人教版高中数学必修三 第二章 统计第三章简单随机抽样-知识点

第三章 简单随机抽样第一节 简单随机抽样概述一、简单随机抽样的概念简单随机抽样也叫作纯随机抽样。

其概念可有两种等价的定义方法：定义之一：简单随机抽样就是从总体N 个抽样单元中，一次抽取n 个单元时，使全部可能的)(Nn A 种不同的样本被抽到的概率均相等，即都等于1/A 。

按简单随机抽样，抽到的样本称为简单随机样本。

按上述定义，在抽取简单随机样本之前，应将所有可能的互不相同的样本一一列举出来。

但当N 与n 都比较大时，要列出全部可能的样本是不现实的。

因此，按上述定义进行抽样是不太方便的。

定义之二：简单随机抽样是从总体的N 个抽样单元中，每次抽取一个单元时，使每一个单元都有相等的概率被抽中，连续抽n 次，以抽中的n 个单元组成简单随机样本。

由于定义二无需列举全部可能的样本，故比较便于组织实施。

但按这个定义进行抽样时，仍然需要掌握一个可以赖以实施抽样的抽样框。

二、简单随机抽样的具体实施方法常用的有抽签法和随机数法两种。

(一)抽签法抽签法是先对总体N 个抽样单元分别编上1到N 的号码，再制作与之相对应的N 个号签并充分摇匀后，从中随机地抽取n 个号签(可以是一次抽取n 个号签，也可以一次抽一个号签，连续抽n 次)，与抽中号签号码相同的n 个单元即为抽中的单元，由其组成简单随机样本。

抽签法在技术上十分简单，但在实际应用中，对总体各单元编号并制作号签的工作量可能会很繁重，尤其是当总体容量比较大时，抽签法并不是很方便，而且也往往难以保证做到等概率。

因此，实际工作中常常使用随机数法。

(二)随机数法随机数法就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。

由于计算机产生的随机数实际上是伪随机数，不是真正的随机数，特别是直接采用一般现成程序时，产生的随机数往往不能保证其随机性。

因此，一般使用随机数表，或用随机数骰子产生的随机数，特别在n 比较大时。

1、随机数表及其使用方法随机数表是由0到9的10个阿拉伯数字进行随机排列组成的表。

所谓随机排列，即每个数字都是按等概和重复独立抽取的方式排定的。

在编制时，使用一种特制的电器或用计算机，将0至9的10个数字随机地自动摇出，每个摇出的数字就是一个随机数字。

为使用方便，可依其出现的次序，按行或按列分成几位一组进行排列。

根据不同的需要，它们所含数字的多少以及分位和排列的方式尽可以不同。

目前，世界上已编有许多种随机数表。

其中较大的有兰德公司编制，1955年出版的100万数字随机数表，它按五位一组排列，共有20万组；肯德尔和史密斯编制，1938年出版的10万数字随机数表，它也按五位一组排列，共有25000组。

我国常用的是中国科学院数学研究所概率统计室编印的《常用数理统计表》中的随机数表。

随机数表的用途很多，不仅可以组织等概样本，也可组织不等概样本。

简单随机抽样属等概率抽样，在使用随机数表时，要注意以下几点：①每次使用时，确定使用哪页及哪行哪列的数字为起点，必须是随机的。

②设总体容量为N，若N的位数为r，则一定要从r位数中抽取。

遇到1至N的数可直接使用；遇到其它的数不能直接使用。

③当r≥2时，可从含有起点数字左边的r位数开始，也可从右边的r位数开始。

可从起点开始向下抽取，也可向右抽取。

但一经确定使用哪一种方式，就必须用一种方式抽取全部单元号，中途不能变更。

④在重复抽样时，遇到重复的数字应重复使用；在不重复抽样时，遇到重复的数字应舍去不用。

随机数表法一般分下述几步：第一步：确定起点页码，如用笔尖在随机数表上随机指定一点，若落点数字(或距落点最近的数字)为奇数，则确定起点在第1页；否则，起点在第二页。

第二步：确定起点的行数与列数，先在表上随机指定一点，由落点处的两位数确定起点的行数。

由于每页只有50行，所以当落点处的两位数大于50时，则取其减去50的差数为行数。

为保证等概性，当落点处的数为“00”时，则行数应取作50。

然后依同样的方法再确定起点的列数。

第三步：确定所抽样本单元的号码。

从上述确定的起点开始向下(或向右)，每次取一个r位数。

通常，若所需抽的数是一位数或两位数(即r＝1或2)，则由起点开始，依次向右抽取较方便，达到该行右端时，从下一行左端开始继续向右抽取；若所需抽的数是三位及以上(即r≥3)则由起点开始依次向下抽取较方便，达到最后一行时，向右移10位(或r位)，再从第一行开始向下继续抽取，直到取足所需的n个r位数为止，以这n个r位数所对应的总体单元组成样本。

然而，按上述步骤抽样，由于每个总体单元只对应一个数字，因此，所读取随机数的放弃比例可能很高，这在大样本时将使抽样过程变得很费事。

为避免这种现象，可以在不违反等概率原则的条件下令每个总体单元同时对应多个数字，以加快抽样的速度。

一般说来，当N为一个r位数字时，要取一个从一到N间的随机数字，可以随机取1至N'的一个数字，其中N'为N的最大r倍的整倍数。

如果N'为kN，总体内每一单元便配上1到N'的k个数，符合随机数字的单元算是中选，此时放弃的随机数字比例便是(10r-N')/10r。

这时的N'也不一定要取r位，如果能取r'位(r'＞r)，而使N的r'位整位数与N'相差极小即可。

快速抽取的常用方法有：余数法。

如果N是个r位数，由1到N'随机取一个数R，而N'是N的最大r位整倍数，则编号等于R除N所得余数的单元便被选中。

商数法。

如果N是个r位数，由0到N'-1随机取出一个数R而使N'是N的最大整倍数，只要R除k的商是(i-1)，则第i个单元便被选中。

其中k=N'/N。

由于k远比N小，所以此法的计算过程较余数法简便。

修正余数法。

如果总体内单元个数N是个r位数，且N'是个不小于N而适于用作除数的较大r位数，而N''为N'的最大r位整倍数，则如果R是用r位随机数字取得的数字，待选单元的号码便会是R除N'的余数，其中只要R不大于N''而余数不是0也不大于N就可以。

在其他情形时，被抽中数字必须放弃而重复进行。

如果N'=N，本法便简化成余数法；如果这时的余数是0，等选单元的号码便选N。

这时的放弃比例是［(N'-N)/10r］(N''/N')。

此外也可以用修正商数法或独立选择数位法等以加速抽样。

2、随机数骰子及其使用方法随机数骰子是由均匀材料制成的正二十面体(通常的骰子是正六面体，即正方体)，面上刻有0－9的数字各2个。

每盒骰子由盒体、盒盖、泡沫塑料垫及若干个(通常是3－6个)不同颜色的骰子组成。

使用随机数骰子时可以像普通骰子那样用投掷的方法。

但正规的方法是将一个或n个骰子放在盒中，拿去泡沫塑料垫，水平地摇动盒子，使骰子充分旋转，最后打开盒子，读出骰子表示的数字。

一个骰子一次产生一个0－9的随机数。

要产生一个m位数字的随机数，就需要同时使用m个骰子(事先规定好每种颜色所代表的位数，例如红色表示百位数，蓝色表示十位数，黄色表示个位数等)，或将一个骰子使用m次(规定第一次产生的数字为最高位数，最后一次产生的数字为最末位即个位数字等)。

特别规定m个骰子的数字(或一个骰子m次产生的数字)都为0时，表示1０m。

当使用随机数骰子进行抽样时，特别是如何根据摇随机数骰子方法获得的随机数R０来读取所要求的随机数R有多种方法。

下面是我国国家标准GB10111《利用随机数骰子进行随机抽样的方法》中规定的适用于简单随机抽样的读取随机数的方法。

方法之一：若骰子表示的R０≤Ｎ,则取Ｒ＝R０；若R０＞Ｎ，则舍弃不用，另行重摇。

重复上述过程，直到取得ｎ个不同的随机数为止。

方法之二：如果骰子表示的R０≤N，则取Ｒ＝R０；如果R０＞Ｎ，设R０＝K1Ｎ＋R1（０≤R1＜Ｎ），当(K1＋１）N＞10ｍ时，舍弃，重摇。

而当(K1+1)N≤10ｍ时，取Ｒ＝R1，或Ｒ=Ｎ(若R1＝０）。

重复上述过程，直到获得n个不同的随机数为止。

方法之三：若骰子表示的随机数R０≤N，则取R R０；若R０＞N则取一个大于N的适当整数M(一般为方便起见取M=2×10m-1,2.5×10m-1，3×10m-1或5×10m-1等)，设R０=K2M+R2(K2为整数，0≤R2＜N)，则当(K2+1)M＞10m时，舍弃，重摇；当(K2+1)M≤10m时，取R=R2或R=N(若R2=0)。

重复上述过程，直到获得n个不同的随机数为止。

例：N=4562,m=4,取M=5000若R０=3150,取R=R０若R０=6897=1×5000+1897, K2=1,( K2+1)M=104则：R2=1897,故取R=R2=1897方法三和方法二都是为提高效率，减少舍弃重摇次数所采取的措施，尤其是方法三在适当选用M时，既方便又快速。

也许有人会认为，在抽样时不用随机数表，而采取随意抽选的办法也可以达到预期的抽样效果。

表面上看，这种想法似乎有一定道理，但实际试验的结果证明随意抽样不等于随机抽样。

以下是两个有名的试验：试验一：随意数试验。

让六个人写下100个自己随意想到的三位数，将这些数内的0、1、2、…、9数字列成次数分布表如下(表3.1)：表3.1 六个人的0、1、2、…9的次数分布可以看出，六个人都对数字存在偏好，如第一个人更加偏好数字4、3、0；第二个人则偏好数字1、8、4；等等。

这种由于数字偏好所引起的偏估类型可称之为数字偏误。

试验二：着色试验。

让四个人将10×10方格的纸板着色，可供选择的颜色有蓝、绿、红、白和黄色五种，对每一个四分象限来说，规定每种颜色只能在每行和每列出现一次。

每个方格以其所在的列号与行号表示，如(4，6)代表第四列第六行的方格。

请四个人对这100个方格随意选择行列号，而对其着色。

将这些由这四个人着色所得到的资料形成次数分布表如下(表3.2)：表3.2 四个人对方格着色的次数分布可见四个人都对颜色存在偏好，如第一个人偏爱绿色，第二个人偏爱蓝色等。

这种由于对颜色偏好所引起的偏估类型，可称之为颜色偏误。

从上述两个试验可以发现，利用人为的随意抽样方法都会产生偏差。

每个试验者均有较为喜欢的数字和颜色，因此，使得样本变成非随机的，进而给抽样估计带来困难。

三、简单随机抽样的方法评估简单随机抽样对总体不加任何限制，等概率地从总体中直接抽取样本，是最简单、最单纯的抽样技术，它具有计算简便的优点，是研究其它复杂抽样技术的基础，也是比较各种抽样技术之间估计效率的标准，同时，从理论上讲简单随机抽样在各种抽样技术中是贯彻随机原则最好的一种，并且数学性质很简单，是等概率抽样的特殊类型。

另一方面，因为是等概率抽取样本，所以要求总体在所研究的主要标志上同质性或齐性(共性)较好，也即总体要比较均匀；要求样本容量要比较大，以保证样本对总体具有充分的代表性。