指数函数典型例题解析

指数函数·例题解析

【例1】求下列函数的定义域与值域：

(1)y3(2)y(3)y

1

2x

＝＝＝

-+-

--

2133

21

x x

解(1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．

(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．

(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，

∴值域是≤＜．

0y3

【例2】指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是

[ ] A．a＜b＜1＜c＜d

B．a＜b＜1＜d＜c

C．b＜a＜1＜d＜c

D．c＜d＜1＜a＜b

解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．

【例3】比较大小：

(1)2

(2)0.6

、、、、的大小关系是：．

24816

3

2

3589

4

5

1

2

--

()

(3)

解(1)

y221()

x

∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，

又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．

22224282162

1

3

3

8

2

5

4

9

1

2

284162

1

23

1

35

2

58

3

89

4

9

3859

=====

解 (2)0.6110.6∵＞，＞，

∴＞．

----

45

12

451

232

32

()()解 (3)借助数打桥，利用指数函数的单调性，，作函数y 1＝，y 2＝的图像如图2．6－3，取x ＝，得

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同

底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与同底与同指数的特点，即为或，如例2中的(3)．

【例4】解

比较大小与＞且≠，＞．

当＜＜，∵＞，

＞，

a a a a

a

n n n n n n n

n n n

n n -+-+-=-111

1

111

1(a 0a 1n 1)0a 1n 10()

()

∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞a a a n n a

a a n n n n n n n n n n n n 1111

1111

1

1()

()

()--+--+-1a 1n 101

【例5】作出下列函数的图像：

(1)y (2)y 22x ＝＝－，()1

2

1

x +

(3)y ＝2|x-1|

(4)y

＝|1－3x|

解 (1)y(264)(0)(11) y1

＝的图像如图．－，过点，及－，．是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．

()

()

1

2

1

2

1

2

1

x

x

+

解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2

个单位得到的．

解(3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移

1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．

解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再

把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把

x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7) 【例6】

解

求函数＝的单调区间及值域．

令＝－＋，则＝是关于的减函数，而＝－

－＋

y

u x5x6y u u x5x

x25x6

22

()

()

3

4

3

4

u

＋在∈∞，上是减函数，在∈，∞上是增函数．∴函数＝的单调增区间是∞，，单调减区间是，∞．－＋

6x x

y x25x6

(][)

()(][)

-+

-+

5

2

5

2

3

4

5

2

5

2

又∵＝－＋＝≥，

函数＝，在∈，∞上是减函数，

所以函数＝的值域是，．

－＋

u x5x6

y u

y

2

x25x6

()

()[)

()(]

x

u

---

-+

5

2

1

4

1

4

3

4

1

4

3

4

108

3

2

4

【例7】

解

求函数＝＋≥的单调区间及它的最大值．＝，令＝，∵≥，∴＜≤，又∵＝是∈，＋∞上的减函数，函数＝

y1(x0)

y u x0 0u1u x0)y

()()

[()]()[()]()

()[()

1

4

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

3

4

1

2

1

2

1

2

22

2

x x

x x x x

x u

-

-+=-+

-

+

-

3

4

1

2

1

2

1

2

1

2 1

2

1

2

1

4

1

2在∈，上为减函数，在，上是增函数．但由＜≤得≥，由≤≤，得≤≤，∴函数＝＋单调增区间是，＋∞，单调减区间，

u1)0 x110x1y1

1)[01]

(][()

()()()

[

x

x x x

当x＝0时，函数y有最大值为1．

【例8】已知＝＞

f(x)(a1)

a

a

x

x

-

+

1

1

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)的值域；

(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．

解(1)定义域是R．

f(x)f(x)

－＝＝－，

a

a

a

a

x

x

x

x

-

-

-

+

=-

-

+

1

1

1

1

∴函数f(x)为奇函数．