第三章 时间响应分析.

0.9 1.0 1.2
5 10 15
二阶系统的单位阶跃响应函数的过渡过程随着阻尼的减小，其振 荡特性表现得愈加强烈，但仍为衰减振荡，当 ＝0 时达到等幅振荡 . 在 =1 和 >1时，二阶系统的过渡过程具有单调上升的特性 .从过渡过 程的持续时间来看，在无振荡单调上升的曲线中，以 =1时的过渡过 程时间最短。工程上通常使 =0.4～0.8之间，其超调不大，过渡过程 较短。
本章难点
(1)二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其 与系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与 系统特征参数之间的关系； (2)系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。
3.1
时间响应的概念
3.1.1 时间响应及其组成
1、时间响应:系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过 程，即系统的时间响应。它由两部分组成： （1）瞬态响应:系统在某一输入信号作用下，系统的输出量从初始 状态到稳定状态的响应过程。 （2）稳态响应：时间t趋于无穷大时，系统的输出稳定状态。 时间响应就是系统微分方程的全解。包含通解和特解两个部 分。通解完全由初始条件引起的，工程上称为自由响应，特解只 由输入决定，工程上称为强迫响应。
第三章
基本要求
时间响应分析
(1)了解系统时间响应的组成； (2)了解时间响应分析中常用的典型输入信号及其特点；
(3)掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位脉冲 响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲 线的基本形状及意义。掌握线性系统中，输入存在微积分关系， 其输出也存在微积分关系的基本结论；
T：一阶系统的时间常数
2. 一阶系统的单位阶跃响应
输出信号拉氏变换为： X o ( s ) G ( s ) X i ( s )
1 1 时间响应为： x o (t ) L [ X o ( s)] L [
1 t ] 1 e T s (Ts 1)
1 1 Ts 1 s

1.6
100% 1.2
1 0.8 0.6
1.4
M p
]
15
e s2t e s1t 1 ( ) 2 s1 2 1 s2 曲线上升缓慢，没有超调。
n
3、当0<ξ <1时(欠阻尼）
2 n 1 1 X o ( s) G( s) 2 2 s s 2 n s n s
= 0.1 n=1
1
s 2 n 1 s ( s n j d )( s n j d )
1 u (t ) r (t ) t
x or (t ) 1 e
t
T
xou (t )
u (t ) (t )
输入：
输出：
单位脉冲 =
单位脉冲响应 =
1 tT x e o (t ) w(t ) T
d d 单位阶跃 = 单位斜坡 dt dt
d d 单位阶跃响应 = 单位斜 坡响应。 dt dt
1 T
1 T
特点： 当T ↓，过渡过程持续时间变 短，表明系统惯性越小，系统的 快速性能越好。
0.368
0.2 0.1 0
0
2
4
6
8
10
4. 一阶系统的单位斜坡响应
输出信号拉氏变换为： X o ( s ) G ( s ) X i ( s )
时间响应为： x o (t ) L1 [ X o ( s )] L1 [ 单位斜坡响应曲线：
欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振荡曲线，且ξ愈小， 衰减愈慢，振荡频率愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其幅值 n 衰减的快慢取决于 。
1 =0.1 0.8 0.3 0.6 0.5 0.4 0.7 0.2 0 0.9 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 0 5
10
15
3.4 二阶系统时间响应的性能指标
(4)掌握二阶系统的定义和基本参数；掌握二阶系统单位脉冲响应曲 线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之 间的对应关系；掌握二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参 数之间的关系； (5)掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误 差及稳态误差的求法；能够分析系统的输入、系统的结构和参数 以及干扰对系统偏差的影响。
X i s
+
-
n s ( s 2 n )
2
X 0 s
X i s
n 2 s 2 2 n s n
2
X 0 s
n为无阻尼固有频率 ， 为阻尼比。
2.特征方程特征根 ：
2 s 2 2n s n 0
s1, 2 n n 2 1
（2）L变换：
t
1 L[ xi (t )] 2 s
4.单位加速度函数
（1）定义：
2 t xi (t ) 2 0
xi ( t )
t 0 t0
（2）L变换：
0
t
1 L[ xi (t )] 3 s
5.正弦函数 （1）定义：
sin t
t 0 t 0
t
X i sin t xi (t ) 0
1、上升时间tr：响应曲线从初态开始，第一次达到输出稳态值
所需的时间。
1.6
1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4
xo (tr ) 1
tg
tr
1
1
2
n
1 2
0.2
0
tr
5
10
15
当ω n一定，ξ ↑→tr↑；当ξ 一定， ω n↑→tr↓
2、峰值时间tp：响应曲线达到第一个峰值所需的时间。
1
w(t )
n
e nt sin (n 1 2 )t
2 n 2 n t w(t ) L [ 2 ] te n 2 (s n )
n 2 w(t ) {exp[ ( 1) n t ] 2 2 1
exp[ ( 2 1) n t ]}
1、当ξ =1时（临界阻尼）
2 n 1 n 1 X o ( s) s(s n )2 s ( s n )2 s n
xo (t ) L1[ X o (s)] 1 n t e t e t
n n
1 (1 n t )e
n t
t
3. 一阶系统的单位脉冲响应
1 Ts 1 1 1 tT 1 1 ] e 时间响应为： xo (t ) L [ X o (s)] L [ Ts 1 T
输出信号拉氏变换为： X o (s) G(s) X i (s)
(t 0)
单位脉冲响应曲线：
0.6 0.5 0.4 0.3
j s1 - n s2 [ s]
2
j

+ n 1 - - n 1 -
[ s]
j
j
[ s]
s1,2 -n

s2 s1
s1 + j n
[ s]

s2 - j n

2
0 1
1
1
0
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
2 1 n X o ( s ) X i ( s )G ( s ) 2 2 s s 2n s n
1.0
0 5
n=1
Βιβλιοθήκη Baidu
单调上升,没有超调。
10
15
2、当ξ >1时（过阻尼） 2 1 n X o ( s) s ( s s1 )( s s2 )
xo (t ) L1[ X o (s)]
L [
2 n
1 2 n
1
s( s a)(s b) 1.2 n=1 1 s1t s 2t [1 (s2e s1e )] s1s2 s2 s1 0 5 10 2 n 1 a s1 ,b s2 [1 (beat aebt )] ab a b s t s1s2 e 1 e s2t 1 ( ) s2 s1 s1 s2
本章重点
(1)一阶系统的定义和基本参数，一阶系统的单位脉冲响应、单位阶 跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。 (2)二阶系统的定义和基本参数；二阶系统单位脉冲响应曲线、单位 阶跃响应曲线的基本形状及其与系统阻尼比之间的对应关系， 二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。 (3)系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差 的求法；系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的 影响。
2、时间响应函数:时间响应（函数）等于传递函数与输入的拉氏变 换之积再取拉氏逆变换。
X o ( s ) G( s ) X i ( s )
两边取拉氏逆变换
xo (t ) L1[G(s) X i (s)]
3.1.2 典型输入信号
常用的输入信号:单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、 单位抛物线函数(单位加速度函数)、正弦函数和某些随机函数。 1.单位脉冲函数(δ 函数) （1）定义： (t ) 0 （2）L变换：
（2）L变换：
0
X i L[ X i sin t ] 2 s 2
3.2 一阶系统的时间响应
1. 一阶系统的数学模型
一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其典型环节是惯性环节。 传递函数：
Xi ( s )
+ -
1 Ts
Xo ( s)
X i ( s)
1 T s +1
X o ( s)
X o (s) 1 G(s) X i ( s ) Ts 1
1.6
dxo (t ) 0 dt
tp
1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
M p
n
2 d 1
tp
5
10
15
当ω n一定,ξ ↑→tp↑；当ξ 一定，ωn ↑→ tp ↓
3、最大超调量Mp：响应曲线上超出稳态值的最大偏离量。
Mp xo (t p ) xo () xo ()
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3
1 1 2 Ts 1 s
(t 0)
1 t ] t T Te T 2 s (Ts 1)
T=2s
T
xi (t ) t
xo (t ) t T Te
4 5 6 7 8
t
T 9 10
5. 一阶系统典型信号输入与输出的关系
对于任意线性系统而言，若输入A是输入B的导函数，则输入A所引 起的输出就是输入B所引起输出的导函数；同样地，若输入A是输入B的 积分，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的积分。
3.3
二阶系统的时间响应
3.3.1 二阶系统的数学模型
二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。其典型环节是振荡环节。 1.传递函数：
1 2 xo (t ) 1 sin ( d t arctg ) 2 1
4、当ξ = 0 时
e nt
0
5
10
15
xo (t ) 1 cos nt
1.8
1.6
1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
= 0.1 0.3 0.5 0.7
n =1
3.3.3 二阶系统的单位脉冲响应
Y( s2) k n X o (s) 2 2 1 s)s Ts s X 2( n n
(1)当0<ξ <1时: (2)当ξ=0时: (3)当ξ =1时: (4)当ξ >1时:
1 2 2 n 1 w(t ) L [ 2 ] n sin nt 2 s n
t 0 , t0
( t)
(t )dt 1
0

t
L[ (t )] 1
2.单位阶跃函数 （1）定义：
u ( t)
t0 t0
1 u (t ) 0
（2）L变换：
1 t
L[u (t )]
1 s
3.单位斜坡函数 （1）定义：
r (t)
t 0 t0
t xi (t ) 0
(t 0)
单位阶跃响应曲线：
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
特点：
1 et T
x
t T
T
0 2 4 6 8 10
(1)瞬态响应为 e T ，稳态值为1； (2)单调上升的指数曲线； (3)T表示系统输出以最大初速达到 稳态值所需的时间 xo(T)=0.632 (4)当T ↓，过渡过程持续时间变 短，表明系统惯性越小，系统的 快速性能越好。