三角函数与平面向量专题复习

三角函数与平面向量专题复习

【课前测试】

1．在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则⋅ 的取值范围为 _．

2．在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是△ABC （包括边界）内任一点．则AN MP ⋅的取值范围为___ ___．

3．过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左顶点A 作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐

近线的交点分别为B ，C ．若1

2

AB BC =，则双曲线的离心率是___ ___．

4．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=，若a ＝7，则b +c 的最大值为___ ___．

【例题讲评】

例1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0．

（1）求角C 的大小；

（2）若b ＝2a ，△ABC 的面积为2

2

sin A sin B ，求sin A 及c 的值．

例2．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a ，b ，c ，已知5

sin 13

B =

，且12BA BC ⋅=． （1）求ABC ∆的面积；

（2）若a ，b ，c 成等差数列，求b 的值．

例3．已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为

4

π

，()()1c a c b -⋅-=-，则c a -的最大值为______．

例4．在△ABC 中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2．．

(1)若3

A π

=

，求b ＋c 的取值范围；

(2)若1AB AC ⋅=，求△ABC 面积的最大值．

A B

P

C

（第4题）

【课后练习】

1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝_____．

2．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．

3．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90ADC ∠=︒，AB = 3，AD = 2，E 为BC 中点，

若→AB ·→AC = 3，则→AE ·→BC = ．

4．如图，o o 19045AB BC APB BPC ==∠=∠=，，，则PA PC ⋅= ．

5．△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ．满足S ＝34

(a 2＋b 2－c 2

)． （1）求C 的值；

（2）若a ＋b ＝4，求周长的范围与面积S 的最大值．

6．在ABC ∆中，三个内角分别为A,B,C ，已知sin(A )2cosA 6

π

+=．

（1）若cos C =230a c -=．

（2）若(0,)3B π∈，且4

cos()5

A B -=，求sin B ．

答案： 【前测】

1．[2316 ,3] 2．[-34 , 3

4] 3． 5 4．21

【例题】

例1．（1）3π4， (2) sin A ＝1010

，c ＝1．

例2．答案：（1）由12BA BC ⋅=，则cos 12ac B =．…………………………… 2分

故cos B >0．又5sin 13B =，所以cos B 12

13

=．……………………………… 4分 故13ac =． 所以ABC ∆的面积S 12=

ac sin B 155

132132=⨯⨯=．……………………………… 7分 （2）因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b =a +c ．

在ABC ∆中，2222cos b a c ac B =+-，即()2

222cos b a c ac ac B =+--．……… 10分 所以()2

2222cos b b ac ac B =--．（*） 由（1）得，13ac =，cos B 1213=，代入（*）得()2

212221321313

b b =-⨯-⨯⨯，… 12分

故b 250

3

=

，b =．……………………………………………………………14分

例3．12+

例4．（1）（2,4] (2) 2

【课后练习】

1．－1

4

2．3 3．-3

4．答案：4

5

-．

【解析】（方法一）2

()PA PC PA PB BC PA BC PA AB PA ⋅=⋅+=⋅=⋅=-， 在△APC 中，设PB x =，知易2PA x =，所以22(2)1x x +=，即21x =，

所以PA PC ⋅=4

5

-；

（方法二）设PB x =，知易2PA x =，同方法一有215

x =，又PC =，

所以PA PC ⋅

=3π4(2))cos 45x ⋅⋅=-；

（方法三）

（方法4）建立如图所示的坐标系， 设(,0)A a ，(,)C b b -，（0,

0)a b >>，

则(0,)b B ，所以b a =且2

214

b a +=，

所以245a =

，即A

，(C ，所以PA PC ⋅=4

5

-．

5．（1）π

3

（2） 3

6．因为sin(A )2cos A 6π+=

1

A cos A 2cos A 2

+=，

即sin A A =，因为()A 0,∈π，且cos A 0≠，

所以tan A =A 3

π

=

． …………4分 （1）因为22sin C cos C 1+=

，cosC =

，()C 0,∈π

，所以sin C = 由正弦定理知a c

sin A sinC =

，即32

a sin A c sinC ===，即230a c -=．…………7分 （2）因为(0,)3B π

∈，所以033A B B ,ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭

，

因为22sin ()cos ()1A B A B -+-=，所以3sin()5

A B -=， …………10分 所以()(

)sin sin sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---=．……14分