2017年杭二中实验班选拔考试数学卷(含答案)

PE 2
（2）求证：
PC 2
PF ；（3）当⊙ O 与⊙ O' 为等圆时，且 PC : CE : EP PB
3 : 4 : 5 时，求 PEC 与
FAP 的面积的比值。
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2017 年杭州市第二中学实验班选拔考试答案及评分标准
一、1～8 DDDC AACD
2 题解析： 正多边形和圆．
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解答： 解：作三边的中垂线，交点 P 肯定是其中之一，以 B 为圆心，BA 为半径画圆，交 AC 的中垂线于 P1、P2 两点，作△P2AB、△P2BC、△P2AC，它们也都是等腰三角形，因此 P1、P2 是具有题目所 说的性质的点； 以 A 为圆心，BA 为半径画圆，交 AC 的中垂线于点 P3、P3 也必具有题目所说的性质．
BC 2
而
AC 2
S OBC S OCA
OB OC
3
故 BC 3 AC
（2）因为 C 是 BP 的中点 OC BC 从而 C 点的横坐标为 3
又 OC 2 3
C(3, 3)
设直线 BP 的解析式为 y kx b ，因其过点 B(6,0) ， C(3, 3) ，则有
0 6k b 3 3k b
1
2
x
1 3
y
1 4
z
120
90
1 12
(3x
y)
z 60
总产值 A 4x 3y 2z 2(x y z) (2x y) 720 (3x y) x 1080 x
z 60 x 360 3x 300
x y 300 x 30
而 3x y 360
A 1050 即 x 30
根据圆内接正三角形的性质以及正方形的性质分别用圆的半径表示出两图形面积，即可得出答案． 解：连接 OG，CO，过点 O 作 OM⊥BC 于点 M， 设⊙O 的半径为 r， ∵△ABC 是⊙O 的内接正三角形， ∴∠OCM=30°， ∴OM= CO= r，CM= r，
∴△ABC 的高的长度为： r， BC= r， ∴a= × r× r= r2， 设正方形 DEFG 的边长为：x， 则 OF= ，
则具有该性质的点有（ ）
A．1 个
B．7 个
C．10 个
D．无数个
8、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x% ，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了 x% ，
则第三季度的产值比第一季度增长了
（）
A、 2x%
B、1 2x%
C、 (1 x%) x%
D、 (2 x%) x%
二、填空题（ 5 8 40 分）
设 PC 3x,CE 4x, EP 5x
EP 2 PC 2 CE 2 PF 2 PA2 FA2 AE 为⊙ O 的直径， AF 为⊙ O' 的直径 ⊙ O 与⊙ O' 等圆 AE AF 4 y
C CAF 900
AC 2 CE 2 AE 2 (3x 3y)2 (4x)2 (4 y)2 即
y1 ') 、 Q2 (x2 ',
y
2
'
)
、…、
Q2007
(
x' 2007
,
y' 2007
)
，则
P Q 2007 2007
5、如右图，圆锥的母线长是 3 ，底面半径是1， A 是底面圆周上一点，从 A 点出发绕侧面一周，再回到 A
点的最短的路线长是
6、有一张矩形纸片 ABCD ， AD 9 ， AB 12 ，将纸片折叠使 A 、 C 两点重合，那么折痕长是
7、已知 3 、 a 、 4 、 b 、 5 这五个数据，其中 a 、 b 是方程 x 2 3x 2 0 的两个根，则这五个数据的标
准差是
8、若抛物线 y 2x 2 px 4 p 1中不管 p 取何值时都通过定点，则定点坐标为
三、解答题
17、（15 分）设 m 是不小于 1的实数，关于 x 的方程 x 2 2(m 2)x m2 3m 3 0 有两个不相等的
由于
，利用幂的性质，即可求得 y 的值，则可得 x 的值， ，由此可以得到 1＜
S= 解：当 k=2，3…99， 因为
，然后即可求出 4S 的整数部分． ，
所以 1＜S=
．
于是有 4＜4S＜5， 故 4S 的整数部分等于 4． 故选 A． 此题主要考查了部分分式的计算，解题的关键是利用了
．
7 题解析：
m(m 1)
22
(1 m 1)
m 1 y 取最大值为10
18、（15 分）
解：（1）由题设知 a 0 ，且方程 ax 2 8ax 12a 0 有两二根 x1 2, x2 6 于是 OA 2,OB 6
OCA ∽ OBC OC 2 OA OB 12 即 OC 2 3
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20、（10 分）一个家庭有 3 个孩子，（1）求这个家庭有 2 个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有
一个男孩的概率。
21、（15 分）如图，已知⊙ O 和⊙ O' 相交于 A 、 B 两点，过点 A 作⊙ O' 的切线交⊙ O 于点 C ，过点 B 作
两圆的割线分别交⊙ O 、⊙ O' 于 E 、F ，EF 与 AC 相交于点 P ，（1）求证：PA PE PC PF ；
k
3 3
b 2 3
y 3x2 3 3
又点 C(3, 3) 在抛物线上 3 9a 24a 12a
a 3 3
抛物线解析式为： y 3 x 2 8 3 x 4 3
3
3
19源自文库（15 分）
解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为 x 台、 y 台、 z 台，则有
x y z 360
解：方程有两个不相等的实数根
4(m 2)2 4(m2 3m 3) 4m 4 0
m 1
由题意知： 1 m 1
（1） x12 x2 2 (x1 x2 )2 2x1x2 4(m 2)2 2(m2 3m 3) 2m2 10m 10 6
m 5 17 2
25x2 18xy 7 y2 0 即 (25x 7 y)(x y) 0
x 7 y 25
S ECP
: S FAP
x2 y2
49 625
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在等边△ABC 所在平面内有一点 P，使得△PBC、△PAC、△PAB 都是等腰三角形，则具有该性质的点有
（）
A．1 个
B．7 个
C．10 个
D．无数个
考点： 等腰三角形的判定． 菁优网版 权所有
分析： 过 B 点作△ABC 的中垂线，可知在三角形内有一点 P 满足△PBC、△PAC、△PAB 都是等腰三角 形，根据等腰三角形的性质可以做两个圆，圆 B 和圆 A，从而可以得出一条中垂线上有四个点满足 △PBC、△PAC、△PAB 都是等腰三角形，而三角形内部的一点是重合的，所以可以得出共有 10 个点．
2017 年杭州市第二中学实验班选拔考试
数学卷
注意：(1) 试卷共有三大题 21 小题，满分 150 分，考试时间 100 分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.
一、选择题（ 5 8 40 分）
1、如图，ABC 中，D 、E 是 BC 边上的点，BD : DE : EC 3 : 2 :1，M 在
b， 的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
3、抛物线 y ax 2 与直线 x 1， x 2 ， y 1， y 2 围成的正方形有公共点，则实数 a 的取值范围是
()
A、 1 a 1 4
B、 1 a 2 2
C、 1 a 1 2
D、 1 a 2 4
4、若 x＞1，y＞0，且满足
，则 x+y 的值为（ ）
1 m 1
m 5 17 2
（2） mx12 1 x1
mx2 2 1 x2
m[x12 x2 2 x1x2 (x1 x2 )] m(2m3 8m 2 8m 2)
(1 x1 )(1 x2 )
m2 m
2m(m 1)(m2 3m 1) 2(m2 3m 1) 2(m 3)2 5
AC 边 上 ， CM : MA 1 : 2 ， BM 交 AD 、 AE 于 H 、 G ， 则
BH : HG : GM 等于
()
A、 3 : 2 :1 B、 5 : 3 :1 C、 25 :12 : 5 D、 51 : 24 :10
2、已知△ABC 是⊙O 的内接正三角形，△ABC 的面积等于 a，DEFG 是半圆 O 的内接正方形，面积等于
E F
AF // CE
PE PC PF PA
PA PE PC PF
①
（2）证明：在⊙ O 中， PB PE PA PC
②
①×②得 PA PE 2 PB PA PC 2 PF
PE2 PF PC 2 PB
（3）连结 AE ，由（1）知 PEC ∽ PFA ，而 PC : CE : EP 3 : 4 : 5 PA : FA : PF 3 : 4 : 5
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19、（15 分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120 个工时计算） 生产空调器、彩电、冰箱共 360 台，且冰箱至少生产 60 台，已知生产这些家电产品每台所需工时和
每台产值如下表
家电名称
空调
彩电
冰箱
1
1
1
工时
2
3
4
产值（千元） 4
3
2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？
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依此类推，在△ABC 的其余两条中垂线上也存在这样性质的点，所以这些点一共有： 3×3+1=10 个．
故选：C．
二、9、
x1
y1
26 0
或
x
2
y2
2 28
10 、 a 0
14、 45 4
15、 2
16、 (4,33)
b0
11、1
12、 4013 2
13、 3 3
三、17、（15 分）
∴r2=x2+（ ）2，
解得：x2= r2，
∴b= r2，
∴=
=
．
故选：D．
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4 题解析： 首先将 xy=xy 变形，得 y=xy﹣1，然后将其代入
代入 x+y 求得答案． 解：由题设可知 y=xy﹣1， ∴x=yx3y=x4y﹣1， ∴4y﹣1=1．
故，
从而 x=4．
于是
．
故选 C． 5 题解析：整体思想．
P1 、 P2
、 P3 、…、 P2007 在反
比例函数
y
6 x
上，它们的横坐标分别为
x1 、 x2
、 x3 、…、 x2007 ，纵坐标分别是1、
3 、 5 …共 2007 个连续奇数，过 P1 、 P2 、 P3 、…、 P2007 分别作 y 轴的平行线，与
y
3 x
的图象交点依次为 Q1 (x1 ',
实数根 x1 、 x2 ，（1）若 x12
x22
6 ，求 m r
值；（2）求 mx12 1 x1
mx2 2 1 x2
的最大值。
18、（15 分）如图，开口向下的抛物线 y ax 2 8ax 12a 与 x 轴交于 A 、B 两点，抛物线上另有一点 C 在第一象限，且使 OCA ∽ OBC ，（1）求 OC 的长及 BC 的值；（2）设直线 BC 与 y 轴交于 P 点， AC 点 C 是 BP 的中点时，求直线 BP 和抛物线的解析式。
y 270
z 60
20、（10 分）
解：用 B 和 G 分别代表男孩和女孩，用“树状图”列出所有结果为：
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这个家庭有 2 个男孩和1个女孩的概率为 3 。这个家庭至少有一个男孩的概率 7 。
8
8
21、（15 分）
解：（1）证明：连结 AB
CA 切⊙ O' 于 A CAB F
CAB E
3 x 1 3 y 1 2
1、方程组 x y 26
的解是
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2、若对任意实数 x 不等式 ax b 都成立，那么 a 、 b 的取值范围为
3、设 1 x 2 ，则 x 2 1 x x 2 的最大值与最小值之差为 2
4、两个反比例函数
y
3 x
，
y
6 x
在第一象限内的图象点
A．1
B．2
C．
D．
5、设 A．4
，则 4S 的整数部分等于（ ）
B．5
C．6
D．7
6、如图，正方形 ABCD 的边 AB 1， 和 都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之
差是 ( )
A、
1
2
B、1 4
C、
1
3
D、1 6
7、在等边△ABC 所在平面内有一点 P，使得△PBC、△PAC、△PAB 都是等腰三角形，