金属晶体四类晶胞空间利用率的计算知识讲解
金属晶体空间利用率计算
复习1pm=10-12m
课外练习
1、已知金属铜为面心立方晶体，如图所示，
铜的相对原子质量为M，密度为ρg/cm3，试求
（1）图中正方形边长 a，
（2）铜的原子半径 R
rR
R o
a
R
R
r
a
8
3、面心立方最密堆积
a 2 2r
V球
4
4 r3
3
4r
V晶胞 a3 (2 2r)3 16 2r3
a 空间利用率= V球 100%
V晶胞
4 4 r3 3 100% =74%
16 2r3
金属晶体
第7 页 的
知识探究
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2
1
3
6
4
5
(1)六方最密堆 积
同层 6，上下层各 3
1
2
7
=74%
练1：金属钨晶胞是一个体心立方体，在该晶胞
中每个顶角各有一个钨原子，中心有一个 钨原子，实验测得金属钨原子的相对原子 质量为183.9,半径为0.137nm。 求⑴晶胞的边长；⑵计算金属钨的密度。
钾型 体心立方晶胞
a
晶胞中每个顶角金各有属一钨个的钨晶原子胞，与这已个钨原子为8个晶胞 共原用子，，每 那个 么钨 ，原 这经子 个有 晶学胞1过/8中属的含于哪钨该原种晶子胞晶为，型2体个心，有一个金属 则ρ=2×183.9/6.02×类10似23×？(0.316×10-7)3
资料卡片
堆积方式
晶胞类型
空间利用 率
简单立 方堆积
简单立方
52％
体心立方 体心立方 堆积
68%
六方最 密堆积
金属晶体空间利用率计算
2 4 r3
3 a3
100%
2 4 r3
（
3 4
r）3
100%
3
3 100 % 68%
8
3、六方最密堆积
s 2r 3r
s
2r
V球
2
4 3
r 3
s
V晶胞 s 2h 2
2
3r2
3r
2
2
2
h
6r 3
2
6 3
8
r
2r3
空间利用率= V球 100%
V晶胞
2r
2 4 r3
h
2r
3 100% 8 2r3
=19.36g/cm3 1nm=10-9m=10-7cm
复习1pm=10-12m
课外练习
1、已知金属铜为面心立方晶体，如图所示，
铜的相对原子质量为63.54，密度为8.936g/cm3，
试求
（1）图中正方形边长 a， （2）铜的原子半径 R
r
R
R o
a
R
R
r
a
质量为183.9,半径为0.137nm。
a
求⑴晶胞的边长；⑵计算金属钨的密度。
晶胞中每个顶角金各有属一钨个的钨晶原子胞，与这已个钨原子为8个晶胞 共原用子，，每 那个 么钨 ，原 这经子 个有 晶学胞1过/8中属的含于哪钨该原种晶子胞晶为，型2体个心，有一个金属 则ρ=2×183.9/6.02×类10似23×？(0.316×10-7)3
=74%
4、面心立方最密堆积
a 2 2rV球ຫໍສະໝຸດ 44 r33
4r
V晶胞 a3 (2 2r)3 16 2r3
a 空间利用率= V球 100%
晶体空间利用率计算
V球 空间利用率= 100% V晶胞 4 3 r 3 3 100% =52% 8r
1个晶胞中平均含有1个原子 4 3 V =（2r）3=8r3 V球= r 晶胞 3
2、体心立方堆积 a b a
b a a 2 2 2 2 (4r ) a b 3a
2 2 2
4 a r 3
【堆积方式及性质小结】
堆积方式 晶胞类型 空间利 配位数 用率 简单立方 简单立方 体心立方 体心立方 六方堆积 六方 52％ 68% 74% 74% 6 8 12 实例
Po Na、K、Fe
Cu、Ag、Au Mg、Zn、Ti
面心立方 面心立方
12
空间利用率= 4 3 2 r 3 100% 3 a
4 3 2 r 3 100% 4 3 （ r） 3
3 100% 68% 8
3、六方最密堆积 hs
s 2r 3r 2 3r
2
s
V球 100% 空间利用率= V晶胞
4 3 V球 2 r 2r 3 2 6 2 V晶胞 s 2h 2 3r 2 r 8 2r 3 3
【例题1】现有甲、乙、丙、丁四种晶胞，可推 1:1 知甲晶体中与的粒子个数比为——————；乙 DC2 或C2D 晶体 的化学式为—————— ————；丙晶体的 化学式为EF或FE ；丁晶体的化学式为XY Z —————— ———。
2
B
A
Z D C F E X
甲乙丙Fra bibliotek丁Y
甲
乙
丙
【例题2】上图甲、乙、丙三种结构单元中，金属 1:2:3 原子个数比为—————————。 乙晶胞中所含金属原子数为8×1/8+6×1/2=4 晶胞中所含金属原子数为12×1/6+2×1/2+3=6
晶体空间利用率计算
a 空间利用率= V球 100%
V晶胞
4 4 r3
3 100% 16 2r3
=74%
【例题1】现有甲、乙、丙、丁四种晶胞，可推知
甲晶体中与的粒子个数比为—————1—:；1 乙晶体 的化学式为—————D—C—2——或—；C丙2D晶体的化学式 为—————E—F或；丁FE晶体的化学式为———。 XY2Z
BA
甲
DC
乙
F
E
丙
Z X
Y
丁
甲
乙
丙
【例题2】上图甲、乙、丙三种结构单元中，金属
原子个数比为———1—:2—:—3———。
乙晶胞中所含金属原子数为8×1/8+6×1/2=4 晶胞中所含金属原子数为12×1/6+2×1/2+3=6
【堆积方式及性质小结】
堆积方式 晶胞类型 空间利 配位数 用率
实例
简单立方 简单立方 52％ 6
一、空间利用率的计算
1、空间利用率：指构成晶体的原子、离子
或分子在整个晶体空间中所占有的体积百分
比。
球体积
空间利用率 =
100%
晶胞体积
2、空间利用率的计算步骤：
（计算
1.简单立方堆积 立方体的棱长为2r，球的半径为r
过程：
1个晶胞中平均含有1个原子
8
3、六方最密堆积
hs
2r
s 2r
V球
2
4 3
s
V晶胞 s 2h
3r
r 3
2 3r2
2
2
3r 2
h 2 3
2 6r 8 3
6r
2r3
空间利用率= V球 100%
V晶胞
金属晶体空间利用率计算
1.在金刚石晶体中每个碳原子周围紧邻的碳原子有
4 个，C-C-C键角为 109°28′ 2.在金刚石晶体中最小碳环由 6 个碳原子来组成
3.在金刚石晶体中碳原子个数与C－C共价键个数之
比是 1 ︰ 2 4.在金刚石晶胞中占有的碳原子数 8个
5.在金刚石晶体中,每个碳原子最多可形成 12 个六元 环;每个C—C键最多可形成 6 个六元环;每个六元环 实际拥有 1/2 个碳原子,拥有 1 个C—C键.
2 4 r3
3 a3
100%
2 4 r3
（
3 4
r）3
100%
3
3 100 % 68%
8
3、六方最密堆积
s 2r 3r
s
2r
V球
2
4 3
r 3
s
V晶胞 s 2h 2
2
3r2
3r
2
2
2
h
6பைடு நூலகம் 3
2
6 3
8
r
2r3
空间利用率= V球 100%
V晶胞
2r
2 4 r3
h
2r
3 100% 8 2r3
=74%
4、面心立方最密堆积
4、面心立方最密堆积
a 2 2r
V球
4
4 r3
3
4r
V晶胞 a3 (2 2r)3 16 2r3
a 空间利用率= V球 100%
V晶胞
4 4 r3 3 100% =74%
16 2r3
金刚石晶体结构
正四面体
最小环为六元环
在金刚石晶胞中占有 的碳原子数:
8×1/8+6×1/2+4=8
1、简单立方堆积
2020高考热点---金属晶体四类晶胞空间利用率的计算
3、每个晶胞含 4个原子
4、晶胞边长为a
5、空间利用率=
六方立方晶体
六方最密堆积（镁型） 1、金属---Mg、Zn、Ti 2、六方最密堆积的配位数 12
3、每个晶胞含 2 个原子
4、晶胞边长为a a=2r 5、晶胞高为h h=
V球
2
4
3
r3
(晶胞中有2个球)
6、空间利用率=
V球 V晶胞 100% 74.05%
2、简单立方堆积的配位数 6
3、每个晶胞含 1个原子
4、晶胞边长为a a=2r
5、空间利用率=
体心立方晶体
1、体心立方堆积（钾型） K、Na、Fe 2、体心立方堆积的配位数 8
3、每个晶胞含 2 个原子
4、晶胞边长
5、空间利用率=
面心立方晶体
面心立方堆积
球半径为r
1、金属——铜型 Cu、Ag、Au
金属晶体的四种堆积模型对比
堆积模型
采纳这种堆 积的典型代
表
空间利 用率
配位数
简单立方 Po（钋） 52%
6
体心立方 （钾型）
K、Na、Fe
68%
2
面心立方最
密（铜型） Cu, Ag, Au 74%
12
晶胞
简单立方晶体
简单立方堆积
球半径为r
1、唯一金属——钋
晶体密度、空间利用率的通用计算方法
晶体密度、空间利⽤率的通⽤计算⽅法晶体密度、空间利⽤率的通⽤计算⽅法以⾦属晶体为例进⾏分析，计算⽅法如下：第⼀步，确定晶胞含有的微粒数。
若1个晶胞中含有x 个微粒，则： (1)1个晶胞中原⼦利⽤的体积 = x ·4 π r 3 / 3 ，其中r 表⽰⾦属原⼦半径。
(2)1个晶胞质量 = x ·M / N A ，其中M 表⽰⾦属的摩尔质量，N A 表⽰阿伏加德罗常数。
若计算对象是离⼦晶体，该式亦然成⽴，M 则表⽰离⼦化合物的摩尔质量。
第⼆步，计算晶胞体积。
不同类型晶胞的体积有不同计算⽅法，⽤a 表⽰晶胞棱长，a 3表⽰晶胞的体积，r 表⽰⾦属原⼦半径，归纳总结如下：(1)简单⽴⽅结构，晶胞体积a 3 ＝(2r ) 3 ＝8r 3 ；侧⾯形状及数据为：,(2)体⼼⽴⽅结构，晶胞体积a 3 ＝64√3r 3 / 9 ；(3)六⽅堆积结构，晶胞体积a 3 ＝ 8√2 r 3 ；晶胞相关数据为为：(4)⾯⼼⽴⽅结构，晶胞体积a 3 ＝16√2 r 3 ；a√2a√3a4r= 2r(1)有关晶体密度的计算通⽤关系式：x·M /N A＝ρ·a3，依据是晶体密度等于晶胞密度，具体计算时把各类型晶胞的体积，代⼊关系式即可，下式亦同。
(2)有关空间利⽤率的计算通⽤关系式：x·4 πr3 / 3＝w%·a3，其中w% 表⽰晶胞空间利⽤率。
注意事项：(1)在实际计算时要注意长度单位换算，晶胞棱长及原⼦半径单位常⽤pm，⽽密度中的体体积单位常⽤(cm)3，存在换算关系1pm=10-10cm。
(2)若计算离⼦晶体密度，⽅法⼤同⼩异，需要综合考虑阴、阳离⼦半径来求晶胞体积。
常见⾦属晶胞结构与性质归纳⼀览表：。
金属晶体空间利用率计算
b2a2a2
a
(4 r)2a 2 b 23 a 2
a 4 r 3
b a
空间利用率=
24r3
3 a3
10% 0
2 4r3
（
3 4
100% r）3
3
310% 06% 8
8
3、s六方最2密sr 堆V 晶 积Vs 球 s 胞 2 2r 2 h 34 r3 2 3r3 r 2 2 2 3 r2 2 3 h6 r 28 362 rr 3
正四面体
最小环为六元环
在金刚石晶胞中占有 的碳原子数:
8×1/8+6×1/2+4=8
1.在金刚石晶体中每个碳原子周围紧邻的碳原子有
4 个，C-C-C键角为 109°28′ 2.在金刚石晶体中最小碳环由 6 个碳原子来组成
3.在金刚石晶体中碳原子个数与C－C共价键个数之
比是 1 ︰ 2 4.在金刚石晶胞中占有的碳原子数 8个
1个晶胞中平均含有1个原子522体心立方堆积2r2r74空间利用率4面心立方最密堆积4r74空间利用率
1、简单立方堆积 立方体的棱长为2r，球的半径为r 过程： 1个晶胞中平均含有1个原子
空间2利r 用率V球==VV34晶球胞r 3100V%晶胞=（3482rr3r3）31=080%r3
=52%
2、体心立方堆积
空间利用率= V球 100%
V晶胞
2r
24r3
h
2r
3 8 2r3
10% 0
=74%
4、面心立方最密堆积
4、面心立方最密堆积
a2 2r V球434r3
4r
V 晶 胞 a 3 (22 r)3 12 6 r3
a 空间利用率= V球 100%
金属晶体堆积模型及计算公式
A
3
5
6
8
7
1
2
4
3
这种堆积晶胞是一个体心立方，每个晶胞含
2 个原子，属于非密置层堆积，配位数
8 为
，许多金属（如 Na、K、Fe等）采取这种堆
积方式。
A
4
空间利用率的计算
（2）体心立方：在立方体顶
点的微粒为 8个晶胞共享，处 于体心的金属原子全部属于 该晶胞。
微粒数为： 8×1/8 + 1 = 2
空间利用率：
4×4л r3/3
= 74.05%
(2 ×1.414r)
3 A
8
堆积方式及性质小结
简单立 方堆积
体心立方 堆积
六方最
密堆积
面心立方
最密堆积
简单立方
体心立方 六方
面心立方
52％
68%
74% 74%
A
6
Po
8
Na 、K、Fe
12 Mg 、Zn 、Ti
12 Cu 、 Ag、Au
9
A
10
小结：三种晶体类型与性质的比较
A
5
1200
平行六面体
每个晶胞含 2 个原子
A
6
铜型（面心立方紧密堆积）
7
1 9
6
8 2
3
5
4
12
10
11
这种堆积晶胞属于最密置层堆集，配位数
为 12 ，许多金属（如 Cu、Ag、Au等）采取这
种堆积方式。
A
7
（3）面心立方：在立方体顶点的微粒为 8个
晶胞共有，在面心的为 2个晶胞共有。
微粒数为： 8×1/8 + 6 ×1/2 = 4
物质结构与性质 晶胞空间利用率的计算
=74.05%
四、六方晶胞
60° 120°
c h
ab
a=b=2r， c=2h
四、六方晶胞
D
D
h
C
A
B
Ca a
h
a
C
S底
A
60°
OEA
F
B
B
OA=
2
3 AE
=
32AB·sin60°=
3 3
a
OD2 = AD2 - OA2
6
h= 3 a
c
=
2h
=
26 3
a
3
CF=AC·sin60°= a
2
S底 = AB·CF =
3 a2
2
V晶胞 = S底·2h = 2 a3
四、六方晶胞
1 2
×1 3
=
1 6
1 2
×
1 6
=
1 12
晶胞中原子总数：
4
×
1 6
+
4
×
1 12
+1 =2
四、六方晶胞
边长与半径的关系：
c
a = b = 2r，c = 2 6 a = 4 6 r
33Biblioteka 原子总体积：V原子=
4 r3 ×2
3
=
8 r3
二、体心立方晶胞
边长与半径的关系： a = 4 r 3
原子总体积：
V原子
=
2×
4 3
r3
晶胞体积： V晶胞 = a3 = (
4 3
r )3
空间利用率
V原子 =
×100% =
V晶胞
2× 4 r3
金属晶体空间利用率计算
100%
2 4 r3
（
3 4
r）3
100
%
3
310% 0 68%
8
3 s六方最密2sr堆V 积晶 Vs球 胞 s2 2r2 h 34 r3 2 3r3 r2 22 3 r2 23 h6r 2 386 2 rr3
空间利用率= V球 100 %
V晶胞
2r
2 4r3
h
2r
3 100% 8 2r3
=74%
4 面心立方最密堆积
4 面心立方最密堆积
a2 2r
V球
4
4r3
3
4r
V 晶 胞 a3(22 r)3 16 2 r3
a 空间利用率= V球 100 %
V晶胞
4 4r3 3 100% =74%
16 2r3
金刚石晶体结构
正四面体
最小环为六元环
在金刚石晶胞中占有 的碳原子数:
8×1/8+6×1/2+4=8
1 简单立方堆积
立方体的棱长为2r;球的半径为r
过程：
1个晶胞中平利用率= V球 V晶胞
3
V晶胞=2r3=8r3
4 r3
100 %
3 8r 3
100
%
=52%
2 体心立方堆积
b2a2a2
a
(4r)2a2b23a2
a 4 r 3
b a
空间利用率=
2 4r3
3 a3
1 在金刚石晶体中每个碳原子周围紧邻的碳原子有
4 个;CCC键角为 109°28′ 2 在金刚石晶体中最小碳环由 6 个碳原子来组成
3 在金刚石晶体中碳原子个数与CC共价键个数之比是
4 在金1刚︰石2晶胞中占有的碳原子数 8个
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金属晶体四类晶胞空间利用率的计算
金属晶体四类晶胞空间利用率的计算
高二化学·唐金圣
在新课标人教版化学选修3《金属晶体》一节中，给出了金属晶体四种堆积方式的晶胞空间利用率。
空间利用率就是晶胞上占有的金属原子的体积与晶胞体积之比。
下面就金属晶体的四种堆积方式计算晶胞的空间利用率。
一、简单立方堆积：
在简单立方堆积的晶胞中，晶胞边长a等于金属原子半径r的2倍，晶胞的体积V晶胞=(2r)3。
晶胞上占有1个金属原子，金属原子的体积V原子
=4πr3/3 ，所以空间利用率V原子/V晶胞 = 4πr3/ （3×(2r)3）=52.33﹪。
二、体心立方堆积：
在体心立方堆积的晶胞中，体对角线上的三个原子相切，体对角线长度等于原子半径的4倍。
假定晶胞边长为a ，则a2 + 2a2 = (4r)2， a=4 r/√3 ，晶胞体积V晶胞 =64r3/ 3√3 。
体心堆积的晶胞上占有的原子个数为2，原子占有的体积为V原子=2×（4πr3/3）。
晶胞的空间利用率等于V原子/V晶胞 =（2×4πr3×3√3）/（3×64r3）= 67.98﹪。
三、面心立方最密堆积
在面心立方最密堆积的晶胞中，面对角线长度是原子半径的4倍。
假定晶胞边长为a,则a2 + a2 = (4r)2 ,a = 2√2r ,晶胞体积V晶胞=16√2r3。
面心立方堆积的晶胞上占有的原子数为4，原子占有的体积为V原子 = 4×（4πr3/3）。
晶胞的空间利用率等于V原子/V晶胞 =（4×4πr3）/(3×16√2r3)= 74.02﹪.
四、六方最密堆积
六方最密堆积的晶胞不再是立方结构。
晶胞上、下两个底面为紧密堆积的
四个原子中心连成的菱形，边长a = 2r ,夹角分别为60°、120°，底面积s = 2r×2r×sin(60°) 。
晶胞的高h的计算是关键，也是晶胞结构中最难理解的。
在晶胞的上、下两层紧密堆积的四个原子中，各有两个凹穴，中间层的原子在上、下两层正对的凹穴中。
中间层的原子和上层形成凹穴的三个原子构成一个正四面体；和下层对应的三个原子也构成一个正四面体，这两个正四面体的高之和就是晶胞的高。
正四面体的边长为2r,正四面体的高h 1 = 2√2r/√3 。
晶胞的高为h = 4√2r/√3，晶胞的体积V晶胞 =(2r×2r×sin(60°)×4√
2r)/√3 = 8√2r3 。
六方最密堆积的晶胞上占有2个原子，原子的体积V
原子 =
3）/（3×8√2r3 ）2×（4πr3/3）。
晶胞的空间利用率为V
原子/V晶胞 = （2×4πr
= 74.02﹪.。