第九章变化的电磁场

第十三章 电磁感应 电磁场

9—1铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为t π100sin 10

0.85

-⨯=Φ(Wb)，求

在s t 2

100.1-⨯=时，线圈中的感应电动势。

解 由于线圈有N 匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情

况下，法拉第电磁感应定律通常写成dt

d dt

d N ψ

ε-

=Φ-=，其中φψN ＝叫做磁通链数。 线圈中总的感应电动势dt

d N

Φ-=ε=（2.51V ）cos(100πs -1

)t ， 当t=0.02s 时，ε =2.51V 。

9—2 如图所示，用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆．使这根半圆形导线在磁感强度为B 的匀强磁场中以频率f 旋转，整个电路的电阻为R ，求感应电流的表达式和最大值。

解 由题意知，穿过图示闭合回路中面积为S=1

2

πr 2的半圆形导线部分的磁通量在不断变化，在任意

时刻这部分磁通量Φ(t)=BScos θ，所以必须找出θ=θ(t)的关系式．

为此，设图示位置为导线在初始时刻(即=0)的位置，顺时针方向为回路正向，此时半圆形导线平面

的法线与B 之间的夹角θ=0，经历时间t 后,θ=2πf t ．将上述关系代人dt

d Φ

-=ε，求得回路在任意

时刻的电动势ε (t)，再用欧姆定律求得相应的感应电流I(t)，进而求得最大值I m .另外，由于本题磁场不随时间变化，只是半圆形导线在旋转，因此产生的电动势是动生电动势，所以也可以在线圈处于任何

位置时用公式ε=⎰⨯l

)B (

υ来求解。

根据分析，由于磁场是均匀的，故任意时刻穿过回路的磁通量为 ft B r BScon t ππθφ2cos 2

12

=

=）（

根据法拉第电磁感应定律，有 ft fB r dt

d ππε2sin 2

2

=Φ-=

因此回路中的感应电流为 )(t I =

R

ε

=R

fB

r 2

2πft π2sin

感应电流的最大值为 )

(m I R

fB

r 2

2

π

9—3 有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向反的电流，且电流均以dI dt

变化

率增长。如果有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。求线圈中的感应电动势。

解 用法拉第电磁感应定律dt

d Φ

-=ε来求解．由于回路处在非均匀磁场，磁通量需用Φ=⎰⋅S

S d B 计

算(其中B

为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度召1B 与召2B

之和)．

为了积分的需要，建立如图9—3所示的坐标系．由于B 仅与x 有关，即)(x B B =,，故取一个平行于长直导线的宽为d x 、长为d 的面元d S ，如图中阴影部分所示，则d S =d d x 工，所以，总磁通量可通过线积分求得(若取面元d S ：d x d y ，则上述积分实际上为二重积分)．本题在工程技术中为互感现象，也可用公式dt

dI M

M -=ε

求解．

解1 穿过面元d S 的磁通量

=

⋅+⋅=⋅=ΦS d B S d B S d B d

21dx d x Id

)

(20+πμdx x

Id

πμ20-

dx

因此穿过线圈的磁通量为 Φ=dx x

Id

dx d x Id

d d

d

d

d

⎰

⎰⎰

-

+=Φ20202)

(2πμπμ=

4

3ln

20π

μId

图13—3

图9—3

再由法拉第电磁感应定律，有 ε =dt

d Φ-

=(

4

3ln

20π

μd

)

dt

dI

解2 当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为Φ=4

3ln 20π

μId

，线圈与两长直导线间

的互感为 4

3ln 20π

μφd

I M =

,当电流以

dt

dI 变化时，线圈中的互感电动势为

ε =dt

dI

M -=(

43

ln

20πμd

)

dt dI

9—4 如图所示，把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B 的均匀磁场中，当导线以速率υ

水平向右平动时，求导线中感应电动势君的大小，哪一端电势较高?

解 本题及后面几题中的电动势均为动生电动势，除仍可由ε =dt

d Φ

-求解外(必须设法构造一个

闭合回路)，还可直接用公式⎰⋅⨯=l

l d B

)(υε求解．在用后一种方法求解时，应注意下列几个问题：

1．式中l d B

⋅⨯)(υ为导体

上任一导线元dl 上的动生电动势εd ，积分表示对导线上所有的导线元产生的电动势求和．

2．需建立一个适当的坐标系(尽可能利用其对称性)，在导

体上任意位置处取导线元l d ，

写出l d 处的υ

与B 的表达式，

并需明确两个角度，即l d

处的

υ 与B 的夹角，以及矢量

(υ

×B )与l d 间的夹角．在一般情况下，上述各量可能是l d

所在位置的函数．

3．矢量(υ

×B )的方向就是导线中电势升高的方向．

解1 如图9—4 (b)所示，假想半圆聪导线OP 在宽为2R 的静止∑形导轨上滑动，两者之间形成一

个闭合回路．设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O 或端点P 距∑形导轨左侧距离为x ，则

B R Rx ⎪⎭

⎫

⎝⎛+=Φ2212π，B R dt dx RB dt d υε22-=-=Φ-= 由于静止的正形导轨上的电动势为零，则B R υε2-=．式中负号表示电动势的方向为逆时针，对OP 段

来说端点P 的电势较高．

解2 建立如图9—4 (c)所示的坐标系，在导体上任意处取导体元dl ，则

θθυθυυεRd B dl B l d B d cos cos 90sin )(==⋅⨯=

，⎰⎰-

===

2

2

2cos ππ

υθθυεεB R d BR d

由矢量(B

⨯υ)的指向可知，端点P 的电势较高．

解3 连接OP 使导线构成一个闭合回路．由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量Φ=BS=常数．由法拉第电磁感应定律dt

d Φ-

=ε可知，0=ε，PO P

O εεε+= ，B R PO P O

υεε2=-= 。 由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形

导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势．上述求解方法是叠加思想的逆运用，即补偿的方法．

9—5 长为L 的铜棒，以距端点r 处为支点，以角速率ω绕通过支点,垂直铜棒的轴转动。设磁感强度为B 的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差。

解 首先应分清棒两端的电势差与棒上的动生电动势不是一个概念，它们之间的关系如同电源的路端电压与电源电动势之间的关系．在开路情况中，两者大小相等，方向相反(电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向)．

可直接用积分法求解棒上的电动势，此时积分上下限应为r L -和r -另外，可将整个棒的电动势看

图9—4