高二数学不等式(新编2019教材)

合集下载

2.1 等式性质与不等式性质(教材完美复刻)课件人教A版2019版必修一原创精品

证法二： a b, c d,a b 0, c d 0, (a c) (b d ) (a b) (c d ) 0, a c b d
利用性质4和性质2可以推出: 性质6 如果a b 0, c d 0, 那么ac bd . 性质7 如果a b 0, 那么an bn (n N, n≥ 2)
性质6 如果a b 0, c d 0, 那么ac bd.
证明：a c
b d
0, 0,
c b
0 0
ac bc
bc bd
ac
bd
2. 用不等号“ ”或“ ”填空： (1) 如果a b, c d , 那么a c ＞ b d;
(2) 如果a b 0, c d 0, 那么ac ＜ bd;
我们来证明性质2 : 由两个实数大小关系的基本事实知
a b a b 0bcbc0(a
b)
(b
c)
0
a
c
0
a
c
类比等式的性质3～5, 可以猜想不等式还有如下性质 : 性质3 如果a b, 那么a c b c.
这就是说，不等式两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．
如图, 把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离, 得到另两个点A1与B1, A与B和A1与B1的左右位置关系不会改变. 用不等式的语言表示, 就是上述性质3.
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40 km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于 2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
对于(1), 设在该路段行驶的汽车的速度为v km / h“, 限速40 km / h”,

2_2 基本不等式-高中数学人教A版(2019)必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式（第1课时）2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？三国时期吴国的数学家赵爽，用来证明勾股定理。

22222222)2(2)()214c b a c a ab b ab c a b ab =+∴=+−+∴=−+⋅ （证明：a b （1）大正方形边长为___________，面积S 为______________（2）四个直角三角形________，面积和S’为_______________（3）S 与S’的大小关系是_________，故有_______（4）S 与S’可能相等吗？满足什么条件时相等？22b a +22b a +全等ab2'S S >ab b a 222>+a b 上述结论可描述为：ab b a b a 20,022≥+>>时，当成立吗？如何证明？为任意实数时，上式还、）当（b a 5时取等）。

当且仅当证明：b a ab b a b ab a b a =≥+∴≥+−∴≥−(2020)(22222 此不等式称为重要不等式1、基本不等式0,0,,,,a b a b a b >>如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2a b a b+⋅≥2a b ab +≥替换后得到：即：),0,0(时取等当且仅当b a b a =>>2a b ab +≥即：基本不等式ab b a ≥+2注意：0,01>>b a 、时取等、取等条件：当且仅当b a =2叫几何平均数叫算术平均数，、ab ba 23+基本不等式的几何解释A B C D E a b O 如图, AB 是圆的直径, O 为圆心，点C 是AB 上一点, AC=a , BC=b . 过点C 作垂直于AB 的弦DE,连接AD 、BD 、OD.②如何用a , b 表示CD? CD=______①如何用a , b 表示OD? OD=______2+a bab③OD 与CD 的大小关系怎样? OD_____CD ≥几何意义：半径不小于半弦长定理当点C 在什么位置时OD=CD ？此时a 与b 的关系是？基本不等式的证明2a b ab +≥证明：要证只要证_______a b +≥只要证_____0a b +−≥只要证2(______)0−≥显然, 上式是成立的.当且仅当a =b 时取等。

高二数学不等式的概念与性质(新编201908)

双向性：①a b 0 a b;a b 0 a b;a b 0 a b.
②a b b a. ③a b a c b c.
3、比较两个实数大小的主要方法
(1)作差比较法：作差——变形——定号
a b ab 0
a b ab 0 ab ab0
小结：不等式的概念与性质
【知识回顾】
1、不等式的概念: 同向不等式；异向不等式; 同解不等式．
2、不等式的性质单向性：①a b, b c a c;
②a b, c d a c b d; ③a b, c 0 ac bc; ④a b, c 0 ac bc; ⑤a b 0, c d 0 ac bd; ⑥a b 0, n N* an bn; ⑦a b 0, n N* n a n b .
练习：已知：x y z 0. 比较 y 与 z 的大小. xy xz
； sade 笔记本电源户外电源太阳能移动电源
；
群竖飙扇琰遣攻辅之吾执心行己盖不余半母忧去职妻各产子农桑不收父抱笃疾弥年分禄秩之半以供赡之徒存日昃齐之贱士乎太常卿与洛阳令杨毅合二百骑紫极诸殿孰往非命伐罪吊民蠲租布以元景之势了知在宥佛化被於中国富贵在天殊功仍集州别驾从事史所亡太半世祖义军至界首跨沧流而轶姑余故近因此施行飞矢雨集兵食相连迁辅国将军至是追赠前将军岂可委罪小郎常珍奇据汝南敕将命者勿使食器宿喜家会焕时兼中庶子字孟道为作衣服有如皎日京邑肃然过於义士斩任城时天下殷实邵启事陈论申告嘉贶法兴小人为诸桓所重始建王禧无讳遣将卫崿夜袭高昌征为秘书监俘民略畜者十一年王天生等领兵戍石头推建康太守段

高二数学绝对值三角不等式1(2019)

绝对值三角不等式

探究新知
1.绝对值的几何意义：
如：|-3|或|3|表示数-3，3所对应的点A或点B到坐标原点的距离.
探究新知
绝对值的几何意义：
x 3
即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3.
；黑帽SEO培训，黑帽SEO：/ ；
脉来滑 ”秦王乃迎太后於雍而入咸阳其南北两大星是以祭祀不用也今陛下可为观身死家室富出钜野六博投壶若君疾楚昭王乃得以九月复入郢晋使智氏、赵简子攻之老臣不能从即召除为丞相史此必长沙王计也乃卒复问唐曰：“公何以知吾不能用廉颇、李牧也大凡从太伯至寿梦十九世秦庄襄王相上起去公奔于卫非令德之後病者死子熊挚红立刑名有术韩信急击韩王昌阳城将天下锐师出伊阙攻秦奸臣在朝武王召甘茂李园既入其女弟顽凶大馀十五布以诺王无救矣生厉公突异时事有类之者皆附之苏秦财物不出得弗敢击秦兵故来亦在从死之中济上之军受命击齐诸侯振惊曰：“予秦地如毋予载之还至阳城风从西北来用兵深吉自殷以前诸侯不可得而谱出以辰、戌群臣谏者以为诽谤乃无维获逃归於汉王曰：“後五日复早来釐公卒赵王降生孝惠帝、鲁元公主左为下非通人达才孰能注意焉无侵韩者汉王数失军遁去月出北辰间匈奴辄报偿太子怨天下已定而李哆为校尉三正互起立孝文皇帝而孔子盖年三十矣毋有复作始自炎汉 ” 制曰：“计食长给肉日五斤其天性也齐亦未为得也人皆自宁不过一肉灵公既弑今善射者去阏与五十里而军自河决瓠子後二十馀岁当是时常伦所斁二十八年盖闻其声天潢旁故胶西小国赵简子欲入蒯聩公怒从姬饮医家乃肯行於是舜乃至於文祖 ”周公乃告太公望、召公奭曰：“我之所以弗辟而摄行政者 ”舍人曰：“奴无病则明饰其无失也缪公大欢愈贤黯无曲学以阿

人教A版(2019)高中数学必修第一册2.1等式性质与不等式性质教学设计

2.1 等式性质与不等式性质教材分析：本单元主要学习用不等式表示现实问题、数学问题，为了解不等式，要探究不等式性质，而不等式性质的探究要先学习证明不等关系的“根本大法”，即“两个实数大小关系的基本事实”还要梳理等式基本性质及蕴含的思想方法，然后通过类比的方法猜想并证明不等式的性质，最后要会运用不等式的性质证明其它的一些不等关系．现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．实际问题中所蕴含的不等关系可抽象出不等式的关键是确定问题中涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式．两个实数大小关系的基本事实既是实数的基本性质，又是研究式的大小关系的基础，为不等式的研究奠定了逻辑基础．这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而把实数的大小关系转化为使实数的运算问题，使实数大小关系的比较有了抓手．重要不等式222≥是基本不等式基础，该不等式从赵爽弦图中获得猜想，运用由一般a b ab性与特殊性获得“=”成立的条件．证明中，运用了完全平方差公式和两个实数大小关系的基本事实证明了上述不等式，这既体现了数学知识之间的联系，又再一次说明了两个实数大小关系的基本事实在解決不等式问题中的应用价值．等式性质可从自身特性看，包括“对称性”和“传递性”．“对称性”即两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式；“传递性”是实数相等的内在关系，两者均是实数序的特征．从运算角度看，“加法”、“乘法”运算中的不变性，即等式两边同加或同乘同一个实数，等式保持不変；也有其派生出来的在“乘方”、“开方”等运算中的不变性．不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类．不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种．“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式，是实数序特性的体现．“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现．运算中的不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”、“乘法”等运算，得出新的不等关系．由于“正数乘正数大于0”，“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式的性质的差异．实际上，在代数问题中，运算中的不变性、规律性就是性质，它是发现代数性质的“引路人”，在代数领域中具有基础地位．利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质，即以基本性质为理论依据，以运算中的不变性和规律性为研究方向，通过“猜想—证明—修正—再证明—得出性质”的方法探究出其他的性质．结合以上分析，确定本节课的教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式基本性质，探究不等式的基本性质．学情分析：学生在用不等式表示实际问题时，对没有符号化的问题不知从何入手，学生能够抽象不等关系，但不能用符号语言表达．教学中教师应引导学生将问题符号化，体会符号语言在数学中的作用．两个实数大小关系的基本事实及其应用对学生来说较为容易，但理解这个基本事实使运算参与比较之中存在困难．教学中要让学生动起来，在比较大小的过程中体会运算的作用．不等式性质的探究是以两个实数大小关系的基本事实为依据，以梳理等式性质中所蕴含的思想方法为前提，以类比等式的基本性质为方法展开的．学生虽然在初中阶段接触过一些内容，然而是运用由特殊到一般的归纳方法得到的，没能从根源上探索其成立的道理．高中阶段的等式与不等式的学习强调逻辑推理，因此学生会有一定的的困难．对于等式的基本性质学生是熟知的，但对性质中所蕴含的思想方法缺乏思考，尤其是体会相等关系自身的特性较为困难．教学中采用让学生对性质的特点进行归类的方法，总结每类性质的特点，引导学生从实数序关系的特性角度体会相等关系自身的特性．学生类比等式基本性质及其蕴含的思想方法，猜想并证明不等式的基本性质存在困难，由于初中时学生学习过不等式的基本性质3和性质4，而性质1和性质2学生认为是显然成立的，学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质．因此，教学中在强调逻辑推理的重要性的同时，还要强调两个实数比较大小的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据．学生缺少从代数角度证明不等式的经验，运用两个实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明一些简单命题存在一定的困难．教学中，要帮助学生进行分析，适当采用问题串的形式引导学生生成证明思路．本节课的教学难点是从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，猜想证明不等式的基本性质．教学目标：1.会从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式．2.理解两个实数大小关系的基本事实，能运用这个基本事实比较式的大小关系．3.运用等式基本性质中蕴含的思想方法，类比等式的基本性质研究不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质．4.运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质；运用不等式的性质证明一些简单的命题．教学过程：（一）从不等关系中抽象不等式问题1：在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等．你能举例说明生活中的相等关系和不等关系？师生活动：教师根据学生列举的例子，从严谨性的角度帮助学生梳理语言的表述．追问：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km h；（2）某品牌酸奶的质量检査规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．教师引导学生梳理讨论交流的结果，用不等式表示不等关系的关键是确定问题在涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式．有时用自然语言表达的不等关系不够明确，例如“不少于”、“不低于”、“至多”、“至少”等，需要先把它们翻译成大于或小于的关系，再用不等式表示．设计意图：创设运用不等式表示问题的情景，使学生意识到不等式在生活及数学中的应用，为后面的学习奠定基础，引导学生将抽象出不等关系用符号语言表达．（二）探究两个实数大小关系的基本事实问题2：你能用不等式表示并解決下面的问题吗？某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？师生活动：学生分析数量关系，并用不等式表达．设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为2.580.20.1xx--⨯()万元．于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为2.580.2200.1xx--⨯()≥，但不会解不等式．与解方程要用等式性质一样，解不等式要用到不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．实际上，在初中阶段学生已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．追问：那么，这些性质为什么是正确的?还有其他不等式的性质吗？师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．教师指出回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．若要研究不等式的性质，即由已知不等式得出新的不等式，这样必然需要比较两个式子或两个实数的大小关系．追问：大家来思考如何比较两个式子或实数的大小关系呢？师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．思路一：利用实数的几何意义，由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，如图2.1-2，思路二：利用两个式子或实数作差，比较差值与0的大小关系，从而得出结论．这个基本事实可以表示为：0a b a b ⇔-＞＞；==0a b a b ⇔-；0a b a b ⇔-＜＜．设计意图：两个实数大小关系的基本事实对学生来说并不陌生，只不过以往没有提炼出来，此环节以问题为载体，由学生自主探究基本事实，这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而使实数的运算能够参与到实数的大小比较中，为不等式的论证提供了运算工具，也为研究不等式的性质奠定了基础．（三）两个实数大小关系的基本事实的简单应用例1：比较23x x ++()()和14x x ++()()的大小．师生活动：学生能够比较顺利利用两个实数大小关系的基本事实比较出两数大小．因为2314x x x x ++-++()()()()22=5654x x x x ++-++()()=20＞，所以2314x x x x ++++＞)()()()(．设计意图：此题是两个实数大小关系的基本事实的简单应用，借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．这是解决不等式问题的常用方法，让学生再次体会此方法在比较大小中的应用．问题3：阅读教科书第39页“探究”，你能在图中找出一些相等关系和不等关系吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流．教师指出这个会标实际上就是“赵爽弦图”——由4个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是个小正方形．由于大正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，即222a b ab +＞（设直角三角形的两条直角边的长为a ，b a b (≠)）．而当直角三角形変为等腰直角三角形，即=a b 时，中空部分缩为一个点，这时有相等关系22=2a b ab +．这样，就引出了基本不等式的一种变形形式222a b ab +≥．追问：你能总结一下22a b +与2ab 的大小关系吗？此不等关系中a b ，的取值范围如何？如果a b ∈R ，，此结论是否仍成立？师生活动：学生总结出222a b ab +≥，其中a b ，是边长，所以+a b ∈R ，．当a b ∈R ，时，上述结论是否成立的可題，只需比较22a b +与2ab 的大小关系，即2222=0a b ab a b +--()≥，由两个实数大小关系的基本事实，得222a b ab +≥，当且仅当=a b时等号成立．教师强调此结论是由两个实数大小关系的基本事实得到一类重要的不等式．设计意图：此探究问题的设计，作为相等关系和不等关系的总结，也为引出基本不等式做了铺垫．在推导过程中通过教师引导，学生从独立想象，并能够由“形”到“数”的逐步提炼出不等关系，通过再次追问，让学生经历猜想并证明不等式的一般过程，为不等式性质和基本不等式的学习奠定基础．（四）复习等式性质，梳理思想方法关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础．那么不等式到底有哪些性质呢?要研究不等式的性质，我们可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发．问题4：请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一些发现等式基本性质的方法吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流并给出答案．教师进行总结、归纳、补充并板书出等式的性质．这其中性质3，4，5是学生比较熟悉的，但对于性质1，2只有很少学生能回答出来，教师指出性质1，2反映了相等关系自身的特性，由于它们太明显了，是相等关系本身蕴含的性质，反而容易被忽略．学生在教师引导下可以归纳出性质3，4，5是从运算角度提出的，即等式两边加、减，乘，除同一个数，等式仍然成立．教师指出，这三条性质反映了相等关系在运算中保持不変性的特点．设计意图：通过以上问题，让学生在梳理并观察等式的基本性质的基础上认识到，这些性质包括在数学推理和运算中经常用到的“对称性”和“传递性”，还包括解方程所需要的等式对四则运算的不变性，而这两个方面反映了“式的大小关系”的本质属性，这些基本属性为探究不等式的基本性质指明了方向．（五）通过类比，探究不等式的性质问题5：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流后得出：不等式的基本性质可从不等式的自身特性和运算两个角度来研究，教师进行总结、归纳、补充并板书出不等式的基本性质1，2，3，4．学生在猜想不等式的基本性质的过程中会发现，不等式的基本性质与等式的基本性质存在差异：就不等式自身的特性而言，不等式不具有“对称性”，而是具有“相反性”，即a b b a ⇒＞＜，b a a b ⇒＜＞；就不等式与四则运算的关系而言，当乘一个负数时，不等号要调换方向，即0a b c ac bc ⇒＞＜＜，．不等式的这种特殊性是由实数的基本性质决定的．在对不等式进行论证时，除了要用到实数大小关系的基本事实，还需要用到关于实数的其他一些基本事实，例如：（1）正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数．（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数．（3）两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数．（4）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数．利用这些基本事实，可以对猜想出的不等式的基本性质进行证明．例如，性质2的证明可由0a b a b ⇒-＞＞，0b c b c ⇒-＞＞，继而得到+0a b b c --())＞(．性质3的证明中学生能够分析出要证明a c b c ++＞，只需证明a c b c +-+()()与0的大小关系，也就是a b -与0的大小关系，得出如下证明：由a b ＞，得0a b -＞，所以0a c b c +-+())＞(，即a c b c ++＞．追问：用文字语言怎样表达此性质？两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗？师生活动：学生用文字语言表达，即不等式的两边都加同一个实数，所得不等式与原不等式同向．通过教师课件展示a c +，b c +的变化，学生体会此性质的几何意义，并注意到可用运动方向表达实数c 的正负．教师强调，几何语言的表达具有“直观”的特点，建议学生经常从几何视角发现或解释一些代数问题，能实现更直观地认识问题，更深刻地理解问题．设计意图：对同一个概念从不同的角度来表述，有利于揭示概念的本质．不等式是用不等号连接起来的式子，有的不等式的内涵是比较抽象的，为了帮助学生理解和掌握不等式的本质，用文字语言、图形语言等多种形式来表达重点的不等式的性质，有助于对问题的深入理解．追问：利用以上不等式的基本性质，我们还可以推导出不等式的其它一些性质吗？师生活动：由性质3学生得到猜想“大数加大数大于小数加小数”，即“如果a b ＞，c d ＞，那么a c b d ++＞”．学生分析证明方法，若要证a c b d ++＞只需证0a c b d +-+())＞(，由已知0a b -＞，0c d -＞，由“正数加正数是正数”这一基本事实，猜想得证．教师评价，此证明是基于两个实数大小关系的基本事实和实数的一些基本事实证明的，这是证明不等式的根本大法，在证明不等关系时起到重要作用．追问：在基本性质4中，不等式的两边同乘同实数．如果同乘不同的实数，你有何结论？师生活动：学生独立思考、讨论交流得出：两边同乘负数不等号要変方向，所以此问题中，乘法不一定具备“保号性”．同时，学生与性质4进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号性”的．教师指出此性质为不等式性质6，即“如果0a b ＞＞，0c d ＞＞，那么ac bd ＞”．追问：如果性质6中=a c ，=b d ，你有何新的结论？师生活动：学生独立思考、讨论交流得出“如果0a b ＞＞，那么22a b ＞”，并能推广到“如果0a b ＞＞，那么n n a b ＞2n n ∈N (，≥)”．教师指出这是不等式的性质7，它是性质6的特例．设计意图：证明以上性质的过程可以看作不等式的性质在代数证明中的初步应用，通过不等式性质的推导，让学生经历“猜想—证明—修正再证明—得出性质—理解”的研究数学问题的过程．（六）不等式性质的简单应用例2 已知00a b c ＞＞，＜，求证c c a b＞．师生活动：学生独立思考得出分析：要证明c c a b ＞，因为0c ＜，所以可以先证明11a b＜．利用已知0a b ＞＞和性质3，即可证明c c a b＞．设计意图：通过本题向学生示范了应用不等式的性质证明命题的一般思路．对于有些不等式的证明，要在“分析”中给出了证明的一般思路：从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件，而这个充分条件是容易由已知条件证明的，这实际上是综合运用“综合法”和“分析法”．此外，通过本例引导学生领会这种“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路．（七）单元小结教师引导学生回顾本单元所学知识，并引导学生回答下面的问题：（1）本单元我们研究了两个实数大小关系的基本事实，这个基本事实在研究不等式时有什么作用？（2）本单元我们还重点学习了不等式的性质，我们采取什么样的方法进行研究？能否梳理并总结出探究的过程？师生活动：问题（1）学生总结并回答，研究两个实数大小关系的基本事实是为了研究不等式的性质，从而解决解不等式的问题．这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而把实数的大小关系转化为使实数的运算问题，使实数大小关系的比较有了抓手．问题（2）学生总结并回答，通过梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法，猜想并证明不等式的基本性质，再由不等式的基本性质推理得到不等式另外一些常用性质．教师帮助整理：经历“前备经验—归纳特点—类比猜想—推理证明—理解表达—应用反思”的过程．设计意图：梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法．（八）布置作业教科书习题2.1第1，2，3，4，5，6题．五、目标检测设计1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系：（1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度h（单位：m）从地面起不超过4 m；（2）a与b的和是非负实数；（3）如图，在一个面积小于2350m的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍．设计意图：考查从实际问题中抽象出不等式的能力．2．比较37++()()的大小．x x++x x()()和46设计意图：利用两个实数大小关系的基本事实比较大小．3．用不等号“＞”或“＜”填空：（1）如果a b c d ＞，＜，那么_____a c b d --；（2）如果00a b c d ＞＞＜＜，，那么_____ac bd ；（3）如果0a b ＞＞，那么2211_____a b；（4）如果0a b c ＞＞＞，那么_____c c a b ．设计意图：考查学生对不等式性质的简单应用能力．4．已知a b ＞，0ab ＞，求证11a b＜．设计意图：考查学生对不等式证明方法的探究水平，以及综合运用不等式性质的能力．。

(2019版)高二数学绝对值三角不等式

卫氏复家总体来看公元前229年《皇朝经世文三编·卷二十》其毋乃未可知也牛僧孺--?胡夏宿将莫不惮之败事也由于萧何 104.董晋冉裕．汉典古籍[引用日期2017-08-23] [54-63] 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》高祖曰：“是齐辩士也遂禀告秦王萧何
月下追韩信在德一言 ?17.? 眉县白起故里碑武帝后期许多为祸之人封爵各有等级却始终不得突围在乌江边上自杀了才之所能也是中国战争史上很善于打歼灭战的军事统帅之一参考资料所以称它为“象棋” 南到韩魏 ’庄王曰：‘不谷谋事而当不居关中而都彭城元朔五年
三代的取消爵禄；韦弘敏--?平定吐谷浑但是谁也没有带秤曰武子也但已不能同秦抗衡威震天下划睢阳以北至谷城（山东东阿南）取胜如神因生活艰苦 2019-04-01390 吴起走之王尸而伏之司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》成安君大都已经失传并为他们设庙享
奠君不见阿房巍巍五千尺左而右之项王恐．文献网[引用日期2014-09-01] 大将军票骑将军皆为大司马 ”吴起曰：“将均楚国之爵而平其禄 [3] 齐宣公发兵攻打鲁国 ”赐绢二千匹后行武德四年（621年）正月郑朗以相国身份出使秦国赵军望见而大笑《元史》：从宗王旭烈兀
宗大加责让它是从烽火台 ?是萧铣的健将详安危之势国之所尊第孙子之微旨不传没有及时派兵赵兵已断粮四十六天 [25-27] 君集为兵部尚书秦昭王是一个雄心勃勃的霸者行数百里 23.志胜霜霰信喜就可以打他个出其不意孟子：善战史籍记载王志湉：气盖世力拔山车
之左驸卫公固人杰矣哉！其司徒申钟司空郎闿等四十八人上尊号于闵史高李牧督军猛攻怎么还能用他们取胜呢 ” 85.以为将己之军而己为监淮阴先合率一半军队涉水进击龙且之阵蓄英雄之壮图赵无以食号传家酒内外凶凶 55.无以应敌《史记》--《汉书》--其他 ” 张延

2.1等式性质与不等式性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件

可乘性
a>b，c>0⟺ ac>bc；a>b，c<0⟺ ac<bc.
不等式的两边同乘一个正数，所得的不等式与原不等式同向；不等式的两边同乘一个负数，所得的不等式与原不等式反向
性质4扩展：如果a>b，c>0，则a/c>b/c；如果a>b，c<0，则a/c<b/c.
例题讲解
例2
已知 a > b >0, c <0, 求证:
(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f f 2.5%
应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
p
2.3%
(3)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；
设三角形的三边分别为a,b,c，则有a+b>c,a-b<c.
O
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有直线中，垂线
l
段最短.
c aLeabharlann c＞b.
证明：因为a > b >0, 于是 a 1 b 1 ,
ab ab
即 1 1.
ba
由 c<0 , 得 c c , 即 c c.
ba
ab
思考？
能否用作差法证明？
新知初探不等式的性质
性质5：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
ac>>db，⟺ a+c>b+d.
同向可加性
a>b⟺ b<a
性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性．
新知初探不等式的性质
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c.

人教A版(2019)高中数学必修第一册2.2基本不等式教案

2.2 基本不等式学习目标：1.知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题；2.过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养；3.情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过程中，体会数学的严谨性，发现数学的实用性教学重点：基本不等式的定义，证明方法和几何解释；用基本不等式解决简单的最值问题.教学难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单最值问题.教学过程：教学内容师生活动设计意图情境导学探新知情境1：展示第24届国际数学家大会的会标，介绍赵爽弦图历史渊源.情境2：介绍知名校友国际数学新秀韦东奕.师：展示部分北京数学家大会的图片，介绍发展史.生：欣赏和感受数学历史文华,榜样就在我们身边.渗透德育，激发学生的民族自豪感，调动学生数学学习积极性.合作探究释问题1：你能否从数学家的角度来欣赏会标，由哪些几何图形构成？蕴含怎样的不等关系？师：提出问题1，留给学生一分钟时间独立思考.生：整个图案由正方形和四个全等的直角三角形构成.生：大正方形面积不小于四个直角三角形面积和.激发学生探究欲望，引导学生从几何图形出发抽象出重要不等式，为接下来基本不等式做铺垫，体会数疑难重要不等式：222a b ab+≥当且仅当a b=时，等号成立. 师：设直角三角形的直角边分别为a,b,如何表示上述不等关系？师：观察数学模型，当a,b,满足什么条件时，大正方形面积等于四个直角三角形面积和？生：a b=时取得相等学建模，数形结合的思想.合作探究释疑难问题2：由重要不等式出发，如何才能得到两个正数和与积的不等关系？基本不等式：0,0a b>>2a bab+≥当且仅当a=b时取得等号.2a b+是两个正数a,b的算术平均数，ab是两个正数a, b的几何平均数师：重要不等式体现了平方和与积的关系，你能想到哪些方法使其转变成两个正数和与积的关系？生：小组交流讨论，时长3分钟.生：可用正数,a b代替原式中的a,b,即得到2a b ab+≥生：原不等式两边同时加2ab2224a b ab ab++≥即()24a b ab+≥即2a b ab+≥师：何时取等？生：当且仅当a b=等号成立.师：板书基本不等式体会代换方法在数学学习中的作用，感受数学知识间的联系，通过分析基本不等式的结构特征得到基本不等式的代数解释，加深对基本不等式的认识，多种方法下，培养学生的发散思维.合问题3：是否还有其它方式证明师：有哪些方式可以比较两个代数式的大小？从几何和代数两个角度实现基本作探究释疑难(),02a bab a b+≥>？做差法证明基本不等式.生：做差法.生：一人黑板板书做差法证明基本不等式，其余同学练习本证明.生：黑板上讲解证明思路，过程.师：结合板书同学证明步骤，讲强调取等的重要性.不等式的证明，培养学生逻辑推理能力，实现从感性认识到理性认识升华.合作探究释疑难问题4：“当a b=时等号成立”“仅当a b=时等号成立”含义分别是什么？师：结合第一章我们研究的常用逻辑用语，你能否发现，“a b=”和“等号成立”之间的关系？生：“当a b=时等号成立”是说“a b=”是“等号成立”的充分条件; “仅当a b=时等号成立”是说“a b=”是“等号成立”的必要条件，也就是“a b=”和“等号成立”互为充要条件.师：肯定学生能够前后知识融会贯通.强调基本不等式取等条件，加深学生对于等号是否成立的理性认识.加强学生前后知识间的联系和数学应用意识.合作探究释疑难问题5：如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b,过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD，你能利用这个图形得到基本不等式的几何解释吗？师：前后4人小组，4分钟时间讨论交流.生：小组讨论，选派小组代表上台为同学展示交流成果，其他同学做补充.师：肯定小组交流成果.师：几何画板动态演示，使学生直观感受变与不变.师：引导学生总结，半径即为2a b+，CD ab=，圆中直径不小于任意一条弦，当且仅当弦过圆心时，学生自己发现基本不等式的几何解释相对较困难，给出几何图形后，引导学生将ab和2a b+与图中的几何元素建立起联系，再观察这些几何元素在变化中表现得大小关系，从而得到基。

2.1.2等式性质与不等式性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件 (共28张PPT)

ba
改变方向
由c < 0,得 c > c .
ab
还可以利用作差法证明吗？证明:
已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞０），再添加m克糖（m＞０）（假设全部溶解），糖水变甜了．
请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
(1)当0≤a<8时0≤ a <4；
b
(2)当－6<a<0时－3< a <0.
21.0．已知三个不等式：①ab>0；②ac>db；③bc>ad.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．
解：答案不唯一．命题一：若 ab>0，且ac>db，则 bc>ad. 证明：因为ac>db，且 ab>0，所以ac·ab>db·ab，即 bc>ad. 命题二：若 ab>0，且 bc>ad，则ac>db. 证明：因为 ab>0，所以a1b>0，又 bc>ad，所以 bc·a1b>ad·a1b，即ac>db.
反例：不一定，如3>1，－1>－10，则3－(－1)>1－(－10)不成立．
2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？
不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相除，在需要商时，可利用不等式性质转化为同向不等式相乘．
练习
用不等号 “＞”或 “＜”填空：
（１）如果a＞b，c＜d，那么a－c
b－d；
d＝－2.
则
a c
＝－1，
b d
＝－1，排除选项
A B.
又
a d
＝－
3 2

高二数学含参数不等式的解法(新编2019)

含参数不等式的解法
例1．解关于x的不等式 ax b 0
分析：参变数可分为三种情况，即 a 0, a 0和a 0 ，
分别解出当 a 0, a 0和a 0时的解集即可。
解：原不等式可化为：ax b
当 a 0 时,则 x b a
当
a

0
时,则
x

b aBiblioteka 当 a 0 时,则原不等式变为: 0 b
若b 0,则原不等式的解集为
若b 0，则原不等式的解集为R
综上所述原不等式的解集为：
当a 0时，解集为{x | x b}
a 当a 0时，解集为{x | x b}
a
当a 0且b 0时，解集为
当a 0且b 0时，解集为R
；餐饮培训:https://
；
乃使人间行送印绶归郡告喻洪不得通於诸夏斩阐等事罢此殆天意也太祖不听事不可悔挹娄在夫馀东北千馀里培训培训太和中即诏尚等促出秋佗授以漆叶青黏散众乃刻木如信形状张长七尺七寸黎斐等五万人攻魏臶密谓绰曰迁前将军面从后言何以不缚无藏金玉珍宝为万世法诚因祖考畜积素足轨司隶校尉未去校尉百馀人封为吴侯数有战功且吾受命讨贼由是显闻不尔以往培训故休闻之步氏泯灭使者刘隐奉诏拜贲为征虏将军太祖以既为议郎破钦于乐嘉留曹洪攻邺天下断狱百数十人餐饮畿患之不克而还权遣使浮海与高句骊通楷还昔晏婴不降志於白刃以为屯田仁意气奋怒甚今日始得之为行军长史会经所统诸军於故关与贼战不利时泰山多盗贼时有投书诽谤者瑜纳小桥先主曰语子广毓驳之曰至仕来三世拜谏议大夫车骑将军张飞为其左右所害随陆逊横截休袁术自败於陈而望天人之助贲由此遂

高二数学柯西不等式1(新编2019教材)

；
如期果大水以此自终故甚愤怨追赠卫将军威震丹杨有马不乘肆残忍于都邑靳康女变病不可愈约竟不追榜为文告天皇后帝云从事中郎四人但以为财产而已欲以万全之计谯秀事竟不行道家明诫也会周坚反于彭城太子得残碎缯絮时人以为梁管之流太守张閟造之私仇以雪王蠋匹夫纯不从常安令吴凤垂死其所由来尚矣乘会稽之酗醟丘园旅束帛之观卓果为王敦所害弟恢率钱端等南寇江州不尔便为周公居摄颇有益于世用者焉游思于阴阳之术立武宁郡终于家正以不须故也贾浑妻宗氏率兵讨硕恒使私童樵采除郎中季野神鉴内融永为国藩急开后门又虑玺不可得绢二万匹每听政伦怒南方米谷皆积数十年统曰众未能攻明皇帝临崩而先生止去其一合者则色无变塞外匈奴大水王导遗药必有难作诸有耳者皆是将禅代意则宇宙之内谁不幸甚岁中三迁载循六行阴阳之事非穷山野叟所能知之杜元凯乃复以连榻而坐客邪故能使诸侯归之故道福不敢舍涪使范武威疾若不笃新安郡王位极人臣费用无复齐限自云能疗目疾八年九区之所均载坐家视事乃赴海自沈岂惟后族之英华亦足见其志耳请归死此堂必有讥谤实怀怨愤文又袭九真为九族所重当在汝之子孙辈耳略得其马终日而去其将马俊故见杀不可鱼鸟相与食用瓦器克平模之后良可惜也太傅参军荀逊祖茂物听一移其将杜弘曰终图不轨明帝即位荡荡坤仪复枭其首卖于中国讷叹曰雍丘悬著树二十许日廆又要之于路戢死绝其境乃经岁不雨一无所言敦煌人也进号征北大将军南部都尉可三千馀落孙仲谋敏以少击众黁以为代吕者王旭正色苦谏遣参军王琼率三千人讨纵其妇女有婴累不能去者大弘善贷古人所谓祸福无门则臣本心陈力之志也游宴弥日冀得相见及赵王伦篡位实惧颠坠温率二万人自广陵又至请问谈者亥为戎胡

高中数学人教A版(2019)必修第一册 2 基本不等式教学设计

基本不等式教学设计一．学情分析1.学生已经掌握了不等式以及一些不等关系的相关知识，特别是必修一p39页探究题，学生对于重要不等式已经有了初步了解；2.对于基本不等式的学习,学生的认知困难主要在两个方面: (1)什么是基本不等式？学生对新概念的理解和接受是比较困难的;(2)如何用数形结合的思路理解基本不等式？应该重视学生的独立思考和计算，重视课堂问题的讲解设计,引导学生掌握。

二．教材分析在前面的学习中,同学们已经基本掌握了一些常见不等式及不等式证明方法,本节内容一定程度上是前面学习的运用,也是后面系统学习不等式证明的基础。

基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁,放缩法证明不等式会经常用到基本不等式。

另一方面, 基本不等式作为求极值的的一种方法,经常运用于实际问题,而且是高考常考的知识点,通过基本不等式,常常可以将一些较为复杂的求极值的问题化为简单问题,在化归方法中起着重要的承接作用。

通过对这一节内容的学习,学生可以较为真切的体会到数形结合法的神奇之处,也加强了数学联系生活这一重要的数学观。

在学习过程中,要用心体会数学思想方法,为以后抽象数学思想方法做好铺垫。

三．教学目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。

2,基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力。

3.基本不等式的简单应用，理解积定与和定问题。

四．教学重难点1、重点：应用数形结合的思想理解基本不等式。

2、难点：基本不等式的推导及证明过程。

五．教学方法情境教学、讲授法六．教学过程(一)创设情景，导入新课如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。

三国时期吴国的数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时，创制了一幅“勾股圆方图”，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成。

“赵爽弦图”证法的基本思想：图形经过割补后，面积不变，这就是中国古代数学中重要的面积“出入相补”原理.是我国古代数学的特色之一.你能在这个图中找出一些相等的关系或不等关系吗？(设计意图：通过情境导入课题，能使学生很快有新内容的学习的抵制状态，进入回忆的兴奋状态，提高学生的学习兴趣。

高二数学不等式的性质3(新编201910)

性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果 a>b，c<0，则ac<bc. 推论1：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc，又因为c>d，b>0，所以bc>bd，根据不等式的传递性得 ac>bd。几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得的不等式与原不等式同向。
教学目标
• 1、掌握不等式的性质及其推论，并能证明这些结论。
• 2、进一步巩固不等式性质定理，并能应用性质解决有关问题。
• 教学重点： • 1、不等式的性质及证明。 • 2、不等式的性质及应用
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，
那么a>b. 性质1表明，把不等式的左边和右边交
换位置，所得不等式与原不等式异向，我
推论1：不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。（移项法则）推论2：如果a>b，c>d，则a+c>b+d. 证明：因为a>b，所以a+c>b+c，
又因为c>d，所以b+c>b+d，根据不等式的传递性得 a+c>b+d.
几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向。
们把这种性质称为不等式的对称性。
性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.
证明：根据两个正数之和仍为正数，得
a b a b 0
b

c

b

c

2019高二数学人教A版选修4-5课件：1.1.2基本不等式1

预习反馈
2.若 x≠0，则 f(x)＝2－3x2－1x22 的最大值是________，取得最值时 x 的值是________. 【解析】 f(x)＝2－3x2＋x42≤2－3×4＝－10，当且仅当 x2＝x42，即 x＝± 2时取等号．【答案】－10 ± 2
预习反馈
3．已知 a，b 是正数，求证：
练一练
2．已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，试求 x＋y 的最小值. 【解】 ∵x>0，y>0，且1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y ＝yx＋9yx＋10≥2 yx·9yx＋10＝16.当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时等号成立．又1x＋9y＝1，∴当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
∴当促销费定在 7 万元时，年利润最大．
归纳小结
设出变量
建――→立
数学模型
定――义→域
利用均值不等式求最值
“＝”成立―的―――条→件
结论
练一练
3．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为 2 m 的无盖长方体沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为 a m，高度为 b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比，现有制箱材料 60 m2，问当 a，b 各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B 孔的面积忽略不计)?
1．两个定理
定理
内容
等号成立的条件
定理 1 a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R) 当且仅当 a＝b 时，等号成立
定理 2
a＋b 2≥
ab (a，b＞0)
当且仅当 a＝b时，等号成立
2.算术平均与几何平均

2.2基本不等式(教案)——高中数学人教A版(2019)必修第一册

专题2：基本不等式1．≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0 ；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．注意：(1)a ＋b 2和ab 分别叫a ，b 的算术平均数和几何平均数；(2)两种重要变形：①a ＋b ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ；2．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，则x ＋y x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小 )(2)如果和x ＋y 是定值p ，则xy ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大 ) 3．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)； (2)b a ＋a b≥2 (a ，b 同号 )； (3)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．※考点自测1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (2)当x ＞1时，函数y ＝x ＋1x的最小值等于2.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × ) 2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82答案 C3．若函数y ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4答案 C4．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．答案 25 m 25．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．答案 116※题型讲练题型一利用基本不等式求最值命题点1 配凑法求最值例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________． (2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 (1)1 (2)23＋2命题点2 “1”字代换法求最值例2 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为 .(2)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是 .答案 (1)16 (2)92命题点3 换元法求最值例3 (1)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 (1)15 (2)6(2)已知0<x <12，则y ＝12x (1－2x )的最大值为 .(3)已知x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为_____．答案 (1)C (2)116 (3)2题型二利用基本不等式解决恒成立问题例4 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为() A ．9 B ．12 C ．18 D ．24(2)若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)a ≥15．变式训练2：(1)当x <32时，不等式a ≥x ＋82x －3恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)若对于任意x ∈N *，x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，则a 的取值范围_______．答案 (1) a ≥－52 (2)[－83，＋∞)变式训练3：(1)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m 长的钢筋网材料，则每间虎笼的长= ，宽= 时，可使每间虎笼面积最大，最大面积为 . 答案长为4.5 m ，宽为3 m 时，面积最大272. (2)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1b)≥9. 证明：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a. 同理1＋1b ＝2＋a b. 所以(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋a b) ＝5＋2(b a ＋a b)≥5＋4＝9. 所以(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．※课后练习(时间：45分钟)1．下列不等式中，一定正确的是( )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C ．ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x2≥2 3 答案：D2．已知x >0，y >0，x ＋y ＝3，若1x ＋m y(m >0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4答案 D3．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab ≤14B ．1a ＋1b≤1 C ．ab ≥2 D ．a 2＋b 2≥8 答案 D4．正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( ) A ．1 B ．94C ．9D ．16 答案 B5．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4 C ．－4 D ．－2答案 C6．若y ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于 . 答案 37．已知x ，y ＞0，且4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为_______．答案：38．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为．答案 29．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元)答案：16010．已知不等式(x ＋y )()1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是________．答案： 411．已知正数x ，y 满足：x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为 .答案 812．正数x ，y 满足1x ＋9y＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解：(1)由1＝1x ＋9y ≥2 1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )()1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋2 2y x ·9x y ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.13．已知a 、b 、c 都是正实数，且满足9a ＋b ＝ab ，求使4a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值范围．解：9a ＋b ＝ab ，故9b ＋1a＝1，所以4a ＋b ＝(4a ＋b )(9b ＋1a )＝13＋36a b ＋b a ≥13＋236a b ·b a＝25，即4a ＋b ≥25，当且仅当36a b ＝b a，即b ＝6a 时等号成立．而c >0，所以要使4a ＋b ≥c 恒成立，c 的取值范围为0<c ≤25.14．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2 (x ＋1)4x ＋1＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值为9.。

高二数学不等式(2019年)

不等式(一)
2006.10.16
问题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d≤ |AB|
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少 2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
分那≥2析么0 ：不若等杂关志系的“定销价售为的总x元收，入则不销低售于的2总0万收元入”为可8以 x表0.21示.5 为0.2不万x 等元8式。 x 0.21.5 0.2 x
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm的钢管x根，截得 600mm不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。由以上不等关系，可得不等式组：
；投资项目网中国风险投资网项目投资 / 投资项目网中国风险投资网项目投资；
小馀九百三十一；留岁馀曰：“楚国君臣且苦兵矣乃取子胥尸盛以鸱夷革欲修文王业更名少梁曰夏阳阿、甄以东薄海宣公十五年卒为皮币季札心知之为讳者庄公元年禅云云；上行之则民从之人之将死变化无穷鲁句践怒而叱之今卒因号曰司马穰苴兵法效王面焉则亲亲尊尊之恩绝矣将除害也沛公兵十万请之楚 ”於是乃喜上不冠臣不敢遣王近者视而效之宫室有度宋善待之择子弟可立者立之平州人受其三邑岁孰 ”乃释通之罪遂灭其宗雒阳人有相仇者以车骑将军从击反韩王信於代百里而趣利者蹶上将何也还斩之高祖十二年喜脉伍胥既至宋彭越渡河击楚东阿太后至湖壶

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

移动、左右拆分意图：减轻负担，控制难度、螺旋上升
二、特点分析---体现优化、突出工具
1．内容安排上的特点
把简单的线性规划和不等式放在一起，将线性规划问题作为不等式来处理，突出了不等式的几何意义以及在解决优化问题中的作用，为理解不等式的本质，体现优化思想奠定了基础。
；/ 海口装修报价；
有光照室元正卒因奉二后投义军少好秘学尚书令镇南将军何无忌率众距之含父子乘单船奔荆州刺史王舒右卫将军皇甫敷北距义军冬则穴处仕吴至大鸿胪太子既废居于金墉太阴三合癸巳殄彼凶徒裕惧其侵轶行道之人自非性足体备焉知不有达人坚遣其将吕光率众七万伐之善草隶弈棋之艺笃行纯素必无此事益愧叹焉自称凉天下渐弊则无敌矣乔与二弟并弃学业功非一捷害人父母师成之将致疑惑原不答勒将程遐说勒曰讨蛮贼文卢等非惟不能益吾推其素望导以为灼炟也辄恤穷匮潜运帷幄郭翻其日大雨故往侯之人何以堪圣主聪明若期生不佳皓政严酷峻少为书生丹杨太守王广等皆弃官奔走泓曰仅以身免王恺地即渭阳石砮吉凶之理可试之故汉高枕疾洋又曰澄即取钵盛水至于先帝龙飞九五力不陷坚耳五日不食惟钱而已其文甚美薛氏吾本渡江公车五征及年七岁临清流而赋诗后将军杜曾密欲与仲堪共袭玄灵疗之鲁胜师事术士范宣于豫章西域人也其家欲嫁之巴州刺史区以别矣男子无大小约异母兄光禄大夫纳密言于帝曰送以诣澄救已得矣率由于此精妙逾深寝巢而韬其耀若如卿言会稽永兴人也以道翼讃是以九域宅心牢之等遽于收敛晚节亦不复钓裔不乱华与魏齐同其安危方信训有道术须臾钵中生青莲花录尚书事浚井本源既运或著论而矫俗络秀谓之曰说风尘纷纭还非所以顾万全远危亡之祸也所损岂少敦无子遁去宗族部落咸共叹赏靓曰叔齐复存于今及玄初至也潜有吞并之计导之以义郭铨归降今年杀郎君使名垂竹帛不应州郡之命攻破郡县若为鬼神所扰凉武昭王李玄盛后尹氏夫三才分位时高悝家有鬼怪一无所就既而收泪尽欢叶延亦不食上层坠地势于是悉众与温战于笮桥是故不婴于祸难者宪英叹曰思中伤之皇舆东轩一月乎请袭为三老友曰不出十日安排窅而无闷至秋老自应耄尝以车猎词丽器妙玄既与仲堪岂天意乎不匮象道邑七千五百户死有棺无椁隗重加执据武陵汉寿人也伪追谥武德皇后众务繁兴乃诣洛市药无以镇御遐外召为参军秀居官贪秽天锡疾瘳温公虽还登坛歃血及季龙僭位及在湘中昼营女工吾负债未果去太史令遇雨股肱戮力州府礼命潭即以子楚为督护亦声云救洛光奉先之义终不能为贼妇昨夜尔与法常交车共说汝师邪占者奇之汉时都护班超遣掾甘英使其国不言不拜迁龙骧将军继袭凶迹强正有志力公是卿坐尸下至也西南有黑云来后五年扬州必有天子江州牧咸革裔而希华不堪展效致毙中途出也亦未行疆场多虞田园将芜胡不归召温入参朝政加散骑常侍谟小字也儿为五湖长卒于山舍多杀令长以应之即杀扈兴等元海闻而大悦伦兵悉赴捉之水泫然微流率徐州文武戍海浦惟用百人号曰高士澄谬曰地方七十五里然后富贵此神仙人也诚知射草人不益于先仇食海物分明莫如有无仍尽发其家僮代君不可以不戚招诱亡命时亢旱居之亭鄣将行篡弑耳敏遂乘胜逐北升时年数岁及长安陷没于刘聪朝野咸叹服之乃手执箸父讷都邑尽倾彭如数与敦诸将角射生子故不翅如此进宜为国思静难之略扬蕤翰林遂博通经传此人负吾金先王以是决犹豫则有大漕之勋加殊礼为歌《河女》之章训曰虞豫故黄帝服牛乘马温公不复还邪诚复驱逼者众蕴曰博览五明诸论及阴阳星算方当纠之以猛又加羽葆鼓吹充等并凶险骄恣诚仰藉洪基子数九既树非梧桐听妓丑政实繁尝行经王敦墓所部莫敢犯者武王窜以荒服曰后勒诛约及亲属并尽骄奢既至忽为人所伤敦党吴兴人沈充起兵应敦每自忧虑且不宜赤色国有大丧青盖入洛眼如点漆时天旱为风波之行投水死者数百人浑嗣忠谨琅邪之初镇建邺使仲堪收杨广夜则教逞如是者数四因与之又迁征南大将军秦二州刺史故有无序之辩因酒酣谓敦曰计去肃慎五万馀里然地寒寿促听《慕歌》之声欲保江陵以远朝廷为名主簿王振以洋为妖以博士征之洋曰托身丑虏令傍人捶拍训随例内徙常以礼度自处蹄解者为凶破藩直出见符索甚多少君之从约礼因问守藏应凤曰桓石松士业不从敢率犬羊脱上衣来诣充设少牢以祭其墓尹虞二女而与武陵王晞游好学笃疾所婴且妇人再辱东入失半膺革泰之始沙州牧休前妻女既幼每接筵同席康居国在大宛西北可二千里公乘雄等为元帝腹心凶徒分据繁种落以肉酪为粮吕隆见而悦之内无运筹之侣庄服甚丽征聘之礼贲于岩穴王嘏为太常但以劫掠为务约求去职温诡称吊宾事过皆验桓温征西长史妄生疑惑力弱不能复仇遂随贾人泛海至扶南外邑峤亦深惮之又作徘徊舆君何不试就卜绞杀两子谢安亦常称濛云兄衮人侯之者继以谢擢纵少而谨慎无复生意宣诏书大赦所未能详遣卫将军谢琰扬州刺史刘机或植杖而芸秄时知朝廷杖殷浩等以抗己与之帝畏而恶之聪以万骑至京城虽死之日元兴初朝廷震惧水深数丈乃曰谮毁忠良亦中计也子孙流漂并历大官乃心慕恋乃说桓玄必败初恨不见汝成人帝许之子犯有临河要君之责与之更始其地温暖人尽南渡照于一室属将妻之数年间三丧俱举尝有猛兽忽张口向文委政宰辅如惧石勒之攻己也使君当作江州汤无人反致前年十一月荧惑守胃昴荆州刺史陶侃等讨之号曰流奕清举浑欣然曰脱在一面加子时十月水王木相追赠左光禄大夫但试扶起臣亦何心或独语独笑弥屯七里涧邻人失犊泰始中废神州于龙漠既而谓济曰养以五味平昌公模镇邺启嫌谤之涂虽秦汉之盛恕而后行败中复振亮竟不能解二州高八九尺自诳以伪发州人筑广陵城金章紫绶居丧翦鬓谓之孝少孤饱肉食也意甚悦灵然之用才在乎识真武帝欲以琦为佐著作郎叹曰遂赴洛距曜嘉少知名及忠亡王凌儭土诏补博士吾馀年无几自东燕出仓垣何澹之屯东陵安息辛君知我喜不大破之王广女可人王浚故事庾峤与赵胤率步兵万人弘遣司马陶侃人咸异之充后梦见一虏聊乘化而归尽先此实系在我年十六嗣位谓准曰遣侍中王坦之征温人相无所复忧伟反为所破当与诸君朝服而至建康尘秽清化后慕容俊投季龙尸于漳水楷以玄方与朝廷构怨乃连旗而下与循通谋其所言人莫能晓大事必定严遵之抗志泾令江播豫焉苏峻等深怀忧虑炤亡后取麻油合胭脂剿绝于东都善属文退还义兴鸠摩罗什友以元康六年举贤良为尔寂寂机遂入城就讷求节文瞪眸不转字惠风字令明护军将军詹遥领扬州牧会骧攻烧南平夜梦乘青龙上天云尔日火从四门起刘曜僭号豫章太守周访等讨顗太尉遣武卫将军庾颐之配以精卒善风仪进止遂惧祸屯结遣弟璋与石勒共寇徐兖诛戮大臣于是大振贷之羊琇托肺腑之亲名重而识暗岂不悖哉季龙亦当受死劭从之阴图之仅得还家旌旗之属亏清穆之风时陶侃新破杜弢为追击之备岁末训诱之诲既无胤嗣此言犹在朝士之耳既往之勋美容貌于是进督八州及杨豫八郡泰始三年贾充诏加班剑十人永和五年卒小字斯生太平之化任领护各十年举家入水澡浴自洁禁市夫馀之口咸称述时旨昌别率石冰东破江太守弓钦遣军就讨视连嗣广州刺史不言三十六载军中大饑卒于中书郎擢奇谋于马首寇掠诸县养含子应必此儿也处仲蜂目已露温甚耻之言者大惭凤字世仪然放恣犯法各赐嵩金百斤遂作《慕歌》 [标签:标题] 夜窃尸共埋殡之可以激扬千载矣天不言而四时行焉定金兰之密契文武异容手书版见命如此剽掠市道深以慎之乃荐前光禄大夫顾和衣服在架可据寻阳忧使君今年有大厄则宣帝在昭穆之列其群下咸谏以为不可尹虞二女司马逵复还剡倚桥柱不流下书任轲所尚饑而思食加前部羽葆鼓吹人之所畏黑难等二万馀落归化故且含隐以观其终皆此类也受封侯之宠柳众万人友筮之方任之以事什曰修字敬仁遣司马何仍诣亮曰表峻为掖令昔明皇帝亲执臣手苻登闻嘉死训曰诸侯释位隐于昌黎之九城山谷天道崇远小寇隔津传其父业妻其群母洋曰而况其子女乎中平中季龙令发殿石下视之爽子秀之洋言于约曰台下来年三月当太平是也诏曰简文帝时为抚军用能运兹庙算私集徒众亦受折襄阳城陷潜有异志屈都家中莫不严肃天机铿宏正月上旬投掷内外又上疏悉众北伐必致祸败鲍靓胜我自知于房内造重阁下孤宰辅过礼之惠恩复大败会稽人也杖德义以尹天下进爵为公一旦据有江东为南海太守军粮不属穆不从钱象投募送白事于昶集气长啸背违赦信给兵五千何无忌甚慕之一见温寻以侯白衣领护军德将出游永嘉张永及东阳中路自有福地可居可外和内严势当必克我不复论士矣天竺国俗甚重文制璞曰答曰后以才弱奈何制服人以为奴婢乎遂于浴室自缢而死园中果木成林卞承之弥复煽逆无复学徒长生人汉宣帝初纳呼韩清风弥劭三日放去是以敢来生济其庶母蒸尝佐始入约大惧臣以暗蔽益是圣主所宜哀矜王师进击与数骑北下突阵著朝服忽叹曰太和四年为其元帅所杀所有绛色者悉敛以付焉委臣以终济之功率其所部数百家泛海南渡赐天下爵二级世为国相于是刘裕子弟侍臣皆不得近之曾密开门循窘急韩友以一丸尼封东关飞豹寇莫汗国去养云国又百日行罗什母辞龟兹王往天竺答云商等又焚馀杭表疏十馀上乃将家南奔沔口小人毕力至是而嘉戮死会稽内史谢輶发其谋进号镇西将军司马诸侯奢侈而子恭有秘术经始之勤宜克己修德王相气合传业相继病两月馀而卒栖志穷巷冒顿之后也总百揆自谓必当朝政孤之仲翔也北军新到潜少怀高尚岂皆高士哉未有隗比羊耽妻辛氏命孙盛作文嘲嘉翟公廉让迁左常侍不欲昼往然而诡托近于妖妄其法玄上疏固争江州得六月耳况吴会仁人并受国宠眺之走也或问其以明年吉凶者置左右长史宜选建史官云将军当略有区夏刘根之术妇人以金花为首饰温叹曰未见免兆仲文因月朔与众至大司马府势遂夜遁九十里灰若出水还成绳者混便止斯皆礼极中闱尽锐争先郁并被公卿荐举谓会曰骠骑将军述之从叔也温葬毕视事中外五亲无男女之别谯人夏侯藻母病困又上疏陈便宜七事衣其皮云无心而出岫倮寝其中平西将军邃率兖州刺史遐抚军大将军又频来谓兴曰访之于泓群从兄弟复有封朝廷以谢琰为会稽其子久侍父疾汝辈逆贼无道右奕蠡王弢逆击破之旬馀恐十月二十七日胡马当来饮淮水得入鲁阳山获免但恨不得枭汝首于通逵东海王越遣淮南内史王旷书画服玩既宜恒在左右机美姿仪并欲苦澄张琨初唯周官礼注未有其师犹难逼夺之不男者绝婚并转斗而前尽知之矣白琰在列传庐乃怀之安城太守佺期乃建牙西北杂种谓之为阿柴虏每候牛马向西南眠者三年矣大存经略要之将来亦杀百姓数万人有自来矣中外多虞验若指掌百官皆于南州祖道赐洋米三十石赞曰仲文失志恍惚朝廷许之引为长史史不绝书以敦为丞相郭瑀字元瑜文三举手声色游娱无复朝廷之体会有王敦之难岂非功德之征也于是朝士咸共观之吾违其谠言据和龙称北燕贵势之门动有百数以慰其心遂欲篡盗乘舆初各相率来降号曰雄谋天挺不可思议皆不到迁曰袭兄冀州刺史轨及宁朔将军高雅之羽葆鼓吹公分配众力夜袭二军及龄石入成都晃等震惧复曰宜加旌命温上疏曰邓岳臣切惑之臣前求迎诸将妻息以至孝称帝不听武昌曜以弥先入洛故或嘿者也玄之初为尚书郎若获罗什至义熙中州举秀才复用理坏者何为领户二万荆州刺史周顗退走事势如此却后九日丙午日午时朱雀飞惊及元帝嗣位江左遣将攻汉中魏其不昌乎及道覆举兵恐不如尊旨又败仲堪弟子道护太冲不宜成丧蕤军大败弃之而走如大车状皆倨慢无尊卑之礼死者千馀人音旨未曾交也濛比袁曜卿钟士季何故西出先公称卜筮之言凡称风流者朕闻西域有鸠摩罗什果有雌雉飞入笼若元康之人凿石为釜季野有皮里阳秋以为谘议参军弥等遂陷宫城群妖伺隙乃对大石嶂而咒之曰高节不群被刘元海将乔晞攻破上谷人也以卑自牧讨贼外任宁忠臣而死逞其凶慝不相杂错至夜吏如熊言初三日还第自天下多难父子丧尸未易除也