四维几何基础知识(四)

点在四维空间画法几何中的表示

点在四维空间画法几何中的表示
点在四维空间画法几何中的表示，为建筑增添了新的可能性。

四维空间几何学的崛起为建筑提供了一种新的视角，并展示出独特的可能性。

四维空间几何学的理念基于点，在这种空间中，点可以通过三个方向（长、宽和高）的基本元素来反映出建筑物的错综复杂的结构和外观。

首先，点可以用来展示建筑物内外部空间的管理。

管理空间可以进一步产生复杂的结构，并在点之间进行互动，从而将管理空间中的形式、性质及其功能有机地结合在一起。

其次，点可以用来表示建筑物的传输函数。

在传输函数中，可以用点来表示外部传播耦合的数量和形式。

空间几何学同样可以用来表示内部传播耦合的数量及形式。

此外，点也可以用来表示阴影和光线的分布与变化，以及建筑物屋面表面的形状与结构。

点在高级建筑设计中，可以灵活地组织平面元素，赋予建筑物动态的量感。

同时，设计者可以利用多种点定义和几何变换，让建筑更具表现力，增添艺术气息。

总的来说，点在空间几何学中的运用，大大拓展了建筑的可能性与灵活性，为建筑提供了丰富的表达形式，使建筑物赋予了强烈的三维效果与想象力。

只有细心的运用，才能真正发挥出点的潜在能力，从而促进建筑发展，满足信息时代个性化需求。

四维几何基础知识(三)

导读本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:第一章名词术语和简单的夬第二章位置关系第三章投影第四章面轴第五章曲体这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.整理四维几何基础知识(201802第一次更新)第三章投影我们所存在的宇宙是三维的,至目前为止,人类从未进入过高维度的空间,所以不可能对四维空间有感官上的认知.要在有限的条件下了解四维的空间,方法之一就是借助三维几何体的形状,在逻辑上对四维的几何形状进行推测.本章主要介绍四维夬在三维空间的投影原理,将投影形成的过程逆向推理,就可以想象其在四维空间的形态.一>常用的投影计算公式以下是有关三维几何投影的部分公式:1> 假设有一长度为L的直线与投影面的夹角为θ,则投影的长度为L*Cosθ2> 假设有一面积为S的平面与投影面的夹角为θ,则投影的面积为S*Cosθ把以上公式中的”投影面”改为””投影立体空间”,便是适用于四维空间的投影公式.以下是类比得到的第三条公式:3> 假设有一体积为V的立体与投影立体空间的夹角为θ,则投影的体积为V*Cosθ当特殊的情况下θ为90度时,以上公式中的直线,平面,立体皆垂直于投影立体空间,它们的投影分别是点,直线,平面.例一: 有一架探测器,它的体积是0.02立方米,把它送到四维空间去做实验,这架探测器进入四维空间后与我们的宇宙空间的夹角是60度,请问这架探测器在宇宙空间的投影体积是多少?(图一)答: V’=Cosθ*V=Cos(π/3)*0.02= 0.01立方米二> 平面角的投影平面角在四维空间中的位置状况是多样的,这里我们选取最简单的一种做例子: 设某平面角∠a的角平分线垂直于∠a所在的平面与投影空间的交线, ∠a与投影空间的夹角为θ,∠a在投影空间的投影角为∠A,则tan(A/2)=tan(a/2)/cosθ∠A=2arctan(tan(a/2)/cosθ)这个公式,与平面角的面投影公式是一样的.例二:底空间内有一圆锥体,它的圆锥角是π/3,现以此圆锥体的中心线为定位线,以顶点为旋转中心,向第四维方向旋转π/4的角度, 之后它在底空间内形成一个新的圆锥角投影.求新投影的圆锥角是多少度.答:图二中圆锥角为∠AOB,定位线即为角平分线,所求的新投影圆锥角∠aOb的中心线OP’是原圆锥角中心线OP的投影.因此可以使用平面角在三维空间的投影公式.∠aOb=2arctan(tan(∠AOB /2)/cos(π/4)) = 2 arctan((√6)/3)三> 立体角的投影立体角投影的计算略复杂一些,首先要分别计算立体角各个组成部分的投影值,再以所得结果去计算投影立体角的大小.图三(1)是一个立体角ΩO-ABC,OA=OB=OC,它与底空间的夹角为θ,在底空间的投影立体角为ΩO-abc, ΩO-abc的值是无法直接计算的.先将ΩO-ABC旋转回底空间,使其中心线OP与ΩO-abc的中心线OP’重合,再将它们的位置变成图三(2)所示.图三(2)中过点O作平面垂直于PO,三角形A’B’C’是三角形ABC在此平面的投影,也是三角形abc的投影.其中OP’的长度为cosθ*OP.根据以上的条件,先分别计算出ΩO-abc三个侧平面角的值,再代入相应的公式计算ΩO-abc的立体角值.四>夬投影原理在讨论四维夬在三维空间的投影之前,我们先回顾一下三维体在平面上的投影.简单的说,平面投影就是有一束光源垂直照射在平面上,物体处于光源与平面之间,在平面上显示出一个几何形状的阴影.但是这个概念对于四维夬在三维空间的投影,是有想象难度的,所以我们可以变通一下,将物体以垂直的方向穿过所要投影的平面,在此过程中,平面上出现一个连续变化的几何图形,当物体完全穿过平面时,它会在平面上留下一个最大面积的”穿透区域”,这个区域是图形在穿透投影面的过程中, 连续变化的几何图形叠加起来的,这就是该物体在平面上的投影.(图四)以同样的过程,可以类比出四维夬在三维空间的投影：当一个四维夬以垂直方向穿过三维空间时，它会在此三维空间的某一固定区域内形成一个连续变化的物体，将这个连续变化的物体所占据的空间全部叠加起来，就是四维夬在三维空间的投影。

高一数学知识点四维图片

高一数学知识点四维图片数学知识点是学习数学的基础，它们为我们建立起数学思维的框架，帮助我们理解和应用数学的原理和概念。

对于高一学生来说，数学知识点的掌握尤为重要，因为它们为我们打下了学习高等数学的基础。

本文将通过使用四维图片的形式，来展示高一数学知识点，并进一步帮助读者加深对这些知识点的理解。

1. 平面几何平面几何是数学中的一个重要分支，它研究的是在二维平面上的点、线、面及其相互关系。

在高一平面几何的学习中，我们需要掌握的知识点包括：直线、射线、线段、角、三角形、四边形等。

这是一个四维图片，其中第一维度表示几何图形的种类，第二维度表示图形的性质，第三维度表示图形的名称，第四维度表示图形的图像。

通过这个四维图片，我们可以直观地了解每个几何图形的特点和属性。

2. 代数运算代数是数学研究中的另一个重要分支，它研究的是数的运算规律和数之间的关系。

在高一代数运算的学习中，我们需要掌握的知识点包括：整式的乘法、除法、加法和减法，方程的解法，函数的概念和性质等。

这是一个四维图片，其中第一维度表示运算的类型，第二维度表示运算的规则，第三维度表示运算的名称，第四维度表示运算的示例。

通过这个四维图片，我们可以直观地了解每个代数运算的步骤和原理。

3. 几何变换几何变换是研究平面图形在平移、旋转、翻转和拉伸等操作后的性质和关系的数学分支。

在高一几何变换的学习中，我们需要掌握的知识点包括：平移、旋转、翻转和拉伸的定义、性质和应用等。

这是一个四维图片，其中第一维度表示变换的类型，第二维度表示变换的规则，第三维度表示变换的名称，第四维度表示变换的示例。

通过这个四维图片，我们可以直观地了解每种几何变换的操作和效果。

4. 解析几何解析几何是数学中研究用代数方法解决几何问题的分支。

在高一解析几何的学习中，我们需要掌握的知识点包括：坐标系的建立，直线的方程和性质，圆的方程和性质，曲线的方程和性质等。

这是一个四维图片，其中第一维度表示几何图形的类型，第二维度表示几何图形的性质，第三维度表示几何图形的名称，第四维度表示几何图形的图像。

四维几何基础知识(五)

导读本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:第一章名词术语和简单的夬第二章位置关系第三章投影第四章面轴第五章曲体这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.作者四维几何基础知识(201802第一次更新)第五章: 曲体定义: 曲体是曲面在四维空间的类比, 在三维几何里,曲面是母线在空间中运动的轨迹.同样的推理,曲体可以看成平面或曲面在四维空间中运动的轨迹.特性: 正如曲面不能存在于二维空间一样,曲体只能存在于四维及以上的空间中,它可以与三维空间相交于点,线,面,体.用途: 因为人类尚未开发四维空间,目前曲体没有明显的用途,但曲体极有可能与宇宙中的未知现象有关,例如黑洞,虫洞.如果未来真的证实了四维空间的存在,那么曲体是进入高维空间和其它三维空间的最佳通道.曲体产生方法: 一是平面或曲面绕面轴旋转一周所得.二是曲面在第四维方向上的直线运动,也可以看作是无数相同的曲面在第四维方向上叠加.***/此段内容是特别说明,因为目前学界对四维几何的研究是包含在”三维以上几何研究”之中的,很少有针对性的研究,在本文之前,甚至没有”曲体”的概念.本人也无从查找曲体的正式名称,所以下列曲体之命名,是根据中国几何数学传统的命名方法,从三维物体的名称中传承而来./******下面是几例比较简单的曲体.一>圆柱面柱体(图一)图一的四维坐标系中是一个长方体,它的三条棱长分别是a,b,r.现在以它的面ABCD作旋转面,以面ABCD的平行面S作面轴,以面OABE作定位面,将面ABCD 向W轴方向旋转一周,得到一个圆柱面柱体,红色和蓝色的柱面是此圆柱面柱体底部和顶部的两个面,夹在其中的是面ABCD的旋转轨迹,也就是柱体.它的体积计算公式: V=2πr*a*b.圆柱面柱体亦可用另一方法求得:在三维坐标系中有一圆柱面,圆半径为r, 柱面高为h,此圆柱面的面积S=2πr*h.将圆柱面向第四维方向垂直移动距离为d,所形成的轨迹即圆柱面柱体, 体积计算公式: V=2πr*h*d.二>圆锥面柱体(图二)将图一稍作变化,在长方体中,对角面OECD作为旋转面,面轴为S ,定位面为面OABE, 将面OECD向W轴方向旋转一周,得到一个圆锥面柱体,红色和蓝色的锥面是此柱体的底面和顶面,它的体积计算公式:V=πr*(√(r∧2+a∧2))*b.在图二中,可以先把线段OD绕Z轴旋转得到圆锥面,它的底部圆周长为L=2πr,母线长为√(r∧2+a∧2), 将圆锥面向第四维方向垂直移动距离为b,所形成的轨迹即圆锥面柱体, 体积计算公式: V=πr*(√(r∧2+a∧2))*b.三>圆面环体(图三)在四维坐标系中有一个长方体,在长方体的侧面ABCD中包含有一个半径为R的圆面,将此圆面作为旋转面,以面ABCD的平行面S作面轴,以面OABE作定位面,此圆面向W轴方向旋转一周,得到一个圆面环体. 它的体积计算公式:V=2(π∧2)*r*(R∧2)圆面环体较难想象,我们可以让它”穿过”一个三维空间,通过观察它形成的一个连续变化的图形,推测它的形状.将圆面环体调整位置,使其与底空间相交于一个圆圈线.我们可以想象一个救生圈浮在水面的样子,当然这只是一个类比,实际状况不是如此.把此圆面环体以垂直于底空间的方向穿过底空间,在底空间的观测者看到的是一个圆圈变成一个圆柱面, 圆柱面的高慢慢增长,到达最大值后慢慢减短,直至变成一个圆圈,此时圆面环体穿过了底空间.我们把圆圈变成圆柱面时变化的高,连续不断的画成无数条线段,按时间顺序排列起来,就是一个圆面,其实就是上例中的旋转圆面.四>用面轴旋转的原理证明圆夬表体的体积公式.在之前的章节中曾经提到,用半个圆球作旋转体,以半圆球的大圆面作面轴,旋转一周可以得到圆夬,其中圆夬的表体部分,是由半圆球的球面旋转得来的.这样我们可以把半球面分解成无数个平行于面轴的圆圈A系列,每个圆圈上的点绕面轴旋转形成另一种圆圈B系列,把圆圈A系列乘以圆圈B系列,再把所得之积累加起来,就能得到圆夬表体的体积.设半圆球的半径为R,在图四中,O是半圆球的球心,C是圆圈A系列上的一个点,CO与面轴的夹角为θ,这样可以得到A系列圆周长为2πR*cosθ, B系列圆周长为2πR*sinθ.现在列出求体积的积分式,积分自变量选取的是弧长CD,这一点非常重要.设: 弧长CD=x,则θ=x/R,自变量x的取值区间为0至πR/2. 所求的积分式为:五>用”牵引法”原理求底体为大圆球的圆夬台的侧表体体积公式.图五是一个所在圆夬半径为R的圆夬台,它的底体是以点O为球心的大圆球,顶体是球心与点O距离为H的小圆球,它的侧体是由无数个介于底体圆球和顶体圆球之间的,半径由底至顶逐渐变小的圆球表面累加而成,也就是说,把这些圆球表面累加起来,就是此圆夬台的侧表体体积公式.过点C作圆面S1垂直于CO,过点O作圆面垂直于OC,过线段CO作大圆面,与圆面S1的圆周相交于点A, 与圆面S2的圆周相交于点B,以弧线AB为自变量, 设: 弧长AB=x,则θ=x/R,自变量x的取值区间为0至Rθ. 所求的积分式为:把θ=arcsin(H/R)代入上式,得到:V=2π(R∧3)(arcsin(H/R)+H(√(R∧2- H∧2))/ (R ∧2))六>球面环体如图六所示,在底空间内有一个圆球表面,将此球面以平面S为面轴,向第四维W 轴方向旋转一周,所形成的轨迹就是球面环体.本例中圆球面是中心对称图形,所求的是360度轨迹,因此不需要定位面.现在我们计算球面环体的体积公式.将圆球表面分解成无数个平行于面轴的圆圈A系列,在每个圆圈上取点,绕面轴旋转形成另一种圆圈B系列, 把圆圈A系列乘以圆圈B系列,再把所得之积累加起来,就能得到球面环体的体积公式.图七是一个以点P为球心,R为半径的圆球表面,点O是点P在面轴S上的投影,PO 垂直于面轴S,PO=r. 过点P作平行于面轴S的平面,与圆球表面相交于圆圈1,在平行圆圈A系列中任意选择一圆圈作为圆圈2,过线段PO作一垂直于面轴的平面,与圆圈1, 圆圈2分别相交于点D,点C,不难证得点C,点D在圆球表面的大圆圈上.现在以圆圈1为分界线,把圆球表面分成两部分求球面环体的体积公式,先求圆圈1与面轴之间那半个球表面旋转所得的球面环体的体积..设: 弧长CD=x,则θ=x/R,自变量x的取值区间为0至πR/2. 所求的积分式为:同样的原理,我们可以得到另半个球表面旋转所得的球面环体的体积.球面环体的体积公式:V=V1+V2=8r(π∧2) (R∧2)七>球面柱体在前面的例子中,用半球面绕面轴旋转的方法求得圆夬的外表体.同样的原理,半个圆柱面以它过中心的竖截面为面轴,底部半圆为定位面旋转,可以得到一个球面柱体.图八左边的蓝色部分是半个圆柱面,绿色的是面轴,红色的是顶部半圆弧的旋转轨迹,能看出是一个圆球外表的模样. 半个圆柱面旋转一周后,得到图右所示的球面柱体.从图右可以观察到, 球面柱体相当于三维空间中的圆球面,向第四维方向垂直移动一段距离的轨迹.体积公式:V=4π(r∧2)*h八>球面锥体球面锥体的原理与球面柱体相类似,旋转面为半个锥面,面轴是过顶点垂直于底圆面的竖截面,定位面是锥面的底圆面. 体积公式:V=(4/3)π(r∧2)*h。

四维几何基础知识(四)

导读本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:第一章名词术语和简单的夬第二章位置关系第三章投影第四章面轴第五章曲体这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.整理四维几何基础知识(201802第一次更新)第四章面轴本章内容是分析几何形在四维空间中的旋转,重点介绍四维及以上空间才存在的几何定义:面轴.“面轴”这个词在字面上是有争议的,在三维几何中,点称为旋转中心,线称为旋转轴,所以在四维空间中,面称为轴是不合适的,轴在现实生活中是一个圆柱体,从古代起就有车轴,磨轴,现代有各种各样的机械轴,轴的概念和形态广为大众所熟知.而“面轴”这个几何概念,如果整理成产品的话，必然是一个夬，是“四维人”使用的“四维机械”，它无法被我们三维人感受和认知，也无法给它取个合适的三维名。

所以在本文中暂时取名为“面轴”,以使读者更容易的理解和想象。

一〉面轴的原理面轴旋转就是以面为轴进行旋转，这样的旋转方式在三维空间是不可行的，因为一个平面就占了二维，而旋转运动也是二维，在三维空间内的几何形如果以面为轴旋转，其结果就是撞到这个面上，所以面轴只能出现在四维及以上空间.而以面为轴的旋转，三维内无法全面的观察，为了描述这个状态，我们先以线轴作为类比。

图一中，OP是线轴，线段AB绕OP旋转.这个过程，我们可以把线段AB分解成无数个点，每个点作垂直于OP的直线与之相交，这样可以看成每个点都以相交点为圆心，垂线长度为半径做圆周运动。

把所有的点连合起来，就是线段AB绕线轴OP旋转不仅是线段，所有的几何形绕线轴旋转都可以分解成无数个点，每个点垂直于线轴旋转，再把所有的旋转的点整合起来就是此几何形绕线轴旋转的过程。

四维空间概念及其数学模型推演

四维空间概念及其数学模型推演四维空间是指包括三维空间和时间维度在内的空间。

本文将探讨四维空间的概念，并展示其数学模型的推演过程。

首先，我们来了解什么是三维空间。

三维空间是我们通常所熟悉的空间，它由长度、宽度和高度构成，可用笛卡尔坐标系表示。

在三维空间中，我们可以确定物体的位置和方向。

在三维空间的基础上，加入时间维度，就得到了四维空间。

时间维度可以看作是第四个坐标轴，用来表示事件的发生顺序和持续时间。

这意味着在四维空间中，我们不仅可以确定物体的位置和方向，还可以确定事件发生的时刻。

要推演四维空间的数学模型，我们可以利用爱因斯坦的相对论理论。

相对论认为时间和空间是相互关联的，并非独立存在。

根据相对论的观点，光速在任何参考系中都是恒定的。

这就引入了时空间隔的概念，即光速乘以时间和空间之间的差距。

时空间隔可以用来度量事件在四维空间中的间隔长度。

数学上，我们可以使用闵氏度规来推导四维空间的数学模型。

闵氏度规是一种度量时空间隔的方法，它可以用来计算事件的间隔长度。

闵氏度规的公式为：ds² = -dt² + dx² + dy² + dz²其中，ds²表示时空间隔的平方，dt表示时间差，dx、dy和dz表示在三维空间中的位置差。

该公式中的负号表示时间差需要取负值，以确保时空间隔是实数。

通过闵氏度规，我们可以计算出任意两个事件之间的间隔长度。

如果间隔长度为正数，则表示两个事件之间是类空间隔，即有因果关系，信息可以相互传递。

如果间隔长度为零，则表示两个事件之间是类光空隔，即有可能相互影响。

如果间隔长度为负数，则表示两个事件之间是类时空隔，即有确定的因果关系，信息无法相互传递。

随着数学模型的推演，我们可以进一步探讨四维空间的奇特性质。

在四维空间中，由于时间的存在，可以出现时间的弯曲和时空的弯曲。

这就是相对论中著名的“引力弯曲”，它可以解释为质量和能量改变时，时空的弯曲效应。

四元正四面体摆法要点

四元正四面体摆法要点四元正四面体摆法要点正四面体是一种具有四个相等边长和六个相等面积的多面体。

它的几何形状独特且美丽，因此常被用于艺术、科学和数学领域。

在四元正四面体摆法中，它被用作一种特殊的布局工具，以提供各种创意和解决问题的可能性。

在本文中，我们将探讨四元正四面体摆法的要点，并深入剖析其使用方式以及对创意思维的影响。

1. 基本了解让我们来了解一下什么是四元正四面体摆法。

在数学中，四元正四面体是一个四维几何体，由四个面相等的正四面体组成。

它具有多个维度的特性，因此可以用于揭示事物的复杂关系和多变性。

在摆法中，我们将四元正四面体所代表的思维方式应用于创意过程中，以获得不同的角度和解决方案。

2. 四元思维模式四元正四面体摆法鼓励我们采用更全面、深入和灵活的思维方式。

它基于四个基本维度：事实、概念、价值和未来。

这些维度代表了不同角度和观点，使我们能够从多个维度去思考和理解一个问题或主题。

通过将这些维度交叉应用，我们可以从全新的角度发现新的可能性和解决方案。

3. 事实维度事实维度是关于现实和客观信息的。

它要求我们收集和分析相关的数据、观察现象并进行实证研究。

在应用四元正四面体摆法时，我们需要根据事实维度收集相关背景知识、案例研究和实证数据，以便更好地理解问题的本质和现状。

4. 概念维度概念维度是关于观念和抽象概念的。

它要求我们思考问题的本质、原理和可能的因果关系。

通过概念维度，我们可以应用概念模型、分类和归纳法，以深入理解问题的内在逻辑和潜在规律。

5. 价值维度价值维度是关于主观观点和实践经验的。

它要求我们考虑道德、伦理、情感和文化因素对问题的影响。

通过价值维度，我们可以从个人和群体的角度去思考问题，并将其与我们的核心价值观进行比较和权衡。

6. 未来维度未来维度是关于预测和前瞻性思考的。

它要求我们考虑问题的演变趋势、可能的结果和长远影响。

通过未来维度，我们可以应用场景分析、趋势预测和创造性想象，以预测和规划未来的发展方向。

四维空间向量的基

四维空间向量的基四维空间向量是指在四维坐标系中表示的向量。

在四维空间中，我们可以用四个分量来表示一个向量。

为了方便描述和计算，我们可以选择合适的基来表示四维空间向量。

下面我们将介绍四维空间向量的基及其相关的内容。

1. 标准基在三维空间中，我们可以选择三个相互垂直的单位向量作为基，分别表示x、y、z轴的方向。

同样，在四维空间中，我们也可以选择四个相互垂直的单位向量作为基，分别表示x、y、z、w轴的方向。

我们一般用{i, j, k, l}来表示四维空间的标准基。

2. 向量坐标表示在四维空间中，一个向量可以用四个分量表示。

假设有一个向量a，用{a1, a2, a3, a4}表示其分量。

分量a1表示a在x轴上的投影长度，a2表示在y轴上的投影长度，a3表示在z轴上的投影长度，a4表示在w轴上的投影长度。

向量a可以表示为a = a1*i + a2*j + a3*k + a4*l。

3. 基向量的性质在四维空间中，基向量具有以下性质：- 互相垂直：标准基中的四个单位向量{i, j, k, l}相互垂直，即它们之间两两正交。

- 单位长度：标准基中的四个单位向量{i, j, k, l}的长度都为1。

- 完备性：标准基中的四个单位向量{i, j, k, l}张成整个四维空间。

4. 基变换在四维空间中，我们可以通过基变换将一个向量表示在不同的基下。

设有向量a在标准基{i, j, k, l}下的分量为{a1, a2, a3, a4}，我们希望将其表示在另一个基{i', j', k', l'}下。

则有以下关系：{a1, a2, a3, a4} = {i', j', k', l'} * {a1', a2', a3', a4'}其中，{a1', a2', a3', a4'}表示向量a在基{i', j', k', l'}下的分量。

四维几何基础知识

四维几何基础知识概述几何学是一门研究空间和形状的学科。

在传统的三维几何学中，我们研究的是三维空间中的物体。

然而，在某些应用领域，比如相对论和指纹识别等，我们需要更高维度上的几何概念和工具。

本文将介绍四维几何的基本概念和一些常见的应用。

什么是四维空间？在数学中，我们可以通过引入额外的维度来扩展我们对空间的认识。

在三维空间中，我们用三个坐标轴（x，y，z）来描述位置。

类似地，在四维空间中，我们需要四个坐标轴（x，y，z，w）来描述位置。

这就是四维空间的基本概念。

在四维空间中，物体可以在更多的方向上移动和变形。

这给了我们在建模和分析问题时更多的自由度。

例如，我们可以在四维空间中描述更复杂的形状和运动。

四维几何中的对象在四维几何中，我们可以研究各种不同类型的对象。

以下是一些常见的对象：点：一个点在四维空间中由四个坐标值（x，y，z，w）表示。

它表示了四维空间中的一个位置。

线：一条线可以由两个点在四维空间中的连线表示。

类似于三维空间中的情况，我们可以计算四维空间中的线的长度和方向。

平面：一个平面由三个点或者一个点和一条线确定。

我们可以使用法向量来描述一个平面在四维空间中的位置和方向。

体：一个体可以由四个点或者更多的点确定。

我们可以计算四维空间中体的体积、表面积和其他几何特征。

四维空间中的运算在四维几何中，我们可以进行各种运算来研究对象之间的关系。

以下是一些常见的运算：平移：平移表示在空间中沿着一个向量移动一个对象。

在四维空间中，我们可以根据四个坐标值进行平移运算。

旋转：旋转是围绕一个轴将一个对象转动一定角度。

在四维空间中，我们可以根据四个坐标值进行旋转运算。

缩放：缩放是将一个对象的大小按比例变化。

在四维空间中，我们可以根据四个坐标值进行缩放运算。

四维空间中的应用四维几何在许多领域中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：相对论：相对论是研究时间和空间之间关系的物理学理论。

由于相对论需要考虑时间的第四个维度，四维几何在相对论中有重要的应用。

四维数据的图形表示(最新)

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊数学与应用数学本科生毕业论文四维数据的图形表示指导老师：侯为根学生姓名：吴正山所在学院：数理学院专业名称：数学与应用数学班级：数092班学号： 099084130日期： 2013年6月┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊安徽工业大学毕业设计(论文)任务书课题名称四维数据的图形表示学院数理学院专业班级数学与应用数学系092班姓名吴正山学号099084130毕业设计(论文)的主要内容及要求：（1）掌握四维散乱数据的概念，即什么是四维散乱数据。

（2）了解四维散乱数据在各方面的应用背景。

（3）查阅资料怎样给出散乱数据求出等值点，并且知道多种插值方法，学会编程实现等值面。

（4）通过比较这些插值方法，了解这些插值方法的优点并发现每种方法的不足，最后改进使自己的方法得以优化，获取更好的效果。

（5）最后得出研究结论，并且对该论文加以深化，进行引申，了解实际应用的方法与实现。

（6）整理相关资料，完成毕业论文的写作。

（7）对论文进行全面修改、完善，准备论文答辩。

指导教师签字：┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊即可。

关键词：四维数据；等值点；等值面；Kriging插值；Shepherd插值；Multi-Quadric 插值┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊find the equivalent point of the scattered data.If the equivalent point are quite sparse,we must deal with Encryption processing for them.Otherwise, then though the Kriging interpolation，Shepherd interpolation and Multi-Quadric and some other ways to achieve the fitting of isosurface, the key of Kriging interpolation is to choose the suitable Variogram model, such as Spherical, exponential, Gaussian model. In the end, though judging the superiority of all the methods to find out the best solving model, the effect is best especially for the intensive scattered data.For the case of giving random scattered data in advance,we should be take preprocessing and adapt the above methods.Keywords: Four-dimensional data;equivalent points; isosurface; Kriging interpolation; Shepherd interpolation┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊目录摘要........................................................................................................................................................... Abstract (i)目录 (ii)1 绪论 02 六面体网格划分 (2)2.1 “四维数据的图形表示”内涵 (2)2.2 “六面体网格划分”的原理及意义 (2)2.2.1 MC算法的思想及引出 (2)2.3“六面体网格划分”的方法 (2)2.3.1 构造四维散乱数据 (2)2.4 对于任意给定散乱数据情况的“六面体网格划分”方法 (2)2.4.1 “六面体网格划分”之后的节点预处理 (3)3 搜索和遍历算法 (4)4 散乱等值点的获取 (5)4.1等值点的判定 (5)4.2 等值点的求解 (5)5 空间散乱数据的曲面拟合的模型、方法和实现 (7)5.1Kringing方法的背景(全体方法） (7)5.1.1.Kringing方法的理论基础 (7)5.1.2.从实验变差函数中找出理论变异函数及其参数 (9)5.1.3.Kringing方法]5[ (10)5.2 Shepard方法(局部方法)]2[ (11)5.3 Multi-Quadric插值方法(属于径向基函数)]8,7,6[ (12)5.4参数双三次样条曲面 (12)5.4.1曲面模型 (12)5.4.2曲面造型的要求 (13)5.4.3曲面造型方法及显示 (13)5.4.4双三次样条曲线函数 (13)5.4.5参数双三次样条曲面]9[ (14)6 四维散乱数据图形表示的算例 (18)7 方法的比较与评价 (23)8 引申 (25)结论 (33)致谢 (36)附件............................................................................................................................ 错误!未定义书签。

四维几何基础知识(一)

导读本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:第一章名词术语和简单的夬第二章位置关系第三章投影第四章面轴第五章曲体这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找.在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.作者正文四维几何基础知识(201802第一次更新)第一章名词术语和简单的夬名词术语在本章的开始,我们先熟悉一下本系列文章中将要用到的几何名称和相关的术语.首先介绍一下四维坐标系.图中有四个坐标轴,两两垂直,其中xyz轴是我们熟知的,在本文中以这三根轴所代表的三维空间作为参照空间,简称”底空间”.以W轴作为第四维的方向,代表第四维的空间, 坐标轴已画出部分为轴的正方向,从原点O之后,未画出部分为轴的负方向.本系列文章中设定的”底空间”指代平直的参照立体空间O-XYZ. 请大家注意,这个简称会经常用到.本系列文章中设定的”底体”是指四维夬上与底空间最接近的体, 其概念与正方体中的底面,正方形中的底边为类似.在本系列文章中,我们约定L表示线段长度,S表示面积,V表示体积,J表示夬积.在三维几何中,方形体通常有三个参数:长,宽,高,分别用字母a,b,h,表示.在四维几何中增加一个新的概念:”四维高”,用”叠”字代称,字母为d,寓意为无数个三维物体在第四维方向上叠加,形成四维夬.这个新概念若要精确描述则比较复杂,在这里我们简单的理解成”正方夬的长,宽,高,叠”四个参数之一就可以了.下面初步介绍几类简单的四维夬.一>五体夬正式名称为”五胞体”,是四面体的类比.如何得到一个五体夬,有很多种方法,本例用的是”中心牵引法”,为了解释这个方法,我们先看看从三角形得到四面体的过程,下图一是一个四维坐标中的等边三角形.这个正三角形看上去很”歪”,比三维坐标中的正三角形还要”歪”,我们要在二维平面中表现四维图形,只能将图形尽量压缩.把正三角形的中心点连接三个顶点,得到三条线段,这就是要形成的四面体的另三条棱.用一根线”系住”中心点,向上牵引,同时中间三条棱的一端也向上抬升(图二)..条棱,然后把中心点向第四维正方向牵引.(图四)将中心点向第四维正方向牵引距离为棱长的(√10)/4后,得到一个正五体夬.(图五)这个图是五个正四面体围合成一个五体夬,但这样挤在一起是很难看清楚的,可以把它”炸开”看看.(图六)这五个体全是正四面体,只是看上去有一些变形.蓝色的”底体”在O-XYZ立体空间中,如果把这个空间看成我们生活的宇宙空间,另四个带绿棱的正四面体就在我们”摸不着”的四维空间中.二>正方夬有了以上的经验,介绍正方夬的形成就容易多了.先看一个四维坐标中的正方体.将正方体原地复制,整体向第四维轴,即W轴正方向牵引,距离为一个棱长.(图八)把两个正方体的八个顶点,一一对应的连接起来,形成了六个正方体,这八个体围合成一个正方夬.(图九)“炸开”看看.(图十)(图十)中的八个正方体,黑色的是底体(在xyz轴的体空间中),和它在W轴正方向上的平行体,另六个彩色的侧体分别处在x,y,z轴方向上,正负方向各一个,它们都处于W轴正方向的四维空间中,紧靠着底空间,并且各有一个面,与底空间中的底体连接.侧体可以看作是:正方体从底空间向W轴正方向牵引的过程中,六个面所形成的路径.三>圆夬我们先看看四维坐标中的球体,它看上去是个扁的,(图十一),这是因为坐标的关系,它在平面显示时被压缩了.现在我们把这个球体想象成无数个”球壳”,从大到小,一层层的套在一起,组成了这个实心的球体.用一条线的一端连接球心,连带着这无数个球壳向W轴正方向牵引,在此过程中,球壳从大至小,逐层剥落.注意, 剥落的过程不是匀速的,这个值和sin的值有关系,而且这些球壳的面积有一定量的拉伸(图十二).当牵引的距离达到球的半径R时,所有的球壳剥落完毕,最小的”球壳”,就是原来的中心点,现在它移动了R的距离.这些在W轴方向上,按大小顺序排列的无数个球壳,围合成了半个圆夬.用同样的方法,向W轴负方向牵引,得到另半个圆夬.(图十三)这个圆夬,看上去还是一个圆球,其实,不论圆周,圆面,圆球,还是圆夬,它们都是圆的,画在纸上不会是其它形状,我们只能将它想象成无数个球体叠加,球半径由底空间的最大圆球开始,向W轴方向以cos值减小.(图十四)四>参数以上介绍了四维空间中比较简单的三个几何形,下面是它们相关的一些参数.正五体夬5体10面10棱5顶点设棱长为1: 侧体高(√6)/3 叠(四维高)(√10)/4 内切圆夬半径(√10)/20 外接圆夬半径(√10)/5夬积J=(1/4)*d*V=(√5)/96其中d为叠(四维高),V是底体的体积.正方夬8体24面32棱16顶点设棱长为1: 内切圆夬半径1/2 外接圆夬半径为 1夬积 1对角体:1*1*(√2) 对角面:1*(√3) 对角线 2圆夬设半径为r.表体积2(π∧2)(r∧3) 夬积 1/2(π∧2)(r∧4)夬积公式夬积有两种计算方法J=d*V ; J=S1*S2 具体用哪个公式,以所知道的条件来决定.五>例题例一:已知一等腰五体夬,它的底体为棱长为1的正四面体,它的外接圆夬半径为2,求此五体夬的夬积.(图十五)答: 设底体的中心点为P, 底体的一个顶点为O,在三维坐标中,我们可以计算得到棱长为1的正四面体的体积为(√2)/12, 计算得到OP的长度为(√6)/4.在等腰五体夬中,它的叠(四维高)d是经过外接圆夬夬心的,所以圆夬心C在叠d 上,CO为圆夬半径,CP⊥OP,可求得CP=(√58)/4 ,所以此等腰五体夬的夬积:J=(1/4)d*V=(1/4) *(2+(√58)/4)*(√2)/12=(√2)/24+(√29)/96例二: 用牵引法的原理,验证圆夬的夬积公式.答:我们先用牵引法计算半个圆夬的夬积.半圆夬的底部最大球的体积是(4/3)πR ∧3,在牵引的过程中,球半径逐渐变小,球半径r与牵引距离H的关系是:r∧2+H∧2=R∧2,其中R是最大球的半径,也是圆夬的半径.(图十六)将从大到小的圆球体积累加起来,就能得到半个圆夬的夬积,下面是积分公式:再将J1*2=(1/2)(π∧2)(R∧4),得到圆夬的夬积公式.。

四维几何基础知识(三)

导读本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:第一章名词术语和简单的夬第二章位置关系第三章投影第四章面轴第五章曲体这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.作者四维几何基础知识(201802第一次更新)第三章投影我们所存在的宇宙是三维的,至目前为止,人类从未进入过高维度的空间,所以不可能对四维空间有感官上的认知.要在有限的条件下了解四维的空间,方法之一就是借助三维几何体的形状,在逻辑上对四维的几何形状进行推测.本章主要介绍四维夬在三维空间的投影原理,将投影形成的过程逆向推理,就可以想象其在四维空间的形态.一>常用的投影计算公式以下是有关三维几何投影的部分公式:1> 假设有一长度为L的直线与投影面的夹角为θ,则投影的长度为L*Cosθ2> 假设有一面积为S的平面与投影面的夹角为θ,则投影的面积为S*Cosθ把以上公式中的”投影面”改为””投影立体空间”,便是适用于四维空间的投影公式.以下是类比得到的第三条公式:3> 假设有一体积为V的立体与投影立体空间的夹角为θ,则投影的体积为V*Cosθ当特殊的情况下θ为90度时,以上公式中的直线,平面,立体皆垂直于投影立体空间,它们的投影分别是点,直线,平面.例一: 有一架探测器,它的体积是0.02立方米,把它送到四维空间去做实验,这架探测器进入四维空间后与我们的宇宙空间的夹角是60度,请问这架探测器在宇宙空间的投影体积是多少?(图一)答: V’=Cosθ*V=Cos(π/3)*0.02= 0.01立方米二> 平面角的投影平面角在四维空间中的位置状况是多样的,这里我们选取最简单的一种做例子: 设某平面角∠a的角平分线垂直于∠a所在的平面与投影空间的交线, ∠a与投影空间的夹角为θ,∠a在投影空间的投影角为∠A,则tan(A/2)=tan(a/2)/cosθ∠A=2arctan(tan(a/2)/cosθ)这个公式,与平面角的面投影公式是一样的.例二:底空间内有一圆锥体,它的圆锥角是π/3,现以此圆锥体的中心线为定位线,以顶点为旋转中心,向第四维方向旋转π/4的角度, 之后它在底空间内形成一个新的圆锥角投影.求新投影的圆锥角是多少度.答:图二中圆锥角为∠AOB,定位线即为角平分线,所求的新投影圆锥角∠aOb的中心线OP’是原圆锥角中心线OP的投影.因此可以使用平面角在三维空间的投影公式.∠aOb=2arctan(tan(∠AOB /2)/cos(π/4)) = 2 arctan((√6)/3)三> 立体角的投影立体角投影的计算略复杂一些,首先要分别计算立体角各个组成部分的投影值,再以所得结果去计算投影立体角的大小.图三(1)是一个立体角ΩO-ABC,OA=OB=OC,它与底空间的夹角为θ,在底空间的投影立体角为ΩO-abc, ΩO-abc的值是无法直接计算的.先将ΩO-ABC旋转回底空间,使其中心线OP与ΩO-abc的中心线OP’重合,再将它们的位置变成图三(2)所示.图三(2)中过点O作平面垂直于PO,三角形A’B’C’是三角形ABC在此平面的投影,也是三角形abc的投影.其中OP’的长度为cosθ*OP.根据以上的条件,先分别计算出ΩO-abc三个侧平面角的值,再代入相应的公式计算ΩO-abc的立体角值.四>夬投影原理在讨论四维夬在三维空间的投影之前,我们先回顾一下三维体在平面上的投影.简单的说,平面投影就是有一束光源垂直照射在平面上,物体处于光源与平面之间,在平面上显示出一个几何形状的阴影.一下,将物体以垂直的方向穿过所要投影的平面,在此过程中,平面上出现一个连续变化的几何图形,当物体完全穿过平面时,它会在平面上留下一个最大面积的”穿透区域”,这个区域是图形在穿透投影面的过程中, 连续变化的几何图形叠加起来的,这就是该物体在平面上的投影.(图四)以同样的过程,可以类比出四维夬在三维空间的投影：当一个四维夬以垂直方向穿过三维空间时，它会在此三维空间的某一固定区域内形成一个连续变化的物体，将这个连续变化的物体所占据的空间全部叠加起来，就是四维夬在三维空间的投影。

空间几何体的分类

空间几何体的分类以空间几何体的分类为标题，写一篇文章。

一、一维空间几何体一维空间几何体是指只有长度的几何体，它们在空间中只能沿一个方向延伸。

最基本的一维空间几何体是线段，它由两个端点组成，可以用来连接两个点或者表示一段距离。

二、二维空间几何体二维空间几何体是指具有长度和宽度的几何体，它们在平面上展开。

最常见的二维空间几何体是三角形、正方形和圆形。

1. 三角形是由三条边和三个内角组成的几何体。

根据边长和角度关系，可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

2. 正方形是四条边相等且四个内角均为90度的几何体。

它具有对称性和正交性，常用于建筑和地图等领域。

3. 圆形是由一条曲线组成的几何体，其每个点到圆心的距离都相等。

圆形具有最大的面积和周长，广泛应用于建筑、工程和数学等领域。

三、三维空间几何体三维空间几何体是指具有长度、宽度和高度的几何体，它们占据了真实的物理空间。

常见的三维空间几何体包括立方体、球体和圆柱体。

1. 立方体是由六个正方形的面组成的几何体。

它具有六个面、八个顶点和十二条边，是最简单的多面体。

立方体广泛应用于建筑、储存和游戏设计等领域。

2. 球体是由一条曲线旋转形成的几何体，其每个点到球心的距离都相等。

球体具有最大的体积和曲面积，常用于天文学、地理学和体育等领域。

3. 圆柱体是由两个平行且相等的圆底面和一个连接两个底面的侧面组成的几何体。

圆柱体具有平行四边形的性质，广泛应用于建筑、机械和化学等领域。

四、四维空间几何体四维空间几何体是指具有长度、宽度、高度和时间维度的几何体，它们超越了我们常见的三维空间。

四维空间几何体的研究属于理论数学的范畴，常用于相对论和量子力学等领域。

总结：空间几何体是研究空间中形状、结构和性质的数学分支。

根据维度的不同，空间几何体可以分为一维、二维、三维和四维几何体。

一维几何体只有长度，二维几何体具有长度和宽度，三维几何体具有长度、宽度和高度，而四维几何体则引入了时间维度。

四维（物理和数学中四维空间）

四维（物理和数学中四维空间）1 分类编辑四维分时间和空间上的四维：基本概况在物理学和数学中，一个n个数的序列可以被理解为一个n维空间中的位置。

当n=4时，所有这样的位置的集合就叫做四维空间。

这种空间与我们熟悉并在其中居住的三维空间不同，因为它多一个维数。

这个额外的维数既可以理解成时间，也可以直接理解为空间的第四维，即第四空间维数。

空间上的第四维第四维数可以用空间的方式理解，即一个有四个空间性维数的空间（“纯空间性”的四维空间），或者说有四个两两正交的运动方向的空间。

这种空间就是数学家们用来研究四维几何物体的空间，与爱因斯坦提出的时间作为第四维数的理论不同。

关于这一点，考克斯特曾写道：把时间作为第四维数带来的好处即使有的话也是微不足道的。

实际上，H. G. 威尔在《时间机器》中发展的这种十分吸引人的观点导致了J. W. 杜恩（《时间实验》）等作者对相对论的非常错误的理解。

闵可夫斯基的时空几何是不符合欧几里得体系的，所以也就与当前的研究没有关系。

- H. S. M. 考克斯特, Regular Polytopes从数学方面讲，普通三维空间集合的四维等价物是欧几里得四维空间，一个四维欧几里得赋范向量空间。

一个向量的“长度”以标准基底表示就是也就是勾股定理向四维空间进行的很自然的类比。

这就让两个向量之间的夹角很容易定义了（参见欧几里得空间）。

正交性在我们熟悉的三维空间里，有三对主要方向：上下（高度），南北（纬度），东西（经度）。

这三对方向两两正交，也就是说，它们两两成直角。

从数学方面讲，它们在三条不同的坐标轴x、y、z上。

计算机图形学中讲的深度缓冲指的就是这条z轴，在计算机的二维屏幕上代表深度。

纯空间性的四维空间另有一对垂直于其他三个主要方向的主要方向。

这一对方向处在另一条同时垂直于x、y、z轴的坐标轴上，通常称作t轴。

对这两个方向的命名，人们的看法不一。

一些现行的命名有安娜/ 卡塔，斯皮希图/ 斯帕提图，维因/ 维奥，和宇普西龙/ 德尔塔。

新课改的四维目标是哪四维

新课改的四维目标是哪四维
新课标四维目标的内容：
1、知识与技能：掌握数与代数的基础知识，经历图形的抽象、分类和性质探讨，掌握图形与几何的基础知识，在实际问题中收集和处理数据，并掌握统计与概率的基础知识，参与综合实践活动，积累活动经验。

2、数学思考：体会代数表示运算和几何直观等方面的作用，初步建立数感、符号意识和空间观念，发展形象思维和抽象思维，了解数据和随机现象，体会统计方法的意义，在数学活动中发展合情和演绎推理能力，清晰表达想法，学会独立思考。

3、问题解决：学会提出问题，获得分析和解决问题的基本方法，学会合作交流，初步形成评价与反思的意识。

4、情感态度：积极参与数学活动，锻炼克服困难的意志，建立自信心，了解数学的价值，勇于质疑，实事求是。

什么是第四空间四维空间具体维数介绍（2）

什么是第四空间四维空间具体维数介绍(2)可以推断出：1. 具有相同维数的两个空间，在某些条件下，确定另一个高一维的空间。

例如：两个点(我们将它们看作两个零维空间)确定一条直线(一维空间)。

属于同一个点(规定的条件)的两条直线(两个一维空间)也属于同一个平面(二维空间)。

2. 具有相同维数的两个空间，在某些条件下，也可以确定一个低一维的空间。

例如：两个平面(两个二维空间)确定一条属于它们的直线(一维空间)。

属于同一平面(限定的条件)的两条直线(两个一维空间)确定一个点(零维空间)。

3. 结论2没有包括这一事实，即两个平面可以确定一个高一维的空间。

它只假定它们确定一条直线，这是比平面低一维的空间。

这就留下了一个把我们的思想引申到高维空间的缺口。

这个缺口的消除可在推论1.3“属于同一个点的两条直线也属于同一个平面”中，用几何元素直线、平面和三维空间依次的代替几何元素点、直线和平面来达到。

下面的推论是替换的结果。

属于同一条直线的两个平面也属于同一个三维空间。

有了这个新的推论，我们就把与其他几何元素直接对应的几何元素——三维空间也包括了。

下一步是把对偶原理应用于这一推理，并从这些新引申的推论中得到一些固有的结论。

在对偶原理将通过几何元素——平面和空间的位置交换而被应用。

这时我们得到下述推论：属于同一条直线的两个三维空间也属于同一个平面。

1.5从推论1.5我们可以得到下述公设：属于一个平面的两个共存的三维空间确定这一个平面。

1.6在上述1.5和1.6的基础上，可以提出下面的看法：1.四维空间的几何条件是很明显的，因为维数相同的两个已知空间，只能共存于比它们高一维的空间里。

例如：两条不同的共存直线(一维)位于一个平面内(二维);两个不同的共存平面(二维)(沿一直线共存)位于一个三维空间里;两个不同的共存三维空间(沿一个平面共存)位于一个四维空间里。

2. 在几何上被看作是不属于同一直线而相交于一点的两个平面，属于不同的各别的三维空间。

四维几何基础知识.doc

因为一个偶然的原因，我在互联网上搜索四维空间的相关资料，却发现大多数相关文章和资料都是介绍多维方程式，少数的四维几何图形介绍都集中在四维图形动画，和从外文翻译而来的多胞体系列，而我们从中学时代就熟知的直角坐标几何少之又少，这就让我产生了一个想法：自己编写一本关于四维几何基础知识的书.但写成一本书谈何容易，自开篇之后，越写下去越觉得深度之广，决非一年半载能够完成，所以我决定先将其写成系列文章，放之于网上，希望能对有需要之人有所帮助.在〈四维几何基础知识〉系列文章中，有个非常重要的问题要说明，那就是” 多胞体”这个名称用”夬(jue)"字暂代了，成为四维几何形在本文中的称呼.原因之一是，”多胞体” “超球体”，这样的称呼不严谨.我们在中学时代就学过，一维为线，二维为面，三维为体，到了第四维，应该用另一个称呼，不适合再称呼为”某某体”，这是概念上的问题原因之二是使用不便，在互联网上，我只查到”正五胞体”,”正八胞体” 之类几个简单的四维图形名称，再复杂一点的图形就查不到了，而我采用''五体夬”，”正方夬”这一系列的，中国数学几何的传统命名方式，就算不知道新图形的名称，也能按照传统命名规则推算出来.至于这个”夬(ju6)“字，是我在字典里找的，之所以选择这个字，因为它比较生僻，含义少，不会产生歧义，笔划简单适合使用频率比较高的书写•在本人的系列文章中，”夬(jue)"字只是作为四维几何形的代称，不是重新命名.目前四维几何形的正式名称仍是”多胞体”.本人放之于互联网上的〈四维几何基础知识〉系列文章，可供读者免费下载，阅读, 应用；转载或与他人共享请注明出处.本人声明保留由本人所著作的〈四维几何基础知识〉系列文章包含但不限于著作权和知识产权在内的一切权益.＜四维几何基础知识〉系列文章仍在持续的更新中，本人会继续完善现有章节，增加新的章节，编写更多的习题，每次更新之后，会上传互联网上并发布公告，谢谢大家关注.XXx2018. 1更新日志此版本v四维儿何基础知识〉系列文章为第一次更新,时间为201802, 原第二章拆分为＜位置关系＞与＜投影〉两章.增加了新概念:叠（四维高）更正了原第二章例三的错误.修改了一些名称,使其更规范.请关注本人的微博T四维儿何基础知识二以便及时的了解更新信息. 亦欢迎各位网友在微博上帘下意见和建议第一章名词术语和简单的夬 (4)第二章位置关系 (14)第三章投影 (19)第四章面轴 (28)第五章曲体 (33)四维儿何基础知识（201802第一次更新）第一章名词术语和简单的夬名词术语在本章的开始，我们先熟悉一下本系列文章中将要用到的几何名称和相关的术语•首先介绍一下四维坐标系.图中有四个坐标轴，两两垂直，其中xyz轴是我们熟知的,在本文中以这三根轴所代表的三维空间作为参照空间，简称”底空间：以W轴作为第四维的方向，代表第四维的空间，坐标轴已画出部分为轴的正方向,从原点O之后，未画出部分为轴的负方向.木系列文章中设定的"底空间啪代平肓的参照立体空间O・XY乙请大家注意，这个简称会经常用到.本系列文章中设定的”底体”是指四维夬上与底空间最接近的体，其概念与正方体中的底面，正方形中的底边为类似.在本系列文章中，我们约定L表示线段长度,S表示面积,V表示体积,J表示夬积.在三维几何中，方形体通常有三个参数:长，宽，高，分别用字母a,b,h,表示•在四维几何中增加一个新的概念:咽维高”，用唾”字代称,字母为d,寓意为无数个三维物体在第四维方向上叠加，形成四维夬.这个新概念若要精确描述则比较复杂，在这里我们简单的理解成''正方夬的长，宽，高，叠”四个参数之一就可以了.下面初步介绍儿类简单的四维夬.—*＞五体夬正式名称为"五胞体",是四面体的类比•如何得到一个五体夬,有很多种方法，本例用的是"中心牵引法”，为了解释这个方法，我们先看看从三角形得到四面体的过程,下图一是一个四维坐标中的等边三角形.这个正三角形看上去很''歪",比三维坐标中的正三角形还要''歪''，我们要在二维平面中表现四维图形，只能将图形尽量压缩.把正三角形的屮心点连接三个顶点,得到三条线段，这就是要形成的四面体的另三条棱.用一根线”系住”中心点，向上牵引,同时中间三条棱的一端也向上抬升（图二）.当牵引的距离为棱长的w6）/3吋，就得到了一个正四面体（图三）用同样的思路，我们将一个正四面体的中心，连接四个顶点,形成正五体夬的另四条棱,然后把中心点向第四维正方向牵引.（图四）将中心点向第四维正方向牵引距离为棱长的（J 10）/4后，得到一个正五体夬.（图这个图是五个正四面体围合成一个五体夬，但这样挤在一起是很难看清楚的，可以把它”炸开"看看・（图六）这五个体全是正四面体，只是看上去有一些变形.蓝色的''底体”在O-XYZ立体空间中，如果把这个空间看成我们牛活的宇宙空间，另四个带绿棱的正四面体就在我们"摸不着'‘的四维空间中.-＞正方夬有了以上的经验，介绍正方夬的形成就容易多了.先看一个四维坐标中的正方体.将正方体原地复制，整体向第四维轴，即W轴止方向牵引，距离为一个棱长.（图八）幷4VM把两个正方体的八个顶点,一一对应的连接起来，形成了六个正方体，这八个体围合成一个正方夬・（图九）“炸开”看看.（图十）（图十）中的八个正方体,黑色的是底体（在xyz轴的体空间中）,和它在W轴正方向上的平行体,另六个彩色的侧体分别处在x,y,z轴方向上，正负方向各一个,它们都处于W轴正方向的四维空间中,紧靠着底空间，并口各有一个面，与底空间中的底体连接.侧体可以看作是:正方体从底空间向W轴正方向牵引的过程中，六个面所形成的路径.三〉圆夬我们先看看四维坐标中的球体，它看上去是个扁的，（图十一），这是因为坐标的关系, 它在平面显示时被压缩了.现在我们把这个球体想象成无数个"球壳",从大到小，一层层的套在一起，组成了这个实心的球体.用一条线的一端连接球心，连带着这无数个球壳向W轴正方向牵引，在此过程中，球壳从大至小，逐层剥落.注意，剥落的过程不是匀速的,这个值和sin的值有关系，而且这些球壳的面积有一定量的拉伸（图十二）.当牵引的距离达到球的半径R时，所有的球壳剥落完毕,最小的”球壳二就是原来的中心点，现在它移动了R的距离.这些在W轴方向上，按大小顺序排列的无数个球壳,围合成了半个圆夬. 用同样的方法，向W 轴负方向牵引，得到另半个圆夬.（图十三）图十三这个圆夬,看上去还是一个圆球，其实，不论圆周，圆而，圆球，还是圆夬，它们都是圆的，画在纸上不会是其它形状，我们只能将它想象成无数个球体叠加，球半径由底空间的最大圆球开始，向w轴方向以cos值减小.（图十四）图十四四〉参数以上介绍了四维空间中比较简单的三个几何形，下面是它们相关的一些参数・正五体夬5体10面10棱5顶点设棱长为1：侧体高（丁6）/3叠（四维高）（丿10）/4内切圆夬半径（"10）/20外接圆夬半径（"10）/5夬积j=（i/4）*d*V=（ 75）/96其中d为叠（四维高）,V是底体的体积.正方夬8体24面32棱16顶点设棱长为1：内切圆夬半径1/2外接圆夬半径为1夬积1对角体:1*1*（ V2）对角面:P（ V3）对角线2圆夬设半径为r.表体积2（JT A2）（rA3）夬积1/2（兀A2）（rA4）夬积公式夬积有两种计算方法 j 二d*v ； J=S1*S2具体用哪个公式，以所知道的条件来决定. 五〉例题例一:已知一等腰五体夬，它的底体为棱长为1的正四面体,它的外接圆夬半径为2, 求此五体夬的夬积.(图十五)答：设底体的屮心点为P,底体的一个顶点为O,在三维坐标屮，我们可以计算得到棱长为1的正四面体的体积为("2)/12,计算得到OP 的长度为(J 6)/4.在等腰五体夬中,它的叠(四维高)d 是经过外接圆夬夬心的，所以圆夬心C 在叠d 上,CO 为圆夬半径,CP 丄OP,可求得CP=( 758)/4，所以此等腰五体夬的夬积：J=(l/4)d*V=(l/4) *(2+( V 58)/4)*( J 2)/12=( V 2)/24+( J 29)/96例二：用牵引法的原理，验证圆夬的夬积公式.答:我们先用牵引法计算半个圆夬的夬积.半圆夬的底部最大球的体积是(4/3) n R /\3,在牵引的过程中，球半径逐渐变小,球半径r 与牵引距离H 的关系是:rA2+HA 2=RA2,其中R 是最大球的半径，也是圆夬的半径.(图十六)将从大到小的圆球体积累加起来，就能得到半个圆夬的夬积，下面是积分公式:图十六32n4一3R O2H■2R2H■234R2n44R2n12再将J1*2=(1/2)(H A2) (RA4),得到圆夬的夬积公式.第二章位置关系一〉低维理论的升级下面是一些关于四维几何的公设，这些公设若耍证明是非常复杂，但基于我们通常的数学认知，可以认为这些公设是正确的.1＞在四维空间中，一条不与立体空间平行的直线，与此空间有且只有一个交点.2＞在四维空间中，不与立体空间平行的平面，与此空间相交于一条直线.3＞在四维空间中，两个互不平行的立休空间，相交于一个平面.4＞在四维空间中，若立体A平行于立体B,立体B平行于立体C,则立体A平行于立体C.5＞在四维空间中，若直线a垂直于立体V,直线b也垂直于立体V,则直线a 平行于直线b.其实我们之前学习的二维和三维的几何理论，大部分在四维空间中都是适用的•在这里先例举一些，希望能够达到举一・反三的效果.二〉平行三维儿何中平行的概念只包含直线和平面，在四维儿何中平行概念得以进一步扩充，木节讨论育•线与立体平行，平面与立体平行，立体与立体平行.1＞在四维空间中，一条与参照立体空间平行的直线，与此空间是没有交点的.这条直线上的任意一点，到参照立体空间的距离都相等.设直线a平行于立体空间O-XYZ,在直线a上任取两点，作垂直于参照空间的垂线与空间相交于两点,连接此两点形成盲线b,则盲线a平行于肓线b.在参照立体空间内，任何平行于直线b的直线都平行于直线b在空间外的平行直线a.在参照立体空间内，任何平行于直线b的平面都平行于直线b在空间外的平行直一(1) 囲一2＞在四维空间中，与参照立体空间平行的平面，与此空间没有相交线.平面上的任意一点，到参照立体空间的距离都相等.设平面S1平行于立体空间O・XY乙则平面S1内任意育线皆平行于立体空间O-XY 乙在平面S1上任取三点，作垂直于参照空间的垂线与空间相交于三个交点,过此三交点作一平面S2,则平面S2平行于平面S1.在参照立体空间内，任何平行于平面S2的直线都平行于平面S2在空间外的平行平面S1.在参照立体空间内，任何平行于平面S2的平面都平行于平面S2在空间外的平行平面Sl・.图一(2)3>在四维空间中，与参照立体空间平行的立体，与此空间没有相交面.立体上的任意一点，到参照立体空间的距离都相等.设立体VI平行于立体空间O・XY乙则立体VI内任意直线或平面皆平行于立体空间O・XY 乙空间O・XYZ内任意直线或平面也平行于立体VI.在之后的章节，以上概念和推论将直接应用，不会再作相应的叙述.三〉相交本节讨论四维空间中三种相交状况:直线与立体相交，平面与立体相交，立体与立体相交1>肓线与立体相交，有且只有一个交点.在四维空间中有一直线AP与立体空间O-XYZ相交于点P,过点A作垂线垂直于空间O・XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则ZAPB是直线AP与空间O・XYZ 的夹角.特殊情况，当ZAPB等于90度时，直线AP乖直于立体空间O・XYZ,同时也垂直于此空间内所有的肓线和平面.在立体空间O-XYZ内，过点P作平面S垂直于PB,则直线AP也垂直于平面S. 图二⑴因二7^7 —(2)2>平面与立体相交于一条肓线.在四维空间中有一平面S1与立体空间O-XYZ相交于直线L,在平面S1上任取一点A作垂线垂直于直线L且与L相交于点P,过点A作垂线垂直于空间O・XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则ZAPB是平面S1与空间O・XYZ的夹角.当ZAPB等于90度时，平面S1垂直于立体空间O・XY乙在立体空间O-XYZ内，过肓线L作平面S垂直于PB,则平面S1也垂直于平面S. 图二(2) 3>立体与立体相交于一个平面.在四维空间中有一立体VI与立体空间O-XYZ相交于平面S,在立体VI内任取一点A作垂线垂直于平面S且与S相交于点P,过点A作垂线垂肓于空间O-XYZ且与空间相交于点B,连接PB,则PB垂直于平而S,ZAPB是立体VI与空间O-XYZ的夹角. 当ZAPB等于90度时，立体VI垂直于立体空间O・XYZ.例一:求正五体夬表体之间的夹角.答:图三是一个正五体夬,设棱长L=1 .它的表体是五个正四面体，选取其中两个四面体:O・ABC和D-ABC.M T见这两个表体有公共面即三角形ABC.三角形ABC是等边三角形,选取其中心点P,连接DP和OP,则DP垂直于三角形ABC, OP也垂直于三角形ABC, ZOPD就是两表体Z间的夹角.不难求得DP=OP=(J6)/3,OD=1,代入余弦定理得：ZOPD=arccos(l/4)例二：图四是一个四维坐标系，在底空间中有肓线a,b,c,在此空间之外有四面体D-ABC,其中棱AC平行于直线a,棱AD平行于直线b,棱BC平行于直线c,这三条棱不在同一平面上.求证四面体D-ABC平行于底空间•(图四1)证明:首先采用反证法，假设"四面体D-ABC的棱AC不平行于底空间"・延长棱AC 使其与底空间相交于点M,在底空间内，过点M作直线MN平行于直线a,按照四维空间的平行定义，直线MN必平行于直线a的平行线AC,但事实上直线MN与棱AC的延长线相交，所以”棱AC 不平行于底空间”不成立，即棱AC平行于底空间・(图四2)同理可证棱AD,棱BC也平行于底空间.在四面体D-ABC中有三角形的两边AC,BC平行于底空间乙则三角形ABC平行于底空间.设三角形ABC与底空间的距离为d,因为棱AD平行于底空间，所以棱AD到底空间的距离也为d.将三角形ABC作为参照底面，把四面体D-ABC分解成无数个平行于三角形ABC 的三角面,每一个三角面都与棱AD相交•取其中任意一个三角形面A,B,C\点H在棱AD 上,所以点A ，到底空间的距离为d,因为三角形而平行于三角形 ABC 也平行于底空间,所以三角形面ABC 到底空间的距离也为d,这样就可以证得四面体D-ABC 内所有的点到底空间的距离均为d,原题得证.例三：求正方夬中,对角体，对角面,对角线与底体的夹角.(图五)答：1＞从图五(左)中看到，对角体与底体相交于面OABC,对角体是一个长方体，所以 DO 丄面OABC,在底体中,EO 丄面OABC,所以ZDOE 等于对角体与底体的夹角，它的值是兀/4・2＞图五(屮)屮对角面与底体相交于棱OA,对角面为长方形，所以FO 丄OA,因为 FP 垂直于底体交点为P,所以FP 丄OP, PO 丄OA, ZFOP 等于对角面与底体的夹角，它的值是arccos(( V 6)/3).3＞图五(右)中对角线GO 与底体相交于点O, GH 垂直于底体交点为H,所以Z GOH 等于对角线与底体的夹角，它的值是arccos(( V 3)/2)= n /6・四〉与圆夬的位置关系1＞和切这个概念与圆的切线类似，在四维空间中有立体和圆夬相交于一点，定义为此立体与圆夬相切•图六(1)连接圆夬心和相交点的线段，垂直于此立体(也可称Z 为切体).2＞相交立体与圆夬相交,相交部分为一个圆球.若立体是有形状和边界的，则相交部分视实际条件来判定.图六(2)图八⑵3＞外接圆夬外接圆夬的概念类似于立体的外接圆球•因为不在同一平面的四点可以确定一个圆球表面，在圆球外任取一点，和此圆球就可以确定一个圆夬,五体夬有五个顶点, 可以推断任意的五体夬都有一个外接圆夬.图七⑴图六⑴在一个点，到此四维夬所有顶点的距离都相等.4＞内切圆夬内切圆夬的概念类似于立体的内切圆球•已知任意的五体夬和正方夬都有内切圆夬•判断任意四维夬是否有内切圆夬的必要条件，是在此四维夬的内部必须存在一点，到此四维夬所有的表体的距离都相等.图七(2)第三章投影我们所存在的宇宙是三维的，至冃前为止，人类从未进入过高维度的空间，所以不可能对四维空间有感官上的认知•要在有限的条件下了解四维的空间,方法之一就是借助三维儿何体的形状，在逻辑上对四维的儿何形状进行推测.本章主要介绍四维夬在三维空间的投影原理,将投影形成的过程逆向推理，就可以想象其在四维空间的形态.一〉常用的投影计算公式以下是有关三维儿何投影的部分公式：1＞假设有一长度为L的直线与投影面的夹角为0，则投影的长度为L*Cos 0 2＞假设有一面枳为S的平面与投影面的夹角为0，则投影的面积为S*Cos 0把以上公式中的”投影面”改为"”投影立体空间”，便是适用于四维空间的投影公式.以下是类比得到的第三条公式：3＞假设有一体积为V的立体与投影立体空间的夹角为J则投影的体积为V^Cos 0当特殊的情况下e为90度时，以上公式屮的直线，平面，立体皆垂直于投影立体空间,它们的投影分别是点，直线，平面.例一：有一架探测器，它的体积是0.02立方米，把它送到四维空间去做实验,这架探测器进入四维空间后与我们的宇宙空间的夹角是60度，请问这架探测器在宇宙空间的投影体积是多少?(图一)答：V'=Cos 0 *V=Cos( JI /3)*0.02二0.01 立方米-＞平面角的投影平面角在四维空间中的位置状况是多样的，这里我们选取最简单的一种做例子：设某平面角Za 的角平分线垂直于Za所在的平面与投影空间的交线，Za与投影空间的夹角为0 ,Za在投影空间的投影角为ZA,则tan(A/2)=tan(a/2)/cos 0Z A=2arctan(tan(a/2)/cos。

四维空间几何图形——太

四维空间几何图形——太一、几何基本名词：零维空间几何图形曰：点；一维空间几何图形曰：线；几何量曰：长度；二维空间几何图形曰：面；几何量曰：面积；三维空间几何图形曰：体；几何量曰：体积；四维空间几何图形曰：太(取“以太”之意)；几何量曰：太积。

二、修正几何名词上的混乱：原来的“四维空间多面体”，应修正为“多体太”。

三、两种多体太的“四数”：1、五体太：是最简单的多体太。

（1）顶点数：5（2）棱数：10（3）面数：10（4）体数：52、八体太：包含平行八体太、长方太、正方太。

（1）顶点数：16（2）棱数： 32（3）面数： 24（4）体数： 8四、平行八体太、长方太、正方太的几何性质：（1）平行八体太：每个面是平行四边形，每个体是平行六面体；（2）长方太：每个面是矩形，每个体是矩体(长方体或正方体)；（3）正方太：每个面是正方形，每个体是正方体。

五、“太积”的定义：（1）长方太的32条棱分为四组，每组的棱平行且长度相等；（2）长方太四组棱长的代表名称分别用“长a、宽b、高c、极d”表示，其“太积”用“W”表示；（3）长方太的太积=长×宽×高×极，即：W=abcd.（4）长方太的表体积V=2(abc+abd+acd+bcd)；（5）长方太的表面积S=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)；（6）长方太的表棱长L=8(a+b+c+d)。

六、简单多体太的李氏定理：（1）简单多体太的定义：每个面是简单多边形，每个体是简单多面体的多体太，叫简单多体太。

（2）李氏定理：顶点数+面数=棱数+体数。