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第19章一次函数解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题(含答案)

解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义◆类型一费用类问题一、建立一次函数模型解决问题1．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价；(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式；(3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？二、分段函数问题2．为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x的函数解析式；(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．三、两个一次函数图象结合的问题3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费1.2元；③A点的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元．其中正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个四、分类讨论思想4．江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示：(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？一、两个一次函数图象结合的问题5．A，B两地相距60 km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，请结合图象解答下列问题：(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是________(填l1或l2)；甲的速度是________km/h，乙的速度是________km/h；(2)甲出发多长时间两人恰好相距5 km?二、分段函数问题6．暑假期间，小刚一家乘车去离家380 km的某景区旅游，他们离家的距离y(km)与汽车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示．(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？(2)求线段AB对应的函数解析式；(3)小刚一家出发2.5 h后离目的地有多远？一、两个一次函数图象结合的问题7．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有________(填序号)．二、分段函数问题8．根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数解析式．参考答案与解析1．解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场价为n 元．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧14m ＋（20－14）n ＝49，14m ＋（18－14）n ＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3.5. 答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元．(2)当0≤x ≤14时，y ＝2x ；当x ＞14时，y ＝14×2＋(x －14)×3.5＝3.5x －21.综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤14），3.5x －21（x >14）. (3)∵26＞14，∴小明家5月份水费为3.5×26－21＝70(元)．答：小明家5月份应交水费70元．2．解：(1)当0≤x ≤20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝ax ，把(20，160)代入y ＝ax 中，得a ＝8.即y 与x 的函数解析式为y ＝8x ；当x >20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(20，160)，(40，288)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝160，40k ＋b ＝288，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6.4，b ＝32，即y 与x 的函数解析式为y ＝6.4x ＋32.综上所述，y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8x （0≤x ≤20），6.4x ＋32（x >20）. (2)∵B 种树苗的数量不超过35棵，但不少于A 种树苗的数量，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤35，x ≥45－x ，∴22.5≤x ≤35.设总费用为W 元，则W ＝6.4x ＋32＋7(45－x )＝－0.6x ＋347.∵k ＝－0.6<0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝35，45－x ＝10时，总费用最低，即购买B 种树苗35棵，A 种树苗10棵时，总费用最低，W 最低＝－0.6×35＋347＝326(元)．3．D4．解：(1)设y 甲＝kx ，把(2000，1600)代入，得2000k ＝1600，解得k ＝0.8，所以y 甲＝0.8x .当0＜x ＜2000时，设y 乙＝ax ，把(2000，2000)代入，得2000k ＝2000，解得k ＝1，所以y 乙＝x .当x ≥2000时，设y 乙＝mx ＋n ，把(2000，2000)，(4000，3400)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2000m ＋n ＝2000，4000m ＋n ＝3400，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0.7，n ＝600，所以y 乙＝⎩⎪⎨⎪⎧x （0<x <2000），0.7x ＋600（x ≥2000）. (2)当0＜x ＜2000时，0.8x ＜x ，到甲商店购买更省钱；当x ≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x ＜0.7x ＋600，解得x ＜6000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x ＞0.7x ＋600，解得x ＞6000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x ＝0.7x ＋600，解得x ＝6000；故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．5．解：(1)l 2 30 20 解析：由题意可知，乙的函数图象是l 2，甲的速度是602＝30(km/h)，乙的速度是603＝20(km/h)．故答案为l 2，30，20. (2)设甲出发x h 两人恰好相距5 km.由题意30x ＋20(x －0.5)＋5＝60或30x ＋20(x －0.5)－5＝60，解得x ＝1.3或1.5.答：甲出发1.3 h 或1.5 h 两人恰好相距5 km.6．解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4 h.(2)设线段AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b .把点A (1，80)，B (3，320)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝80，3k ＋b ＝320，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝120，b ＝－40.∴y ＝120x －40(1≤x ≤3)． (3)当x ＝2.5时，y ＝120×2.5－40＝260，380－260＝120(km)．故小刚一家出发2.5h 后离目的地120km.7．①②④8．解：(1)暂停排水需要的时间为2－1.5＝0.5(h)．∵排水时间为3.5－0.5＝3(h)，一共排水900m 3，∴排水孔的排水速度是900÷3＝300(m 3/h)．(2)当2≤t ≤3.5时，设Q 关于t 的函数解析式为Q ＝kt ＋b ，易知图象过点(3.5，0)．∵当t ＝1.5时，排水300×1.5＝450(m 3)，此时Q ＝900－450＝450，∴点(2，450)在直线Q ＝kt ＋b上．把(2，450)，(3.5，0)代入Q ＝kt ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝450，3.5k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－300，b ＝1050，∴Q 关于t 的函数解析式为Q ＝－300t ＋1050.。

一次函数应用型问题的解题分析

识图中寻找出路画图中体现应用——一次函数应用型问题的解题分析近些年函数应用型问题成为考试的热点，生活中的很多问题通过建立函数模型可以很好的解决.本文通过实例谈谈一次函数图象题的解决策略及考点分析.例1 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x (h)，两车之间的距离为y (km)，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系. 根据图象进行以下探究.信息读取(1)甲、乙两地之间的距离为 km ；(2)请解释图中点B 的实际意义；(3)求慢车和快车的速度;(4)求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围;图 1问题解决(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同.在第一列快车与车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？详析(1)从图象我们可知y 表示的是两车之间的距离.当两车还没行驶时两车之间的距离是900千米，因此，甲乙两地之间的距离为900 k m.(2)两车相向而行共同行驶了4小时，两车之间的距离是0，说明两车已经相遇.因此，B 处的实际意义是:在B 处两车相遇.(3)由图象可知，慢车12h 行驶的路程为900km ，所以慢车的速度为9007512=(km/h).当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为9002254=(km/h)，所以快车的速度为150km/h. 所以，快车的速度是150km/h ，慢车的速度是75km/h. (4)根据题意，快车行驶900 k m ，到达乙地，所以快车行驶9006150=(h)到达乙地，此时两车之间的距离为675450⨯=(km )，所以点C 的坐标为(6,450).设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，y kx b =+，将(4,0)B ，(6,450)C 代入，得044506k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得，225900k b =⎧⎨=-⎩. 所以，BC 的表达式是225900y x =-.自变量x 的取值范围是46x ≤≤.(5)慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4. 5 h.把 4.5x =代入225900y x =-，得112.5y =.此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是l 12.5 km ，所以两列快车出发的间隔时间是112.50.75150=(h)，即第二列快车比第一列快车晚出发0. 75h.评析这是南京2008年中考试题的最后一题.这道试题的出现应该是新课程实施以来，非常具有划时代意义的一道一次函数应用问题.试题的信息大部分要通过学生阅认图象来获得.对学生的阅读能力(从数学的角度来说，就是识图能力)要求比较高，如果能够通过对图象的分析理解图中点,,,A B C D 的实际意义，就能够比较容易的解决这个问题.根据纵坐标的含义(表示两车之间的距离)，点A 的意义不难理解，表示开始出发时两车相距900 km;点B 的坐标为(4,0)表示两车行驶了4小时，两车相距0 km ，也就是说此时两车相遇了，根据这一点信息，就可以知道两车的速度和;点C 的意义有难度，点C 是一个转折点，相遇之后两车的距离变化关系在点C 处发生转折，为什么会出现这种情况?深入分析图象，结合点D 的意义:12小时的时候两车又相距900km ，说明两车都到了目的地，然而快车应该比慢车提前到目的地，再加上线段CD 变平缓了说明点C 向后两车之间的距离变化变慢了，这些信息都在说明点C 表示快车已经到达了目的地.有了以上对图像的分析，整个运切过程的思路就清晰了.这道试题很好的一个评价功能就是:考查学生的核心素养中所提及的关键能力——阅读能力.阅读能力是最基础、最关键的学习能力，它直接决定着学生学习效果的好坏和学习效率的高低.从数学学科而言，阅读不仅包括文字的阅读，还包括图象的阅读，图象的阅读要建立在函数意义的理解上，读图的能力直接影响着学生数形结合思想的意一识.从2008年以后这样的试题如雨后春笋，在各地的中考试题中频频出现，继续扮演着考查学生函数应用的角色.例2 小华观察钟面(图l)，了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针每小时旋转30度.他为了进一步探究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2:00开始对钟面进行了一个小时的观察.为了探究方便，他将分针与分针起始位置OP (图2)的夹角记为1y ;时针与OP 的夹角记为2y 度(夹角是指不大于平面的角)，旋转时间记为t 分钟.观察结束后，利用获得的数据绘制成图象(图3)，并求出1y 与t 的函数关系式:16(030)6360(3060)t t y t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩.请你完成:(1)求出图3中，2y 与t 的函数关系式;(2)直接写出,A B 两点的坐标，并解释这两点的实际意义;(3)若小华继续观察一个小时，请你在图3中补全图象.解析 (1)设2y 与t 的函数关系式为2y kt b =+.∵图象经过(0,60)，(60,90)两点，∴606090b k b =⎧⎨+=⎩，解得1260k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. ∴21602y t =+. (2) 120720(,)1111A ，6001080(,)1313B 或写成105(10,65)1111A ，21(46,83)1313B .A 表示分针与时针第一次重合，B 表示时针与OP 的夹角、分针与OP 的夹角相等. (3)如图4.评析这是2011年淮安市中考第27题，该问题的背景是时钟问题，与学生学习、生活关系密切.但是它避开了追及等俗套的路子，而是研究时针、分钟与起始边夹角的问题，巧妙地建立了函数模型，从而用函数的相关知识去解决实际问题.特别是考查了学生解读图象的能力:时针图象与分针图象的交点,A B 的实际意义的考查让人耳目一新.具体来看，其中问题1考查学生用待定系数确定法确定函数关系式，当然也可以根据时针旋转的速度直接写出函数关系式:问题2的考查对学生识图能力要求很高，,A B 两点的坐标就是两个函数的交点.可以转化为方程组的解.A 的实际意义相对比较容易，B 点的实际意义不深入思考很有可能认为是分针与时针成平角(夹角是180度).其实，根据题目中对1y ，2y 定义可知，它们值相等表示与OP 的夹角相等，因而B 点的实际意义是表示时针与OP 的夹角、分针与OP 的夹角相等.问题3其实进一步考查学生对这两个函数意义的理解，同时体现了对函数图象的绘制考查.本题命制从从取材到问题的设置，都能够看出命题者独具匠心的思考，尤其是能够将一个陈题与一次函数有机结合，让这个陈题有了别样的精彩，更体现了函数知识与生活的紧密相连.这道题很好的评价功能不仅是考查学生的核心素养中所提及的关键能力——阅读能力，也突出了学生表达能力的考查.用科学、准确的语言表达点坐标和含义;用图形来表达对实际问题的理解.考试评价改革是让核心素养落地的最直接、最重要的保障.试题的命制包括立意、情境、设问三个方面.试题的立意是试题的考查目的，情境是实现立意的材料和介质，设问是试题的呈现方式.以上两个一次函数中考试题无论从立意、还是情境，设问都能够很好的考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力.从解题的角度出发，应该重点培养学生读图的能力，数与形是不分家的，只有充分了解图形的含义，尤其是每一个点的含义是解决问题的根本.画图能力的要求提高，也是学生数学表达能力的很好体现，利用所画图象可以更方便、更快捷的解决生活中的问题.。

(完整word版)一次函数方案选择问题

利用一次函数选择最佳方案(1)根据自变量的取值范围选择最佳方案:A 、列出所有方案，写出每种方案的函数关系式；B 、画出函数的图象，求出交点坐标，利用图象来讨论自变量在哪个范围内取哪种方案最佳。

（2）根据一次函数的增减性来确定最佳方案：A 、首先弄清最佳方案量与其他量之间的关系，设出最佳方案量和另外一个量，建立函数关系式。

B 、根据条件列出不等式组，求出自变量的取值范围。

C 、根据一次函数的增减性，确定最佳方案。

根据自变量的取值范围选择最佳方案:例1、某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案。

印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。

两种印刷方式的费用y （元）与印刷份数x （份）之间的函数关系如图所示：（1）填空：甲种收费方式的函数关系式是_______ ____。

乙种收费方式的函数关系式是_______ ____。

（2）该校某年级每次需印制100∽450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算。

例2、某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠，”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠，”已知全票价为240元，设学生人数为x ，甲旅行社的收费为甲y （元），乙旅行社的收费为乙y （元）。

（1）分别表示两家旅行社的收费甲y ，乙y 与x 的函数关系式；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠；（2）根据一次函数的增减性来确定最佳方案：例3、博雅书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款不高于2224元，预计这100本图书全部售完的利润（1）有哪几种进书方案？（2）在这批图书全部售出的条件下，（1）中的哪种方案利润最大？最大利润是多少？（3）博雅书店计划用（2）中的最大利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，最多可以购买排球和篮球共多少个？请你直接写出答案。

(完整word版)一次函数

2.2.1 一次函数的性质与图象【学习目标】1.理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质．(重点)2.会用一次函数的图象和性质解题．(难点) 【重点】会用一次函数的图象和性质解题【难点】会用一次函数的图象和性质解题1．一次函数的概念函数叫做一次函数，它的定义域为R ，值域为R .一次函数的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的 .一次函数又叫 .2．一次函数的性质(1)平均变化率：即为直线的斜率k ；设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为直线上任意两点，则 . (k 与两点在直线上的位置无关)．(2)单调性：k >0时，y ＝kx ＋b 为增函数，k <0时，y ＝kx ＋b 为 .(3)奇偶性：b ＝0时，y ＝kx ＋b 为奇函数(此时为正比例函数)，b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数． (4)直线y ＝kx ＋b 与坐标轴的交点：与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b k ，0，与y 轴的交点坐标为(0，b )．1．思考辨析(1)函数y ＝7x是一次函数．( )(2)函数y ＝2x ＋3是单调递增函数．( )(3)一次函数y ＝x －1的图象过第一、二、三象限．( ) 2．设函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是增函数，则有( ) A ．a ≥12 B ．a ≤12 C ．a >－12 D ．a >123．一次函数y ＝－2x ＋3的图象与两坐标轴的交点坐标是( )A ．(0,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0 B ．(1,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，1 C ．(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32 D ．(3,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32 4．已知一次函数y 1＝x 2＋2，y 2＝x3＋3，当x ∈________时，y 1>y 2.【情境引入】(1)已知y ＝(α＋1) x α－1＋2是一次函数，则α＝______.(2)已知函数y ＝3mx ＋2m ＋1，试求m 为何值时，①这个函数为正比例函数；②这个函数为一次函数；③函数值y随x的增大而减小．[跟踪训练]1．下列函数：①y＝－2x，②y＝15－6x，③c＝7t－35，④y＝1x＋2，⑤y＝13x，⑥y＝x2x，其中正比例函数是________，一次函数是________．(填序号)画出函数y＝2x＋1的图象，利用图象求：(1)方程2x＋1＝0的根；(2)不等式2x＋1≥0的解集；(3)图象与坐标轴的两个交点间的距离．母题探究：(变结论)本例中已知条件不变，求(1)当－3≤y≤3时，x的取值范围？(2)图象与坐标轴围成的三角形的面积．[探究问题]已知函数y＝x＋1，y＝2x，y＝－x＋1，图2211．上述函数的图象有何特点？2．观察以上图象，试说明函数的单调性．已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，当m为何值时：(1)这个函数为一次函数；(2)函数值y随x的增大而减小；(3)此函数为奇函数；(4)此函数图象与直线y＝x＋1的交点在y轴上．[跟踪训练]2．已知f(x)为一次函数且满足4f(1－x)－2f(x－1)＝3x＋18，求函数f(x)在[－1,1]上的最大值，并比较f(2 017)和f(2 018)的大小.1．过点(3，m)、(m，－4)的一次函数解析式y＝25x＋b，则实数m的值是( )A．2 B．－4 C．0 D．－22．函数y＝kx－1与y＝－kx在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的( )3．对于函数y＝5x＋6，y的值随x的值减小而________．4．若一次函数y＝(3a－8)x＋a－2的图象与两坐标轴都交于正半轴，则a的取值范围是________．5．已知y＝(m－1)xm2－3m＋3＋2是一次函数，且为增函数，求m的值.【课堂小结】【总结反思】一、选择题1．一次函数y＝kx＋b(k＞0，b＜0)的图象不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数y＝kx＋k2－k过点(0,2)且是减函数，则k的值为( )A．－2 B．－1C ．－1,2D ．1，－23．若函数y ＝ax 2＋x b －1＋2表示一次函数，则a ，b 的值分别为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝24．一个水池有水60 m 3，现将水池中的水排出，如果排水管每小时排水量为3 m 3，则水池中剩余水量Q 与排水时间t 之间的函数关系是( )A ．Q ＝60－3tB ．Q ＝60－3t (0≤t ≤20)C ．Q ＝60－3t (0≤t <20)D ．Q ＝60－3t (0<t ≤20)5．两条直线y 1＝ax ＋b 与y 2＝bx ＋a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )二、填空题6．已知点A (－4，a )，B (－2，b )都在直线y ＝12x ＋k (k 为常数)上，则a 与b 的大小关系是a ________b (填“>”“<”或“＝”)．7．一次函数f (x )＝(1－m )x ＋2m ＋3在[－2,2]上总取正值，则m 的取值范围是________．8．一次函数y ＝(3a －7)x ＋a －2的图象与y 轴的交点在x 轴上方，且y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围是________.三、解答题9．某航空公司规定乘客所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图222所示的一次函数确定，求乘客可免费携带行李的最大质量．图22210．已知函数y ＝(2m ＋1)x ＋2－3m ，m 为何值时： (1)这个函数为正比例函数；(2)这个函数为一次函数；(3)函数值y 随x 的增大而增大；(4)这个函数图象与直线y ＝x ＋1的交点在x 轴上.[冲A 挑战练]一、选择题1．已知kb <0，且不等式kx ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x >－bk ，则函数kx ＋b >0的图象大致是( )2．过点A (－1,2)作直线l ，使它在x 轴，y 轴上的截距相等，则这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题3．已知一次函数y ＝f (x )的图象过点(0，－3)，不等式f (x －1)>0的解集为{x |x >2}，则f (x )＝________. 4．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y ＝f (x )的解析式为________. 三、解答题5．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝x －3，y ＝－x －4，y ＝－2三个函数中的最大者，用分段函数的形式写出f (x )的解析式，并求f (x )的最小值．答案1．思考辨析[解析] (1)× 函数y ＝7x是反比例函数(2)√ 函数y ＝2x ＋3的斜率k ＝2>0，所以函数是单调递增函数．(3)× 一次函数y ＝x －1的斜率k >0，b <0所以其图象过一、三、四象限． [答案] (1)× (2)√ (3)×2．D [∵y ＝f (x )为R 上的增函数，∴2a －1>0，∴a >12.]3．A [当x ＝0时，y ＝3，过点(0,3)；当y ＝0时，x ＝32，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故选A.]4．(6，＋∞) [由y 1>y 2可得x 2＋2>x3＋3，解得x >6，所以x ∈(6，＋∞)．]解](1)由题意得⎩⎨⎧α＋1≠0，α－1＝1，解得⎩⎨⎧α≠－1，α＝2，即α＝2.[答案] 2(2)①若y ＝3mx ＋2m ＋1是正比例函数，则m 应满足⎩⎨⎧m ≠0，2m ＋1＝0.解得m ＝－12.∴当m ＝－12时，这个函数是正比例函数．②当m ≠0时，这个函数为一次函数．③根据一次函数性质可知，当m ＜0时，y 随x 的增大而减小．[规律方法] 对于函数y ＝kx a ＋b ，当a ＝1，k ≠0时，为一次函数；当a ＝1，k ≠0，b ＝0时，为正比例函数.[跟踪训练]1．[答案] ①⑤ ①②③⑤轴交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，过A 、B 作直线，直线AB 就是函数[解] 因函数y ＝2x ＋1的图象与y 轴交点A (0,1)，与xy ＝2x ＋1的图象．如图所示：(1)直线AB 与x 轴的交点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，所以方程2x ＋1＝0的根为x ＝－12.(2)从图象上可以看到，射线BA 上面的点的纵坐标都不小于零，即y ＝2x ＋1≥0.因为射线BA 上点的横坐标满足x ≥－12，∴不等式2x ＋1≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫xx ≥－12.(3)图象与x 轴的交点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，与y 轴交于点A (0,1)，因此，|OA |＝1，|OB |＝12.由勾股定理得：|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52. [规律方法] 解决与图象有关的问题，要做好图，识图分析，注意数形结合思想的应用. 母题探究：[解] (1)过(0，－3)点作平行于x 轴的直线，交直线AB 于点D (－2，－3)．过点(0,3)作平行于x 轴的直线，交直线AB 于点C (1,3)．从图象中可见，线段DC 上的点的纵坐标满足－3≤y ≤3，而横坐标满足－2≤x ≤1. ∴当－3≤y ≤3时，x 的取值范围为－2≤x ≤1. (2)∵△AOB 是直角三角形， ∴S △AOB ＝12|OB |·|OA |＝12×12×1＝14.[探究问题]1．提示：图象都为直线．2．提示：函数y ＝x ＋1，y ＝2x 为增函数，函数y ＝－x ＋1为减函数．[思路探究] 本题主要考查一次函数的概念、奇偶性与单调性，第(1)(2)(3)问易求，对于第(4)问要重视方程组的作用．[解] (1)当2m －1≠0，即m ≠12时，此函数为一次函数．(2)根据一次函数的性质，可知当2m －1<0，即m <12时，函数值y 随x 的增大而减小．(3)当2m －1≠0，且1－3m ＝0，即m ＝13时，此函数为奇函数．(4)在y ＝x ＋1中，令x ＝0，y ＝1，∴(0,1)是在y ＝(2m －1)x ＋1－3m 的图象上，∴m ＝0，∴当m ＝0时，两直线的交点在y 轴上． [规律方法] 一次函数的值域或一次函数的最大值、最小值，常利用一次函数的单调性来求解. [跟踪训练]2．[解] 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．由已知可得4[k (1－x )＋b ]－2[k (x －1)＋b ]＝3x ＋18.整理，得－6kx ＋6k ＋2b ＝3x ＋18.∴⎩⎨⎧－6k ＝3，6k ＋2b ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝212.∴f (x )＝－12x ＋212，易得f (x )在[－1,1]上为减函数(在R 上也是减函数)．∴函数f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝11且f (2 017)>f (2 018)．1．D [由Δy Δx ＝－4－m m －3＝25，得m ＝－2.]2．B [在A 中，直线是上升的，知k >0，由曲线的位置知－k >0，即k <0，矛盾；在B 中，曲线的位置正好使k >0，故选B.] 3．减小 [由于一次函数的斜率5>0，所以一次函数是增函数，所以y 值随x 的减小而减小．]4．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83[由题意，得⎩⎨⎧3a －8<0，a －2>0，解得2<a <83.]5．[解]∵函数为一次函数且单调递增，∴⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1，m －1>0，∴⎩⎨⎧m ＝1或m ＝2，m >1.∴m ＝2.一、选择题1．B [直线y ＝kx ＋b (k ＞0，b ＜0)经过点(0，b )，在y 轴的负半轴上，且y 是x 的增函数．]2．B [将点的坐标代入函数关系式，得k 2－k ＝2，即k 2－k －2＝0，所以k ＝－1或k ＝2，由于一次函数为减函数，即k <0，所以k ＝－1，故选B.]3．C[若函数为一次函数，则有⎩⎨⎧a ＝0，b －1＝1，即⎩⎨⎧a ＝0.b ＝2.]4．B [∵每小时的排水量为3 m 3，t 小时后的排水量为3t m 3，故水池中剩余水量Q ＝60－3t ，且0≤3t ≤60，即0≤t ≤20.] 5．A [对于A ，y 1中a >0，b <0，y 2中b <0，a >0，y 1和y 2中的a 、b 符号分别相同，故正确；对于B ，y 1中a >0，b >0，y 2中b <0，a >0，故不正确；对于C ，y 1中a >0，b <0，y 2中b <0，a <0，故不正确；对于D ，y 1中a >0，b >0，y 2中b <0，a <0，故不正确．] 二、填空题6．< [过A 、B 两点的直线的斜率为12，则b －a －2－－4＝12，即b －a 2＝12，所以b ＝a ＋1，因此a <b .]7．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞[对于一次函数不论是增函数还是减函数，要使函数值在[－2,2]上总取正值，只需⎩⎨⎧f－2>0，f2>0.即⎩⎨⎧2m －2＋2m ＋3>0，2－2m ＋2m ＋3>0.解之得m >－14.]8．2<a <73 [∵关于x 的一次函数的图象与y 轴的交点在x 轴上方，且y 随x 的增大而减小，∴⎩⎨⎧3a －7<0a －2>0，解得2<a <73.]三、解答题9．[解] 设题图中的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，其中y ≥0.由题图，知点(40,630)和(50,930)在函数图象上，∴⎩⎨⎧630＝40k ＋b ，930＝50k ＋b ，得⎩⎨⎧k ＝30，b ＝－570.∴函数解析式为y ＝30x －570.令y ＝0，得30x －570＝0，解得x ＝19. ∴乘客可免费携带行李的最大质量为19 kg.10．[解](1)由⎩⎨⎧2m ＋1≠0，2－3m ＝0；得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－12，m ＝23.即m ＝23；(2)当2m ＋1≠0时，函数为一次函数，所以m ≠－12；(3)由题意知函数为增函数，即2m ＋1>0，所以m >－12；(4)直线y ＝x ＋1与x 轴的交点为(－1,0)，将点的坐标(－1,0)代入函数表达式，得－2m －1＋2－3m ＝0，所以m ＝15.[冲A 挑战练]一、选择题1．B[由kb <0，得k 与b 异号，由不等式kx ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－bk ，知k >0，所以b <0，因此选B.] 2．B [当直线在两个坐标轴上的截距都为0时，点A 与坐标原点的连线符合题意，当直线在两坐标轴上的截距相等且都不为0时，只有当直线斜率为－1时符合，这样的直线只有一条，因此共2条．]二、填空题3．3x －3 [设一次函数为y ＝kx ＋b (k ≠0)，因y ＝f (x )的图象过点(0，－3)，所以b ＝－3.f (x －1)>0，即kx －k －3>0，由题意知，k ＋3k＝2，所以k ＝3.]4．f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋73[设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)当k >0时，⎩⎨⎧－k ＋b ＝1，2k ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝53.∴f (x )＝23x ＋53.当k <0时，⎩⎨⎧－k ＋b ＝3，2k ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－23，b ＝73，∴f (x )＝－23x ＋73.∴f (x )的解析式为f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋73.]三、解答题5．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝x －3，y ＝－x －4，y ＝－2三个函数中的最大者，用分段函数的形式写出f (x )的解析式，并求f (x )的最小值． [解] 在同一坐标系中作出函数y ＝x －3，y ＝－x －4，y ＝－2的图象，如图所示．由⎩⎨⎧y ＝－x －4，y ＝－2，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2，即A (－2，－2)．由⎩⎨⎧y ＝x －3，y ＝－2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2，即B (1，－2)．根据图象，可得函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧－x －4，x <－2，－2，－2≤x ≤1，x －3，x >1.由上述过程及图象可知，当－2≤x ≤1时，f (x )均取到最小值－2.。

一次函数应用题的解题方法

一次函数应用题的解题方法一次函数应用题的解题方法一、直接代入法直接代入法是将题目中的关键信息转化为代数式，然后根据函数关系列出一次函数的解析式，最后解决问题的方法。

例如，东风商场的一种毛笔售价为25元，一本书法练本售价为5元。

商场制定了甲、乙两种优惠方式：甲为每购买1支毛笔赠送1本书法练本，乙为按照购买金额打9折付款。

某书法小组想购买10支毛笔和x（x≥10）本书法练本。

1）分别列出甲、乙两种优惠方式下的实际付款金额y甲（元）和y乙（元）与x之间的函数关系式。

2）比较不同数量的书法练本时，哪种优惠方式更省钱。

3）商场允许选择一种或两种优惠方式购买，请设计最省钱的购买方案。

1）y甲=10×25+5（x-10）=5x+200（x≥10）y乙=10×25×0.9+5×x×0.9=225×0.9+4.5x2）比较y甲和y乙的大小，得到：当y甲=y乙时，5x+200=225×0.9+4.5x，解得x=50；当y甲>y乙时，5x+200>225×0.9+4.5x，解得x>50；当y甲<y乙时，5x+200<225×0.9+4.5x，解得x<50.因此，当购买50本书法练本时，两种优惠方式的实际付款相同，可以任选一种；当购买的书法练本数量在10到50之间时，选择甲优惠方式更省钱；当购买的书法练本数量大于50时，选择乙优惠方式更省钱。

3）设按照甲优惠方式购买a（0≤a≤10）支毛笔，则可以获赠a本书法练本。

按照乙优惠方式购买10-a支毛笔和（60-a）本书法练本。

总费用为y=25a+25×0.9×（10-a）+5×（60-a）=495-2a。

因此，当a最大（即a=10）时，y最小。

因此，最省钱的购买方案是先按照甲优惠方式购买10支毛笔，然后按照乙优惠方式购买50本书法练本。

(完整版)一次函数的解题技巧

一次函数的解题技巧一次函数是初中数学最重要的内容之一，它的知识结构体系非常丰富，在具体的解题过程中会运用到许多重要的思想方法：如数形结合思想，函数思想，转化和化归的思想，综合运用思想等，掌握一次函数的解题技巧，可以提高同学们的学习效率，下面举例说明：一：数形结合思想例1 如图，直线y=ax+b经过点A（-1，-2）和B（-2，0），直线y=2x过点A，则不等式02≤+<bkxx的解集是为：（）A.x<-2B.-2<x<-1C.-2<x<0D.-1<x<0分析：根据不等式2x＜kx+b＜0体现的几何意义得到：直线y=kx+b上，点在点A与点B之间的横坐标的范围．解答：解：不等式2x＜kx+b＜0体现的几何意义就是直线y=kx+b上，位于直线y=2x上方，x轴下方的那部分点，显然，这些点在点A与点B之间．故选B．点评：本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．练习1：直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k1x+b＜k2x+c的解集为（）A ．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2练习2：如图，L甲、L乙分别是甲、乙两弹簧的长ycm与所挂物体质量xkg之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的关系是（）A．k甲＞k乙B．k甲=k乙C．k甲＜k乙D．不能确定二：函数思想通过学习函数使我们逐步用函数的观点，方法去思考问题，将已知条件或所给数量关系进行转化，借助函数的图像或性质去解决问题。

例2 育才中学需要添置某种教学仪器．方案1：到商家购买，每件需要8元；方案2：•学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用费120元．设需要仪器x件，方案1与方案2的费用分别为y1，y2（元）．（1）分别写出y1，y2的函数表达式；（2）当购置仪器多少件时，两种方案的费用相同？（3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？请说明理由．解：（1）y1=8x，y2=4x+120．（2）y1=y2，则x=30．（3）当x=50时，y1=400，y2=320，∴y2<y1选用方案（2）便宜．练习1• 如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（）A．①②B．②③④C．②③D．①②③练习 2 如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象），•根据图象解答下列问题：（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？三：转化和化归的思想转化和化归思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题例3 函数y=2x与y=x+1的图象的交点坐标为（）分析：根据两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，所以解方程组即可得到两直线的交点坐标（1，2）．考点：1.两条直线相交或平行问题；2.直线上点的坐标与方程的关系．练习1过点（-1，7）的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线1+x23-y平行．则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是（）练习2已知一次函数y=kx+3的图象与直线y=2x平行，那么此一次函数的解析式为（）。

八年级数学下册 4.5 一次函数的应用一次函数的解题方法素材 (新版)湘教版

一次函数的解题方法一次函数在实际的应用当中是相当的广泛的，不论是解决实际的问题还是抽象的问题．一次函数的性质的运用是解决这些问题的途径，因此我们具体说明一次函数的解题方法．一、有关产品销售决策问题例 1 某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图1表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求y1与y2的函数解析式；（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？分析：（1）由图可得出每个图象上两点坐标，用待定数系法可求出两函数解析式；（2）根据图象和（1）可说明两种方案；（3）结合图象和（2）可选方案．解：（1）由图象知y1是x的正比例函数，y2是x的一次函数，因而可设y1=kx，y2=mx+n．将（30，600）坐标代入y1=kx，得k=20，所以y1=20x；将（0，300）、（30，600）的坐标分别代入y2=mx+n，解得m=10，n=300．所以y2=10x+300．（2）y1表示不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元；y2表示保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．（3）若业务能力强，平均每月能保证推销多于30件，就选择y1付费方案，否则，选择y2付费方案．二、有关气温决策问题例2 春秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到0℃以下的天气现象称为“霜冻”，由霜冻导致植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害．某种植物在气温是0℃以下持续时间超过3小时，即遭受霜冻灾害．需采取预防措施．右图是气象台某天分布的该地区气象信息，预报了次日0时-8时气温随时间变化情况，其中0时-5时，5时-8时的图象分别满足一次函数关系，请你根据图中信息，针对这种植物判断次日是否需要采取防霜冻措施，并说明理由．分析：由图象知：0时-5时和5时-8时的图象都满足一次函数关系，故可设111b x k y +=，222b x k y +=，可求得3561+-=x y ，349382-=x y ．是否需要采取防霜冻措施，需要知道某种植物是否在气温0℃以下持续时间超过3小时，当21,y y 分别为0时，分别求出21,x x ，再作差与3比较．解：设0时-5时的一次函数关系式为111b x k y +=，将点（0，3），（5，-3）分别代入可求得3561+-=x y ．设5时-8时的一次函数关系式为222b x k y +=，将点（8，5），（5，-3）分别代入可求得349382-=x y ．是否需要采取防霜冻措施，需要知道某种植物是否在气温0℃以下持续时间超过3小时，而当21,y y 分别为0时，,849,2521==x x 而38292584912〉=-=-x x ．故需要采取防霜冻措施．三、有关运输调配决策问题例3 夏天容易发生腹泻等肠道疾病，益阳市医药公司的甲乙两仓库内分别存在医治腹泻的药品80箱和70箱，现需要将库存的药品调往南县100箱和沅江50箱，已知从甲乙两仓库内运送药品到两地的费用（元∕箱）如下表所示：（1）设从运送到南县的药品为x 箱，求总费用y 元与x 箱之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求出最低费用，并说明总费用最低时的调配方案．解：（1）由题意知从甲仓库运送到沅江的药品为（80-x ）箱，从乙仓库运送到南县的药品为（100-x ）箱，从乙仓库运送到沅江的药品为（x-30）箱．故y=14x +10（80-x ）+20（100-x ）+8（x-30）=-8x+2560．（30≤x ≤80）．（2）因为在函数y=-8x+2560中，y 随x 的增大而减小，所以x=80时，1920min y （元），总费用最低时调配方案为：甲仓库的80箱全部运往南县，乙仓库的20箱运往南县，50箱运往江．。

2019年高考数学一次函数应用题的做题技巧-优秀word范文 (3页)

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==高考数学一次函数应用题的做题技巧导语;一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。

其中x是自变量，y是因变量，k为一次项系数，y是x的函数。

下面是小编为大家整理的，数学知识，更多相关信息请关CNFLA学习网!数学一次函数应用题解题技巧：例1：一个弹簧，不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。

如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.解：由题意设所求函数为y=kx+12则13.5=3k+12解k=0.5∴y与x的函数关系式为y=0.5x+12由题意，得：23=0.5x+12=22解之，x=22∴自变量x的取值范围是0≤x≤22例2：(1)y与x成正比例函数，当y=5时，x=2.5，求这个正比例函数的解析式.(2)已知一次函数的图象经过A(-1，2)和B(3，-5)两点，求此一次函数的解析式.解：(1)设所求正比例函数的解析式为y=kX把y=5，x=2.5代入上式得，5=2.5k解得k=2∴所求正比例函数的解析式为y=2X(2)设所求一次函数的解析式为y=kx+b∵此图象经过A(-1，2)、B(3，-5)两点，此两点的坐标必满足y=kx+b，将x=-1、y=2和x=3、y=-5分别代入上式，得2=-k+b,-5=3k+b解得k=-7/4,b=1/4∴此一次函数的解析式为y=-7x/4+1/4例3：拖拉机开始工作时，油箱中有油20升，如果每小时耗油5升，求油箱中的剩余油量Q(升)与工作时间t(时)之间的函数关系式，指出自变量t的取值范围，并且画出图象.分析：拖拉机一小时耗油5升，t小时耗油5t升，以20升减去5t升就是余下的油量.解：函数关系式：Q=20-5t，其中t的取值范围：0≤t≤4。

求一次函数表达式的方法：23招经典解法

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例：（中考常州）已知一次函数y=kx+b（k，b为常数且）的图象经过点A （0，－2）和点B（1，0），则k=______，b=______.答案：k=2，b=－2例：（中考重庆）已知正比例函数的图象经过点（1，－2），则这个正比例函数的表达式为______答案：y=－2x常见解法：1、定义式例，已知函数是一次函数，求其解析式。

解析：该函数是一次函数解得，m=±3,又m≠3∴m=－3故解析式为：y=－6x+32、点斜式要点：如何求k？（1）公式：（2）图象（比值）：||= (两直角边的比）（3）增量：V（速度）、P（电功率）（4）每每（美美题）：（5）平移变换：k值相等（6）垂直变换：（7）对称变换：|k|、|b|不变（8）相似比：(略)（9）正切值：tanα（斜率）（10）旋转变换：（略）例，已知一次函数y=kx－3的图象过点（2，－1），求这个函数解析式。

解析：方法一：（代入法）将点（2,－1）代入y=kx－3得，－1=2k－3，解得，k=1故解析式为：y=x－3方法二：（一点式）解析：一次函数y=kx－3的图象过点（2，－1）可令y=k(x－2)－1=kx－2k－1－2k－1=－3,解得，k=1这个函数解析式为y=x－33、两点式例，一次函数经过（－2，0)、(0，4),求此函数的解析式。

(完整版)利用一次函数解决实际问题(含答案)

利用一次函数解决实际问题在利用一次函数解决实际问题时，会经常遇到这样的问题，在有的题目中，不论自变量x怎样变化，y和x的关系始终保持一次函数关系，而有的题目中，当自变量x发生变化时，随着x的取值范围不同，y和x的函数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发生了变化.这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，我们把这类函数归类为分段函数.请同学们注意，这类函数在自变量的整个取值范围内不是一次函数，但把它适当分为几段后，每段内一般来说还仍然是一次函数。

因此，解这类分段函数的基本思路是：首先按照实际问题的意义，把x 的取值范围适当分为几段，然后，根据每段中的函数关系分别求解.请同学们完成下面的习题：1.商店在经营某种海产品中发现，其日销量y(kg)和销售单价x（元）/千克之间的函数关系如图所示.①写出y与之间的函数关系式并注明x的取值范围；②当单价为32元/千克时，日销售量是多少千克？③当日销售量为80千克时，单价是多少？第1题第2题2.(南京)某城市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20cm3时，按2元/立方米计费；月用水量超过20cm3时，超过的部分按2.6元/立方米计费.设每户家庭的月用水量为x cm3时，应交水费y元，①试求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数关系式.②小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月五月六月交纳金额（元）30 34 42.6小明家这个季度共用水多少立方米？3.自2008年3月1日起，我国征收个人所得税的起点由1600元提高到2000元，即月收入超过2000元的部分为全月应纳税所得额.全月应纳税所得额的划分和相应的税率如下表所示.设某人的月工资收入为x（元），月缴纳个人所得税为y（元），①试求出y与x间的函数关系式并注明x的取值范围.②如果某人月工资为3000元，问此人依法缴纳个人所得税后，他的实际收入是多少元？4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6 cm AD=10cm,动点M从点B出发，以每秒1cm 的速度沿BA-AD-DC运动，当M运动到点C时，点M停止运动.设点M的运动时间为t(s)，△BMC的面积为S（cm2）.①点M分别到达点A、点D、点C时，点M的运动时间；②求S与t之间的函数关系式，并注明t的取值范围；③当t=6s时，求△BMC的面积；④当△BMC的面积是20cm2时，求点M的运动时间.B C M第4题5.甲乙两位同学骑自行车同时从A 地出发行驶到B 地，他们离出发点的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数图像如图所示.根据图中提供的信息，①分别求出甲在停留前后s 与t 的函数关系式； ②求出乙的行驶过程中s 与t 的函数关系式；③比较甲在停留前后的速度和乙的速度，三个速度中的速度最大，的速度最小；④甲在停留之前超过乙的最大距离；⑤经过多长时间乙追上甲？乙追上甲时，他们距离出发地点多少千米？⑥甲停留以后又出发时，乙超过甲多少千米？ ⑦乙在到达目的地后，甲距目的地还有多少千米？⑧假设甲乙到达目的地后均不停留，分别按原来的速度继续前进，问甲能否追上乙？若能追上，从两人开始出发时计时，经过几小时甲追上乙；若不能追上，请说明理由.6.(2008·济南)济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）.储运部库存物资s(吨)与时间（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）小时.A.4B.4.4C.4.8D.5（小时）第5题第6题参考答案1.①20≤x≤30时，y=-5x+200;30≤x≤35时y=-10x+350;，②30；③24.2. ①0≤x≤20时，y=-2x;x＞20时，y=2.6x+-1.2②15+17+21=533. 2000≤x＜2500时，y=0.05x-100，y=0.1x-225 4500≤x＜7500时，y=0.15x-4504. ①6s;16s;22;②0≤t＜6时，s=5t;6≤t＜16时，s=30;16≤t＜22时，s=110-5t③20;④4s或18s5.①0≤t≤0.25时,s=18t; 1≤t≤2时,s=13.5t-9②s=12t.③甲在停留前的速度最大；乙的速度最小.④1.5千米.⑤0.375小时，4.5千米.⑥7.5千米.⑦6.75千米.⑧能追上，6小时.6. B。

八年级数学下册 4.5 一次函数的应用解题指导怎样解一次函数中的有关方案问题素材 (新版)湘教版

怎样解一次函数中的有关方案问题一次函数中的有关方案问题语言叙述较多，数据量较大，给同学们的审题、解题带来很多不便，造成解题失误较多．这里向同学们介绍三种处理这类问题的方法，供同学们参考．一、直译法即将题中的关键语句“译”成代数式找出函数关系，列出一次函数解析式，从而解决问题的方法．例1．东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．该商场为促销制定了两种优惠办法．甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x≥10）本.（1）写出每种优惠办法实际付款金额y甲（元）、 y乙（元）与x（本）之间的函数关系式；（2）比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱；（3）如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买．请你就购买这种毛笔10支和书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案．分析：本题根据题意，按要求将文字语言翻译成符号语言，从而列出一次函数关系式即可．解：（1）y甲=5x+200（x≥10）； y乙=4.5x+225（x≥10）.（2）由（1），有y甲- y乙=0.5x-25．若y甲－ y乙=0，解得x=50；若y甲－y乙＞0，解得x＞50；若y甲－y乙＜0，解得x＜50.∴当购买50本书法练习本时，用两种优惠办法购买的实际付款数一样，即可任选一种办法付款；当购买本数在10——50之间时，选择优惠办法甲付款省钱；当购买本数大于50本时，选择优惠办法乙付款省钱．（3）选择优惠办法甲购买10支毛笔和10本书法练习本，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱．说明：本题属于“计算、比较、择优型”，它运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了优惠方案的设计问题．二、列表法列表法就是将题目中各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于找函数关系．（即列出表格进行分析，找出函数关系列出一次函数解析式）．例2. 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品，共50件．已知生产一件A 种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．（1）要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来；（2）生产A 、B 两种产品获总利润是y （元），其中一种的生产件数是x ，试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?分析：本题中共出现了9个数据，其中涉及甲、乙种原料的数量、生产A 、B 两种产品的总件数及两种产品所获得的利润，为了清楚地整理题目所涉及的各个信息，我们采用如下的列表法．说明：本题是利用不等式组的知识，得到几种生产方案的设计，再利用一次函数性质得出最佳设计方案问题．解：（1）设安排生产A 种产品x 件，则生产B 种产品是（50-x ）件．由题意得⎩⎨⎧≤-+≤-+290)50(103360)50(49x x x x 解不等式组得30≤x≤32．因为x 是整数，所以x 只取30、31、32，相应的（50-x ）的值是20、19、18．所以，生产的方案有三种，即第一种生产方案：生产A 种产品30件，B 种产品20件；第二种生产方案：生产A 种产品31件，B 种产品19件；第三种生产方案：生产A 种产品32件，B 种产品18件．（2）设生产A 种产品的件数是x ，则生产B 种产品的件数是50-x ．由题意得y=700x+1200（50-x ）=-500x+6000．（其中x 只能取30，31，32）．因为 -500<0, 所以此一次函数y 随x 的增大而减小，所以当x=30时，y 的值最大．因此，按第一种生产方案安排生产，获总利润最大，最大利润是：-500·3+6000=4500（元）．三、图示法即用图形来表示题中的数量关系，从而观察找出函数关系，此法对于有关一次函数问题非常有效，直观明了．例3.某市的C 县和D 县上个月发生水灾，急需救灾物质10吨和8吨．该市的A 县和B 县伸出援助之手，分别募集到救灾物质12吨和6吨，全部赠给C 县和D 县．已知A 、B 两县运货到C 、D 两县的运费（元/吨）如表所示：（1）设B 县运到C 县的救灾物质为x 吨，求总运费w 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；（2）求最低总运费，并说明运费最低时的运送方法．分析：本题中所给的信息量大，数据也较多，为梳理各个量之间的关系，我们可以采用如下的图示整理信息．解：（1）w=30x+80(6-x)+40(10-x)+50[12-(10-x)]= -40x+980.自变量X 的取值范围是:0≤x≤6.（2）由（1）可知，w 随x 增大而减少，∴当x=6时，总运费最低．最低总运费 w=-40×6+980=740（元）．此时的调运方案是：把B 县的6吨全部运到C 县，再从A 县运4吨到C 县，A 县余下Ｃ县 A 县B 县Ｄ县 x 6－x 10-x 12-(10-x)的8吨全部运到D县．说明：本题运用了函数思想得出了总运费W与变量x的一般关系，再根据要求运用方程思想、不等式等知识解决了调运方案的设计问题．并求出了最低运费价．。

一次函数的简单应用(解析版)

5.5一次函数的简单应用一、数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.二、正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要点：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 三、选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.一、单选题1．小苏现已存款180元．为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款10元，则存款总金额y （元）与时间x （月）之间的关系式是（）A ．10y x =B ．180y x =C ．18010y x =-D ．18010y x =+ 【答案】D【提示】根据存款总数=已存款180元+x 个月的存款数，可以写出存款总金额y （元）与时间x （月）之间的函数关系式，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，18010y x =+．故选：D ．【点睛】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出其中的函数关系式． 2．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（） A ．正方形的面积S 随着边长x 的变化而变化 B ．正方形的周长C 随着边长x 的变化而变化C ．水箱有水10L ，以0.5L/min 的流量往外放水，水箱中的剩水量L V 随着放水时间min t 的变化而变化D ．面积为20的三角形的一边a 随着这边上的高h 的变化而变化【答案】B【提示】先依据题意列出函数关系式，然后依据函数关系式进行判断即可．【解答】解：A 、正方形的面积S 随着边长x 的变化而变化的关系式，关系式为S ＝x2，不是正比例函数，故错误；B 、正方形的周长C 随着边长x 的变化而变化，关系式为C ＝4x ，是正比例函数，故正确；C 、水箱有水10L ，以0.5L/min 的流量往外放水，水箱中的剩水量L V 随着放水时间min t 的变化而变化，关系式为V ＝10−0.5t ，不是正比例函数，故错误；D 、面积为20的三角形的一边a 随着这边上的高h 的变化而变化的关系式为a ＝40h，不是正比例函数，故错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义：形如y=kx （k≠0）的函数为正比例函数是解题的关键．3．小张加工某种机器零件，工作一段时间后，提高了工作效率．小张加工的零件总数m （单位：个）与工作时间t （单位：时）之间的函数关系如图所示，则小张提高工作效率前每小时加工零件（）个A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【提示】此题只要能求出3时之后的一次函数解析式，从而求出当x=3时的纵坐标，除以3即可．【解答】解：从图象可知3时之后的函数图象为一次函数且经过(5,24)，(6,30) 设该时段的一次函数解析式为：y kx b =+，可列出方程组：524630k b k b +=⎧⎨+=⎩，求解得：66k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数解析式为：66y x =-，当3x =时，12y =，1234∴÷=故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握求解一次函数解析式和掌握图象中的关键拐点含义是解题的关键．4．食用油沸点的温度远高于水的沸点温度（100℃）．小明为了用刻度不超过100℃的温度计测量出某种食用油沸点的温度，在锅中倒人一些这种食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔10s 测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表：时间/s t10 20 30 40油温/y ℃ 10 30 50 70 90而且，小明发现，烧了110s 时，油沸腾了．你估计这种油沸点的温度是（）A ．200℃B ．230℃C ．260℃D ．290℃【答案】B【提示】由表中数据发现油温与时间成一次函数关系，根据表中数据，求出一次函数解析式，然后把x=110代入即可．【解答】解：设油温与时间的函数关系是y=kx+b ，则103010b k b =⎧⎨=+⎩，解得210k b =⎧⎨=⎩ ∴y=2x+10，当x=110时，y=2×110+10=230．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是一次函数的应用，关键是根据表中数据，求出一次函数解析式． 5．八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园ABCD ，莱园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m ，设边BC 的长为x m ，边AB 的长为y m ()x y >．则y 与x 之间的函数表达式为（）A ．212(012)y x x =-+<<B ．()164122y x x =-+<<C ．212(012)y x x =-<<D ．16(412)2y x x =-<< 【答案】B【提示】根据菜园的三边的和为12m ，即可得出一个x 与y 的关系式．【解答】解：根据题意得，菜园三边长度的和为12m ，212y x ∴+=，162y x ∴=-+，0y >，x y >， ∴1602162x x x ⎧-+>⎪⎪⎨⎪>-+⎪⎩，解得412x <<，16(412)2y x x ∴=-+<<，故选：B ．【点睛】本题考查一次函数的应用，理解题目中的数量关系，即菜园三边的长度和为12m ，列出关于x ，y 的方程是解决问题的关键．6．某油箱容量为50L 的汽车，加满汽油后开了200km 时，油箱中的汽油大约消耗了14．如果加满汽油后汽车行驶的路程为km x ，油箱中的剩油量为L y ，则y 与x 之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（）A ．0.0625,0y x x =>B ．500.0625,0y x x =->C ．0.0625,0800y x x =≤≤D ．500.0625,0800y x x =-≤≤ 【答案】D【提示】根据题意列出一次函数解析式，即可求得答案．【解答】解：因为油箱容量为50 L 的汽车，加满汽油后行驶了200 km 时，油箱中的汽油大约消耗了14，可得：14×50÷200＝0.0625L/km ，50÷0.0625＝800（km ），所以y 与x 之间的函数解析式和自变量取值范围是：y ＝50−0.0625x ，0≤x≤800，故选D ．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．7．已知A 、B 两地相距600米，甲、乙两人同时从A 地出发前往B 地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①甲每分钟走100米；②2分钟后，乙每分钟走50米；③甲比乙提前3分钟到达B 地；④当x=2或6时，甲乙两人相距100米．其中，正确的是( )A．①②③B．②③④C．①②④D．①②【答案】C【提示】根据函数图像中的信息，逐一解答即可判定．【解答】解：由图像可得：①甲图像是正比例函数，甲每分钟走600÷6=100(米)，故①正确；②两分钟后，乙每分钟走5003005062-=-(米)，故②正确；③甲到达B地所用的时间是6分钟，乙前2分钟走300米，2分钟之后速度为50米/分，2分钟之后所用的时间为600300650-=(分)，所以甲比乙提前2分钟到达B地，故③不正确；④当x=2时，甲路程为100×2=200(米)，乙路程为300米，则甲乙两人相距100米；当x=6时，甲路程为600米，乙路程为500米，则甲乙两人相距100米，故④正确；故正确的有①②④，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图像，准确识图并根据函数图像的变化情况获取信息是解题的关键．8．“吉祥物趣事”，某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速行走3600米、当墩墩领先容融1000米时，墩墩停下来休息，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，在整个行走过程中，墩墩和容融之间的距离y（米）与它们出发时间x（分钟）的关系如图所示，下列说法错误的是（）A．容融的速度为40米/分钟B．墩墩休息了23分钟C．第85分钟时，墩墩到达终点D．领先者到达终点时，两者相距200米【答案】B【提示】根据题意和图象中的数据，可以计算出各个选项中的结果是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：由图象可得，容融的速度为：36009040÷=（米/分钟），故选项A正确，不符合题意；÷=（分钟），故选项B错误，符合题意；墩墩休息了：10004025墩墩的速度为：4010005060+÷=（米/分钟），5025(36006050)6085++-⨯÷=（分钟），即第85分钟时，墩墩到达终点，故选项C正确，符合题意；-⨯=（米），(9085)40200即领先者到达终点时，两者相距200米，故选项D正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．牛奶配送员小吴从县城出发，骑配送车到米村配送牛奶，途中遇到在县城上学的外甥张聪从米村步行返校上学，小吴在米村配送牛奶后，在返回县城途中又遇到张聪，便用配送车载上张聪一起返回县城，结果小吴比预计时间晚到5分钟．二人与县城间的距离y（km）和小吴从县城出发后所用的时间x（min）之间的关系如图，假设两人之间的交流时间忽略不计，则下列说法正确的有（）个．①小吴到达米村后配送牛奶所用时间为25min．②小吴从县城出发，最后回到县城用时100min．③两人第一次相遇时，小吴距离米村2km．④张聪从米村到县城步行速度为0.05km/min．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【提示】从图中可以看出小吴和张聪并不是同时出发的，小吴还有在A村停留时间30分钟，小吴去A村和返回速度不一样，这些都可以从图中看出来．小吴到达米村后配送牛奶所用时间为停留时间即65与35的差可对①判断；小吴从县城出发到返回县城所用时间，从图中可以看出包括去时用的时间加在A 村待的时间加上返回遇张聪的时间加上原计划时间再加上晚到1分钟，即可对②进行判断；由图象可知，小吴35分钟后离县城7千米，所以两人第一次相遇即25分钟时小王距县城25×735=5千米，进一步可对③判断；求出两次相遇时的距离及间隔时间即可求出张聪从米村到县城步行速度，从而对④进行判断【解答】①小吴到达米村后配送牛奶所用时间为60-35=25min ，故①正确； ②从图中可以看出小吴从离城7千米到2千米用时85分钟小吴返回的速度=（7-2）÷（85-60）=0.2（千米/分钟），小吴原计划返回用时7÷0.2=35分钟，结果小吴比预计时间晚到5分钟．故小吴从县城出发，最后回到县城用时为35+25+25+10+5=100min ．故②正确； ③由图象可知，小吴35分钟后离县城7千米，所以两人第一次相遇即25分钟时小吴距米村：7-25×735=7-5=2千米，故③正确；④两次相遇时张聪走的路程为5-2=3千米，用时为85-25=60分钟，所以步行速度为：3÷60=0.05千米/分钟，故④正确．正确的结论有4个，故选：D ．【点睛】此题考查了一次函数的应用，注意数形结合以及行程问题的解决方法．10．甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A ，B 两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，56t =或54或154或256．其中正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【提示】直接根据函数图像可判断①②；分别求出两条直线的解析式，令y y =甲乙可判断③；令50y y -=甲乙，结合先出发的时间内以及乙到达目的地的时间进行计算可得结论④．【解答】由图象可知A 、B 两城市之间的距离为300km ，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时， ∴①②都正确；设甲车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y kt =甲，把()5,300代入可求得60k =，60y t ∴=甲，设乙车离开A 城的距离y 与t 的关系式为y mt n =+乙，把()1,0和()4,300代入可得04300m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得100100m n =⎧⎨=-⎩，100100y t ∴=-乙，令y y =甲乙可得：60100100t t =-，解得 2.5t =，即甲、乙两直线的交点横坐标为 2.5t =，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车， ∴③正确；令50y y -=甲乙，可得6010010050t t -+=，即1004050t -=，当1004050t -=时，可解得54t =，当1004050t -=-时，可解得154t =，又当56t =时，50y =甲，此时乙还没出发，当256t =时，乙到达B 城，250y =甲；综上可知当t 的值为56或54或154或256时，两车相距50千米，∴④正确；综上可知正确的有①②③④共4个，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图像上读取信息，读懂题意，理清甲乙两车的行驶情况，运用数形结合思想解题是关键．11．已知A ，B 两地相距3千米，小黄从A 地到B 地，平均速度为4千米/时．若用(x 时)表示行走的时间，(y 千米)表示余下的路程，则y 关于x 的函数解析式是______．【答案】()3400.75y x x =-≤≤【提示】先求出小黄从A 地到B 地所需的时间，从而可得x 的取值范围，再利用余下的路程等于3减去已走的路程即可得．【解答】解：小黄从A 地到B 地所需的时间为340.75÷=（时），则00.75x ≤≤，由题意得：34y x =-，则y 关于x 的函数解析式是()3400.75y x x =-≤≤，故答案为：()3400.75y x x =-≤≤．【点睛】本题考查了一次函数的应用，找准等量关系，并正确求出自变量的取值范围是解题关键． 12．公民的月收入超过5000元时，超过部分须依法缴纳个人所得税，当超过部分在3000 元以内（含3000元）时税率为3%．根据已知信息，公民每月所缴纳税款y （元）与月收入x （元）之间的函数关系式是__________，自变量的取值范围是__________．【答案】 003150.y x =-+ 5000＜x≤8000【提示】超过部分在3000元以内（含3000元）时税率为3%，所以必须从收入中减去5000后，再去考虑缴税多少，即可解答．【解答】解：根据题意可知y 与x 之间的函数关系式为：()50003003150%.y x x =-⨯=-+，（5000＜x≤8000）．故答案为：003150.y x =-+；5000＜x≤8000．【点睛】本题主要考查的是一次函数的实际问题，理解题意，根据题意得出需要缴税的部分为()5000x -元，是解题的关键．13．在槐荫区“勾股数学”杯初中校际联赛中，小明的队伍在第一轮中获得积分50分，第二轮共10道题，每答对一道题得10分，则两轮总积分y （分）与第二轮答对题目数量x （道）之间的关系式为__________（010x ≤≤，x 为正整数）．【答案】5010y x =+【提示】根据“两轮总积分y （分）等于第一轮积分与第二轮积分的和”，用含有x 的代数式表示第二轮的积分即可．【解答】解：由题意得，故答案为：5010y x =+；【点睛】本题考查函数关系式，理解“两轮总积分y （分）”的意义，掌握“积分=每题得分×答对的题目数”是正确解答的关键．14．某公司准备和A 、B 两家出租车公司中的一家签订合同．设A 、B 两出租车公司收费y （元）与行程x （每千米）的关系分别是l1，l2，若行驶大于2500km ，则选择 _____出租车公司较合算．【答案】A【提示】根据函数图象作出判断即可．【解答】解：由图象可知：当1500x <时，12y y >；当1500x >时，12y y <； ∵行驶大于2500km ，即2500x >， ∴选择A 出租车公司较合算，故答案为：A ．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据图象越高费用也越高判断出图象各部分的费用高低，再作出选择是解答本题的关键．15．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为____方．月用水量不超过12方部分超过12方不超过18方部分超过18方部分收费标准（元/方） 2 2.53【答案】20【提示】根据题意可知：先判断出该用户用的水与18方的关系，再设用水x 方，水费为y 元，继而求得关系式为y=39+3（x-18）；将y=45时，代入上式即可求得所用水的方数．【解答】解：∵45＞12×2+6×2.5=39， ∴用户5月份交水费45元可知5月用水超过了18方，设用水x 方，水费为y 元，则关系式为y=39+3（x-18）．当y=45时，x=20，即用水20方．故答案为：20．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，用待定系数法求函数的解析式和根据自变量的值求函数值．弄清对应的水费是解决问题的关键．16．某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量y （微克）随时间x （小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量5y ≥（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是__________小时．【答案】3【提示】当2x ≤时，设1y k x =，把（2，6）代入计算即可得3y x =，当2x >时，设2y k x b =+，把点（2，6），（10，3）代入计算即可得82734y x =-+，把5y =代入3y x =中得53x =，把5y =代入82734y x =-+中得143x =，进行计算即可得．【解答】解：当2x ≤时，设1y k x =，把（2，6）代入得， 162k =，解得，13k =， ∴当2x ≤，3y x =，当2x >时，设2y k x b =+，把点（2，6），（10，3）代入得，2226103k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得，283274k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴当2x >时，82734y x =-+，把5y =代入3y x =中，得53x =，把5y =代入82734y x =-+中，得143x =，则145333-=（小时），即该药治疗的有效时间是3小时，故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质．17．2022年4月7日，许昌市首批新能源出租车上路，新车空间更大，舒适度更高，受到大众欢迎．新车的收费方式也做了调整，新车的打车费用y （单位：元）与行驶里程x （单位：千米）的函数关系如图所示．老款出租的收费方式为：不超过2千米收费5元，超过2千米部分收费1.5元/千米，同时，每次再加收1元的燃料附加费．小明爸爸从家到公司打车上班的行驶里程为22千米，则他上班乘坐新车的打车费用比老款车多______元．【答案】3【提示】待定系数法求出x≥2时y 关于x 的函数解析式，再求出x=22时y 的值可求得新车的费用，根据老款车的收费标准进行计算求得老款车的费用，比较即可求解．【解答】解：当行驶里程x≥2时，设新车的打车费用为y=kx+b ，将（2，7）、（7，15）代入，得：27715k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：85195k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=85x+195，当x=22时，y=85×22+195=39，即新车的打车费用为39（元），老款车的费用为：5+1.5×(22-2)+1=36（元），39-36=3（元）．故答案为：3．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键．18．已知A ，C 两地之间有一站点B ，甲从A 地匀速跑步去C 地，2分钟后乙以50米/分钟的速度从站点B 走向C 地，两人到达C 地后均原地休息．甲、乙两人与站点B 的距离y(米)与甲所用的时间x(分钟)之间的关系如图所示．（1）站点B 到C 地的距离为_____米；（2）当x=_____时，甲、乙两人相遇．【答案】 800 10【提示】（1）由图象可知乙从站点B 到C 地所用时间，再用时间×速度=路程得出结论；（2）先求出甲的速度，再根据追击问题写出方程，解方程即可．【解答】解：（1）根据题意，站点B 到C 地的距离为：50×(18-2)=800(米)，故答案为：800；（2）由图象可知甲的速度：400÷5=80(米/分)，设经过x 分钟，甲、乙两人相遇，则80x=400+50(x-2)，解得x=10，∴甲出发10分钟，甲、乙两人相遇，故答案为：10．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的实际含义，并根据题意列方程是解题的关键．三、解答题19．某种气体在0℃时的体积为100L ，温度每升高1℃，它的体积增加0.37L ． (1)写出气体体积()L V 与温度()t ℃之间的函数表达式(2)求当温度为30℃时气体的体积．(3)当气体的体积为107.4L 时，温度为多少摄氏度？【答案】(1)1000.37V t =+ (2)111.1L (3)20℃【提示】（1）根据题意，直接写出函数表达式即可，气体体积=0℃时的体积+增加的体积；（2）将30t =℃代入（1）中的函数表达式即可；（3）将107.4L V =代入（1）中的函数表达式即可．【解答】（1）解：根据题意得：1000.37V t =+．（2）当30t =℃时，1000.3730111.1V =+⨯=， ∴当温度为30℃时，气体的体积为111.1L ．（3）当107.4L V =时，107.41000.37t =+，解得：20t =，∴气体的体积为107.4L 时，温度为20℃．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，写出一次函数的表达式．20．在某一段时期，一年期定期储蓄的年利率为4.14%，规定储蓄利息应付个人所得税的税率为5%．设按一年期定期储蓄存入银行的本金为x 元，到期支取时扣除个人所得税后实得本利和为y 元． (1)求y 关于x 的函数表达式．(2)把18000元钱按一年期定期储蓄存入银行．问：到期支取时，扣除个人所得税后实得本利和为多少元？【答案】(1) 1.03312y x = (2)18707.94元【提示】（1）根据利息=本金⨯利率⨯时间列式计算求出本金；根据税率为利息的20%可得扣除个人所得税后实际利息=利息()120%⨯-；（2）将18000x =代入（1）的解析式进行计算即可求解．【解答】（1）解：依题意，()()1 4.14%1 4.14%5%1 1.04140.00207 1.03933y x x x x =+⨯-⨯⨯=-= 即： 1.03933y x =，（2）当18000x =时， 1.039331800018707.94y =⨯= 到期支取时，扣除个人所得税后实得本利和为18707.94元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系是解题的关键．21．“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．若要对某地特色花生与茶叶两种产品助销，已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． (1)求每千克花生、茶叶的售价；(2)已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，计划两种产品共助销600千克，若花生销售m 千克()120m ≥，花生和茶叶的销售总利润为w 元，求w 的最大值．【答案】(1)每千克花生10元，每千克茶叶50元(2)当花生销售120千克，茶叶销售480千克时利润最大，w 的最大值为7200【提示】（1）设每千克花生x 元，每千克茶叶(40)x +元，列出一元一次方程求解即可；（2）设花生销售m 千克，茶叶销售(600)m -千克，先根据总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍求出m 的取值范围，再根据利润之和求出函数解析式，根据函数的性质求出最大值．【解答】（1）解：设每千克花生x 元，每千克茶叶(40)x +元，根据题意得：5010(40)x x =+，解得：10x =，40401050x +=+=（元），答：每千克花生10元，每千克茶叶50元；（2）解：设花生销售m 千克，茶叶销售(600)m -千克获利最大，利润w 元，由题意得：(106)(5036)(600)484014108400w m m m m m =-+--=+-=-+，100-<，w ∴随m 的增大而减小，120m ，∴当120m =时，利润w 最大，此时花生销售120千克，茶叶销售600120480-=（千克），1012084007200w =-⨯+=最大（元）， ∴当花生销售120千克，茶叶销售480千克时利润最大，w 的最大值为7200．【点睛】本题考查一次函数的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式进行求解．22．某电信公司手机的A 类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min 计；B 类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.6元/min 计．按照此类收费标准完成下列各题：(1)直接写出每月应缴费用y （元）与通话时长x （分）之间的关系式： A 类：________；B 类：______．(2)若每月平均通话时长为300分钟，选择类收费方式较少．(3)求每月通话多长时间时，按A ，B 两类收费标准缴费，所缴话费相等．【答案】(1)0.212y x =+；0.6y x = (2)选择A 收费方式较少 (3)30分钟【提示】（1）根据题目中收费标准可列出函数关系式；（2）根据两种收费方式，计算结果比较得出答案即可；（3）设每月通话时间x 分钟，按A 、B 两类收费标准缴费，所缴话费相等列出方程解答即可．【解答】（1）解：根据题意，得A 类：0.212y x =+，B 类：0.6y x =；故答案为：0.212y x =+；0.6y x =．（2）解：A 类收费：120.230072+⨯=元；B 类收费：0.6300180⨯=元；18072>，所以选择A 类收费方式；（3）解：设每月通话时间x 分钟，根据题意，得120.20.6x x +=，解得：30x =．答：每月通话时间30分钟，按A 、B 两类收费标准缴费，所缴话费相等【点睛】本题主要考查一次函数的应用，由条件列出相应的函数关系式是解题的关键．23．某移动公司设了两类通讯业务，A 类收费标准为不管通话时间多长使用者都应缴50元月租费，然后每通话1分钟，付0.4元，B 类收费标准为用户不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元，若一个月通讯x 分钟，两种方式费用分别是A y ，B y 元． (1)分别写出A y ，B y 与x 之间的函数关系式．(2)某人估计一个月通话时间为300分钟，应选哪种通讯方式合算些，请书写计算过程．(3)小明用的A 卡，他计算了一下，若是B 卡，他本月话费将会比现在多100元，请你算一下小明实际话费是多少元？【答案】(1)500.4A y x =+，0.6B y x = (2)选择A 类 (3)350元【提示】（1）A 类应缴50元月租费，每通话1分钟，付0.4元，则费用是月租费加上通话费；B 类不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元，则费用是通话费与时间的乘积，通讯x 分钟，由此即可求解；（2）由（1）的结论可知，当300x =时，170A y =元，180B y =元，由此即可求解；（3）由题意可知选择A 卡的费用比选择B 卡的费用少100元，由此可列出等量关系100A B y y +=，由此即可求解．【解答】（1）解：根据题意得，A 类的费用是月租费加上通话费，即500.4A y x =+；B 类的费用是通话费与时间的乘积，即0.6B y x =，∴500.4A y x =+，0.6B y x =．（2）解：通话时间为300分钟，根据（1）中的结论得，500.4500.4300170A y x =+=+⨯=（元），0.60.6300180B y x ==⨯=（元） ∵AB y y <，∴选择A 类．（3）解：根据题意得，100A B y y +=，∴500.41000.6x x ++=，解方程得，750x =，即小明打电话的时间为750分钟， ∴500.4500.4750350A y x =+=+⨯=（元）， ∴小明实际话费是350元．【点睛】本题主要考查一次函数在实际中的运用，解题的关键是理解两类缴费的方式，A 类的费用是月租费加上通话费，B 类的费用是通话费与时间的乘积．24．如图，有80名师生要到离学校若干千米的大剧院参加演出，学校只有一辆能做40人的汽车，学校决定采用步行和乘车相结合的办法：先把一部分人送到大剧院，车按原路返回接到步行的师生后开往大剧院，其中车和人的速度保持不变．（学生上下车，汽车掉头的时间忽略不计）．y 表示车离学校的距离（千米），x 表示汽车所行驶的时间（小时）．请结合图象解答下列问题：(1)学校离大剧院相距千米，汽车的速度为千米/小时； (2)求线段BC 所在直线的函数表达式；(3)若有一名老师因临时有事晚了0.5小时出发，为了赶上学生，该老师选择从学校打车前往，已知出租车速度为80千米/小时，请问该老师能在学生全部达到前赶到大剧院吗？并画出相关图象．【答案】(1)15，60 (2)105604y x =-(3)该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，图象见解析【提示】（1）由图象直接可得学校与大剧院的距离，由路程除以时间可得汽车的速度；（2）设步行速度为m 千米/小时，可得：15(60)21532m +=⨯，即可解得15(32B ，15)8，从而可得11(16C ，15)，用待定系数法得线段BC 所在直线的函数表达式为105604y x =-；（3）由学生全部达到大剧院时，1116x =，出租车到达大剧院时，15110.58016x =+=，知该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，再画出图象即可．【解答】（1）解：由图象可得，学校与大剧院相距15千米，汽车的速度为115604÷=（千米/小时），故答案为：15，60；（2）设步行速度为m 千米/小时，根据题意得：15(60)21532m +=⨯，解得4m =， ∴步行的路程为15154328⨯=（千米）， 15(32B ∴，15)8，。

(word完整版)利用一次函数的图像解决实际应用问题

例1．一列快车由甲地开往乙地,一列慢车由乙地开往甲地, 两车同时出发，匀速运动. 快车离乙地的路程y
1 (km) 与行驶的时间x(h) 之间的函数关系, 如图中线段AB 所示；慢车离乙地的路程y
2 （km）与行
驶的时间x（h) 之间的函数关系，如图中线段OC 所示。

根据图象进行以下研究。

解读信息：
(1) 甲、乙两地之间的距离为 ___ km ；
（2) 线段AB 的解析式为_________ ；线段OC 的解析式为 _________；
问题解决：
（3）设快、慢车之间的距离为y(km）, 求y 与慢车行驶时间x（h）的函数关系式, 并画出函数图像.
例2：小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中,速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1
at 中的实线所示,行驶路程s（m）与时间t（s)的关系如图2所示，在加速过程中,s与t满足表达式s=2（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a的值;
（2）求图2中A点的纵坐标h,并说明它的实际意义；
（3)爸爸在乙处等代理7秒后绿灯亮起继续前行,为了节约能源,减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中,速度v（m/s）与时间t（s)的关系如图1中的折线O﹣B﹣C所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系也at,当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．满足s=2。

苏科版-数学-八年级上册-如何解决一次函数应用题？

初中-数学-打印版
如何解决一次函数应用题？
如何解决一次函数应用题？
难易度：★★★
关键词：一次函数应用
答案：
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

【举一反三】
典例：如图是小明从学校到家里行进的路程S（米）与时间t（分）的函数图象，观察图
象，从中得到如下信息，其中不正确的是（） A、学校离小明家1000米B、小明用了20分钟到家C、小明前10分钟走了路程的一半D、小明后10分钟比前10分钟走得快
思路导引：根据图象，细心分析即可解答．由图可知，小明20分钟走了1000米，显然A、B正确；C、10分钟对应的路程显然不到一半，所以错误；D、后段的斜率大说明速度快，正确．故选C．
标准答案：C
初中-数学-打印版。

专题09 一次函数实际应用的三种考法(解析版)(北师大版)

专题09一次函数实际应用的三种考法类型一、方案问题问题例．为了落实“乡村振兴”政策，,A B 两城决定向,C D 两乡运送水泥建设美丽乡村，已知,A B 两城分别有水泥200吨和300吨，从A 城往,C D 两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B 城往,C D 两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现C 乡需要水泥240吨，D 乡需要水泥260吨．(1)设从A 城运往C 乡的水泥x 吨．设总运费为y 元，写出y 与x 的函数关系式并求出最少总运费．(2)为了更好地支援乡村建设，A 城运往C 乡的运费每吨减少(07)a a <<元，这时A 城运往C 乡的水泥多少吨时总运费最少？【答案】(1)()4100400200y x x =+≤≤，最少总运费为10040元；(2)A 城运往C 乡200吨，总运费最少．【分析】（1）先求出x 的取值范围，在求出y 与x 的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值；（2）先列出A 城运往C 乡的运费每吨减少(07)a a <<元时，总费w 用关于x 的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值．【详解】（1）设从A 城运往C 乡肥料x 吨，则运往D 乡()200x -，从B 城运往C 乡肥料()240x -吨，则运往D 乡()60x +吨，设总运费为y 元，根据题意，则：()()()2025200152402460y x x x x =+-+-++．()4100400200x x =+≤≤，40,k y => 随x 的增大而增大，∴当0x =时，总运费最少，且最少的总运费为10040元．答：y 与x 的函数关系式为()4100400200y x x =+≤≤，最少总运费为10040元；（2）设减少运费后，总运费为w 元，则：()()()()2025200152402460w a x x x x =-+-+-++()()4100400200a x x =-+≤≤07a << ，∴分以下三种情况进行讨论：①当04a <<时，40a ->，此时w 随x 的增大而增大，总页数，最后计算需要的钱数即可得到答案．（2）①分05x <≤和5x ≥两种情况进行讨论，根据两次缴纳的费用相同列等量关系即可得到答案；②先算出总册数，然后算出相应的彩色页和黑白页的单价和页数，最后进行计算即可．【详解】解：（1）∵印制的册数为2千册，∴彩色页的单价为2.1元每张，彩色页的页数=2000×4=8000页，黑白页的单价为0.8元每张，黑白页的页数=2000×6=12000页，∴需要的费用=2200+2.1×8000+0.8×12000=28600（元），故一共需要28600元；（2）①第一种情况当05x <≤时，2.1410000.86100022002410000.561000x x y y ⨯⨯+⨯⨯+=⨯⨯+⨯⨯，13200220011000x y +=，即 1.20.2y x =+，∵5y ≥，∴1.20.25x +≥即45x ≤<；第二种情况当5x ≥时，2410000.56100022002410000.561000x x y y ⨯⨯+⨯⨯+=⨯⨯+⨯⨯，11000220011000x y +=即0.2y x =+，∴()()1.20.2450.25y x x y x x ⎧=+≤<⎪⎨=+≥⎪⎩，②设两次一共需要印刷的册数为m ，需要的钱数为W ，则m x y =+，()()2410000.5610002200W x y x y =⨯⨯++⨯⨯++，∴()110002200W x y =++，∴()()()()11000 1.20.2220045110000.222005x x x W x x x ⎧+++≤<⎪=⎨+++≥⎪⎩，∴()()()()11000 1.20.2220045110000.222005x x x W x x x ⎧+++≤<⎪=⎨+++≥⎪⎩，∴()()242004400452200044005x x W x x ⎧+≤<⎪=⎨+≥⎪⎩，故()()24200444001012004522000544001144005x W x ⎧⨯+=≤<⎪=⎨⨯+=≥⎪⎩最小，故当4x =，5y =时所需要的的钱数最少为101200元．【点睛】本题主要考查了一次函数与实际问题的应用，解题的关键在于分类讨论各种情况进行分析求解．当210n <<时，即20n ->时，y 随x 的增大而增大，∴当150x =时，y 有最大值()15023600n -+，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；当2n =时，无论购多少套，只要满足100150x ≤≤，利润都是3600．【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组．【变式训练1】为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg ；乙种产品的进货总金额y （单位：元）与乙种产品进货量x （单位：kg ）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg 和18元/kg ．(1)求出0≤x ≤2000和x ＞2000时，y 与x 之间的函数关系式；(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg ，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg ，且不高于4000kg ，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w 元（利润＝销售额一成本），请求出w （单位：元）与乙种产品进货量x （单位：kg ）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；(3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a 元/kg 和2a 元/kg ，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a 的最大值．【答案】(1)15(02000)134000(2000)x x y x x ⎧=⎨+>⎩．(2)()240001600200020000(20004000)x x w x x ⎧-+=⎨+<⎩；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．(3)a 的最大值为0.9．【分析】（1）分当02000x 时，当2000x >时，利用待定系数法求解即可；（2）根据题意可知，分当16002000x 时，当20004000x <时，分别列出w 与x 的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论；（3）根据题意可知，降价后，w 与x 的关系式，并根据利润不低于15000，可得出a 的取值对王家湾夜市进货单价统一降低2a 元，其中010a <≤，试求此时两家夜市最少进货总费用y 关于a 的函数关系式．【答案】（1）3x+240000（2000≤x≤5000，x 为自然数）；（2）虎泉夜市在佛山服装厂进货2000件，在广州服装厂进货3000件，王家湾夜市在佛山服装厂进货8000件，最少费用为246000元；（3）()3000246000(03)23700036000255000(310)a a y a a a -+<<⎧⎪==⎨⎪-+<⎩．【分析】（1）分别用x 表示出两家夜市从两地进货的数量，再将利润相加即可；（2）根据一次函数的性质得到当x=2000时进货总费用最少；（3）分当0＜a ＜3时，当a=3时，当0＜a ＜3时三种情况，根据一次函数的增减性得出表达式即可．【详解】解：（1）由题可知，虎泉夜市从佛山进货x 件，则在广州服装批发厂进货（5000-x ）件，王家湾夜市在佛山服装批发厂进货（10000-x ）件，从广州服装批发厂进货[8000-（10000-x ）]件，∵王家湾夜市最多向佛山服装批发厂进货8000件，而佛山服装批发厂可供货10000件，∴虎泉夜市最少要向佛山服装批发厂进货10000-8000=2000件，最多可向佛山服装批发厂进货5000件，且为使题目有意义，x 需为自然数，∴W=15x+24×（5000-x ）+18×（10000-x ）+30×[8000-（10000-x ）]=3x+24000（2000≤x≤5000，x 为自然数），故答案为：3x+240000；（2）由（1）可知，进货总费用W 随x 增大而增大，∴当x=2000时总费用最少，最小费用为W=246000，即虎泉夜市在佛山服装厂进货2000件，在广州服装厂进货3000件，王家湾夜市在佛山服装厂进货8000件，此时总费用最少为246000元；（3）由题意可得，最少进货总费用y=15x+（24-a ）×（5000-x ）+18×（10000-x ）+（30-2a ）×[8000-（10000-x ）]=（3-a ）x-1000a+240000当0＜a ＜3时，3-a ＞0，y 随x 的增大而增大，∴当x=2000时，进货总费用最少，且为-3000a+246000，当a=3时，y=237000，当3＜a≤10时，3-a ＜0，y 随x 的增大而减小，∴当x=5000时，进货总费用最少，且为-6000a+255000，综上所述，最少进货费用y 与a 的函数关系式为：()3000246000(03)23700036000255000(310)a a y a a a -+<<⎧⎪==⎨⎪-+<⎩．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题时要理解题意，列出相应的函数表达式，有一定难度，属于中考常考题．类型三、行程问题(1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；(2)在46t ≤≤时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度．①图2中m 的值为___________．②请求出在69t ≤≤时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t 的值．【答案】(1)50(2)①120，②7或395【分析】（1）根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，据此可求得乙机器人行走的速度；（2）①先求得甲机器人行走的总路程540米，再分段求得甲机器人行走的路程，(1)A、B两点之间的距离是______米，甲机器人前∥轴，前3分钟甲机器人的速度不变．(2)已知线段FG x①求甲机器人在3～4分钟的这段时间的速度是多少米②请直接写出在整个运动过程中，两机器人相距【答案】(1)70，95(2)①60米/分②两机器人出发1.2分钟，【分析】（1）结合图象可得A、B两点的距离，甲机器人前(1)学校与劳动基地之间的距离为________(2)=a ________，B 点的坐标是________(3)若通讯员与学生队伍的距离不超过讯员离开队伍后他们能用对讲机保持联系的时间的取值范围．【答案】(1)15；(2)2.7；(1.2,0)(3)0.81x ≤≤和1.83x ≤≤量x 的取值范围；（3）由于更换车型，使B 城运往D 乡的运费每吨减少a 元(a ＞0)，其余路线运费不变，若C 、D 两乡的总运费最小值不少于10040元，求a 的最大整数值.【答案】（1）A 城和B 城分别有200吨和300吨肥料；（2）y=10x+9800，60≤x≤260（3）a 的最大整数值为6.【分析】（1）根据A 、B 两城共有肥料500吨，其中A 城肥料比B 城少100吨，列方程或方程组得答案；（2）设从B 城运往D 乡肥料x 吨，用含x 的代数式分别表示出从A 运往运往D 乡的肥料吨数，从B 城运往C 乡肥料吨数，及从A 城运往C 乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式；（3）列出当B 城运往D 乡的运费每吨减少a （a ＞0）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，根据总费用不低于10040元，列出不等式求其整数解得结论．【详解】解：（1）设A 城有化肥a 吨，B 城有化肥b 吨根据题意，得500100b a b a +=⎧⎨-=⎩解得200300a b =⎧⎨=⎩答：A 城和B 城分别有200吨和300吨肥料；（2）设从B 城运往D 乡肥料x 吨，则从B 城运往C 乡（300-x ）吨从A 城运往D 乡肥料（260-x ）吨，则运往C 乡（x-60）吨如总运费为y 元，根据题意，则：y=20（x-60）+25（260-x ）+15（300-x ）+30x=10x+9800，由于函数是一次函数，k=10＞0，6002600x x -⎧⎨-≥⎩ ∴60≤x≤260故答案为y=10x+9800，60≤x≤260（3）从B 城运往D 乡肥料x 吨，由于B 城运往D 乡的运费每吨减少a （a ＞0）元，所以y=20（x-60）+25（260-x ）+15（300-x ）+（30-a ）x=（10-a ）x+9800，分两种情况：①当0＜a ＜10时，∵10-a ＞0∴y 随着x 的增大而增大，∵60≤x≤260∴当x=60时，运费最少；∵C 、D 两乡的总运费最小值不少于10040元∴（10-a ）x+9800≥10040（2）由1（）知，装运、、A B C 三种脐橙的车辆数分别为,-220,x x x+由题意得：42204x x ≥⎧⎨-+≥⎩解得48x ≤≤，因为x 为整数，所以x 的值为45678、、、、，所以安排方案共有5种.（3）612005220160041000480016000()0W x x x x =⨯++⨯+⨯=-+－48000k =-< W ∴的值随x 的增大而减小要使W 利润最大，则4x =，故选方案为：装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车.48004160000140800W =-⨯+=最大（元）答：当装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车时，获利最大，最大利润为140800元.故答案为（1）220y x =-+；（2）5种；（3）装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车时，获利最大，最大利润为140800元.【点睛】解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系．确定x 的范围，得到装在的几种方案是解决本题的关键．3．甲、乙两地相距200千米，货车从甲地出发，行驶1小时后在途中的丙地出现故障，技术人员乘轿车以100千米/小时的速度从甲地赶来维修（沟通时间忽略不计）．到达丙地修好车后以原速原路返回，同时货车改变速度前往乙地．两车距乙地的路程y （千米）与货车驶时间x （小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题．（1）货车出现故障前后的速度分别为______、______千米/小时；（2）货车在丙地停留了______小时；（3）求图中线段CG 的函数关系式：（4）轿车出发后，又过了______小时，两车相距路程为40千米．。

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一次函数应用题的解题方法一.使用直译法求解一次函数应用题所谓直译法就是将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法。

例题1．东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。

该商场为促销制定了甲、乙两种优惠办法。

甲：买1支毛笔就赠送1本书法练习本；乙：按购买金额打9折付款。

某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种书法练习本x(x>=10)本。

（1）分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额y甲（元）、y乙（元）与x之间的函数关系式。

（2）比较购买不同数量的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱。

（3）如果商场允许既可以选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和这种书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案。

分析：只需根据题意，按要求将文字语言翻译成符号语言，再列出一次函数关系式即可。

解：（1）y甲=10×25+5（x-10）=5x+200（x>=10）y乙=10×25×0.9+5×0.9×x=4.5x+225（x>=10）（2）由（1）有：y甲-y乙=0.5x-25若y甲-y乙=0 解得x=50若y甲-y乙>0 解得x>50若y甲-y乙<0 解得x<50当购买50本书法练习本时，按两种优惠办法购买实际付款一样多，即可任选一种优惠办法付款；当购买本数不小于10且小于50时，选择甲种优惠办法付款省钱；当购买本数大于50时，选择乙种优惠办法付款省钱。

（3）设按甲种优惠办法购买a(0<=a<=10)支毛笔，则获赠a本书法练习本。

则需要按乙种优惠办法购买10-a支毛笔和(60-a)支书法练习本。

总费用为y=25a+25×0.9×（10-a）+5×0.9×（60-a）=495-2a。

故当a最大（为10）时，y最小。

所以先按甲种优惠办法购买10支毛笔得到10本书法练习本，再按乙种优惠办法购买50本书法练习本，这样的购买方案最省钱。

说明：本题属于“计算、比较、择优”型，它运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了最优方案的设计问题。

二.使用列表法求解一次函数应用题列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。

例题2．某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B 两种产品，共50件。

已知：生产一件A种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg，可获利润1200元。

（1）若安排A、B两种产品的生产，共有哪几种方案？请你设计出来。

（2）设生产A、B两种产品获得的总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案可以获得最大总利润。

最大的总利润是多少？分析：本题中共出现了9个数据，其中涉及甲、乙两种原料的质量，生产A、B两种产品的总件数及两种产品所获得的利润等。

为了清楚地整理题目所涉及的各种信息，我们可采用列表法。

解：（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品是（50-x）件产品每件产品需要甲种原料（kg）每件产品需要乙种原料（kg）每件产品利润（元）件数A 9 3 700 xB 4 10 1200 50-x根据题意得：解不等式组，得30<=X<=32因为x是整数，所以x只可取30、31、32，相应的(50-x)的值是20、19、18。

所以，生产的方案有三种：生产A种产品30件，B种产品20件；生产A种产品31件，B种产品19件；生产A种产品32件，B种产品18件。

（2）设生产A种产品的件数是x，则生产B种产品的件数是50-x。

由题意得：y=700x+1200*(50-x)=-500x+60000（其中x只能取30、31、32）因为-500<0所以y随x的增大而减小,当x=30时，y的值最大因此，按（1）中第一种生产方案安排生产，获得的总利润最大最大的总利润是：-500×30+60000=45000（元）说明：本题是先利用不等式的知识，得到几种生产方案，再利用一次函数性质得出最佳生产方案。

三.使用图示法求解一次函数应用题所谓图示法就是用图形来表示题中的数量关系，从而观察出函数关系的解题方法。

此法对于某些一次函数问题非常有效，解题过程直观明了。

例题3.某市的C县和D县上个月发生水灾，急需救灾物资10t和8t。

该市的A县和B县伸出援助之手，分别募集到救灾物资12t和6t，全部赠给C县和D县。

已知A、B两县运资到C、D两县的每吨物资的运费如下表所示：A县B县C县40 30D县50 80（1）设B县运到C县的救灾物资为xt，求总运费w（元）关于x（t）的函数关系式，并指出x的取值范围；（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案。

分析:本题的信息量大，数据也较多，为梳理各个量之间的关系，我们可以采用如下的图示整理信息。

解：（1）w=30x+80(6-x)+40(10-x)+50[12-(10-x)]=-40x+980 自变量x的取值范围是：0<=x<=6（2）由（1）可知，总运费w随x的增大而减小，所以当x=6时，总运费最低。

最低总运费为-40×6+980=740（元）。

此时的运送方案是：把B县的6t全部运到C县，再从A县运4t到C县，A县余下的8t全部运到D县。

说明：本题运用函数思想得出了总运费w与x的一次函数关系。

一次函数应用题专题训练1．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图像. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)2．春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票．售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张．某一天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分钟）的关系如图所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）．（1）求a的值．（2）求售票到第60分钟时，售票听排队等候购票的旅客人数．（3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？3.在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，与．B ．港的距离．．．．分别为1y 、2y （km ），1y 、2y 与x 的函数关系如图所示．（1）填空：A 、C 两港口间的距离为 km ， a ；（2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围．4.一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：吨，但两种加工不能同时进行.受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完. ⑴如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ ⑵如果先进行精加工，然后进行粗加工.①试求出销售利润W 元与精加工的蔬菜吨数m 之间的函数关系式；②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多可获得多少利润？此时如何分配加工时间？甲乙小时)5.某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A 、B 两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途径配货站C ，甲车先到达C 地，并在C 地用1小时配货，然后按原速度开往B 地，乙车从B 地直达A 地，图16是甲、乙两车间的距离y （千米）与乙车出发x （时）的函数的部分图像（1）A 、B 两地的距离是千米，甲车出发小时到达C 地；（2）求乙车出发2小时后直至到达A 地的过程中，y 与x 的函数关系式及x 的取值范围，并在图16中补全函数图像；（3）乙车出发多长时间，两车相距150千米6．张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y (升)与行驶时间t (小时)之间的关系如图所示．请根据图象回答下列问题：（1）汽车行驶小时后加油，中途加油升；（2）求加油前油箱剩余油量y 与行驶时间t 的函数关系式；（3）已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由．7.某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．（1）请你帮助学校设计所有可行的租车方案；（2）如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省？8．自2010年6月1日起我省开始实施家电以旧换新政策，消费者在购买政策限定的新家电时，每台新家电用一台同类的旧家电换取一定数额的补贴.为确保商家利润不受损失，补贴部分由政府提供，其中三种家电的补贴方式如下表:为此，设购进的电视机和洗衣机数量均为x台，这100台家电政府需要补贴y元，商场所获利润w 元（利润=售价-进价）（1）请分别求出y与x和w与x的函数表达式；（2）若商场决定购进每种家电不少于30台，则有几种进货方案？若商场想获得最大利润，应该怎样安排进货？若这100台家电全部售出，政府需要补贴多少元钱？。