四维几何基础知识(四)

导读

本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:

第一章名词术语和简单的夬

第二章位置关系

第三章投影

第四章面轴

第五章曲体

这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.

在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.

感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.

作者

四维几何基础知识(201802第一次更新)

第四章面轴

本章内容是分析几何形在四维空间中的旋转,重点介绍四维及以上空间才存在的几何定义:面轴.

“面轴”这个词在字面上是有争议的,在三维几何中,点称为旋转中心,线称为旋转轴,所以在四维空间中,面称为轴是不合适的,轴在现实生活中是一个圆柱体,从古代起就有车轴,磨轴,现代有各种各样的机械轴,轴的概念和形态广为大众所熟知.而“面轴”这个几何概念,如果制作成产品的话，必然是一个夬，是“四维人”使用的“四维机械”，它无法被我们三维人感受和认知，也无法给它取个合适的三维名。所以在本文中暂时取名为“面轴”,以使读者更容易的理解和想象。

一〉面轴的原理

面轴旋转就是以面为轴进行旋转，这样的旋转方式在三维空间是不可行的，因为一个平面就占了二维，而旋转运动也是二维，在三维空间内的几何形如果以面为轴旋转，其结果就是撞到这个面上，所以面轴只能出现在四维及以上空间.而以面为轴的旋转，三维内无法全面的观察，为了描述这个状态，我们先以线轴作为类比。

图一中，OP是线轴，线段AB绕OP旋转.

这个过程，我们可以把线段AB分解成无数个点，每个点作垂直于OP的直线与之相交，这样可以看成每个点都以相交点为圆心，垂线长度为半径做圆周运动。把所有的点连合起来，就是线段AB绕线轴OP旋转

不仅是线段，所有的几何形绕线轴旋转都可以分解成无数个点，每个点垂直于线轴旋转，再把所有的旋转的点整合起来就是此几何形绕线轴旋转的过程。

以上过程类比到面轴，我们就可以得到以面为轴的旋转原理：

若几何形围绕面轴旋转，可以看成此几何形分解成无数个点，每个点作垂直于

该面轴的垂线并相交于交点，每个点都以相交点为圆心，垂线长度为半径旋转，旋转方向为该几何形围绕面轴旋转的方向。把所有的旋转的点整合起来,就是此几何形绕面轴旋转的过程。

这个过程描述比较复杂，但有另外一个描述比较简单，那就是“镜子原理”，把面轴看作是一面镜子，当几何形绕面轴旋转180度后，它的位置和形态就是“镜子中的自己“

二>旋转方向.

因为面轴本身是二维的,所以旋转的方向是360度,这点与一维线轴有区别.当我们确定面轴时,还要说明旋转的方向,这样才能保证旋转轨迹的唯一性.

三>定位线和定位面

在四维空间中,还有以中心点,以线为轴的旋转,这样的旋转最终都要转化为以面为轴的旋转,也需要说明旋转的方向,要实现这一点,就要引入定位线和定位面的概念.我们先看下面的这个例子.

在三维空间O-XYZ中有线段AB绕O点向X轴正方向旋转,求线段AB的旋转轨迹.(图二左)

从例子中所提供的条件,是没办法确定线段AB的旋转轨迹的,必须再加上一个条件:

在线段AB上有一点C,以CO为定位线,向X轴正方向旋转,这样一来线段AB的旋转轨迹就确定了. (图二右)

将定位线的概念引入四维空间,就能得到这样的定义:在四维空间中,有几何形α绕线轴L旋转,在几何形α有一关键点A,经点A和线轴L作一平面,此平面即为定位面.经线轴L作平面S垂直于定位面,则平面S是几何形α的面轴,结合几何形α的旋转方向,就可以确定几何形α的旋转轨迹.

如果几何形绕中心点旋转,必须要求得相对应的定位面和面轴,才能确定几何形的旋转轨迹.

例一: 有一四维空间O-XYZW,在底空间O-XYZ中,有一正方体OABC-DEFG棱长为L,现在以面OABC为定位面,线段OA为轴,将此正方体旋转一周,旋转方向为W轴正方向,求旋转轨迹形成的夬的夬积.(图三)

答:从图中可知,平面OAED垂直于平面OABC, 平面OAED是此正方体旋转的面轴.现在将平面BCGF分解成无数个点,每个点作垂线垂直于面轴OAED,则每条垂线的长度均为L,将所有的垂线绕垂直点旋转一周,可以得到无数个面积为π(L∧2)的圆,而之前的那无数个点,分解自一个面积为(L∧2)的正方形,所以旋转轨迹形成的夬的夬积为:

J=S1*S2=π(L∧2)* (L∧2)= π(L∧4)

新形成的夬是一个圆柱柱夬,它的底体与顶体为圆柱体,侧体为两个圆柱体和一个四维的圆柱面柱体.

例二: 有一四维空间O-XYZW,在底空间O-XYZ中,有一正方体OABC-DEFG棱长为L,现在以面OAFG为定位面,线段OA为轴,将此正方体旋转一周,旋转方向为

W轴正方向,求旋转轨迹形成的夬的夬积.(图四)

OAFG,且相交于线段OA,则平面S为此次旋转的面轴.

把正方体分解成无数点,绕面轴旋转一周形成无数个圆圈,将所有的圆圈集合在一起，就是所求的夬积.而所有的这些点中,与面轴等距离的点组成一个与面轴平行的平面．此题可用积分方法求解.

在正方体中,线段GO垂直于面轴S,也垂直于线轴OA,它的长度为(√2)L. 将正方体分解成无数个平行于面轴S的平面,这些平面分为两部分:在与面轴S的距离处于0和(√2)L/2之间时,面积公式为:

S=(cot(π/4))*H*2*L=2LH

其中H为该平面到面轴S的距离. 与面轴S的距离处于(√2)L/2和(√2)L之间时, 面积公式为:

S=(cot(π/4))*( (√2)L –H)*2*L=2L((√2)L –H)

这样我们可以得到两个积分公式：

计算得到：

J=J1+J2= ((√2) /3)π(L∧4)+ ((2√2) /3)π(L∧4)= (√2)π(L∧4)

这是一个菱环柱夬,它的底体和顶体为菱环体，侧体为2个四维圆锥面柱体和2个四维圆锥台面柱体．

例三: 用面轴旋转的原理验证圆夬的体积公式.(图五)

答:在三维空间中,我们用半个圆面,绕直径旋转一周,就可以得到一个圆球.同样的道理,在四维空间中,用半个圆球,以大圆面作面轴,向第四维方向旋转一周,就能得