等差数列最值的求法

等差数列前n 项和最值问题求法

等差数列的前n 项和最值问题反映了数的变化过程，体现了一种从量的积累到质的变化，揭示了数之间的关联，其最值的求法通常可从函数与不等式来考察，下面通过几个例题从不同的侧面来小议其求法。

一、应用二次函数图象求解最值

例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大

分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222

n n n d d S na d n a n -=+

=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为49 6.52n +==， 而n N *

∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。

点评：利用二次函数图象的开口方向、对称性等、数形结合求解其最值简单易行，但要注意对称轴是介于两个整数的中点，此时应有两个n 的取值。

二、转化为求二次函数求最值

例3、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。

解析：∵4a ＝1a ＋3d, ∴ －14＝1a ＋9, 1a ＝－23, ∴ n S ＝－23n ＋2

)1(3-n n ＝23[(n －496)2－2

4936], ∴ 当n=

496

最小时，n S 最小， 但由于n N *∈，496介于8与9之间， 8100S =-，999S =- 即有且89S S >，故当n ＝8 8S ＝－100最小.

点评：通过条件求出1a ，从而将n S 转化为关于n 的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处496

介于8与9之间，但并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值。

三、利用关系式00

n n a a ≥⎧⎨<⎩，来求n S 最大值 例2：.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.

分析，依题先求出d ，然后写出数列的通项，构成不等式求解。

解析：设公差为d ，由3S =11S 得：

3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2

d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,

由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0

)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值. 点评：通过数列中数的特性，可由⎩⎨⎧≤≥+0

a 0a 1n n ，从解不等式来确定n S 的最大值。 小结：对等差数列前n 项和的求法，通常从二次函数与不等式的角度来求解，但有一点要注意的是最值的取值不一定在对称轴处，必须认真考察n 取何值才符合。