第三章 信号采样与Z变换理论基础

3.1.3 采样周期的选择
工程上常以在满足系统性能要求的前提下，尽可能选择较大 的采样周期（即较小的采样频率），以降低成本为基本准则。采 样周期的选择，在很大程度上还取决于实际控制系统的现场情况。
3.2 信号复现与零阶保持器 3.2.1 信号复现

信号复现 是指将采样信号恢复为连续信号的 过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。
s
2
s
3

s

0
s
( a) 幅值
2
s
3
s
(b ) 相角
3.2.6 一阶保持器与零阶保持器比较
1一阶保持器幅频特性的幅值较大，高频分
量也大。
2一阶保持器相角滞后比零阶保持器大。
3一阶保持器的结构更复杂。
一阶保持器实际很少使用！！
3.3 离散系统的差分方程 连续系统、离散系统的数学处理方法对比
3.1.1信号的采样

采样过程类似于一个脉冲调制过程。设理想的单位 脉冲序列 T (t ) 的数学表达式为：
1, t kT (t kT ) 0, t kT
采样开关对模拟信号
T (t )
(t kT )
k
(k 0,1,2, )
* e e (t ) 进行采样后，其输出信号 (t )
例1：y(n) ay(n 1) x(n)
已知：y(-1)=0, x(n)=
(n)
y(0) ay( 1) x(0) 1 解：
y (1) ay(0) x(1) a
……
y (n) a n
y () 0
n
故
y ( n ) a u( n )
3.3.3 差分方程的求解
第三章 信号采样与Z变换理论基础
本章内容
3.1 采样过程与采样定理 3.2 信号的恢复与零阶保持器 3.3 离散系统的差分方程 3.4 z变换与z反变换 3.5 脉冲传递函数 3.6 Z平面分析
基本要求

正确理解采样过程，采样定理，信号复现和零阶保持 器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联系。 Z变换和Z反变换，熟练掌握几种典型信号的Z变换和 通过部分分式分解进行反变换, 了解用Z变换法解差分 方程的主要步骤和方法。 正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系 统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法, 掌握典型闭环采样系统输出的Z变换表达式。 熟练掌握Z域稳定性的判别方法。
可以表示为 e * (t ) e(t ) T (t ) e(t )
(t kT )
k

从控制系统的实际意义出发，通常取 t 0 时， e(t ) 0 故上式可改写为：
e * (t ) e(t )
(t kT ) e(kT ) (t kT )
1 s 1 s 1 e s
Ts
G h ( s ) L [ g h ( t )] L [ u ( t )] L [ u ( t T )]

e
Ts

3.2.5 零阶保持器的频率特性
将 s j 代入上式，可以得到零阶保持器的频率特性为：
1 e j T e G h ( j ) j 2e
k 0 k 0


3.1 采样过程与采样定理
3.1.2 采样定理
对于一个具有有限频谱的连续信号f (t )进行采样，若采样频率 满足
s 2max
再通过一个理想的低通滤波器，则采样信号f * (t )能够不失真地
复现原来的连续信号f (t )。其中max为原信号f (t )有效频谱中的最高 频率，s为采样频率。 在实际系统中，一般总是将采样频率s 选得比2max 大得多。
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3.3 离散系统的差分方程
1 差分的定义
假设在下图所示的采样系统中，模拟—数字转换 器在离散时间对误差信号e(t ) 进行采样，并将瞬时值 e(kT ) 记为 ek 或 e(k ) ，则 ek 的一阶前项差分定 义为：
ek ek 1 ek
T
e (t )
e (t )
e* (t ) e* (t )
g h (t )
1 t 0 T 0 T
g h (t )
1
u (t )
t
两个单位阶跃函数的叠加
-1
u (t T )
3.2.4 零阶保持器的传递函数
由线性函数的叠加性，零阶保持器的脉冲响应函数：
g h (t ) u(t ) u(t T )
对上式取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为：
T (t )
1
t t
0
(a)
0
T 2T 4T 5T
0
(b )
t
T 2T 3T 4T 5T 6T
(c )
3.3 离散系统的差分方程
3.31 差分的定义

二阶前向差分定义为： 2 ek (ek ) ek 1 ek n阶前向差分定义为
n n1
ek 2 2ek 1 ek
3.1 采样过程与采样定理
3.1.1信号的采样
T
e (t )
e (t )
e* (t ) e* (t )
T (t )
1
t t
0
(a)
0
T 2T 4T 5T
0
(b )
t
T 2T 3T 4T 5T 6T
(c )
若时间间隔用任意数T表示，离散信号用x(kT)或x(k)表示。 其中k表示离散时间，T称为采样时间或采样周期。
方法1．迭代法
例2: y(n) y(n 1) y(n 2) 0 解： y (n) y (n 1) y(n 2)
y (0) 0, y (1) 1 已知：
y(2) y(1) y(0) 1
……
y(3) y (2) y (1) 2
{0,1,1, 2,3,5,8,13,
1.迭代法 2.时域经典法：齐次解+特解
3.零输入响应+零状态响应 利用卷积求系统的零状态响应 4. z变换法反变换y(n)
3.3.3 差分方程的求解
方法1．迭代法
解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系，概念清楚比较简便
但得不到输出序列 yn的解析式
y( 1) 0 y ( 2) 0 ……
k 0

N
即： a0 y(k ) a1 y(k 1)
an1 y(k n 1) an y(k n) 0
y(k n) a1 y(k n 1)
②特征方程
an1 y(k 1) an y(k ) 0


由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采 样时刻的瞬时值。若展开式的右边只取前n+1项， 便得到n阶保持器的数学表达式。
3.2 信号的恢复与零阶保持器 3.2.2 零阶保持器
零阶保持器的数学表达式为：
f (t ) f (kT )
kT t (k 1)T
信号的采样与保持过程
3.2.2 零阶保持器
3.3 离散系统的差分方程 3.3.2 差分方程
差分方程的阶数：定义为未知序列自变量序号中最高 值和最低值之差。
前向差分方程：差分方程中的未知序列是递增方式，即 由 y (k ), y (k 1), y (k 2),组成的差分方程 后向差分方程：差分方程中的未知序列是递减方式，即 由 y (k ), y (k 1), y (k 2), 组成的差分方程
用两种形式的差分方程描述的系统没有本质的区别， 根据具体情况来确定采用哪一种。
3.3 离散系统的差分方程 3.3.2 差分方程 常系数线性差分方程的一般形式
a0 y(k ) a1 y(k 1)
b0e(k ) b1e(k 1)
n i
an1 y(k n 1) an y(k n)
(b)
T 2
0 T 2T t
0
T
2T
t
(a)
零阶保持器的功能
(c )
3.2.3 零阶保持器的单位脉冲响应
零阶保持器是采样系统的基本元件，为了满足系统分析、 设计的需要，必须了解零阶保持器的传递函数和频率特性。 对零阶保持器输入单位脉冲时，其输出为一个高度为1，宽 度为T的矩形波，这就是零阶保持器的单位脉冲响应 g h (t ) 。
bm1e(k m 1) bme(k m)
m j
a y(k i) b e(k j )
i 0 j 0
y(k ) ai y(k i) b j e(k j )
i 1 j 0
n
m
3.3 离散系统的差分方程 3.3.3 差分方程的求解
无法给出闭式解集
}
3.3.3 差分方程的求解 方法2．时域经典法 解析法：齐次解+特解
齐次解：齐次方程的解
步骤： 差分方程 特征方程特征根 y(n)的解析式由初始状态定常数
3.3.3 差分方程的求解 方法2．时域经典法
1．齐次解----自由响应 ①齐次方程： a k y ( n k ) 0
n1

ek ek 1 ek
ek ek ek 1
n n1 n1

n阶后向差分定义为
3.3 离散系统的差分方程 3.3.2 差分方程
差分方程由未知序列 y(k)，及移位序列y(k+1)、 y(k+2)、… 或 y(k-1)、y(k-2)、…，以及激励u(k)及其 移位序列u(k+1)、u(k+2)、…或 u(k-1)、u(k-2)、…构 成。
j T 2 j T 2
(e
j
T 2
e
j
T 2
)
j
sin( ) j s 2 ( ) e s ( ) s
s
T j T T 2 sin( ) Te sin( ) 2 2 T ( ) 2
3.2.5 零阶保持器的频率特性
零阶保持器的幅、相频率特性分别为 ：
kT t (k 1)T 时，
可将 f (t ) 展成如下泰勒级数：
1 (n) f (t ) f (kT ) f (t ) t kT (t kT ) f (t ) (t kT ) n t kT n!
取各阶导数的近似值
f (kT ) f (kT T ) f (kT ) T f (kT ) 2 f (kT T ) f (kT 2T ) f (t ) t kT T2
零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值 e( kT ) 一直保持到下一个采样时刻 (k 1)T ，从而把采样信号
e* (t ) 变成了阶梯信号 eh (t ) 。
由于是恒值外推，处在采样区间内的值始终为常数， 其导数为零，故称作零阶保持器。
e* (t )
eh (t )
e* (t )
零阶保持器
eh (t )




掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法
概述
R ( nT )
控制规律
u (t ) b (t )
*
r (t )
b (t )
*
D( z) A/ D
D/ A
u (t )
被 控 对 象
y (t )
反馈装置
计算机控制系统简化方框图
r (t )
T
e (t )
*
+
D(z)
u * (t )
u (t ) Gh ( s )
G (s)
y (t )
T
b (t )
F (s)
等效的采样控制系统简化方框图
3.1 采样过程与采样定理
3.1.1信号的采样
采样过程：以一定的时间间隔对连续信号进行采样，使 连续信号转换成时间上离散的脉冲序列的过程。 实现采样过程的装置：多种多样，但不管具体是如何实 现的，其基本功能都可以用一个开关来表示，称为采样 器或采样开关。 理想采样开关：按一定的周期进行闭合采样。设采样周 期为T，每次采样时的闭合时间为。由于采样开关闭合 时间极短，一般远小于采样周期T和被控制对象的最大 时间常数，因此可以认为是瞬间完成。
sin( ) s 2 Gh ( j ) ( ) s ( ) s ( ) [( ) m ], m 0,1,2, s
3.2.5 零阶保持器的频率特性
零阶保持器的幅、相频率特性分别为 ：
G ( j )
h

G ( j )
h
T
0
2 3 4 5
y(k 3) y 2 (k ) u (k )
2 y(k 2) 2 y(k 1) y(k ) u (k )
2k 2 y(k 2) 1 y (k ) u (k ) (k 1)
y(k ) 6 y(k 1) 10y(k 2) 12y(k 3) u (k )