小学五年级培优第五章第1课：数论问题之整除

典型问题
10、一个各位数字互不相同的四位数能被9 整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三 位数，这个三位数能被4整除.请问：这个四 位数最大是多少？
拓展练习
1、判断下面11个数的整除性：
23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,
6512,93625,864,407. (1)这些数中，有哪些数能被4整除？哪 些数能被8整除？ (2)哪些数能被25整除？哪些数能被125 整除？ (3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？ (4)哪些数能被11整除？
7、请从1,2,3,4,5,6,7这7个数字中选出5个 组成一个五位数，使它是99的倍数.这个 五位数最大是多少？
25个5 25个9
8、已知51位数55...5 99...9能被13整除， 中间方格内的数字是多少？
哪些能被125整除？
典型问题
2、有如下9个三位数： 452,387,228,975,525,882,715,775,837. 这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？ 哪些能同时被2和3整除？
典型问题
3、有如下4个自然数： 2695,1804,1963,23205. 这些数中哪些能被11整除？哪些能被7整 除？哪些能被13整除？
*能被23整除的数的特征
若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能 被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
典型问题
1、下面有9个自然数： 14,35,80,152,650,434,4375,9064,24125. 在这些自然数中，请问： (1)有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？
哪些能被8整除？ (2)有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？
典型问题
4、一个三位数6 4的十位数字未知.请分 别根据下列要求找出“ ”中合适的取值： (1)如果要求这个三位数能被3整除，“ ” 可能等于多少？ (2)如果要求这个三位数能被4整除，“ ” 可能等于多少？ (3)这个三位数有没有可能同时被3和4整 除？如果有可能，“ ”可能等于多少？
典型问题
典型问题
7、四位数2 9 能同时被3和5整除，求 出所有满足要求的四位数.
典型问题
8、四位偶数6 4 能被11整除，求出所 有满足要求的四位数.
典型问题
9、一天，王经理去电信营业厅为公司安装 一部电话.服务人员告诉他，目前只有形如 “1234 6 8”的号码可以申请.也就是说， 在申请号码时，方框内的数字可以随意选 择，而其余数字不得改动.王经理打算申请 一个能同时被8和11整除的号码.请问：他申 请的号码可能是多少？
*能被11整除的数的特征
奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上 的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则 该数就能被11整除。 11的倍数检验法也可用上 述检查7的【割尾法】处理！过程唯一不同的是： 倍数不是2而是1！
*能被13整除的ຫໍສະໝຸດ Baidu的特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数 能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否 13的倍数，就需要继续上述【截尾、倍大、相 加、验差】的过程，直到能清楚判断为止。
能被3、9整除的数的特征 各位数字之和能被3、9整除
能被7、11、13 整除的数的特征
“ 三 位 隔 断 法
”
*能被7整除的数的特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数 能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述【截尾、倍大、相减、 验差】的过程，直到能清楚判断为止。例如， 判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7， 所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍 数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝ 49，所以6139是7的倍数，余类推。
*能被17整除的数的特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数 能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否 17的倍数，就需要继续上述【截尾、倍大、相 减、验差】的过程，直到能清楚判断为止。
另一种方法： 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差 能被17整除，则这个数能被17整除
*能被19整除的数的特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数 能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否 19的倍数，就需要继续上述【截尾、倍大、相 加、验差】的过程，直到能清楚判断为止。
另一种方法： 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差 能被19整除，则这个数能被19整除
5、四位数23 5能被11整除，求出所有 满足要求的四位数.
典型问题
6、新学年开学了，同学们要改穿新的校服. 小又收了9位同学的校服费(每人交的钱一 样多)交给老师.老师给了小又一张纸条，上 面写着“交来校服费23 8元”，其中有一滴 墨水把方格处的数字污染得看不清了.小又 看了看，很快就算出了方格处的数字.你能 算出这个数字是多少吗？
数学培优
小五.第五部分
数论问题
“一分耕耘一分收获。”
第1讲
整除
掌握整除的概念和基本性质， 掌握能被某些特殊数整除的数的特征. 通过分析整除特征解决数的补填问题， 以及多位数的构成问题.
能被2、5整除的数的特征 个位数字能被2、5整除
能被4、25整除的数的特征 末两位数能被4、25整除
能被8、125整除的数的特征 末三位数能被8、125整除
拓展练习
2、173 是一个四位数.数学老师说： “我在其中的方框内先后填入3个数字， 得到3个四位数，依次能被9,11,8整除.” 问：数学老师在方框内先后填入的3个 数字之和是多少？
n个32
3、多位数3232...321能被11整除，满足 条件的n最小是多少？
拓展练习
4、五位数3 07 能同时被11和25整除. 这个五位数是多少？
5、马叔叔给45名工人发完工资后，将总 钱数记在一张纸上.但是记账的那张纸被 香烟烧了两个洞.上面只剩下“67 8 ”， 其中方框表示被烧出的洞.马叔叔记得每 名工人的工资都一样，并且都是整数元. 请问：这45名工人的总工资有可能是多 少元呢？
拓展练习
6、六位数 2008 能同时被11和9整除. 这个六位数是多少？