第2篇：中考必会几何模型：半角模型

半角模型

已知如图：①∠2=1

2

∠AOB ；②OA =OB .

连接FB ，将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置，连接F ′E ，FE ，

可得△OEF ≌△OEF ′

模型分析

∵△OBF ≌△OAF ′，

∴∠3=∠4，OF =OF ′.

∴∠2=12

∠AOB ，

∴∠1+∠3=∠2

∴∠1+∠4=∠2

又∵OE 是公共边，

∴△OEF ≌△OEF ′.

（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；

（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；

（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.

模型实例

例1已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB 、DC 于点M 、N ．

（1）求证：BM+DN=MN ．

（2）作AH ⊥MN 于点H ，求证：AH=AB ．

证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ，

∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ．

在△ADE 和△ABM 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=BM DE B ADE AB AD ∴△ADE ≌△ABM ．

∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM

∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°．

∴∠MAN=∠EAN=45°．

在△AMN 和△AEN 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN MAN EA MA ∴△AMN ≌△AEN ．

∴MN=EN ．

∴BM+DN=DE+DN=EN=MN

．

（2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ．

∴S △AMN =S △AEN ．即EN AD 2

1MN AH 21⋅=⋅．又∵MN=EN ，

∴AH=AD ．

即AH=AB ．

例2在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且

∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．

（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；

（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．

图①图②

解答

（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN．

（2）猜想：BM+NC=MN．

证明：如图③，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．

∵BD=CD，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°．

又∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°．

∴∠MBD=∠NCD=90°．

在△MBD与△ECD中，

∵DB=DC，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE，

∴△MBD≌△ECD（SAS）．

∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．

∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．

在△MDN和△EDN中，

∵MD=ED，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN，

∴△MDN≌△EDN（SAS）．

∴MN=NE=NC+CE=NC+BM．

图③

例3如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD ，E 、F 分别是BC 、CD 延

长线上的点，且∠EAF=

21∠BAD ．求证：EF=BE-FD

．证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF ，连接AG ．

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，

∴∠B=∠ADF ．

在△ABG 和△ADF 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=DF BG ADF B AD AB ∴△ABG ≌△ADF （SAS ）．

∴∠BAG=∠DAF ，AG=AF ．

∴∠GAF=∠BAD ．

∴∠EAF=21∠BAD=2

1∠GAF ．∴∠GAE=∠EAF ．

在△AEG 和△AEF 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE GAE AF AG ∴△AEG ≌△AEF （SAS ）．

∴EG=EF ．

∵EG=BE-BG ，

∴EF=BE-FD

．

跟踪练习：

1．已知，正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，∠MAN=45°．

求证：MN=DN-BM

．

【答案】

证明：如图，在DN 上截取DE=MB ，连接AE ，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴AD=AB ，∠D=∠ABC=90°．

在△ABM 和△ADE 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=DE BM ABM D AB AD ∴△ABM ≌△ADE ．

∴AM=AE ，∠MAB=∠EAD ．

∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN ，

∴∠DAE+∠BAN=45°．

∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN ．

在△AMN 和△AEN 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN MAN AE AM

∴MN=EN．

∵DN-DE=EN．

∴DN-BM=MN．

2．已知，如图①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：

（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

图①图②

【答案】

解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2．

证明：将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，如图①

∴△ACE≌△ABE′．

∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB．

在Rt△ABC中，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°．

∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°．

∴E′B2+BD2=E′D2．

又∵∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠EAC=45°．

∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°．