抛物线与x轴两交点间的距离公式及其应用教学文案
《抛物线的简单几何性质》教案全面版
《抛物线的简单几何性质》教案课题：8．6抛物线的简单几何性质（一）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p本节分两课时进行教学第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3教学过程：一、复习引入：1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线图形xyOFl xyOFl方程)0(22p px y)0(22p px y)0(22p py x)0(22p py x焦点)0,2(p )0,2(p )2,0(p )2,0(p 准线2p x 2p x 2p y2p yxyO FlxyOF l2．抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2，左端为2x（2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质1．范围因为p ＞0，由方程022p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性以－y 代y ，方程022p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程022p px y中，当y=0时，x=0，因此抛物线022p px y 的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．对于其它几种形式的方程，列表如下：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率22ppx yxyOFl,0x 轴,2p 2p x1e 022ppx yxyOFl,0x 轴,2p2p x1e22ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）假设抛物线y 2＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A （x ，y ）为抛物线上一点，A 0（x ，y 1）为渐近线上与A 横坐标相同的点如图，则有px y2和y 1＝mx ＋n ．∴pxn mxy y 21xp xn mx 2当m ≠0时，若x →＋∞，则yy 1当m ＝0时，px ny y 21，当x →＋∞，则yy 1这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例1已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．xyA 0AO解：由题意，可设抛物线方程为px y 22，因为它过点)22,2(M ，所以22)22(2p ，即2p因此，所求的抛物线方程为x y42．将已知方程变形为x y 2，根据x y2计算抛物线在0x的范围内几个点的坐标，得x 0 1 2 3 4 …y22.83.54…描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p 值．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是px y22(p ＞0)．由已知条件可得点A 的坐标是(40，30)，代入方程，得402302p ，即445p所求的抛物线标准方程为x y 2452．例3 过抛物线px y 22的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB 的中点为E ，过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ，EH ，BC ，垂足为D 、H 、C ，则｜AF ｜＝｜AD ｜，｜BF ｜＝｜BC ｜∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH ⊥l ，因而圆E 和准线l 相切．四、课堂练习：1．过抛物线x y42的焦点作直线交抛物线于11,y x A ，22,y x B 两点，如果621x x ，那么||AB =（ B ）（A ）10（B ）8（C ）6（D ）4xyEOF B ADC H2．已知M 为抛物线x y42上一动点，F 为抛物线的焦点，定点1,3P ，则||||MF MP 的最小值为（ B ）（A ）3 （B ）4（C ）5（D ）63．过抛物线02a axy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp11=（ C ）（A ）a2（B ）a21（C ）a4（D ）a44．过抛物线x y42焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是______ (答案：122x y )5.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标（答案：22,45M , M到y 轴距离的最小值为45）五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、课后作业：1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8．（2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．4．以椭圆1522yx的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？习题答案：1．（1）y 2＝±32x （2）x 2＝8y（3）x 2＝－8y2．90°3．x 2＝±16 y 4．545．520米七、板书设计（略）八、课后记：课题：8．6抛物线的简单几何性质（二）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：抛物线的几何性质：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率22ppx yxyOFl,0x 轴,2p 2p x1e 022ppx yxyOFl,0x 轴,2p2p x1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线二、讲解新课：1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式：抛物线)0(22p px y，022x p p x PF抛物线)0(22p px y，0022x p p x PF抛物线)0(22p py x，0022y p p y PF抛物线)0(22p py x，0022y p p y PF2．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22p px y当直线为0y y ，即0k，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当0k ，设bkxyl :将b kxy l :代入0:22FEy Dx Cy AxC ，消去y ，得到关于x 的二次方程02cbxax （*）若0，相交；0，相切；0，相离综上，得：联立pxyb kx y 22，得关于x 的方程02cbx ax当0a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0a，则若0，两个公共点（交点）0，一个公共点（切点）0，无公共点（相离）（2）相交弦长：弦长公式：21k ad，其中a 和分别是02c bx ax（*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kxy l :的斜率当代入消元消掉的是y 时，得到02cby ay ，此时弦长公式相应的变为：211kad（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
抛物线的使用方法及应用
抛物线的使用方法及应用抛物线，又称二次曲线，是解析几何中的重要概念之一。
它的方程一般可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
抛物线具有许多重要的性质和应用，下面我将详细介绍抛物线的使用方法及应用。
一、抛物线的基本性质：1. 对称性：抛物线关于y轴对称，即（-x,y）和（x,y）在抛物线上；2. 角度性质：抛物线的切线与x轴的夹角等于斜率的倒数，即tanθ=-1/a；3. 零点性质：如果抛物线与x轴有交点，则该点的x坐标满足方程ax^2+bx+c=0，即求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)；4. 顶点性质：抛物线的顶点坐标为（-b/2a,f(-b/2a)），其中f(x)为抛物线的函数；5. 函数性质：抛物线的函数在顶点处取得极值（最大值或最小值）。
二、抛物线的应用：1. 物理学中的抛物线：抛体最常见的运动轨迹就是抛物线。
例如，一个斜向上抛的物体在空中会呈现出一个抛物线轨迹，这就是自由落体运动和水平运动的合成结果。
抛物线的性质可以帮助我们分析自由落体运动的轨迹、时间、速度等。
2. 建筑设计中的抛物线：抛物线具有均匀分散、受力均匀、力传递稳定等特点，因此被广泛应用于拱桥、拱门、穹顶等建筑结构的设计中。
由于抛物线的力学性质良好，所以能够保证结构的稳定性和坚固性。
3. 抛物线的光学应用：在光学中，抛物面镜和抛物线透镜是重要的光学元件。
抛物面镜通过反射实现了成像，可以应用于望远镜、太阳能反射器等领域。
而抛物线透镜则通过折射实现成像，广泛应用于摄影、望远镜、显微镜等光学仪器中。
4. 导弹轨迹的设计：导弹的弹道通常会选择抛物线轨迹，这样可以使导弹的飞行距离最远，并且能够最大程度地减小外界干扰。
利用抛物线的性质，可以计算导弹的飞行时间、最大射程等重要参数。
5. 星球引力的研究：根据牛顿定律，天体在引力作用下的运动轨迹是抛物线。
通过研究抛物线轨迹，我们可以推断出星球的质量、轨道周期等重要物理量，揭示宇宙中行星和卫星的运动规律。
两点间的距离公式备课稿
两点间的距离公式一、教学目标： 1、 知识目标探索并掌握两点间的距离公式的发生、发展过程。
利用坐标法证明简单的平面几何问题； 2、 能力目标掌握渗透于本节课中的数形结合思想、由特殊到一般的思想。
培养学生探索能力、研究能力、表达能力、团结协作能力；3、 情感目标探索过程中体验与他人合作的重要性、感受发现所带来的快乐。
体验由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识的基本规律。
二、教学重点和难点：重点：两点间的距离公式及公式的推导过程；难点：用坐标法证明简单的平面几何问题，本节课中的例4是教学中的难点。
三、教学方法：提问、思考、讨论、总结； 四、教学流程： （一）学生活动 (3分钟)问题1：已知数轴上两点A （—2，0），B （3，0）的坐标，求AB 间的距离。
（学生先思考片刻，叫一学生回答，老师按学生的思路板书分析，得出答案是5。
） 问题2：若A ，B 两点在X 轴上或与X 轴平行，()()12,0,,0A x B x ，距离又是多少呢（学生受上题的引导，会在草稿纸上画图分析，思考片刻后，请一同学回答|AB|=12x x -） 问题3：若A ，B 两点在Y 轴上或与Y 轴平行，()()12,0,,0A y B y ，距离又是多少呢？（全班同学齐答|AB|=12y y -）师总结：对上述问题的分析，我们不难得出与坐标轴平行的线段的长度都可以通过点的坐标求出来，若有向线段与坐标轴不平行时，能否通过端点的坐标求出线段的长即两端点间的距离呢？本节课我们就一起来探讨这个问题。
(教师板书课题《两点间的距离公式》) （二）建构数学 （7分钟）已知：平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，怎样求两点12P P 间的距离？老师在直角坐标系上画出两点（与坐标轴不平行），如图所示；引导学生能否借助12P P 点，作出与坐标轴平行的线段，利用勾股定理即可求出线段的长．具体解法如下：如图所示，设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，从P1、P2分别向x 轴和y 轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q ．在Rt △12P P Q 中，2221212P P P QP Q =+．∵112P Q M M ==12x x -．∴|1P Q |=|12x x -|． ∴2P Q =12N N =12y y -．∴|2P Q |= 12y y -． ∴212P P =212x x -+ 212y y -=()212x x -+()212y y -．老师总结：以上解法是利用勾股定理将直角坐标系中两点间的距离化为数轴上两点间的距离来求，这里用到了化归的方法．在上述过程中，我们强调点不在坐标轴上或两点的连线不与坐标轴平行，那么当点满足上述条件时，这个公式是否也成立？老师提出问题，学生可以分组讨论，最后叫学生代表得出结论，以上公式也适合。
初中数学_二次函数背景下的面积问题教学设计学情分析教材分析课后反思
课题二次函数背景下的面积问题课型中考复习课出课人授课时间教学目标知识和能力能够根据二次函数中不同图形的特点选择方法求图形面积。
过程和方法通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。
情感态度和价值观由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和积极性参与数学活动。
加强学生之间的合作交流，提高学生的归纳总结能力，培养学生不断反思的习惯。
教学重点和难点重点：选择方法求图形面积难点：如何割补、转化图形求面积教学方法启发式、讨论式教学用具多媒体课件板书设计与二次函数有关的面积问题（一）二次函数的图像（二）交点坐标，与X轴两交点的距离。
（三）S=1/2ah(其中、a为水平宽、h为铅垂高)（四）总结BC铅垂高水平宽ha图A教师活动学生活动设计意图如果三角形的三边都不与坐标轴平行或垂直，例如三角形BCD和ACD，怎么求？（2）我们以△BCD的面积求法为例直接计算法：可以发现三角形BCD是直角三角形。
割补法：1、先算出直角梯形OFDB的面积,再减去两个直角三角形的面积（三角形OBC和FCD）2、矩形OFGB的面积减去三角形OBC、FCD、学生积极思考、小组共同讨论、集体展示。
学生归纳总结学生先独立思考，后小组交流学生大胆猜测，发言、交流、展示。
学生交流提高学生归纳总结的能力。
动点问题是学生的难点，让学生体会以静带动的思考方式，突破难点。
同时应用割补法求三角形面积，突出本节课重点。
本题解决图形面积问题。
多种方法，巩固本节课学习成果，同时开阔学生思路。
提高学生归纳总结的能力，培养学生不断反思BDG的面积。
3、三角形BCD的面积等于1/2DM乘以点B 与点C的横坐标的差。
4、三角形BCD的面积等于1/2CN乘以点B与点D 的纵坐标的差小结：不规则图形或三边不具特殊性的三角形如何求面积。
可以用割补法把不规则图形转变为规则图形。
二次函数两点间距离公式
二次函数两点间距离公式二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的图像是一个抛物线。
而二次函数两点间距离公式则是用来计算抛物线上两个点之间的距离的公式。
下面我将用人类的视角，以自然流畅的方式来描述这个公式的应用。
假设我们有一个抛物线，它的形状非常美丽。
我们想要知道这个抛物线上两个特定点之间的距离，该怎么办呢？这时候就可以使用二次函数两点间距离公式来求解了。
我们需要确定这两个点的坐标。
假设这两个点分别是A和B，它们的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)。
我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式：y = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数。
接下来，我们需要计算这两个点之间的横坐标差值，即Δx = x₂ - x₁。
然后，我们将Δx代入二次函数的标准形式中，得到两个点在抛物线上对应的纵坐标值，分别为y₁和y₂。
现在，我们可以计算这两个点之间的距离了。
根据二次函数两点间距离公式，距离d等于两个点在横坐标上的差值Δx乘以两个点在纵坐标上的差值Δy的绝对值的平方根。
即d = √(Δx² + Δy²)。
我们将Δx和Δy的值代入距离公式中，进行计算。
这样，我们就得到了这两个点在抛物线上的距离d。
通过二次函数两点间距离公式，我们可以准确地计算出抛物线上任意两个点之间的距离。
这个公式不仅仅在数学中有着重要的应用，还在物理、工程等领域中被广泛使用。
总结一下，二次函数两点间距离公式是一个用来计算抛物线上两个点之间距离的公式。
通过确定两个点的坐标，计算横坐标差值和纵坐标差值，然后代入距离公式中进行计算，我们可以得到这两个点在抛物线上的距离。
这个公式在各个领域中都有着重要的应用，帮助我们更好地理解和利用二次函数。
抛物线及其标准方程优秀课件
准线位置：根据抛物线 准线的位置，可以分为 准线平行于x轴、准线 平行于y轴和准线不平 行于坐标轴三种。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程推导
抛物线的定义：一个平面曲线，它的所有点都位于一个固定点（焦点）和一条固定直 线（准线）之间。
抛物线的标准方程：y^2 = 4px，其中p是焦点到准线的距离。
抛物线的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
抛物线的对称轴为x=-b/2a。 结论：二次函数的对称轴与抛物线的对称轴相同，都为x=-b/2a。
抛物线的准线方程
准线的定义： 抛物线上任意 一点到准线的
距离相等
准线的方程： x=-p（开口方 向为x轴正方向） 或x=p（开口 方向为x轴负方
向）
准线的性质： 准线是与抛物 线对称轴平行 的直线，离抛
物线最近
准线的作用： 利用准线方程 可以求出抛物 线上任意一点
的坐标
抛物线的解析性质
抛物线的导数与切线斜率
抛物线在建筑美学中的应用：古罗 马建筑中的抛物线元素
抛物线在建筑美学中的应用：桥梁、 隧道等交通设施中的抛物线应用
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抛物线在建筑美学中的应用：现代 建筑中的抛物线设计
抛物线在建筑美学中的应用：室内 设计中的抛物线元素
物理学中的抛物线应用
光学应用：抛物线 镜面可以聚焦光线， 用于制造望远镜、 显微镜等光学仪器。
抛物线的渐近线方程
定义：抛物线与直线y=±x 的交点形成的直线
《抛物线的几何性质》教案(公开课)
《抛物线的几何性质》教案一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．) 3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)三、活动设计提问、填表、讲解、演板、口答．四、教学过程(一)复习1．抛物线的定义是什么？请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”2．抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．(二)几何性质怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写．填写完毕后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了．(三)应用举例为了加深对抛物线的几何性质的认识，掌握描点法画图的基本方法，给出如下例1．例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点程是y2=4x．后一部分由学生演板，检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情况．第一象限内的几个点的坐标，得：(2)描点作图描点画出抛物线在第一象限内的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分(如图2-33)．例2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得p=4．因此，所求抛物线方程为y2=-8x．又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意在抛物线上且|MF|=5，故本例小结：(1)解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．可得焦半径公式：设P(x0，这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握．(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2p(详见课本习题)．例3 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B 两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．证明：(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．综合上述有y1y2=-p2又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，本例小结：(1)涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．(2)本例命题1是课本习题中结论，要求学生记忆．(四)练习1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求|AB|的值．由学生练习后口答．由焦半径公式得：|AB|=x1+x2+p=82．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．请一同学演板，其他同学练习，教师巡视．证明：可设抛物线方程故抛物线y2=2px与平行于其轴的直线只有一个交点．(五)全课小结1．抛物线的几何性质；2．抛物线的应用．五、布置作业1．在抛物线y2=12x上，求和焦点的距离等于9的点的坐标．2．有一正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px上，另一顶点在原点，求这个三角形的边长．3．图2-35是抛物线拱桥的示意图，当水面在l时，拱顶高水面2m，水面宽4m，水下降11m后，水面宽多少？4．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切．作业答案：3．建立直角坐标系，设拱桥的抛物线方程为x2=-2py，可得抛物线4．由抛物线的定义不难证明六、板书设计。
两点间距离公式及其在中考中的应用
ＰＪ ｌ ｃ ＿ ＝
４（ ＋２）
’
‘
．
虑 抛 物 线 与 轴 有 两个 交 点必 须满 足什 么 条 件． 例 ２ 已知 抛 物 线 ｙ＝ ＋ｂ ｘ＋ｃ的对 称 轴 在 ｙ轴 的 右
． ‘ ‘
Ｐ点 在 轴 下 方 ，． ． ．ｙ ＜０ ‘
Ｐ 一 ！ 一 ！ 兰 二 ＝ ± ： ｒ 一 二： ± ２ ２ ！ ２ １
Ｗ
／ －ａ 则 ｂ １ ＋ ２＝ｍ ， ・ ＂ ＝６ ， ＝ ４ ｍ ＝ ， ｍ Ｄ Ｌ ４ ｍ ６ ， ４
・
．
下 面举 列 说 明这 个 公 式 的应 用 ． 例 １ 当 ｃ为 何 值 时 ， 物 线 ，：２ ＋ ｘ＋ｃ与 轴 有 抛 ， ｘ ６
试）
（） ２ 由题 意 得
思路 探 索
根 据 直 角 三 角形 斜 边 上 中线 等 于 斜 边 的 一
ｆ Ｄｏ ｆ 。 ６ “÷，
’
半 列 方 程 求 值 ， 中斜 边 即 为 抛 物 线 与 轴 两 交 点 间 的距 其 离， 斜边 上 中 线 长 等 于 顶 点 纵 坐 标 的绝 对 值 ， 们 都 可 以根 它
交 点 之 间 的距 离 为 ２ 则 Ｉ。 Ｉ ２ ， 一 ＝．
由
：
顶 点 纵 坐 标 的绝 对 值 ， 为 坐 标 平 面 内 的 点 到 轴 的 距 离 因
等 于 它 的纵 坐 标 的绝 对 值 ， 里 不 要 漏 掉 绝 对 值 符 号 ． 这 例 ３ 抛 物 线 ）＝（ ＋２ 一（ ＋１ 一１与 轴 交 于 ， ） ）
．
抛 物 线 开 口 向上 ，． ＋ ０ ． ＋ ０ ． ２＞ ，． ３＞ ． ’
2024版高三数学《抛物线》教案
抛物线概念及性质抛物线的定义平面上到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
抛物线的标准方程y^2=2px（p>0）或x^2=2py（p>0）。
抛物线的性质抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-p或y=-p；抛物线有一个顶点，即抛物线与对称轴的交点；抛物线有一个焦点和一条准线，焦点在直线x=-p/2或y=-p/2上，准线方程为x=-p或y=-p。
03掌握抛物线的定义、标准方程和性质；理解抛物线的几何意义；了解抛物线的应用。
知识目标能够运用抛物线的定义、标准方程和性质解决相关问题；能够运用数形结合的思想分析抛物线问题；能够运用数学语言准确地表达抛物线问题。
能力目标培养学生对数学的兴趣和爱好，提高学生的数学素养；培养学生勇于探索、敢于创新的精神；培养学生严谨、认真的学习态度。
情感目标课程目标与要求教学方法与手段教学方法采用启发式教学法、讲练结合法、小组讨论法等，引导学生主动思考、积极探究。
教学手段利用多媒体课件、几何画板等辅助教学，使教学内容更加形象、直观。
同时，鼓励学生使用计算器、计算机等工具进行数值计算和图形绘制，提高解题效率。
平面直角坐标系平面直角坐标系的定义在平面上画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
点的坐标对于平面内任意一点C，过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对(a,b)叫做点C的坐标。
二次函数图像及性质二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a neq 0$。
二次函数的图像是一条抛物线，其对称轴为$x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, c -frac{b^2}{4a}right)$。
中考复习 抛物线与x轴交点问题的解法探析学案 (含答案)
抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交点问题的解法探析抛物线)0(2≠++=a c bx ax y ，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根和抛物线与x 轴交点的坐标，三者有着十分密切的关系。
下面就举例加以说明。
问题提出已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：且抛物线与x 轴的一个交点的坐标是（-2，0），则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 。
解题方法展示解法1、应用一元二次方程的解法，求交点的横坐标解题的要领：①从表中任意选取三对对应值，表示成点的坐标的形式；②把点的坐标分别代入解析式c bx ax y ++=2中，求得a 、b 、c 的值，确定出函数的解析式；③令函数y 的函数值为0，转化成相应的一元二次方程；④解这个一元二次方程；⑤一元二次方程的根，就是二次函数与x 轴交点坐标的横坐标；⑥写出交点的坐标。
详细过程解：把（0，6），（1，6），和（2，4）分别代入解析式c bx ax y ++=2，得： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=42466c b a c b a c ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=611c b a ，所以，抛物线的解析式是：62++-=x x y ，令y=0，得一元二次方程为：062=++-x x ，即062=--x x ，解方程得：21-=x ，32=x ，所以，抛物线与x 轴的交点坐标分别是（-2，0）和（3，0），因为，抛物线与x 轴的一个交点的坐标是（-2，0），所以，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3，0）。
解法2、应用一元二次方程根与系数的关系定理，求交点的横坐标解题的要领：①从表中任意选取三对对应值，表示成点的坐标的形式；②把点的坐标分别代入解析式c bx ax y ++=2中，求得a 、b 、c 的值，确定出函数的解析式；③根据一元二次方程的根，就是二次函数与x 轴交点坐标的横坐标，知道方程的一个根； ④利用根与系数的关系定理，求得方程的另一个根；⑤一元二次方程的根，就是二次函数与x 轴交点坐标的横坐标；⑥写出交点的坐标。
【教学案例】《抛物线的简单几何性质》教学案例
《抛物线的简单几何性质》教学案例（一）教学题目：《抛物线的简单几何性质》第一课时（二）授课类型：新授课（三）教学目标：知识与技能：1、从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。
2、掌握抛物线的几何性质、范围、对称性、顶点、离心率，能根据给出条件求抛物线的标准方程，了解抛物线的通径及画法。
过程与方法：经历由抛物线的标准方程推导抛物线的性质，培养学生数形结合及方程的思想。
情感、态度与价值观：训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用，培养学生的应用意识，进而培养学生乐于学习数学的兴趣。
（四）教学重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。
（五）教学难点：抛物线各个知识点的灵活应用。
（六）教学方法：采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。
（七）课时分配：1课时（八）教学媒体：多媒体课件（九）学情分析：我授课的学生大部分数学基础不太好,尤其理解能力、运算能力、思维能力等方面参差不齐，所以在教学中注重双基的训练。
（十）教学步骤：教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图一、导入1、抛物线的定义：平面内与一个点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F→焦点，直线L→准线。
2、抛物线的标准方程。
图形标准方程焦点坐标准线方程3、唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的句子，诗中提到“夜光杯”。
问题1：如果测得酒杯口宽4cm，杯深8cm，试求抛物线方程。
解：如图建立平面直角坐标系,则可知A(-2,8),B(2,8) 所以设抛物线的方程为：A、B点在抛物线上，代入抛物线方程，可得P=41则所求的抛物线方程为：yx212=问题2：研究酒杯轴截面所在曲线的几何性质。
老师展示结论。
提出问题，引导学生由“数学模型”到“数学问题”的解决问题的方法。
展示解题过程。
抛物线的定义及标准方程由学生口述。
两点之间距离公式教案
数学系 09数本四班 090401426 夏溦两点之间的距离公式一、教学目标1.知识技能目标：经历探索两点间的距离公式的过程，了解公式的几何背景，熟记两点之间的距离公式，运用两点之间的距离公式，解决相关数学问题。
2.过程方法与目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力，使学生明白从特殊推出一般的思想。
3.情感态度价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
二、教学重、难点1. 教学重点：两点之间距离公式的推导过程及运用；2. 教学难点：使学生明白推导两点之间距离公式时辅助线的构造，运用勾股定理推导两点之间距离公式，使学生明白如何用特殊推出一般的思想，以及两点之间距离公式灵活运用。
三、教学过程（一）复习式导入：回顾上一节课提到的存在两点,A B ,若这两点都在X 轴或Y 轴上，两点之间距离是：（1） 若两点都在X 轴上，且已知12(,0),(,0)A x B x -时，有()21AB x x =-- （2） 若两点都在X 轴上，且已知''12(0,),(0,)A y B y -，有21''A B y y =--先阅读下列材料，然后完成下列填空：点A、B在数轴上分别表示实数 a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A点在原点，如图1|AB|=|OB|=|b|=|b-0|=|a-b|；当A、B两点都不在原点时，①如图2，A、B两点都在原点的右边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|②如图3，A、B两点都在原点的左边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|③如图4，A、B两点分别在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+（-b）=|a-b|综上所述，（1）上述材料用到的数学思想方法是（至少写出2个）（2）数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|．回答下列问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是；数轴上表示1和-4的两点之间的距离是；（3）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是；如果|AB|=2，那么x为．（二）讲解新课如果已知的两点不是都在坐标轴上的，那我们怎么求两点之间的距离呢？现在，我们来看一个生活中的实例，通过这个例子来尝试推导出两点之间的距离公式。
《直线的交点坐标与距离公式》教案7(人教A版必修2)
人教A版必修2§一、设计思想依据现代几何教育理念，本课的设计思路：直观感知（图片欣赏）→操作确认（学生作图）→推理论证（三种方法推导公式）→度量计算（例题练习）。
两个原则：（1）树立发展学生为本的思想，通过构建以学习者为中心，有利于学生主体精神，创新能力健康发展的宽松的教学环境，提供学生自主探索的机会，亲身参与公式的的探究过程；（2）坚持协同创新原则，把教材创新、教法创新及学法创新有机地统一起来。
首先是教材创新，新课标下的教材执行赋予教师更大的创新空间。
通过创设问题情景自然引入课题，降低教材难度。
主要由学生去探究，去发现，去讨论，去归纳总结得到公式，再辅以适当的例题、习题帮助学生熟悉公式，学会运用其次是教法创新。
采用多种教学方法的有机结合，既有启发式、类比发现式的教学方法，又有探究式及情感教学法。
最后是学法创新。
在整个学习过程中，在问题的引导下，让学生保持强烈的好奇心和求知欲，通过观察、分析、归纳来获取知识，有意识地创造学生感兴趣的氛围，使学生全身心地投入到学习中去，成为学习的主人。
二、教材分析本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对本节的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用．在解决实际生活问题中以及代数、解析几何、立体几何中都有着重要而广泛的应用。
而更为重要的是：通过认真设计这一节教学，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，学会利用化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质。
三、学情分析（1）知识能力状况，本节为两线位置关系的最后一个内容，在这之前学生已经系统的学习了直线方程的各种形式，有对两线位置关系的定性认识和对两线相交的定量认识，为本节推证公式涉及到直线方程、两线垂直、两线交点作好了知识储备。
高三数学抛物线说课稿范文
高三数学抛物线说课稿范文高三抛物线说课稿范文一、内容简析：1、知识梳理定义到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹方程1.y2=2px(p≠0)，焦点是F(，0)2.x2=2py(p≠0)，焦点是F(0，)性质以曲线C：y2=2px(p0)为例1.范围：x≥02.对称性：关于x轴对称3.顶点：原点O4.离心率：e=15.准线：x=-6.焦半径P(x，y)∈S，|PF|=x+2、重点、难点：本节重点是抛物线的定义、四种方程及几何性质。
难点是四种方程的运用及对应性质的比较、辨别和应用，关键是定义的运用。
建议在中注意以下几点：1)圆锥曲线统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当02)由于抛物线的离心率e=1，所以与椭圆及双曲线相比，它有许多特殊的性质，而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的;3)抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益;4)求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程;5)在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化;6)在定义中，点F不在直线L上，否则轨迹不是抛物线。
二、教学目标：1、掌握抛物线的定义、标准方程和简单几何性质;高三数学抛物线说课稿2、学会利用定义与简单的几何性质解决与抛物线有关的问题。
3、在教学中渗透辩证、全面看待事物的与方法。
三、点击双基1.(xxxx年春季北京)在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为A.B.1C.2D.4答案：C2.设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为A.(a，0)B.(0，a)C.(0，)D.随a符号而定答案：C3.以抛物线y2=2px(p0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为A.相交B.相离C.相切D.不确定.答案：C4.以椭圆+=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点，则|AB|的值为___________.答案：5.(xxxx年全国)对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④抛物线的通径的长为5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1).能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.(要求填写合适条件的序号)答案：②⑤四、典型例题：求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3，2);(2)焦点在直线x-2y-4=0上.剖析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.解：(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p0)，∵过点(-3，2)，∴4=-2p(-3)或9=2p2.∴p=或p=.∴所求的抛物线方程为y2=-x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=-.(2)令x=0得y=-2，令y=0得x=4，∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，-2).当焦点为(4，0)时，=4，∴p=8，此时抛物线方程y2=16x;焦点为(0，-2)时，=2，∴p=4，此时抛物线方程为x2=-8y.∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y，对应的准线方程分别是x=-4，y=2.评述：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.如下图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.剖析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x、y的取值范围.六、思悟小结本节主要内容是抛物线的定义、方程及几何性质.解决本节问题时应注意以下几点：1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法.2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算.3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质.拓展题例(xxxx年北京东城区模拟题)已知抛物线C1：y2=4ax(a0)，椭圆C 以原点为中心，以抛物线C1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为，过抛物线C1的焦点F作倾斜角为的直线l，交椭圆C于一点P(点P 在x轴上方)，交抛物线C1于一点Q(点Q在x轴下方).(1)求点P和Q的坐标;(2)将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程.七、板书设计(略)同类热门：高三数学说课稿之抛物线焦点性质的探索高三数学说课稿之《函数单调性》。
抛物线一点到准线的距离公式
抛物线一点到准线的距离公式概述:从抛物线上的一点到它的对称轴的距离，也称为准线，可以用距离公式计算。
这个公式依赖于点的坐标和抛物线方程。
通过了解抛物线的性质和距离的概念，我们可以推导出公式并探索其应用。
本文将全面解释抛物线上一点到其对称轴的距离公式。
身体:1. 理解抛物线:1.1抛物线是一种圆锥截面，由圆锥与平行于其一侧的平面相交而成。
它们有一个明显的U形，并围绕一条叫做对称轴的线对称。
1.2抛物线方程可以写成标准形式:y = ax^2 bx c，其中a、b、c为常数。
a的值决定抛物线是向上打开(a > 0)还是向下打开(a < 0)。
1.3顶点是抛物线上达到最小值或最大值的点。
它位于对称轴上，对称轴是一条穿过顶点的垂直线。
1.4准线是一条距离顶点有固定距离的水平线。
抛物线上的所有点到顶点和准线的距离都是相等的。
2. 距离公式:2.1为了计算抛物线上一点到其对称轴的距离，我们需要该点的坐标和抛物线方程。
2.2假设抛物线上有一个点P(x, y)，抛物线方程为y = ax^2 bx c, P到对称轴的距离可通过以下步骤求出:2.2.1用公式x = -b/2a求抛物线顶点的坐标，代入方程求y 坐标。
2.2.2用距离公式d = sqrt((x2 - x1)^2 (y2 - y1)^2)计算点P到顶点的距离。
2.2.3点P到对称轴的距离等于点P的纵坐标与顶点的纵坐标之差的绝对值。
3. 应用和例子:3.1抛物线上一点到对称轴的距离公式在现实世界中有各种各样的应用。
3.2例如，在建筑和工程中，这个公式可以用来确定桥梁或建筑物拱门上的一点到其中轴线的距离。
这些信息对于确保结构的稳定和平衡至关重要。
3.3在物理学中，距离公式可以用来分析火箭、球等抛射物的运动轨迹，从而计算出它在不同时间点到对称轴的距离。
3.4此外，距离公式可用于光学中确定抛物面镜或透镜的焦距，这在形成光的路径中起着重要作用。
简介:总之，抛物线上一点到对称轴的距离公式提供了一个数学工具来计算这两个实体之间的距离。
两点间的距离公式教案
8.1.1两点间的距离公式教案江苏省苏州丝绸中等专业学校唐佳倩一、教材分析本人所用教材为江苏教育出版社，凤凰职教《数学·第二册》。
平面解析是用代数方法研究平面几何问题的学科，第八章《直线与圆的方程》属于平面解析几何学的基础知识。
它侧重于数形结合的方法和形象思维的特征，综合了平面几何、代数、三角等知识。
本课是第八章第一节课，利用初中学习的数轴距离公式和勾股定理知识，在平面直角坐标系中推导出任意两点间的距离公式，能产生数形结合的思想。
二、学情分析学生是一年级纺织中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力薄弱，对抽象的知识理解能力不强，但是对直观的事物能够理解，对新事物也有较强的接受能力。
三、教学目标1．知识与技能目标：（1）了解平面直角坐标系中两点间的距离公式的推导过程；（2）理解平面直角坐标系中两点间的距离公式的结构特点；（3）能应用这个公式解决相关问题。
2.过程与方法：（1）通过公式的推导过程，让学生领会“数形结合”的数学思想与方法和从特殊到一般的认知规律；（2）通过公式的使用过程，让学生领会方程的数学思想与方法。
3.情感态度与价值观：让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养。
四、教学重难点重点：两点间的距离公式。
难点：两点间的距离的应用。
五、教法学法针对学生的情况，本人在教学中的引入尽量安排多个实例，多讲具体的东西，少说抽象的东西，以激发学生的学习兴趣.在例题和练习的安排上多画图，努力贯彻数形结合的思想，让学生逐步接受和养成画图的习惯，用图形来解决问题。
同时在教学中经常用探究发现法，逐步培养学生的协作能力和独立思考的能力。
六、教学过程1. 提出问题引发思考提问：（1）在初中的时候我们学习了数轴上计算两点之间的距离，大家还记得是怎么表示的吗？|AB|=|x2−x1|连接2点的线段长即两点间的距离。
（2）大海中有两个小岛，一个在灯塔东60海里偏北80海里的A处，另一个在灯塔西10海里偏北55海里B处，如何知道两个小岛的距离呢？根据题目意思引导学生建立平面直角坐标系，以灯塔所在位置为原点O,正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立直角坐标系，则A岛坐标为（60，80），B岛坐标为（-10，55）。
知识卡片-抛物线与x轴的交点
抛物线与x轴的交点能量储备●一元二次方程的根的几何意义(抛物线与x轴的交点的横坐标).函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．那么一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.●二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)b－4ac>0b－4ac＝0b－4ac<0有两个交点(x1，0)，(x2，0)有一个交点(－b2a，0)无交点有两个交点(x1，0)，(x2，0)有一个交点(－b2a，0)无交点有两个不相等的有两个相等的实通关宝典★基础方法点方法点1：对称轴法求一元二次方程的根，要根据一元二次方程与二次函数的关系．当已知抛物线与x轴的一个交点的横坐标和对称轴时，可根据轴对称的性质求出抛物线与x轴另一个交点的横坐标，从而求得对应一元二次方程的根．例：二次函数y ＝x 2－6x ＋n 的图象如图所示，若关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n ＝0的一个解为x 1＝1，则另一个解x 2＝________．解析1：设二次函数y ＝x 2－6x ＋n 的图象与x 轴的两个交点坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，已知一元二次方程x 2－6x ＋n ＝0的一个解为x 1＝1，结合图象我们知道二次函数图象与x 轴的一个交点的坐标为(1，0)．要求一元二次方程x 2－6x ＋n ＝0的另一个解x 2，由二次函数与一元二次方程的关系知，求出二次函数y ＝x 2－6x ＋n 的图象与x 轴的另一个交点的横坐标x 2即可．由二次函数的性质知二次函数图象的对称轴为直线x ＝－b2a ＝－－62＝3，根据二次函数图象的对称性知1＋x 22＝3，则x 2＝5.解析2：把x ＝1代入x 2－6x ＋n ＝0中，得n ＝5，∴ 原一元二次方程为x 2－6x ＋5＝0，解得x 1＝1，x 2＝5. 答案：5方法点2：利用抛物线与x 轴的交点问题求字母的取值(或范围)当函数图象与x 轴必有交点时，函数所对应的方程的Δ≥0；函数图象过原点，即当x ＝0时，y ＝0；寻求y <0及y >0时x 的取值范围，可利用其图象回答．例：已知二次函数y ＝2x 2－(m ＋1)x ＋m －1.(1)求证：不论m 为何值，函数的图象与x 轴总有交点，并指出当m 为何值时，只有一个交点．(2)当m 为何值时，函数的图象经过原点？(3)指出在(2)的条件下，使y <0的x 的取值范围，及使y >0的x 的取值范围．(1)证明：函数对应的方程的Δ＝[－(m ＋1)]2－4×2×(m －1)＝m 2＋2m ＋1－8m ＋8＝m 2－6m ＋9＝(m －3)2，显然不论m 为何值，均有Δ＝(m －3)2≥0，且当m ＝3时，Δ＝0，故不论m 为何值，抛物线与x 轴总有交点，且当m ＝3时，只有一个交点． (2)解：∵ 函数的图象经过原点(0，0)， ∴ 0＝2×02－(m ＋1)×0＋m －1，∴ m ＝1. 即当m ＝1时，函数的图象经过原点．(3)解：由(2)得y ＝2x 2－2x ，其图象大致如图所示． ∵ 抛物线与x 轴的两个交点分别为(0，0)，(1，0)， ∴ 当0<x <1时，y <0；当x <0或x >1时，y >0.★★易混易误点易混易误点1: 含有字母的函数，易忽略字母的限制条件例：已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围． 解：∵ 二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有交点， ∴ b 2－4ac ≥0，且k ≠0，即(－7)2－4k (－7)＝49＋28k ≥0且k ≠0. ∴ k ≥－74且k ≠0.常见错因：本题易漏掉限制条件k ≠0或认为二次函数的图象与x 轴有交点时得到b 2－4ac ＞0而出错．要注意抛物线与x 轴有交点时，包括两种情况：一个交点与两个交点，故需b 2－4ac ≥0.蓄势待发 考前攻略考查利用二次函数与一元二次方程的关系求抛物线与x 轴的交点坐标，主要以选择题、填空题为主，难度不大．完胜关卡。