高考数学单元考点复习等比数列的前n项和(2)

3.5 等比数列的前n 项和（2）

教学目的：

1.会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的

q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题

2.提高分析、解决问题能力.

教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式.

教学难点：灵活使用公式解决问题

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

首先回忆一下前几节课所学主要内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1

-n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式:

)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n

3．｛n a ｝成等比数列⇔n

n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.

6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅

7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

8．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或01, 1a <0,或00时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列;当q<0时, {n a }是摆动数列;

9．等比数列的前n 项和公式：

∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q

q a a S n n --=11 ②

当q=1时，1na S n =

当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.

10．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，

①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列.

②当q ≠－1或k 为奇数时，k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列

二、例题讲解

例1 已知等差数列{n a }的第二项为8，前十项的和为185，从数列{n a }中，依次取出第2项、第4项、第8项、……、第n

2项按原来的顺序排成一个新数列{n b }，求数列{n b }的通项公式和前项和公式n S 解：∵ ⎩⎨⎧=+=+185451081

1d a d a , 解得1a ＝5, d ＝3, ∴ n a ＝3n ＋2, n b ＝n a 2＝3×n 2＋2,

n S ＝(3×2＋2)＋ (3×22＋2)＋ (3×32＋2)＋……＋(3×n 2＋2)

＝3·1

2)12(2--n ＋2n ＝7·n 2－6.（分组求和法） 例2 设数列{}n a 为 1324,3,2,1-n nx x x x ()0≠x 求此数列前n 项的和

解：（用错项相消法）

1324321-+++++=n n nx x x x S ①

()n n n nx x n x x x xS +-++++=-13

2132 ② ①-②()n n n nx x

x x S x -++++=--1

211 ， 当1≠x 时， ()n n n nx x x S x ---=-111x nx nx x n n n -+--=+111()x

nx x n n n -++-=+1111

()()21

111x nx x n S n n n -++-=+

当1=x 时，()2

14321n n n S n +=++++= 例3等比数列{}n a 前n 项和与积分别为S 和T ，数列⎭⎬⎫⎩⎨

⎧n a 1的前n 项和为'S ， 求证：n

S S T ⎪⎭⎫ ⎝⎛='2 证：当1=q 时，1na S =，n a T 1=，1

'a n S =

， ∴221111T a a n na S S n n n ==⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，（成立） 当1≠q 时，

∵()()()

()1111,,1111111'12111--=--==--=-----q q a q q q a S q a T q q a S n n n n n n ， ∴()()22

1211121'T q a q a S S n n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎪⎭⎫ ⎝⎛--，

（成立） 综上所述：命题成立

例4设首项为正数的等比数列，它的前n 项之和为80，前n 2项之和为6560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列

解：由题意 ()()()

()81821265601118011211=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⇒=--=--n n n n

q q q q a q q a 代入（1）， ()()q q a n -=-18011，得：011>-=q a ，从而1>q ，

∴{}n a 递增，∴前n 项中数值最大的项应为第n 项

∴=-11n q

a ()=-=---111n n n q q q q ,54811=--n q ∴3,27548111===-=--n n

n q

q q q ， ∴21311=-=-=q a ，

∴此数列为 162,54,18,6,2