中学数学研究(代数部分)考试试题A参考答案及评分标准

解：
⑴初中通过直角三角形给出三角函数定义。其依据是欧氏几何的相似性理论，通过三角形中边角关系（即边长的比值）定义锐角三角函数（图略）；
3分
高中则借助于直角坐标系和单位圆定义三角函数（图略），因而正、余弦既可以看作一个比值，也可用有向线段表示。
6分
⑵
分别称为解析余弦和解析正弦。
2分
可以证明
即根据解析正弦和解析余弦所具备的某些性质便可推导出 和 所具备的一切性质和运算关系，而不必依赖于几何性质的讨论。
贵州师范大学2007—2008学年度第一学期
《中学数学研究》课程期终考试试卷
(A卷;闭卷)
（代数部分）参考答案及评分标准
一、(12分)
⑴（8分）请给出两种不同的方法证明 不是有理数？
⑵（4分）数学发展历史上是如何发现无理数的？这一发现在数系扩展中有何价值？
解：
⑴证法1（奇偶数判别，导致矛盾）
设 是一个有理数 ，即 ，且 可表示为既约分数 ，于是 ，即 ，因此 是偶数，由于奇数的平方不能等于偶数，故 是偶数。所以设 ，则 ，故 ，从而 也是偶数，这与 矛盾，这说明 不是有理数。
所以 的最终值是2550。
5分
①当 时， ，所以 ，与 矛盾；
②当 时，此时 ຫໍສະໝຸດ Baidu最小值；
③当 时，此时 也无最小值；
④当 时， 。由均值不等式 ，当且仅当 时等号成立。
由 ，及 得，
所以 的取值范围是 。
7分
四、（13分）
⑴（6分）什么是算法？请对数值算法和非数值算法各举出一个实例。
⑵（2分）为什么2003年颁布的《普通高中数学课程标准》要将算法列入必修课？
5分
⑶略
三、（12分）已知函数 ，将 的图像向右平移两个单位，得到函数 ，而函数 与函数 的图像关于直线 对称。
⑴（5分）求函数 的解析式；
⑵（7分）设 ，又已知 的最小值是 ，且 ，求实数 的取值范围。
解：
⑴设
2分
设 是 图像上的任意一点，则点 关于 的对称点 在 上。
故 ，所以
5分
⑵
2分
由于 ，故分为以下四种情况讨论 的取值范围：
二、（13分）
⑴（6分）为什么说初等数学中三角函数的定义是用几何方法建立起来的？请按中学数学教材体系给出正弦、余弦在初中和高中的定义。
⑵（5分）数学分析教程中，可将三角函数展开成幂级数，请给出解析正弦和解析余弦的定义。为什么通过证明又说三角式的概念并不依赖于几何解释？
⑶（2分）上述问题的探析对你有何启示？
⑶（5分）如果执行下面的程序框图，那么输出的S的值是多少？
解：
⑴算法是解决一个问题而采取的方法和步骤。它可定义为若干组含义明确的有穷规则，它是对特定问题求解步骤的一种描述。
2分
数值算法实例（略）
4分
非数值算法实例（略）
6分
⑵算法列入中学数学课程的意义（略）
2分
⑶当 时， ；当 时， ；当 时， ；以此类推，可知S即为一个首相为2，公差为2的等差数列的前50项的和，由等差数列求和公式可得。
证法2
若 ，且 表示为既约分数 。将 分解为素因数之积，由于 ，则 的素因子必定成对出现，而 的素因子中2出现奇数次，矛盾。
证法3
若 ，且 表示为既约分数 。因为 ，故 可整除 ，但 ，故 ，所以 ，由此得 ，由于1和4之间没有完全平方项，矛盾。
上述证法，每做对一种，给4分。但总分不超过8分
⑵略
4分