平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
平面向量的坐标表示,模,夹角
二、探究解疑
Office组件之word2007
1、平面向量数量积的坐标表示
问题1、如图，i 是x轴上的单位向量，j
是y轴上的单位向量，
i i 1 . j j 1 .
y A(x1,y1)
i j j i 0 .
B(x2,y2) a
bj
oi x
问题2
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AB AC 1313 0
是的判两断条B相线(2应段,3)
AB AC
∴ △ABC是直角三角形
或垂A(直直1,2的线) 是重否要 x 0方法之一
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uuuv
uuuv
uuuv
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2
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2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
一、复习引入
Office组件之word2007
1、数量积的定义：a b | a || b | cos
2、投影：| b | cos 叫做 b在 a方 向 上 的 投 影
B
r
b
r
Oθ
a
B1
A
| b | cos
2 2
=45o
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例3:已知a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数 时，向量k a－ b与 a+3b(1)平行；(2)垂直
解：k a－ b =(k－2, －1) a +3 b=(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)+7=0
所以k= 1 3
3.数量积的性质
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2.4.2平面向量的数量积的坐标表示 模 夹角
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：复习：1.向量a 与b 的数量积a b ⋅= .2.设a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与b的夹角，则①a b a b ⊥⇔⋅=；②a = ；③cos θ= . （二）自主探究：（预习教材P106—P108） 探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅ 呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅（坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
问题2：如何求向量(),a x y =和两点()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式（１）设a=(x,y),则2a = ________________或a ________________。
（２）若()11,A x y ，()22,B x y ，=___________________（平面内两点间的距离公式）。
问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则⇔⊥b a _________________二、合作探究1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明. （2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。
2、已知()()1,3,3,1==，求a 与b的夹角θ.变式：已知a=(3,0),b=(k,5)a b 且与的夹角为3,k=4π则______________.三、交流展示1、若()4,3a =- ，()5,6b = ，则234a a b -⋅=2、已知()3,2a =-- ，()4,b k =- ，若()()5355a b b a -⋅-=-，试求k 的值.3、已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时， （1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +- 与平行吗？它们是同向还是反向？四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知()3,4a =- ，()5,2b =，则a b ⋅ 等于（ ） A.23 B.7 C.23- D.7-2. 若()3,4a =- ，()5,12b =，则a 与b 夹角的余弦为（ ）A.6365 B.3365 C.3365- D.6365- 3. ()2,3a = ，()2,4b =-，则()()a b a b +⋅- = ，4.已知向量()1,2OA =- ，()3,OB m =，若OA AB ⊥ ，则m = 。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角ppt
小结作业
1.a∥b x1 y 2 x2 y1 0 a⊥b x1 x2 y1 y 2 0 二者有着本质区别. 2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝 角），则a· b＞0（＜0），反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系，解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑 用向量方法来解决.
例题讲解
例1、设a (5, 7), b (6, 4), 求a b及a、 b夹角的余弦.
变式练习
已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a· b； (2) (a＋2b)· (a－b)； (3) |a|2－4a· b. (1) 2；（2）17； （3）17.
【湖南师大附中内部资 料】高一数学必修4课件： 2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角 （新人教A版）
高一数学必修4第2章
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角
复习巩固
1、下列命题正确的有___________ 2 2 2 (1)a a (2) a a 2 2 2 (3) a b a b (4) a b a b (5)(0 a) b 0 ( a b) (6)若a b a c, 且a 0, 则b c
复习巩固
2、已知非零向量 AB与向量 AC满足 AB AC AB AC 1 （ + ）BC 0, 且 AB AC AB AC 2 则ABC为（
D
）
A、三边不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等边三角形 Ｄ、等边三角形
平面向量数量积的坐标表示教学反思.doc范文
平面向量数量积的坐标表示教学反思.doc范文第一篇：平面向量数量积的坐标表示教学反思.doc范文《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教学反思1、本节课先是通过对相关知识的回顾，然后引进与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，进一步探索两个向量数量积的坐标表示。
最后通过几个例题加强学生对两个向量数量积的坐标表示的理解及其灵活应用。
课堂结构清晰完整流畅。
在教学中，知识的回顾，题目的设计都围绕数量积坐标表示展开。
数量积公式得出后，启发学生自己动手推导出模、夹角的坐标表示，回顾了公式的同时又培养了学生的推导能力、自主学习能力。
在与学生的课堂交流中能倾听学生的想法，及时纠正偏差，激发了学生自主探究的欲望，较好的提升了学生的思维能力，对于学生在探究过程中出现的问题都能认真加以点评，适时指出不足与优点，对于学生的发现与总结都能给于很好的评价与赞扬，让学生收到激励，保持学习的热情。
2、教学设计结构严谨，过渡自然，时间分配合理。
知识回顾部分把上节课的数量积、夹角、模、垂直、平行的有关知识进行回顾，每一条知识点的回顾都是本堂课的新课内容。
3、新课引入部分问题设计合理，但提问的字句还需斟酌，要语简意赅，如22思考2中：对于上述向量i,j，则i,j,i.j分别等于什么？这样的问法觉的还是太繁琐，是否可以改为计算i2,j2,i.j？这样可能更直接一点。
4、公式的得出，在应用之前或者应用之后都应该对公式的结构特征进行归纳总结。
学生因为接受新知识，对公式肯定不是很了解，应该要引导学生分析公式特征及应用的注意点。
5、一节课的知识与技能是否落实，难点是否得到突破，是教学者最为关心的话题。
课堂习题正是检验教学效果的工具。
在习题设置上，除了覆盖重难点外，还应做到由简入深。
同时，在教学过程中，通过旧知生成新知的过程，采用问题串的形式引导学生一步步完成自主探究得到生成，是比较有效的教学方式。
6、通过本次公开订，学到了很多东西，争取下一次做得更好，另外还需改进语言表达能力，希望课堂气氛可愉更加活跃。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学设计
“引导－探究式”教学法”。
课堂基调：
自主探索，民主开放。 合作交流，师生对话。
借助：
“多媒体”教学
课堂流程
提供材料 设计问题
复习思考 提出问题
类比化归 解决问题
反思建构 操作练习
教学过程
选择恰当的实例。
新
课
从复习向量加减法的坐标运算开始。
导
开门见山，直奔主题。
入 提供材料，让学生发现问题。
夹角等知识进行简单的计算和证明 。
能力目标：
领悟数形结合的思想方法，培养学生自主学习， 提出问题、分析问题、解决问题的能力。
情感目标：
体验探索的乐趣，认识世间万物之间的联系与转化。 让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。
重、难点分析
重点：
数量积坐标表示的推导过程。
难点：
公式的建立与应用。
教法分析
可设计：
向量的两个要素：模、夹角随之确定。
求
a
?
b
?∠AOB＝？等。
设计意图： 渗透数形结合意识，突出向量的两个要素。
结论
1.
数量积的定义：
a
b
a
b
cos
2． 数量积的性质：
（1）
a
b
ab
0
（2）当
a与b同向时，a
b
a
b.
可解。
ab
关键:是如何用坐标表示
a
b
?
设计意图：
突出重点，为后面建立模、夹角公式做铺垫，使 学生产生学习数量积坐标表示的积极心理倾向。
教案平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量数量积的坐标表示与模夹角教案章节一：平面向量数量积的定义1.1 向量的概念回顾：向量是有大小和方向的量。
1.2 数量积的定义：两个向量a和b的数量积，记作a·b，是它们的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
1.3 数量积的坐标表示：如果向量a和b在坐标系中表示为a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则它们的数量积可以表示为a·b=x1x2+y1y2。
教案章节二：数量积的性质2.1 数量积的不变性：无论向量的起点如何，向量的数量积保持不变。
2.2 数量积的对称性：向量a和b的数量积等于向量b和a的数量积，即a·b=b·a。
2.3 数量积的交换律：向量a和b的数量积等于它们的相反向量的数量积，即a·b=-b·a。
教案章节三：模长的计算3.1 向量模长的定义：向量a的模长，记作|a|，是向量a的大小，计算公式为|a|=sqrt(x1^2+y1^2)。
3.2 利用数量积计算模长：向量a的模长可以表示为|a|=sqrt(a·a)。
教案章节四：夹角的余弦值4.1 向量夹角的定义：两个非零向量a和b的夹角，记作θ，是它们的数量积与它们的模长的乘积的比值的的反余弦值。
4.2 余弦值的计算公式：cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
教案章节五：向量夹角的范围与性质5.1 向量夹角的范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°。
5.2 向量夹角的性质：当向量a和b同向时，它们的夹角为0°，数量积为正值；当向量a和b反向时，它们的夹角为180°，数量积为负值；当向量a和b垂直时，它们的夹角为90°，数量积为0。
教案章节六：数量积的应用6.1 投影向量：向量a在向量b方向上的投影向量可以表示为proj_ba = (a·b/b·b) b。
6.2 向量间的距离：两个向量a和b之间的距离可以表示为|a b| = sqrt((a b)·(a b))。
平面向量数量积的坐标表示,模,夹角评课稿
平面向量数量积的坐标表示，模，夹角评课稿
评《平面向量数量积的坐标表示，模，夹角》
应老师这一堂组内公开课《任意角》，其课堂的师生互动、思维碰撞，令听课的老师耳目一新。
下面是笔者对这节课的几点体会。
一、教学设计
1.结构清晰
课堂中先是通过初中对向量数量积及其变形以及相关知识的回顾，然后通过引进与x轴、y轴方向相同的两个单位向量通过知识基础向量的坐标表示，进一步探索两个向量数量积的坐标表示。
最后通过几个习题加强学生对两个向量数量积的坐标表示的理解及其灵活应用。
课堂结构清晰完整流畅。
2.环环相扣
针对学生的思维特点，在教学环节涉及上做到由浅入深环环相扣。
例如在复习回顾的过程中引导学生回顾两个向量数量积的几何角度和坐标角度的相关公式，然后在探究新制过程中给出：已知是分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量的条件后，提问对于上述向量，则,分别等于什幺？在旧知的基础上，学生较易得到结论。
紧接着引进，提问：能表示出来向量、的坐标吗？与已有知识再次融合，同时成为生成新知的知识基础。
最后提问：我们能将用坐标表示吗？如果能，如何表示？使学生顺利完成整堂课的核心内容。
3.习题有效
在新知识内容探究结束以后，给出两个例题。
第一个例题从两个已知向量出发的三个计算题，涵盖数量积，向量的模。
简单基础，学生解决较为容易，在激发信心的同时也能进一步巩固本堂课的基础内容。
第二个例题结合。
高一数学必修4课件：2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
第二章 平面向量
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第二章
2.4 2.4.2
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课前自主预习
第二章
2.4 2.4.2
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温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135° ， 则m· n＝________.
第二章
2.4 2.4.2
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思路方法技巧
第二章
2.4 2.4.2
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命题方向
数量积的坐标运算
平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题． 向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完 全代数化，并将数与形紧密结合起来． 主要解决以下三方面的问题： (1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．
π 25,5,5 2， . 4
[答案]
第二章
2.4 2.4.2
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新课引入
第二章
2.4 2.4.2
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向量的数量积的几何运算为我们展示了一幅美丽的画 卷，它解决了几何中与度量相关的角度，长度(距离)等问 题．通过前面的学习，我们知道向量可以用坐标表示，向量 的加法，减法，数乘运算也可以用坐标表示，那么任意两个 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其数量积a· b又如何表示呢？你 能给出其推导过程吗？要解决好这几个问题，就让我们一起 进入平面向量数量积的坐标表示、模、夹角的学习吧！
6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.3.5平面向量数量积的坐标表示一、内容和内容解析本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第五课时的内容．由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式.（2）能用公式求向量的数量积、模、夹角．（3）掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.目标解析：（1）利用平面向量正交分解将向量用基底表示，利用数量积的运算律计算，注意到单位向量的数量积为1，推导出向量数量积的坐标表示．（2）利用数量积的坐标公式，将数量积的性质用坐标表示出来，得到模、夹角、垂直的坐标表示.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在平面向量数量积的坐标表示的教学中，从已知向量的坐标推导平面向量数量积的坐标是进行数学推理教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：研究向量数量积运算的坐标表示是本节课的第一个教学问题．解决方案：利用正交分解表示向量，结合数乘向量的运算律推导出结论．2. 教学问题二：用公式求向量的数量积、模、夹角及垂直问题的证明是本节课的第二个教学问题．解决方案：公式变形推导，通过数量积性质的复习，结合数量积的坐标运算推导出结论．基于上述情况，本节课的教学难点定为：平面向量数量积的应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到平面向量数量积的坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中以问题串的形式引导学生探究，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视平面向量数量积的坐标表示，让学生体会数学推理的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图回顾前知引出新知[问题1]平面向量的数量积(内积)的定义？[问题2]两个向量的数量积的性质？[问题3]在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？教师1：提出问题1．学生1：cosa b a bθ⋅=.教师2：提出问题2．学生2：2a a a a a a⋅==⋅或，cos.0a ba b a ba bθ⋅=⊥⇔⋅=．教师3：提出问题3．学生3：由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8.通过复习向量的坐标表示、数量积的运算引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.探索交流解决问题[问题4]已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎样用向量的坐标表示a·b？[问题5]若a＝（x，y），如何计算向量的模|a| ？[问题6]若点A（x1，y1），B（x2，y2），如何计算向量AB的模？[问题7]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a⊥b？教师4：提出问题4．学生4：1122,a x i y jb x i y j=+=+所以1122)()a b x i y j x i y j⋅=++（2212122112x x i x y i j x y i j y y j=+++2121yyxx+=教师5：提出问题5．学生5：|a|＝x2＋y2．教师6：提出问题6学生6：()()221212AB x x y y=-+-（两点间的距离公式）教师7：提出问题7.学生7：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0通过探究让学生理解数量积的坐标表示，培养数学抽象的核心素养.[问题8]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a，b的夹角呢？教师8：提出问题8.学生8：设θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.教师9：一起来梳理总结一下这部分内容.学生9：平面向量数量积的坐标表示：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．平面向量的模与夹角的坐标表示：(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2.(3)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22．(4)两个向量垂直的充要条件：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.典例分析巩固落实1.平面向量数量积的运算例1.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝12MC，BN＝12BC，则AM→·AN→＝________.2.平面向量模长的坐标运算教师10：完成例1.学生10：AM→·AN→＝(AD→＋13AB→)·(AB→＋12AD→)＝0＋12·22＋13·32＋13·0＝5.教师11：完成例2.学生11：设a＝(x，y)，则由|a|＝213，得x2＋y2＝52.①例2.已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |.3.平面向量夹角的坐标运算 例3.已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1).求向量a 与b 夹角的余弦值.4.向量垂直的坐标运算例4. 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3，2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标.[课堂练习]1.已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________．2.已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－4.所以 a ＝(6，4)或a ＝(－6，－4)． 所以a ＋b ＝(8，1)或a ＋b ＝(－4，－7)， 所以|a ＋b |＝65.教师12：完成例3.学生12：设a ，b 的夹角为θ，由a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12×5＝210.教师13：完成例4.学生13：设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2). ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝（1－2）2＋（1＋1）2＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1，1).教师14：布置课堂练习1、2． 学生14：完成课堂练习，并核对答案．课堂小结升华认知[问题9]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．已知a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝()A．5 B．4C．－2 D．－12．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为()A．－1 B．0C．1 D．23．平行四边形ABCD中，AB→＝(1，0)，AC→＝(2，2)，则AD→·BD→等于()A．－4 B．－2C．2 D．44．已知a＝(3，－4)，则|a|＝________.5．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．教师15：提出问题9．学生15：学生16：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：DAD，5，5师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-新人教(A版)
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
高中数学-平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-教材分析
教材分析
1.平面向量的数量积，教材将其分为两部分．本节为第二部分平面向量的数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，是平面向量坐标运算的深化，是平面向量数量积几何表示与代数表示的连接点，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
同时平面向量数量积坐标表示是高二研究空间向量坐标运算的基础，它为研究空间向量垂直、平行与空间距离提供了借鉴与类比的模型。
2.前面学习了平面向量数量积、平面向量的坐标表示．利用平面向量坐标表示和坐标运算，结合平面向量和平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积、模、夹角的坐标表示。
通过本节课的学习，我们将加深对数学内涵及其知识间联系的领悟，更深刻地理解数形结合、转化化归等数学思想，初步领略数学的完美和谐，感受数学美。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式知识点三平面向量夹角的坐标表示cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.思考若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？答案不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.(×)2．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．(×)提示当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角．3．两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.(×)题型一数量积的坐标运算例1(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于()A．10 B．－10C．3 D．－3考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案 B解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，则AE →·BE →的值是________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案329解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝2，BC ＝2，∴A (0,0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0,2)， ∵点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，∴E ⎝⎛⎭⎫223，2.∴AE →＝⎝⎛⎭⎫223，2，BE →＝⎝⎛⎭⎫－23，2， ∴AE →·BE →＝－49＋4＝329.反思感悟 数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a |2＝a ·a .②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2. ③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．跟踪训练1 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 C解析 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C. 题型二 平面向量的模例2 已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)． (1)求a －2b 及其模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )b ，求|c |.考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 解 (1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， ∴|a －2b |＝72＋32＝58.(2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1， ∴c ＝a ＋b ＝(1,6)， ∴|c |＝12＋62＝37.反思感悟 求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a 2＝|a|2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方． (2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2＝x 2＋y 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．跟踪训练2 已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．25 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 C解析 ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5， 又|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.题型三 平面向量的夹角与垂直问题命题角度1 向量的夹角例3 已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，O (0,0)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →，OC →的夹角为( ) A.π2 B.π4 C.π3 D.π6考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 D解析 因为|OA →＋OC →|2＝(OA →＋OC →)2＝OA →2＋2OA →·OC →＋OC →2＝9＋6cos α＋1＝13， 所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，所以C ⎝⎛⎭⎫12，32，所以cos 〈OB →，OC →〉＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝3×323×1＝32，因为0≤〈OB →，OC →〉≤π，所以〈OB →，OC →〉＝π6，所以OB →，OC →的夹角为π6，故选D.反思感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积． (2)利用|a |＝x 2＋y 2求两向量的模．(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围． 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)． 命题角度2 向量的垂直例4 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值． 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.反思感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．跟踪训练4 已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.17 B ．－17 C.16 D ．－16考点 向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 答案 B解析 由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得 (λa ＋b )·(a －2b )＝0.因为a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0， 即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.向量的坐标在解三角形中的应用典例 如图，已知△ABC 的面积为32，AB ＝2，AB →·BC →＝1，求边AC 的长．解 以点A 为坐标原点，AB →为x 轴正方向建立平面直角坐标系，设点C 的坐标为(x ，y )(y >0)， ∵AB ＝2，∴点B 的坐标是(2,0)， ∴AB →＝(2,0)，BC →＝(x －2，y )． ∵AB →·BC →＝1，∴2(x －2)＝1，解得x ＝52.又S △ABC ＝32，∴12·|AB |·y ＝32，∴y ＝32，∴C 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，32，则AC →＝⎝⎛⎭⎫52，32， ∴|AC →|＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322＝342， 故边AC 的长为342. [素养评析] 本题通过建立直角坐标系，从而建立形与数的联系．利用平面向量的坐标解决线段的长度问题，提升了学生数形结合的能力，培养了学生数学运算及直观想象的数学核心素养．1．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365 B.65 C.135D.13 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 A 解析 |a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13.a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a ，b 夹角为θ，所以cos θ＝635×13＝6365.2．若向量a ＝(x ,2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( ) A ．3 B ．－3 C.53 D ．－53考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求参数答案 A解析 a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 已知向量垂直求参数答案 B解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.4．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用答案 A解析 由题意设b ＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b |＝λ2＋(－2λ)2＝5|λ|＝35，又λ<0，∴λ＝－3，故b ＝(－3,6)．5．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．求证：AB ⊥AD .证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .6．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 已知向量垂直求参数解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529.1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”而忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.一、选择题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 求坐标形式下的向量的夹角答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝510×5＝22.又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]．∴a 与b 的夹角为π4.2．设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a·b ＝0C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b .3．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为() A. 3 B ．3 C ．－ 3 D ．－3考点 平面向量投影的坐标表示与应用题点 平面向量投影的坐标表示与应用答案 D解析 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－62＝－3.故选D. 4．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4考点 平面向量模与夹角的坐标表示与应用题点 利用坐标求向量的模答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2.5．若a ＝(2，－3)，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为() A ．(3,2)B.⎝⎛⎭⎫31313，21313C.⎝⎛⎭⎫31313，21313或⎝⎛⎭⎫－31313，－21313D ．以上都不对考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量垂直的坐标表示的综合应用答案 C解析 设与a 垂直单位向量的坐标为(x ，y )，∵(x ，y )是单位向量的坐标形式，∴x 2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝1，①又∵(x ，y )表示的向量垂直于a ，∴2x －3y ＝0，②由①②得⎩⎨⎧ x ＝31313，y ＝21313或⎩⎨⎧ x ＝－31313，y ＝－21313.6．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，且k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k 等于( )A ．－1＋ 3B ．－2C ．－1±3D ．1考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝12＋(－1)2＝2，∴(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，又k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b ||a ＋b |， 即－12＝－22×k 2＋(k ＋2)2，化简并整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.7．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2，－6)D ．(－2,6)考点 向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)，∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，①∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6)． 8．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，m )，其中m 为实数，则当a 与b 的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 如图，作OA →＝a ，则A (1,1)．作OB 1→，OB 2→，使∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12， 则∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6， ∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3， 故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)． 又a 与b 的夹角不为0，故m ≠1.由图可知实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)． 二、填空题9．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.10．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.考点 平面向量模的坐标表示与应用题点 利用坐标求向量的模答案 8 2解析 由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.11．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量m ，n 之间的一个运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q 的坐标为________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求向量的坐标答案 (－2,1)解析 设q ＝(x ，y )，则p ⊗q ＝(x －2y ，y ＋2x )＝(－4，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴q ＝(－2,1)． 12．已知向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA →·MB →的最小值是________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 －8解析 设M ⎝⎛⎭⎫x ，12x ， 则MA →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，7－12x ，MB →＝⎝⎛⎭⎫5－x ，1－12x ， MA →·MB →＝(1－x )(5－x )＋⎝⎛⎭⎫7－12x ⎝⎛⎭⎫1－12x ＝54(x －4)2－8. 所以当x ＝4时，MA →·MB →取得最小值－8.三、解答题13．(2018·安徽芜湖质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值．考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 (1)∵c ＝4(1,2)＋(2，－2)＝(6,6)，∴b ·c ＝(2，－2)·(6,6)＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )a ＝0·a ＝0.(2)∵a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(1＋2λ，2－2λ)，(a ＋λb )⊥a ，∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝52.14．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值．考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 平面向量模的坐标表示的综合应用解 (1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12， ∴OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2,23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，又因为BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，|OC →|取最小值2 3.。
平面向量数量积的坐标表示、模和夹角
目标要求1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.热点提示向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利用向量解决平面几何问题．本节单独命题时，一般以选择、填空题的形式出现，属容易题；本节还可以与平面几何、解析几何、三角等内容交叉出现，一般以解答题形式出现，综合性较强，难度也较大，学习本节时应熟练掌握运算律，记准公式.1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.知识要点3．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.重要公式观察思考若向量a＝(x，y)，你可知与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标吗？设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝±(x |a |，y |a |)＝±(x x 2＋y 2，y x 2＋y 2)，其中正号，负号分别表示与a 同向和反向， 易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直， ∴与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±(－y x 2＋y 2，x x 2＋y 2)，其中正，负号表示不同的方向．温馨提示自我测评1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b()A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向解析：已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，则a与b垂直，选A.答案：A2．设向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b和a垂直，那么λ＝()A．2 B．1 C．－2 D．－1答案：D3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()A.13B.135 C.655 D.65答案：C4．已知向量a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，设向量a 与b 的夹角为θ，且，则cos θ＝________.分析：设向量b ＝(x ，y )，则有2b －a ＝(2x,2y )－(3,3)解得x ＝1，y ＝2，∴b ＝(1,2)，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝(3，3)·(1，2)32×5＝31010.所求为 答案：310105．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．解：a·b＝1×2＋3×5＝17.∵3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，∴3a－b＝(1,4)，∴|3a－b|＝12＋42＝17.∵a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，∴2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.温馨提示过标实现问题数应与(1)通向量的坐表示向量代化，注意方程、函等知的系数识联.(2)向量的理有思路：一是向量式，另一问题处两种种纯种标两补.是坐式，者互相充总结规律我们在进行向量的数量积运算时，要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再由已知计算．三是如果涉及图形的数量积运算，只需把握图形特点，求出相关点的坐标，利用向量的三角形减法由终点坐标与起点坐标的差得到向量的坐标即可．1若向量a＝(2，－1)，向量b＝(3，－2)，求向量(3a －b)·(a－2b)．=？解：由已知得a·b＝＝8，a2＝＝5，b2＝＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝-15.所求为b a b a b a a b ⋅=⋅==求求：已知例,43)2(;,//)1(1,21πθ，分两种情况：）由解：（b a //1;2,=⋅b a b a 同向，当。
高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积第2课时教学课件新人教A版必修4
(2)坐标表示下的运算．
若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
【互动探究】 本例中将“a∥b”改为“a·b＝10”，求a的坐 标．解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x＋x22＋y＝y2＝101，0，
1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10， 求：
(1)向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10.∴λ＝2.∴a＝ (2,4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
与向量模有关的问题
已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a 的坐标．
思路点拨：
解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得2xx－2＋y＝y2＝0，10， 解得
x＝2 y＝4
5， 5
或xy＝ ＝－ －24
5， 5，
所以 a＝(2 5，4 5)或 a＝(－2 5，－4 5)．
求向量的模的两种基本策略
思路点拨：(1)按求向量夹角的步骤求解； (2)利用两向量垂直数量积为零来证明．
(1)解：由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－12cos
α＋
3 2 sin
α.
则
cos
θ
＝ |aa|·|bb|
＝
－12cos α＋ 1×1
3 2＋
3 2 sin
α＝
cos(120°－α)． ∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.
(3)(a·b)·c. 思路点拨：首先求解相关向量的坐标，再代入 坐标运算表达式求解．
第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.平面向量数量积的坐标运算[典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－32．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．103．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－16655．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 7．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 8．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值．层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0) 3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.6．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．7．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.8．已知OA＝(4,0)，OB＝(2,23)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．(1)求OA·OB及OA在OB上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当AB＝BC时，求λ的值；(3)求|OC|的最小值．。
数学(2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)
方向性
向量的模只与向量的长度有关， 与其方向无关。
模的计算方法
定义法
根据定义直接计算向量的模 。
勾股定理法
如果向量在直角坐标系中的 坐标已知，可以使用勾股定 理计算模。
向量分解法
将向量分解为两个互相垂直 的分量，然后分别求出分量 的模，再求和。
模的性质
共线性质
如果两个向量共线，那么它们的模相等或互为相反数。
05
实例分析
数量积的坐标表示实例
要点一
总结词
通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数 量积。
要点二
详细描述
假设有两个向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$和$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$， 它们的数量积为$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。 通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数量 积。
平面向量的模
定义与性质
定义
平面向量$vec{a}$的模定义为 $left|vec{a}right| = sqrt{a_1^2 + a_2^2}$，其中$a_1$和$a_2$ 分别是向量$vec{a}$模总是非负的，即 $left|vec{a}right| geq 0$。
数量积与夹角的关系
数量积与夹角余弦值的关系
向量的数量积等于两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times costheta$。
平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角 (学生版)
. (写出解题过程)
2 4. 若 a 4,3 ， b 5,6 ，则 3 a 4a b 等于(
A. 23 B. 57 C. 63 必改 我的错题目号：_____ 我的错题分析及正确解法： ____
我们合作，我们收获！我们讨论，我们提升！
x2 x1
2
y2 y1
2
3.若 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a / /b
线
若 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a b a x1 , y1 , b x2 , y2
4.两个非零向量
a b 是 a 与 b 的夹角， 则 cos a b
第 1 页 共 4页 我们合作，我们收获！我们讨论，我们提升！ 第 2页 共4页
我们合作，我们收获！我们讨论，我们提升！
【当堂检测】 1. 已知 a 3,4 ， b 5, 2 ，则 a b 等于( A. 23 B. 7 C. 23 D. 7
装
2．课前用 5－10 分钟自学课本 P106-P107，并完成【固学预学】。 3. 课前用 15－20 分钟完成【小组讨论】,由组长组织讨论，书写规范，并做好督促、检查。 4.课堂小组展示讨论 25 分钟，当堂检测 20 分钟，改错、总结 5 分钟。 【学习目标】
讨论二 ：已知 a ( 2, 1), b ( 2, 2) ，判断 a与b 的关系。
【我的收获】 )
2.已知 A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且 a BC , b CA ,则 a 与 b 的夹角为___。(写出解题过程)
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a // b x1 y2 x2 y1 0
a· b=0 a⊥b b x1 x2 yx1x22+y0y2=0 a 1y 1
例题讲解 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的 形状,并给出证明. AB 2 1,3 2 1,1 向量的数量
cos
知三角形函 数值求角时, 应注重角的 范围的确定
又0≤(３,４),b＝(４,３),求x，y的值使 (xa+yb)⊥a,且｜xa+yb｜=1.
24 24 x 35 x 35 和 y 5 y 5 7 7
积是否为零, 是判断相应 AC 2 1,3 2 1,1 的两条线段 或直线是否 AB AC 1 3 1 3 0 垂直的重要 方法之一 AB AC
∴ △ABC是直角三角形
a、b都是非零向量，a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是 a与b的夹角
向量的长度(模)
设a =(x，y),则 |a|2=
x2 y 2
或|a |=
x2 y2 _______
x2 x1 2 y2 y1 2 若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|=_____________
平面内两点间的距离公式
向量平行和垂直的坐标表示式
设a、b为两个向量,且a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，
b
a 52 7 2 74 ,
1.6rad 92
2 cos 0.03 74 52
6 4
2
2
52
练习
已知i=(1,0),j=(0,1),与2i+j垂直的向量是[ B ]
A. 2i-j C. 2i+j
B . i-2j D . i+2j
复习
数量积的性质 设a，b都是非零向量
a· b=0 ①a⊥b ②当a与b同向时,a· b=|a||b|; 当a与b反向时, a· b=-|a||b|. 特别地,a· 2或 a a a a=|a| ③|a· b|≤|a||b|
探究
单位向量i, j分别与x轴,y轴方向相同 1 1 0 0 i· =_____, j · i j=______, i· j=______, j · =_______. i
练习
已知a 1, 3 , b
3 1,
3 1 , 则a与b的夹角是多少？
分析：为求a与b夹角，需先求a· b及|a||b|，再结合夹 角θ的范围确定其值. 0≤θ≤π
解 a 1, 3 , b 3 1, 3 1
a b 2 ab 2
a b 3 1 3 3 1 4 a 2, b 2 2 记a与b的夹角为θ
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与 b的坐标表示a· b? ∵a=x1i+y1j, b=x2i+y2j, ∴a· = (x1i+y1j) · 2i+y2j) b (x = x1x2i2+x1y2i· 2y1i· 1y2j2 j+x j+y = x1x2+y1y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
a b a b cos
ab cos ab
x1 x2 y1 y2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
例题讲解 设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a· b及a、b间的夹角θ (精确到1°) 解
a· = 5×(-6)+(-7) ×(-4) b = -30+28 = -2
已知a=(λ,2),b=(-3,5),且a和b的夹角是钝角,则λ的 范围是[ ] A
10 A. 3 10 C. 3 10 B. 3 10 D. 3
练习 已知a 2m 1,2 m, 若 a 10, 则m的取值
范围为[ B ]
A. 1,1 C. 2 , 2 B. 1,1 D. - ,-1 1,
小结
向量数量积的坐标表示
向量模的计算 平面内两点间的距离公式
向量垂直的充要条件
作业
课本第121页习题2.4A组题6,7,8
平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
复习
平面向量的数量积 非零向量a与b,它们的夹角为θ, a· b=|a| |b| cosθ 数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ，则 ①a· a② (λa) · b=b· b=λ(a·b)③(a+b) · c=a · c+b· c
平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2,使a= λ1 e1+ λ2 e2