计算机数值方法试题

一、填空（共20分，每题2分）
1、设，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____.
2、设一阶差商，
则二阶差商
3、数值微分中，已知等距节点的函数值
则由三点的求导公式，有
4、求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，
那么
5、解初始值问题近似解的梯形公式是
6、，则A的谱半径＝，A的＝
7、设，则＝和
=
8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔
迭代都_____
9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____
10、设，当时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素足条件
时，这种分解是唯一的。

二、计算题（共60 分，每题15分）
1、设
（1）试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足 H（x）以升幂形式给出。

（2）写出余项的表达式
2、已知的满足，试问如何利用构造一个
收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？
3、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？
4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式：
三、证明题
1、设
（1）写出解的Newton迭代格式
（2）证明此迭代格式是线性收敛的
2、设R=I－CA，如果，证明：
（1）A、C都是非奇异的矩阵
（2）
参考答案：
一、填空题
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、收敛
9、O（h）
10、
二、计算题
1、1、（1）
（2）
2、由，可得
因故
故，k=0,1,…收敛。

3、，该数值
求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的
4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分，得
，记步长为h,对积分
用Simpson求积公式得
所以得数值解公式：
三、证明题
1、证明：（1）因，故，由Newton迭代公式：
n=0,1,…
得，n=0,1,…
（2）因迭代函数，而，
又，则
故此迭代格式是线性收敛的。

2、证明：（1）因，所以I–R非奇异，因I–R=CA，所以C，A都是非奇异矩
阵 (2) 故则有
（）因CA=I–R，所以C=（I–R）A-1，即A-1=（I–R）-1C
又RA-1=A-1–C，故
由（这里用到了教材98页引理的结论）
移项得
结合（）、两式，得
模拟试题
一、填空题（每空2分，共20分）
1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有＿＿＿＿＿＿＿收敛
2、迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是＿＿＿
3、已知数 e=...,取近似值 x=,那麽x具有的有效数字是＿＿＿
4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组
的迭代格式中求＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过二次的多项式
6、对于n+1个节点的插值求积公式至少具有＿＿＿次代数精度.
7、插值型求积公式的求积系数之和＿＿＿
8、 ,为使A可分解为A=LL T, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围＿
9、若则矩阵A的谱半径(A)=＿＿＿
10、解常微分方程初值问题的梯形格式
是＿＿＿阶方法
二、计算题（每小题15分，共60分）
1、用列主元消去法解线性方程组
2、已知y=f（x）的数据如下
求二次插值多项式及f（）
3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。

4、欧拉预报--校正公式求解初值问题
取步长k=,计算y,y的近似值,小数点后保留5位.
三、证明题（20分每题 10分）
1、明定积分近似计算的抛物线公式
具有三次代数精度
2、若，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。

参考答案：
一、填空题
1、局部平方收敛
2、< 1
3、 4
4、
5、三阶均差为0
6、n
7、b-a
8、
9、 1 10、二阶方法
二、计算题
1、
2、
3、≈ (精确到 ,即保留小数点后5位)
4、y≈
三、证明题
1、证明：当=1时，公式左边：
公式右边：
左边==右边
当 =x时左边：
右边：左边==右边
当时左边：
右边：左边==右边
当时左边：
右边：左边==右边
当时左边：
右边：
故具有三次代数精度
2、证明：略
数值计算方法试题
一、填空题（每空1分，共17分）
1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。

2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。

3、已知是三次样条函数，则
=( )，=（），=（）。

4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则
( )，( )，当时( )。

5、设和节点则
和。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。

7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。

8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。

9、解初值问题的改进欧拉法是
阶方法。

）时，必有分解式
10、设，当（
其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。

二、二、选择题（每题2分）
1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。

（1）, (2) , (3) , (4)
2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（1），（2），（3），（4），
3、有下列数表
（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次
4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。

(1), (2), (3), (4)
三、1、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：
2、（15
(1)(1) 试用余项估计其误差。

（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。

四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)
对应迭代格式；（3）对应迭代格式。

判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。

选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。

2、（8分）已知方程组，其中
，
（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。

（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。

五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶
龙格—库塔法求的值。

2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足
,,,,
六、（下列2题任选一题，4分）
1、1、数值积分公式形如
（1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。

2、2、用二步法
求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。

数值计算方法试题
一、判断题：（共16分，每小题２分）
１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。

（）
２、当时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。

（）
3、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为。

（）
４、矩阵的２－范数＝９。

（）
5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。

（用）（）
6、设，，且有（单位阵），则有。

（）
7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。

（）
8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：
，则的值分别为2，2。

（）
二、填空题：（共20分，每小题2分）
1、设，则均差
__________，__________。

2、设函数于区间上有足够阶连续导数，为的一个重零点，Newton迭代公式
的收敛阶至少是 __________阶。

３、区间上的三次样条插值函数在上具有直到__________阶的连续导数。

4、向量,矩阵，则
__________，__________。

5、为使两点的数值求积公式：具有最高的代
数精确度，则其求积基点应为__________，__________。

6、设，，则（谱半径）__________。

（此处填小于、大于、等于）
7、设，则__________。

三、简答题：（9分）
1、1、方程在区间内有唯一根，若用迭代公式：，则其产生的序列是
否收敛于？说明理由。

2、2、使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技
术？
3、3、设，试选择较好的算法计算函数值。

四、（10分）已知数值积分公式为：
，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。

五、（8分）已知求的迭代公式为：
证明：对一切，且序列是单调递减的，
从而迭代过程收敛。

六、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多
少？
七、（9分）设线性代数方程组中系数矩阵非奇异，为精确解，，若向量是的一
个近似解，残向量，证明估计式：（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。

八、(10分)设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足
下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并导出其余项。

是以为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，为高斯型求积公式，证明：（1）（1）当时，
（2）
（3）
十、（选做题8分）
若，
互异，求的值，其中。

数值计算方法答案
一、一、填空题（每空1分，共17分）
1、（ 10 ）
2、（）
3、=( 3 )，=（ 3 ），=（ 1 ）
4、( 1 )、 ( )、( )
5、 6 、
6、 9
7、 0 8、9、 2 10、（）、（）
二、二、选择题（每题2分）
1、（(2)）
2、（（1））
3、（（1））
4、（（3））
三、1、（8分）解：
解方程组
其中
解得：所以，
2、（15分）解：
四、1、（15分）解：（1），，故收敛；
（2），，故收敛；
（3），，故发散。

选择（1）：，，，，，
，
Steffensen迭代：
计算结果：，，有加速效果。

2、（8分）解：Jacobi迭代法：
Gauss-Seidel迭代法：
，
SOR迭代法：
五、1、（15分）解：改进的欧拉法：
所以；
经典的四阶龙格—库塔法：
，所以。

2、（8分）解：设为满足条件的Hermite插值多项式，
则代入条件得：
六、（下列2题任选一题，4分）
1、解：将分布代入公式得：
构造Hermite插值多项式满足其中
则有：，
2、解：
所以
主项：该方法是二阶的。

数值计算方法试题
一、（24分）填空题
(1)(1) (2分)改变函数 ()的形式，使计算结果较精确。

(2)(2) (2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求
精确到第3位小数，则需要对分次。

(3)(3) (2分)设，则
(4)(4) (3分)设是3次样条函数，则
a= , b= , c= 。

(5)(5) (3分)若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利
用余项公式估计，至少用个求积节点。

(6)(6) (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式
，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛。

(7)(7) (4分)设,则，。

(8)(8) (2分)若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝
对稳定，则步长h的取值范围为
二. (64分)
(1)(1) (6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，
并证明其收敛性。

(2)(2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近
似值，并利用余项估计误差。

(3) (10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项
(4)式。

(5)(4) (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求
误差限为。

(6)(5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组：
(7)(6) (8分)求方程组的最小二乘解。

(8)(7) (8分)已知常微分方程的初值问题：
用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。

三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)
(1)(1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：
，，，，
(2)(2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，
并求出其代数精度：
(3)(3) (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单
位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于，取特征向
量的初始近似值为。

(4)(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题
的形式为,i=1,2,…,N
的公式，使其精度尽量高，其中, , i=0,1,…,N,
(5)(5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题
所得到的三对角线性方程组。

数值计算方法试题答案
一、一、判断题：（共10分，每小题２分）
1、（Ⅹ）
2、（∨）
3、（Ⅹ）
4、（∨）
5、（Ⅹ）
6、（∨）
7、（Ⅹ）
8、（Ⅹ）
二、二、填空题：（共10分，每小题2分）
1、、0
2、__二___
3、__二___
4、_16 、90__
5、
6、 =
7、0
三、三、简答题：（15分）
1、1、解：迭代函数为
2、2、答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素全不
为0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，但若主元素的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素=0或很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。

3、3、解：
四、四、解：显然精确成立；
时，；
时，；
时，；
时，；
所以，其代数精确度为3。

五、五、证明：
故对一切。

又所以，即序列是单调递减有下界，
从而迭代过程收敛。

六、六、解：是。

因为在基点1、2处的插值多项式为。

其代数精度为1。

七、七、证明：由题意知：
又
所以。

八、解：设
所以
由得：
所以
令，作辅助函数
则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：
反复利用罗尔定理可得：，
所以
九、九、证明：形如的高斯（Gauss）型求积公式具有
最高代数精度2n+1次，它对取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立
1）
2）因为是n次多项式，且有
所以()
3）取，代入求积公式：因为是2n次多项式，
所以
故结论成立。

十、十、解：
数值计算方法试题
一、（24分）填空题
(9)(1) (2分)改变函数 ()的形式，使计算结果较精确。

(10)(2) (2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求
精确到第3位小数，则需要对分次。

(11)(3) (2分)设，则
(12)(4) (3分)设是3次样条函数，则
a= , b= , c= 。

(13)(5) (3分)若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利
用余项公式估计，至少用个求积节点。

(14)(6) (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式
，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛。

(15)(7) (4分)设,则，。

(16)(8) (2分)若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝
对稳定，则步长h的取值范围为
二. (64分)
(9)(1) (6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，
并证明其收敛性。

(10)(2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近
似值，并利用余项估计误差。

(11)(3) (10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。

(12)(4) (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求
误差限为。

(13)(5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组：
(14)(6) (8分)求方程组的最小二乘解。

(15)(7) (8分)已知常微分方程的初值问题：
用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。

三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)
(6)(1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：
，，，，
(7)(2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，
并求出其代数精度：
(8)(3) (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单
位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于，取特征向量的初始近似值为。

(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题
的形式为,i=1,2,…,N
的公式，使其精度尽量高，其中, ,
(9)i=0,1,…,N,
(10)(5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题
所得到的三对角线性方程组。

数值计算方法试题答案
一.(24分)
(1) (2分) (2) (2分) 10
(3) (2分) (4) (3分) 3 -3 1 (5) (3分) 477
(6) (6分) 收敛
(7) (4分) 9 91 (8) (2分) h<
二. (64分)
(1) (6分)，n=0,1,2,…
∴ 对任意的初值,迭代公式都收敛。

(2) (12分) 用Newton插值方法：差分表：
10+(115-100)(115-100)(115-121)
=
(3) (10分)设
，，，，，
， ,
=+
(4) (10分)
或利用余项：
，，
(5) (10分)
(6) (8分) ，，
若用Householder变换，则：最小二乘解：，T.
(7) (8分)
，
三. (12分)
(1) 差分表：
其他方法：设
令，，求出a和b
(2) 取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：
，，
f(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5, 公式右=5/24∴ 公式的代数精度=2
(3) ①, ,
②, , ，
③, , ，
∴，
(4) 局部截断误差=
令，得，，
计算公式为，i=0,1,2,…
( 局部截断误差= )
(5) 记,,,,,
,i=0..N
, i=1..N-1
即, i=1..N-1 (1)
,与(1)取i=1的方程联立消去y2得
(2)
，与(1)取i=N-1的方程联立消去y N得
(3)
所求三对角方程组：方程(2)，方程组(1)(i=1..N-2)，方程(3)。