高一数学向量的加法导学案
向量加法及其几何意义导学案
第 组 姓名向量的加法及其几何意义导学案高一数学 主备人：吴伟强 审核：高一数学组 第九大周1、 理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和，问题1、利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为 ，从景点A 到景点B 的位移为，那么经过这两次位移 后游艇的合位移是（如图）这里，向量，，三者之间有什么关系？ 1、向量加法的定义_____________ ______ 2、向量加法的三角形法则 具体步骤：（1）把两个向量平移后，使两个向量的一个起点与另一个起点相连。
（2）将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量为两个向量的和。
简记为“首尾相连，首是首，尾是尾”3、 向量加法的平行四边形法_____________________________________ 4、 _4、对于零向量和任一向量a有a a a =+=+00，对于相反向量有()()0=+-=-+a a a a5、向量加法的运算律交换律____________________________ 结合律______________________________ 6、如果平面内有n 个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n 个向量的和是什么？二、课堂展示例1、分别用平行四边形法则和三角形法则作出下列向量的和：例2、如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心， （1）+ =______ _OBAabbba a(1)(2)(3)CO a abb（2）+ =______ _ （3）+ =______ _例3、如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。
三、合作探究1、化简 =++++FA BC CD DF AB __________1、已知正方形的边长为1，,,,c BC b AC a AB===则=++c b a ______ _2、在平行四边形ABCD 中，++等于3、当b a ,________时，b a b a +=+；当b a ,________时，b a +平分b a ,之间的夹角。
2.2.1向量加法运算及其几何意义导学案
向量加法运算及其几何意义导学案
年级：高一科目：数学试讲：杨丽军
课题：2.2.1向量加法运算及其几何意义课型：新授课课时: 一课时
【三维目标】
●知识与技能：1、理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作
出两个向量的和；
2、掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算；
3、初步学会用向量方法解决几何问题及实际问题。
●过程与方法：通过观察物理学中的位移合成和力的合成实例，类比数的运算及运算规律，
归纳向量的加法运算及其运算律，体验数学知识发生、发展的过程，培
养数学类比、迁移、分类、归纳等能力。
●情感态度与价值观：从位移的合成、力的合成实例中得到向量加法运算法则,之后用来解
决实际问题（如例2）,让学生体验数学源于生活,又用于生活的道理。
经
历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣。
【学习重点】向量加法的定义与法则的概念建构；以及向量加法的运算律。
【学习难点】数的加法对向量加法的负迁移，造成向量加法的意义的理解困难。
对于零向量与任一向量我们规定： + + =
【归纳小结】：
通过本节课的学习你有哪些收获？
从知识点和数学思想方法俩个方面总结。
【作业】：（1）P84：第2题要求用两种方法做。
（2）选做题：能否在平面内构造三个非零向量,,a b c 使0a b c ++=
【教学后记】:。
向量的加法运算及其几何意义导学案
隆回二中高一数学备课组 必修4导学案主编：陈楚基 审定：廖信山 使用时间：2013年4月班 级 组 号 姓 名 小组评价 教师评价§2.2.1向量的加法运算及其几何意义【学习目标】1. 通过实际例子，掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则及几何意义。
2. 灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求和运算。
【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：周三大清洁时，两个同学抬着回收箱去卖废品，请同学们做出回收箱的受力图，并思考拉力和重力满足什么条件便可将回收箱抬起.（二）自主探究：（预习教材P80—P84） 探究一：向量加法——三角形法则和平行四边形法则问题1：在复习中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢？1、向量加法的三角形法则 ：已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作==,AB a BC b ，则向量__________叫做 a 与b 的和，记作_____________， 即+a b =_______=__________。
这个法则就叫做向量求和的三角形法则。
2、向量加法的平行四边形法则：以同起点O 两个向量 a ， b （==,OA a OB B ）为邻边作四边形OACB ，则以O 为起点对角线___________，就是 a 与 b 的和。
这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。
问题2：想想两个法则有没有共同的地方？3、对于零向量与任意向量 a ，我们规定 a +o =___________=_______. 探究二：向量加法的交换律和结合律问题3：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？4、对于任意向量 a ，b ，向量加法的交换律是：_____________；结合律是：_____________。
二、合作探究1、已知向量a 、b ，求作向量a b + .小结1：在三角形法则中 “首尾相接”，是第二个向量的 与第一个向量的 重合.小结2：当a ，b 不共线时， ； 当a ，b 同向时， ；当a ，b 反向时， （或 ）.2、一架飞机向北飞行400km ，然后改变方向向东飞行300km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.三、目标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 在平行四边形ABCD 中，++BC CD DA 等于（ ）A ．B D B ． AC C ． A BD ． BA2. 下列等式不正确的是（ ）. A.0a a += B.a b b a +=+ C.()()a b c a b c ++≠++ D.A C D C A B B D =++3. 在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( )A ．AB→＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA → C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD → D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →4. A B B C C D ++= ； ++++ ()()AB MB BO BC OM = .B 组：1、在矩形ABCD ，== ||4,||2AB BC ，则向量++AB AD AC 的长度等于（ ）A ．B ．C ．12D ．62、已知|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是3、若E ，F ，M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA的中点，求证：EF →＝NM →四、课后作业五、课后反思。
高中数学第二章2.2.1向量加法运算及其几何意义问题导学案新人教A版必修
2.2.1 向量加法运算及其几何意义问题导学一、向量加法运算活动与探究1(1)化简：①BC＋AB；②DB＋CD＋BC；③AB＋DF＋CD＋BC＋FA．(2)已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：①OA＋OE；②AO＋AB；③AE＋AB．迁移与应用化简：(1)CD＋BC＋AB；(2)四边形ABCD是边长为1的正方形，AB＝a，BC＝b，AC＝c，求作向量a＋b＋c，并求|a＋b＋c|．解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0．二、利用向量知识证明几何问题活动与探究2用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．迁移与应用在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，分别取点F，E，使BE=DF(如图)，用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形．1．用向量法证明几何问题的一般步骤：(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量．(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．(3)还原成几何问题．2．注意以下两个问题：(1)法则的灵活应用．(2)要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且线段的长度相等．三、向量加法的实际应用活动与探究3在四川汶川“5·12”大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．迁移与应用在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2 3 km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．向量应用题要首先画出图形．解决的步骤是：(1)将应用问题中的量抽象成向量；(2)化归为向量问题，进行向量运算；(3)将向量问题还原为实际问题．当堂检测1．在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，则( )A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四边形2．AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝( )A．0 B．0C．2AD D．－2AD3．下列等式不成立的是( )A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋aC．AB＋BA＝2BA D．AB＋BC＝AC4．化简(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM＝__________．5．若a＝“向北走8 km”，b＝“向东走8 km”，则|a＋b|＝__________；a＋b的方向是__________．答案：课前预习导学【预习导引】1．两个向量和2．和a＋b a＋b AC三角形法则3．平行四边形法则4．b＋a(a＋b)＋c a＋(b＋c)预习交流1提示：a＋0＝a．预习交流2提示：不一定，当两向量共线时不能用平行四边形法则，只能用三角形法则．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．解：(1)①BC＋AB＝AB＋BC＝AC；②DB＋CD＋BC＝BC＋CD＋DB＝BD＋DB＝0；③AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝(AB＋BC)＋(CD＋DF)＋FA＝AC＋CF＋FA＝AF＋FA＝0．(2)①由题图知，OAFE为平行四边形，∴OA＋OE＝OF；②由题图知，OABC为平行四边形，∴AO＋AB＝AC；③由题图知，AEDB为平行四边形，∴AE＋AB＝AD．迁移与应用解：(1)CD＋BC＋AB＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD＝AD．(2)如下图，延长AC到E，使AC=CE，则CE=AC，∴a+b+c=AB+BC+CE=AE，即AE为所求作的向量．∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴|AC|AE|=2|AC|=故|a+b+c|=活动与探究2思路分析：要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等．根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可．此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述．证明：根据向量加法的三角形法则有AB=AO+OB，DC=DO+OC．又AO=OC，DO=OB，∴AO+OB=DO+OC．∴AB=DC．∴AB∥DC且AB=D C，即AB与DC平行且相等．∴四边形ABCD是平行四边形．迁移与应用证明：AE=AB+BE，FC=FD+DC，又AB=DC，BE=FD，∴AE=FC，即AE，FC平行且相等．故四边形AECF是平行四边形．活动与探究3思路分析：利用向量加法的三角形法则，知AC＝AB＋BC，|AC|是线段AC的长度．解：如图所示，设AB，BC分别是直升飞机的两次位移，则AC表示两次位移的合位移，即AC＝AB＋BC．在Rt△ABD中，|DB|＝20 km，|AD|20 3 km．在Rt△ACD中，|AC|40 3 km，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 3 km处．迁移与应用解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2．依题意作出平行四边形，如图．在Rt△ABC中，|BC|＝|v1|＝23，|AB |＝|v 2|＝2，∴|AC |＝|v |＝22＋(23)2＝4，tan θ＝||||BC AB ＝232＝3．∴θ＝60°．∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h ，方向为东偏北60°． 【当堂检测】1．D 解析：由AC ＝AB ＋AD 知由A ，B ，C ，D 构成的四边形一定是平行四边形． 2．B 解析：由向量加法的运算法则可知AB ＋BC ＋CD ＋DE ＋EF ＋FA ＝0． 3．C 解析：对于C ，∵AB 与BA 是相反向量，∴AB ＋BA ＝0．4．AC 解析：原式＝(AB ＋BO )＋(OM ＋MB )＋BC ＝AO ＋OB ＋BC ＝AB ＋BC ＝AC ．5．8 2 km 东北方向 解析：由向量加法的平行四边形法则，知|a ＋b |＝82，方向为东北方向．。
6.2.1向量的加法运算导学案高一下学期数学人教A版
6.2.1 向量的加法运算学习目标1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点)2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点)3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)知识梳理1、思考：某人从A 地飞到B 地，再从B 地飞到c 地，他的位移如何表示？2、向量加法的定义：3、和向量的作法：（要求写出作法）（一）三角形法则：（二）平行四边形法则：思考1：向量加法的三角形法则与平行四边形法则一致吗？思考2：你能用自己的语言概括一下向量加法的三角形法则与平行四边形法则吗？在使用法则进行运算时，需要注意什么？思考3：向量的加法运算结果是什么？思考4：零向量的与任一向量相加结果是什么？探究思考1（1）如果向量b 与a 共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能做 出向量b a 吗？（一）方向相同时：（二）方向相反时：（2）思考： 之间的大小关系如何？ 探究思考2数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢。
以下式子是否成立？如何证明？活动： 以小组为单位，通过画图进行验证，然后由小组派代表进行发言。
23|||,||,|b a b a +例题巩固例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。
2、求下列向量的和3、（多选题）下列命题中正确的命题是( )A.如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么(a ＋b )∥a ；B.在平行四边形ABCD 中，必有BC →＝AD →；C.若BC →＝AD →，则A ，B ，C ，D 为平行四边形的四个顶点；D.若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |≤|a |＋|b |.4、如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：（1）CB EA DG ++(2)EB DA CG EG +++ 课堂小结：1、向量的加法法则2、向量加法的运算律3、 之间的大小关系作业布置：1、教材第十页练习3,4,52、对应课时作业。
人教B版高一数学必修四导学案：2.1.2.向量的加法
2.1.2向量的加法教学目标：1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学思路：一、设置情景：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、 情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+（4）船速为，水速为，则两速度和：=+二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.A B C A B C A B C２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=， 规定： a + →0= →0 + a３．例1、已知向量、，求作向量+练习：已知向量a 、b ，求作向量a +b（1）a（2）（3）abA BC a +b a +baa bb a ｂ ｂａa ab探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么不同？（2）当向量与不共线时，|+|<||+||；什么时候|+|=||+||，什么时候|+|=||－||，当向量a与b不共线时，a，b，a+b的方向不同，且|a+b|<|a|+|b|；当向量与共线时，①当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，②当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|a+b|=|b|-|a|.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加４．加法的交换律和平行四边形法则已知向量、，求作向量+，+问题：上题中+的结果与+是否相同？从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：+=+５．你能证明：向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 吗？6．由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例2、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。
《向量的加法运算》教案、导学案、课后作业
《6.2.1 向量的加法运算》教案【教材分析】本节通过数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算规律掌握向量加法运算的交换律和结合律.【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.数学学科素养1.数学抽象：向量加法概念；2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题；3.直观想象：向量加法运算；4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【教学重点和难点】重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；难点：理解向量加法的定义.【教学过程】一、情景导入数有加减乘除运算，那么向量有没有加减乘除运算，如果有，该怎么运算呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本7-10页，思考并完成以下问题1.向量加法是如何定义的？2.运用什么法则进行向量加法运算？3.向量加法满足哪些运算律？4.和向量和已知向量有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则和平行四边形法则 (1)三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即a ＋ｂ， 规定： a + 0= 0 + a(2)平行四边形法则如图所示：AC →＝AB →＋BC →(三角形法则) ，又因为BC →＝AD →，所以AC →＝AB →＋AD →(平行四边形法则)，注意：在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．3.向量a +b 与非零向量a ，b 的模及方向的关系(1)当a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不相同，且|a ＋b |＜|a |＋|b |. (2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |≥|b |，则a ＋b 与a 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |. 若|a |＜|b |，则a ＋b 与b 的方向相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |.A AB BC AC AC BC AB =+=ABCa +b+baa bbaｂｂ ＋aa4．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 四、典例分析、举一反三题型一 向量的三角形法则和平行四边形法则例1 如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a 与b 的和．【答案】见解析【解析】如下图中(1)、(2)所示，首先作OA →＝a ，然后作AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ． 解题技巧（应用三角形和平行四边形法则的步骤） (1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合． ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点． ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． 跟踪训练一1、如图，已知a ，b ，求作a ＋b ；【答案】见解析． 【解析】如图所示．．题型二 向量的加法运算例2 如图，在△ABC 中，O 为重心，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，化简下列三式：【答案】 (1) BA →. (2) OB →. (3) AC →..(1)BC →＋CE →＋EA →； (2)OE →＋AB →＋EA →； (3)AB →＋FE →＋DC →.【解析】 (1)BC →＋CE →＋EA →＝BE →＋EA →＝BA →. (2)OE →＋AB →＋EA →＝(OE →＋EA →)＋AB →＝OA →＋AB →＝OB →. (3)AB →＋FE →＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →. 解题技巧： (向量加法运算注意事项)(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.跟踪训练二 1、化简或计算： (1)CD →＋BC →＋AB →；(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.【答案】(1)AD →. (2) 0.【解析】(1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋FA →＝AC →＋CF →＋FA →＝AF →＋FA →＝0.题型三 利用向量加法证明几何问题例3已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD 是平行四边形． 【答案】见解析.【解析】证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →， 又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →， ∴AB ＝DC 且AB ∥DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．解题技巧（用向量加法证明集合问题的基本思路）用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．跟踪训练三1．如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的反向延长线及延长线上取点E ，F ，使BE ＝DF ，求证：四边形AECF 是平行四边形．【答案】见解析．【解析】证明 ∵AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →， 又AB →＝DC →，FD →＝BE →， ∴AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等． ∴四边形AECF 是平行四边形． 题型四 向量加法的实际应用例4 在水流速度为向东10 km/h 的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10 3 km/h ，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．【答案】 船行驶速度为20 km/h ，方向与水流方向的夹角为120°.【解析】 如图所示，OA →表示水速，OB →表示船实际航行的速度，OC →表示船速，由OB →＝OC →＋OA →易知|BC →|＝|OA →|＝10，又∠OBC ＝90°，所以|OC →|＝20， 所以∠BOC ＝30°，所以∠AOC ＝120°，即船行驶速度为20 km/h ， 方向与水流方向的夹角为120°.解题技巧： (向量加法解决实际问题的步骤)跟踪训练四1、在某地抗震救灾中，一救护车从A 地按北偏东35°的方向行驶800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向行驶800 km 送往C 地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．【答案】救护车行驶的路程是1600 km ，两次行驶的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.【解析】如图所示，设AB →，BC →分别表示救护车从A 地按北偏东35°方向行驶800 km ，从B 地按南偏东55°的方向行驶800 km.则救护车行驶的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次行驶的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →.依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°.所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而救护车行驶的路程是1600 km ，两次行驶的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本10页练习，22页习题6.2的1，2题. 【教学反思】本节课重点是向量加法的定义，三角形法则和平行四边形法则，同时还涉猎到向量加法交换律和结合律。
《向量的加法》导学案
《向量的加法》导学案【学习目标】知识与技能：理解向量加法的含义，会用向量加法的平行四边形法则和三角形法则作两个向量的和，并能进行简单的纯式计算；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算；过程与方法：由实际问题引入向量加法，了解将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力；情感态度与价值观：感受数学来源于生活，数学服务于生活的思想，体验探索、发现的乐趣。
【学习重点】向量加法的平行四边形法则和三角形法则的应用【学习难点】向量加法法则的灵活选用及实际应用【学法指导】向量的加法、减法是进一步研究向量的基础，其运算主要依据平行四边形法则和三角形法则，关键在于数形结合的理解、应用，做到两个法则的灵活选用。
【导学过程】一、什么是向量的加法？二、向量的加法如何进行运算？三、平行四边形法则具体怎么操作呢？如下图，已知向量a，b，求作ba一般步骤：四、通过上述作图，我发现平行四边形法则的关键是：①②③五、你能将平行四边形法则进行简化吗——三角形法则一般步骤：六、通过上述作图，我发现三角形法则的关键是：①②③七、例题详解与巩固练习例1、已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，求作： OCOA +)1(EF CD +)2(解：例2、计算=+OM MN )1(=+BA AB )2(=++++EF DE CD BC AB )3(例3、在小船过河时，小船沿垂直河岸方向行驶的速度h km v /31=，河水流动的速度h km v /12=，试求小船过河的实际航行速度。
解：练1、小明向正东方向行走km 1，再向正北方向行走km 1，求小明行走的位移。
解：规律：练2、计算：=+BC CD )1(=+⋯⋯+++-n n A A A A A A A A 1433221)2(规律：练3、如图，甲、乙两人分别用与竖直方向成45°大小为10N 的力一起提一桶重20N 的水，问，他们能提起这桶水吗？ 解： 规律：八、课堂小结课堂三问：①我学会什么问题 ②这类问题用什么方法③这类问题有哪些需要注意的地方 九、专题测试1、(基础)平行四边形ABCD 中，AB a = ，AD b = ，则AC BA +等于（ ）A.aB.bC.0D.a b +2、(基础)平行四边形ABCD 中，BC DC BA ++等于（ ）A.BCB.DAC.ABD.AC3、(基础)AB BC CD ++=4、(基础)小明将杯子以s m v /80=的初速度从10米的楼层水平抛出，求杯子落地时的速度。
导学案2：2.1.2 向量的加法
必修四第二章平面向量2．1. 2向量的加法使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评．“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评．“巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评．“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题．“能力展示”5分钟，教师作出总结性点评．通过本节学习应达到如下目标：1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣．学习重点：向量加法的定义及几何意义。
学习难点：向量加法的定义及几何意义学习过程一．自学目标向量的有关概念⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．⑶且的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足 律和 律．二.合作探讨如何理解向量加法的定义及几何意义巩固练习1．设O 为原点，(3,1),(1,2),,,OA OB OC OB BC OA ==-⊥试求满足OD OA OC +=的OD 的坐标．2．设1e 和2e 是两个单位向量，夹角是60°，试求向量122a e e =+和1232b e e =-+的夹角．3．已知|| 5.6,|| 4.2,AC BC AC ==与AB 的夹角为40°，求AC AB -与CB 的夹角||BC AC -（长度保留四位有效数字，角度精确到′）．个人收获与问题知识：方法：我的问题：答案：巩固练习1.(11,6)OD 坐标为2.θ＝120°．3. ||BC AC =6.453。
(精品)9.2.1向量的加法(导学案)
9.2.1向量的加法（导学案）班级 姓名学习目标：1. 通过实际例子掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则及其几何意义；2.灵活运用三角形法则和平行四边形法则进行向量求和运算。
学习重点：运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。
一、课前预习：（自主学习普高课本P9-11）导向探究一：三角形法则（1）问题：小明从A 地出发向东行走5千米到达B 地，再向北走了5千米到达C 地， 那么小明实际行走的效果如何？方向？距离？ 分析：根据题意，画出示意图.结论：向量 为向量 与向量 的和向量.（2）向量的加法 规定：（3）向量加法的三角形法则: （尝试用口诀概括）导向探究二：平行四边形法则（１）问题：如题，计算合力的值。
（２）向量加法的平行四边形法则: （尝试用口诀概括）导向探究三：向量加法的运算律（1）向量加法满足交换律，即： . （2）向量加法满足结合律，即： .OF 1F二、预习自测：1.如图，已知□ABCD，设，试用表示下列向量：（1），（2）2.=+BCAB；三、课堂探究例1如图，已知向量,分别运用三角形法则和平行四边形法则作出和向量。
跟踪训练1∶分别运用三角形法则和平行四边形法则作出和向量.跟踪训练2: 运用三角形法则作出和向量.（1）（2）例2化简：（1）;（2）;baaba bA BCD（3）.例3长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。
一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h,同时江水的速度为向东6km/h.（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度以及与江水速度夹角的正切值。
巩固练习一：如图，O为正六边形的中心，作出下列向量:（1）；（2）; （3）;（4）巩固练习二：如图，已知ba与，求作（只有画图表示，不必写作法）.四、课后探究1、下列判断正确的是（）．A.没有方向B.C.若，则D.若，则E DCBAFab b aab2、若是非零向量，则下列等式正确的是 （ ）．A.B.C.D.3、化简：（1） ;（2） ;（3） .4、已知矩形ABCD ，设则.5、如图，已知向量，求作（只要求画图表示，不必写作法）.（1）,（2）,6、如图，点B 、D 在□AECF 的对角线EF 上，且EB =DF .设.（1）填空： ，.（2）求作：bacAECF BD。
《向量的加法运算》教学设计、导学案、同步练习
《6.2.1 向量的加法运算》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是本章第2课时，《向量的加法》是第六章平面向量的线性运算的第一节课。
本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用,大约需要1课时。
向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和,在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。
所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。
【教学目标与核心素养】A.理解向量加法的意义；B.掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的另两个运算法则；C.理解向量的运算律；D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强学生的应用意识。
【教学重点】：两个向量的和的概念及其几何意义；【教学难点】：向量加法的运算律。
【教学过程】【答案】向量的大小：有向线段的长度。
向量的方向：有向线段的方向。
零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
二、探索新知思考1：如图，某质点从点A 经过点B 到点C ，则这个质点的位移怎么表示？【答案】 从运算的角度看， 可以认为是与的和，即位移、可以看作向量的加法。
1.已知向量和，如图在平面内任取一点O ，作，则向量叫做和的和，记作．即。
求两个向量和的运算叫做向量的加法.根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．【口诀】首尾相连首尾连。
思考2：某物体受到F 1，F 2作用，则该物体所受合力怎么求？【答案】 从运算的角度看， 可以认为是与的和，即力的合成可以看作向量的加法。
AC AB BC a b b AB a OA ==,OB a b b a +OB AB OA b a =+=+F 21F F 和2.向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O 为起点的两个已知向量和为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线OC 就是和的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．【口诀】起点相同，对角线为和。
高中数学【向量的加法】导学案
高中数学【向量的加法】导学案a＋b＝b＋a
【典例分析】
【例1】 化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →；(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →
.
【例2】已知|a |＝3，|b |＝4，求|a ＋b |的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a 与b 的关系．
【规律方法】
(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”；
(2)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．
(3)向量求和的多边形法则：A 1A 2→
＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，当A n
和A 1重合时，A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝0.
【跟踪训练】
1.如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量(用图中已知向量表示)．
(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →；(3)OA →＋FE →.
2.化简：(AB →＋PB →)＋(BO →＋BM →)＋OP →
等于( )
A.BC → B ．AB → C.AP → D ．AM →。
新人教版高中数学必修第二册《平面向量的运算》导学案
平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA → ＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB → ＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC →＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB →＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；（3）再作向量OD →＝c ；（4）作平行四边形CODE ，则OE → ＝OC → ＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．探究点2：平面向量的加法运算例2：化简：（1）BC → ＋AB →；（2）DB → ＋CD → ＋BC →；（3）AB → ＋DF → ＋CD → ＋BC → ＋FA →．解：（1）BC → ＋AB → ＝AB → ＋BC → ＝AC →．（2）DB → ＋CD → ＋BC→ ＝BC → ＋CD → ＋DB→ ＝（BC → ＋CD → ）＋DB→ ＝BD → ＋DB →＝0．（3）AB → ＋DF → ＋CD → ＋BC → ＋FA→ ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＋DF → ＋FA → ＝AC → ＋CD → ＋DF → ＋FA→＝AD → ＋DF → ＋FA → ＝AF → ＋FA →＝0．探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB → ，水流的速度为OA → ，以OA → ，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA → ＋OB → ＝OC →．由勾股定理知|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．三、学习小结1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法前提已知非零向量a ，b作法在平面内任取一点A ，作AB → ＝a ，BC → ＝b ，再作向量AC→结论向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC → ＝AC→法则三角形法则图形前提已知不共线的两个向量a ，b作法在平面内任取一点O ，以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB 结论对角线OC →就是a 与b 的和法则平行四边形法则图形规定对于零向量与任一向量a ，我们规定a ＋0＝0＋a ＝a2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立．3．向量加法的运算律交换律a ＋b ＝b ＋a结合律（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）四、精炼反馈1．化简OP → ＋PQ → ＋PS → ＋SP →的结果等于（ ）A ．QP →B ．OQ→ C ．SP → D ．SQ→解析：选B ．OP → ＋PQ → ＋PS → ＋SP → ＝OQ → ＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC → ＝AB → ＋AD →，则一定有（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC → ＝AB → ＋AD → 得AD → ＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______．解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13．答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO → ＋AC →；（2）DE → ＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF →为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG →为所求．【第二课时】向量的减法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】相反向量理解相反向量的概念数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算法则及其几何意义数学抽象、直观想象【学习过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1：向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB → ＋MB → ）＋（－OB → －MO →）；（2）AB → －AD → －DC →．解：（1）法一：原式＝AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → ＝（AB → ＋BO → ）＋（OM → ＋MB → ）＝AO → ＋OB →＝AB →．法二：原式＝AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM→＝AB → ＋（MB → ＋BO → ）＋OM → ＝AB → ＋MO → ＋OM → ＝AB → ＋0＝AB →．（2）法一：原式＝DB → －DC → ＝CB →．法二：原式＝AB → －（AD → ＋DC → ）＝AB → －AC → ＝CB →．探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c ．过点A 作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD → ＝OA → ＋AD →＝a ＋b －c ．法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB → ＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c ．法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB → ＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c ．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC → ＝b ，AE → ＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD → ，BC → ，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD → ＝AE → ＝c ，BC → ＝AC → －AB →＝b －a ，故BD → ＝BC → ＋CD →＝b －a ＋c ．三、学习小结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0．2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB → ＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．四、精炼反馈1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD → －AC →等于（ ）A ．CB → B ．BC→ C ．CD → D ．DC→解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD→－AC → ＝CD →．2．化简：AB → －AC → ＋BD → －CD → ＋AD →＝________．解析：原式＝CB → ＋BD → ＋DC → ＋AD → ＝CD → ＋DC → ＋AD → ＝0＋AD → ＝AD →．答案：AD→3．已知Error!＝10，|AC → |＝7，则|CB →|的取值范围为______．解析：因为CB → ＝AB → －AC →，所以|CB → |＝|AB → －AC →|．又Error!≤|AB → －AC → |≤|AB → |＋|AC →|，3≤|AB → －AC →|≤17，所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB → －OC → |＝|OB → －OA → ＋OC → －OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB → －OA → ＋OC → －OA → ＝AB → ＋AC → ，OB → －OC → ＝CB → ＝AB → －AC →．又|OB → －OC → |＝|OB → －OA → ＋OC → －OA → |，所以|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】向量的数乘运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】向量数乘运算的定义及运算律理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律数学抽象、直观想象向量共线定理掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？二、新知探究探究1：向量的线性运算例1：（1）计算：①4（a＋b）－3（a－b）－8a；②（5a－4b＋c）－2（3a－2b＋c）；③23[（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）]．（2）设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求(13a－b)－(a－23b)＋（2b－a）．解：（1）①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ．②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．③原式＝23(4a －3b ＋13b －32a ＋74b)＝23(52a －1112b)＝53a －1118b ．（2）原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝(13－1－1)a ＋(－1＋23＋2)b ＝－53a ＋53b ＝－53（3i ＋2j ）＋53（2i －j ）＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j＝－53i －5j ．探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB → ＝e 1＋e 2，BC → ＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线；（2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB → ＝e 1＋e 2，BD → ＝BC → ＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB →．所以AB → ，BD →共线，且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．（2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2），则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有{k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB → ∥CD → 且|AB → |＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB → ＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC →＝________；（2）MN →＝________．解析：因为AB → ∥CD → ，|AB → |＝2|CD →|，所以AB → ＝2DC → ，DC → ＝12AB →．（1）AC → ＝AD → ＋DC →＝e 2＋12e 1．（2）MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN→ ＝－12DC → －AD → ＋12AB→＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC → ＝e 1，AD → ＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN →，MN → ＝MC → ＋CB → ＋BN →，所以2MN → ＝（MD → ＋MC → ）＋DA → ＋CB → ＋（AN → ＋BN → ）．又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD → ＋MC → ＝0，AN → ＋BN →＝0．所以2MN → ＝DA → ＋CB →，所以MN → ＝12（－AD → －BC →）＝－12e 2－12e 1．三、学习小结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么：（1）λ（μa ）＝（λμ）a ．（2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ．（3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ．四、精炼反馈1．13[12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）]等于（ ）A ．2a －b B ．2b －a C ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ．2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB → ＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（ ）A ．BO →B ．AO→ C ．CO → D ．DO→解析：选A ．BD → ＝AD → －AB → ＝BC → －AB → ＝3e 2－2e 1，BO → ＝12BD → ＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB → ＝2e 1－8e 2，CB → ＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB → ＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD → ＝CD → －CB →＝e 1－4e 2．又AB → ＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB → ＝2BD → ，所以AB → 与BD →共线．因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】向量的数量积【学习重难点】【学习目标】【核心素养】向量的夹角理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角直观想象、数学运算向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义并会计算数学抽象、数学运算投影向量理解a 在b 上的投影向量的概念数学抽象向量数量积的性质和运算律掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．什么是向量的夹角？2．数量积的定义是什么？3．投影向量的定义是什么？4．向量数量积有哪些性质？5．向量数量积的运算有哪些运算律？二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB → |＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD → ·BC → ；②AB → ·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ）＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．（2）①因为AD → ∥BC →，且方向相同，所以AD → 与BC →的夹角是0°，所以AD → ·BC → ＝|AD → ||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9．②因为AB → 与AD →的夹角为60°，所以AB → 与DA →的夹角为120°，所以AB → ·DA → ＝|AB → ||DA →|·cos 120°＝4×3×(－12)＝－6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC → ·BD →．解：因为AC → ＝AB → ＋AD → ，BD → ＝AD → －AB →，所以AC → ·BD → ＝（AB → ＋AD → ）·（AD → －AB → ）＝AD → 2－AB →2＝9－16＝－7．探究点2：向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（ ）A ．3B ．23C ．4D ．12（2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（ ）A ．13B ．12C ．15D ．14解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝ 4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12．答案：（1）B （2）B 探究点3：向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝－72，则a 与b 的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且（a －b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为______．解析：（1）设a 与b 的夹角为θ，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72，所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．（2）设a 与b 的夹角为θ，由（a －b ）⊥b ，得（a －b ）·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |．又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．答案：（1）π3（2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时，求证：b ⊥（a ＋t b ）．证明：因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值．此时b ·（a ＋t b ）＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋(－a·b |b |2)·|b |2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）．命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（ ）A ．－32B ．32C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0，所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0．因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，又|a |＝2，|b |＝3，所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ），即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5．答案：（1）B （2）－8或5三、学习小结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA → ＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ；③当θ＝π时，向量a 与b 反向．2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0．3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD → ＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD → 所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影（project ），A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图（2），在平面内任取一点O ，作OM → ＝a ，ON →＝b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．（2）若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→＝|a |cos θ e ．4．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则（1）a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ．（2）a ⊥b ⇔a·b ＝0．（3）当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |．特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a ．（4）|a·b |≤|a ||b |．5．向量数量积的运算律（1）a·b ＝b·a （交换律）．（2）（λa ）·b ＝λ（a·b ）＝a ·（λb ）（结合律）．（3）（a ＋b ）·c ＝a·c ＋b·c （分配律）．四、精炼反馈1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：选C ．由题意，知a·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，所以cos θ＝12．又0≤θ≤π，所以θ＝π3．2．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为（ ）A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B ．因为c·d ＝0，所以（2a ＋3b ）·（k a －4b ）＝0，所以2k a 2－8a ·b ＋3k a ·b －12b 2＝0，所以2k ＝12，所以k ＝6．3．已知|a |＝3，|b |＝5，a ·b ＝－12，且e 是与b 方向相同的单位向量，则a 在b 上的投影向量为______．解析：设a 与b 的夹角θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－123×5＝－45，所以a 在b 上的投影向量为|a |cos θ·e ＝3×(－45)e＝－125e ．答案：－125e4．已知|a |＝1，|b |＝2．（1）若a ∥b ，求a ·b ；（2）若a ，b 的夹角为60°，求|a ＋b |；（3）若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．解：设向量a 与b 的夹角为θ．（1）当a ，b 同向，即θ＝0°时，a ·b ＝2；当a ，b 反向，即θ＝180°时，a ·b ＝－2．（2）|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3＋2，|a ＋b |＝3＋2．（3）由（a －b ）·a ＝0，得a 2＝a ·b ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝22，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°．。
向量的加法运算及其几何意义导学案
2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》导学案【学习目标】1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；【重点难点】教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义.【知识链接】一、复习提问:1、什么叫向量 叫向量。
2、长度为零的向量叫做 。
零向量的方向具有 性。
3、长度等于一个单位的向量叫做 。
4、方向相同或相反的非零向量叫做 ，也叫 。
5、长度相等且方向相同的向量叫做 。
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。
二、情景设置：元旦假期将到，某人计划外出去三亚旅游，从重庆（记作A ）到昆明（记作B ）， 再从B 到三亚（记作C ），这两次的位移和可以用哪个向量表示[学习过程] 问题1：向量的加法运算是如何定义的叫做向量的加法.问题2：求向量和的方法有哪些这两个法则的要点分别是什么以及何种情况下能应用 向量加法的三角形法则：如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝b ，则向量AC 叫做与a 与b 的和，记作a +b ， 即a +b AC BC AB =+=， 规定：=+=+a a 00 。
向量加法的平行四边形法则： 。
例1、已知向量a 、b ，分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作向量a +b作法1（三角形法则）： A B Ca +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa a b作法2（平行四边形法则）：总结：1. 两相向量的和仍是 ； 2. 向量加法的三角形法则:首尾相接;任何向量都适用 向量加法的平行四边形法则：统一起点；非零不共线向量3. “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加。
向量加法运算导学案
§2.1向量的线性运算（1）课题：向量的加法运算（1学时）时间：2013年4月2 日备课小组：第一小组执笔人：刘琴审稿人：牛克芳一、温故互查1.向量概念：2.向量的表示方法：几何表示法字母表示法3.向量的模：4.相等向量:5.平行向量:二、情景设置数能进行运算，有了数的运算才有了数学，才能用数学来研究和解决生活当中的很多问题，数的威力无穷；那么向量能不能进行运算呢？能进行加法运算吗？例如位移和力能求和吗？三、学习目标1 体会向量加法的定义.2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.3.用向量加法的定义体会向量加法的交换律和结合律，并会用他们进行向量计算.师生笔记四、问题导读1、阅读课本第80-81页内容，思考并回答下列问题：1)位移是如何求和的？位移也是向量，仿照位移你会求两向量的和吗？具体怎样去做?2)力又是如何求和的呢？仿照力的求和你会求两向量的和吗？具体怎样去做？3）什么是向量加法？你会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量吗？（自学例1）如果是三个向量求和用什么方法好呢？四个，多个呢？4）向量加法可以用三角形法则，你能在三角形中讨论向量模之间的关系吗？有什么关系呢？任意两向量的和的模都适合这种关系吗？还有那些特殊情况呢？最后你得出的结论是什么呢？2、阅读课本第82页探究内容，思考并回答下列问题：数的加法适合交换律结合律，向量加法适合交换律和结合律吗？你能从作图的过程中体会到吗?你会用他们进行向量运算吗？3、阅读课本第83页例2的内容，思考并回答下列问题：速度是向量，可以用有向线段表示，你能理解图2.2-13吗？你能体会题中解决的问题是向量的什么问题吗？五、自学检测 ：1、分别利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作课本84页练习2题图中两个向量的和向量2 、在平行四边形ABCD 中, AB +C A + 等于A AB B BC C CD D BD3、若D 为三角形ABC 底边BC 的中点，则AB +A C 等于A B C B 2C D C 2 BD D 2AD4、AB +B C +C A = AB +B C +C D +DA =5、已知在矩形ABCD 中，宽为2，长为3，AB =a ,B C =b ,A C =c ,试作出a +b +c ,并求出其模的大小。
向量的加法运算及其几何意义导学案
向量的加法运算及其几何意义导学案一、概念向量是由大小和方向同时确定的量，可以用有向线段来表示，通常用字母加箭头的形式表示，如→AB表示由点A指向点B的向量。
二、向量加法的运算规律1.交换律：A+B=B+A2.结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3.零向量：对于任意向量A，A+0=A，其中0表示长度为0的向量，也称为零向量，记作0向量。
4.负向量：对于任意向量A，存在一个唯一的向量B，使得A+B=0，称向量B为A的负向量，记作-B。
三、向量加法的几何意义向量加法的几何意义可以通过平行四边形法则进行解释。
平行四边形法则：将两个向量的起点放在同一点，然后将这两个向量的终点相连，得到的线段所构成的平行四边形的对角线，即为两个向量的和向量。
具体操作步骤如下：1.将第一个向量的起点放在坐标原点O处，终点放在点A处；2.将第二个向量的起点也放在坐标原点O处，终点放在点B处；3.用直线段连接点A和B，得到一个平行四边形，记作OACB；4.连接O和C，并延长OAC和OCB，使其交于D点；5.OD就是所求的和向量，记作C=A+B。
四、示例以二维向量为例，假设有向量A(3,2)和向量B(1,-4)，求和向量C=A+B。
1.将向量A的起点放在原点O，在坐标系上表示出向量A；2.将向量B的起点也放在原点O，在坐标系上表示出向量B；3.用直线段连接两个向量的终点，得到平行四边形OACB；4.连接O和C并延长OC，交于点D；5.OD就是所求的和向量C。
根据平行四边形法则，连线OC就是向量A和向量B的和向量C。
对于上述例子，可以得到C=(4,-2)。
五、向量加法的向量表示向量的坐标表示法，可以将向量拆分成水平方向上的分量和垂直方向上的分量。
向量A的水平分量记作Ax，垂直分量记作Ay；向量B的水平分量记作Bx，垂直分量记作By；向量C=A+B的水平分量记作Cx，垂直分量记作Cy。
根据向量相加的运算规律，可以得到：Cx=Ax+Bx，Cy=Ay+By。
高中数学《向量加法运算及其几何意义》导学案
2．2.1向量加法运算及其几何意义1.向量的加法(1)向量加法的定义□1求两个向量和的运算叫做向量的加法．(2)向量加法的运算法则2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．3．向量的三角形不等式对任意两个向量a，b，均有|a＋b|□10≤|a|＋|b|.当a，b同向时有|a＋b|□11＝|a|＋|b|；当a，b反向时有|a＋b|□12＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量相加结果可能是一个数量．( )(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( )(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( )答案 (1)× (2)× (3)×2．做一做(1)对任意四边形ABCD ，下列式子中不等于BC →的是( )A.BA →＋AC →B.BD →＋DA →＋AC →C.AB →＋BD →＋DC →D.DC →＋BA →＋AD →答案 C解析 A 项，BA →＋AC →＝BC →；B 项，BD →＋DA →＋AC →＝BA →＋AC →＝BC →；C 项，AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →；D 项，DC →＋BA →＋AD →＝(BA →＋AD →)＋DC →＝BD →＋DC →＝BC →.故选C.(2)如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2 C. 3D.5答案 B 解析 ∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →，∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2.(3)(教材改编P 81例1)如图所示，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b ＋c .解 a ，b ，c 不共线中隐含着a ，b ，c 均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．解法一(三角形法则)：如图(1)所示，作AB →＝a ，BC ＝b ，则AC →＝a ＋b ，再作CD →＝c ，则AD →＝AC →＋CD →＝(a ＋b )＋c ，即AD →＝a ＋b ＋c .解法二(平行四边形法则)：∵a ，b ，c 不共线，如图(2)所示．在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作▱OADB ，则对角线OD →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，以OC →，OD →为邻边作▱OCED .则OE →＝a ＋b ＋c .探究1 向量的三角形和平行四边形法则例1 如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a 与b 的和．解 如下图中(1)、(2)所示，首先作OA →＝a ，然后作AB →＝b ，则OB →＝a ＋b .拓展提升(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点．②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．【跟踪训练1】 (1)如图，已知a ，b ，求作a ＋b ；(2)如图所示，已知向量a ，b ，c ，试作出向量a ＋b ＋c .解 (1)如图所示．(2)作法一：如图1所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA→＝a ，接着作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ；然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．作法二：如图2所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD→＝OA →＋OB →＝a ＋b .再以OD ，OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．探究2 向量的加法运算例2 如图，在△ABC 中，O 为重心，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，化简下列三式：(1)BC →＋CE →＋EA →；(2)OE →＋AB →＋EA →；(3)AB →＋FE →＋DC →.解 (1)BC →＋CE →＋EA →＝BE →＋EA →＝BA →.(2)OE →＋AB →＋EA →＝(OE →＋EA →)＋AB →＝OA →＋AB →＝OB →.(3)AB →＋FE →＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →.拓展提升解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.【跟踪训练2】 化简或计算：(1)CD →＋BC →＋AB →；(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.解 (1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝(AB →＋BC → )＋(CD →＋DF → )＋F A →＝AC →＋CF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.探究3 利用向量加法证明几何问题例3 已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →，∴AB ＝DC 且AB ∥DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．拓展提升怎样用向量方法证明几何问题用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．【跟踪训练3】 如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的反向延长线及延长线上取点E ，F ，使BE ＝DF ，求证：四边形AECF 是平行四边形．证明 ∵AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，又AB →＝DC →，FD →＝BE →，∴AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等．∴四边形AECF 是平行四边形．探究4 向量加法的实际应用例4 在水流速度为向东10 km/h 的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10 3 km/h ，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．解 如图所示，OA →表示水速，OB →表示船实际航行的速度，OC →表示船速，由OB →＝OC →＋OA →易知|BC →|＝|OA →|＝10，又∠OBC ＝90°，所以|OC →|＝20，所以∠BOC ＝30°，所以∠AOC ＝120°，即船行驶速度为20 km/h ，方向与水流方向的夹角为120°.拓展提升应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤【跟踪训练4】 在某地抗震救灾中，一救护车从A 地按北偏东35°的方向行驶800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向行驶800 km 送往C 地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．解 如图所示，设AB →，BC →分别表示救护车从A 地按北偏东35°方向行驶800 km ，从B 地按南偏东55°的方向行驶800 km.则救护车行驶的路程指的是|AB → |＋|BC →|；两次行驶的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →.依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°.所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而救护车行驶的路程是1600 km ，两次行驶的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 (1)两个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示：AC →＝AB →＋AD →(平行四边形法则)，又因为BC →＝AD →，所以AC →＝AB →＋BC →(三角形法则)．(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．2.向量a ＋b 与非零向量a ，b 的模及方向的关系(1)当a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不相同，且|a＋b |＜|a |＋|b |.(2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |≥|b |，则a ＋b 与a 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |.若|a |＜|b |，则a ＋b 与b 的方向相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |.1．下列等式错误的是( ) A ．a ＋0＝0＋a ＝a B.AB →＋BC →＋AC →＝0 C.AB →＋BA →＝0D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM → 答案 B解析 对于A ，根据0加任何向量都等于原向量，且向量加法满足交换律，所以A 正确；对于B ，根据向量的三角形加法运算可得AB →＋BC →＝AC →，故原式等于2AC →≠0.故B 错误；对于C ，可知AB →与BA →共线且方向相反，所以AB →＋BA →＝0，所以C 正确；对于D ，可知MN →＋NP →＋PM →＝MP →＋PM →＝0，又CA →＋AC →＝0，可知D 正确．故选B.2．设P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＋PC →＝0 B.P A →＋PB →＝0 C.PC →＋P A →＝0 D.PB →＋PC →＝0答案 C解析 因为P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，所以P 是AC 的中点，所以PC →＋P A →＝0.3．若a 等于“向东走8 km ”，b 等于“向北走8 km ”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．答案 8 2 km 北偏东45°解析 如图所示，设AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，且△ABC 为等腰直角三角形．则|AC →|＝82，∠BAC ＝45°.4．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|A B →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________.答案 1解析 由题意知△ABD 为等边三角形，∴|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 5．如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，根据图示计算：(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →； (3)OA →＋FE →.解 (1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以OA →＋OC →＝OB →.(2)因为BC →与FE →方向相同且长度相等，所以BC →与FE →是相等向量，故BC →＋FE →与BC →方向相同，长度为BC →长度的2倍，因此BC →＋FE →可用DA →表示．所以BC →＋FE →＝－DA →.(3)因为OA →与FE →长度相等且方向相反，所以OA →＋FE →＝0.A 级：基础巩固练一、选择题1．在平行四边形ABCD 中，下列式子：①AD →＝AB →＋BD →；②AD →＝AC →＋CD →；③AD →＋AB →＝AC →；④AB →＋BC →＝AC →；⑤AD →＝AB →＋BC →＋CD →；⑥AD →＝DC →＋CA →.其中不正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 答案 A解析 DC →＋CA →＝DA →，故⑥不正确；其他都正确．2．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是( )①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |； ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．①② B ．①③ C ．①③⑤ D ．②④⑤答案 C解析 a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，易知①③⑤正确．故选C.3．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )A.FD →＋DA →＝F A →B.FD →＋DE →＋EF →＝0C.DE →＋DA →＝EC →D.DA →＋DE →＝FD → 答案 D解析 由向量加法的平行四边形法则可知，DA →＋DE →＝DF →≠FD →. 4．已知四边形ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA →B.AB →＋AC →＝BC →C.AC →＋BA →＝AD →D.AC →＋AD →＝DC →答案 C解析 由四边形ABCD 是菱形知C D →＝B A →，则A C →＋B A →＝A C →＋C D →＝A D →.故选C.5．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足P A →＋PB →＝PC →，则下列结论中正确的是( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上 C ．P 在AB 边所在的直线上D ．P 在△ABC 的外部 答案 D解析 由P A →＋PB →＝PC →可得四边形PBCA 为平行四边形，所以点P 在△ABC 的外部．二、填空题 6．根据图示填空．(1)AB →＋OA →＝________； (2)BO →＋OD →＋DO →＝________； (3)AO →＋BO →＋2OD →＝________. 答案 (1)OB → (2)BO → (3)AD →＋BD →解析 由三角形法则知 (1)AB →＋OA →＝OA →＋AB →＝OB →. (2)BO →＋OD →＋DO →＝BD →＋DO →＝BO →.(3)AO →＋BO →＋2OD →＝(AO →＋OD →)＋(BO →＋OD →)＝AD →＋BD →. 7．已知AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，AE →＝e ，则a ＋b ＋c ＋d ＝________.答案 e解析 a ＋b ＋c ＋d ＝AB →＋BC →＋CD →＋DE →＝AE →＝e .8．若P 为△ABC 的外心，且P A →＋PB →＝PC →，则∠ACB ＝________.答案 120°解析 ∵P A →＋PB →＝PC →，则四边形APBC 是平行四边形． 又P 为△ABC 的外心，∴|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.因此，∠ACB ＝120°. 三、解答题9．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC . 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 AB →＝AP →＋PB →， AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →. 因为PB →和QC →大小相等、方向相反， 所以PB →＋QC →＝0.故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.10．已知矩形ABCD 中，宽为2，长为23，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出向量a ＋b ＋c ，并求出其模的大小．解 作CE →＝AC →，如图，则a ＋b ＋c ＝AE →，a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋AC →＝2AC →＝2c ，∴|a ＋b ＋c |＝|2AC →|＝222＋(23)2＝8.B 级：能力提升练1．在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．解 如图所示，设AB →，BC →分别是直升飞机两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →.在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ，在Rt △ACD 中，|AC →|＝|AD →|2＋|DC →|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°， 即此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处．2．已知船在静水中的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解 作AB →＝v水，AD →＝v 船，以AB →，AD →为邻边作▱ABCD ，则AC→＝v 实际，如图．由题意可知∠CAB ＝90°，在Rt △ABC 中，|AB →|＝|v 水|＝10 m/min ，|BC →|＝|AD →|＝|v 船|＝20 m/min ，∴cos ∠ABC ＝|AB →||BC →|＝1020＝12， ∴∠ABC ＝60°，从而船与水流方向成120°角． 故船行进的方向与水流的方向成120°角．。
向量的加法与减法导学案
平面向量的加法与减法【课标要求】理解向量加法与减法的由来，熟练运用向量的加法减法进行运算. 【学习目标】向量的加法与减法运算及其运用. 【重难点】向量的加法与减法运算及其运用. 【知识回顾】1、向量加法的定义如图，已知向量a 与向量b ，在平面上任取一点A ，作a AB =，再以点B 为起点，作b BC =，再以A 为起点，作出向量AC ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b . 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2、向量求和的三角形法则利用向量加法的定义求两个向量的作图法则，叫做向量的三角形法则。
在运用此法则时，要注意‘首尾相接’，即求两个向量的和是以某一个向量终点，作为另一条向量的起点，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量. 3、向量求和的平行四边形法则已知两个不共线的向量a 与向量b ，在平面内任取一点A ，作a AB =，b AD =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB ，AD 为邻边，做平行四边形ABCD ，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则，使用时要注意两个向量是同一起点的不共线向量.4、向量加法的运算律 a. a b b a +=+b. ()()c b a c b a ++=++c.a a a =+=+005、与向量a 方向相反，大小相等的向量叫做a 的相反向量，记作a -，并规定零向量的相反向量还是零向量.关于相反向量，我们有：① ()a a =--② ()()0=+-=-+a a a a③ 若向量a 与向量b 互为反向量，则有b a -=，0=+b aabCBAba +ab6、向量减法的定义第一种定义是将向量的减法运算定义为向量加法运算的逆运算。
如果a c b =+，那么向量c 就叫做向量a 与向量b 的差，记作b a -，其几何意义是在平面内任取一点O ，作a OA =，b OB =，则b ac BA -==求向量差的运算叫做向量的减法运算第二种定义是利用反向量的定义给出的：用一个向量减去另一个向量，等于加上这个向量的反向量.【随堂练习一 向量的加法】1、在平行四边形ABCD 中，下列各式中不成立的是( )A ．A C →－AB →＝BC → B ．AD →－B D →＝A B → C ．B D →－A C →＝B C → D ．BD →－CD →＝B C →2、已知六边形ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中a ＝OF →、b ＝OB →、c ＝OC →，则EF →等于( )A ．a ＋bB ．b －aC ．c －bD ．b －c 3、如图，在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．AB →＋AC →＝AD → B ．AB →－AC →＝BC → C ．AB →＋DC →＝AD → D ．AB →－DC →＝BC → 4、化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( )A ．AB → B ．AD →C ．BC →D ．0 5、向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( )A ．BC →B ．AB →C ．AC →D ．AM → 6、若a 、b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同a bBAOba -ab7、a 、b 、a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( )A ．a ＝bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．以上都不对 8、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )A ．AD →＋BE →＋CF →＝0B ．BD →＋CF →＋DF →＝0C ．AD →＋CE →＋CF →＝0 D ．BD →＋BE →＋FC →＝0 9、已知下列各式：①AM →＋M B →＋B A →；②A B →＋C A →＋B D →＋D C →；③O A →＋O C →＋BO →＋CO →.其中结果为零向量的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 10、在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形 11、在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列各式中不成立的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c | 12、已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C ． 2 D ．22 13、如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋CD →＋BC →等于( )A ．DO →B ．OD →C ．BD → D ．DB → 14、如图所示，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋BC →＝________.15、根据右图填空：b ＋c ＝________；a ＋d ＝________；b ＋c ＋d ＝________； f ＋e ＝________；e ＋g ＝________. 16、如图所示，△ABC 中，AD DB ＝AE EC ＝12，且BC ＝3，则|BC →＋ED →|＝________.17、如图所示，在△ABC 中，P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 边的中点，求证AP →＋BQ →＋CR →＝0.18、在△ABC 中，AB →＝a 、BC →＝b ，AD 为BC 边上的中线，G 为△ABC 的重心，求证：AG →＝23a ＋13b【随堂练习一 向量的减法】1、在平行四边形ABCD 中，下列各式中不成立的是( )A ．A C →－AB →＝BC → B ．AD →－B D →＝A B → C ．B D →－A C →＝B C → D ．BD →－CD →＝B C →2、下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a ＋(－a )＝0.正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 3、若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( )A ．EF →＝OF →＋OE →B ．EF →＝OF →－OE →C ．EF →＝－OF →＋OE →D ．EF →＝－OF →－OE → 4、下列各式中不能化简为PQ →的是( )A ．AB →＋(P A →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C ．QC →－QP →＋CQ →D ．P A →＋AB →－BQ → 5、在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →等于( )A ．a ＋bB ．－a －bC ．a －bD ．b －a 6、如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )A ．AB →＝DC → B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD → D ．AD →＋CB →＝07、在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则必有( )A ．AD →＝0B ．AB →＝0或AD →＝0 C ．四边形ABCD 是矩形 D ．四边形ABCD 是正方形 8、设a 、b 为非零向量，且满足|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 的关系是( ) A ．共线 B ．垂直 C ．同向 D ．反向 9、如图，正六边形ABCDEF 中，B A →＋C D →＋E F →＝( )A ．0B ．B E →C ．AD → D ．C F →10、设(AB →＋CD →)－(CB →＋AD →)＝a ，而b ≠0，则在下列各结论中，正确的结论为( ) ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ±b |<|a |＋|b |.A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③ 11、已知|AB →|＝5，|CD →|＝7，则|AB →－CD →|的取值范围是( )A ．[2,12]B ．(2,12)C ．[2,7]D ．(2,7) 12、在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，|c －a －b |＝________ 13、给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →；②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →；④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中所有正确命题的序号为________．14、若非零向量a 与b 互为相反向量，给出下列结论： ①a ∥b ；②a ≠b ；③|a |≠|b |；④b ＝－a . 其中所有正确命题的序号为________．15、已知|OA →|＝|OB →|＝2，且∠AOB ＝120°，则|OA →＋OB →|＝________. 16、化简下列各式(1)AB →－AC →＋BD →－CD →； (2)OA →－OD →＋AD →； (3)AB →－AD →－DC →.17、已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，M 为斜边中点，设CM →＝a ，CA →＝b ，试用向量a 、b 表示AM →、MB →、CB →、BA →。
向量的加法运算 导学案-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.1 向量的加法运算【学习目标】1．理解向量的加法含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量运算；2．在经历向量加法法则的探究和应用过程中，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养归纳、类比、迁移能力，增强数学应用意识．【自主学习】1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.向量求和的法则(1)三角形法则: 已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a.(2)平行四边形法则: 以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC →就是a 与b 的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则3.向量加法的运算律(1)交换律: a ＋b ＝b ＋a(2)结合律: (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )三、课内探究【课内探究一】 已知向量a ，b （如图），求作向量a ＋b ．【课内探究二】如图，在ABC 中，O 为重心，点,,D E F 分别是BC ,AC ,AB 的中点，化简下列各式： a b a b a b ab(1)BC CE EA ++;(2)OE AB EA ++;(3)AB FE DC ++.【课内探究三】 化简下列各式： (1) BC ＋AB ；(2) (2)DB ＋CD ＋BC ；(3) (3)AB ＋DF ＋CD ＋BC ＋FA ;(4)AB CD BC DA +++;(5)()()AB MB BO BC OM ++++．【课内探究四】 在长江南岸某渡口处，江水以h km /5.12的速度向东流，渡船的速度为h km /25，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？【当堂检测】1.已知向量,,a b c 如图，求作向量a b c ++.2.化简：（1）AB DF CD BC FA ++++= ；(2) _______)(=+++→→→→OM BO MB AB ．3．梯形ABCD ，AD//BC ，O 为对角线交点，则OA +AB +BC = ． 4.如图，在ABC 中，O 为重心，点,,D E F 分别是BC ,AC ,AB 的中点，化简下列各式：(1)BC CE EA ++;(2)OE AB EA ++;(3)AB FE DC ++.5．船以h km /25的速度按垂直于河岸的航向航行，江水以h km /5.12的速度向东流，那么受水流影响，渡船的实际航向如何？6．一艘船以5h km /的速度在行驶，同时河水的流速为2h km /，则船的实际航行速度大小最大是 h km /，最小是 h km /．。
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山西省原平市第一中学高一数学向量的加法导学案
问题一：请阅读P80及P81的内容，回答下列问题。
1.如何定义两个非零向量的和？
2.向量的加法指什么?
3.向量加法的三角形法则是：
4. 向量加法的平行四边形法则是：
5.有关零向量的加法规定是：
1
问题二：请阅读P82第二个探究开始至P83例2前的内容，回答下列问题。
向量加法的运算律有
交换律：
结合律：
问题三：阅读P82第二个探究前的内容，回答下列问题：
1.当两个向量a、b不共线时，a b与a b之间的大小关系是什么？
2. 当两个非零向量a、b同向时，a b与a b之间的大小关系是什么？
3. 当两个非零向量a、b反向时，a b与a b之间的大小关系是什么？
4.对于任意向量a、b，a b=a b成立的条件是什么？
5. 对于任意向量a、b，a b与a b之间的大小关系是什么？
一、课堂检测
1. 如图，已知向量a、b，用向量加法的三角形法则作出a b
2
2. 对1题中的(1)、(2)，用向量加法的平行四边形法则作出a b
3
二、交流、点评
三、实战演练
1. 如图，CB AD BA等于
(A) DB(B) CA
(C) CD(D) DC
2.若a,b是两个不平行的非零向量，并且a//c,b//c,则向量c=
(A) 0(B) a(C) b(D) 不存在
3.下列命题中，正确的是
(A) 若|a|=|b|,则a=b(B) 若|a|>|b|,则a>b
(C) 若a=b,则a//b(D) 若|a|=1,则a=1
4. 化简：
CB ED DC FE AF=
OA OC BO CO=
5. 如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,以图中六个顶点和中心这7
个点中任意两个为起点和终点的向量中，与OA相等的向量的个数是
与OA模相等的向量的个数是
6. 已知AB=DC，且|AB|=|AD|，则四边形ABCD是
7. 飞机从甲地按北偏西15的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地按南偏东75的方向飞行1400km到达丙地，那么丙地在甲地的方向，丙地距甲地
四、能力提升
4
1. 当两个非零向量a、b满足a b=a b时，指出向量a、b应满足的条件。
2. 如图，已知矩形ABCD中，
|AD|=43,AB=a,BC=b,BD=c,求|a b c|
3.已知O为四边形ABCD所在平面内的一点，且向量OA、OB、OC、OD满足等式OA OC OB OD
(1)作图并观察四边形ABCD的形状；
(2) 四边形ABCD有什么特性？试证明你的猜想。
五、小结与反馈
5。