高三一轮复习函数的单调性

必须证明对区间[a，b]上任意的两个自变量的值 x1，x2，当
x1<x2时，都有不等式f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)．若要证明f(x)在 区间[a，b]上不是单调函数，只要举出反例即可，即只要找 到两个特殊的x1、x2不满足定义即可．
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1．函数 y＝ x2＋2x－3的单调递减区间是 ( A．(－∞，－3] C．(－∞，－1) B．[1，＋∞) D．[－1，＋∞)
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[解] ①当 a>1 时， u＝x3－ax， 设 y＝logau 为递增函 1 数，根据复合函数单调性，u 在－2，0为增函数且 u>0， 1 2 2 则 u′＝3x －a≥0，即 a≤3x 在－2，0恒成立． a≤(3x2)min，即 a≤0(舍去)．
只要g(1)>0，即2－a>0，
得a<2，∴1<a<2. 答案：B
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[例 4] 已知函数 f(x)的定义域是(0， ＋∞)， x>1 时， 当 f(x)>0，且 f(x· y)＝f(x)＋f(y)． (1)求 f(1)； (2)证明 f(x)在定义域上是增函数； 1 1 (3)如果 f( )＝－1，求满足不等式 f(x)－f( )≥2 的 x 3 x－2 的取值范围．
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②当 0<a<1 时，y＝logau 为减函数， 1 u 在－2，0为减函数且 u>0，则 u′＝3x2－a≤0 1 在－2，0恒成立，即 a≥(3x2)max， 1 ∴a≥3· 22. － 3 ∴a≥ ，u>0，须使 umin>0，u(0)＝0. 4 1 3 ∴u 在－2，0上恒大于 0，∴ ≤a<1，故选 B. 4
调性．
1 (1)y＝x －3|x|＋ ； 4 1x2－x (2)y＝ . 3
2
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解：
32 32 (1)∵y＝x－2 －2，x≥0，x＋2 －2，x<0， 3 3 ∴由图象可知，y 在－∞，－2及0，2上为减函数， 3 3 在－2，0及2，＋∞上为增函数．
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3．复合函数单调性的判断方法 如果y＝f(u)和u＝g(x)单调性相同，那么y＝f(g(x))是 增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么f(g(x))是 减函数．
注意：(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，
因此求函数的单调区间需先求定义域． (2)若要证明f(x)在区间[a，b]上是递增或者递减的就
2
A．(－1,0)∪(0,1) C．(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1] D．(0,1]
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解析： f(x)＝－x2＋2ax 得对称轴为 x＝a， 由 且在[1,2] 上是减函数，所以 a≤1. a 又由于 g(x)＝ 在[1,2]上是减函数，所以 a>0. x＋1 综合得 a 的取值范围为(0,1]．
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[拓展提升]
运用定义法判定函数的单调性是一种常
见方法，解题时应注意：一强调x1、x2在相应区间的任意性； 二分析清楚变形后式子的符号；运用导数法判定函数的单 调性也是一种常见方法，此方法显得简便些．
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若 f(x)在区间 M 上是减函数，且 f(x)>0，则下列函 数在区间 M 上是增函数的是 ( ) 1 f(x) A．y＝2 B．y＝ 2f(x) C．y＝ f(x) D．y＝log2f(x)
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ax [例 1] 判断函数 f(x)＝ 2 (a≠0)在区间(－1,1)上的 x －1 单调性．
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[解] 解法 1：任取－1<x1<x2<1，则 f(x1)－f(x2)＝ a(x1x2＋1)(x2－x1) (x1x2＋1)(x2－x1) .因为 2 >0，所以 a>0 时， (x2－1)(x2－1) (x1－1)(x2－1) 1 2 2 函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；a<0 时，函数 f(x)在(－1,1) 上单调递增．
答案：B
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[例2] 单调区间．
设a>0，且a≠1，试求函数y＝loga(4＋3x－x2)的
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[解] 函数 y＝loga(4＋3x－x2)的定义域为(－1,4)， 3 2 25 2 令 u＝4＋3x－x ＝－ x－2 ＋ ，u＝4＋3x－x2 在 4 3 －1， 2 3 上单调递增， 在区间2，4上单调递减， 所以当 3 2 0<a<1 时，函数 y＝loga(4＋3x－x )在－1，2上单 3 调递减，在2，4上单调递增，当 a>1 时，函数 y 3 3 2 ＝loga(4＋3x－x )在－1，2上单调递增，在 2，4 上单调递减．
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1．函数的单调性 对于给定区间I上的函数f(x)及属于这个区间I的任意两 个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，如果都有f(x1)<f(x2)，那么 就说f(x)在给定区间上是增函数，这个区间就叫做这个函数 的 单调递增 区间；如果都有f(x1)>f(x2)．那么就说f(x)在给 定区间上是减函数，这个区间就叫做这个函数的 单调 递减 区间．反映在图象上，若函数f(x)是区间I上的增(减) 函数，则图象在I上的部分从左到右是上升(下降)的．
解析：a是对数的底数，所以a>0，设g(x)＝2－ax，则 g(x)在区间[0,1]上是减函数．
设u＝2－ax，由于y＝loga(2－ax)是区间[0,1]上的减函
数． 所以y＝logau是增函数．故a>1.
还要使2－ax>0在区间[0,1]上总成立，即g(x)>0在区间
[0,1]上总成立， 由于g(x)是减函数，x＝1时g(x)有最小值．
2
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[例 3] 若函数 f(x)＝loga(x3－ax)(a>0，a≠1)在区 1 间(－ ，0)内单调递增，则 a 的取值范围是 ( ) 2 1 3 A.4，1 B.4，1 9 9 C.4，＋∞ D.1，4
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1 2 1 1 2 1 (2) 设 t ＝ x － x ＝ x－ 2 － 4 ， ∵t ＝ x－ 2 － 4 在 1 1 1 －∞， 上为减函数，在 ，＋∞上为增函数，又 y＝ t 2 2 3 1x2－x 在(－∞，＋∞)上为减函数，∴y＝ 的单调递增区间 3 1 1 为－∞， ，单调递减区间为 ，＋∞. 2 2
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[分析]
(1)的求解是容易的；对于(2)，应利用函数单
调性的定义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用； 对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适 当配凑，将所给不等式化为f[g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x) 的单调性来求解．
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第三节
函数的单调性
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考 1.了解函数单调性的概念． 纲 2．掌握判断一些简单函数单调性的方法，并能 要 利用函数的单调性解决一些问题． 求 考 1.求函数的单调区间或判断函数在某个区间内的 试 单调性． 热 2．给出一个含有字母参数的函数在某个区间内 点 的单调性，求参数的取值范围.
[答案] B
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[拓展提升]
此题应用了分类讨论的思想，并用求导
的方法来讨论其单调性．
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已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值
范围是
A．(0,1) C．(0,2) B．(1,2) D．[2，＋∞)
(
)
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答案：D
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3．函数f(x)＝ax－1＋logax(a>0且a≠1)，在[1,2]上的最大源自文库值与最小值之和为a，则a的值为________．
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解析：函数y＝ax－1 和y＝logax在公共定义域内具有相 同的单调性，在[1,2]区间上的最值对应着函数的最值，故 (a1－1 ＋loga1)＋(a2－1 ＋loga2)＝1＋a＋loga2＝a，可得loga2 ＝－1，求得
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解析：四个选项中的函数可分别看作是由 y＝2u 1 和 u＝f(x)、 2u 和 u＝f(x)、 y＝ y＝ u和 u＝f(x)、 y＝log2u 和 u＝f(x)复合而成的， 根据复合函数的单调性规律可 1 确定函数 y＝2f(x)符合题意．
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[拓展提升]
要熟练掌握常用初等函数的单调性和复
合函数的单调性，一次函数的单调性决定于一次项系数的 符号；二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称 轴的位置；指数函数、对数函数的单调性决定于底数的范 围(大于1或小于1且大于零)．
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求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单
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(1)[解] 令 x＝y＝1，得 f(1)＝2f(1)，故 f(1)＝0. 1 1 (2)[证明] 令 y＝ ，得 f(1)＝f(x)＋f( )＝0， x x 1 故 f( )＝－f(x)．任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2， x 1 x2 则 f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f( )＝f( )． x1 x1 x2 x2 由于 >1，故 fx >0，从而 f(x2)>f(x1)． x1 1 ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
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1 4．如果二次函数 f(x)＝x －(a－1)x＋5 在区间( ，1) 2 上是增函数，求 f(2)的取值范围．
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1 解：二次函数 f(x)在区间( ，1)上是增函数， 2 由于其图象(抛物线)开口向上， a－1 1 1 故其对称轴 x＝ 或与直线 x＝ 重合或位于直线 x＝ 2 2 2 a－1 1 的左侧，于是 ≤ ，解得 a≤2， 2 2 故 f(2)＝－2a＋11≥－2×2＋11＝7，即 f(2)≥7.
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2．判断函数单调性的常用方法 (1)定义法；(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数； 一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)互 为反函数的两个函数具有相同的单调性；(4)奇函数在对称 的两个区间上具有相同的单调性，而偶函数在对称的两个 区间上则具有相反的单调性；(5)利用导数的理论去研究．
)
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解析：∵x2＋2x－3≥0， ∴x≤－3 或 x≥1，排除 C，D. 又 x2＋2x－3＝(x＋1)2－4 在(－∞－1]上单调递减， ∴y＝ x2＋2x－3在(－∞，－3]上单调递减．
答案：A
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a 2． f(x)＝－x ＋2ax 与 g(x)＝ 若 在区间[1,2]上都是减 x＋1 函数，则 a 的取值范围是 ( )
－a(x2＋1) 解法 2：对 f(x)求导，有 f ′(x)＝ 2 2 ，因为 x∈ (x －1) (－1,1)， 所以(x2－1)2>0， 2＋1>0， x 所以当 a<0 时， ′(x)>0， f f(x)在(－1,1)上单调递增，当 a>0 时，f ′(x)<0，f(x)在(－1,1) 上单调递减．