乘积能被2整除的数对有45对；B、和能被2整除的有20对；C、和能被2整除的有40对；D、和能被3整除的有10对；E、积能被3整除的有27对；5、把4人分别按下列条件分组，则正确的结论有：A、第一组3人，第二组1人的分法数为4种；B、一个组3人，一个组1人的分法数为4种；C、平均分成两组，每组2人的分法数为3种；D、第一组2人。
第二组2人的分法数为3种；E、第一组2人。
第二组2人的分法数为6种.第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）1、由数码1，2，3，4可以组成228个大于1234的四位数。
正确错误2、五元不定方程x+y+z+w+u＝8共有495组非负整数解组。
正确错误3、a,b,c,d,e五人围着一张圆桌而坐，若限定a,b不相邻，则不同的坐法数是12种。
2020-2021初中数学代数式真题汇编附答案(1)
2020-2021初中数学代数式真题汇编附答案(1)一、选择题1．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】【分析】观察第1个、第2个、第3个图案中的三角形个数，从而可得到第n个图案中三角形的个数为2（n+1），由此即可得.【详解】∵第1个图案中的三角形个数为：2+2=4=2×（1+1）；第2个图案中的三角形个数为：2+2+2=6=2×（2+1）；第3个图案中的三角形个数为：2+2+2+2=8=2×（3+1）；……∴第n个图案中有三角形个数为：2（n+1）∴第7个图案中的三角形个数为：2×（7+1）=16，故选C.【点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，从而计算出正确结果是解题的关键.2．下列各运算中，计算正确的是( )A．2a•3a＝6a B．(3a2)3＝27a6C．a4÷a2＝2a D．(a+b)2＝a2+ab+b2【答案】B【解析】试题解析：A、2a•3a=6a2，故此选项错误；B、（3a2）3=27a6，正确；C、a4÷a2=a2，故此选项错误；D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式、单项式乘以单项式等知识，正确化简各式是解题关键．3．下列运算正确的是（）A．3a3+a3＝4a6B．（a+b）2＝a2+b2C．5a﹣3a＝2a D．（﹣a）2•a3＝﹣a6【答案】C【解析】【分析】依次运用合并同类型、完全平方公式、幂的乘法运算即可．【详解】A.3a3+a3＝4a3，故A错误；B．（a+b）2＝a2+b2+2ab，故B错误；C.5a﹣3a＝2a，故C正确；D．（﹣a）2•a3＝a5，故D错误；故选C．【点睛】本题考查了幂的运算与完全平方公式，熟练掌握幂运算法则与完全平方公式是解题的关键．4．已知：1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52，…，根据前面各式的规律可猜测：101+103+105+…+199＝（）A．7500 B．10000 C．12500 D．2500【答案】A【解析】【分析】用1至199的奇数的和减去1至99的奇数和即可.【详解】解：101+103+10 5+107+…+195+197+199＝22 119919922++⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1002﹣502，＝10000﹣2500，＝7500，故选A．【点睛】本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．5．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（）A ．（11，3）B ．（3，11）C ．（11，9）D ．（9，11） 【答案】A【解析】 试题分析：根据排列规律可知从1开始，第N 排排N 个数，呈蛇形顺序接力，第1排1个数；第2排2个数；第3排3个数；第4排4个数根据此规律即可得出结论．解：根据图中所揭示的规律可知，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，所以58在第11排；偶数排从左到右由大到小，奇数排从左到右由小到大，所以58应该在11排的从左到右第3个数．故选A ．考点：坐标确定位置．6．下列运算正确的是（ ）A ．2m 2+m 2＝3m 4B ．（mn 2）2＝mn 4C ．2m•4m 2＝8m 2D ．m 5÷m 3＝m 2【答案】D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的乘除运算分别计算后即可解答．【详解】选项A ,2m 2+m 2＝3m 2，故此选项错误；选项B ,(mn 2)2＝m 2n 4，故此选项错误；选项C ,2m •4m 2＝8m 3，故此选项错误；选项D ,m 5÷m 3＝m 2，正确．故选D ．【点睛】本题考查了合并同类项以及积的乘方运算、整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．下列运算正确的是 （ ）A ．()236a a a -⋅=-B ．632a a a ÷=C ．()2222a a =D ．()326a a =【答案】D【解析】【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算法则和同底数幂的乘除法运算法则对各选项进行计算，最后进一步判断即可.【详解】A ：()523a a a -⋅=-，计算错误；B ：633a a a ÷=，计算错误；C ：()2224a a =，计算错误；D ：()326a a =，计算正确；故选：D.【点睛】比特主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算和同底数幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键.8．通过计算大正方形的面积，可以验证的公式是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个矩形的面积，分别计算长结果，即可得答案.【详解】∵大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个矩形的面积，∴(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ，故选C.【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，明确大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个矩形的面积是解题关键.9．计算3x2﹣x2的结果是（）A．2 B．2x2 C．2x D．4x2【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可得．【详解】3x2﹣x2=（3-1）x2=2x2，故选B．【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则.10．下列命题正确的个数有（）①若 x2+kx+25 是一个完全平方式，则 k 的值等于 10；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形；④黄金分割比的值为≈0.618.A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个【答案】C【解析】【分析】根据完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定即可一一判断；【详解】①错误．x2+kx+25是一个完全平方式，则 k 的值等于±10 ②正确．一组对边平行，一组对角相等，可以推出两组对角分别相等，即可判断是平行四边形；③错误．顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是平行四边形；④正确．黄金分割比的值为≈0.618；故选C．【点睛】本题考查完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．11．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A ．（a+b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 2C ．（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2D ．（a+b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab【答案】B【解析】【分析】 根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，由此即可解答．【详解】∵图1中阴影部分的面积为：（a ﹣b ）2；图2中阴影部分的面积为：a 2﹣2ab+b 2； ∴（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 2，故选B ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．12．若35m =，34n =，则23m n -等于（ ） A ．254 B ．6C ．21D ．20 【答案】A【解析】【分析】根据幂的运算法则转化式子，代入数值计算即可．【详解】解：∵35m =，34n =， ∴222233(3)3253544-==÷÷÷==m n m n m n ， 故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂的除法和幂的乘方的运算法则是解题的关键．13．如果(x 2＋px ＋q )(x 2－5x ＋7)的展开式中不含x 2与x 3项，那么p 与q 的值是( )A ．p ＝5，q ＝18B ．p ＝－5，q ＝18C ．p ＝－5，q ＝－18D ．p ＝5，q ＝－18【答案】A【解析】 试题解析：∵（x 2+px+q ）（x 2-5x+7）=x 4+（p-5）x 3+（7-5p+q ）x 2+（7-5q ）x+7q ， 又∵展开式中不含x 2与x 3项，∴p-5=0，7-5p+q=0，解得p=5，q=18．故选A ．14．已知：()()22x 1x 32x px q +-=++，则p ，q 的值分别为（ ） A ．5，3B ．5，−3C ．−5，3D ．−5， −3【答案】D【解析】【分析】 此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p 、q 的值．【详解】由于()()2x 1x 3+-=2x 2-6x+x-3=2 x 2-5x-3=22x px q ++， 则p=-5,q=-3,故答案选D.【点睛】本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键．15．下列计算，正确的是（ ）A ．2a a a -=B ．236a a a =C ．933a a a ÷=D ．()236a a = 【答案】D【解析】A.2a 和a,和不能合并,故本选项错误;B.2356a a a a ⋅=≠ ,故本选项错误;C.9363a a a a ÷=≠,和不能合并,故本选项错误;D.()236 a a =,故本选项正确;故选D.16．若3,2x y xy +==， 则()()5235x xy y +--的值为（ ） A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【解析】【分析】项将多项式去括号化简，再将3,2x y xy +==代入计算.【详解】 ()()5235x xy y +--=235()xy x y -++，∵3,2x y xy +==，∴原式=2-6+15=11，故选：B.【点睛】此题考查整式的化简求值，正确去括号、合并同类项是解题的关键.17．已知112x y +=，则23xy x y xy +-的值为（ ） A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-【答案】D【解析】【分析】先将已知条件变形为2x y xy +=，再将其整体代入所求式子求值即可得解．【详解】 解：∵112x y+= ∴2x y xy+= ∴2x y xy += ∴2222323xy xy xy x y xy xy xy xy===-+---． 故选：D【点睛】本题考查了分式的化简求值，此题涉及到的是整体代入法，能将已知式子整理变形为2x y xy +=的形式是解题的关键．18．若x +y ＝，x ﹣y ＝3﹣的值为（ ）A ．B ．1C ．6D ．3﹣【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质解答．【详解】解：∵x+y ＝，x ﹣y ＝3﹣，==1．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行解题．19．若（x +4）（x ﹣1）＝x 2+px +q ，则（ ）A ．p ＝﹣3，q ＝﹣4B ．p ＝5，q ＝4C ．p ＝﹣5，q ＝4D ．p ＝3，q ＝﹣4【答案】D【解析】【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【详解】解：∵（x +4）（x ﹣1）＝x 2+3x ﹣4∴p ＝3，q ＝﹣4故选：D ．【点睛】考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则.20．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为2412a ab -+（ ），你觉得这一项应是（ ）A ．23bB ．26bC ．29bD ．236b 【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2可得出缺失平方项．【详解】根据完全平方的形式可得，缺失的平方项为9b 2故选C ．【点睛】本题考查了整式的加减及完全平方式的知识，掌握完全平方公式是解决本题的关键．。
浙教版数学七年级上单元测评A卷 第4章 代数式 A卷(含答案)
第4章代数式 单元测评A 卷姓名：班级：得分：一、选择题(每小题3分，共30分) 1.下面的说法正确的是( )。
A.-2不是整式B.-a 表示负数C.43ac的系数是3D.x+1是代数式 2.a ，b ，c 都是有理数那么2a -3b+c 的相反数是( )。
A. 3b -2a -c B 3b+2a -c C.-3b -2a+cD. 3b -2a+c3.下列各式计算正确的是( )。
A 6a+a=6a 2B. -2a+56=3abC. 4m 2n -2mn 2=2mnD. 3ab 2-5b 2a=-2ab 24.当x=-221，y==4时，代数式x 2-2xy+y 2的值是( )。
A.-241 B.241 C.4241 D.-4241 5.梯形的面积为S ，上底为a ，下底为b ，那么高h 等于( )。
A.21S(a+b) B. ba 2S+ C. 2S(a+b)D.()Sb a 2+ 6.已知-6a 9b 4和5a 4m b 4是同类项，则代数式12m -10的值是( )。
A.17B.37C.-17D.987.如果2m-3n=7，那么8-2m+3n等于( )。
A.15B.1C.7D.88.一个多项式与2a2+5ab的差是a2-3ab，则这个多项式是( )。
A. a2+8abB. 3a2+2abC. -a-8abD.3a2-2ab9.你喜欢吃拉面吗?拉面馆的师傅将一根很粗的面条，把两头捏合在一起，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细面条，如图，捏合到第n次可拉出面条的根数是( )。
A.2n+1B.2nC.2n-1D.4n10.要使多项式2x2-2(7+3x-2x2)+mx2化简后不含x的二次项则m等于( )。
A.2B.0C.-2D.-6二、填空题(每小题4分，共24分)11.设n为自然数，则偶数可表示为，奇数可表示为.12.一年期的存款的年利率为p%，利息个人所得税的税率为20%，某人存人的本金为a元，则到期支出时实得本利和为元.13已知多项式ax5+bx2+cx+9，当x=-1时，多项式的值为17则该多项式当x=1时的值是.14.已知甲、乙两种糖果的单价分别是x元/kg和12元/kg，为了使甲乙两种糖果分别销售与把它们混合成什锦糖后再销售的收人保持不变，则由20kg甲种糖果和ykg乙种糖果混合而成的什锦糖的单价应是元/kg.15.如右图：(1)阴影部分的周长是；(2)当x=5.5，y=4时，阴影部分的周长.16.如图所示的运算程序中，若开始输人的x值为-5，我们发现第一次输出的数为-2，再将-2输入，第2次输出数为-1，…，如此循环，则第2017次输出的结果为.三、解答题(17至23题分别为6，8，8，10，10，12，12分，共66分)17.化简并求值：(1) 2(2x-3y)-(3x+2y+1)，其中x=2，y=-0.5.(2)-(3a2-4ab)+[a2-2(2a+2ab)]，其中a=-2.18.同一时刻的北京时间、巴黎时间、东京时间如图所示：(1)设北京时间为a(7<a≤23)，分别用代数式表示同一时刻的巴黎时间和东京时间；(2)2001年7月13日，北京时间22：08，国际奥委会主席萨马兰奇宣布，北京获得2008年第29届夏季奥运会的主办权，问这一时刻巴黎时间、东京时间分别为几时?19.如图是一个数值转换机的示意图，请按要求填写下表：20.一个两位数把它十位上的数字与个位数字对调，得到一个新的两位数.试说明原来的两位数与新两位数的差一定能被9整除.21.四人做传数游戏，甲任报一个数给乙，乙把这个数加1传给丙，丙再把所得的数平方后传给丁，丁把所听到的数减1报出答案.(1)请把游戏过程用代数式描述出来；(2)若甲报的数为19，则丁的答案是多少?(2)若丁报出的答案是35，则甲传给乙的数是多少?22化简关于x的代数式(2x2+x)-[kx2-(3x2-x+2)].当k为何值时，代数式的值是常数?23.某餐饮集团公司将A市一个下属分公司对外招商承包，其间符合条件的有甲、乙两家企业，这两家企业分别拟定了上缴利润方案如下：甲：每年结算一次上缴利润第一年上缴利润5万元，以后每年比前一年增加5万元；乙：每半年结算一次上缴利润，每一个半年上缴利润1.5万元，以后每半年比前一半年增加1.5万元.(1)如果企业乙承包一年，则需上缴的总利润为万元；(2)如果承包4年，你认为应该承包给哪家企业，集团总公司获利多?为什么?(3)如果承包n年，请你用含n的代数式分别表示这两家企业上缴利润的总金额(单位：万元).参考答案1.D2.A3.D4.B5.B6.A7.B8.B9.B10.D11.±2n ；±(2n+1) 12.a+125ap 13.1 14.yyx ++20122015.(1)6y+4x ；(2)46 16.117.(1)x -8y -1；5；(2)-2a 2-4a ；018.(1)巴黎：a -7东京：a+1；(2)巴黎：15：08东京：23：08 19.五个空从左至右依次为6，41，8，3241，2(x 2-y 3) 20.设原数为(10a+b)，则新数为10b+a)，(10a+b)-(10b+n)=9a -9b=9(a -b)， 所以能被9整除21.(1)设甲报给乙的数为a ，则乙传给丙的数为a+1，丙传给丁的数为(a+1)2，丁报出的答案为(a+1)2-1；(2)399；(3)a=5或a=-722.将(2x 2+x)-[kx 2-(3x 2-x+1)]去括号，得2x 2+x -kx 2+(3x 2-x+2)=2x 2+x -kx 2+3x 2-x+2，合并同类顶，得2x 3+x -kx 2+3x 2-x+2=(5-k)x 2+2.若代数式的值是常数，则5-k=0，解得k=5故当k=5时，代数式的值是常数. 23.(1)1.5+(1.5+1.5)=4.5(万元)，故答案为：4.5(万元).(2)由题意，甲企业承包4年上缴的利润为：5+10+15+20=50(万元)，乙企业承包4年上缴的利润为：.5+3+4.5+6+7.5+9+10.5+12=54(万元)，∵54-50=4(万元)，∴乙企业比甲企业上缴利润多4万元，∴应该承包给乙企业，集围总公司获利较多.(3)根据题意得：甲企业承包n年上缴的利润总金额为：5+10+15+20+…+5n=5×(1+2+3+…+n)=2)1(5nn(万元)；乙企业承包n年上缴的利润总金额为：1.5+1.5×2+1.5×3+…+1.5×2n=1.5×(1+2+3+…+2n)=1.5n(2n+1)(万元).。
中学代数研究与教学(部分习题答案)
第一章 数与式
第一节 数系的扩展
1.举例说明数集扩充的原则和方法？ 以 四元数{1.i.j.k} 为例 方法：添加元素的方法（二元 →四元）有两种：
(1).把新的元素加入到已经建立的数系中而得到。（添加元素法） (2).用近代数学观点，在原有数系的基础上理论性的构造一个集
合，再对此集合通过定义关系 运算 划分等价类来建立新数系， 然后证明新数系的一真子集与原数系同构。（构造法） 原则： (1).二元 ⊂ 四元 (2).四元数满足加法交换律 还有乘法减法等性质，而不破坏二元 数的元素间的关系及运算。 (3).二元数满足代数封闭性，故其 n 次方程有 n 个根。而在四元 数中，n 次方程有无穷多个根，故不满足代数封闭性。 (4).四元数是二元数的所有具有上述三个性质的扩展的唯一最小 扩展。因为数集到数集的扩充是有一定条件的。如：四元数是 由二元数舍去乘法交换律扩充得到的。而目前尚未找到通过破 坏二元数的其它性质得到新的数集，故四元数是二元数的最小 扩充。
≠空集，求实数 a 的范围。
解：∵A∩B≠空集,则对立面 A∩B=空集
⎧y = x2 + ax + 2
联立方程组
⎨ ⎩
y
=
x
+
1(0
<
x
≤
2)
整理得:x+1=x²+ax+2，要让此方程无解则△≥0 若以为 x 主元方程可化为：x²+(a-1)x+1=0 既△＝（a-1）²-4≤0 ∴a＜3 ∴ A∩B≠空集时实数 a 的范围为 a≥3.
∴ 3 +x-1=0 或 3 x+x²+x+1=0
x ∴ 1 =1- 3
(专题精选)初中数学代数式经典测试题含答案解析
（专题精选）初中数学代数式经典测试题含答案解析一、选择题1．已知单项式2m 13a b -与n 7a b -互为同类项，则m n +为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项的概念求解． 【详解】解：Q 单项式2m 13a b -与7a b n -互为同类项，n 2∴=，m 11-=， n 2∴=，m 2=． 则m n 4+=． 故选D ． 【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．2．如果多项式4x 4+ 4x 2+ A 是一个完全平方式，那么A 不可能是（ ）． A ．1 B ．4C ．x 6D ．8x 3【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方式的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】∵4x 4+ 4x 2+1=（2x+1）2， ∴A=1，不符合题意， ∵4x 4+ 4x 2+ 4不是完全平方式， ∴A=4，符合题意， ∵4x 4+ 4x 2+ x 6=（2x+x 3）2， ∴A= x 6，不符合题意， ∵4x 4+ 4x 2+8x 3=（2x 2+2x ）2， ∴A=8x 3，不符合题意． 故选B ． 【点睛】本题主要考查完全平方式的定义，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．3．已知：1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52，…，根据前面各式的规律可猜测：101+103+105+…+199＝（）A．7500 B．10000 C．12500 D．2500【答案】A【解析】【分析】用1至199的奇数的和减去1至99的奇数和即可.【详解】解：101+103+10 5+107+…+195+197+199＝22 119919922++⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1002﹣502，＝10000﹣2500，＝7500，故选A．【点睛】本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．4．如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．20 B．27 C．35 D．40【答案】B【解析】试题解析：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=(3)2n n+个，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个．故选B．考点：规律型：图形变化类.5．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第几个图形中面积为1的正方形的个数为2019个（）A．400 B．401 C．402 D．403【答案】D【解析】【分析】由第1个图形有9个边长为1的小正方形，第2个图形有9+5=14个边长为1的小正方形，第3个图形有9+5×2=19个边长为1的小正方形，…由此得出第n个图形有9+5×（n-1）=5n+4个边长为1的小正方形，由此求得答案即可．【详解】解：第1个图形边长为1的小正方形有9个，第2个图形边长为1的小正方形有9+5=14个，第3个图形边长为1的小正方形有9+5×2=19个，…第n个图形边长为1的小正方形有9+5×（n-1）=5n+4个，当5n+4=2019时，解得n=403所以第403个图形中边长为1的小正方形的个数为2019个．故选：D．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．6．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（）A．（11，3）B．（3，11）C．（11，9）D．（9，11）【答案】A【解析】试题分析：根据排列规律可知从1开始，第N排排N个数，呈蛇形顺序接力，第1排1个数；第2排2个数；第3排3个数；第4排4个数 根据此规律即可得出结论．解：根据图中所揭示的规律可知，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，所以58在第11排；偶数排从左到右由大到小，奇数排从左到右由小到大，所以58应该在11排的从左到右第3个数． 故选A ．考点：坐标确定位置．7．如图1所示，有一张长方形纸片，将其沿线剪开，正好可以剪成完全相同的8个长为a ，宽为b 的小长方形，用这8个小长方形不重叠地拼成图2所示的大正方形，则大正方形中间的阴影部分面积可以表示为（ ）A ．2()a b - B ．29bC ．29aD ．22a b -【答案】B 【解析】 【分析】根据图1可得出35a b =，即53a b =，图1长方形的面积为8ab ，图2正方形的面积为2(2)a b +，阴影部分的面积即为正方形的面积与长方形面积的差．【详解】解：由图可知，图1长方形的面积为8ab ，图2正方形的面积为2(2)a b + ∴阴影部分的面积为：22(2)8(2)a b ab a b +-=- ∵35a b =，即53a b =∴阴影部分的面积为：222(2)()39b b a b -=-=故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是完全平方公式，根据图1得出a ，b 的关系是解此题的关键．8．如果(x 2＋px ＋q )(x 2－5x ＋7)的展开式中不含x 2与x 3项，那么p 与q 的值是( ) A ．p ＝5，q ＝18 B ．p ＝－5，q ＝18 C ．p ＝－5，q ＝－18D ．p ＝5，q ＝－18【答案】A 【解析】试题解析：∵（x 2+px+q ）（x 2-5x+7）=x 4+（p-5）x 3+（7-5p+q ）x 2+（7-5q ）x+7q ， 又∵展开式中不含x 2与x 3项， ∴p-5=0，7-5p+q=0， 解得p=5，q=18． 故选A ．9．下列运算正确的是（ ）． A ．()2222x y x xy y -=-- B ．224a a a += C ．226a a a ⋅= D ．()2224xy x y =【答案】D 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式分别化简求出答案． 【详解】解：A.、()2222x y x xy y -=-+，故本选项错误； B.、2222a a a +=，故本选项错误； C.、224a a a ⋅=，故本选项错误； D 、 ()2224xy x y =，故本选项正确；故选：D ． 【点睛】本题主要考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握相关的计算法则是解题的关键．10．下列图形都是由同样大小的五角星按照一定规律所组成的，按此规律排列下去，第n 个图形中五角星的个数为（ ）A ．31n -B ．3nC ．31n +D ．32n +【答案】C 【解析】 【分析】根据前4个图形中五角星的个数得到规律，即可列式得到答案. 【详解】 观察图形可知：第1个图形中一共是4个五角星，即4311=⨯+， 第2个图形中一共是7个五角星，即7321=⨯+， 第3个图形中一共是10个五角星，即10331=⨯+， 第4个图形中一共是13个五角星，即13341=⨯+，L ，按此规律排列下去，第n 个图形中一共有五角星的个数为31n +， 故选：C. 【点睛】此题考查图形类规律的探究，观察图形得到五角星的个数的变化规律并运用解题是关键.11．下列运算中，正确的是（ ） A ．236x x x ⋅= B ．333()ab a b =C ．33(2)6a a =D ．239-=-【答案】B 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则以及负整数指数幂的运算法则逐一判断即可． 【详解】x 2•x 3=x 5，故选项A 不合题意； （ab ）3=a 3b 3，故选项B 符合题意； （2a ）3=8a 6，故选项C 不合题意；3−2＝19，故选项D 不合题意． 故选：B ． 【点睛】此题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及负整数指数幂的计算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．12．下列运算中正确的是（ ） A ．2235a a a += B ．222(2)4a b a b +=+ C ．236236a a a ⋅= D ．()()22224a b a b a b -+=-【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式的法则，分别进行计算，即可求出答案．【详解】A 、2a+3a=5a ，故本选项错误；B 、（2a+b ）2=4a 2+4ab+b 2，故本选项错误；C 、2a 2•3a 3=6a 5，故本选项错误；D 、（2a-b ）（2a+b ）=4a 2-b 2，故本选项正确． 故选D ． 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．13．若3,2x y xy +==， 则()()5235x xy y +--的值为（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【解析】 【分析】项将多项式去括号化简，再将3,2x y xy +==代入计算.【详解】()()5235x xy y +--=235()xy x y -++，∵3,2x y xy +==，∴原式=2-6+15=11， 故选：B. 【点睛】此题考查整式的化简求值，正确去括号、合并同类项是解题的关键.14．下列算式能用平方差公式计算的是（ ） A ．(2)(2)a b b a +- B ．11(1)(1)22x x +--C ．(3)(3)x y x y --+D ．()()m n m n ---+【答案】D 【解析】 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】（-m-n ）（-m+n ）=（-m ）2-n 2=m 2-n 2， 故选D ． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．15．如图，从边长为(4a +)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（1a +）cm 的正方形（0a >），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )A ．22(25)a a cm +B ．2(315)a cm +C ．2(69)a cm +D ．2(615)a cm +【答案】D 【解析】 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算． 【详解】 矩形的面积为： （a+4）2-（a+1）2 =（a 2+8a+16）-（a 2+2a+1） =a 2+8a+16-a 2-2a-1 =6a+15． 故选D ．16．按如图所示的运算程序，能使输出y 的值为1的是（ ）A ．a ＝3，b ＝2B ．a ＝﹣3，b ＝﹣1C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝4，b ＝2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，每个选项进行计算，即可判断． 【详解】解：A 、当a ＝3，b ＝2时，y ＝12a -＝132-＝1，符合题意； B 、当a ＝﹣3，b ＝﹣1时，y ＝b 2﹣3＝1﹣3＝﹣2，不符合题意； C 、当a ＝1，b ＝3时，y ＝b 2﹣3＝9﹣3＝6，不符合题意；D 、当a ＝4，b ＝2时，y ＝12a -＝142-＝12，不符合题意． 故选：A ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，代数式求值等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．17．已知x=2y+3，则代数式9-8y+4x 的值是（ ） A ．3 B ．21C ．5D ．-15【答案】B 【解析】 【分析】直接将已知变形进而代入原式求出答案. 【详解】 解:∵x=2y+3 ∴x-2y=3∴98494(2y x y x -+=--⨯)=9-4(-3)=21 故选：B 【点睛】此题主要考查了整式的加减以及代数式求值，正确将原式变形是解题关键.18．若55+55+55+55+55＝25n ，则n 的值为（ ） A ．10 B ．6C ．5D ．3【答案】D 【解析】 【分析】直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案． 【详解】解：∵55+55+55+55+55=25n ， ∴55×5=52n ， 则56=52n ， 解得：n =3． 故选D ． 【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．19．若x +y ＝，x ﹣y ＝3﹣的值为（ ）A ．B ．1C ．6D ．3﹣【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质解答．【详解】解：∵x+y＝，x﹣y＝3﹣，==1．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行解题．20．一家健身俱乐部收费标准为180元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：+⨯=元，若一年内例如，购买A类会员年卡，一年内健身20次，消费1500100203500在该健身俱乐部健身的次数介于50-60次之间，则最省钱的方式为（）A．购买A类会员年卡B．购买B类会员年卡C．购买C类会员年卡D．不购买会员年卡【答案】C【解析】【分析】设一年内在该健身俱乐部健身x次，分别用含x的代数式表示出购买各类卡所需消费，然后将x=50和x=60分别代入各个代数式中比较大小即可得出结论．【详解】解：设一年内在该健身俱乐部健身x次，由题意可知：50≤x≤60则购买A类会员年卡，需要消费（1500＋100x）元；购买B类会员年卡，需要消费（3000＋60x）元；购买C类会员年卡，需要消费（4000＋40x）元；不购买会员卡年卡，需要消费180x元；当x=50时，购买A类会员年卡，需要消费1500＋100×50=6500元；购买B类会员年卡，需要消费3000＋60×50=6000元；购买C类会员年卡，需要消费4000＋40×50=6000；不购买会员卡年卡，需要消费180×50=9000元；6000＜6500＜9000当x=60时，购买A类会员年卡，需要消费1500＋100×60=7500元；购买B类会员年卡，需要消费3000＋60×60=6600元；购买C类会员年卡，需要消费4000＋40×60=6400；不购买会员卡年卡，需要消费180×60=10800元；6400＜6600＜7500＜10800综上所述：最省钱的方式为购买C类会员年卡故选C．【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义，掌握实际问题中各个量之间的关系是解决此题的关键．。
专题11代数部分验收卷(解析版)-2021年初升高数学无忧衔接(人教A版2019)
专题11代数部分验收卷1．算式0123202122222++++⋅⋅⋅+值的个位数字为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】B解：设m=0123202122222++++⋅⋅⋅+，则2m=12320222222+++⋅⋅⋅+，∴2m -m=1232022(2222)+++⋅⋅⋅+-01232021 (22222)++++⋅⋅⋅+∴m=20222-0 2=20222-1∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…，根据上述算式发现规律：每四个数字为一组，个位数字分别为2、4、8、6循环，∵2022÷4=505…2，∴22022的个位数字是4．∴20222-1的个位数字是3．故选：B ．2．已知,,a b c 满足2224-7,-23,2-2a b b c c a +==+=，则a b c +-的值为（）A ．－4B ．－5C ．－6D ．－7【答案】A解：∵2224-7,-23,2-2a b b c c a +==+=，∴2224+-2+2-6a b b c c a ++=，∴22221+44+-210a a b b c c +++++=∴222(1)+(2)+(1)0a b c ++-=，∴10a +=，20b +=，10c -=，∴1a =-，2b =-，1c =，1214a b c +-=---=-，故选：A ．3．已知,a b 为实数，且满足0,20ab a b >+-=，当-a b 为整数时，ab 的值为（ ）A ．34或12B ．14或1C ．34或1D ．14或34【答案】C解：()22224a b a ab b +=++=；设()2222a b a ab b t -=-+=，则44ab t =-， ∴44t ab -=， ∵-a b 为整数，0ab >，∴t 为0或1，当0t =时，1ab =；当1t =时，34ab =； ∴ab 的值为1或34． 故选：C4．若关于x 的不等式组2313664x x x a +⎧≥-⎪⎨⎪->-⎩有且只有五个整数解，且关于y 的分式方程310122y a y y --=--的解为非负整数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．18【答案】C 解：2313664x x x a +⎧≥-⎪⎨⎪->-⎩①②，由①得x ≤6，由②得x ＞26a +． ∵方程组有且只有五个整数解，∴26a +＜x ≤6， 即x 可取6、5、4、3、2． ∵x 要取到2，且取不到26a +， ∴1≤26a +＜2， ∴4≤a ＜10．解关于y 的分式方程310122y a y y --=--，得y =42a -， ∵分式方程的解为非负整数， ∴42a -≥0， ∴a ≤8，且a 是2的整数倍．又∵y ≠2，∴a ≠4．∴a 的取值为6、8．故选：C ．5．某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；（2）一次性购书超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学两次购书分别付款80元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（ ）元．A ．288B ．306C ．288或316D ．288或306【答案】C解：（1）第一次购物显然没有超过100，即在第二次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x ，那么依题意有x ×0.9=252，解得：x =280．①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为x ，那么依题意有x ×0.8=252，解得：x =315．即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此可以按照8折付款：360×0.8=288元或395×0.8=316元，故选：C ．6．小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（ ）A ．1支笔，4本本子B ．2支笔，3本本子C ．3支笔，2本本子D ．4支笔，1本本子【答案】A解：设购买了笔x 件，购买了本子(5-x )件，本子的单价为a 元，笔的单价为b 元，列方程组得 (5)48(5)27bx a x ax b x +-=⎧⎨+-=⎩， 当x =1时，原方程组为448427b a a b +=⎧⎨+=⎩，解得114a b =⎧⎨=⎩，符合题意； 当x =2时，原方程组为23482327b a a b +=⎧⎨+=⎩，解得183a b =⎧⎨=-⎩，不符合题意，舍去； 当x =3时，原方程组为32483227b a a b +=⎧⎨+=⎩，解得318a b =-⎧⎨=⎩，不符合题意，舍去； 当x =4时，原方程组为448427b a a b +=⎧⎨+=⎩，解得411a b =⎧⎨=⎩，不符合题意，舍去； 故选：A ．7．已知点()()()1232,,4,,,P y Q y M m y -均在抛物线2y ax bx c =++上，其中20am b +=．若321y y y ≥>，则m 的取值范围是（ ） A ．2m <-B ．1mC ．21m -<<D ．14m << 【答案】B∵20am b += ∴2b m a=- ∴点M (m ， y 3 )是该抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴为x =m ，∵点P (-2， y 1)， Q (4， y 2)均在抛物线2y ax bx c =++上，且321>y y y ≥ ∴24>2m -+ 解得m > 1，故选： B ．8．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴正半轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为()4,0，抛物线与y 轴负半轴交于点C ，有下列结论：①0abc >；②40a b +<；③若()11,M y 与()22,N y 是抛物线上两点，则12y y >；④若3AB ≥，则430b c +>其中，正确的结论是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 【答案】C解：（1）∵抛物线的开口向下，∴a <0．∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c <0．∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧， ∴02b a->． ∴b ＞0．∴abc >0．∴①正确；（2）∵抛物线过点B （4，0），点A 在x 轴的正半轴，∴对称轴在直线x =2的右侧． ∴22b a->． ∴202b a +<，即4a 02b a +<． 又∵a ＜0，∴4a 0b +>．∴②错误；（3）∵()11M y ，和()2N y 2，是抛物线上的两点，且0<1<2， ∴抛物线在02b x a <<-上，y 随x 的增大而增大，在2b x a>-上，y 随x 的增大而减小． ∴12y y >不一定成立．∴③错误；（4）∵3AB ≥，B （4，0），∴点A 的横坐标大于0且小于或等于1．∴当x =1时，有0y a b c =++≥；当x =4时，有1640y a b c =++=． ∴416b c a +=-，代入416b c a +=-，得，4016b c b c +-++≥． 整理得，450b c +≥．∴432b c c +≥-．又∵c <0，∴-2c >0．∴430b c +>．∴④正确．故选：C ．9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2()0y x bx b b =+->与y 轴交于点C ，点(,)A m n 在该抛物线位于y 轴左侧的图象上．记AOC △的面积为S ，若20S b <<，45AOC ∠>︒，则下列结论正确的是（ ） A ．02m b << B ．20b m -<< C ．22b n b -<< D ．22b n b b -<<-【答案】D由题意画出所示图象，因为函数的二次项系数为1>0，b >0,根据系数ab 同号，可以得出对称轴在y 轴左边，根据二次函数的顶点坐标，可知图像顶点在第四象限．由于点A 在y 轴的左侧，∴m ＜0，A 选项错误； ∵212AOC S ＝m b b ⋅⋅< ， ∴m ＜2b ，∴﹣2b ＜m ，∵∠AOC ＞45°，作直线y ＝x 交抛物线y ＝x 2+bx ﹣b 于点B （1x ，1x ），x 1＜0，代入抛物线得，∴1x ＝21x +b 1x ﹣b ，∴1x 2+（b ﹣1）1x ﹣b ＝0，∴△＝（b ﹣1）2+4b ＝（b +1）2，∴1x ()112b b b --+==-，若∠AOC ＞45°，则点A 在点B 的左侧，∴n ＞1x ，n ＞﹣b ，∴m ＜1x ，m ＜﹣b ，即﹣2b ＜m ＜﹣b ，∴B 选项错误；当﹣2b ＜m 时，在（﹣2b ，﹣b ）内递减，∴n ＜（﹣2b ）2+b •（﹣2b ）﹣b ，即n ＜2b 2﹣b ，∴﹣b ＜n ＜2b 2﹣b ，∴C 选项错误，D 选项正确．故选：D ．10．若直线2y kx k =++与x 轴的交点位于x 轴正半轴上，则它与直线21y x =-交点的横坐标a 的取值范围为（ ）A ．32a <B ．302a <<C ．1342aD ．14a > 【答案】C解：直线2y kx k =++与x 轴的交点位于x 轴正半轴上，0k ∴≠．令20y kx k ，解得：20k x k ， 即210k ，得21k<-． ①当0k >时，解得2k <-，与题设矛盾；②当0k <时，解得2k >-，所以20k -<<．当直线2y kx k =++与直线21y x =-相交时，221kx k x ，解得：32k x k， 即32k a k ， 又35(2)51222k k ak k k ，20k ， 02k ， 224k ， ∴111422k ，∴555422k ， ∴1531422k ． 故选：C ．11．如图，已知直线()110y k x b k =+≠与x 轴、y 轴相交于Q ，P 两点，与()220k y k x=≠的图象相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，连接OA ，OB ，现有以下4个结论：①120k k >；②不等式21k k x b x +>的解集是12x x x <<；③121b x x k +=-；④S S AOP BOQ ∆∆=．其中正确结论的序号是________．（填上你认为正确的所有结论的序号）【答案】①③④解：①如图所示，直线y =kx 1+b （k 1≠0）经过第一、三象限，则k 1＞0． 双曲线()220k y k x=≠经过第一、三象限，则k 2＞0． 所以k 1k 2＞0．故结论①正确；②如图所示：不等式21k k x b x+>的解集是x 1＜x ＜0或x ＞x 2；故结论②不正确； ③把()11,A x y ，()22,B x y 的坐标代入1y k x b =+得111122k x b y k x b y +=⎧⎨+=⎩， ∴211111212222k x bx x y k x bx x y ⎧+=⎨+=⎩，把()11,A x y ，()22,B x y 的坐标代入2k y x=， 得1122x y x y =， ∴22111122k x bx k x bx +=+，∴()()()11212120k x x x x b x x +-+-=， ∴()()121120x x k x x b -++=⎡⎤⎣⎦，∵12x x ≠，∴()1120k x x b ++=， ∴121b x x k +=-； 故结论③正确；④把()11,A x y ，()22,B x y 的坐标代入1y k x b =+得， 111122k x b y k x b y +=⎧⎨+=⎩， 解得12112122112y y k x x x y x y b x x -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩， ∴直线解析式为1212211212y y x y x y y x x x x x --=+--， ∴点1221120,,x y x y P x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，211212,0x y x y Q y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 把()11,A x y ，()22,B x y 的坐标代入2k y x =，得1122x y x y =， ∴2221221122211121112121212121112222POB x y x y x x y x y x y x y x y x y S x x x x x x x ∆---+=⨯⨯=⨯=⨯=---， ∴2211221121112121122QOA x y x y x y x x y S y y y y y ∆--=⨯⨯=⨯-- 22122221222111121222x y x y x y x y x y x y y y -++=⨯==-∴POB QOA S S ∆=，∴AOP BOQ S S∆=． 故结论④正确．故答案为：①③④．12．如图1，E 是等边ABC 的边BC 上一点（不与点B ，C 重合），连接AE ，以AE 为边向右作等边AEF ，连接CF ．已知ECF △的面积（S ）与BE 的长（x ）之间的函数关系如图2所示（P 为抛物线的顶点）．（1）当ECF △的面积最大时，FEC ∠的大小为______ ．（2）等边ABC 的边长为______ ．【答案】30过F 作FD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，如图： ABC 为等边三角形，AEF 为等边三角形，AB AC ∴=，AE AF =，60BAC ABC ACB EAF AEF ∠=∠=∠=∠=∠=︒，BAE CAF ∴∠=∠，ABE ∴≌ACF ，BE CF ∴=，60ABE ACF ∠=∠=︒，BE x =，CF x ∴=，18060FCD ACB ACF ∠=︒-∠-∠=︒， 3sin 602FD CF x ∴=⋅︒=，设等边ABC 边长是a ，则CE BC BE a x =-=-，()21122ECF S CE FD a x x x ∴=⋅=-=，当12x a ==⎝⎭时，ECF S220⎫-⎪=⎝⎭， (1)当ECF △的面积最大时，12BE a =，即E 是BC 的中点， AE BC ∴⊥，90AEB =︒∠，60AEF ∠=︒，18030FEC AEB AEF ∴∠=︒-∠-∠=︒，故答案为：30；（2）当12x a =时，ECF S2， 由图可知ECF S最大值是2=a =a =-边长0a >，舍去）， ∴等边ABC的边长为a =故答案为：13．在平面直角坐标系中，已知抛物线2222y x tx t t =-+-++．（1）若该抛物线过原点，则t 的值为________．（2）已知点(4,2)A --与点(2,2)B -，若该抛物线与线段AB 只有一个交点，则t 的范围是__．【答案】1-或2 43,05t t -≤<-<≤解：(1) 把（0，0）代入抛物线2222y x tx t t =-+-++得，202t t =-++，解得，11t =-，22t =；故答案为：1-或2(2) 由解析式可知抛物线的对称轴是直线x t =；把点(4,2)A --代入解析式得，221682t t t -=---++，解得，13t =-，24t =-；当13t =-时，抛物线与线段刚好有两个交点(4,2)--和(2,2)--，当24t =-时，抛物线与线段只有一个交点，故t 的范围是43t -≤<-；把点(2,2)B -代入解析式得，22442t t t -=-+-++，解得，10t =，25t =；当10t =时，抛物线与线段刚好有两个交点(2,2)--和(2,2)-，当25t =时，抛物线与线段只有一个交点，故t 的范围是05t <≤；故答案为：43,05t t -≤<-<≤14．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y =12x 的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A 的坐标为（27，9），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S 1、S 2、S 3、…、S n ，则第4个正方形的边长及S 3的值分别为___．【答案】276561,232解:正比例函数y=12x 的图象与x 轴交角的正切值为12，已知A 的坐标为(27 ,9)， ∴第4个正方形的边长是272=392⨯ 第三个正方形的边长为9，第二个正方形的边长为6，第一个正方形的边长为4， 第五个正方形的边长为814由图可知： 11144(46)622S =⨯⨯+⨯+⨯-1(46)682⨯+⨯=2112727199(9)(922222S =⨯⨯+⨯+⨯-⨯+272781)222⨯= 318181656124432S ∴=⨯⨯= 故答案为：276561,23215．我校学生社团开展以来全校师生积极参与，为了了解同学们参与的意向，卢老师在全年级进行了随机抽样调查（被抽到的同学都填了意向表，且只选择了一个意向社团），统计后发现共A 、B 、C 、D 四个社团榜上有名．其中选C 的人数比选D 的少6人；选A 的人数是选D 的人数的整数倍；选A 与选D 的人数之和是选B 与选C 的人数之和的9倍；选A 与选B 的人数之和比选C 与选D 的人数之和多56人．则本次参加调查问卷的学生有______人．【答案】80解：设选D 的人为x ,则选C 的(x -6)人,设选A 的为ax 人，则选B 的为y 人()(6)569(6)ax y x x ax x y x +--+=⎧⎨+=+-⎩③-②得：3552x y +=1494258x x x y y y ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩======或或 把142x y ⎧⎨⎩==代入①得a =5.43（舍去，非整数） 把95x y ⎧⎨⎩==代入②得a =7 把48x y ⎧⎨⎩==代入①得a =12.5（舍去，非整数） ∴x =9，y =5，a =7∴:63;:5;:63:9A ax B y c x D x ==-==；∴总人数为：6353980+++=故答案为：8016．如图，ABC 中90A ∠=︒，5AB =，12AC =，点D 为动点，连接BD 、CD ，BDC ∠始终保持为90︒，线段AC 、BD 相交于点E ，则DE BE的最大值为__________．【答案】45解：由题意，设AE x =，则12CE x =-，BE ∴在ABE △和DCE 中，90A D AEB DEC ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ABE DCE ∴~，AE BE DE CE ∴=，即x DE = 解得DE =， 则2(12)25x x E x D BE -=+， 令(0)DE k k BE =>，则2(12)25x x k x -+=， 整理得：2(1)12250k x x k +-+=，关于x 的一元二次方程2(1)12250k x x k +-+=有实数根，∴方程根的判别式144425(1)0k k ∆=-⨯+≥，即22525360k k +-≤，令22525360k k +-=， 解得1249,55k k ==-， 由二次函数2252536y k k =+-的性质可知，当0y ≤时，9455k -≤≤， 则k 的最大值为45， 即DE BE 的最大值为45，故答案为：45． 17．已知，矩形ABCD 中，6,9AB BC ==，点F 在AB 边上，且2AF =，点E 是BC 边上的一个点，连接EF ，作线段EF 的垂直平分线HG ，分别交边AD ，BC 于点H 、G ，连接FH ，EH ．当点E 和点C 重合时（如图1），DH =_________；当点B ，M ，D 三点共线时（如图2），DH =_________．【答案】4918； 103． 解：①∵HG 是线段EF 的垂直平分线，∴FH =CH ，设DH =m ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD =BC =9，CD =AB=6，∠A =∠D =90°，由勾股定理可得FH 2=FA 2+AH 2，CH 2=HD 2+DC 2，∴22+（9-m ）2=m 2+62，解得m =4918， 故答案为：4918； ②过M 作MN ⊥BE 于N ，连结BD ，FG ，设HD =m ，EC =n ，BG =x ，点B ，M ，D 三点共线，∵FM =ME ，MN ∥FB ，∴NB =NE ，NM =()116222BF AF =-=， 又∵MN ∥CD ，∴∠BMN =∠BDC ，∠MNB =∠C ，∴△BMN ∽△BDC ， ∴2163BM MN BD CD ===， ∴=3BD BM ，∴=32DM BD BM BM BM BM =--=∵HD ∥BG ，∴∠DHM =∠BGM ，∠HDM =∠GBM ，∴△HDM ∽△GBM ， ∴22HD MD BM BG BM BM===， ∴11=,22BG HD x m =， 在Rt △BFG 中，FG =9-BG -EC =192GE m n =-- BG 2+FB 2=FG 2，即42+2211=922m m n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴()218965n n m mn ---=-① 由勾股定理HF 2=AF 2+AH 2，HE 2=62+（m -n ）2∴22+（9-m ）2=62+（m -n ）2∴()22949n m mn +-=② ①×2+②得233681n n -=-因式分解得()()390n n --=解得3n =或9n =（舍去）把3n =代入②9+2（9m -3m ）=49,解得m =103． 故答案为： 103．18．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若()0a a ≥不是某个有理数的平方，则方程2x a =在有理数范围内无解；若b 不是某个有理数的立方，则方程3x b =在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________．①93x =在实数范围内有解；②202050x -=在实数范围内的解不止一个；③245x x +=在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的()0a a ≥ 【答案】①②①93x =，则()333x =，即3x =∴93x =，在实数范围内有解，故选项①正确；②202050x -=，则()210105x =，∴202050x -=在实数范围内的解有两个，故选项②正确；③245x x +=，整理得：4250x x +-=， 配方得：2212124x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，开方得：2122x +=或2122x +=-(舍去)，∴211222x =-=，∴原方程在在实数范围内有解，且一正一负，故选项③错误；④当0a =0=；当8a =2>=；当18a =12<=；故选项④错误； 综上，①②正确，故答案为：①②．19．如果一个两位数a 的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记()a ω，例如：a =13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以()134ω=．根据以上定义，回答下列问题：（1）计算：()23ω=____________．（2）若一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2(k +1)，且()8b ω=，则“跟斗数”b =____________． （3）若m ，n 都是“跟斗数”，且m +n =100，则()()m n ωω+=____________．【答案】5 26 19解：（1）()233223511ω+== （2）∵一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2(k ＋1)，且()8b ω=，∴[][]102(1)102(1)811k k k k +++⨯++= 解得k =2，∴2(k ＋1)=6，∴b =26．（3）∵m ，n 都是“跟斗数”，且m ＋n =100，设m =10x ＋y ，则n =10(9-x )＋(10-y )， ∴[][]10(9)(10)+10(10)(9)(10)(10)()()1111x y y x x y y x m n ωω-+--+-++++=+ 10109010101001091111x y y x x y y x +++-+-+-+-=+111120*********x y x y +--=+ 1919x y x y =++--=20．若实数a ，b 满足1a b -=，则代数式2225a b b --+的值为_______________．【答案】6．解：2225()()25a b b a b a b b --+=+--+，把1a b -=代入得()25255a b b a b b a b +-+=+-+=-+，再把1a b -=代入得5156a b -+=+=；故答案为：6．21．已知数轴上的点A 表示的数为2．动点B 从点A 出发在数轴上运动．（1）点B 先向左9个单位，再向右5个单位，则终点B 表示的数为_______，此时A 、B 两点间的距离为_______．（2）若点B 先向左a 个单位，再向右7个单位，此时A 、B 两点间的距离为5，求a 的值．（3）若点B 第1次向左3个单位，第2次向右6个单位，第3次向左9个单位，第4次向右12个单位…，依此规律，移动到第n 次结束（n 为偶数），则终点B 表示的数是______．【答案】（1）-2，4；（2）2或12；（3）432n + 解：（1）点B 先向左9个单位，再向右5个单位，则终点B 表示的数为2-9+5=-2，此时A 、B 两点间的距离为2-（-2）=4；（2）由题意可得：移动后点B 表示的数为：2-a +7=9-a ，则此时A 、B 两点间的距离为925a --=，解得：a =2或a =12；（3）∵第1次向左3个单位，此时点B 表示的数为2-3=-1，第2次同右6个单位，此时点B 表示的数为-1+6=5，第3次向左9个单位，此时点B 表示的数为5-9=-4，第4次向右12个单位，此时点B 表示的数为-4+12=8，...，∴第n 次（n 为偶数）向右3n 个单位，则终点B 表示的数是：2-3+6-9+12-...+3n =2+32n =432n +． 22．已知，在计算：()()12++++N N N 的过程中，如果存在正整数N ，使得各个数位均不产生进位，那么称这样的正整数N 为“本位数”．例如：2和30都是“本位数”，因为2349++=没有进位，30313293++=没有进位；15和91都不是“本位数”，因为15161748++=，个位产生进位，919293276++=，十位产生进位．则根据上面给出的材料：（1）下列数中，如果是“本位数”请在后面的括号内打“√”，如果不是“本位数”请在后面的括号内画“×”． 106（ ）；111（ ）；400（ ）；2015（ ）．（2）在所有的四位数中，最大的“本位数”是 ，最小的“本位数”是 ．（3）在所有三位数中，“本位数”一共有多少个？ 【答案】（1）×，√，×，×；（2）3332；1000；（3）36（个）．解：（1）106107108321++=有进位；111112113336++=没有进位；4004014021203++=有进位；2015201620176048++=有进位；故答案为：×，√，×，×．（2）要想保证不进位，千位、百位、十位最大只能是3，个位最大只能是2，故最大的四位“本位数”是3332；千位最小为1，百位、十位、个位最小为0，故最小的“本位数”是1000，故答案为：3332，1000．（3）要想构成“本位数”，百位可以为1，2，3，十位可以为0，1，2，3，个位可以为0，1，2，所有的三位数中，“本位数”一共有34336⨯⨯=（个）．23．在平面直角坐标系xoy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（0，3），(2，0），顶点为M 的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A ，B ，且与x 轴交于点D ，E （点D 在点E 的左侧）．（1）直接写出点B 的坐标，抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）点P 是（1）中抛物线对称轴上一动点，求△PAD 的周长最小时点P 的坐标；（3）平移抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c ，使抛物线的顶点始终在直线AM 上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段BM 有公共点时，求抛物线顶点的横坐标a 的取值范围．【答案】（1）B （2，3），y ＝－x 2＋2x ＋3，M （1，4）；（2）点P 的坐标为（1，2）；（3）当抛物线与线段B M 有公共点时，抛物线顶点的横坐标a 的取值范围为78≤a ≤1或2≤a ≤4． 解：（1）∵点A ，C 的坐标分别为（0，3），(2，0），且四边形OABC 是矩形，∴B (2，3)；把点A 、B 代入抛物线的解析式，则3423c b c =⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩； ∴y ＝－x 2＋2x ＋3，∴2(1)4y x =--+；∴点M 为(1，4)；（2）在对称轴上取一点P ，连接PA ，PB ，PD ，由抛物线及矩形的轴对称性可知点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，所以PA ＝PB ，因此当点P ，B ，D 在一条直线上时△PAD 的周长最小．当－x 2＋2x ＋3＝0时，解得，x 1＝－1，x 3＝3∴点D (－1，0).设直线BD 的解析式为y BD ＝kx ＋q ，于是有y ＝x ＋1．当x ＝1时，y ＝2，∴点P 的坐标为(1，2) ．（3）由题意可得y AM ＝x ＋3，y BM ＝－x ＋5．∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的顶点在直线y AM ＝x ＋3上∴可设平移中的抛物线的解析式为y ＝－(x －a )2＋a ＋3．当a ＝1时，抛物线y ＝－(x －a )2＋a ＋3即y ＝－x 2＋2x ＋3，此时抛物线y ＝－(x －a )2＋a ＋3与线段AB 有两个交点当a ＞1时，①当抛物线y ＝－(x －a )2＋a ＋3经过点()1,4M 时，有－(1－a )2＋a ＋3＝4，解得：a 1＝1(舍去)，a 2＝2．②当抛物线y ＝－(x －a )2＋a ＋3经过点B (2，3)时，有－(2－a )2＋a ＋3＝3，解得a 1＝1(舍去)，a 2＝4．综上得 2≤a ≤4；当a ＜1且抛物线y ＝－(x －a )2＋a ＋3与直线y BA ＝－x ＋5有公共点时，则方程－(x －a )2＋a ＋3＝－x ＋5即x 2－(2a ＋1)＋a 2－a ＋2＝0有实数根，∴(2a ＋1) 2－4(a 2－a ＋2)≥0，即a ≥78． ∴78≤a ＜1． 综上可得78≤a ≤1或2≤a ≤4时，平移后的抛物线与线段BA 有公共点． 24．阅读理解：对于任意一个四位数，若千位数字与十位数字均为奇数，百位数字与个位数字均为偶数，则称这个四位数为“均衡数”．将一个“均衡数”的千位数字与十位数字组成一个新的两位数m ，原来千位数字作为m 的十位数字；将一个“均衡数”的百位数字与个位数字组成另一个新的两位数n ，原来百位数字作为n的十位数字．例如：“均衡数”3812，则31,82m n ==．若,m n 各个数位上的数字都不为零且十位数字大于个位数字，则将m 中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，n 中的任意一个数字作为这个新的两位数的个位数字，按这个方式产生的所有新的两位数的和记为(,)F m n ．例如：3182m n ==，时，(31,82)38321812100F =+++=．（1）3456_______（填“是”或“不是”）“均衡数”，最小的“均衡数”为_______；（2）若(,)F m n 是一个完全平方数，请求出所有满足条件的“均衡数”．【答案】（1）是，1212；（2）1616，3812，5814，7622，7652解：（1）由“均衡数”的定义可得3456是“均衡数”，最小的“均衡数”为1212．故答案为：是，1212；（2）设m =ab ，n =xy （a ＞b ，x ＞y ），F （m ，n ）=F （ab ，xy ）=10a +x +10a +y +10b +x +10b +y=2（10a +10b +x +y ），∵0＜a ，b ，x ，y ＜9，∴0＜2（10a +10b +x +y ）＜396，∵2（10a +10b +x +y ）是偶数，又是一个完全平方数，∴满足条件的完全平方数有64，100，144，196，256，324，当2（10a +10b +x +y ）=64时，a =1，b =1，x =6，y =6满足题意，当2（10a +10b +x +y ）=100时，a =3，b =1，x =8，y =2满足题意，当2（10a +10b +x +y ）=144时，a =5，b =1，x =8，y =4满足题意，当2（10a +10b +x +y ）=196时，a =7，b =1，x =9，y =9不满足题意，当2（10a +10b +x +y ）=256时，a =7，b =5，x =6，y =2满足题意，当2（10a +10b +x +y ）=324时，没有解．故所有满足条件的“均衡数”为1616，3812，5814，7622，7652．25．如图，抛物线2y x bx c =-++经过(1,0),(,0)A B m -两点(0)m >，与y 轴交于点C ，连接,AC BC ．（1）求证：OB OC =；（2）设点(,)P x y 是抛物线2y x bx c =-++上,B C 两点之间的动点，连接,PB PC ．在3m =的条件下：①若12PBC ABC S S =，求点P 的坐标；②若1n x n ≤≤+，且2y x bx c =-++的最大值为2n ，直接写出n 的值．【答案】（1）见解析；（2）①点P 的坐标为(1,4)或(2,3)；②1-解：（1）把A （-1，0）代入解析式，得-1-b +c =0即b =c -1．∵y =-2x +bx +c 的对称轴为x =b 2，A （-1，0），B （m ，0）是对称点， ∴b 122m -+=， ∴b =m -1，∴m -1=c -1，∴m =c ，∵OB =m ，OC =c ，∴OB =OC ；（2）①当m =3时，b =m -1=2，c =m =3，∴抛物线的解析式为y =-2x +2x +3，∴B （3，0），C （0，3），∴OB =OC =3；∵A （-1，0），∴AB =4， ∴1143622ABC S AB OC =•=⨯⨯=△, ∴132PBC ABC S S ==△△， 过点P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ，交BC 于点E ，设直线BC 的解析式为y =kx +t ，根据题意，得333t k t =⎧⎨+=⎩， 解得31t k =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为y =-x +3，∴点P 的坐标（x ，-2x +2x +3），点D 的坐标（x ，0），点E 的坐标（x ，-x +3），∴PE =（-2x +2x +3）-（-x +3）=-2x +3x ，过点C 作CF ⊥PE ，垂足为F ， 则1()2PBC S PE CF BD =+△， ∴213(3)32x x ⨯⨯-+= ∴2320x x -+=，解得x =1或x =2，∴点P 的坐标为（1，4）或（2，3）②∵抛物线y =-2x +2x +3=2(1)4x --+，∴当x =1时，函数y 有最大值，且为4，当n ≤1≤n +2时即-1≤n ≤1时，函数有最大值4，故2n =4，解得n =2，不符合题意，故n =2舍去；当1＜n ≤x ≤n +2时即取值范围在对称轴右边，∵抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∴当x =n 时，函数有最大值，此时函数值为y =-2n +2n +3，∴-2n +2n +3=2n ，解得n n = ；当n ≤x ≤n +2＜1时即取值范围在对称轴左边，∵抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，∴当x =n +2时，函数有最大值，此时函数值为y =-2(2)n ++2（n +2）+3，∴-2(2)n ++2（n +2）+3，解得n =1-n =1-（舍去）；∴n 1-26．如图1，二次函数22y ax bx =++的图象交x 轴于点()2,0A -、()3,0B ，交y 轴于点C ，P 是第一象限内二次函数图象上的动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，若以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与BOC 相似，求点P 的坐标；（3）如图2．连接AP ，交直线BC 于点D ，当2BD CD =时，求ADC ∠的正切值．【答案】（1）211233=-++y x x ；（2）()1,2；（3）3019． 解：（1）将()2,0A -、()3,0B 代入函数表达式，得42209320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴所求二次函数的表达式为211233=-++y x x ； （2）∵以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与BOC ∆相似，如图所示:∴PAQ CBO ∠=∠或OCB ∠， 而2tan 3CO CBO OB ∠==， 故2tan 3PAQ ∠=或32， 设点P 的坐标为211,233x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则2AQ x =+， 故2112233tan 23x x PQ PAQ AQ x -++∠===+或32， 解得1x =（不合题意的值已舍去），检验:把1x =代入原方程的分母，分母不等于0，∴是原方程的根，故点P 的坐标为()1,2；（3）过点A 作AE AP ⊥交直线BC 于点E ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，如图所示:∴90EFA EAD AGD ∠=∠=∠=︒,∴90FEA EAF ∠+∠=︒，90DAG EAF ∠+∠=︒,∴FEA DAG ∠=∠,∴EAF ADG ∽△△, ∴EF AF AE AG DG AD==, ∵90COB DGB ∠=∠=︒，CBO CBO ∠=∠，∴DBG CBO ∽△△, ∴BD BG DG BC BO CO==, 设2,23E x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则2AF x =--，223EF x =-+, ∵2BD CD =， ∴23BD BC =时，点41,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴3AG =，43DG =,∴2223433x x AE AD-+--==， 解得7819x =-， ∴30tan 19AE ADC AD ∠==． 27．如图1，抛物线2y bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、B 分别位于原点左、右两侧，且24AO BO ==，过A 点的直线y kx c =+交y 轴于点C ．（1）求k 、b 、c 的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使ACP △为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M 为线段AC 上一点，连接OM ，求12AM OM +的最小值． 【答案】（1）2b c ==-k =；（2）1(1P -，2(1P -，3(P -，4(1P -，-；（32 解：（1）∵24AO BO ==，∴A (-4，0)，B (2，0)，把A (-4，0)，B (2，0)代入24y x bx c =++，得0402b c b c ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得：b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AC的解析式为：y kx =-把A (-4，0)代入y kx =-04k =--k =，∴2b c ==-k =； （2）∵A (-4，0)，C (0，-)，∴()(22240024AC =--++=，∵抛物线的对称轴为：直线1x ==-，∴设P (-1，y )，则()()22224109AP y y =-++-=+，()()()2222011PC y y =++-=+-， ①当∠APC =90°时，则222AP PC AC +=，∴29y ++()21y +-=24，解得：12y y ==∴1(1P -，2(1P -， ②当∠PAC =90°时，则222AP AC PC +=，∴29y ++24=()21y+-，解得：y =∴3(P -， ③当∠ACP =90°时，则222PC AC AP +=，∴()21y +-+24=29y +，解得：y =-∴4(1P -，-，综上所述：1(1P -，2(1P -，3(P -，4(1P -，-； （3）过点A 作直线EF ，交y 轴于点E ，使∠CAE =30°，过点O 作ON ⊥EF ，交AC 于点M '， 此时，12AM OM +的最小值=M 'N +O M '=ON ，过点C 作CH ⊥EF 于点H ， ∵OA =4，OC=∴AC=∴CHAH设HE =a ，CE =b ，∵∠CHE =∠AOE =90°，∠AEO =∠CEH ，∴AEO CEH ∽，==，解得：a b == ∵ON ∥CH ，∴OEN CEH ∽， ∴CH CE ON OE =55126=，解得：2ON =， ∴12AM OM +2．28．如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()20y axa =>与直线y x =相交于点O 和点A ，OA 截得的抛物线弓形的曲线上有一点P ．（△）当1a =时，解答下列问题：①求A 点的坐标；②连接OP ，AP ，求OPA 面积的最大值；③当OPA 的面积最大时，直线OP 也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点P '，连接OP '，P P '，当OP P '的面积最大时，求这个OP P '的最大面积与②中OPA 的最大面积的比值；（△）将（△）中1a =的条件去掉后，其它条件不变，则OP P '的最大面积与OPA 的最大面积的比值是否变化？请说明理由．【答案】（Ⅰ）①()1,1A ；②18；③18；（Ⅱ）不变，见解析； 解：（Ⅰ）①当1a =时，抛物线解析式为2y x ，解方程组2y x y x ⎧=⎨=⎩，解得121201,01x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩， ∴()1,1A ；②设过点P 与OA 平行的直线为y x b =+，由2y x y x b⎧=⎨=+⎩得20x x b --=，由0∆=，可得14b =-， ∴14y x =-， ∴11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时OPA 面积最大值为1111248⨯⨯=． ③由②直线OP 的解析式12y x =， 设与OP 平行的直线为112y x b =+， 由2112y x y x b ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得21102x x b --=，由0∆=，可得1116b =-， ∴OPP '△面积最大值为1111216264⨯⨯=， ∴OPP '△的面积与OPA 的面积的比18． （Ⅱ）不变．理由：2(0)y ax a =>与直线y x =交点为()0,0和11,A a a ⎛⎫⎪⎝⎭， 设过点P 与OA 平行的直线为y x b =+，由2y ax y x b⎧=⎨=+⎩得20ax x b --=，由0∆=，可得14b a =-， ∴14y x a=-， ∴11,24P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时OPA 面积最大值为21111248a a a ⨯⨯=． 由1:2OP y x =， 设与OP 平行的直线为112y x b =+， 由2112y ax y x b ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得21220ax x b --=，由0∆=，可得1116b a =-， ∴OPP '△面积最大值为21111216264a a a ⨯⨯=， ∴OPP '△的面积与OPA 的面积的比18． 29．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点()0,2C ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向下平移m 个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段BC 上，求m 的值； （3）如果点P 是抛物线位于第一象限上的点，联结PA ，交线段BC 于点E ，当:4:5PE AE =时，求点P 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为213222y x x =-++；（2）158=m ；（3）点(2,3)P解：（1）212y x bx c =-++与x 轴交于点(1,0)A -，与y 轴交于点(0,2)C ． ∴2102c b c =⎧⎪⎨=--+⎪⎩， 解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为213222y x x =-++； （2）221313252()22228y x x x =-++=--+， ∴顶点坐标为3(2，25)8， 213222y x x =-++与x 轴交于点A ，点B ， 2130222x x ∴=-++， 11x ∴=-，24x =，∴点(4,0)B ， 设直线BC 解析式为y kx n =+，204n k n=⎧⎨=+⎩， 解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 解析式为122y x =-+， 当32x =时，54y =， 25515848m ∴=-=； （3）如图，过点E 作EF AB ⊥于F ，过点P 作PH AB ⊥于H ，//EF PH ∴，AEF APH ∴∆∆∽， ∴AE AF EF AP AH PH==， :4:5PE AE =， ∴59AE AF EF AP AH PH ===， 5AF x ∴=，9PH x =，51OF x ∴=-，91OH x =-，∴点191(51)22P x x ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，，，点21351(91)(91)222E x x x ⎛⎫---+-+ ⎪⎝⎭，，， 1(51)22EF x ∴=--+，213(91)(91)222PH x x =--+-+， ∴21(51)252139(91)(91)222x x x --+=--+-+， 13x ∴=， ∴点(2,3)P ．30．如图，抛物线M ：24y x x =-+交x 轴正半轴于点A ，将抛物线1M 先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线2M ，1M 与2M 交于点B ，直线OB 交2M 于点C ．（1）①抛物线2M 的解析式为_______；②求点B ，C 的坐标．（2）P 是抛物线1M AB ⊥间的点，作PQ x ⊥轴交抛物线2M 于点Q ，连接CP ，CQ ．设点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，使CPQ 的面积最大？并求出最大值．【答案】（1）①21018=-+-y x x ，②点B 、C 的坐标分别为()3,3、()6,6；（2）当4m =时，S 有最大值，且最大值为6．解：（1）①根据抛物线的性质，y ＝﹣x 2+4x 移后的对应的函数表达式为y ＝﹣（x ﹣3）2+4（x ﹣3）+3＝﹣x 2+10x ﹣18②，联立①②并解得33x y =⎧⎨=⎩， 故点B 的坐标为（3，3），由点B 的坐标得，直线OB 的表达式为y ＝x ③，联立②③并解得33x y =⎧⎨=⎩或66x y =⎧⎨=⎩， 故点B 、C 的坐标分别为（3，3）、（6，6）；∴①答案为：y ＝﹣x 2+10x ﹣18，②点B 、C 的坐标分别为（3，3）、（6，6）；（2）如图2，过点C 作CH ⊥PQ ，交PQ 延长线于点H ，∴PQ ⊥x 轴，∴PQ ＝（﹣m 2+10m ﹣18）﹣（﹣m 2+4m ）＝6m ﹣18，CH ＝6﹣m ，∴S △CPQ 12=（6m ﹣18）（6﹣m ）＝﹣3m 2+27m ﹣54， 由于P 是抛物线M 1上AB 段一点，故3≤m ≤4，m922ba=-=，不在3≤m≤4范围内，∵a＝﹣1，开口向下，在对称轴的左侧，S随着m的增大而增大，∴当m＝4时，S有最大值，且最大值为6．。
成都市第三十八中学校数学代数式综合测试卷(word含答案)
一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）1．某超市在十一长假期间对顾客实行优惠，规定如下：________元：小明妈妈一次性购300元的衣服，她实际付款________元：如果他们两人合作付款，则能少付________元. （2）小芳奶奶在该超市一次性购物x元生活用品，当x大于或等于500时，她们实际付款________元（用含x的式子表示，写最简结果）（3）如果小芳奶奶两次购物货款合计900元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），两次购物小芳奶奶实际付款多少元？（用含a的式子表示）（4）如何能更省钱，请给出一些建议.【答案】（1）190；280；10（2）（0.8x+60）（3）解：100+0.9（a-100）+100+0.9×（500-100）+0.8（900-a-500）=（0.1a+790）元. 答：两次购物小芳奶奶实际付款（0.1a+790）元。
（4）解：一次性购物能更省钱。
【解析】【解答】（1）解：小明的爷爷一次性购200元的保健食品，他实际付款100+0.9×（200-100）=190元：小明妈妈一次性购300元的衣服，她实际付款100+0.9×（300-100）=280元：如果他们两人合作付款，则能少付190+280-[100+0.9×（200+300-100）]=10元.故答案为：190；280；10（ 2 ）解：小芳奶奶在该超市一次性购物x元生活用品，当x大于或等于500时，她们实际付款100+360+0.8（x-500）=（0.8x+60）元.故答案为：（0.8x+60）【分析】（1）根据优惠办法"少于100元不予优惠，超过100元但低于500元，超过100元部分给予九折优惠"可球得实际付款；（2）由"少于100元不予优惠，超过100元但低于500元，超过100元部分给予九折优惠，超过500元的，超过500元部分给予八折优惠"可列出代数式；（3）分别求出两次购物小芳奶奶实际付款的钱数，相加即可求解；（4）通过计算可知一次性购物能更省钱．2．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着-5，-2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.（1）求前4个台阶上数的和是多少？（2）求第5个台阶上的数是多少？（3）应用求从下到上前31个台阶上数的和．发现试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．【答案】（1）解：由题意得前4个台阶上数的和是-5-2+1+9=3（2）解：由题意得-2+1+9+x=3，解得：x=-5，则第5个台阶上的数x是-5（3）解：应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，∵31÷4=7…3，∴7×3+1-2-5=15，即从下到上前31个台阶上数的和为15；发现：数“1”所在的台阶数为4k-1【解析】【分析】（1）由台阶上的数求出台阶上数的和即可；（2）根据题意和（1）的值，求出第5个台阶上的数x的值；（3）根据题意知台阶上的数字是每4个一循环，得到从下到上前31个台阶上数的和，得到数“1”所在的台阶数为4k-1.3．温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地台，杭州厂可支援外地台．现在决定给武汉台，南昌台．每台机器的运费（单位：百元）如表．设杭州运往南昌的机器为台．南昌武汉温州厂杭州厂（2）若总运费为元，则杭州运往南昌的机器应为多少台?（3）试问有无可能使总运费是元?若有可能，请写出相应的调运方案；若无可能，请说明理由．【答案】（1）解：设总费用为W百元，由杭州运往南昌x台，运往武汉(4-x)台，温州运往南昌(6-x)台，运往武汉(4+x)台，根据题意得：W=4(6-x)+8(4+x)+3x+5(4-x)=2x+76，∴总运费为(2x+76)百元（2）解：当W=8200元=82百元时，76+2x=82，解得x=3．答：总运费为8200元，杭州运往南昌的机器应为3台（3）解：当W=7400元=74百元时，74=2x+76，解得：x=－1，∵0≤x≤4，∴x=－1不符合题意，总运费不可能是7400元．【解析】【分析】（1）设总费用为W百元，由杭州运往南昌x台，运往武汉(4-x)台，温州运往南昌(6-x)台，运往武汉(4+x)台，杭州运往南昌x台需要的运费为：3x百元，杭州运往武汉(4-x)台需要的运费为：5(4-x)百元，温州运往南昌(6-x)台需要的运费为4(6-x)百元，温州运往武汉(4+x)台需要的运费为：8(4+x)百元，根据总运费等于各条线路的运费之和即可列出W与x之间的函数关系式；（2）把W=8200元=82百元代入（1）列的函数关系式即可算出x的值，从而得出答案；（3）把W=7400元=74百元代入（1）列的函数关系式即可算出x的值，根据x的取值范围进行检验即可得出结论。
0772《中学代数研究》秋《数学与应用数学》专业
单选题：1、用复数的棣莫弗公式，可以推导A. 一元二次方程的求根公式B. 点到直线的距离公式C. 三角函数的n 倍角公式2.下列说法，哪一个是错误的：A. 戴德金分割和有理数区间套定义是等价的；B. 戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”“不漏”“不乱”三个条件；C. 戴德金分割的下集存在最大数时，上集存在最小数。
3、“等价关系”和“顺序关系”的区别在于，前者具有：A. 反身性B.对称性C.传递性4、高中代数课程的基本主线是： A. 方程 B. 函数 C. 数列5、在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的----. A. 恒等变换 B. 形式推导 C. 直观理解6、点到直线的距离公式，可以用--------推出：A. 排序不等式B. 均值不等式C. 柯西不等式7、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有：A. 稠密性B. 连续性C. 可数性D. 完备性8、加权平均不等式和下列哪种不等式有内在联系：A. 均值不等式B. 柯西不等式C. 排序不等式9、代数学是研究数学对象的运算的理论和方法的一门学科，根据数学对象的不同表现代数学可分为：A. 方程和函数；B. 数列和算法C. 古典代数和近代代数；D. 抽象代数和近世代10、下列说法，哪个是正确的；A. 复数集是一个有序域；B. 复数可以排序；C. 复数可以比较大小；11、下列哪个说法是错误的:A. 用尺规作图可以二等分角B. 用尺规作图可以画出根号5的数C. 用尺规作图可以三等分角D. 用尺规作图可以画直线外一点到该直线的垂直线12、任意两个有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数具有：A. 可数性；B. 连续性；C. 完备性D. 稠密性13、用下列哪种方法，对任意有限数列都可以给出该数列的通项表达式。
A. 拉格朗日插值公式B. 数列的母函数C. 高阶数列的求和公式14、加权平均不等式和下列哪种不等式有联系：A. 排序不等式B. 均值不等式C. 柯西不等式15、下列说法，哪一个是错误的：A. 自然数集是可数的；B. 有理数集是可数的；C. 实数集是可数的；16、两个集合A和B的笛卡尔积的子集，被称为A. 结构；B. 关系；C. 序偶；D. 对偶17、不定方程求解的算理依据是：A. 孙子定理B. 单因子构件法C. 辗转相除法D. 拉格朗日插值法18、点到直线的距离公式，可以用--------推出：A. 均值不等式B. 柯西不等式C. 加权平均不等式D. 排序不等式19、复数集按照“字典排序”关系，是一个：A.全序集B.有序域C.复数域20、两个集合A和B的笛卡尔积的子集，被称为A. 序偶B. 结构C. 对偶D. 关系21、一个收敛的有理数列，其极限可以不是有理数，这说明有理数不具有：A. 稠密性B. 可数性C. 连续性判断题：√22、在算法的教学中，应当注意培养学生的数学表达能力。
西南大学《中学代数研究》复习思考题及答案
西南⼤学《中学代数研究》复习思考题及答案（0772）《中学代数研究》复习思考题⼀、填空题：1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿直接保证了数学归纳法的合理性，所以也可以把数学归纳法当作公理来看待。
2、⽆理数的定义除了⽆穷⼩数说之外，还有＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿。
3、为了加深对⼀些基本不等式的数学本质的理解，在证明及其教学中应强调不等式的＿＿＿＿＿＿＿＿。
4、⽬前⽐较⼴泛使⽤的函数概念有三种定义，分别是＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿。
5、在普通⾼中数学课程标准中（实验稿），对数列内容的处理突出了＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的思想。
6、算法体现了数学的＿＿＿＿＿＿＿思想。
⼆、简述题1、试说明有理数集是⼀个可数集。
2、设A 是半序集，且定义了加法及乘法运算，试说明序关系“ ”满⾜什么条件才是⼤⼩关系？3、试说明复数为什么不能⽐较⼤⼩？4、请写出均值不等式、柯西不等式、排序不等式的⼀般形式，并给出它们的⼆维⼏何解释。
5、⽅程的本质是什么？6、古希腊作图三⼤问题是什么？⼈们是怎样证明其为不可能解的，解决这些问题的基本思想⽅法是什么？7、任意给⼀个有限数列，能否找出它的通项？8、试述孙⼦定理及其解法原则，并举例说明该原则在其它数学理论知识中的体现。
9、数学概念教学的基本⽅式有哪些？请以函数概念的教学为例给以说明，并阐明其基本做法及特征。
10、进⼊21世纪之后，我国新颁布的《⾼中数学课程标准（实验稿）》为什么要把“算法”列⼊必修课？三、证明题1、假设⾃然数的加法交换律、结合律成⽴，试⽤⽪亚诺公理体系证明：⾃然数的乘法满⾜对加法的分配律，即对任意⾃然数N c b a ,,,有()bc ac c b a +=+ 。
2、证明任何⼀个有理数的平⽅都不等于5。
3、证明e 不是有理数。
4、设a 、b 、c 为正数且各不相等，求证b a +2+c b +2+a c +2?c b a ++9 5、x x x n 21，，，∈+R ，求++x x x x 322221x x x x x x x n 2112n n 2+++≥+ ｎ－１四、计算题1、求⽅程3=++xyz y xz z xy 的整数解。
《中学代数研究》各种试卷及评卷标准
铜仁学院2009级数学本科（1）（2）班《中学代数研究》期末考试卷（A ）一，填空题：每题4分，共40分1、方程的解是1123=-+-x x ,_______2、方程()()()110011lg +=++x x x 的解是_______3、函数的值域是21x x y -=_______4、方程6arcsin arccos π=-x x 的解是_______5、设=⨯=+=+n n n n a a a a 则通项,23,011_______6、方程的解是123512=-+x x x _______7,的取值范围是则满足若y x y x f y x y x 32),(,1818,22-==+ _______8,已知数列{n a }的前n 项之和n S 满足11log 2+=+n S n ,则通项n a =_______ 9，函数的值域是x x y +-=1 _______10,关于x 的不等式的解是)0(222>+>-a a x x a _______班级________________姓名二、解答题（每题10分，共70分 ） 1把分式()()4232148249-++-x x x x x 展开为部分分式2，设0,,,为定值，且c c y x R y x =+∈+<2≤c ，求的最小值。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 113 ，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+x y xy x x 100lg 8lg 268)(lg 42解方程组4，方程()()[)的取值范围。
上有唯一解，求在m x m x x 3,003log 3log 2=---+-5，已知数列｛n a ｝的前三项与数列｛n b ｝的前三项对应相同，且都成立，数列对任意的*-∈=+++N n n a a a a n n 822213221 ｛b 1+n n b -｝是等差数列。
,（1），求数列｛n a ｝与｛n b ｝的通项公式；（2），是否存在()()请说明理由。
《中学数学研究》试题及答案
我是郑州大学现代远程教育学院的本科学员，2015秋数学教育专业，2016年秋季需要考试三科，还有两天准备时间，请需要的同胞们赶紧下载宝贝。
《中学数学研究》课程试卷（含答案）答案第一部分一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C A B C B D C A 第二部分一、填空题题号 1 2 3 4 5答案-1 24 2i -3<x<-1或-1/2<x<3 18/5二、解答题1.)52)(3(15622234+-++=+-+-x x x x x x x x2. 用最值法，求得：[0,1].3. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=⇒⎩⎨⎧=-=+⇒==210221022102210227lg ,lg )3(22v u v u v u v u v y u x 或令 ⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⇒+-+-+210221022102210210101010y x y x 或4. 312S 30C 30B ABC ＝，＝，＝︒︒5.x=253±时，y 取得最小值是-1.三、证明题1证明：sd b x a sc dcx b ax s -=-∴++=)(,.,0,,,,为有理数，矛盾否则为无理数，为有理数，x sd b a sc x d c b a s =-=-∴ ∴.bc ad dbs c a =⇒== 2.证明：∵a+b+c=0,∴a+b=-c∴ 33333)()()(3c c b a b a ab b a -=-=+=+++ ∴abc b a ab c b a 3)(3333=+-=++3. 提示：)(AC 222BC AB AB AC BC AB AB +=⇔⋅=-延长AB 至D ，使BD ＝BC ，则△ABC ∽ACD 4. 提示：BPCAPCCPB APB APC APB S S S S S S =⇒=⇒=DC BD BC EF FBAFEC AE //⇒=⇒.BC。
九年级代数配方法习题集答案与评分标准
九年级代数习题集答案与评分标准一、选择题（共15小题）1．若|x2﹣4x+4|+=0，则x+y=（）A．3B．2C．1D．﹣1考点：配方法的应用；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根。
分析：根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后再代值求解即可．解答：解：∵|x2﹣4x+4|+=0，即|（x﹣2）2|+=0，∴y﹣1=0，x﹣2=0，∴x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．点评：本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．2．代数式x2﹣4x+5的最小值为（）A．0B．1C．5D．没有最小值考点：配方法的应用。
专题：配方法。
分析：此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．解答：解：∵x2﹣4x+5=x2﹣4x+4﹣4+5=（x﹣2）2+1∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1，∴代数式x2﹣4x+5的最小值为1．故选B．点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．3．已知mn+p2+4=0，m﹣n=4，则m+n的值是（）A．4B．2C．﹣2 D．0考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方。
专题：计算题。
分析：由mn+p2+4=0可得出mn=﹣p2﹣4；将m﹣n=4的左右两边同时乘方，根据完全平方公式两公式之间的联系整理出（m+n）2，然后开方即可求出m+n的值．解答：解：∵mn+p2+4=0，m﹣n=4，∴mn=﹣p2﹣4，（m﹣n）2=16，∴（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2=16，∴（m+n）2=16+4mn，=16+4（﹣p2﹣4），=﹣4p2，解得m+n=±，此式有意义只有m+n=0，故选：D．点评：此题主要考查了完全平方公式，关键是要灵活运用完全平方公式，整理出（m+n）2的形式．4．对于代数式x2﹣4x+5，通过配方能说明它的值一定是（）A．负数B．正数C．非负数D．非正数考点：配方法的应用。
中学代数研究试卷与答案
20 —20 学年上《初等代数研究》期末试卷Ａ答案及评分标准一、填空题（本大题共10题，每空3分，共30分）1、7[3,]3-； 2、2π； 3、41； 4、{}max ,αβ； 5、43； 61；7、3(3)29(3)65x x +-++； 8、10； 9、1x =； 10、0k <二、判断题（本大题共 4题，每题2分，共 8分）1、√；2、√；3、╳；4、√.三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，本大题共 5题，每小题 2 分，共 10 分）1、Ｃ；2、Ｂ；3、Ｂ；4、Ａ；5、Ｄ.四、解答题（本大题共 7 题，第1－6小题每题 6分，第7小题8分，共 44 分）1、 解：根据拉格朗日插值公式，有 (1)(1)(2)(1)(2)(1)(1)(2)(1)()3151(2)(3)1(1)(2)21(1)321x x x x x x x x x x x x f x +-+-++-++=--+-⋅-⋅-⋅-⋅-⋅⋅-⋅⋅—3分 于是543643653654(4)3151(2)(3)1(1)(2)21(1)321f ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--+-⋅--⋅--⋅⋅-⋅⋅ 303645300=--++279= ―――――――――――――――――――――――――――――3分2、 解：因2232(2)()x xy y x y x y ++=++所以，可设2232453(2)()x xy y x y x y A x y B +++++=++++ ――――――2分 又因22(2)()32()(2)x y A x y B x xy y A B x A B y AB ++++=+++++++于是有4,25,3A B A B AB +=+== ――――――――――――――――――2分 解得3,1A B ==故2232453(23)(1)x xy y x y x y x y +++++=++++―――――――――――2分3、 解：设log a b y =，据题意有 1103y y += ―――――――――――――――1分 即231030y y -+=，解得13y =或3y = ―――――――――――――――――2分 因1a b >>，所以log 1a b <，3y =不合题意――――――――――――――――1分 于是1log 3a b =，log 3b a =，所以8log log 3a b b a -=-－――――――――――2分4、 解：原方程可写为222(75)3(75)4x x x x ++=+++即 222(75)3(75)40x x x x ++-++-= ――――――――――――――――２分 22[(75)4][(75)1]0x x x x ++-+++=22(71)(76)0x x x x ++++= ――――――――――――――――――――2分 2(71)(1)(6)0x x x x ++++=所以原方程的解为：1,x =-- ―――――――――――――――2分5、 解：因特征方程321x x x =-++有二重根121x x ==-，单根31x = ―――――――――――――――――2分所以通项公式为 123()(1)1n n n a c c n c =+⋅-+⋅－―――――――――――――1分 代入初始条件得12311232123312201310c c c c c c c c c c c c +-=-=-⎧⎧⎪⎪++=⇒=⎨⎨⎪⎪+-==⎩⎩ ―――――――――――――――――――2分 所以 (1)(2)n n a n =-- ――――――――――――――――――――――1分6、 解：不等式可写为 122311()()22x x ++-< 因为函数1()()2uf u =是减函数，所以 1223x x ++-> ―――――――――――――――――――――2分（1）当12x <-时，不等式为(12)23x x -++->，得23x <-，于是，有23x <-； （2）当122x -≤<时，不等式为1223x x ++->，得0x >，于是，有02x <<； （3）当2x ≥时，不等式为1223x x ++->，得43x >，于是，有2x ≥；―――3分 由（1）、（2）、（3）知，不等式的解集为：{}0x x x <->２３或 ――――――1分7、 解：令1sin cos 4,3x y u v ==，则方程组变形为211522u v u v +=⎧⎨-=⎩ ――――――――――――――――――――――――――2分 消去v ，得252240u u +-=，解得125u =-（舍），或2u = ―――――――――2分 再由11v u =-，得9v =――――――――――――――――――――――――――1分从而 sin 1cos 1sin 422139cos 2x y x y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩―――――――――――――――――――――1分 得方程组的解为(1)623k x n y m ππππ⎧=+-⋅⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩――――――――――――――――――――2分五、证明题（本大题共1题，总分8分）1、 证明：（1）当4n =时，因为 (1)(2)1,(3)(2)(1)2,(4)(3)(1)3f f f f f f f f ===+==+=所以 3(4)f ，命题成立. ――――――――――――――――――――――――3分（2）假设当n k =时命题成立，即3()f k则当4n k =+时，因(4)(3)(2)f k f k f k +=+++2(2)(1)f k f k =+++2[(1)()](1)f k f k f k =++++3(1)2()f k f k =++ 由于33(1)f k +，再由假设，知3(4)f k +，命题成立.根据（1）、（2），当4n 时，3()f n ――――――――――――――――――――5分。
2020-2021初中数学代数式真题汇编及解析(1)
2020-2021初中数学代数式真题汇编及解析(1)一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A ．a•a 2＝a 2B ．（a 2）2＝a 4C ．3a+2a ＝5a 2D ．（a 2b ）3＝a 2•b 3【答案】B【解析】本题考查幂的运算．点拨：根据幂的运算法则．解答：2123a a a a +⋅== ()22224a a a ⨯== 325a a a += ()3263a b a b = 故选B ．2．下列各计算中，正确的是( )A ．2323a a a +=B ．326a a a ⋅=C ．824a a a ÷=D ．326()a a =【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的就是同底数幂的计算法则【详解】解：A 、不是同类项，无法进行合并计算；B 、同底数幂乘法，底数不变，指数相加，原式=5a ；C 、同底数幂的除法，底数不变，指数相减，原式=6a ；D 、幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，原式=6a .【点睛】本题主要考查的就是同底数幂的计算法则.在运用同底数幂的计算的时候首先必须将各幂的底数化成相同，然后再利用公式来进行计算得出答案.同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方法则，底数不变，指数相乘.在进行逆运算的时候很多同学容易用错，例如：m n m n a a a +=+等等.3．下列各式中，运算正确的是（ ）A ．632a a a ÷=B ．325()a a =C ．=D =【答案】D【解析】【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法法则计算．【详解】解：A 、a 6÷a 3=a 3，故不对；B 、（a 3）2=a 6，故不对；C 、和不是同类二次根式，因而不能合并；D 、符合二次根式的除法法则，正确．故选D ．4．下列运算正确的是（ ）A ．21ab ab -=B 3=±C ．222()a b a b -=-D ．326()a a =【答案】D【解析】【分析】主要考查实数的平方根、幂的乘方、同类项的概念、合并同类项以及完全平方公式.【详解】解：A 项，2ab ab ab -=，故A 项错误；B 3=，故B 项错误；C 项，222()2a b a ab b -=-+，故C 项错误；D 项，幂的乘方，底数不变，指数相乘，32236()a a a ⨯==.故选D【点睛】本题主要考查：（1）实数的平方根只有正数，而算术平方根才有正负.（2）完全平方公式：222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+.5．观察等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-⋅⋅⋅已知按一定规律排列的一组数：502、512、522、⋅⋅⋅、992、1002．若502a =，用含a 的式子表示这组数的和是（ ）A ．222a a -B ．2222a a --C ．22a a -D ．22a a +【答案】C【解析】【分析】根据题意，一组数：502、512、522、⋅⋅⋅、992、1002的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a ＋(2＋22＋…＋250)a ，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案.【详解】250＋251＋252＋…＋299＋2100＝a ＋2a ＋22a ＋ (250)＝a ＋(2＋22＋…＋250)a ，∵232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，…，∴2＋22＋…＋250＝251－2，∴250＋251＋252＋…＋299＋2100＝a ＋(2＋22＋…＋250)a＝a ＋(251－2)a＝a ＋(2 a －2)a＝2a 2－a ，故选C.【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，仔细观察，发现其中哪些发生了变化，哪些没有发生变化，是按什么规律变化的是解题的关键.6．下列运算正确的是（ ）A ．a 5﹣a 3＝a 2B ．6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2C ．2212a 2a-= D ．（﹣2a ）3＝﹣8a 3 【答案】D【解析】【分析】直接利用单项式除以单项式以及积的乘方运算法则、负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】A 、a 5﹣a 3，无法计算，故此选项错误；B 、6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝6x 3y 2÷9x 2＝23xy 2，故此选项错误； C 、2a ﹣2＝22a ，故此选项错误； D 、（﹣2a ）3＝﹣8a 3，正确．故选D ．【点睛】 此题主要考查了单项式除以单项式以及积的乘方运算、负指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．下列运算正确的是 （ ）A ．()236a a a -⋅=-B ．632a a a ÷=C ．()2222a a =D ．()326a a =【答案】D【解析】【分析】 根据幂的乘方与积的乘方的运算法则和同底数幂的乘除法运算法则对各选项进行计算，最后进一步判断即可.【详解】A ：()523a a a -⋅=-，计算错误；B ：633a a a ÷=，计算错误；C ：()2224a a =，计算错误；D ：()326a a =，计算正确；故选：D.【点睛】比特主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算和同底数幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键.8．如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm ，一只电子甲虫从点A 开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm 时停下，则它停的位置是( )A ．点FB ．点EC ．点AD ．点C【答案】A【解析】分析：利用菱形的性质，电子甲虫从出发到第1次回到点A 共爬行了8cm （称第1回合），而2014÷8=251……6，即电子甲虫要爬行251个回合，再爬行6cm ，所以它停的位置是F 点．详解：一只电子甲虫从点A 开始按ABCDAEFGAB …的顺序沿菱形的边循环爬行，从出发到第1次回到点A 共爬行了8cm ，而2014÷8=251……6，所以当电子甲虫爬行2014cm 时停下，它停的位置是F 点．故选A ．点睛：本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．9．计算3x 2﹣x 2的结果是（ ）A ．2B ．2x 2C ．2xD ．4x 2【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可得．【详解】3x 2﹣x 2=（3-1）x 2=2x 2，故选B ．【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则.10．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为6cm ，宽为5cm ）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分的周长之和等于（ ）A ．19cmB ．20cmC ．21cmD ．22cm【答案】B【解析】【分析】 根据图示可知：设小长方形纸片的长为a 、宽为b ，有：26a b +=(cm)，则阴影部分的周长为：2(62)2(52)2(6)2(5)-+-+-+-b b a a ，计算即可求得结果．【详解】解：设小长方形纸片的长为a 、宽为b ，由图可知：26a b +=(cm)，阴影部分的周长为：2(62)2(52)2(6)2(5)-+-+-+-b b a a ，化简得：444(2)-+a b ，代入26a b +=得：原式=44−4×6=44−24=20(cm)，故选：B ．【点睛】本题主要考查整式加减的应用，关键分清图形②如何用小长方形纸片的长和宽表示．11．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）＝a2﹣ab【答案】A【解析】【分析】分别计算出两个图形中阴影部分的面积即可．【详解】图1阴影部分面积：a2﹣b2，图2阴影部分面积：（a+b）（a﹣b），由此验证了等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A．【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．12．多项式2a2b﹣ab2﹣ab的项数及次数分别是（）A．2，3 B．2，2 C．3，3 D．3，2【答案】C【解析】【分析】多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定．【详解】2a2b﹣ab2﹣ab是三次三项式，故次数是3，项数是3．故选：C.【点睛】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．13．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2018次输出的结果是( )A．3 B．27 C．9 D．1【答案】D【解析】【分析】根据运算程序进行计算，然后得到规律从第4次开始，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3，然后解答即可．【详解】第1次，13×81＝27，第2次，13×27＝9，第3次，13×9＝3，第4次，13×3＝1，第5次，1+2＝3，第6次，13×3＝1，…，依此类推，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3，∵2018是偶数，∴第2018次输出的结果为1．故选D．【点睛】本题考查了代数式求值，根据运算程序计算出从第4次开始，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3是解题的关键．14．下列图形都是由同样大小的五角星按照一定规律所组成的，按此规律排列下去，第n 个图形中五角星的个数为（）A ．31n -B ．3nC ．31n +D ．32n +【答案】C【解析】【分析】 根据前4个图形中五角星的个数得到规律，即可列式得到答案.【详解】观察图形可知：第1个图形中一共是4个五角星，即4311=⨯+，第2个图形中一共是7个五角星，即7321=⨯+，第3个图形中一共是10个五角星，即10331=⨯+，第4个图形中一共是13个五角星，即13341=⨯+，L ，按此规律排列下去，第n 个图形中一共有五角星的个数为31n +，故选：C.【点睛】此题考查图形类规律的探究，观察图形得到五角星的个数的变化规律并运用解题是关键.15．有两个正方形A ，B ，现将B 放在A 的内部得图甲，将A ，B 并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A ，B 的面积之和为（ ）A ．7B ．12C ．13D ．25【答案】C【解析】【分析】 设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，根据图形列式整理得a 2＋b 2−2ab ＝1，2ab ＝12，求出a 2＋b 2即可．【详解】解：设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，由图甲得：a 2−b 2−2（a−b ）b ＝1，即a 2＋b 2−2ab ＝1，由图乙得：（a ＋b ）2−a 2−b 2＝12，即2ab ＝12，所以a 2＋b 2＝13，即正方形A ，B 的面积之和为13，故选：C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是根据图形列出算式．16．已知112x y +=，则23xy x y xy +-的值为（ ） A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-【答案】D【解析】【分析】先将已知条件变形为2x y xy +=，再将其整体代入所求式子求值即可得解．【详解】 解：∵112x y+= ∴2x y xy+= ∴2x y xy += ∴2222323xy xy xy x y xy xy xy xy===-+---． 故选：D【点睛】本题考查了分式的化简求值，此题涉及到的是整体代入法，能将已知式子整理变形为2x y xy +=的形式是解题的关键．17．计算1.252 017×2?01945⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是( ) A ．45 B ．1625 C ．1 D ．-1【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得积的乘方，根据积的乘方等于乘方的积，可得答案．【详解】原式=1.252017×（45）2017×（45）2 =（1.25×45）2012×（45）2 =1625．故选B ．【点睛】本题考查了积的乘方，利用同底数幂的乘法底数不变指数相加得出积的乘方是解题关键．18．下列计算正确的是（）A ．4482a a a +=B ．236a a a •=C ．4312()a a =D ．623a a a ÷=【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法公式、幂的乘方公式逐项判断，即可求解.【详解】A 、4442a a a +=，故错误；B 、235a a a •=，故错误；C 、4312()a a =，正确；D 、624a a a ÷=，故错误；故答案为：C.【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项的运算法则、同底数幂的乘除法公式、幂的乘方公式.19．若x +y ＝，x ﹣y ＝3﹣的值为（ ）A ．B ．1C ．6D ．3﹣【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质解答．【详解】解：∵x+y ＝，x ﹣y ＝3﹣，==1．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行解题．20．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】【分析】观察第1个、第2个、第3个图案中的三角形个数，从而可得到第n个图案中三角形的个数为2（n+1），由此即可得.【详解】∵第1个图案中的三角形个数为：2+2=4=2×（1+1）；第2个图案中的三角形个数为：2+2+2=6=2×（2+1）；第3个图案中的三角形个数为：2+2+2+2=8=2×（3+1）；……∴第n个图案中有三角形个数为：2（n+1）∴第7个图案中的三角形个数为：2×（7+1）=16，故选C.【点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，从而计算出正确结果是解题的关键.。
2020-2021初中数学代数式经典测试题含答案解析(1)
2020-2021初中数学代数式经典测试题含答案解析(1)一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A ．2571a a a -÷=B ．()222a b a b +=+C ．2222+=D ．()235a a =【答案】A【解析】 分析：直接利用完全平方公式以及二次根式加减运算法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案．详解：A 、2571a a a -÷=，正确； B 、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，故此选项错误；C 、2+2，无法计算，故此选项错误；D 、（a 3）2=a 6，故此选项错误；故选：A ．点睛：此题主要考查了完全平方公式以及二次根式加减运算和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则ab 的值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】【分析】 根据勾股定理可以求得a 2+b 2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值．【详解】解：根据勾股定理可得a 2+b 2=9，四个直角三角形的面积是：12ab×4=9﹣1=8， 即：ab=4．考点：勾股定理．3．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（ ）A ．（11，3）B ．（3，11）C ．（11，9）D ．（9，11） 【答案】A【解析】 试题分析：根据排列规律可知从1开始，第N 排排N 个数，呈蛇形顺序接力，第1排1个数；第2排2个数；第3排3个数；第4排4个数根据此规律即可得出结论．解：根据图中所揭示的规律可知，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，所以58在第11排；偶数排从左到右由大到小，奇数排从左到右由小到大，所以58应该在11排的从左到右第3个数．故选A ．考点：坐标确定位置．4．下列运算，错误的是（ ）.A ．236()a a =B ．222()x y x y +=+C ．0(51)1=D ．61200 = 6.12×10 4 【答案】B【解析】【分析】【详解】A. ()326a a =正确，故此选项不合题意；B.()222 x y x 2y xy +=++，故此选项符合题意；C. )0511=正确，故此选项不合题意； D. 61200 = 6.12×104正确，故此选项不合题意；故选B.5．计算 2017201817(5)()736-⨯ 的结果是（ ） A ．736- B ．736 C ．- 1 D ．367【解析】【分析】根据积的乘方的逆用进行化简运算即可．【详解】 2017201817(5)()736-⨯ 20172018367()()736=-⨯ 20173677()73636=-⨯⨯ 20177(1)36=-⨯736=- 故答案为：A ．【点睛】本题考查了积的乘方的逆用问题，掌握积的乘方的逆用是解题的关键．6．观察下列图形：( )它们是按一定规律排列的，依照此规律，那么第7个图形中共有五角星的个数为( ) A ．20B ．21C ．22D ．23【答案】C【解析】【分析】设第n 个图形共有a n （n 为正整数）个五角星，根据各图形中五角星个数的变化可找出变化规律“a n ＝3n ＋1（n 为正整数）”，再代入n ＝7即可得出结论．【详解】解：设第n 个图形共有a n （n 为正整数）个五角星，∵a 1＝4＝3×1＋1，a 2＝7＝3×2＋1，a 3＝10＝3×3＋1，a 4＝13＝3×4＋1，…，∴a n ＝3n ＋1（n 为正整数），∴a 7＝3×7＋1＝22．故选：C ．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中五角星个数的变化，找出变化规律“a n ＝3n ＋1（n 为正整数）”是解题的关键．7．下列命题正确的个数有（ ）①若 x 2+kx+25 是一个完全平方式，则 k 的值等于 10；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形；④黄金分割比的值为≈0.618. A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个【答案】C【解析】【分析】根据完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定即可一一判断；【详解】①错误．x 2+kx+25是一个完全平方式，则 k 的值等于±10 ②正确．一组对边平行，一组对角相等，可以推出两组对角分别相等，即可判断是平行四边形；③错误．顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是平行四边形；④正确．黄金分割比的值为≈0.618； 故选C ． 【点睛】本题考查完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．8．若35m =，34n =，则23m n -等于（ ） A ．254 B ．6C ．21D ．20 【答案】A【解析】【分析】根据幂的运算法则转化式子，代入数值计算即可．【详解】解：∵35m =，34n =， ∴222233(3)3253544-==÷÷÷==m n m n m n ， 故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂的除法和幂的乘方的运算法则是解题的关键．9．下列各式中，运算正确的是（ ）A ．632a a a ÷=B ．325()a a =C ．=D =【答案】D【解析】【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法法则计算．【详解】解：A 、a 6÷a 3=a 3，故不对；B 、（a 3）2=a 6，故不对；C 、和不是同类二次根式，因而不能合并；D 、符合二次根式的除法法则，正确．故选D ．10．下列说法正确的是（）A ．若 A 、B 表示两个不同的整式，则A B 一定是分式 B ．()2442a a a ÷=C ．若将分式xy x y+中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍 D ．若35,34m n ==则2532m n -= 【答案】C【解析】【分析】 根据分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质解答即可.【详解】A. 若 A 、B 表示两个不同的整式，如果B 中含有字母，那么称A B 是分式.故此选项错误. B. ()244844a a a a a ÷=÷=，故故此选项错误.C. 若将分式xy x y+中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍，故此选项正确.D. 若35,34m n ==则()22253332544m n m n -=÷=÷=，故此选项错误. 故选：C【点睛】 本题考查的是分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质，熟练掌握各定义、性质及运算法则是关键.11．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（）A ．y=2n+1B ．y=2n +nC ．y=2n+1+nD ．y=2n +n+1【答案】B【解析】【详解】 ∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n ，右边三角形的数字规律为：2，，…，， 下边三角形的数字规律为：1+2，，…，， ∴最后一个三角形中y 与n 之间的关系式是y=2n +n.故选B ．【点睛】考点：规律型：数字的变化类．12．已知：()()22x 1x 32x px q +-=++，则p ，q 的值分别为（ ） A ．5，3B ．5，−3C ．−5，3D ．−5， −3【答案】D【解析】【分析】 此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p 、q 的值．【详解】由于()()2x 1x 3+-=2x 2-6x+x-3=2 x 2-5x-3=22x px q ++， 则p=-5,q=-3,故答案选D.【点睛】本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键．13．图为“L ”型钢材的截面，要计算其截面面积，下列给出的算式中，错误的是（ ）A ．2ab c -B ．() ac b c c +-C ．() bc a c c +-D ．2ac bc c +-【答案】A【解析】【分析】 根据图形中的字母，可以表示出“L”型钢材的截面的面积，本题得以解决．【详解】解：由图可得，“L”型钢材的截面的面积为：ac+（b-c ）c=ac+bc-c 2，故选项B 、D 正确，或“L”型钢材的截面的面积为：bc+（a-c ）c=bc+ac-c 2，故选项C 正确，选项A 错误， 故选：A ．【点睛】本题考查整式运算的应用，解答本题的关键是理解题意，掌握基本运算法则，利用数形结合的思想解答．14．下列图形都是由同样大小的五角星按照一定规律所组成的，按此规律排列下去，第n 个图形中五角星的个数为（ ）A ．31n -B ．3nC ．31n +D ．32n +【答案】C【解析】【分析】 根据前4个图形中五角星的个数得到规律，即可列式得到答案.【详解】观察图形可知：第1个图形中一共是4个五角星，即4311=⨯+，第2个图形中一共是7个五角星，即7321=⨯+，第3个图形中一共是10个五角星，即10331=⨯+，第4个图形中一共是13个五角星，即13341=⨯+，L ，按此规律排列下去，第n 个图形中一共有五角星的个数为31n +，故选：C.【点睛】此题考查图形类规律的探究，观察图形得到五角星的个数的变化规律并运用解题是关键.15．已知单项式2m 13a b -与n 7a b -互为同类项，则m n +为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】根据同类项的概念求解．【详解】解：Q 单项式2m 13a b -与7a b n -互为同类项， n 2∴=，m 11-=，n 2∴=，m 2=．则m n 4+=．故选D ．【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．16．下列计算正确的是（ ）A ．23a a a ⋅=B ．23a a a +=C ．()325a a =D ．23(1)1a a a +=+【答案】A【解析】【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，单项式乘多项式以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．【详解】A 、a•a 2=a 3，故A 选项正确；B 、a 和2a 不是同类项不能合并，故B 选项错误；C 、（a 2）3=a 6，故C 选项错误；D 、a 2（a+1）=a 3+a 2，故D 选项错误．故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法，单项式乘多项式以及幂的乘方的知识，解题的关键是熟记法则．17．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（）A．7 B．12 C．13 D．25【答案】C【解析】【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形列式整理得a2＋b2−2ab＝1，2ab ＝12，求出a2＋b2即可．【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得：a2−b2−2（a−b）b＝1，即a2＋b2−2ab＝1，由图乙得：（a＋b）2−a2−b2＝12，即2ab＝12，所以a2＋b2＝13，即正方形A，B的面积之和为13，故选：C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是根据图形列出算式．18．已知多项式x-a与x2+2x-1的乘积中不含x2项，则常数a的值是（）A．-1 B．1 C．2 D．-2【答案】C【解析】分析：先计算（x﹣a）（x2+2x﹣1），然后将含x2的项进行合并，最后令其系数为0即可求出a的值．详解：（x﹣a）（x2+2x﹣1）=x3+2x2﹣x﹣ax2﹣2ax+a=x3+2x2﹣ax2﹣x﹣2ax+a=x3+（2﹣a）x2﹣x﹣2ax+a令2﹣a=0，∴a=2．故选C．点睛：本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．19．下列运算正确的是（）A ．236(2)8x x -=-B ．()22122x x x x -+=-+C ．222()x y x y +=+D ．()()22224x y x y x y -+--=-- 【答案】A【解析】解：A ． (－2x 2)3＝－8x 6，正确；B ． －2x (x ＋1)＝－2x 2－2x ，故B 错误；C ． (x ＋y )2＝x 2＋2xy +y 2，故C 错误；D ． (－x ＋2y )(－x －2y )＝x 2－4y 2，故D 错误； 故选A ．20．下列计算正确的是（ ）A ．a•a 2＝a 2B ．（a 2）2＝a 4C ．3a+2a ＝5a 2D ．（a 2b ）3＝a 2•b 3 【答案】B【解析】本题考查幂的运算．点拨：根据幂的运算法则．解答：2123a a a a +⋅==()22224a a a ⨯==325a a a +=()3263a b a b =故选B ．。
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5分
二、（13分）
⑴（6分）为什么说初等数学中三角函数的定义是用几何方法建立起来的？请按中学数学教材体系给出正弦、余弦在初中和高中的定义。
⑵（5分）数学分析教程中，可将三角函数展开成幂级数，请给出解析正弦和解析余弦的定义。为什么通过证明又说三角式的概念并不依赖于几何解释？
⑶（2分）上述问题的探析对你有何启示？
证法2
若 ，且 表示为既约分数 。将 分解为素因数之积，由于 ，则 的素因子必定成对出现，而数 。因为 ，故 可整除 ，但 ，故 ，所以 ，由此得 ，由于1和4之间没有完全平方项，矛盾。
上述证法，每做对一种，给4分。但总分不超过8分
⑵略
4分
①当 时， ，所以 ，与 矛盾；
②当 时，此时 无最小值；
③当 时，此时 也无最小值；
④当 时， 。由均值不等式 ，当且仅当 时等号成立。
由 ，及 得，
所以 的取值范围是 。
7分
四、（13分）
⑴（6分）什么是算法？请对数值算法和非数值算法各举出一个实例。
⑵（2分）为什么2003年颁布的《普通高中数学课程标准》要将算法列入必修课？
5分
⑶略
三、（12分）已知函数 ，将 的图像向右平移两个单位，得到函数 ，而函数 与函数 的图像关于直线 对称。
⑴（5分）求函数 的解析式；
⑵（7分）设 ，又已知 的最小值是 ，且 ，求实数 的取值范围。
解：
⑴设
2分
设 是 图像上的任意一点，则点 关于 的对称点 在 上。
故 ，所以
5分
⑵
2分
由于 ，故分为以下四种情况讨论 的取值范围：
⑶（5分）如果执行下面的程序框图，那么输出的S的值是多少？
解：
⑴算法是解决一个问题而采取的方法和步骤。它可定义为若干组含义明确的有穷规则，它是对特定问题求解步骤的一种描述。
2分
数值算法实例（略）
4分
非数值算法实例（略）
6分
⑵算法列入中学数学课程的意义（略）
2分
⑶当 时， ；当 时， ；当 时， ；以此类推，可知S即为一个首相为2，公差为2的等差数列的前50项的和，由等差数列求和公式可得。
贵州师范大学2007—2008学年度第一学期
《中学数学研究》课程期终考试试卷
(A卷;闭卷)
（代数部分）参考答案及评分标准
一、(12分)
⑴（8分）请给出两种不同的方法证明 不是有理数？
⑵（4分）数学发展历史上是如何发现无理数的？这一发现在数系扩展中有何价值？
解：
⑴证法1（奇偶数判别，导致矛盾）
设 是一个有理数 ，即 ，且 可表示为既约分数 ，于是 ，即 ，因此 是偶数，由于奇数的平方不能等于偶数，故 是偶数。所以设 ，则 ，故 ，从而 也是偶数，这与 矛盾，这说明 不是有理数。
解：
⑴初中通过直角三角形给出三角函数定义。其依据是欧氏几何的相似性理论，通过三角形中边角关系（即边长的比值）定义锐角三角函数（图略）；
3分
高中则借助于直角坐标系和单位圆定义三角函数（图略），因而正、余弦既可以看作一个比值，也可用有向线段表示。
6分
⑵
分别称为解析余弦和解析正弦。
2分
可以证明
即根据解析正弦和解析余弦所具备的某些性质便可推导出 和 所具备的一切性质和运算关系，而不必依赖于几何性质的讨论。