§2.1——F集合的基本概念、运算

模糊数学
Fuzzy mathematics
重庆大学数学与统计学院
第二章 F集合
主要内容： 一、F集的基本概念 二、F集的运算 三、模糊算子 四、F集的分解定理
一、F集的基本概念
普通集合表达的是“非此即彼”的现象：
设CA为一映射，U 为论域，且： CA:U →{0,1}
即：
⎧1, u ∈ A C A (u) = ⎨⎩0, u ∈ A
B(u
)
=
⎪⎪⎨⎡ ⎪⎢1 ⎪⎩⎢⎣
+
⎜⎛ ⎝
u
− 25 5
⎟⎞ ⎠
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
−1
,25
<
u
≤
100
求：A∪B,A∩B,Ac,A∪Ac,A∩Ac,A∪Ac。
解：
A ∪ B = ∫ A(u) ∨ B(u) / u
u∈U
∫ ∫ ∫ = 1/ u +
⎡ ⎢1
+
⎛⎜
u
−
25
⎞⎟
2
⎤ ⎥
−1
u+
⎡ ⎢1
2) A = 0 + 0.2 + 0.4 + 0.6 + 0.8 + 1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 = 0.2 + 0.4 + 0.6 + 0.8 + 1 x2 x3 x4 x5 x6
3) A = (0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)
例4 接例2:设论域U＝[0,100],设集合A和B分
= 1−1 + 1− 0.8 + 1− 0.2 + 1− 0
u1
u2
u3
u4
特别地：
A = 1 + 0.8 + 0.2 + 0 Ac = 0 + 0.2 + 0.8 + 1
u1 u2 u3 u4
u1 u2 u3 u4
A ∪ Ac = 1∨ 0 + 0.8 ∨ 0.2 + 0.2 ∨ 0.8 + 0 ∨1
n∈T
并、交、补的图形表示：
A(u) B(u)
A
(A∪B)(u)
B
(A∩B)(u)
Ac(u)
A∪B
A∩B
Ac
例7、设F集A和B的隶属函数为：
⎧0 ,
0 ≤ u ≤ 50
A(u)
=
⎪⎪⎨⎡ ⎪⎢1 ⎪⎩⎣⎢
+
⎜⎛ ⎝
u
− 50 5
⎟⎞ ⎠
−2
⎤ ⎥ ⎥⎦
−1
,50
<
u
≤
100
⎧1 ,
0 ≤ u ≤ 25
对论域U上的所有的F 集的全体记为ℑ(U ),称 为U上的F 集的幂集，即：
ℑ(U ) = {A A :U → [0,1]}
二、F集的运算
1、F集的二元关系
1)若∀u∈U，B(u)≤A(u)，则称A包含B，记 为A⊆B；
2)若A⊆B，且B⊆A，则称A与B相等,记作： A=B.
包含关系“⊆”是模糊幂集F(U)上的二元关系。
+
⎛⎜
u
−
50
⎞⎟−2
⎤ ⎥
−1
u
0≤u ≤ 25
⎢⎣ 25<u≤u* ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ u*<u≤100 ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
1 B(u) A(u)
0 25 u* 100 50
A ∩ B = ∫ A(u) ∧ B(u) / u
u∈U
∫ ∫ =
⎡ ⎢1
+
⎛⎜
u
−
50
⎟⎞
−
2
⎤ ⎥
−1
u+
⎡⎡ ⎢⎢1
2
A ∩ Ac ≠ φ
(A ∩ Ac ) ≤ 1 2
“⊆”具有如下性质：
1）自反性：∀A∈ℑ(U )，有A ⊆A；
2）反对称关系：若A⊆B，B⊆A,则 A=B； 3）传递性：若A⊆B,B⊆C，则A⊆C。
故：(ℑ(U ),⊆)是偏序集。
2、F集运算的定义
1）并集：A∪B其隶属函数为： (A∪B)(u)=A(u)∨B(u)=max(A(u),B(u))
+
⎛⎜
u
−
25
⎟⎞
2
⎤ ⎥
⎤ ⎥
−1
u
⎢⎣ 50≤u≤u* ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
u*<u≤100 ⎢⎣⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦⎥⎦
1 B(u) A(u)
0 25 u* 100 50
Ac = ∫ (1− A(u)) u
u∈U
∫ ∫ = 1 u +
1
−
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
50
⎟⎞−
2
⎤ ⎥
−1
u
0≤u ≤50
为普通集合的特征函数。
1、F集的定义
设U 为论域，A为映射，且： A：U→[0,1] u→A(u)
则称A为U上的模糊集，A(u)为A的隶属函数 （或称为u对A的隶属度）。
例1 设论域U ={x1(140),x2(150),x3(160), x4 (170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，
2）交集：A∩B其隶属函数为： (A∩B)(u)=A(u)∧B(u)=min(A(u),B(u))
3）补集：Ac其隶属函数为： Ac(u)=1-A(u).
特别地，当U＝{u1,u2,…,un}时，令：
n
n
A = ∑ A(ui ) / ui B = ∑ B(ui ) / ui
i=1
i=1
则：
n
A∪B= ∑
(A∩B)∩C =A∩(B∩C) ； 4) 吸收律：A∪(A∩B)=A， A∩( A∪B)= A； 5) 分配律：(A∪B)∩C =(A∩C)∪(B∩C)；
(A∩B)∪C =(A∪C)∩(B∪C)；
推广： ( ∪ Bt ) ∩ C = ∪ (Bt ∩ C)
t∈T
t∈T
( ∩ Bt ) ∪ C = ∩ (Bt ∪ C)
A(ui ) ∨ B(ui )
i=1
ui
A
∩
B
=
n
∑
A(ui
)
∧
B(ui
)
i=1
ui
Ac
=
n 1− ∑
A(ui
)
i=1 ui
特别地，当U为区域时，令：
A = ∫ A(u) / u
u∈U
B = ∫ B(u) / u
u∈U
A ∪ B = ∫ A(u) ∨ B(u) / u
u∈U
A ∩ B = ∫ A(u) ∧ B(u) / u
( A ∪ B)c (u) = 1− ( A ∪ B)(u)
= 1− max{A(u), B(u)} = min{1− A(u),1− B(u)}
= min{Ac (u), Bc (u)} = ( Ac ∩ Bc )(u)
所以：( A ∪ B)c = Ac ∩ B c
9）一般情形下：
A ∪ Ac ≠ U (A ∪ Ac ) ≥ 1
t∈T
t∈T
6) 0-1律： A∪U=U，A∩U=A；
A∪φ=A，A∩φ=φ ； 7) 还原律：(Ac)c=A； 8) 对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc；
(A∩B)c=Ac∪Bc;
推广： ( ∪ At )c = ∩ Atc ( ∩ A)c = ∪ Atc
t∈T
t∈T
t∈T
t∈T
8) 证明：对∀u∈U，有：
T＝{1,2,…}且：
An
(u)
≡
1 2
⎜⎛1 − ⎝
1 n
⎟⎞ ⎠
则：
∪(
n∈T
An )(u)
=
∨
n∈T
An (u)
=
sup
n∈T
An
(u)
≡
1 2
∪n∈T
An
=
⎜⎛ ⎝
1 2
,
1 2
,
⎟⎞ ⎠
∩(
An )(u)
=
∧
n∈T
An (u)
n∈T
=
inf
n∈T
An (u)
≡
0
∩ An = (0,0, )
那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数
A(x)可定义为
A(x) = x −140 A(x) = x −100
190 −140
200 −100
即：A(x)表示某人属于A即“高个子”的程度。
例2、对年轻、年老问题，设论域U ＝[0,100], 设集合A和B分别表示“年轻”的集合与 “老年”的集合，则我们可给出它们的隶属 度的计算公式：
别表示“年轻”的集合与“老年”的集合，
且:
⎧1 ,
0 ≤ u ≤ 25
A(u)
=
⎪⎪⎨⎡ ⎪⎢1 ⎪⎩⎢⎣
+
⎜⎛ ⎝
u
− 25 5
⎟⎞ ⎠
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
−1
,25
<
u
≤
100
则：
A = ∫1/u +
∫
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
25
⎟⎞
2
⎤ ⎥
−1
u
0≤u≤25 25<u≤100 ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
3、F幂集
=min(1,0)=0
同理，略。
A ∩ B = 0 + 0.2 + 0.2 + 0 u1 u2 u3 u4
= 1∧ 0 + 0.8 ∧ 0.2 + 0.2 ∧ 0.8 + 0 ∧ 0
u1
u2
u3
u4
3) Ac
Ac(u1)=1-A(u1)＝1-1＝0；
同理，略。
Ac = 0 + 0.2 + 0.8 + 1 u1 u2 u3 u4
例5、设U ={u1,u2,u3,u4}，
A = 1 + 0.8 + 0.2 + 0 u1 u2 u3 u4
B = 0 + 0.2 + 0.8 + 0 u1 u2 u3 u4
求：1) A∪B ; 2) A∩B ; 3) Ac;
解： 1) A∪B
(A∪B)(u1)=A(u1)∨B(u1) =max(A(u1),B(u1))
1
0 25 u* 100 50 u**
A ∩ Ac =
∫
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
50
⎞⎟
−2
⎤ ⎥
−1
u
50<u≤u** ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
+
∫
1
−
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
50
⎟⎞
−2
⎤ ⎥
−1
u
u**<u≤100 ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
1
0 25 u* 100 50 u**
3、并、交、补集的性质：
1) 幂等律：A∪A =A， A∩A=A； 2) 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A； 3) 结合律：(A∪B)∪C =A∪(B∪C)，
⎧1 ,
0 ≤ u ≤ 25
A(u)
=
⎪⎪⎨⎡ ⎪⎢1 ⎪⎩⎢⎣
+
⎜⎛ ⎝
u
− 25 5
⎟⎞ ⎠
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
−1
,25
<
u
≤Байду номын сангаас
100
⎧0 ,
0 ≤ u ≤ 50
B(u)
=
⎪⎪⎨⎡ ⎪⎢1 ⎪⎩⎢⎣
+
⎜⎛ ⎝
u
− 50 5
⎞⎟ −2 ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
−1
,50
<
u
≤
100
2、F集的表示法
1) 一般情形：A={(u,A(u))|u∈U}； 2) 如果U为有限集或可数集：
n
A = ∑ A(ui ) / ui
i=1
Or: A = ( A(u1 ), A(u2 ), , A(un )) (隶属度为0不能舍弃 )
3) 如果U为无限不可数集：
A = ∫ A(u) / u
u∈U
例3、接例1：论域U ={x1(140),x2(150), x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)} A(x) = x −140 190 −140
=max(1,0)=1
同理：(A∪B)(u2)=0.8 (A∪B)(u3)=0.8
(A∪B)(u4)=0
A ∪ B = 1 + 0.8 + 0.8 + 0 u1 u2 u3 u4
= 1∨ 0 + 0.8 ∨ 0.2 + 0.2 ∨ 0.8 + 0 ∨ 0
u1
u2
u3
u4
2) A∩B
（A∩B)(u1)=A(u1)∨B(u1) =min(A(u1),B(u1))
u1
u2
u3
u4
= 1 + 0.8 + 0.8 + 1 ≠ U u1 u2 u3 u4
A ∩ Ac = 1∧ 0 + 0.8 ∧ 0.2 + 0.2 ∧ 0.8 + 0 ∧1
u1
u2
u3
u4
= 0 + 0.2 + 0.2 + 0 ≠ φ
u1 u2 u3 u4
例6、设An∈ℑ(U )，n∈T，T为指标集，
50<u≤100 ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
1
0 25 u* 100 50
A ∪ Ac = ∫ 1 u +
∫
1
−
⎡ ⎢1
+
⎛⎜
u
−
50
⎞⎟
−2
⎤ ⎥
−1
u
0≤u≤50
50<u≤u** ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
+
∫
⎡ ⎢1
+
⎛⎜
u
−
50
⎞⎟ −2
⎤ ⎥
−1
u
u**<u≤100 ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
( A ∪ Ac )(50) = 1
A为“高个子”集合
则：
u x1 x2 x3 x4 x5 x6 A(u) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
所以： 1) A＝{(x1,0),(x2,0.2),(x3,0.4),(x4,0.6),(x5,0.8),(x6,1)}
＝{(x2,0.2),(x3,0.4),(x4,0.6),(x5,0.8),(x6,1)}
u∈U
Ac = ∫ (1 − A(u)) / u
u∈U
推广：设At∈ℑ(U )，t∈T，T为指标集，则：
1) 并集： ∪ At
t∈T
( ∪ At
t∈T
)(u)
=
∨
t∈T
At
(u)
=
sup
t∈T
At
(u)
2) 交集： ∩ At
t∈T
( ∩ At
t∈T
)(u)
=
∧
t∈T
At (u)
= inf
t∈T
At (u)