平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

已知a=(λ,2),b=(-3,5),且a和b的夹角是钝角,则λ的 范围是[ ] A
10 A. 3 10 C. 3 10 B. 3 10 D. 3
练习 已知a 2m 1,2 m, 若 a 10, 则m的取值
范围为[ B ]
A. 1,1 C. 2 , 2 B. 1,1 D. - ,-1 1,
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与 b的坐标表示a· b? ∵a=x1i+y1j, b=x2i+y2j, ∴a· = (x1i+y1j) · 2i+y2j) b (x = x1x2i2+x1y2i· 2y1i· 1y2j2 j+x j+y = x1x2+y1y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
cos



知三角形函 数值求角时, 应注重角的 范围的确定
又0≤θ≤π


4
练习 已知a＝(３,４),b＝(４,３),求x，y的值使 (xa+yb)⊥a,且｜xa+yb｜=1.
24 24 x 35 x 35 和 y 5 y 5 7 7
积是否为零, 是判断相应 AC 2 1,3 2 1,1 的两条线段 或直线是否 AB AC 1 3 1 3 0 垂直的重要 方法之一 AB AC


∴ △ABC是直角三角形
a、b都是非零向量，a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是 a与b的夹角
a // b x1 y2 x2 y1 0
a· b=0 a⊥b b x1 x2 yx1x22+y0y2=0 a 1y 1
例题讲解 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的 形状,并给出证明. AB 2 1,3 2 1,1 向量的数量
向量的长度(模)
设a =(x，y),则 |a|2=
x2 y 2
或|a |=
x2 y2 _______
x2 x1 2 y2 y1 2 若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|=_____________
平面内两点间的距离公式
向量平行和垂直的坐标表示式
设a、b为两个向量,且a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，


练习
已知a 1, 3 , b
3 1,
3 1 , 则a与b的夹角是多少？

分析：为求a与b夹角，需先求a· b及|a||b|，再结合夹 角θ的范围确定其值. 0≤θ≤π
wk.baidu.com解 a 1, 3 , b 3 1, 3 1

a b 2 ab 2
a b 3 1 3 3 1 4 a 2, b 2 2 记a与b的夹角为θ
b
a 52 7 2 74 ,
1.6rad 92
2 cos 0.03 74 52
6 4
2
2
52
练习
已知i=(1,0),j=(0,1),与2i+j垂直的向量是[ B ]
A. 2i-j C. 2i+j
B . i-2j D . i+2j
复习
数量积的性质 设a，b都是非零向量
a· b=0 ①a⊥b ②当a与b同向时,a· b=|a||b|; 当a与b反向时, a· b=-|a||b|. 特别地,a· 2或 a a a a=|a| ③|a· b|≤|a||b|
探究
单位向量i, j分别与x轴,y轴方向相同 1 1 0 0 i· =_____, j · i j=______, i· j=______, j · =_______. i
平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
复习
平面向量的数量积 非零向量a与b,它们的夹角为θ, a· b=|a| |b| cosθ 数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ，则 ①a· a② (λa) · b=b· b=λ(a·b)③(a+b) · c=a · c+b· c
平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2,使a= λ1 e1+ λ2 e2
小结
向量数量积的坐标表示
向量模的计算 平面内两点间的距离公式
向量垂直的充要条件
作业
课本第121页习题2.4A组题6,7,8
a b a b cos
ab cos ab
x1 x2 y1 y2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
例题讲解 设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a· b及a、b间的夹角θ (精确到1°) 解
a· = 5×(-6)+(-7) ×(-4) b = -30+28 = -2