痛点五 导数中的综合问题(解析版)

痛点五 导数中的综合问题
一、单选题 1．函数()()
2
21
1x f x x -=
-的大致图象是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】由题意可知，()()
2
21
1x f x x -=
-的定义域为{}|1x x ≠，令()()
2
21
01x f x x -=
=-，得12
x =，排除选
项D ；又()()
()
4
211x x f x x --'=
-，当()(),01,x ∈-∞+∞时，()0f x <′
，所以()f x 在区间(),0-∞和()1,+∞上单调递减；当 ()0,1x ∈时，()0f x >′，所以()f x 在区间()0,1上单调递增；结合图像可知选项A 正确. 2．已知()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=-，则1f e ⎛⎫
'= ⎪⎝⎭
（ ） A ．12e
-
B ．2e -
C ．2e --
D ．12e
--
【答案】B
【解析】()()21ln f x xf x '=-，则()()'
121f x f x '=-
，取1x =，则()()1
1211
f f ''=-，则()11f '=，故()12f x x '=-
，12f e e ⎛⎫
'=- ⎪⎝⎭
. 3．已知函数()ln k
f x x x
=+（k ∈R ）若对任意120x x >>，()()1212f x f x x x -<-恒成立，则k 的取值范围是（ ）
A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C ．(0,)+∞
D ．[)0,+∞
【答案】A
【解析】条件等价于对任意120x x >>.()()1122f x x f x x -<-恒成立，设()()ln k
h x f x x x x x
=-=+-（0x >）.则()h x 在(0,)+∞上单调递减，则21()10k
h x x x
'=
--≤在(0,)+∞上恒成立， 得2
2
1124k x x x ⎛⎫≥-+=--+ ⎪⎝
⎭（0x >）恒成立，∴14k ≥（对14k =，()0h x '=仅在12x =时成立），
故k 的取值范围是1
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
4．已知函数()2b
f x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*
12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
N 的前n 项和是（ ）
A ．1
n
n +
B ．()121n n -+
C ．()
22n
n +
D ．
()()
12n
n n ++
【答案】C
【解析】()2b f x x ax =+，()
21
223b f x bx a x -'∴=+=+，则223b a =⎧⎨=⎩，得31
a b =⎧⎨=⎩，()23f x x x ∴=+，()()()2111112321212f n n n n n n n ∴
===-+++++++，因此，数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩
⎭N 的前n 项和1111
112334
12
n S n n =
-+-++
-++()112222n n n =-=
++.
5．若函数()f x 的定义域是R ，()02f =，()()1f x f x '+<，则不等式的()1x
x
e f x e >+的解集为（ ） A ．(),0-∞ B ．()(),11,-∞-+∞
C ．()0,∞+
D ．()(),00,-∞⋃+∞
【答案】A
【解析】构造函数()()1x
x
g x e f x e =--，则不等式()1x
x
e f x e >+可转化为()0g x >，则
()()()''x x x g x e f x e f x e =+⋅-()()'1x e f x f x =+-⎡⎤⎣⎦，∵()()'1f x f x +<，
∴()()()''10x
g x e f x f x =+-<⎡⎤⎣⎦，则函数()()1x x
g x e f x e =--在R 上单调递减，∵()02f =，
∴()()0
0010g e f e =--=，则()0g x >的解集为(),0-∞，则不等式()1x
x
e f x e >+的解集为(),0-∞.
6．曲线1C ：2y x 与曲线2C ：ln y x =公切线的条数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】设公切线与2y
x 的切点为()
2
11,x x ，公切线与ln y x =的 切点为()22,ln x x ，2y
x 的导数为
2y x '=；ln y x =的导数为1y x
'=
，则在切点()
211,x x 处的切线方程为()
2
1112y x x x x -=-，即211
2y x x x =-，则在切点()22,ln x x 处的切线方程为()222
1ln y x x x x -=
-，即
221
ln 1y x x x =+- 12212
121ln x x x x ⎧
=⎪∴⎨⎪=-⎩，整理得到211ln 1ln 2x x -=+，令2
()ln ,(0,)f x x x x =-∈+∞，则
2121()2x f x x x x -'=-=，2()02f x x '>⇒>；2()002f x x '
<⇒<<，()f x ∴在区间20,⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在区间2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，min 211
()ln 21ln 2222f x f ⎛⎫==+<+ ⎪ ⎪⎝⎭
，即函数
()f x 与1ln 2y =+的图象，如下图所示
由图可知，函数()f x 与1ln 2y =+有两个交点，则方程2
11ln 1ln 2x x -=+有两个不等正根，即曲线1C ：
2y
x 与曲线2C ：ln y x =公切线的条数有2条。

7．若函数()2
ln f x x x bx =+-在[
)1,+∞是增函数，则b 的最大值是（ ） A ．3
B ．22
C ．2
D 2
【答案】A 【解析】
()2ln f x x x bx =+-，则()1
2f x x b x
'=
+-，由题意可知()0f x '≥对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，则12b x x ≤+.对于函数12y x x =+，222
121
20x y x x
-'=-=≥对于任意的[)1,x ∈+∞恒成立， 所以，函数12y x x =+
在区间[)1,+∞上单调递增，所以，函数12y x x
=+在x=1处取得最小值，即min 3y =，3b ∴≤.因此，实数b 的最大值为3.
8．已知函数()f x 的定义域为[]1,4-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()'y f x =的图象如图所示.当
01a <<时，函数()()()22
21y f x a f x a a =-+++的零点个数为（ ）
x
-1 0 2 3 4 ()f x 1
2
2
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】D
【解析】由导函数的图像和原函数的关系得，原函数的大致图像如图：
()()()()()11,02,20,32,40f f f f f -=====，函数()()()()()()22211y f x a f x a a f x a f x a =-+++=--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
令0y =，得()f x a =，或()1f x a =+，当01a <<时，()y f x =与y a =有三个交点，当01a <<时，即112a <+<，()y f x =与1y a =+有四个交点，所以()()()2
2
21y f
x a f x a
a =-+++的零点有7个.
9．设函数2()21ln f x x x a x =-++有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则()2f x 的取值范围是( ) A ．12ln 20,
4+⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．12ln 2,
4-⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．12ln 2,4+⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．12ln 2,04-⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】由题意函数()f x 定义域为()0,∞+，2
'
22()22a x x a
f x x x x
-+=-+=
.()f x 有两个极值点1x ，
2x ，且12x x <，'()0f x ∴=有两个正实根1x ，2x ，即方程2220x x a -+= 有两个正实根1x ，2x ，且12x x <，
1212480,1,2a a x x x x ∴∆=->+==
，102
a ∴<<，且2112x <<.()2
12222222122a x x x x x x ∴==-=-. ()()22222222212122ln 12f x x x x x x x ⎛⎫
∴=-++-<< ⎪⎝⎭
.
设()()22
12122ln 12g t t t t t t t ⎛⎫
=-++-<<
⎪⎝⎭
， 则()()()()'21
2224ln 2224ln g t t t t t t t t t
=-+-+-⨯
=-.1
1,240,ln 02
t t t <<∴-<<, ()()'0,g t g t ∴>∴在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，()()112g g t g ⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭，即()12ln 2
04g t -<<，
即
()212ln 2
04
f
x -<<.
10．设曲线()4ln f x x =在点()1,0处的切线上有一动点P ，曲线()2
32ln g x x x =-.上有一点Q ，则线段PQ 长度的最小值为（ ）
A ．
17
B ．
17
C ．
17
D ．
17
【答案】C 【解析】
()10f =，()4
f x x '=
，∴切线斜率()14k f '==，故曲线()f x 在()1,0处的切线方程为440x y --=.又()26g x x x
'=-，令264x x -=，则1x =或1
3x =-（舍去）.又()13g =，故g （x ）
在()1,3处的切线方程为410x y --=，与直线440x y --=平行，这两条平行线间的距离为d =
，
故线段PQ长度的最小值为317
.
11．已知关于x的方程为
22
22 (
3)2
3(3)
x
x
x
e x
e e
-
-
=+-则其实根的个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】将方程
22
22
(3)2
3(3)
x
x
x
e x
e e
-
-
=+-变形为
2
22
332
(3)
x
x
x e
e e x e
-
=+
-
,设
23
x
x
t
e
-
=，即
2
32
t
e t e
=+，则22230
e t et
--=，解得
1
t
e
=-或
3
t
e
=，设
23
()
x
x
f x
e
-
=，则
2
2(3)(3)(1)
()
x x
x x x x
f x
e e
----+
'==
所以()
f x在(,1)
-∞-上单调递减，在(1,3)
-上单调递增，在(3,)
+∞上单调递减.又(1)2
f e
-=-，3
6
(3)
f
e
=，且当3
x>时，()0
f x>，所以函数()
f x的大致图像如下,
所以由
1
t
e
=-或
3
t
e
=，即
231
x
x
t
e e
-
==-有2个根，
233
x
x
t
e e
-
==有1个根.所以方程
22
22
(3)2
3(3)
x
x
x
e x
e e
-
-
=+-有3个实数根.
12．已知函数()2
2ln,0
3
,0
2
x x x x
f x
x x x
->
⎧
⎪
=⎨
--≤
⎪⎩
的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1
y=的对称点在10
kx y
+-=的图象上,则实数k的取值范围是( )
A．
1
,1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B．
13
,
24
⎛⎫
⎪
⎝⎭
C．
1
,1
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D．
1
,2
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
【答案】A
【解析】直线10
kx y
+-=关于直线1
y=的对称直线为10
kx y
-+-=，则直线10
kx y
-+-=与
()y f x =的函数图像有4个交点，当0x >时，()1ln f x x '=-，∴当0x e <<时，()0f x '>，当x e
>时，()0f x '<，∴()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，作出()y f x =与直线10
kx y -+-=的函数图像，如图所示：
设直线1y kx =+与2ln y x x x =-相切，切点为()11,x y ，则111
111ln 2ln 1x k
x x x kx -=⎧⎨
-=+⎩ ，解得11,1x k ==， 设直线1y kx =+与()2
302y x x x =--<相切，切点为()22,x y ，则22222322312x k x x kx ⎧
--=⎪⎪⎨⎪--=+⎪⎩，解得
21
1,2
x k =-=
，1y kx =+与()y f x =的函数图像有4个交点，∴直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和
()0,∞+上各有2个交点， 1
12
k ∴
<<。

二、填空题 13．函数()f x x x a =
+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实
数a 的值为________. 【答案】6-或2 【解析】因为()f x x x a =
+，所以()2f x x x
x
'=
+
，代入切点横坐标1x =，可知切线的斜率(1)1k f '==.又(1)f a =，所以切点坐标为(1,)a ，所以函数()f x x x a =
+的图象，在1x =处的切
线方程为1y x a =+-.又因为圆22
:2440C x y x y +-+-=，圆心坐标为(1,2)-，半径为3，所以圆心到
切线的距离2d =.因为切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则2
22
132+=，
解得实数a 的值是6-或2.
14．已知函数()()1
0x e x
f x x x
-+=>,()285g x x x =---,实数0a b <<,若()10,x ∃∈+∞使得对
[]2,x a b ∀∈,都有()()12f x g x =成立,则b a -的最大值为__________.
【答案】6
【解析】()285g x x x =---()2
411x =-++，()x e x f x x +=,0x >,又()()1'2
1x e x f x x --=,0x >
故()f x 在0,1单调递减,在1,
单调递增，()()min 12f x f ==，又因为对任意[]2,x a b ∈,存在
()10,x ∈+∞,使得()()12f x g x =，则只需要()22g x ≥,令()2g x =,得2852x x ---=,7x =-或1x =-，
由a b <,可得[],7,1a b ∈--,且a b <，所以()max 6b a -=.
15．设函数()sin cos f x ax x x =++．若函数()f x 的图象上存在不同的两点A 、B ，使得曲线()y f x =在点A 、B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为_____． 【答案】[]1,1-
【解析】由()sin cos f x ax x x =++，则()cos sin 24f x a x x a x π⎛
⎫
=+-=--
⎪⎝
⎭
'， ()22a f x a ≤'∴≤()y f x =的图象上存在不同的两点A 、B ，使得曲线()y f x =在
点A 、B 处的切线互相垂直，则()()min max 1f x f x ''⋅≤-，即(221a a ≤-，即2
10a
-≤.
解得11a -≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]1,1-.
16．已知函数()()ln ,02,0,x x
x f x x x e x ⎧>⎪
=⎨⎪+≤⎩
若函数()()g x f x a =-的零点有2个或3个，则实数a 的取值范
围为_____． 【答案】3
11,e e ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
【解析】0x >时，ln ()x
f x x
=
，2
1ln ()x f x x -'=，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 递减，且此时()0f x >，0x ≤时，()(2)x f x x e =+，()(3)x
f x x e '=+，当(3,0)
x ∈-时，()0f x '>，()f x 递增，当(,3)x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 递减，且此时()0f x <， 所以()f x 极小值31
(3)f e =-=-
，()f x 极大值1()f e e
==，(0)2f =，在0x >且0x →，()f x →-∞， ()f x 的示意图如图所示，所以当它与y a =有2个或3个交点时，311
a e e
-≤≤．
三、解答题
17．已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++∈R 的图象过原点，且在原点处的切线与直线0x ＝垂直．2()x g x ax x xe =++（e 为自然对数的底数）． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若对任意的()0x ∈+∞，
，总有()()f x g x kx -＜成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）[2,)-+∞. 【解析】（1）依题意，(0)0f =，即0c
，故2()32f x x ax b '=++，由在原点处的切线与直线0x =垂直
可知，(0)0f '=，则0b =，322
2(),()323()3
a
f x x ax f x x ax x x ∴=+'=+=+
， ①当0a =时，()0f x '≥在x ∈R 上恒成立，此时函数()f x 在R 上单调递增；
②当0a >时，由()0f x >′解得0x >或23
a x <-，由()0f x <′解得203a
x -<<， 此时函数()f x 在2,3a ⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭，(0,)+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减； ③当0a <时，由()0f x >′解得23
a x >-或0x <，()0f x '<解得203a
x <<-，
此时函数()f x 在(,0)-∞，2,3a ⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上单调递减；
（2）由（1）可知，3()()x f x g x x x xe -=--，则3x x x xe kx --<对任意(0,)x ∈+∞上恒成立，
0x ，21x k x e ∴>--在(0,)x ∈+∞上恒成立，设2()1(0)x h x x e x =-->，则()2x h x x e '=-，令
()2x x x e μ=-，则()2x x e μ'=-，由()0x μ'=解得ln 2x =，易知当(0,ln 2)x ∈时，()0x μ'>，()h x '单调
递增，当x (ln 2,)∈+∞时，()0x μ'<，()h x '单调递减，()(ln 2)2ln 220h x h '∴'=-<，()h x ∴在(0,)+∞上单调递减，()(0)2h x h ∴<=-，2k ∴≥-，即实数k 的取值范围为[2,)-+∞．
18．已知函数(),a
f x ax x =-函数()
g x clnx =与直线y x e
2=相切，设函数()()(),h x f x g x =-其中a 、c ∈R ，
e 是自然对数的底数. （1）讨论h (x )的单调性；
（2）h (x )在区间1(,2)2
内有两个极值点. ①求a 的取值范围；
②设函数h (x )的极大值和极小值的差为M ，求实数M 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析（2）①415a <<②12(0,4ln 2)5
- 【解析】()1设直线2
y x e
=
与函数()g x clnx =相切与点()00,P x clnx ， 函数()g x clnx =在点()00,P x y 处的切线方程为：()000ln c y c x x x x -=
-，02c x e
=， 把0x =，0y =代入上式得0x e =，2c =．所以，实数c 的值为2．
所以()2ln a h x ax x x =--，0x >，则()222
22'a ax x a
h x a x x x
-+=+-=， 当0a ≤时, 22
(1)2()0a x x
h x x
+-'=<，故函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，无增区间，
当1a ≥时，2
20y ax x a =-+≥，()22
2'ax x a
h x x
-+=，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，无减区间，
当01a <<时，令()22
2'0ax x a h x x -+==，
解得120x x <=<=所以当10x x <<或2x x >时，()0h x '>，当12x x x <<时，()0h x '<，所以函数()h x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)
x x 上单调递减.
综上，当0a ≤时，函数()h x 在(0,)+∞上单调递减；当1a ≥时，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增； 当01a <<时，函数()h x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减.
()2①由()1知()2ln a h x ax x x
=--，设函数()()()h x f x g x =-在区间1(,2)2
内有两个极值点1x ，
212()x x x <，令()22222'0a ax x a h x a x x x
-+=+-==，则220ax x a -+=，设()22m x ax x a =-+ 因为121x x =，故只需()0,
20,20,
a m ∆>⎧⎪⎪
>⎨
⎪>⎪⎩
，所以，4
15a <<． ②因为121x x =， 所以()()121122122ln 2ln a a
M f x f x ax x ax x x x ⎛⎫=-=-
---- ⎪⎝⎭
11111
112ln 2ln a a ax x ax x x x ⎛⎫
=-
---- ⎪⎝⎭2111222ln a ax x x =--．由21120ax x a -+=，得12121x a x =+， 且1112
x <<．1222
21111112211122211122ln 4ln 112x
x x x M x x x x x x ⎛⎫+-=--=- ⎪++⎝⎭
． 设2
1
x t =，114t <<，令()114ln 12t t t t ϕ-⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭， ()222
212(1)'40(1)2(1)t t t t t t ϕ⎛⎫--=-=< ⎪++⎝⎭
， ()t ϕ在1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，从而()()114t ϕϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 所以，实数M 的取值范围是12(0,4ln 2)5-.
19．已知函数1()f x ax x =+，()1x
e g x x
=-.
（1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性； （2）当1
2
a =
时，设(,)P x y 为函数()1ln
((0,))()1x g x y x x f x ⋅-=∈+∞⋅-图象上任意一点.直线OP 的斜率为k ，求证：01k <<.
【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析
【解析】（1）∵1()f x ax x =+，∴222
11
()ax f x a x x
-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，由()0f x '=
，得x =(舍负)
当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，函数
()f x 单调递减，
当x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，函数
()f x 单调递增. （2）证明：由已知，即证0y x <<.∵2()11ln ln 1()12x x g x e x y x f x x ⋅---==⋅-，∴即证2
1
0ln 12
x e x x x --<<，
①设21()12
x h x e x x =---，∴()1x h x e x '=--， ∴()1x
h x e ''=-，∵(0,)x ∈+∞，
∴()10x h x e ''=->，∴()h x '
为增函数∴()1(0)0x h x e x h ''=-->=，∴()h x 为增函数
∴21()1(0)02x h x e x x h =--->=，∴21102x e x x --->，即2112
x
e x x -->，即21112
x e x x -->，
∴2
1ln 012
x e x x -->，即0y >， ②构造函数21()12x x s x e x x e =---，∵21()12
x x
x s x e xe x e '=---，
21()22x x s x xe x e ''=--， ∴21
()202
x x s x xe x e ''=--<，∴()s x '在(0,)+∞上为减函数，
∴()(0)0s x s ''<=，∴()s x 在(0,)+∞上为减函数，∴()(0)0s x s <=，∴2112
x
x e x x e --<，
∴2112x x
e x e x --<，即2
1ln 12
x e x y x
x --=<成立.由①②可知0y x <<， ∴01k <<成立.
20．已知函数2
1()(1)2,2
x
f x x e ax ax a R =++
+∈ （Ⅰ）讨论()f x 极值点的个数；
（Ⅱ）若00(2)x x ≠-是()f x 的一个极值点，且2
(2)f e -->，证明：0()1≤f x
【答案】（Ⅰ）当2a e -=-时,()f x 无极值点；当0a ≥时,()f x 有1个极值点； 当20e a --<<或2a e -<-,()f x 有2个极值点.（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）由题得,()f x 的定义域为R ,()(2)()x f x x e a '=++
ⅰ.若0a ≥,则0x e a +>,所以当(,2)x ∈-∞-时,()0,()f x f x '<单调递减, 当(2,)x ∈-+∞时,()0,()f x f x '
>单调递增.
所以,2x =-是()f x 唯一的极小值点,无极大值,故此时()f x 有且仅有1个极值点.
ⅱ. 0a <,令12()(2)()02,ln()x
f x x e a x x a '=++=⇒=-=-
①当2a e -<-时,12x x <,则当12(,),(,)x x x ∈-∞+∞时,()0,()f x f x '
>单调递增, 当12(,)x x x ∈,()0,()f x f x '
<单调递减.
所以,12,x x 分别是()f x 极大值点和极小值点,故此时有两个极值点.
②当2a e -=-时,12x x =是()(2)()x
f x x e a '=++的不变号零点,且()0f x '≥
故此时()f x 在R 上单调递增,无极值点.
③当20e a --<<时,12x x >,则21(,),(,)x x x ∈-∞+∞时,()0,()f x f x '
>单调递增,
当21(,)x x x ∈时,()0,()f x f x '
<单调递减.所以,12,x x 分别是()f x 极小值点和极大值点,此时()f x 有2个极
值点.综上,当2a e -=-时,()f x 无极值点；当0a ≥时,()f x 有1个极值点； 当20e a --<<或2a e -<-,()f x 有2个极值点.
（Ⅱ）证明：若0x 是的一个极值点,由（Ⅰ）知,20e a --<<或2a e -<-,且222
(2)2f e a e a e ----=-->⇒<-,
201
()(ln())[ln ()2ln()2]2f x f a a a a ∴=-=
-+--,令ln()(2,)t a =-∈-+∞,则2a e -=-,所以21()(ln())(22)2t g t g a e t t =-=-+-，故21
()(4)002
t g t t t e t '=-+=⇒=，所以,当(2,0)
t ∈-时,()0,()'
>g t g t 单调递增；当(0,)t ∈+∞时,()0,()'
<g t g t 单调递减,所以0t =是()g t 唯一极大值点也是
最大值点,即 ()(0)1g t g ≤=.从而(ln())1f a -≤,即0()1≤f x .
21．已知函数()()2e 12e x x
f x a a x =+--.
（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个不同零点1x ，2x ，证明：1a >且120x x +<. 【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.
【解析】（1）()()()()
22e 12e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+.因为0a <，由()0f x '=得0x =或1ln 2x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.
i ）1ln 02a ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭即12
a <-时，()f x 在1,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在1ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，在()0,∞+单
调递减；
ii ）1ln 02a ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭即12
a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调递减；
iii ）1ln 02a ⎛⎫
-> ⎪⎝⎭即102
a -<<时，()f x 在(),0-∞单调递减，在10,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，在1ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭单调递减. （2）由（1）知，12
a <-
时，()f x 的极小值为111ln 1ln 10242f a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--->> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1
02a -<<时，()f x 的极小值为()0110f a =->>，12
a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调， 故0a <时，()f x 至多有一个零点.当0a ≥时，易知()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增. 要使()f x 有两个零点，则()00f <，即120a a +-<，得1a >.令()()()F x f x f x =--，（0x >），
则()()()F x f x f x '''=+-()()22e 12e 1x x a a =+--()()
22e 12e 1x x
a a --++--
()()()2e e 1e e 2e e 20x x x x x x a ---=+++-++-≥，所以()F x 在0x >时单调递增，()()00F x F >=，
()()f x f x >-.不妨设12x x <，则10x <，20x >，20x -<， ()()()122f x f x f x =>-. 由()f x 在(),0-∞单调递减得，12x x <-，即120x x +<. 22．已知函数()()2
1x
f x e x a x =-++.
（1）当0a =时，求()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程；
（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（3）证明：当0x >时，不等式()2421
ln ln 212x e e x x x
+--≥++成立.
【答案】（1）()21y e x =-+；（2）[)2ln 22,-+∞；（3）证明见解析
【解析】（1）0a =时，()2
x
f x e x =-，∴()'2x
f x e x =-，∴()'12f e =-，()11f e =-，
∴切线方程为()21y e x =-+.
（2）由题可知()'20x
f x e x a =-+≥在R 上恒成立，∴2x e x a -≥-恒成立，
设函数()2x
g x e x =-，则()'2x
g x e =-，令()'0g x =得ln 2x =，
当ln 2x <时()'0g x <，当ln 2x >时()'0g x >，∴()g x 在(),ln 2-∞单调递减，在()ln 2,+∞单调递增， ∴()()min ln 222ln 2g x g ==-.∴22ln 2a -≥-，∴a 的取值范围是[)2ln 22,-+∞.
（3）首先证明：当0a =时，()()21f x e x ≥-+.设()()()21h x f x e x =---，则()'22x
h x e x e =--+，
()''2x h x e =-.易得：()'h x 在()0,ln 2单调递减，在()ln 2,+∞单调递增.又()'030h e =->，()'10h =，0ln 21<<，∴()'ln 20h <.所以存在()00,ln 2x ∈使得()0'0h x =.∴当()00,x x ∈时()'0h x >，当
()0,1x x ∈时()'0h x <，当()1,x ∈+∞时()'0h x >.∴()h x 在()00,x ，()1,+∞单调递增，在()0,1x 单调
递减，∵()()010h h ==，∴()0h x ≥在()0,∞+都成立，即0a =时()()()210f x e x x ≥-+>恒成立.
即()2
21x
e x e x -≥-+，变形得：()21
x e e x x x
---≥，
设()1ln k x x x =--，()1'1k x x =-，()'10k =， ∵当()0,1x ∈时，()'0k x <，当()1,x ∈+∞时，()'0k x >，∴()()min 10k x k ==，
∴ln 1x x ≤-，即ln 1x x ≥+，∴()21ln 1x e e x x x
+--≥+，
将x 替换成2x 得2(42)1
ln ln 212x
e e x x x +--≥++.。