三角函数与平面向量专题复习
高中二轮复习专题：三角函数与平面向量
新建一中2019届高考数学二轮复习资料教师版专题四 三角函数与平面向量【核心知识】一、三角函数的图像与性质 1.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上除原点外的任意一点为22),,(y x r y x P +=，那么x y r x r y ===αααt a n ,c o s ,s i n .2.三角函数的性质（结合图像理解，表中Z k ∈）3.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像（1）“五点法”作图：设ϕω+=x z ，令ππππ2,23,,2,0=z ，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得.（2）图像变换 ①xy sin=)sin(ϕ+=xy)sin(ϕω+=xy )0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y ②xy sin=xy ωsin=)sin(ϕω+=xy )0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y .二、三角恒等变换与解三角形1.和、差角公式：（1）βαβαβαsin sin cos cos )cos(=± （2）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±（3）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±2.倍角公式：（1）2)2cos 2(sinsin 1;cos sin 22sin αααααα±=±=（2）;sin 211cos 2sin cos 2cos 2222ααααα-=-=-=22c o s 1s i n ,22c o s 1c o s 22αααα-=+=（3）ααα2tan 1tan 22tan -=3.辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中2222sin ,cos b a b ba a +=+=ϕϕ）4.正、余弦定理及三角形面积公式：（1）正弦定理：R C cB b A a 2sin sin sin ===（R 2为△ABC 外接圆的直径）（2）余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+=；C ab b a c cos 2222-+=（3）三角形面积公式：Cab B ac A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆.5.三角形中的常用结论：（1）三角形内角和定理：π=++C B A（2）C B A c b a C B A sin sin sin >>⇔>>⇔>> （3）B c C b a cos cos +=（4）已知两边及其一边的对角，判断三角形解的情况：以已知A b a ,,为例， （i ）当A 为直角或钝角时，若b a >，则有一解；若b a ≤，则无解. （ii1.向量的概念（1）零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为.（2）长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，（3）方向相同或相反的向量叫共线向量（平行向量）.（4）如果直线l 的斜率为k ，则),1(k =是直线l 的一个方向向量. （5><,叫做向量b 在向量a 方向上的投影.2.平面向量的运算（1）向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律.（2）平面向量数量积的结果是实数，而不是向量.要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律.><⋅=⋅b a b a ,cos .3.两非零向量平行、垂直的充要条件：若),(),,(2211y x b y x a ==，则 （1）a ∥⇔b 0)0(1221=-⇔≠=y x y x λλ.（2）a ⊥002121=+⇔=⋅⇔y y x x .（注意a 、为非零向量） 4.利用向量的数量积求线段的长度问题 （1）若),(y x =22y x +==.（2）若),(),,(2211y x B y x A ==212212)()(y y x x -+-==.5.求向量的夹角问题：设θ为a 与b 的夹角，则（1）b a =θcos .（2）若),(),,(2211y x y x ==，则222221212121cos y x y x y y x x +++=θ.（3）夹角大小的判定方法：a b a ⇔>⋅0与的夹角θ为锐角或零角； ⇔<⋅0与的夹角θ为钝角或平角； a b a ⇔=⋅0与的夹角为900. ),(≠≠【考点突破】热点一 三角函数图像与性质从近年高考试题命题情况来看，对三角函数图像与性质的考查是高考命题的热点和重点.试题主要以选择题的形式考查三角函数图像的对称轴、对称中心、单调性、最值等问题，题目难度较小；或以解答题的形式综合考查三角恒等变换、平面向量等知识，综合性较强.此类问题把解析式化为形如)sin(ϕω+=x A y 的一般式是解题的关键.例1.已知函数Rx x x x x x f ∈+-++-=,1cos 2cos sin 6)42sin(2)(2π.（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 在区间]2,0[π上的最大值和最小值. 【解析】（1）xx x x x f 2cos 2sin 34sin2cos 24cos2sin 2)(-+⋅-⋅-=ππ)42sin(222cos 22sin 2π-=-=x x x .所以)(x f 的最小正周期ππ==22T . （2）因为)(x f 在区间]83,0[π上是增函数，在区间]2,83[ππ上是减函数.又2)2(,22)83(,2)0(==-=ππf f f ，故函数)(x f 在区间]2,0[π的最大值为22，最小值为－2.例2.已知函数R x x A x f ∈+=),sin()(ϕω（其中20,0,0πϕω<<>>A ）的图像与x 轴的交点中相邻两个交点之间的距离为2π且图像上一个最低点为)2,32(-πM .（1）求)(x f 的解析式；（2）当]2,12[ππ∈x 时，求)(x f 的值域. 【解析】（1）由已知易得：2=A 且ππωπ=⨯==222T ，得2=ω.)2sin(2)(ϕ+=x x f由232322ππϕπ+=+⨯k .Z k ∈得：62ππϕ+=k .∵20πϕ<<，∴6πϕ=.∴)62sin(2)(π+=x x f 为所求.（2）∵]2,12[ππ∈x ，∴]67,3[62πππ∈+x ，当262ππ=+x 即6π=x 时2)(max =x f . 当6762ππ=+x 即2π=x 时1)(min -=x f . ∴)(x f 值域为]2,1[-.热点二 三角函数图像的变换通过近年各地高考试题可以看出，三角函数图像的变换一直是这些年高考考查的热点，且试题常考常新.高考对三角函数图像变换的考查，常结合三角恒等变换、平面向量等知识进行综合考查. 例3.将函数)(sin cos 3R x x x y ∈+=的图像向左平移)0(>m m 个单位长度后，所得到的的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A. 12πB. 6πC. 3πD. 65π【解析】将函数)6cos(2sin cos 3π-=+=x x x y 的图像向左平移m 个单位后，得到函数)6cos(2m x y +-=π的图像，故m 的最小值是6π.【答案】B例4.函数)(x f 图像的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移2π个单位所得到的曲线是xy sin 21=，则函数)(x f =_______________. 【解析】（逆向变换）xy sin 21=)2sin(21π-=xyx x y 2cos 21)22sin(21-=-=π. ∴xx f 2cos 21)(-=为所求. 【答案】x2cos 21-.热点三 三角函数求值从近年高考试题的命题情况来看，高考对三角函数求值的考查题型有三类：①“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；②“给值求值”，即给出一些三角函数（或三角函数式）的值，求与之有关的其他三角函数式的值；③“给值求角”，即给出三角函数值，求出符合条件的角.例5.（1）若33)24c o s(,31)4c o s(,02,20=-=+<<-<<βπαπβππα，则)2co s(βα+等于（ ）A. 33B.33- C. 935 D. 96- 【解析】（1）∵20,31)4cos(πααπ<<=+，∴322)4sin(=+απ. 又∵02,33)24cos(<<-=-βπβπ,∴36)24cos(=-βπ. ∴)]24()4cos[()2cos(βπαπβα--+=+)24sin()4sin()24cos()4cos(βπαπβπαπ-++-+=935363223331=⨯+⨯= 【答案】C（2）设θ为第二象限角，若21)4tan(=+πθ，则θθcos sin +=____________.【解析】（2）∵21t a n 1t a n 1)4t a n (=-+=+θθπθ，∴31t a n -=θ，又θ为第二象限角，∴θθcos sin +510101031010-=-=.【答案】510-例6.（1）)45tan 1)(44tan 1()2tan 1)(1tan 1(0000++++ =______________.【解析】（1）∵045=+βα时2)tan 1)(tan 1(=++βα， ∴原式⋅++⋅++=)]43tan 1)(2tan 1[()]44tan 1)(1tan 1[(0000 230002)]45tan 1[()]23tan 1)(22tan 1[(=+⋅++【答案】232（2）设)30cos(cos )(0x xx f -=，则=+++)59()2()1(000f f f __________.【解析】（2）∵)30cos()60cos()30cos(cos )60()(0000--+-=-+x x x x x f x f 3)30cos()30cos(3)30cos(sin 23cos 23000=--=-+=x x x xx∴原式2359)30()]31()29([)]58()2([)]59()1([0000000=+++++++=f f f f f f f【答案】2359热点四 平面向量的运算高考对平面向量的运算的考查常考常新，与平面向量数量积有关的问题（如向量共线、垂直及夹角等问题）是高考考查的重点.此类问题多以选择题、填空题的形式出现，有时也渗透在解答题中与其他知识交汇命题，综合考查学生分析问题、解决问题的能力.例7.已知向量παβββαα<<<==0),sin ,(cos ),sin ,(cos b a . （12=-，求证：a ⊥；（2）设)1,0(=，若c b a =+，求βα,的值. 【解析】（12=-，即22)(222=+⋅-=-b b a a b a .又因为122====，所以222=⋅-，即0=⋅b a ，故⊥b .（2）因为⊥=)1,0()sin sin ,cos (cos =++βαβα，所以⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα，由此得， )cos(cos βπα-=，由πβ<<0，得πβπ<-<0，又πα<<0，故βπα-=.代入1s i n s i n =+βα得，21sin sin ==βα，而βα>，所以6,65πβπα==.例8.（1）等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且36,1042==S S ，则过点),(n a n P 和))(,2(2*+∈+N n a n Q n 的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）A. )21,1( B. )2,21(-- C. )1,21(-- D.)21,2( 【解析】（1）由已知：⎩⎨⎧=+=+366410211d a d a ，得⎩⎨⎧==431d a ，∴422)2(2===-+-=+d dn n a a K n n PQ .易知：4212=--，∴)2,21(--为该直线的一个方向向量.【答案】B（2）已知)sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===，则OA 与OB 夹角范围是（ ）A.]4,0[πB. ]125,4[ππC. ]125,12[ππD. ]25,125[ππ【解析】由已知点A 为以)2,2(为圆心，2为半径的圆C 上一点，点)0,2(B ，数形结合易得∠AOB最大值为125π，最小值为12π.【答案】C热点五 解三角形“解三角形”不仅反映了三角形边、角间的联系，体现了数与形的结合，且问题易与三角函数图像与性质、简单三角恒等变换、平面向量等知识点联系，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求.故解三角形问题也一直是历年高考热点. 例9.在△ABC 中，62,3==b a ，∠B=2∠A. （1）求cosA 的值； （2）求c 的值.【解析】（1）因为62,3==b a ，∠B=2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得A A 2sin 62sin 3=，所以362sin cos sin 2=A A A ，故36cos =A . （2）由（1）已知36cos =A ，所以33cos 1sin 2=-=A A ，又因为∠B=2∠A ， 所以311cos 2cos 2=-=A B .所以322cos 1sin 2=-=B B . 在△ABC 中，935sin cos cos sin )sin(sin =+=+=B A B A B A C .所以5sin sin ==A Ca c .例10.若)0(23cos sin cos 3)(2>--=ωωωωx x x x f 的图像与直线)0(>=m m y 相切并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列. （1）求ω和m 的值；（2）在△ABC 中a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，若)0,2(A是函数)(x f 图像的一个对称中心且4=a ，求△ABC 外接圆面积.【解析】（1）23cos sin cos 3)(2--=x x x x f ωωω)62cos(2sin 212cos 23πωωω+=-=x x x 易知：函数)(x f 周期为π且最大值为m ，∴1,1==m ω.（2）由已知：Z k k A ∈+=+⨯,2622πππ且π<<A 0得3π=A . 在△ABC 中设外接圆半径为R ，则338234sin 2===A a R 得334=R . ∴△ABC 外接圆面积为ππ3162==R S .热点六 解三角形的实际应用利用正、余弦定理解决与测量或几何计算有关的实际问题，也是对正、余弦定理的应用的考查，在近几年的新课标高考中也多有体现，主要是考查分析问题，解决实际问题的能力及计算能力. 例11.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cosA=12/13，cosC=3/5. （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解析】（1）在△ABC 中，因为53cos ,1312cos ==C A ，所以54sin ,135sin ==C A .从而C A C A C A C A B sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=π656354131253135=⨯+⨯=由正弦定理B ACC AB sin sin =，得10405465631260sin sin =⨯=⨯=C B AC AB (m).所以索道AB 的长为1040m.（2）假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130tm ，所以由余弦定理得1312)50100(1302)130()50100(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d)507037(2002+-=t t ， 因13010400≤≤t ，即80≤≤t ，故当3735=t (min)时，甲、乙两游客距离最短.（3）由正弦定理B ACA BC sin sin =，得50013565631260sin sin =⨯=⨯=A BAC BC (m).乙从B 出发时，甲已走了550)182(50=++⨯(m)，还需走710m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得3507105003≤-≤-v ，解得14625431250≤≤v ，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在]14625,431250[（单位：m/min ）范围内.例12.（1）一水库大坝的横截面为梯形ABCD ，迎水坡AB 的坡度为1:3=i ，背水坡CD 的坡度为2:1=i .坝高36m ，坡顶宽BC=8m ，则AB=__________，AD=_____________。
-三角函数三角形平面向量高考常考14种题型解题方法
三角函数三角形平面向量高考常考题型解题方法本专题要特别小心： 1.平面向量的几何意义应用 2. 平面向量与三角形的综合 3. 三角形的边角互化4.向量的数量积问题等综合问题5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.三角形中角的范围7.正余弦定理综合。
【题型方法】（一）考查平面向量基本定理例1. 设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ） A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-【解析】∵3BC CD = ∴AC −−AB =3(AD −−AC ) ∴AD =43AC −−13AB . 选C练习1．设四边形ABCD 为平行四边形，，.若点M ，N 满足，，则（ ）A ．20B ．15C ．9D ．6【解析】不妨设该平行四边形为矩形，以为坐标原点建立平面直角坐标系 则，故练习2. 如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3AB AC=（二）考察数形结合思想（如：向量与圆等图形的结合） 例2. 已知点A ,B ,C 在圆上运动，且ABBC ，若点P 的坐标为（2，0），则的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【解析】由题意，AC 为直径，所以当且仅当点B 为（-1，0）时，取得最大值7选B练习1. 在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足==, = = =–2，动点P ，M 满足=1，=，则的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】甴已知易得以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示则设由已知，得又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，选B练习2. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ） A ．3 B ．22 C ．5 D ．2 【解析】如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 根据等面积公式可得圆的半径是25，即圆的方程是()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=若满足AP AB AD λμ=+，即21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==- ，所以12xy λμ+=-+设12x z y =-+ ，即102xy z -+-= 点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心到直线的距离d r ≤，即221514z -≤+ ，解得13z ≤≤ 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，选A（三）．考查向量的数量积 例3. 已知向量,则ABC =（ ）A ．30B ．45C ．60D ．120 【解析】由题意，得，所以，选A【小结】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题练习1. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A ．B ．C ．D ．【解析】以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系则A （0，2），B （﹣2，0），C （2，0），设P （x ，y ）则=（﹣x ，2﹣y ），=（﹣2﹣x ，﹣y ），=（2﹣x ，﹣y ）所以•（+）=﹣x •（﹣2x ）+（2﹣y ）•（﹣2y ）=2x 2﹣4y +2y 2=2[x 2+（y ﹣）2﹣3]所以当x =0，y =时，•（+）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6，选D练习2.在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB = 119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==；AE AB BE AB BC λ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+ ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒21172117299218921818λλλλ=++≥⋅+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918BAD C E（四）考查三角形中的边角互化例 4. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ， b ， c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A = 【解析】()sin 2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A练习1. 在中，角，，所对应的边分别为，，.已知，则（）A．一定是直角三角形B．一定是等腰三角形C．一定是等腰直角三角形D．是等腰或直角三角形【解析】由题，已知，由正弦定理可得：即又因为所以即由余弦定理：，即所以所以三角形一定是等腰三角形，选B练习2. 在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】因为，为的角平分线，所以在中，，因为，所以在中，，因为，所以，所以则因为，所以所以，则即的取值范围为,选A练习3. 在锐角三角形ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知,,,则的面积（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】由题，，所以所以 又因为锐角三角形ABC ，所以 由题，即根据代入可得，，即再根据正弦定理： 面积故选D练习4. 在锐角ABC ∆中，角AB C ，，的对边分别为a b c ，，．且cos cos A B a b +=33Ca，23b =a c +的取值范围为_____．【解析】cos cos 33A B C a b a +=23cos cos sin 3b A a B C ∴+= ∴由正弦定理可得： 23sin cos sin cos sin 3B A A B BC +=，可得：23sin()sin sin A B C B C +==，3sin B ∴=， 又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭33A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,43]a c ∴+∈.练习5. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C+=+-，且3a b +=，则c 的取值范围为________________． 【解析】因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 所以由正弦定理可得cos cos a B b A c +=， 又因为sin cos cos sin sin sin ab C a B b A a A b B c C+=+-，所以由正弦定理可得222abcc a b c =+- 即222a b c ab +-=，所以222c a b =+-2()3ab a b ab =+-， 因为3a b +=，所以293c ab =-，因为29()24a b ab +≤=， 当且仅当23==b a 时取等号，所以27304ab -≤-<， 所以99394ab ≤-<，即2994c ≤<，所以332c ≤<，故c 的取值范围为3[,3)2（五）三角形与向量综合 例5. 在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A .练习1. 已知中，为的重心，则（）A．B．C．D．【解析】因为中，为的重心，所以，由余弦定理可得：且所以=练习2. 下列命题中，①在中，若，则为直角三角形；②若，则的最大值为；③在中，若，则；④在中，，若为锐角，则的最大值为．正确的命题的序号是______【解析】①在中，若，可得或，则为直角或钝角三角形，故①错；②若时，即，即垂直，则的最大值为，故②正确；③在中，若，，即，即，，即为，由，可得，故③正确；④在中，，即为，即为，可得，即，可得锐角，可得时，的最大值为，故④正确故答案为：②③④练习3. 在ABC 中， 60A ∠=︒， 3AB =， 2AC =. 若2BD DC =， ()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________. 【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ 则()1221233493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⎛⎫⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒= ⎪⎝⎭（六）向量与三角函数综合例6. 自平面上一点O 引两条射线OA ，OB ，点P 在OA 上运动，点Q 在OB 上运动且保持PQ 为定值a （点P ，Q 不与点O 重合），已知3AOB π∠=，7a =，则3||||PQ PO QP QOPO QO ⋅⋅+的取值范围为（ ）A ．1,72⎛⎤⎥⎝⎦B ．7,72⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．1,72⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．7,72⎛⎤- ⎥ ⎝⎦【解析】设OPQ α∠=，则23PQO πα∠=- 322cos 3cos 7cos 3cos 33PQ PO QP QO PQ QP POQO ππαααα⋅⋅⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭()3331337cos cos 7cos 7sin 22ααααααϕ⎫⎫=-=-+=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭其中3tan 9ϕ=，则7sin 14ϕ=20,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴当()sin 1αϕ-=时，原式取最大值7 ()()7sin sin 0sin 14αϕϕϕ->-=-=-，∴()77sin 2αϕ->- 37,72PQ PO QP QO PO QO ⎛⎤⋅⋅+∈- ⎥ ⎝⎦∴，选D练习1. 在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．【解析】以为轴，建立直角坐标系，则， 由的模为与与的夹角为，且知，，可得，，由可得 ，（七）三角形中的最值 例7. 在中，内角所对的边分别为．已知，，，设的面积为，，则的最小值为_______． 【解析】在中，由得， 因为利用正弦定理得，再根据，可得，，，由余弦定理得，求得，所以，所以 ，所以，当且仅当，即时取等，所以 的最小值为。
高考数学大二轮复习专题一平面向量、三角函数与解三角形第一讲平面向量课件理
－b)⊥b，则 a 与 b 的夹角为( )
π
π
A.6
B.3
C.23π
D.56π
解析：由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2.
∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝|aa|··|bb|＝2bb22＝12.
∵0≤〈a，b〉≤π，∴a 与 b 的夹角为π3.故选 B. 答案：B
4．(2019·恩施州模拟)已知向量 a＝(1， 3)，b＝－12， 23，则
3．(2019·河北衡水中学模拟)已知 O 是平面上一定点，A，B，
C
是平面上不共线的三点，动点
P
满
足
→ OP
＝
O→B＋O→C 2
＋
λ
→ AB →
→
＋
AC →
，λ∈[0，＋∞)，则点 P 的轨迹经过△
|AB|cos B |AC|cos C
ABC 的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
解析：设
答案：A
4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝ (1，λ)．若 c∥(2a＋b)，则 λ＝________.
解析：2a＋b＝(4,2)，因为 c∥(2a＋b)，所以 4λ＝2，得 λ＝12. 答案：12
[类题通法] 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用 平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运 算．一般将向量归结到相关的三角形中，利用三角形法则列出 三个向量之间的关系． 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一组基 底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过 向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不 同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．
三角向量
三角函数和平面向量专题复习一.高考考试内容及要求：1.三角函数考试要求：（1）了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．（2）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数与最小正周期的意义；（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A 、ω、φ的物理意义；（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示；（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
2. 平面向量考试要求：（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念； （2）掌握向量的加法和减法；（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件；（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算；（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；（6）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用.掌握平移公式。
二.走进高考1.(05年1)．函数f (x )=|sin x +cos x |的最小正周期是（ C ）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 2.(05年4)已知函数)2,2(tan ππω-=在x y 内是减函数，则（ B ）A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－13.(05年7)锐角三角形的内角A 、B 满足tanA －A2sin 1=tanB ，则有 （ A ）A ．sin2A －cosB=0B ．sin2A+cosB=0C ．sin2A －sinB=0D ．sin2A+sinB=04.(05年8)已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ， 那么有λλ其中,CE BC =等于 （ C ）A ．2B ．21 C ．－3D ．－315.（06年5）函数()tan f x x π⎛⎫=+⎪4⎝⎭的单调增区间为（C ） Ａ．k k k ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪22⎝⎭Z ，，Ｂ．()k k π(+1)π，，k ∈ZＣ．k k k 3ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪44⎝⎭Z ，， Ｄ．k k k π3π⎛⎫π-π+∈ ⎪44⎝⎭Z，，6.（06年6）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（B ）A ．41 B ．43 C ．42 D ．327.(06年文1)．已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=4，且a ·b =2，则a 与b 的夹角为（ C ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π8.（06年理9）．设平面向量123，，a a a 的和1230++=a a a ．如果平面向量123，，b b b ，满足2=i i b a ，且i a 顺时针旋转30 后与i b 同向，其中123i =，，，则（D ） Ａ．123-++=0b b b Ｂ．123-+=0b b b Ｃ．123+-=0b b b Ｄ．123++=0b b b9.(07年1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ D ）A ．15B ．15-C ．513D ．513-10.（07年文10）函数22cos y x =的一个单调增区间是（D ）Ａ．ππ44⎛⎫-⎪⎝⎭，Ｂ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭， Ｃ．π3π44⎛⎫⎪⎝⎭，Ｄ．ππ2⎛⎫⎪⎝⎭， 11.（07年理12）函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是（A ）A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．03π⎛⎫⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， 12.（07年3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （A ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向13.（08年3）．在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD D C = ，则AD = （ A ）A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c答： A. 由()2AD AB AC AD -=- ，322AD AB AC c b =+=+ ，1233AD c b =+；14.（08年文6）．2(s i n c o s )1y x x =--是（ D ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数15.（08年8）．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位答：A.55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将函数s i n 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像.16. (06年理16)设函数())(0)f x ϕϕ=+<<π，若()()f x f x '+是奇函数，则ϕ=π6．17. (06年17)ABC △的三个内角为A B C ，，，求当A 为何值时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值，并求出这个最大值．解：由πA B C ++=，得π222B C A +=-，所以有cos sin 22B C A +=．23)212(sin22sin 22sin212sin 2cos 2cos2cos 22+--=+-=+=++A A A A A C B A当1sin22A =，即π3A =时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值32．18.（07年文17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =5c =，求b ．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）根据余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=．所以，b =19.（07年理17）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos sin 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，2B A π>+，A>2263B ππππ-=-=,653A 32π<π+<π，所以23)3A sin(21<π+<,由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．20.（08年文17）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ． 解：（1）由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除，有：3cos cos cos cot 4sin sin sin a BaBb B B b A A bBb====又通过cos 3a B =知：cos 0B >， 则3cos 5B =，4sin 5B =，则5a =．（2）由1sin 2S ac B =，得到5c =．由222cos 2a c bB ac+-=，解得：b =10l =+．21.（08年理17）．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 解：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a B b A c -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =；（Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B => 2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B BA B A BBB B--===+++≤34当且仅当14t a n c o t ,t a n,t a n 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，t a n ()A B -的最大值为34.三.例题精讲例1．（2006年安徽卷）．已知310,tan cot 43παπαα<<+=-（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin8sincos11cos822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。
2024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量31
2024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量312024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量31三角函数与平面向量是高中数学中的重要内容，也是数学二轮复习中的重点。
学好这一部分知识点，对于提高数学成绩至关重要。
本文将重点介绍2024届高三数学(理)二轮复习专题集训中的专题3三角函数与平面向量的内容，包括三角函数的基本概念、性质和一些重要公式，以及平面向量的基本概念、运算法则和应用等内容。
首先，我们来介绍三角函数的基本概念和性质。
三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们代表了角度和直角三角形边之间的关系。
正弦函数表示的是一个角的对边与斜边的比值，余弦函数表示的是一个角的邻边与斜边的比值，正切函数表示的是一个角的对边与邻边的比值。
三角函数的周期都是360度或2π弧度，可以通过函数图像的变化规律和一些基本特点进行分析和运用。
在学习三角函数的过程中，我们要掌握一些基本的三角函数公式，例如，和差化积公式、倍角公式、半角公式等。
这些公式可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，转化为更简单的形式，从而更好地解决问题。
接下来，我们介绍平面向量的基本概念和运算法则。
平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
平面向量有加法和乘法（数量乘法和点乘）两种运算法则。
向量加法满足交换律、结合律和有零向量的存在性质，可以通过平行四边形法则和三角法则进行计算。
向量乘法有数量乘法和点乘法。
数量乘法是将向量与一个实数相乘，使向量的长度发生变化，方向与原来一致（或相反）。
点乘法是将两个向量的对应分量相乘再相加，得到的是一个实数，表示了两个向量之间的夹角关系。
最后，我们要了解平面向量的应用。
平面向量在几何、力学等领域中有着广泛的应用。
例如，可以使用向量来表示平面上的几何图形，计算它们的面积、周长等属性。
还可以使用向量进行力的合成、分解和计算，探究力的平衡、作用和应用等。
此外，还可以利用向量的性质解决一些几何问题，例如直线的垂直、平行关系，点和直线的位置关系等。
专题二三角函数、平面向量
图 5－1
第5讲 │ 要点热点探究
(2)要得到函数
y＝cos（2x＋π3）的图象，只需将函数
y＝12sin2x＋
3 2
cos2x 的图象( )
例 3 [2011·安徽卷] 已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ)，其中 φ 为实
数，若 f(x)≤f
π6对 x∈R 恒成立，且 f
π2>f(π)，则 f(x)的单调
递增区间是( )
A.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)
B.kπ，kπ＋π2(k∈Z)
C.kπ＋π6，kπ＋23π(k∈Z)
D.kπ－π2，kπ(k∈Z)
sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×
33＋2 3 2×
36＝5
9
3 .
第5讲 │ 要点热点探究
(2)sincoαs－2απ4＝
cos2α－sin2α ＝cosα＋sinαcosα－sinα
22sinα－cosα
22sinα－cosα
＝－ 2(cosα＋sinα)，
∵sinα＝12＋cosα，∴cosα－sinα＝－12，
专题二 │ 考情分析预测
备考策略
由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮复习的学生 已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化， 在复习中注意如下几点：
(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但 包含的内容非常广泛，概念、公式、定理很多，不少地方容易混淆， 在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系．
专题复习解三角形与平面向量
1．三角形的有关公式：(1)在△ABC 中：sin(A ＋B )＝ ，sinA ＋B2＝ (2)正弦定理：(3)余弦定理： _____________________________________________________________________ (4)面积公式：S ＝12ah a ＝12ab sin C ＝12r (a ＋b ＋c )(其中r 为三角形内切圆半径)．2．平面向量的数量积a ·b ＝ ．特别地，a 2＝a·a ＝|a|2，|a|＝a 2.当θ为锐角时，a ·b >0，且a·b >0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b <0，且a·b <0是θ为钝角的必要非充分条件．3．b 在a 上的射影为|b |cos_θ． 4．平面向量坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a≠0，b≠0，则：(1)a·b ＝ ；(2)|a |＝ ，a 2＝|a |2＝ ； (3)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔ ＝0；(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |⇔ ＝0.(5)若a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝ ＝ ． 5．△ABC 中向量常用结论(1)PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的 ； (2)PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →⇔P 为△ABC 的 ；(3)向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的 ；(4)|PA →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的 ． 考点一 解三角形例 1－1设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．1＋33 ＋1 C ．1－33－1 例 1－2△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，角A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 例 1－3若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形变式训练【1－1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则【1－2】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 【1－3】在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 或37例 1－4已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝ sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．变式训练 【1－4】 (2015·兰州诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a3cos A＝csin C .(1)求A 的大小； (2)若a ＝6，求b ＋c 的取值范围．【1－5】 (2014·黄冈模拟)△ABC 的外接圆的直径为1，三个内角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，m ＝(a ，cos B )，n ＝(cos A ，－b )，a ≠b ，已知m ⊥n .(1)求sin A ＋sin B 的取值范围；(2)若abx ＝a ＋b ，试确定实数x 的取值范围．例 1－5如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．变式训练【1－6】如图，游客从某旅游景区的景点A C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内考点二 平面向量例 2－1已知正三角形ABC 的顶点A (3，1)，B (33，1)，顶点C 在第一象限，若点M (x ，y )在△ABC 的内部或边界，则z ＝OA →·OM →取最大值时，3x 2＋y 2有( )A ．定值52B ．定值82C ．最小值52D ．最小值50例 2－2如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．例 2－3如图在等腰直角△ABC 中，点O 是斜边BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )B ．1C ．2D ．3变式训练【2－1】设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ·b ＝(a 1，a 2)·(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sinx 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ·OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值为________．【2－2】在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为______．易错题在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值和△ABC 的面积．练习题1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定 3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) C ．2 24．锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则a b的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(2，3) 5．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )6．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1) mB ．180(2－1) mC ．120(3－1) mD ．30(3＋1) m7．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |28．如图为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象，B ，C 分别为图象的最高点和最低点，若AB →·BC →＝|AB →|2，则ω＝( )9．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且a cos B －b cos A ＝35c ，则tan Atan B 的值为______．10．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度CD ＝________m.12．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．13．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ； (2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2A 的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．15．已知向量m ＝(cos x ，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，－32，f (x )＝(m －n )·m . (1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)锐角△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝3，f ⎝⎛⎭⎪⎫A －π8＝－24，a ＝3，求b ＋c 的值．。
高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题12平面向量的概念及其线性运算文(含解析)
专题12平面向量的概念及其线性运算一、本专题要特别小心：1.向量加减的几何意义2. 向量共线的问题3. 零向量问题4.向量夹角为锐角和钝角问题5.基本定理的两条路径法表示向量6.向量共线与三点共线的区别与联系7.向量的模与夹角的运算及应用问题8.平行与垂直问题二．【学习目标】1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示．2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．4．了解向量线性运算的性质及其几何意义．三．【方法总结】1.向量线性运算技巧(1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运用向量的加法、减法、数乘运算的同时，应充分利用平面几何的一些基本定理.(2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形内，以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运算的几何意义.2.向量共线问题(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 四．【题型方法】（一）向量共线与三点共线 例1．下列说法正确的是（ ）A ．若||=||a b ，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB 、CD 满足||||AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD >C ．若a b ≠，则a 与b 可能是共线向量D ．若非零向量AB 与CD 平行，则A 、B 、C 、D 四点共线 【答案】C【解析】对于A 选项，模相等的向量，方向不一定相同或者相反，也可能垂直，或者成其它的角度，故A 选项错误.对于B 选项，向量不能用大于或者小于号相连，向量的模可以比较大小，故B 选项错误.对于C 选项，不相等的向量可以共线，故C 选项正确.对于D 选项，平行向量不一定是共线的，故B 选项错误.综上所述，本小题选C.练习1．下列说法中正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．平行向量不一定是共线向量C ．对于任意向量a ，b ，必有D ．若a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >【答案】C【解析】对于A,单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误，对于B,平行向量就是共线向量，对于C,若a ，b 同向共线，，若a ，b 反向共线，，若a ，b 不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知，综上可知对于任意向量a ，b ，必有正确，对于D,两个向量不能比较大小，故错误.故选C.练习2．设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b λ=”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】存在实数λ，使得a b λ=， 说明向量,a b 共线，当,a b 同向时，成立，当,a b 反向时，不成立，所以，充分性不成立.当成立时，有,a b 同向，存在实数λ，使得a b λ=成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得a b λ=”是“”的必要而不充分条件.故选：B .练习3.下列命题正确的是( ) A ．与共线，与共线，则与也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C ．向量与不共线，则与都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行 【答案】C【解析】由于零向量与任意向量都共线，所以当是零向量时，与不一定共线，故A 不正确； 由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上， 而此时不能构成四边形，所以不可能是一个平行四边形的四个顶点，故B 不正确； 零向量与任意向量都共线，故C 正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，故D 不正确. 故选C.练习4．下列说法正确的个数为( ) （1）共线的两个单位向量相等； （2）相等向量的起点相同； （3）若，则一定有直线；（4）若向量，共线，则点A ，B ，C ，D 必在同一直线上．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】(1)错，共线的两个单位向量的方向可能相反； (2)错，相等向量的起点和终点都可能不相同； (3)错，直线与可能重合；(4)错，与可能平行，则四点不共线.故选A.（二）向量的模 例2. 向量的夹角为，，，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】又本题正确选项：练习1.对于任意向量a ，b ，下列命题中正确的是（ ） A ．如果a ，b 满足a b >，且a 与b 同向，则a b > B ． C ．D ．【答案】B【解析】选项A 中，向量不能进行比较大小，所以错误； 选项B 中，两边平方，整理化简得a b a b ⋅≤⋅，即，所以正确；选项C 中，当a 与b 同向时，，所以错误；选项D 中，当a b <时，，不成立，所以错误.故选B 项.练习2. 已知平面向量，则2a b +=（ ）A ．B ．3C ．12x x D ．5【答案】A 【解析】因为，所以，因此.故选A（三）向量加减运算法则的几何意义例3.在四边形ABCD 中，AB AD =且BA CD =，则四边形ABCD 的形状一定是（ ） A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形【答案】C【解析】因为BA CD =，所以,四边形是平行四边形，又AB AD =，所以AB AD =, 四边形是菱形，故选C. 练习1.在ABC ∆中，，2AB =，1AC =，E ，F 为AB 的三等分点，则CE CF ⋅=（ ） A ．89B ．109C ．179D ．259【答案】C 【解析】因为，所以， 化为0AB AC ⋅=，因为2AB =，1AC =，所以，又因为E ，F 为AB 的三等分点，所以，故选C.练习2．在四边形中，，，，那么四边形的形状是（ ）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D．以上都不对【答案】C【解析】，，，四边形是梯形。
必修4专题---三角函数及平面向量
A．－B→C＋12B→A B．－B→C－12B→A
C.B→C－12B→A D.B→C＋12B→A
3．已知在四边形 ABCD 中，O 是四边形 ABCD 内一点，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝a－b＋c，则四边形 ABCD 的形状为( )
A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．菱形
4．已知 A，B，C 三点不共线，且点 O 满足O→A＋O→B＋O→C＝0，则下列结论正确的是( )
偶函数的图象
(4)函数������(������) = sin(������������ + ������)(������ > 0,0 < ������ < ������)的图象中相邻对称轴的距离为���2���，若角������的终边经过点
(3, √3)，则������(���4���)的值为( )
+
���2���)，������
∈
������
B. (������������, (������ + 1)������)，������ ∈ ������
C.
(������������ −
3������ , ������������
4
+ ���4���)，������
∈
������
D.
(������������
A.
������
=
������，������
2
=
������ 4
B.
������
=
������，������
3
=
������ 6
C.
������
=
������，������
4
专题复习一 三角函数 解三角形 平面向量(A)
专题复习一 三角函数 解三角形 平面向量第一课时 三角恒等变换一．高考分析二．基础在现1.在ABC ∆中，3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B +=+=，则C ∠等于_____．2.若)2tan(,3)tan(,2tan αβαβα-=-=则的值为 .3. 求值2cos10sin 20cos20-= 4.（2013高考题）004cos50tan 40-= ( )1 5.（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学理）设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________. 三 范例剖析例1 已知向量)22()sin (cos ，，，==b x x a ，若58=⋅b a ，且ππ42<<x （I ） 试求出cos()x -π4和tan()x -π4的值； （II ）求sin (tan )tan 211x x x+-的值。
变式：已知tan A 与tan (π4－A)是方程x 2+px+q=0的两根，若3tan A=2tan (π4－A)，求p 与q 的值．例2 已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα<<<, (Ⅰ)求α2tan 的值；（Ⅱ）求β.变式： 已知⎪⎭⎫ ⎝⎛3∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,2,1024cos πππx x . （Ⅰ）求x sin 的值；（Ⅱ）求⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin πx 的值.例 3.．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）已知函数()c o s 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R . (Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.四 巩固训练1. 化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2. 化简tan70cos103sin10tan702cos40+-= ．3. 已知,αβ都是锐角,且sin αβ==, 则αβ+= 4. 已知22cos cos a αβ-=,那么sin()sin()αβαβ+-=5. 已知,αβ都是锐角,且cos sin tan sin cos ααβαα-=+,则tan()αβ+= 6. 已知(0,)2πα∈，(,)2πβπ∈，1cos 3β=-，7sin()9αβ+=，则sin α= 7.设()f x =试求(1)(2)(3)(44)f f f f ︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒的值 8. 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量1(sin,sin ),(cos ,sin ),222A B C A B +==⋅=a b a b ,则tan tan A B ⋅＝ ．9.若13cos(),cos(),55αβαβ+=-=则tan tan αβ= 10.已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα- 11.求值：cos 20cos 40cos80︒︒︒= . 12若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+= 130203sin 702cos 10--= 14. 已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，(0,2)θπ∈，则m 的值为15．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-。
《三角函数与平面向量》知识点总结
三角函数与平面向量三角函数、三角恒等变换与解三角形1．⑴角度制与弧度制的互化：π弧度180=，1801π=弧度，1弧度 )180(π='1857 ≈⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：22121R lR S θ==。
2．三角函数定义:角α终边上任一点（非原点）P ),(y x ,设r OP =|| 则：,cos ,sin r x r y ==ααxy=αtan 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c ”）4．诱导公式记忆规律：212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数；212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n n co n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数. 即:“奇变偶不变,符号看象限”.如απαsin 2cos -=⎪⎭⎫⎝⎛+,()ααπcos cos -=-. 5．同角三角函数的基本关系：x xxx x tan cos sin ;1cos sin 22==+ 6．三角函数的单调区间及对称性： ⑴sin y x =的单调递增区间为2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,单调递减区间为32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈.⑵cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈,单调递减区间为[]2,2k k k Z πππ+∈，对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈. ⑶tan y x =的单调递增区间为,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk ()Z k ∈. 7．⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴：令2x k πωϕπ+=+，得; =x 对称中心：))(0,(Z k k ∈-ωϕπ；⑵)cos(ϕω+=x A y 对称轴：令πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ；对称中心：))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ；⑶周期公式:①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ωπ2=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).8.三角函数变换: ①相位变换:xy sin =的图象()()−−−−−−−−−→−<>个单位平移或向右向左φφφ00()φ+=x y sin 的图象； ②周期变换:xy sin =的图象()()−−−−−−−−−−−→−><<倍到原来的或缩短横坐标伸长ωωω1110x y ωsin =的图象；③振幅变换:x y sin =的图象()()−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短纵坐标伸长A A A 101xA y sin =的图象.9．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.②22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-；22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.③sin cos a b αα+)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,tan baϕ=). 10．二倍角公式：①αααcos sin 22sin =.2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±②2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（升幂公式）.221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==（降幂公式）. (2)万能公式:22tan sin 21tan ααα=+；221tan cos 21tan ααα-=+；22tan tan 21tan ααα=-（正切倍角公式）.(3)半角公式:sin tan21cos ααα==+11．正、余弦定理：⑴正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 2是ABC ∆外接圆直径 ） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②CR c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。
高三数学二轮复习三角函数与平面向量专题
专题一三角函数、解三角形与平面向量一知识要点整合·三角函数的图像与性质··解三角形··三角恒等变换··平面向量·二典型例题（3）例5例6．例7．．例8．例9. 例10. 三精编试题3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18（本题满分12分）.19.（本题满分12分）20. （本题满分12分）21. （本题满分12分）22. （本题满分12分）23. （本题满分12分）已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a,)4cos ,4(sin xx b ππ=,b a x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡24. （本题满分12分）已知ABC ∆的内角A ． B ．C 所对边分别为a 、b 、c ，设向量)2cos),cos(1(BA B A m -+-=， )2cos ,85(B A n -=，且89=⋅n m .（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值；（Ⅱ）求222sin c b a Cab -+的最大值.25. （本题满分12分）甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为152海里/小时,在甲船从A 岛出发的同时,乙船从A 岛正南40海里的B 岛出发,朝北偏东)21tan (,=θθ其中的方向作匀速直线航行,速度为105海里/小时.(如图所示)(Ⅰ)求出发后3小时两船相距多少海里?(Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?【解析】:以A 为原点,BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.设在t 时刻甲、乙两船分别在P(x 1, y 1) Q (x 2,y 2). ,55sin ,552cos ,212151545cos 215111===⎩⎨⎧====θθθ可得由分则arctg t x y t t x 分5402040cos 51010sin 51022 -=-===t t y tt x θθ(I)令3=t ,P 、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20)345850)2045()3045(||22==-+-=PQ .即两船出发后3小时时,相距345锂 (II)由(I)的解法过程易知:220800)4(5016004005010)154020()1510()()(||2222212212≥+-=+-=--+-=-+-=t t t t t t t y y x x PQ 分∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20 2即两船出发4小时时,相距202海里为两船最近距离.26. （本题满分12分）在锐角ABC ∆中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA －tanB)＝1＋tanA·tan B ．(1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小；(2)已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n＝(cosB ，sinB)，求｜3m －2n｜的取值范围．【解析】27. （本题满分12分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．【解析】解法一：设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060在CDO ∆中，2222cos 60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅= 即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯= 解得490044511r =≈（米） 解法二：连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中 ∴ AC =700（米）22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）28. （本题满分12分）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边经过点(3)P -.(1)求tan α的值; (2)定义行列式运算a bc d ad bc =-,求行列式sin tan 1cos ααα的值; (3)若函数cos()sin ()sin()cos x f x x αααα+-=+(x ∈R ),求函数23(2)2()2y x f x π-+的最大值,并指出取到最大值时x 的值【解析】:(1)∵ 角α终边经过点(3)P -,∴3tan α=. (2)1sin 2α=,3cos 2α=.1200CADsin tan 333sin cos tan 1cos 4312αααααα=-=-+= . (3)()cos()cos sin()sin cos f x x x x αααα=+++= (x ∈R ), ∴函数23cos(2)2cos 2y x x π=-+3sin 21cos2x x =++2sin(2)16x π=++(x ∈R ),∴max 3y =, 此时()6x k k ππ=+∈Z .29. （本题满分12分）已知函数2π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（1）求)(x f 的最大值和最小值；（2）2)(<-m x f 在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（Ⅰ）π()1cos 23cos 21sin 23cos 22f x x x x x⎡⎤⎛⎫=-+-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤， 即π212sin 233x ⎛⎫+-⎪⎝⎭≤≤， max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． 30. （本题满分12分）如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进行测量,已知50AB m =,120BC m =,于A 处测得水深80AD m =,于B 处测得水深200BE m =,于C 处测得水深110CF m =,求∠DEF 的余弦值｡【解析】:作//DM AC 交BE 于N ,交CF 于M .22223017010198DF MF DM =+=+=, 222250120130DE DN EN =+=+=,2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=在DEF ∆中,由余弦定理,2222221301501029816cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯31（本题满分12分）在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,3m B =-,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡【解析】:(1) //m n ⇒ 2sinB(2cos 2B2-1)=-3cos2B⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=34ac ≤ 3∴△ABC 的面积最大值为 3②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2- 3∴△ABC 的面积最大值为2- 332. （本题满分12分）设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭13cos cos 22A A A =++33A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.33（本题满分12分）在ABC ∆中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC ．(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ⋅的最大值是5,求k 的值.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B=sin(B +C )∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0<A <π,∴sin A ≠0. ∴cos B =21. ∵0<B <π,∴B =3π.(II)m n ⋅=4k sin A +cos2A ． =-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,32π) 设sin A =t ,则t ∈]1,0(.则m n ⋅=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(. ∵k >1,∴t =1时,m n ⋅取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k =23. 34 （本题满分12分）在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin =++CB A .I.试判断△ABC 的形状;II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.)42sin(22sin 2cos 2sin2sinππ+=+=+-C C C C C2242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.abab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,此时面积的最大值为()24632-. 35. （本题满分12分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =设内角B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的最大值． 解析：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x xA ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 36. （本题满分12分）已知ABC △的面积为3，且满足0≤•≤6，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围； （II）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π的最大值与最小值．解析：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤． 即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 37. （本题满分12分）如图，甲船以每小时线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解析：如图，连结12A B，22A B =，122060A A =⨯=122A A B ∆是等边三角形，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒，在121A B B ∆中，由余弦定理得2221211121112222cos 4520220200B B A B A B A B A B =+-⋅︒=+-⨯⨯=，12B B =60=答：乙船每小时航行海里.1A2A120 105。
三角函数与平面向量专题知识整合
数学爱好者专高考文科数学爱好者业精心策划Ｓ专题辅导题知识整合三角函数是高中数学的重要内容之一，也是历年高考的重点．跨学科应用是它的鲜明特点，在解答函数、不等式、立体几何、解析几何问题时，三角函数是常用的工具．在实际问题中也有着广泛的应用，因而是高考对基础知识和基本技能方面考查的重要内容．三角函数这一章的主要知识点是：角的概念的推广、弧度制、任意角的三角函数、单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式，正、余弦的诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切，正弦函数、余弦函数的图象和性质，函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图象，正切函数的图象和性质，已知三角函数值求角．由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系数和形的有力纽带，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究．在解题过程中，善于利用化归思想处理共线、平行、垂直问题，向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．题型例析河南陈长松热点题型一三角函数的求值、化简、证明等基本问题例１已知ｃｏｓ（π４＋ｘ）＝３５，１７π１２＜ｘ＜７π４，求ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎ２ｘ１－ｔａｎｘ的值．分析先把所求式化简，再利用已知条件求值．解由题设得ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＝３２!５，ｓｉｎ２ｘ＝７２５，又５π３＜ｘ＋π４＜２π，所以原式＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘ（ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＝ｓｉｎ２ｘ・１＋ｔａｎｘ１－ｔａｎｘ＝ｓｉｎ２ｘｔａｎ（π４＋ｘ）＝－２８７５．评注在处理条件求值问题时，一要处理好角的终边位置和三角函数的符号；二应转化题设条件与待求式，以创造条件寻求时机代入求值．踪练习追ｚｈｕｉｚｏｎｇｌｉａｎｘｉｔａｎ１０°－３!ｃｓｃ４０°的值为．后反思练ｌｉａｎｈｏｕｆａｎｓｉ原式＝ｓｉｎ１０°ｃｏｓ１０°－３!ｃｓｃ４０°＝ｓｉｎ１０°－３!ｃｏｓ１０°ｃｏｓ１０°・ｃｓｃ４０°＝２１２ｓｉｎ１０°－３!２ｃｏｓ１０"#°ｃｏｓ１０°・ｃｓｃ４０°＝－２ｃｏｓ４０°・ｓｉｎ４０°ｃｏｓ１０°＝－ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°＝－１．热点题型二三角函数的最值问题例２求函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的最大值和最小值．分析求函数的最值可用多种方法求解，最常用的有两种方法：几何法、有界性法．几何法运用数形结合思想，要掌握转化的方法．与专三角函数平面向量"#。
2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第1讲平面向量(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第1讲 平面向量[考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度． 考点一 平面向量的线性运算 核心提炼1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．例1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12B.12 C ．－14D.14答案 A解析 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12.(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则m n＝________. 答案 －2解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2.(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由题意可得，OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．跟踪演练1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 12解析 由题意可设CG →＝xCE →(0<x <1)， 则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y的取值范围是________．答案 [1,3]解析 设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)， 则B (1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3.则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y (1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3. 令g (θ)＝3cos θ－33sin θ， 易知g (θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g (θ)取得最大值为3， 当θ＝π3时，g (θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．考点二 平面向量的数量积 核心提炼1．若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 例2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b|a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( )A ．3B ．4C ．－3D ．－4 答案 C解析 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点， ∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12×4＝－3. (3)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)，设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝2－2λ2＋2－4λ2＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，0≤λ≤1， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值为22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.易错提醒 两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．跟踪演练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 方法一 设a 与b 的夹角为θ，因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝0， 又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0， 即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B. 方法二 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3，即a 与b 的夹角为π3，故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6)答案 A解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．(3)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C.2－1 D ．1答案 A解析 如图，作出OD →，使得OA →＋OB →＝OD →.则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB →＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC →，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD →·OC →取得最小值，最小值为－2，此时(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值，最大值为1＋ 2.故选A.专题强化练一、单项选择题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →等于( )A ．－12AB →＋AD →B.12AB →－AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →答案 A解析 由题意可知，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.2．(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N ，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，3≈1.732)( )A ．63B ．69C ．75D ．81 答案 B解析 设该学生的体重为m ，重力为G ，两臂的合力为F ′，则|G |＝|F ′|，由余弦定理得|F ′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos 2π3＝3×4002，∴|F ′|＝4003，∴|G |＝mg ＝4003，m ＝403≈69kg.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( ) A ．－2B ．－1C ．－12D.12答案 A解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4,2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故选A.4．(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－3，1)D ．(－1，3) 答案 D解析 由P (3，1)，得P ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6，∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q (－1，3)．5．(2020·泰安模拟)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2.6．在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( ) A.23B.34C.56D ．1 答案 A解析 由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AC →＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，∴|BA →|＝|(PA →－PC →)＋(PB →－PC →)|＝|CA →＋CB →|，即|CA →－CB →|＝|CA →＋CB →|，两边平方整理得，CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．故选C. 8．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||PA →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．23B ．33C ．43D ．5 3 答案 D解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O ， 则圆的半径为332×12＝3，OA →＋OB →＋OC →＝0， 故PA →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →.又||4PO →＋OC→2＝51＋8PO →·OC →≤51＋24＝75， 故||PA →＋PB →＋2PC →≤53， 当PO →，OC →同向共线时取最大值．9．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A.2B.3C ．2D ．2 2 答案 C解析 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r )，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r ＝1.易得B (－3，0)，C (3，0)，A (0,3)，D (0,0)， 设M (cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0,2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA →＝(3，3)，BD →＝(3，0)， 故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y ,3x )，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋43≤2.当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2.方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y )2－2xy ]． 由题意知，x ≥0，y ≥0， |BM →|的最大值为232－32＝3，又2x ＋y 24≥2xy ，即－2x ＋y 24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y )2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号． 二、多项选择题10．(2020·长沙模拟)已知a ，b 是单位向量，且a ＋b ＝(1，－1)，则( ) A ．|a ＋b |＝2 B ．a 与b 垂直C ．a 与a －b 的夹角为π4D ．|a －b |＝1 答案 BC解析 |a ＋b |＝12＋－12＝2，故A 错误；因为a ，b 是单位向量，所以|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋1＋2a ·b ＝2，得a ·b ＝0，a 与b 垂直，故B 正确；|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，|a －b |＝2，故D 错误；cos 〈a ，a －b 〉＝a ·a －b |a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×2＝22，所以a 与a －b 的夹角为π4，故C 正确． 11．设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( )A ．若k <－2，则a 与b 的夹角为钝角B ．|a |的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 D ．若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2 答案 CD解析 对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k <2且k ≠－2，A 选项正确；对于B 选项，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 选项正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b |b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，C 选项错误；对于D 选项，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项错误．12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( )A.AB →·CE →＝－1B.OE →＋OC →＝0C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76答案 BCD解析 因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形，所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0,0)，A (1,0)，B (－1,0)，C (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233， 设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y )，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233， 又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32， 即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确；|OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32， 所以选项C 正确；ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确． 三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0.因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________.答案 5解析 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设C (a,0)． ∵AC →·AB →＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4. ∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，∴BO →＝23BD →＝23×12()BA →＋BC → ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋4，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36. ∴BO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32＝5. 15．(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________． 答案 19解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)， 得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|. ∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13， 即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19.16．(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________． 答案 2829解析 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )，则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )．由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )，故|2e 1－e 2|＝2－x 2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1.cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b|a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1x ＋3＋y 2x ＋12＋y 2x ＋32＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4x ＋12x ＋13x ＋5＝4x ＋13x ＋5＝433x ＋5－833x ＋5＝43－833x ＋5，。
高考数学三角函数与平面向量复习
高考数学三角函数与平面向量复习三角函数、平面向量是高中数学两个有机结合的部分，它们既是高考必考内容又是十分有用的解题工具. 学好这部分内容，除了要较好的把握知识体系之外，更要把握有关题型、易错点.一、三角函数问题1．三角函数的图像和性质 〔1〕具体要求：①了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；②借助单位圆理解任意角三角函数〔正弦、余弦、正切〕的定义； ③借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式〔±，±的正弦、余弦、正切〕，能画出y=sinx ，y=cosx ，y=tanx 图像，了解三角函数的周期性；④借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2]，正切函数在〔-,〕上的性质〔如单调性、最大和最小值、图象与轴交点等〕；⑤理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，=tanx.x xcos sin⑥结合具体实例，了解y=Asin 〔ωx+〕的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin 〔ωx+〕的图像，观察参数A ，ω，对函数图像变化的影响；⑦会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.〔2〕题型示例：这里的问题主要是三角函数的图像和性质及其应用，与向量进行综合命题是近年来的发展趋势.例1.已知函数f 〔x 〕=Asin 〔ωx+〕〔 A>0,ω>0,∣∣<〕的图像在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为〔x0,2〕,〔 x0+3,-2〕.〔1〕求f 〔x 〕的解析式；〔2〕用五点作图法画出函数f 〔x 〕在长度为一个闭区间上的简图； 〔3〕写出函数f 〔x 〕的单调区间； 〔4〕写出f 〔x 〕>的角x 的集合；〔5〕函数f 〔x 〕的图像经过怎样的变换可以得到函数y=sinx 的图像. 解：〔1〕依题意可知A=2，=2·4=8，=，于是得 f 〔x 〕= 2sin 〔x+〕又x=0时f 〔0〕= 2sin=1，sin=，且∣∣<，∴=. f〔x 〕= 2sin 〔x+〕 4πx+6π2π π23π 2πx-3234310316322y 02-2〔3〕函数f 〔x 〕的单调增区间是[-+8k ，+8k]〔k ∈Z 〕，减区间是[+8k ，+8k]〔k ∈Z 〕. 〔4〕f 〔x 〕>的角x 的集合是{x ∣+8k ＜x ＜2+8k , k ∈Z }.〔5〕把函数f 〔x 〕的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的；再把所得函数的图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的；再把所得的函数图像向右平移个单位即得函数y=sinx 的图像.点评：本题重点考查相关的基础知识和基本方法，考查阅读理解及语言表达能力.狠抓双基的学习是永恒的话题.例2．〔2006·湖北·理〕设函数= a·〔b+c 〕，其中向量a=〔sinx ，-cosx 〕，b=〔sinx ，-3cosx 〕，c =〔-cosx ，sinx 〕，x ∈R .〔Ⅰ〕、求函数的最大值和最小正周期；〔Ⅱ〕、将函数的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d. 解：〔Ⅰ〕由题意得，f 〔x 〕＝a·〔b+c 〕 =〔sinx,－cosx 〕·〔sinx －cosx,sinx －3cosx 〕 ＝sin2x －2sinxcosx+3cos2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+sin 〔2x+〕. 所以，f 〔x 〕的最大值为2+，最小正周期是＝. 〔Ⅱ〕由sin 〔2x+〕＝0得2x+＝k.，即x ＝, k ∈Z ， 于是d ＝〔，－2〕，∣d ∣k ∈Z.因为k 为整数，要使∣d ∣最小，则只有k ＝1，此时d ＝〔―，―2〕即为所求.点评：本题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力. 在这里我们也可以看到，所谓的高考试题，实际上更加注重对双基的考查，提醒我们平时学习要注重基础，注重对所学知识的融会贯通.2三角恒等变换 〔1〕具体要求①经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；②能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；③能运用上述公式进行简单的恒等变换〔包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆〕.〔2〕题型示例：这部分的问题主要是化简、求值、证明等问题. 例3.〔2005•福建〕已知-<x<0，sinx+cosx=. 〔1〕求sinx-cosx 的值； 〔2〕求的值.解：〔1〕由sinx+cosx=得sinxcosx=-，∴〔sinx-cosx 〕2=1-2sinxcosx=.又-<x<0，故sinx ＜0，cosx ＞0，sinx-cosx=-.2π57〔2〕 由sinx+cosx=，sinx-cosx=-得sinx=-，cosx=，tanx=-，∴=-.x x x tan 1sin 22sin 2-+17524 点评：此题考查了同角三角函数关系式的运用、三角函数的化简、变形能力，考查了方程的思想.注意到sinx+cosx ，sinx-cosx ，sinxcosx 之间的关系，这在化简求值中应用的频率上很高的.例4〔2006重庆理〕已知，sin 〔〕=－ sin 则cos=_______ . 解：由得∈〔，2〕，又sin 〔〕=－故cos 〔〕=. 由得-∈〔，〕，又sin 故cos 〔-〕=-. 于是，cos=cos[〔〕-〔-〕]= cos 〔〕cos 〔-〕+sin 〔〕sin 〔-〕=-.6556点评：本题考查三角变换及三角运算能力.三角变换包括三角函数、三角式的变换和角变换，这里主要是角的变换.灵活地进行角的变换是灵活地进行三角变形的基础.3.解三角形 〔1〕具体要求①通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；②能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.〔2〕题型示例：利用三角知识解决三角形中的三角函数问题，包括解三角形，三角形形状的判定，应用问题等.要注意的是三角形中的边角关系、正余弦定理的灵活运用.例5．〔2006江西文〕在锐角中，角所对的边分别为，已知， 〔1〕求的值；〔2〕若，，求的值．解：〔1〕因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝p ，，所以cosA ＝，则22222B Csin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 21cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－.〔2〕因为S=，又S=bcsinA=bc·，则bc ＝3将a ＝2，cosA ＝，c ＝代入余弦定理：中得解得b ＝ .点评：本题主要考查三角形中的三角函数问题，灵活运用诱导公式、同角三角函数的关系式、二倍角公式、三角形面积公式、余弦定理等进行三角变换、计算的能力.例6.〔2006上海文·理〕如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援〔角度精确到〕？解：连接BC ，由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=10.7∵, ∴sin ∠ACB=，710120sin 20sin ︒=ACB 73∵∠ACB<90° ， ∴∠ACB=41°，∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援.点评：本题主要考查学生的数学应用意识、实际问题化归为数学问题以及分析问题解决问题的能力.题不在难，在于适用.二、平面向量问题 〔1〕具体要求①了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；②掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义，了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件；⑤理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；⑥体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力. 〔2〕题型示例：例7．〔2006全国2理〕已知向量a ＝〔sinθ，1〕，b ＝〔1，cosθ〕，－＜θ＜． 〔Ⅰ〕若a ⊥b ，求θ；〔Ⅱ〕求｜a ＋b ｜的最大值．解：〔1〕a⊥b a·b=0 ．〔2〕∣a+b∣=∣〔sinθ+1，cosθ+1〕∣==1cos2cos1sin2sin22+++++θθθθ==．3)cos(sin2++θθ3)4sin(22++πθ当=1时∣a+b∣有最大值，此时，sin()4πθ+4πθ=1=点评：本题主要考查向量垂直转化为数量积为0、特殊角的三角函数值、三角函数的基本关系以及三角函数的有界性、已知向量的坐标表示求模等，难度中等，计算量不大．三、易错问题分析例8．函数=的值域为．()f x xxxxcossin1cossin++解：∵===[〔sinx+cosx〕-1]=[sin〔x+〕-1]又sin〔x+〕∈[-1，1]∴sin〔x+〕=1时=〔-1〕；sin〔x+〕=-1时=-〔+1〕．∴函数的值域为[-〔+1〕，〔-1〕] ．简析略解：此解法看似正确，实际上忽视了函数的定义域，从而导致错误．事实上，在化简函数解析式的过程中要注意1+sinx+cosx≠0，即sin〔x+〕≠-，因此≠-1，函数的值域应为[-〔+1〕，-1〕∪〔-1，〔-1〕] ．例9．若2sin2x+sin2y=3sinx，则sin2x+sin2y的取值范围是．解：由已知得sin2y= 3sinx-2sin2x＞0，从而得0＜sinx＜，于是23sin2x+sin2y= -sin2x+3sinx= -〔sinx-〕2+∈〔0，〕，∴sin2x+sin2y的取值范围是〔0，〕.简析略解：上述解法看似考虑了变量sinx的取值范围，好象天衣无缝，实际上仍然没有准确的求出变量sinx的范围.事实上，0＜sin2y= 3sinx-2sin2x≤1，因此，0＜sinx≤或sinx=1.21∴sin2x+sin2y的取值范围是[0，]∪{2}.45例10．已知向量p，q满足∣p∣=，∣q∣=3，p与q的夹角为900，若p+tq与tp+q的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 .3解：若p+tq与tp+q的夹角为锐角，则〔p+tq〕·〔tp+q〕＞0，即tp2+tq2+〔1+t2〕p·q=3t+9t=12t＞0，t＞0即为所求.简析略解：由p+tq与tp+q的夹角为锐角〔p+tq〕·〔tp+q〕＞0是正确的，但是当〔p+tq〕·〔tp+q〕＞0时却得不到p+tq与tp+q的夹角为锐角！因为此时也可能有p+tq与tp+q的夹角为00，因此要在前面所求得的范围内去掉使p+tq与tp+q的夹角为00的t值.事实上，当p+tq与tp+q的夹角为00时，可设p+tq=s〔tp+q〕，则得st=1，且t=s.解得t=s=1. 实数t的取值范围是t＞0且t≠1.。
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三角函数与平面向量专题复习
【课前测试】
1．在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则⋅ 的取值范围为 _．
2．在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是△ABC （包括边界）内任一点．则AN MP ⋅的取值范围为___ ___．
3．过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点A 作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐
近线的交点分别为B ，C ．若1
2
AB BC =，则双曲线的离心率是___ ___．
4．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=，若a ＝7，则b +c 的最大值为___ ___．
【例题讲评】
例1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0．
（1）求角C 的大小；
（2）若b ＝2a ，△ABC 的面积为2
2
sin A sin B ，求sin A 及c 的值．
例2．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a ，b ，c ，已知5
sin 13
B =
，且12BA BC ⋅=． （1）求ABC ∆的面积；
（2）若a ，b ，c 成等差数列，求b 的值．
例3．已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为
4
π
，()()1c a c b -⋅-=-，则c a -的最大值为______．
例4．在△ABC 中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2．．
(1)若3
A π
=
，求b ＋c 的取值范围；
(2)若1AB AC ⋅=，求△ABC 面积的最大值．
A B
P
C
（第4题）
【课后练习】
1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝_____．
2．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．
3．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90ADC ∠=︒，AB = 3，AD = 2，E 为BC 中点，
若→AB ·→AC = 3，则→AE ·→BC = ．
4．如图，o o 19045AB BC APB BPC ==∠=∠=，，，则PA PC ⋅= ．
5．△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ．满足S ＝34
(a 2＋b 2－c 2
)． （1）求C 的值；
（2）若a ＋b ＝4，求周长的范围与面积S 的最大值．
6．在ABC ∆中，三个内角分别为A,B,C ，已知sin(A )2cosA 6
π
+=．
（1）若cos C =230a c -=．
（2）若(0,)3B π∈，且4
cos()5
A B -=，求sin B ．
答案： 【前测】
1．[2316 ,3] 2．[-34 , 3
4] 3． 5 4．21
【例题】
例1．（1）3π4， (2) sin A ＝1010
，c ＝1．
例2．答案：（1）由12BA BC ⋅=，则cos 12ac B =．…………………………… 2分
故cos B >0．又5sin 13B =，所以cos B 12
13
=．……………………………… 4分 故13ac =． 所以ABC ∆的面积S 12=
ac sin B 155
132132=⨯⨯=．……………………………… 7分 （2）因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b =a +c ．
在ABC ∆中，2222cos b a c ac B =+-，即()2
222cos b a c ac ac B =+--．……… 10分 所以()2
2222cos b b ac ac B =--．（*） 由（1）得，13ac =，cos B 1213=，代入（*）得()2
212221321313
b b =-⨯-⨯⨯，… 12分
故b 250
3
=
，b =．……………………………………………………………14分
例3．12+
例4．（1）（2,4] (2) 2
【课后练习】
1．－1
4
2．3 3．-3
4．答案：4
5
-．
【解析】（方法一）2
()PA PC PA PB BC PA BC PA AB PA ⋅=⋅+=⋅=⋅=-， 在△APC 中，设PB x =，知易2PA x =，所以22(2)1x x +=，即21x =，
所以PA PC ⋅=4
5
-；
（方法二）设PB x =，知易2PA x =，同方法一有215
x =，又PC =，
所以PA PC ⋅
=3π4(2))cos 45x ⋅⋅=-；
（方法三）
（方法4）建立如图所示的坐标系， 设(,0)A a ，(,)C b b -，（0,
0)a b >>，
则(0,)b B ，所以b a =且2
214
b a +=，
所以245a =
，即A
，(C ，所以PA PC ⋅=4
5
-．
5．（1）π
3
（2） 3
6．因为sin(A )2cos A 6π+=
1
A cos A 2cos A 2
+=，
即sin A A =，因为()A 0,∈π，且cos A 0≠，
所以tan A =A 3
π
=
． …………4分 （1）因为22sin C cos C 1+=
，cosC =
，()C 0,∈π
，所以sin C = 由正弦定理知a c
sin A sinC =
，即32
a sin A c sinC ===，即230a c -=．…………7分 （2）因为(0,)3B π
∈，所以033A B B ,ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭
，
因为22sin ()cos ()1A B A B -+-=，所以3sin()5
A B -=， …………10分 所以()(
)sin sin sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---=．……14分。