(完整版)求三角函数的单调性的基本方法[推荐]
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求三角函数的单调性的基本方法：
函数 sin()y A x k ωϕ=++的单调区间的确定，首先要看A 、ω是否为正，若ω为负，则先应用诱导公式化为正，然后将ωx +φ看作一个整体，化为最简式，再结合A 的正负，在22,2
2
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+
∈和3
22,22
k x k k z π
πππ+
≤≤+∈两个区间内分别确定函数的单调增减区间。
1、求函数)
21
3sin(x y -=π在区间[-2π，2π]的单调增区间。
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0y A x A ωϕω=+>>）的形式：
)
321sin()213sin(π
π--=-=x x y
⑵把标准函数转化为最简函数（sin y A x =）的形式：
令123z x π
=-
，原函数变为1sin()sin 23y x z π=--=-
⑶讨论最简函数sin y z
=-的单调性：
从函数
sin y z
=-的图像可以看出，
sin y z
=-的单调增区间为
3[2,2]22k k π
πππ+
+，Z ∈K 。所以3
2222
K z K ππππ+≤≤+，Z ∈K 即ππππ
π2
3
232122+≤-≤
+
K x K ， Z ∈K ∴ππππ311
4354+≤≤+K x K ， Z ∈K
⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：
当k=0时，ππ3
1135≤≤x
当k=1时，
2223
33
x
ππ
≤≤
当k=-1时，π
π
3
1
3
7
-
≤
≤
-x
⑸在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间：
因为[2,2]
xππ
∈-，所以该函数的单调增区间为
π
π
3
1
2-
≤
≤
-x
和
π
π2
3
5
≤
≤x
2、求函数)
2
6
sin(
2x
y-
=
π
在区间[0，π]的单调增区间。
解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0
y A x A
ωϕω
=+>>）的形式：
sin(2)sin(2)
66
y x x
ππ
=-=--
⑵把标准函数转化为最简函数（
sin
y A x
=）的形式：
令
2
6
z x
π
=-
，原函数变为
sin(2)sin
6
y x z
π
=--=-
⑶讨论最简函数sin y z
=-的单调性：
从函数
sin y z
=-的图像可以看出，
sin y z
=-的单调增区间为
3
[2,2]22k k π
πππ+
+，
Z ∈K 。所以32222K z K ππππ+≤≤+，Z ∈K
即3
2222
62
K x K π
π
πππ+
≤-
≤+， Z ∈K ∴15
36
K x K ππππ+≤≤+， Z ∈K
⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：
当k=0时，15
36
x ππ≤≤
当k=1时，41133
x ππ≤≤ 当k=-1时，21
36
x ππ-≤≤-
⑸在要求的区间内[0，π]确定函数的最终单调增区间：
因为[0,]x π∈，所以该函数的单调增区间为15
36
x ππ≤≤。
3、求函数)321sin(π+=x y 在区间[-2π，2π]的单调增区间。
解：
⑴把标准函数转化为最简函数（sin y A x =）的形式：
令123z x π
=+
，原函数变为1sin()sin 23y x z π=+=
⑵讨论最简函数sin y z
=-的单调性：
从函数
sin y z
=-的图像可以看出，sin y z
=-的单调增区间为
222
2
K z K π
π
ππ-
≤≤+
，Z ∈K 。
即2232122π
πππ
π+≤+≤-K x K ， Z ∈K
51
4433
K x K ππππ-≤≤+， Z ∈K
⑶计算k=0,k=±1时的单调增区间：
当k=0时，51
33x ππ-≤≤
当k=1时，713
33
x ππ≤≤ 当k=-1时，171133
x ππ-≤≤- ⑷在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间： 又因为]2,2[ππ-∈X ，所以该函数的单调增区间为
51
33
x ππ-≤≤