高考数学单元考点复习数列复习小结(1)

数列复习小结（1）

教学目的：

1．系统掌握数列的有关概念和公式2．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系．

3．能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ．

授课类型：复习课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、

等比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前n 项和通项定义数列正整数集上函数及性质数列知识结构

二、知识纲要

(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．

(2)等差、等比数列的定义．

(3)等差、等比数列的通项公式．

(4)等差中项、等比中项．

(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．

三、方法总结

1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．

2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．

3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．

4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．

四、等差数列

1相关公式：

（1） 定义：),1(1为常数d n d a a n n ≥=-+

（2）通项公式：d n a a n )1(1-+=

（3）前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2

)1(2)(11-+=+= （4）通项公式推广：d m n a a m n )(-+=

2.等差数列}{n a 的一些性质

（1）对于任意正整数n ，都有121a a a a n n -=-+（2）}{n a 的通项公式2()(2112a a n a a a n -+-=（3）对于任意的整数s r q p ,,,，如果s r q p +=+，那么r q p a a a a +=+

（4）对于任意的正整数r q p ,,，如果q r p 2=+，则q r p a a a 2=+

（5）对于任意的正整数n>1，有12-++=n n n a a a

（6）对于任意的非零实数b ，数列}{n ba 是等差数列，则}{n a 是等差数列

（7）已知}{n b 是等差数列，则}{n n b a ±也是等差数列

（8）}{},{},{},{},{23133122---n n n n n a a a a a 等都是等差数列

（9）n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等差数列，即)(323m m m S S S -= （10）若)(n m S S n m ≠=，则=+n n S

（11）若p S q S q p ==,，则(q p S q p +-=+（12）bn an S n +=2，反之也成立

五、等比数列

1相关公式：

（1）定义：0,1(1≠≥=+q n q a a n n （2）通项公式：1-=n n q a a

（3）前n 项和公式：⎪⎩

⎪⎨⎧≠--==q 1)1(1q 11q q a na S n n

（4）通项公式推广：m n m n q a a -=

2.等比数列}{n a 的一些性质

（1）对于任意的正整数n ，均有121a a a n n =+ （2）对于任意的正整数s r q p ,,,,如果s r q p +=+，则s r q p a a a a =

（3）对于任意的正整数r q p ,,，如果r p q +=2，则2

q r p a a a = （4）对于任意的正整数n>1,有12

+-=n n n a a a （5）对于任意的非零实数b ，}{n ba 也是等比数列

（6）已知}{n b 是等比数列，则}{n n b a 也是等比数列（7）如果0>n a ，则}{log n a a 是等差数列

（8）数列}{log n a a 是等差数列，则}{n a 是等比数列

（9）}{},{},{},{},{23133122---n n n n n a a a a a 等都是等比数列

(10)n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，

①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列.

②当q ≠－1或k 为奇数时，k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列

六、数列前n 项和

（1）重要公式：

2

)1(321+=+++n n n Λ； 6)12)(1(3212222++=

+++n n n n Λ； 2333)]1(21[21+=++n n n Λ （2）等差数列中，mnd S S S n m n m ++=+

（3）等比数列中，n m m m n n n m S q S S q S S +=+=+

（4）裂项求和：1

11)1(1+-=+n n n n ；（!)!1(!n n n n -+=⋅）

七、例题讲解

例1 一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项．

选题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式．

解：设等差数列为｛a n ｝，公差为d ，等比数列为｛b n ｝,公比为q .

由已知得：a 1=b 1=1,813692)(99919=⇒=+=a a a S 又b 9＝ａ9，∴ｑ8＝81，∴ｑ2＝３，

∴b 7＝ｂ1ｑ6＝27，即等比数列的第7项为27．

说明：本题涉及的量较多，解答要理清关系，以免出错． 例2 已知数列}{n a 的前n 项和1+n S =4n a +2(n ∈N ＋)，a 1=1.

(1)设n b =1+n a -2n a ,求证：数列}{n b 为等比数列，

(2)设C n =n n a 2

,求证：}{n C 是等差数列． 选题意图：本题考查等差、等比数列的定义及逻辑推理能力．

证明：(1) 1+n S =4n a +2, 2+n S =41+n a +2,相减得2+n a =41+n a -4n a ,

),2(22112n n n n a a a a -=-∴+++,21n n n a a b -=+又.21n n b b =∴+

,1,2411212=+=+=a a a a S 又,32,51212=-==∴a a b a

∴}{n b 是以3为首项，2为公比的等比数列，∴n b =3×２

1-n . (2) ∵,2

n n n a C = n n n n n n a a C C 22111-=-∴+++1122++-=n n n a a 12

+=n n b 4322311=⨯=+-n n 2

1211==a C ∴}{n C 是以21为首项，4

3为公差的等差数列． 说明：一个表达式中既含有n a 又含有Ｓｎ，一般要利用

n a ＝n S －1-n S （ｎ≥２），消去n S 或n a ，这里是消去了n S ．