2017希望杯第一试(初二年级)
历届1-24“希望杯”全国数学邀请赛八年级-真题及答案
第二届(1991 年)初中二年级第一试试题
一、选择题:(每题1分,共15分)
1.如图1,已知AB=8,AP=5,OB=6,则OP的长是[ ] A.2; B.3; C.4; D.5
2.方程x2-5x+6=0的两个根是[ ] A.1,6 ; B.2,3; C.2,3; D.1,6
A
O
P
B
(1)
3.已知△ABC是等腰三角形,则[ ]
8x
2y 5
z
6x 3
z
x
2
y
x y z
3
x 1 5
y 1 3
3x 4 y 5z 1
则1989x-y+25z=______. 10.已知3x2+4x-7=0,则6x4+11x3-7x2-3x-7=______.
一、选择题
答案与提示
提示: 1.因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°.故选(B). 2.因为2的平方是4,4的平方根有2个,就是±2.故选(C). 3.以x=1代入,得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0.故选(A).
1. △ABC中,∠CAB ∠B=90°,∠C的平分线与AB交于L,∠C的外角平分线与BA
的延长线交于N.已知CL=3,则CN=______.
2. 若 a 1 (ab 2)2 0 ,那么
1
1
ab (a 1)(b 1)
1
的值是_____.
(a 1990)(b 1990)
3. 已知a,b,c满足a+b+c=0,abc=8,则c的取值范围是______.
历届1-24“希望杯”全国数学邀请赛八年级-真题及答案
5.如图7按同心圆分成面积相等的四部分.在最外面一部分中显然可以找到三个点, 组成边长大于1的正三角形.如果三个圆换成任意的封闭曲线,只要符合分成的 四部分面积相等,那么最外面部分中,仍然可以找到三个点,使得组成边长大于 1的正三角形.故选(D). 二、填空题
12.如果 2x 3x 1, 那么 3 (x 2)3 (x 3)2 等于[ ]
A.2x+5 B.2x-5; C.1 D.1
9.已知 x2 2xy 2y 1
y2 1
y 1 等于一个固定的值,
x2 1
2y2 xy y x 1 x 1
则这个值是( ) A.0. B.1.
C.2.
D.4.
把f1990化简后,等于 ( )
A. x . B.1-x. C. 1 . D.x.
x 1
x
二、填空题(每题1分,共10分)
1. 1302 662 ________.
9.方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根.
A.4; B.2; C.1; D.0 10.一个两位数,用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2,仍得原数,这个两
位数是[ ] A.26; B.28; C.36; D.38 11.若11个连续奇数的和是1991,把这些数按大小顺序排列起来,第六个数是[ ] A.179; B.181; C.183; D.185
∠A'BE=∠A'CF=45°. 又,当A'B'与A'B重合时,必有A'D'与A'C重合,故知∠EA'B=∠FA'C. 在△A'FC和△A'EB中,
∴SA'EBF=S△A'BC.
∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值. 3.可能的四位数有9种:
第13届中学“希望杯”全国数学邀请赛初二年级第1试
希望杯第十三届(2002年)初中二年级第一试试题一、选择题(每小题5分,共50分) 1.使分式xx |x |x 2+--的值为零的x 的一个值是( ) A . O B .1 C .-1 D .-22.下列各式分解因式后,可表示为一次因式乘积的是( ) A .x 3-9x 2+27x -27 B . x 3-x 2+27x -27 C x 4-x 3+27x -27 D .x 3—3x 2+9x -273.2001年7月13日,北京市获得了第29届奥运会的主办权,这一天是星期五,那么第29届奥运会在北京市举办的那一年的7月13日是( ) A .星期四 B .星期五 C .星期六 D .星期日4.设P 是等边△ABC 内任意一点,从点P 作三边的垂线PD 、PE 、PF ,点D 、E 、F 是垂足,则CABC AB PFPE PD ++++等于( )A .23 B .63 C .232D .215.若三角形的三个内角A 、B 、C 的关系满足A>3B ,C<2B ,那么这个三角形是( )A .钝角三角形B .直角三角形C .等边三角形D .不等边的锐角三角形6.已知34x m -=,43+=x n ,532x p -=,且m>n>p ,那么x 的取值范围是( )A .1<xB .1514<<-xC .1177<<-x D .177514-<<-x 7.If a<b<0,then the following inequality must be hold( ) (英汉小字典:following :下面的;inequality :不等式) A .ba11< B .ba 11> C .ab a 11>- D .22)1()1(ba ab +<+8.已知b<0,0<|a|<|b|<|c|,且ac cbc ab 2=,则a 、b 、c 的大小顺序是( )A .a<b<cB .c<b<aC .b<a<cD .b<c<a 9.在凸四边形ABCD 中,AB∥CD,且AB+BC=CD+DA ,则( )A . AD>BCB .AD<BC C .AD=BCD .AD 与BC 的大小关系不能确定10.如图,在直角△ABC 中,∠C=90°,AC=3.以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ,正方形的中心为O ,且OC=42 ,那么BC 的长等于( )A .32B .5C .25D .29二、A 组填空题(每小题5分,共50分)11.若对于一切实数x,等式x 2-px+q=(x+1)(x -2)均成立,则p 2—4q 的值是 .12.2001年北京市的气候条件较好义无病虫害,这一年北京市海淀区的冬储大白菜的种植面积约为2000亩,与上一年相比,面积持平而亩产量达5000公斤,比上一年的亩产量增加了25%,但平均价格低于上一年,2001年在地头批发的平均价格为每公斤0.20元,假设所有的大白菜都在地头批发,且两年收入相同.则上一年在地头批发大白菜的平均价格约为每公斤 元. 13.若3a 2n+m 和4a n-2m 都是2a 5的同类项,则2(n 3m 5)2÷(21n 5m)·(nm 3)的值是 .14.若x 2-x -1=O ,则-x 3+2x+2002的值等于 . 15.若a 、b 均为正数,且2222224b a ,b 4a ,b a +++是一个三角形的三条边的长,那么这个三角形的面积等于 .16.In Fig ,In the Rt△ABC,∠ACB=90°,∠A=30°,CD is the bisector to∠ACB,MD is the perpendicular toBA andMD through the midpoint of segment AB ,then∠CDM .(英汉小字典:bisector :平分线;perpendicuIar :垂线;midpoint :中点) l7.边长为整数且面积为2002的长方形共有 种.(对应边长相等的长方形算作同一种)18.一个凸n 边形的最小内角为95°,其他内角依次增加lO °,则n 的值等于 .19.如图,D 、E 分别在△ABC 的边AC 、AB 上,BD 与CE 相交于F ,若21DCAD 2EBAE ==,,△ABC 的面积S△ABC =21,那么四边形AEFD 的面积等于 .20.在数轴上,A 和B 是两个定点,坐标分别是-3和2,点P到点A 、B 的距离的和等于6,那么点P 的坐标是 . 三、B 组填空题(每小题10分,共50分)21.方程x 2-xy -5y+5y -1=0的整数解是 或 .22.两个凸多边形.它们的边长之和为12,对角线的条数之和为l9,那么这两个多边形的边数分别是 和 . 23.方程0185=++-+y y x 的解是 或 .24.在一个三位数的百位和十位之间插入:O .1,2,…,9中的一个数码得到的四位数恰是原三位数的9倍,那么这样的三位数中最小的是 ,最大的是 .25.已知n 是自然数,且n 2—17n+73是完全平方数,那么n 的值是 或 .希望杯第十三届(2002年)初中二年级第一试试题参考答案一、选择题二、A组填空题三、B组填空题。
初二第22届希望杯”一试试题+解析
第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案前的英语字母写在1、将a 千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水,需加盐水x 千克,则由此可列出方程为( ) A 、%)151)(x a (%)101(a -+=- B 、%15)x a (%10a ⨯+=⨯ C 、%15a x %10a ⨯=+⨯ D 、%)151(x %)101(a -=-2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地,如果汽车行驶的速度增加a%,则所用的时间减少b%,则a ,b 的关系是( ) A 、%a 1a 100b +=B 、%a 1100b +=C 、a 1a b +=D 、a100a100b +=3、当1x ≥时,不等式|2x |m 1x |1x |--≥-++恒成立,那么实数m 的最大值是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点,已知k 为整数,若函数1x 2y -=与k kx y +=的图象的交点是整点,则k 的值有( )A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个5、The sum of all such integers x that satisfy inequality 6|1x 2|2≤-≤ is ( ) A 、8 B 、5 C 、2 D 、0(英汉词典:sum 和;integer 整数;satisfy 满足;inequality 不等式)6、若三角形的三条边的长分别为a ,b ,c ,且0b c b c a b a 3222=-+-,则这个三角形一定是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等三角形 D 、等腰直角三角形7、As shown in figure 1,point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square. AG intersects BD and CD at points E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( ) A 、316 B 、38C 、4D 、5 (英汉词典:square 正方形;intersect …at … 与…相交于…) 8、1215-能分解成n 个质因数的乘积,n 的值是( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 9、若关于x ,y 的方程组⎩⎨⎧=+-=++0a y 2bx 01ay x 没有实数解,则( )A 、2ab -=B 、2ab -=且1a ≠C 、2ab -≠D 、2ab -=且2a ≠10、如图2,∠AOB=45°,OP 平分∠AOB ,PC ⊥OB 于点C , 若PC=2,则OC 的长是( )A 、7B 、6C 、222+D 、32+二、A 组填空题(每小题4分,共40分) 11、化简:5252549+=++;12、若关于x ,y 的方程组⎩⎨⎧=--=+2y 3x 21k y 2x 3的解使2y 7x 4>+,则k 的取值范围是3k >;figure 1A O BP C 2 图213、如图3,平行于BC 的线段MN 把等边△ABC 分成一个 三角形和一个四边形,已知△AMN 和四边形MBCN 的周长相 等,则BC 与MN 的长度之比是 4:3 ;14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律,每运转5分钟, 停机15分钟,再运转5分钟,再停机15分钟,……,又知8月份 这台冰箱的耗电量是24.18度 (1度=1千瓦时),则这台冰箱的压缩 机运转时的功率是 130 瓦;15、已知自然数a ,b ,c ,满足c 12b 4a 442c b a 222++<+++和02a a 2>--,则代数式c1b 1a 1++的值是 1; 16、已知A 、B 是反比例函数x2y =的图象上的两点,A 、B 的横坐标分别是3,5.设O 为原点,则△AOB 的面积是1516;17、设完全平方数A 是11个连续整数的平方和,则A 的最小值是 121 ;18、将100个连续的偶数从小到大排成一行,其中第38个数与第63个数的和为218,则首尾两个数的和是 218 ; 19、A 、B 两地相距15km ,甲、乙两人同时从A 出发去B 。
第 27届“希望杯”全国数学邀请赛初二1试解析
第27届“希望杯”全国数学邀请赛初二1试解析一、选择题1、【解析】A ,B 选项SSA 不能判定全等;C 明显不是判定全等的条件,D 项正确,选D .2、【解析】由3-=x y 与k kx y -=,得ky k x -+-=-+=122121,,∵交点为整点,∴k 可取1-,0,2,3,共计4个不同的值,故选B .3、【解析】由题可得混合后男女生的比为23:22)1112(:)1210(=++,故选D .4、【解析】解不等式2|1|>+x ,得1>x 或3-<x ;解不等式)0(||≥≤a a x ,得a x a ≤≤-,∵它们的解集没有公共部分,∴1≤a 且3-≥-a ,∴10≤≤a ,故选A .5、【解析】解不等式组,得5<x 且21m x ->,∵要满足不等式组只有四个整数解,∴需要满足以下关系:1210<m -≤,解得11≤-m <,故选C .6、【解析】∵ED AE =,∴A EDA ∠=∠,∴A A EDA DEB ∠=∠+∠=∠2;∵DB ED =,∴A DEB DBE ∠=∠=∠2,∴A DBE A CDB ∠=∠+∠=∠3;∵CD BC =,∴A CBD CDB ∠=∠=∠3,∴A CBD DBE ABC ∠=∠+∠=∠5;∵AC AB =,∴A ABC C ∠=∠=∠5,∴︒=∠=∠+∠+∠18011A ABC C A ,∴11180︒=∠A ,故选D .7、【解析】当0=n 时,4205==A ;当1=n 时,44411==A ;当2=n 时,47619==A ;当3=n 时,411629==A ……,要使得p A +的平方根是有理数,需满足p A +是一个平方数,观察发现,有且仅有各项的分子加上5,就使各数均成为平方数,故45=p ,答案是D .8、【解析】∵504201625.0=⨯,63)42(504=⨯÷,∴动点p 回到A 点;∵7251820151⋯=÷⨯,即动点p 再从A 往原方向移动7个单位到AD 中点,故选D .9、【解析】不妨从1开始,取1,2,3,5,8,13共六个数,其中没有任何3条线段可以构成三角形,如果往其中加入任意一个141-的其它数,那么必有3可以构成一个三角形;故n 最小可取值为7,选A .10、【解析】不妨设)(2x k a C ,)00(>,>k a ,则ak BC BC a OB 2'===,,设'AA 的中点为D ,延长'AA 交'BC 于E ;∵A 点在xy 1=上,∴1=⋅DO AD ;易证CBO Rt ODA Rt △∽△,∴有22a k OB BC AD DO ==,∴222ak DO =,∴a k DO =,k a D A AD ==',∴k a a D A OB E A -=-='',a k a OB AD AE +=+=,a k a k BC DO BC EB EC 2+=+=+=,ak a k EB BC EC -=-=2'';∴10'=+ECA AEC S S △△,即10))((21))((2122=--+++a k a k k a a a k a k a k a ,整理得20222=+k ,∴92=k ,∵0>k ,∴3=k ,∴6)(21)(212122=+=+⋅=⋅=k k a k a a k AE BC S ABC△,故选B .二、A 组填空题11、【解析】∵1>ab ,1>bc ,1>ca ,∴1)(2>abc ,∴1>abc 或1-<abc ,∴1)(2016>abc A =,故1>A .12、【解析】∵A ,B 关于原点对称,∴21x x -=,21y y -=,∴221221253y x y x y x =-;∵422=y x ,∴8222=y x ,即8531221=-y x y x .13、【解析】∵0)11()3()12(=--+--k y k x k ,∴0)113()12(=-+---y x y x k ∴⎩⎨⎧=-+=--0113012y x y x ,解得⎩⎨⎧==32y x ,∵无论k 取何值,当32==y x ,时,关于x 的一次函数的值恒为零,∴不论k 取何值,关于x 的一次函数0)11()3()12(=--+--k y k x k 的图象必经过点)32(,.14、【解析】设a =+⋯⋯+++2016131211,原式20161)201611()20161)(1(=-----=a a a a .15、【解析】根据题意,三角形三边长可以有以下情形:16153,,,16144,,,15145,,,16135,,,15136,,,16126,,,14137,,,15127,,,16117,,,14128,,,15118,,,16108,,,13129,,,14119,,15109,,,131110,,,故有16个.16、【解析】原式2223223)1)(1()1)(1(1)1(+-+=+-+=+-++-=a a a a a a a a a a a ,∵31131=+-=+a ,33663)113324()1(222-=++--=+-a a ,∴108363)33663(3)1)(1(22-=-=+-+a a a ,∴10836312345-=+-++-a a a a a .17、【解析】易证BCE Rt AFE Rt △≌△,∴1==CE FE ,∴2222=-==AE AF AE BE ,∴122+=+=CE AE AC ,∴2422)122(2121+=⨯+⨯=⋅=BE AC S ABC △.18、【解析】40722⋯=÷,617)32(22⋯=÷+,147)432(222⋯=÷++,577)5432(2222⋯=÷+++,6127)65432(22222⋯=÷++++677)765432(222222⋯=÷+++++,297)8765432(2222222=÷++++++4407)98765432(22222222⋯=÷+++++++,∵62877)12016(⋯=÷-,∴a 除以7所得的余数是6.19、【解析】设梯形两条对角线分别为a ,b ,根据题意有16=+b a ,14422=+b a ,∴56=ab ∴28562121=⨯==ab S 梯形.20、【解析】∵20162016)2016)(2016(2222=-+=-+++x x x x x x ,∴y y x x ++=-+2016201622,∴y x -=,∴0=+y x .三、B 组填空题21、【解析】如图,易证BEC Rt ADB Rt △≌△,∴2==AD BE ,1==DB EC ,∴)25(,C ;∴)25(')32('--,,,C A ,设直线''C A 的解析式为b kx y +=,则有⎩⎨⎧-=+-=+2532b x b x ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==31131b k ,∴直线''C A 的解析式为31131-=x y .22、【解析】所有多边形的内角和是︒=︒⨯+36000360)199(;边数最多的多边形最多有103499=+条边.23、【解析】依题意有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++4141664313927212481d c b a d c b a d c b a d c b a ,解得241-=a ,125=b ,∴83=+b a ,∴85)(1=+-=+b a d c .24、【解析】∵ABC △是△Rt ,∴①222c b a =+,∵0111=+--ba b a ,∴②ab a b =-22,②①+得③ab c b +=222,①②-得④ab c a -=222;④③⨯得2222245210(b a b a =-+,∴252+=ab 或252--=ab 舍去,将252+=ab 代入④解得2=a 或2-=a 舍去;∴1521+==ab S ABC △.25、【解析】如图,将CDM △绕点D 顺时针旋转︒60得到EDN △,连接AM ,MN ,则EN CM =,∵ND MD =,︒=∠60MDN ,∴MDN △是等边三角形,∴MN MD =;∵CM 与AM 关于BD 对称,∴CM AM =,∴当E 、N 、M 、A 共线时,AE NE AM MN MC MD =++=+2(最小),此时︒=∠=∠=∠60DMN BMA BMC ,作DA EF ⊥交AD 的延长线于F ,则︒=∠90F ,由旋转可得︒=∠60CDE ,2==ED CD ,∴︒=︒-︒=∠306090EDF ,∴在DEF Rt △中,2221==DE FE ,∴2622=-=EF DE DF ,∴262+=+=DF AD AF ;∴AEF Rt △中,22EF AF AE +=22)22()262(++=13+=.故答案为:13+,︒60.。
2017年希望杯获奖名单
2017 年中学“希望杯”全国数学邀请赛获奖名单初一年级:
铜牌:
杜晋冉郭佳鹏常子烁高明博沈许杰
优秀奖:
贾子硕赵士森张耀天田媛琦栗庆道高锦鹏孟令哲郝祎卓郑丁畅柴睿辰王亚斐杨子琛郑森赵锦泽王丽佳康家铭李子涵徐照松赵烁然袁晓萌杨一涵刘晨宇常鸿涛祝瑞凯陈烁楠贾涵森肖景天杨晟光刘艺芮唐若涵张成龙范培臻古博文张子颖陈虹欣张龙保程诺黄晟迅郝一诺刘俊池王子涵袁雨萱李浩淼韩旭阳
初二年级:
铜牌:
谷王俊郭东灿靳一鸣侯璐祎
优秀奖:
陈梦元韩怡然闫智婧孔冰张鑫孙杨王宇维史宝勋谷盈霖陈菲高淋哿刘聪聪豆雅宁贾雨欣李韶泽刘伊琳张宇晨王菁菁向品铮王硕张世琦温铭烁路萌萌高若尧李亦桐冯钰珊王一瑄尹笑森于金瑞薛涵予史赵潇翰张瑞波张优荣张靖瑶刘坤杰陈梦华张晶王堉莹孙凌宇梁选郭怡群常悦郑茗馨李孜毅苏梦娴。
第17届“希望杯”全国数学邀请赛试题
第17届“希望杯”全国数学邀请赛试题初中一年级 第1试 一、选择题以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.1.在数轴上,点A对应的数是-2006,点B对应的数是+17.则A、B两点的距离是()(A)1989. (B)1999.(C)2013.(D)2023.2.有如下四个命题:①两个符号相反的分数之间必定有一个正整数;②两个符号相反的分数之间必定有一个负整数;③两个符号相反的分数之间必定有一个整数;④两个符号相反的分数之间必定有一个有理数.其中真命题的个数为()(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.图13.图1是某中学参加选修课学生人数的扇形统计图,从图中可以看出参加数学选修课的学生为参加选修课学生总人数的()(A)12%. (B)22%.(C)32%. (D)20%.4.如果a<-3,那么()(A)a+2a+3<a+1a+2<aa+1.(B)a+1a+2<aa+1<a+2a+3.(C)aa+1<a+1a+2<a+2a+3.(D)aa+1<a+2a+3<a+1a+2.5.如图2的交通标志中,轴对称图形有()(A)4个.(B)3个.(C)2个.(D)1个.图26.对于数x,符号[x]表示不大于x的最大整数.例如[3.14]=3,[-7.59]=-8.则满足关系式[3x+77]=4的x的整数值有()(A)6个.(B)5个.(C)4个.(D)3个.图37.在图3所示的4×4的方格表中,记∠ABD=α,∠DEF=β,∠CGH=γ,则α,β,γ的大小关系是()(A)β<α<γ.(B)β<γ<α.(C)α<γ<β.(D)α<β<γ.8.方程x+y+z=7的正整数解有()(A)10组.(B)12组.(C)15组.(D)16组.图49.如图4,ABCD与BEFG是并列放在一起的两个正方形.O是BF与EG的交点.如果正方形ABCD的面积是9平方厘米,CG=2厘米.则·43·数理天地初中版数学竞赛2020年第12期△DEO的面积是().(A)6.25平方厘米.(B)5.75平方厘米.(C)4.50平方厘米.(D)3.75平方厘米.10.有如下四个叙述:①当0<x<1时,11+x<1-x+x2.②当0<x<1时,11+x>1-x+x2.③当-1<x<0时,11+x<1-x+x2.④当-1<x<0时,11+x>1-x+x2.其中正确的叙述是()(A)①③.(B)②④.(C)①④.(D)②③.二、A组填空题11.神舟六号飞船的速度为7.8千米/秒,航天员费俊龙用3分钟在舱内连做4个“前滚翻”,那么当费俊龙“翻”完一个跟斗时,飞船飞行了千米.12.已知a+b=3,a2b+ab2=-30,则a2-ab+b2+11=.13.图5为某工厂2003年至2005年的利润和资产统计表,由图可知资产利润率最高的年份是年.(注:资产利润率=利润总资产)图514.计算:13×17×-213+0.125()÷-1116()1-12-18=.图6 15.图6是一个程序流向图,请你看图说出“终止”处的计算结果是.16.已知m-2的倒数是-141m+2(),则m2+1m2的值是.17.n是自然数,如果n+20和n-21都是完全平方数,则n等于.18.If x=2is the solution of the equation191613x+a2+4()-7[]+10{}=1,then a=.(英汉词典:equation方程;solution解)19.将(1+2x-3x2)2展开,所得多项式的系数和是.图720.如图7所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处,顺时针方向依次标上数字0,1,2,3.先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数-1所对应的点重合,再让数轴按逆时针方向绕在该圆上,使数轴上-2,-3,-4,…所对应的点与圆周上3,2,1,…所对应的点重合,那么数轴上数-2006与圆周上对应的数是.三、B组填空题21.把一块正方体木块的表面涂上漆,再把它锯成27块大小相同的小正方体.在这些小正方体中,没涂漆的有个,至少被漆2个面的有块.图822.如图8所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8厘米,BC=6厘米.分别以AC、BC为边向形外作正方形AEDC、BCFG.三角形BEF的面积为a,六边形AEDFGB面积为S.则a=平方厘米,且aS=.·53·2020年第12期数学竞赛数理天地初中版23.世界十大沙漠的面积见下表:(面积单位:万平方千米)名称撒哈拉沙漠阿拉伯沙漠利比亚沙漠澳大利亚沙漠戈壁沙漠面积860 233 169 155 104名称巴塔哥尼亚沙漠鲁卜哈利沙漠卡拉哈里沙漠大沙沙漠塔克拉玛干沙漠面积67 65 52 41 32十大沙漠的总面积为万平方千米.已知地球陆地面积为1.49亿平方千米,占地球表面积的29.2%,则十大沙漠的总面积占地球表面积的%(精确到千分位).24.甲自A向B走了5.5分钟时,乙自B向A行走,每分钟比甲多走30米.他们于途中C处相遇.甲自A到达C用时比自C到B用时多4分钟,乙自C到A用时比自B到C用时多3分钟.则甲从A到C用了分钟,A、B两处的距离是米.25.将1,2,3,4,5,6,7,8,9按任意顺序写成一排,其中相邻的3个数字组成一个三位数.共有七个三位数,求这七个三位数的和.则所得这些三位数之和的最小值是.参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案D B B C C D B C A C 提示1.A,B两点间的距离是+17-(-2006)=17+2006=2023.故选(D).2.如-12和12之间既没有正整数,也没有负整数,所以命题①,②不正确.0介于两个符号相反的分数之间,所以命题③,④正确.故选(B).3.参加数学兴趣小组的学生占参加课外活动学生总人数的100%-17%-26%-35%=22%.故选(B).4.因为a+2a+3=1-1a+3,a+1a+2=1-1a+2,aa+1=1-1a+1,又a+1<a+2<a+3<0,可得0<-(a+3)<-(a+2)<-(a+1),所以-1a+1<-1a+2<-1a+3,因此aa+1<a+1a+2<a+2a+3.故选(C).5.第一、第三两个交通标志是轴对称图形,其他两个交通标志不是轴对称图形,故选(C).6.解不等式4≤3x+77<5,得整数解x=7,8,9.故选(D).7.观察图形,易知 ∠ABD=α>90°,∠DEF=β<90°,∠CGH=γ=90°,所以β<γ<α.故选(B).8.因为x,y,z均为正整数,且x+y+z=7,所以1≤x≤5.下面分类讨论:当x=1时,有5组解;当x=2时,有4组解;当x=3时,有3组解;当x=4时,有2组解;当x=5时,有1组解.共计5+4+3+2+1=15(组)解.故选(C).9.如图9,连接BD,易知BD∥EG,图9所以△EDO与△BEO的面积相等.由于O是正方形BEFG的对角线BF与EG的交点,所以△BEO的面积等于正方形BEFG面积的四分之一.因为正方形ABCD的面积是9平方厘米,所以边长BC=3厘米.又CG=2厘米,因此,BG=5厘米,正方形BEFG的面积等于25平方厘米.所以△EDO的面积=△BEO的面积=254=6.25(平方厘米).故选(A).·63·数理天地初中版数学竞赛2020年第12期10.当0<x<1或-1<x<0时,11+x和1-x+x2都大于0,所以两式的比值大于0.又(1-x+x2)÷11+x=(1-x+x2)(1+x)=1+x3,当0<x<1时,1+x3>1,所以①正确,②不正确;当-1<x<0时,1+x3<1,所以③不正确,④正确.故选(C).二、A组填空题题号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20答案351 50 2004 16-3294421-4 0 3 提示11.费俊龙“翻”一个跟斗的时间为(3×60÷4)秒,神舟六号飞船飞行的速度为7.8千米/秒,所以在费俊龙“翻”一个跟头的时间内飞船飞行了7.8×3×60÷4=351(千米).12.因为a+b=3,a2b+ab2=ab(a+b)=-30,所以ab=-10.故 a2-ab+b2+11=(a+b)2-3ab+11=32-3×(-10)+11=50.13.计算得2003年的资产利润率=3003000×100%=10%,2004年的资产利润率=3603200×100%=11.25%,2005年的资产利润率=4805000×100%=9.6%,所以资产利润率最高的年份是2004年.14.13×17×-213+0.125()÷-1116()1-12-18=17×-2+138()×-1617()38=16.15.只要按照程序的过程走就可以看出结果应该是-2的5次方,等于-32.16.译文:如果m-2的倒数是-141m+2(),那么m2+1m2=.解 由条件知 m-2=-41m+2,即(m-2)1m+2()=-4,1-2m+2m=0.所以1m-m=12,两边平方,再整理得 m2+1m2=94.17.设n+20=a2,n-21=b2(a,b均为整数),则a2-b2=(a-b)(a+b)=41,且a2>b2,又因为41是质数,所以a-b=1,a+b=41;{或a-b=41,a+b=1;{或a-b=-1,a+b=-41;{或a-b=-41,a+b=-1.{方程组的两式相加,得2a=42,或2a=-42,即a=21,或a=-21,从而n=a2-20=441-20=421.18.译文:已知x=2是方程191613x+a2+4()-7[]+10{}=1的解,那么a=.解 从外向里逐层去括号:1613x+a2+4()-7[]+10=9,1613x+a2+4()-7[]=-1,13x+a2+4()-7=-6,13x+a2+4()=1,x+a2+4=3,x+a2=-1,x+a=-2.将x=2代入上式,得a=-4.·73·2020年第12期数学竞赛数理天地初中版19.多项式a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+am-1x1+an的系数和为a0+a1+a2+…+an-1+an,故只需令多项式a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x1+an中的x=1即可.所以(1+2x-3x2)2的展开式的系数和为(1+2-3)2=0.20.因为|(-2006)-(-1)|=2005=501×4+1,所以数轴上的数-2006与圆周上的数3相对应.三、B组填空题题号21 22 23 24 25答案1;20 66;148 1778;3.48 10;1440 4648;3122 提示21.8个角上的小正方体三面涂漆,12条棱上各有1块小正方体两面涂漆,6个面上各有1块小正方体一面涂漆,还剩1块中心的小正方体没有涂漆.所以没涂漆的小正方体有1块,至少被漆2个面的小正方体有8+12=20(块).22.易知S△ABC=S△CDF=12×6×8=24(平方厘米),正方形ACDE的面积=82=64(平方厘米),正方形BCFG的面积=62=36(平方厘米).所以 六边形AEDFGB的面积=24+24+64+36=148(平方厘米).连接CE,则S△CFE=S△CFD=24(平方厘米),S△CBE=S△CBA=24(平方厘米),又S△BCF=622=18(平方厘米).所以三角形BEF的面积24+24+18=66(平方厘米).23.十大沙漠的总面积为860+233+169+155+104+67+65+52+41+32=1778(万平方千米),地球陆地面积为1.49亿平方千米=1.49×104万平方千米,占地球表面积的29.2%,所以地球表面积为1.49×104÷29.2%(万平方千米).故十大沙漠的总面积占地球表面积的17781.49×104÷29.2%=3.48%.24.解法1 设甲与乙相遇时甲行走了t分钟,则甲自C到达B处所用时间是(t-4)分钟,乙自B到达C处所用时间是(t-5.5)分钟,乙自C到达A处所用时间是(t-2.5)分钟.设甲的速度是v米/分,则乙的速度是(v+30)米/分.列方程组,得tv=(t-2.5)(v+30),(t-4)v=(t-5.5)(v+30).{即30t-2.5v-75=0,30t-1.5v-165=0.{解得t=10,v=90.{所以A,B两处的距离为(2t-4)v=16×90=1440(米).解法2 设甲的速度是v米/分,则乙的速度是(v+30)米/分.列方程组,得AC-BC=4v,AC-BC=3(v+30).{解得v=90.又设甲与乙相遇时乙行走了t分钟,则(5.5+t)×90-(90+30)t=90×4,解得t=4.5.所以甲从A到C所用时间是5.5+4.5=10(分钟),A,B两处的距离为90×10+(90+30)×4.5=1440(米).25.设排列的九个数为a,b,c,d,e,f,g,h,i依题意知,所求的七个三位数的和为abc+bcd+cde+def+efg+fgh+ghi=100a+110b+111(c+d+e+f+g)+11h+i,为使所求的七个三位数的和最大,应选取a=3,b=4,c~g选5~9,h=2,i=1,此时,最大的和为4648.为使所求的七个三位数的和最小,应选取a=7,b=6,c~g选1~5,h=8,i=9,此时,最小的和为3122.·83·数理天地初中版数学竞赛2020年第12期初中一年级 第2试一、选择题以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.1.a和b是满足ab≠0的有理数,现有四个命题:①a-2b2+4的相反数是2-ab2+4;②a-b的相反数是a的相反数与b的相反数的差;③ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积;④ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积.其中真命题有()(A)1个. (B)2个. (C)3个. (D)4个.2.在下面的图形中,不是正方体的平面展开图的是()3.在代数式xy2中,x与y的值各减少25%,则该代数式的值减少了()(A)50%.(B)75%.(C)3764.(D)2764.4.若a<b<0<c<d,则以下四个结论中正确的是()(A)a+b+c+d一定是正数.(B)d+c-a-b可能是负数.(C)d-c-b-a一定是正数.图1(D)c-d-b-a一定是正数.5.在图1中,DA=DB=DC,则x的值是()(A)10.(B)20.(C)30.(D)40.6.已知a,b,c都是整数,m=|a+b|+|b-c|+|a-c|,那么()(A)m一定是奇数.(B)m一定是偶数.(C)仅当a,b,c同奇或同偶时,m是偶数.(D)m的奇偶性不能确定.7.三角形三边的长a,b,c都是整数,且[a,b,c]=60,(a,b)=4,(b,c)=3.(注:[a,b,c]表示a,b,c的最小公倍数;(a,b)表示a,b的最大公约数),则a+b+c的最小值是()(A)30.(B)31.(C)32.(D)33.图28.如图2,矩形ABCD由3×4个小正方形组成.此图中,不是正方形的矩形有()(A)40个. (B)38个.(C)36个.(D)34个.9.设a是有理数,用[a]表示不超过a的最大整数,如[1.7]=1,[-1]=-1,[0]=0,[-1.2]=-2,则在以下四个结论中正确的是()(A)[a]+[-a]=0.(B)[a]+[-a]等于0或1.(C)[a]+[-a]≠0.(D)[a]+[-a]等于0或-1.10.On the num ber axis,there are twopoints Aand Bcorresponding to num bers 7and b respectively,and the distance betweenAand Bis less than 10.Let m=5-2b,thenthe range of the value of mis()(A)-1<m<39.(B)-39<m<1.(C)-29<m<11.(D)-11<m<29.(英汉词典:number axis数轴;point点;correspondingto对应于…;respectively分别地;distance距离;less than小于;value值、数值;range范围)·93·2020年第12期数学竞赛数理天地初中版二、填空题11.112-256+3112-41920+5130-64142+7156-87172+9190=.12.若m+n-p=0,则m1n-1p()+n1m-1p()-p1m+1n()的值等于.图313.图3是一个小区的街道图,A,B,C,…,X,Y,Z是道路交叉的17个路口,站在任一路口都可以沿直线看到过这个路口的所有街道.现要使岗哨们能看到小区的所有街道,那么,最少要设个岗哨.14.如果m-1m=-3,那么m3-1m3=.15.1+2+3+4+5+…+2005+20061-11004()1-11005()1-11006()…1-12006()=.16.乒乓球比赛结束后,将若干个乒乓球发给优胜者.取其中的一半加半个发给第一名;取余下的一半加半个发给第二名;又取余下的一半加半个发给第三名;再取余下的一半加半个发给第四名;最后取余下的一半加半个发给第五名,乒乓球正好全部发完.这些乒乓球共有个.17.有甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29、23、21和17岁,则这四人中最大年龄与最小年龄的差是岁.18.初一(2)班的同学站成一排,他们先自左向右从“1”开始报数,然后又自右向左从“1”开始报数,结果发现两次报数时,报“20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人,则全班同学共有人.19.2 m+2006+2 m(m是正整数)的末位数字是.20.Assume that a,b,c,d are all integers,and four equations(a-2b)x=1,(b-3c)y=1(c-4d)z=1,w+100=d have alwayssolutions x,y,z,w of positive numbersrespectively,then the minimum of ais.(英汉词典:to assume假设;integer整数;equation方程;solution(方程的)解;positive正的;respectively分别地;minimum最小值)三、解答题要求:写出推算过程21.(1)证明:奇数的平方被8除余1.(2)请你进一步证明:2006不能表示为10个奇数的平方之和.图422.如图4所示,△ABC的面积为1,E是AC的中点,O是BE的中点.连结AO并延长交BC于D,连结CO并延长AB于F.求四边形BDOF的面积.23.老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观.老师乘一辆摩托车,速度为25千米/小时.这辆摩托车后座可带乘1名学生,带人后速度为20千米/小时.学生步行的速度为5千米/小时.请你设计一种方案,使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过3个小时.参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案C C C C A B B A D C 提示1.因为-a-2b2+4=2-ab2+4,所以命题①是真命题;因为a-b的相反数为-(a-b)=-a-(-b),所以命题②的真命题;·04·数理天地初中版数学竞赛2020年第12期因为ab的相反数为-ab,(-a)(-b)=ab,又ab≠0,所以-ab≠ab,因此③不是真命题;因为ab≠0,所以ab的倒数为1ab=1a·1b,因此,④是真命题.故选(C).2.观察即知,选(C).3.因为x(1-25%)·[y(1-25%)]2=2764xy2,所以代数式的值减少了1-2764=3764.故选(C).4.当a=-5,b=-4,c=1,d=2时,(A)不成立;当a=-5,b=-4,c=1,d=20时,(D)不成立;又因为a<b<0<c<d,所以d+c>0,①d-c>0,②-a>0,③-b>0,④①+③+④,得 d+c-a-b>0,②+③+④,得 d-c-b-a>0,即(B)不正确,(C)正确.故选(C).5.根据三角形内角和定理,并利用等腰三角形两底角相等,得2x+30×2+50×2=180,解得x=10.故选(A).6.因为a,b,c,均为整数,又奇数+奇数=偶数;偶数+偶数=偶数;奇数-奇数=偶数;偶数-偶数=偶数;奇数-偶数=奇数;偶数-奇数=奇数;所以当a,b,c同奇或同偶时,m为偶数;当a,b,c中有两个奇数一个偶数时,m为偶数;当a,b,c中有两个偶数一个奇数时,m为偶数;故选(B).7.由题意知b既能被4整除,又能被3整除,所以b能被12整除.又60能被b整除,所以b=12或60.(1)若b=12,则60÷b=5,因为(5,4)=1,(5,3)=1,所以a,c中至少有一个含因数5.若a含因数5,则a≥20,又c≥3,所以a+b+c≥20+12+3=35;若c含因数5,则c≥15,又a≥4,所以a+b+c≥4+12+15=31,取a=4,b=12,c=15,能构成三角形.(2)若b=60,则a+b+c>60>31.综上知,a+b+c的最小值为31.故选(B).8.从5条竖线中取2条,共有5×42=10(种)取法,从4条横线中取2条,共有4×32=6(种)取法.2条竖线和2条横线可组成1个矩形,所以图中的矩形共有10×6=60(个),其中,正方形有4×3+3×2+2×1=20(个),所以,不是正方形的矩形有60-20=40(个).故选(A).·14·2020年第12期数学竞赛数理天地初中版9.当a=1.1时,[a]=1,[-a]=-2,所以(A)、(B)不成立.当a=1时,[a]=1,[-a]=-1,所以(C)不成立.当a≥0时,a可以写成a=[a]+{a},而0≤{a}<1,-a=-[a]-{a}.如果{a}=0,即a是正整数,则[-a]=-[a],所以[a]+[-a]=0.如果{a}>0,则[-a]=-[a]=-1,所以[a]+[-a]=-1.当a<0时,令b=-a>0,将上面讨论中的a换成b,仍可以得到[a]+[-a]等于0或-1.故选(D).10.译文:点A和点B分别对应于数轴上的两个数7和b,且|AB|<10.如果m=5-2b,那么m的取值范围是( )(A)-1<m<39.(B)-39<m<1.(C)-29<m<11.(D)-11<m<29.解 由题意知|AB|=|b-7|<10,所以-3<b<17,即-29<5-2b<11.故选(C).二、填空题题号11 12 13 14 15答案1910-3 4-36 4026042题号16 17 18 19 20答案31 18 53或25 0 2433 提示11.原式=1+12+3-256()+112+ 5-41920()+130+7-64142()+156+ 9-87172()+190=1+12+16+112+120+130+142+156+172+190=1+1-12()+12-13()+13-14()+ 14-15()+…+18-19()+19-110()=2-110=1-910.12.因为m+n-p=0,所以m-p=-n,n-p=-m,m+n=p,即 m1n-1p()+n1m-1p()-p1m+1n()=mn-mp+nm-np-pm+pn()=mn-pn()+nm-pm()-mp+np()=m-pn+n-pm-m+np=-1-1-1=-3.13.因为DS,AX,EY,FZ是小区中4条彼此平行的街道,守望每条街道都需要1个岗哨,因此,守望这4条彼此平行的街道至少需要4个岗哨.即守望这个小区的所有街道需要安排的岗哨不能少于4个.在D,N,Y,F路口设4个岗哨即可守望小区的所有街道,因此,最少要设4个岗哨.14.m3-1m2=m-1m()m2+11m2()=-3 m2-2+1m2+3()=-3 m-1m()2+3[]=-3×12=-36.·24·数理天地初中版数学竞赛2020年第12期15.原式=(1+2006)×100310032006=2007×2006=4026042.16.设共有乒乓球x个,则第一名得乒乓球的个数为x2+12=12(x+1);第二名得乒乓球的个数为12x-x+12()+12=14(x+1);第三名得乒乓球的个数为12x-x+12-x+14()+12=18(x+1);以此类推,第四名得乒乓球的个数为x+116;第五名得x+132.依题意x+12+x+14+x+18+x+116+x+132=x,即(x+1)12+14+18+116+132()=x.解得x=31.17.设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别是a,b,c,d,则有a+b+c3+d=29,b+c+d3+a=23,c+d+a3+b=21,d+a+b3+c=17.烅烄烆将四个式子相加并化简,得a+b+c+d=45,再将上面方程组的每个式子乘以3后分别与(*)式相减,得a=12,b=9,c=3,d=21.由对称性,知甲、乙、丙、丁四人中年龄最大的是21岁,年龄最小的是3岁.所以最大年龄与最小年龄的差为21-3=18(岁).18.有如图5所示的两种情况:图5所以全班共有20+20+13=53(人),或20+(20-15)=25(人).19.因为2 m+2006+2 m=2 m(22006+1),而22006=(24)501×22=16501×4,乘积的个位数字是4,所以22006+1的个位数字是5,又2 m为偶数,所以mm+2006+2 m的末位数字为0.20.译文:设a,b,c,d均为整数,且关于x,y,z,w的四个方程(a-2b)x=1,(b-3c)y=1,(c-4d)z=1,w+100=d的根都是正数,则a可能取得的最小值是.解 因为方程(a-2b)x=1的根x>0,所以a-2b>0,又因为a,b均为整数,所以a-2b也为整数,即a-2b≥1,a≥2b+1.同理可得b≥3c+1,c≥4d+1,d≥101.所以a≥2b+1≥2(3c+1)+1=6c+3≥6(4d+1)+3=24d+9≥24×101+9=2433,故a可能取得的最小值为2433.三、解答题21.(1)设n为任意整数,则2n+1为任意奇数.那么(2n+1)2=2n2+4n+1=4n(n+1)+1.由于n(n+1)能被2整除,·34·2020年第12期数学竞赛数理天地初中版所以4n(n+1)能被8整除,所以4n(n+1)+1被8除余1.因此,奇数的平方被8除余1.(2)假设2006可以表示为10个奇数的平方之和,也就是x21+x22+x23+…+x210=2006,(其中x1,x2,x3,…,x10都是奇数)等式左边被8除余2,而2006被8除余6.矛盾!因此,2006不能表示为10个奇数的平方之和.22.设S△BDF=x,S△BOD=y.因为E是AC的中点,O是BE的中点,且S△ABC=1,所以S△AOE=S△COE=S△AOB=S△COB=14.则S△AOF=14-x,S△ACF=34-x,S△BCF=14+x.由S△AOFS△BOF=AFBF=S△ACFS△BCF,得14-xx=34-x14+x,即116-x2=34x-x2,得x=112.又S△COD=14-y,S△ACD=34-y,S△ABD=14+y.由S△BODS△COD=BDCD=S△ABDS△ACD,得y14-y=14+y34-y,即116-y2=34y-y2,得y=112.所以S四边形BDOF=x+y=112+112=16.23.要使师生二人都到达博物馆的时间尽可能短,可设计方案如下:设学生为甲、乙二人.乙先步行,老师带甲乘摩托车行驶一定路程后,让甲步行,老师返回接乙,然后老师带乘乙,与步行的甲同时到达博物馆.如果6所示,设老师带甲乘摩托车行驶了x千米,用了x20小时,比乙多行了x20×(20-5)=34x(千米).图6这时老师让甲步行前进,而自己返回接乙,遇到乙时,用了34x÷(25+5)=x40(小时).乙遇到老师时,已经步行了x20+x40()×5=38x(千米),离博物馆还有33-38x(千米).要使师生三人能同时到达博物馆,甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同,则有x=33-38x,解得x=24.即甲先乘摩托车行驶24千米,用了1.2小时,再步行9千米,用了1.8小时,共计3小时.因此,上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时.·44·数理天地初中版数学竞赛2020年第12期。
第二十四届希望杯初二第1试试题及答案解析
2.点(-7,m)和点(-8,n)都在直线y=-2x-6上,则m和n的大小关系是( )
(A)m>n.(B)m<n.(C)m=n.(D)不能确定的.
3.下列命题中,正确的是( )
(A)若a>0,则a>.(B)若a>a2,则a>1.
(C)若0<a<1,则a>a2.(D)若|a|=a,则a>0.
9.选:A;【解析】题目翻译:“一个直角三角形三边为a-b,a,a+b,(a,b是正整数),则它的周长可能是( )”,由于a-b<a<a+b,有(a-b)2+a2=(a+b)2,得a=4b,所以三边为3b,4b,5b,周长是12的倍数;
10.选:C;【解析】:==,设小李的手表从8:00走到15:00用t小时,有t:7=15:14,t=7.5,即15:30时,小李的表才走到下午3点;
17.3;【解析】若3x-2=5,x=,2x-1=7,x=4矛盾,舍去;若3x-2=7,x=3,2x-1=5,x=3无矛盾;
18.1.05;【解析】设甲、乙、丙三种商品的单价分别是x元、y元、z元.则有②-①得:x+3y=1.05…③,①-2×③得:x+y+z=1.05;
19.3;【解析】两边同时乘以(b-a):-=1,-=1,-1+-1=1,即+= 3;
第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试答案与解析
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.选:C;【解析】①③④是函数;
2.选:B;【解析】k=-2,y随x增大而减小,-7>-8,∴m<n;
3.选:C;
4.选:A;【解析】3⊙=()3=;
5.选:C;
6.选:C;【解析】等边三角形内任取一点到等边三角形三条边的距离之和等边三角形的高;
15到20届希望杯初二第一试试题及培训题
第十五届希望杯初二第1试试题一、选择题:(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。
1、小伟自制了一个孔成像演示仪,如图1所示,在一个圆纸筒的两端分别用半秀明纸和黑纸封住,并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。
小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“”形状的光源,则他在半透明纸上观察到的像的形状是( )(A)(B)(C)(D)2、代数式的化简结果是( )(A)(B)(C)(D)3、已知是实数,且,那么( )(A)31(B)21(C)13(D)13或21或314、已知(>)是两个任意质数,那么下列四个分数( )①;②;③;④中总是最简分数的有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5、Given are real numbers, and , then the valueof is ( )(A)4(B)6(C)3(D)4or66、某出版社计划出版一套百科全书,固定成本为8万元,每印制一套需增加成本20元。
如果每套定价100元,卖出后有3成给承销商,出版社要盈利10%,那么该书至少应发行(精确到千位)( )(A)2千套(B)3千套(C)4千套(D)5千套7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C,满足3∠A>5∠B,3∠C≤∠B,则这个三角形是( )(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等边三角形8、如图2,正方形ABCD的面积为256,点E在AD上,点F在AB的延长线上,EC⊥FC,△CEF的面积是200,则BF的长是( )(A)15(B)12(C)11(D)109、如图3,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点E、F分别是对角线AC、BD的中点,则( )(A)(B)(C)(D)10、表示不大于的最大整数,如[3.15]=3,[-2.7]=-3,[4]=4,则( )( )(A)1001(B)2003(C)2004(D)1002二、A组填空题(每小题4分,共40分。
第14届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(初二1)试题和详解
6,midline for hypotenuse(斜边)is 1,then
AC•BC= _________ . 17、如图,两点 A、B 在直线 MN 外的同侧,A 到 MN 的距离 AC=8,B 到 MN 的距离 BD=5, CD=4,P 在直线 MN 上运动,则|PA﹣PB|的最大值等于 _________ .
18、如图,等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60°,AC 平分∠DAB,且 AC=2 ABCD 的周长等于 _________ .
3边形 ABCDEF、 PQRSTU, 其中点 P 位于正六边形 ABCDEF 的中心, 如果它们的面积均为 1,则阴影部分的面积是 _________ .
1 2
)
A、90° B、100° C、110° D、120° 10、2002 年 9 月 28 日,“希望杯”组委会第二次赴俄考查团启程,途经哈巴罗夫斯克和莫斯 科,两地航程约 9000 千米,往返飞行所用的时间并不相同,这是因为在北半球的高纬度地 区,有一股终年方向恒定的西风,人们称它为“高空西风带”.已知往返飞行的时间相差 1.5 小时,飞机在无风天气的平均时速为每小时 1000 千米,那么西风速度最接近( ) A、60 千米/小时 B、70 千米/小时 C、80 千米/小时 D、90 千米/小时 二、填空题(共 15 小题,满分 100 分) 11、设 0<x<1<y<2,则
������﹣������ ≥ 0 ������﹣������ ≥ 0
,
1 ������﹣1 1 ������﹣������ + ������﹣������ + ������﹣ ������ =0+0+ ������ =1﹣������.
故选 A. 点评:本题主要考查了二次根式的意义和性质.
第十一届 希望杯 数学竞赛(初二第一试
第十一届“希望杯”数学竞赛(初二第一试)一.选择题1.与的关系是(B)。
(A)互为倒数(B)互为相反数(C)互为负倒数(D)相等2.已知x≠0,则的值是(C )。
(A)0 (B)-2 (C)0或-2 (D)0或23.适合|2a+7|+|2a-1|=8的整数a的值的个数有( B )。
(A)5个(B)4个(C)3个(D)2个4.如图1,四边形ABCD中,AB//CD,∠D=2∠B,若AD=a,AB=b,则CD的长等于(A )。
(A)b-a (B)b-(C)(b-a) (D)2(b-a)5.有四条线段,a=14,b=13,c=9,d=7,用a、c分别作一个梯形的下、上两底,用b、d 分别作这个梯形的两腰(作出的全等的梯形算一种),那么这样的梯形(D )。
(A)只能作一种(B)可以作两种(C)可以作无数种(D)一种也作不出6.当1≤x≤2时,代数式可以化简为(C )。
(A)0 (B)2 (C)2(D)-27.已知=a, =b,则用a、b表示为()。
(A)(B)(C)(D)8.互不相等的三个正数a、b、c恰为一个三角形的三条边长,则以下列三个数为长度的线段一定能作成三角形的是()。
(A), , (B)a2, b2, c2(C), , (D)|a-b|, |b-c|, |c-a|9.在一个凸八边形中,每三个顶点形成三个角(如又A、B、C三个顶点形成∠ABC、∠BAC、∠ACB),一共可以作出168个角,那么这些角中最小的一个一定()。
(A)小于或等于20°(B)小于或等于22.5°(C)小于或等于25°(D)小于或等于27.5°10.设a、b、c均为正数,若,则a、b、c三个数的大小关系是()。
(A)c<a<b (B)b<c<a (C)a<b<c (D)c<b<a二.A组填空题11.分解因式a3b+ab+30b的结果是。
八年级数学第17届“希望杯”第1试试题
山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第17届“希望杯”第1试试题一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内.1.实数m =20053-2005,下列各数中不能整除m 的是( ) (A )2006 (B )2005 (C )2004 (D )20032.a ,b ,c ,d 是互不相等的正整数,且abcd =441,那么a +b +c +d 的值是( ) (A )30 (B )32 (C )34 (D )363.三角形三边的长都是正整数,其中最长边的长为10,这样的三角形有( ) (A )55种 (B )45种 (C )40种 (D )30种4.已知m ,n 是实数,且满足m 2+2n 2+m -34n +3617=0,则-mn 2的平方根是( )(A )62 (B )±62 (C )61 (D )±615.某校初一、初二年级的学生人数相同,初三年级的学生人数是初二年级学生人数的54.已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同,初三年级男生人数占三个年级男生人数的41,那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的( ) (A )199 (B )1910(C )2111 (D )21106.如图1,点E 、F 、G 、H 、M 、N 分别在△ABC 的BC 、AC 、AB 边上,且NH ∥MG ∥BC ,ME ∥NF ∥AC ,GF ∥EH ∥AB .有黑、白两只蚂蚁,它们同时同速从F 点出发,黑蚁沿路线F →N →H →E →M →G →F 爬行,白蚁沿路线F →B →A →C →F 爬行,那么( )(A )黑蚁先回到F 点 (B )白蚁先回到F 点(C )两只蚂蚁同时回到F 点 (D )哪只蚂蚁先回到F 点视各点的位置而定 7.一个凸多边形截去一个角后形成的多边形的内角和是2520°,则原多边形的边数是( ) (A )14 (B )15 (C )15或16 (D )15或16或17 8.Let a be integral part of 2 and b be its decimal part .Let c be the integral part of π and d be the decimal part..if ad -bc =m ,th en ( ) (A )-2<m <-1 (B )-1<m <0 (C )0<m <1 (D )1<m <2(英汉词典:integral part 整数部分;decimal part 小数部分)9.对a ,b ,定义运算“*”如下:a *b =⎩⎨⎧•≥时<,当时,,当b a ab b a b a 22已知3*m =36,则实数m 等于( )(A )23 (B )4 (C )±23 (D )4或±2310.将连续自然数1,2,3,…,n (n ≥3)的排列顺序打乱,重新排列成a 1,a 2,a 3,…,a n .若(a 1-1)(a 2-2)(a 3-3)…(a n -n )恰为奇数,则n ( ) (A )一定是偶数 (B )一定是奇数(C )可能是奇数,也可能是偶数 (D )一定是2m-1(m 是奇数) 二、A 组填空题(每小题4分,共40分) AMNG H 图111.已知a 、b 都是实数,且a =43+x ,b =312+x ,b <37<2a ,那么实数x 的取值范围是_________.12.计算12008200720062005+⨯⨯⨯-20062的结果是__________. 13.已知x =22+1,则分式15119232----x x x x 的值等于__________.14.一个矩形各边的长都是正整数,而且它的面积的数量等于其周长的量数的2倍,这样的矩形有__________个.15.Suppose that in ,the length of side of square ABCD is 1,E andF are mid -points of CD and AD respectively ,BE and CF intersectat a point P .Then the length of line segment CP is __________. (英汉词典:figure (缩写Fig.)图;length 长度;square 正方形;mid -point 中点;intersect 相交;line segment 线段) 16.要使代数式2113|--||+-|x x 有意义,实数x 的取值范围是____________.17.图3的梯形ABCD 中,F 是CD 的中点,AF ⊥AB ,E 是BC 边上的一点,且AE =BE .若AB =m (m 为常数),则EF 的长为__________. 18.A ,n 都是自然数,且A =n 2+15n +26是一个完全平方数,则n 等于__________.19.一个长方体的长、宽、高均为整数,且体积恰好为2006cm 3,现将它的表面积涂上红色后,再切割成边长为1cm 的小正方体,如果三面为红色的小正方体有178个,那么恰好有两面为红色的小正方体有________个.20.一条信息可以通过如图4所示的网络按箭头所指方向由上往下传送,例如到达点C 2的信息可经过B 1或B 2送达,共有两条途径传送,则信息由A 点传送到E 1、E 2、E 3、E 4、E 5的不同途径共有________条. 三、B 组填空题(每小题8分,共40分.每小题两个空,每空4分.)21.某学校有小学六个年级,每个年级8个班;初中三个年级,每个年级8个班;高中三个年级,每个年级12个班.现要从中抽取27个班做调查研究,使得各种类型的班级抽取的比例相同,那么小学每个年级抽取________个班,初中每个年级抽取________个班. 22.矩形ABCD 中,AB =2,AB ≠BC ,其面积为S ,则沿其对称轴折叠后所得的新矩形的对角线长为__________或__________.23.已知m ,n ,l 都是两位正整数,且它们不全相等,它们的最小公倍数是385,则m +n +l的最大值是__________,最小值是__________.24.某工程的施工费用不得超过190万元.该工程若由甲公司承担,需用20天,每天付费10万元;若由乙公司承担,需用30天,每天付费6万元.为缩短工期,决定由甲公司先工作m 天,余下的工作由乙公司完成,那么m =________,完工共需要__________天. 25.将2006写成n (n ≥3)个连续自然数的和,请你写出两个表达式: A BCD E FP图2ABCDEFm图31B A2B 1C 2C3C 1D 2D 3D 4D 12345图4(1)__________________________________;(2)__________________________________.第十七届“希望杯”全国数学邀请赛答案·评分标准 初二 第1试1.答案 (1)选择题 题 号 12345678910答 案D B D B C C D A A A(2)A 组填空题 题 号 11 12 13 14 15 16 1718 19 20答 案35<x <3 20052355 -4≤x <-12m 23 1824 16(3)B 组填空题 题 号 2122 23 24 25答 案2;2 242+S ;4642+S 209;57 10;25 500+501+502+503;110+111+112+…+125+126; 5+6+7+…+62+63,不唯一2.评分标准(1)第 1~10题:答对得4分;答错或不答,得0分. (2)第11~20题:答对得4分;答错或不答,得0分.(2)第21~25题:答对得8分,每个空4分;答错或不答,得0分.。
第21届希望杯初二第1试试题及答案
第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内.1.下列图案都是由字母m 组合而成的,其中不是中心对称图形的是( )A .B .C .D .【解析】 B .B 中5个”m ”分布在正五边形上,不是中心对称图形.2.若230a a ≥≥,则( )A 3a aB 3a aC .1a ≥D .01a <<【解析】 B .∵23a a ≥≥0,∴01a ≤≤3a a320102009xx --x 的取值范围是()A .2010x ≤B .2010x ,≤且2009x ≠±C .2010x ≤且2009x ≠D .2010x ,≤且2009x ≠-【解析】 B .2010020090x x -⎧⎪⎨-≠⎪⎩≥,解得2010x ,≤且2009x ≠±. 4.正整数a b c ,,是等腰三角形三边的长,并且24a bc b ca +++=,则这样的三角形有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【解析】 C .()()124a bc b ca a b c +++=++=∵a b c +>,,,a b c 均为正整数,∴1a b c ++≥ 又12c +≥,∴1c +只能取2,3,4.若12c +=,即1c =,则12a b +=,于是6a b ==; 若13c +=,即2c =,则8a b +=,于是4a b ==; 若14c +=,即3c =,则6a b +=,于是3a b ==. 综上,这样的三角形有3个.5.顺次连接一个凸四边形各边的中点,得到一个菱形,则这个四边形一定是()A .任意的四边形B .两条对角线等长的四边形C .矩形D .平行四边形【解析】 B .顺次连接一个凸四边形各边的中点得到的四边形,每组对边都等于对应对角线长的一半. 因此若得到的四边形为菱形,则这个四边形一定是两条对角线等长的四边形.6.设p =a b c d ,,,是正实数,并且1a b c d +++=,则 ()A .5p >B .5p <C .4p <D .5p =【解析】 A .1a >=+,于是()()()()1111p a b c d >+++++++5=.7.Given a b c ,, satisfy c b a << and 0ac <,then which one is not sure to be correct in the following inequalities ?() A .b c a a>B .0b ac->C .22b ac c>D .0a cac-< 【解析】 C .∵a c >且0ac <,∴0a >,0c <∵b c >,0a >,∴b c a a >;∵b a <,0c <,∴0b ac ->; ∵a c >,0ac <,∴0a cac-<;因此只有C 不一定成立.8.某公司的员工分别住在A B C 、、三个小区,A 区住员工30人,B 区住员工15人,C 区住员工10人,三个小区在一条直线上,位置如图1所示,若公司的班车只设一个停靠点,为使所有员工步行到停靠点的路程总和最短,那么停靠点的位置应在( ) A .A 区 B .B 区C .C 区D .A B C 、、区以外的一个位置【解析】 A .以A 区为原点,从A 区往方向为正方向建立数轴,设停靠点的坐标为x ,那么所有员工步行到停靠点的路程总和为301510010300x x x +-+-,由绝对值函数的性质易知在0x =处,该函数值最小.9.ABC △的内角A 和B 都是锐角,CD 是高,若2AD AC DB BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则ABC △是( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形【解析】 D .∵22AC AD BC BD =,∴cos cos ADAC A AC BD BC B BC==,又由正弦定理sin sin AC BBC A=, ∴cos sin cos sin A B B A=,于是sin2sin2A B =,∴A B =或90A B +=︒. 10.某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下,用了24秒;若他站在自动扶梯上不动,从楼上到楼下要用56秒.若扶梯停止运动,他从楼上走到楼下要用( ) A .32秒B .38秒C .42秒D .48秒【解析】 C .设若扶梯停止运动,他从楼上走到楼下要用x 秒,则1112456x=+,解得42x =(秒).图1二、A 组填空题(每小题4分,共40分.)11.四个多项式:①22a b -+;②22x y --;③22249x y z -;④4221625m n p -,其中不能用平方差公式分解的是_______________.(填写序号)【解析】 ②.①()()22a b b a b a -+=+-;③()()2224977x y z xy z xy z -=+-; ④()()4222216254545m n p m np m np -=+-.12.若111111a b c b c d===---,,,则a 与d 的大小关系是a _______d .(填“>”、“=”或“<”) 【解析】 =.1111111111111111111da d d d d d cd dd======--+----+----- 13.分式方程222510111x x x x ++=--+的解是x =______________.【解析】 2-.222510111x x x x ++=--+ ()()225110x x x +++-=22640x x ++= 2320x x ++=1x =-(舍去)或2x =-14.甲、乙两人从A 点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步,过一段时间后,甲在跑道上离A 点200米处,而乙在离A 点不到100米处正向A 点跑去,若甲、乙两人的速度比是4:3,则此时乙至少跑了____________米.【解析】 750.假设甲的速度是4m ,乙的速度是3m ,题中所述情况是在开始跑步后t 时刻且此时甲、乙已经跑了1k 、2k 个整圈,则14400200m t k ⋅=⋅+,23400m t k x ⋅=⋅+(其中300400x <<) 于是1240020040043k k x ++=,即()121234002004003004001504x k k k k =+-=-+ ∵300400x <<,∴123685k k <-<,因此12684k k -=.于是当12k =,21k =时,2k 最小,此时乙跑了400350750+=(米).15.已知等腰三角形三边的长分别是421156x x x -+-,,,则它的周长是_____________.【解析】 12.3.421x x -=+时,1x =,此时三角形的三边长分别为2,2,9,矛盾;42156x x -=-时,1710x =,此时三角形的三边长分别为242724,,5105,周长为1231412.310x -==; 1156x x +=-时,2x =,此时三角形的三边长分别为6,3,3,矛盾.16.若29453737a b =-=-,,则336a ab b -+=______________. 【解析】 8-.∵294523737a b +=--=-,∴2b a =-- 于是()()33336622a ab b a a a a -+=---+--()3321262a a a a =++-+()32326126128a a a a a a =++-+++8=-17.直线59544y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、,则线段AB 上(包括端点A B 、)横坐标和纵坐标都是整数的点有_____________个.【解析】 5.59544y x =-即5495x y -=,于是y 必然整除5; 另一方面()19,0A 、950,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭,∴954y -≤≤0, 于是y 的可能取值为20,15,10,5,0----对应的点均在线段AB 上.18.已知关于x 的不等式()2132343a x a x --->-的解是1x >-,则a =_______________.【解析】 0.原不等式⇔231124433a x a x -⎛⎫--> ⎪⎝⎭232114343a x a -⎛⎫⎛⎫⇔->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24131a x a ⇔+>-∴231141410a a a ⎧-=-⎪+⎨⎪+>⎩,解得43a =-(舍去)或0a =.19.当a 分别取2,1,0,1,2,3,,97--这100个数时,关于x 的分式方程212(1)1232a a x x x x +-=---+有解的概率是_______________.【解析】 4950.2112(1)1232a x x x x +-=---+()()()2221213232x a x a x x x x -+-+⇔=-+-+()2134320a x a x x ⎧+=+⎪⇔⎨-+≠⎪⎩ ∴当()1134a a +⋅=+和()1234a a +⋅=+以及()134a x a +=+无解时原方程无解, 即2a =-和1a =-时原方程无解. 因此方程有解的概率为4950.20.十位数2010888abc 能被11整除,则三位数abc 最大是______________.【解析】 990.()()218800811b a c k ++++-++++=,∴b a c --能整除11∴而9abc bc ≤,此时9b c --能整除11,∴三位数abc 最大是990.(注:能被11整数的自然数的特点是:奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的整数倍) 三、B 组填空题(每小题8分,共40分)21.一个矩形的长与宽是两个不相等的整数,它的周长与面积的数值相等,那么这个矩形的长与宽分别是______________和______________.【解析】 6,3.设长和宽分别为x 、y ,则()2x y xy +=,即()()224x y --= 因为x y ≠,∴24x -=,21y -=,于是长和宽分别为2和1.22.用[]x 表示不大于x 的最大整数,如[][]414253=-=-.,..则方程[]6370x x -+=的解是______________或______________.【解析】 196x =-;83x =-. ∵[]673x x +=,而[]1x x x -<≤,∴()31673x x x -<+≤,解得10733x <-≤-.因此13677x -<+-≤,∴67x +的可能取值为12-和9-,解得196x =-和83x =-. 经验证,这两个解均为原方程的解.23.As in figure 2,in a quadrilateral ABCD ,we have its diagonal AC bisects DAB ∠,and21910AB AD BC DC ====,,,then the distance from point C to line AB is______________,and the length of AC is________________. (英汉词典:quadrilateral 四边形:bisect 平分)Fig 22191010D C BAEDCBA【解析】 8;17.如图,过D 作AC 的垂线,交AB 于E ,连结CE ,则AD AE =,CD CE = 于是CEB △中,10CE CD BC ===,12BE AB AE =-=, 因此容易算得等腰三角形△CEB 底边上的高为8.∴22218912642252892AC ⎛⎫=++⋅=+= ⎪⎝⎭,17AC =.24.如图3,Rt ABC △位于第一象限内,A 点的坐标为(1,1),两条直角边AB AC 、分别平行于x轴、y 轴,43AB AC ==,,若反比例函数(0)ky k x=≠的图象与Rt ABC △有交点,则k 的最大值是____________,最小值是______________.【解析】 36148;1.当反比例函数的图象过A 点时k 最小,为1; 当反比例函数的图象与BC 相切时k 最大,此时∵()5,1B ,()1,4C ,直线BC 的方程为31944y x =-+∴方程2319044x x k -+-=的判别式3613016k -=,解得36148k =. 25.设011n A A A -,,,依次是面积为整数的正n 边形的n 个顶点,考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形,如四边形3446A A A A 、七边形2101234n n A A A A A A A --等,如果所有这样的凸多边形的面积之和是231,那么n 的最大值是_________________,此时正n 边形的面积是_____________.【解析】 23;1.设正n 边形的面积为n S ,则∵正n 边形的对角线共有()112n n -条,∴所有满足条件的凸边形共有()1n n -个,它们的面积之和为()112n n n S -⋅∴()146223711n n n S -==⋅⋅⋅ ∴711n n S =⎧⎨=⎩或231nn S =⎧⎨=⎩,于是n 的最大值是23,此时正n 边形的面积是1.第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛答案第二 第1试1.答案 (1)选择题(2)A 组填空题(3)B 组填空题。
第26届希望杯初二第1试试题word版及详细解答
第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试试题2015年3月15日上午8:30至10:00一、选择题(每小题4分,共40分)1.若a+b=10,ab=24,则a²+b²的值是()(A) 48 (B)76 (C)58 (D)522.若一次函数y=x+5的图像经过点P(a,b)和Q(c,d),则ad+bc-ac-bd的值是()(A) 9 (B)16 (C)25 (D)-253.已知为的平方根,则满足此关系的x的值得个数是()(A) 4 (B)3 (C)2 (D)14.Suppose a is an integer ,solutions to the equation ax+5=4x+1 are positive integers. Then thenumber of a is( )(A) 2 (B)3 (C)4 (D)55.在菱形ABCD中,若∠DAB=60°,AC=12,则菱形对角线交点到各边的距离之和是()(A) 3 ( B)4 (C)(D)126.如图1所示,点M,N,P,Q分别是边长为1的正方形ABCD各边的中点,则阴影部分的面积是()(A) (B)(C)(D)7.如图2所示,字母A到G分别代表1到7中的一个自然数,若A+G+D,B+G+E,C+G+F分别被3除,都余1,则G是()(A) 1或4 (B) 1或7(C ) 4或7 (D) 1或4或78.下列说法:①平行四边形包含矩形、菱形和正方形②平行四边形是中心对称图形③平行四边形的任一条角平分线可把平行四边形分成两个全等的三角形④平行四边形两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形其中正确说法的序号是( )(A) ①②④(B) ①③④(C ) ①②③(D) ①②③④9.有一列数:10,2,5,2,1,2,x,(x是正整数),若将这列数的平均数、中位数及众数依照大小次序排列,恰好中间的数是左、右两个数的平均数,则x可能取得值得和是()(A) 3 (B)9 (C)17 (D)2010.对于自然数m,如果m能够整除1³2³²²²³(m-1),那么称m为“公除数”,则4到20(包括4和20)的自然数中,“公除数”的个数是()(A) 9(B) 10(C ) 11(D) 12二、A组填空题(每小题4分,共40分)11.若,,则12.已知a,b都是有理数,且,则a+b=_____________13.已知a+b+c=1.14.已知m,n是实数,且当x>2015时,15.设a,b,c都是正整数,且1<a<b<c,abc=2015,那么16.若关于x,y的方程组与方程组的解相同,则a+b=___________17.As shown in the Fig.3,B and C are points on AD in △AED. AB=CD,EB=EC=10,BC=12.The perimeter of △AED is twice the perimeter of △EBC. Then .( S△AED represents the area of △AED, S△EBC represents the area of △EBC).(英汉小词典;perimeter 周长,area 面积)18.若19.如图4所示,四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,且AB=21,AD=9,BC=DC=10,则AC=_______20.已知三、B组填空题(每小题8分,共40分)21.若xy>0,则点(x,y)在直角坐标系中位于第_____象限或第_____象限22.已知,则x+y的值等于______或_________23.如图5所示,C在线段AB上,在AB的同侧作等边△ACM和△BCN,连接AN,BM.若∠MBN=38°,则∠AMB=_____度,∠ANC=_______度24.下面是一个按某种规律排列的数阵:根据数阵排列的规律,第5行从左向右第5个数位________,第n(n≥3,且n是整数)行从左向右第5个数是_____(用含n的代数式表示)25.长为的三条线段可以构成三角形,则自然数n=_____或________.答案详细解析2015年3月15日上午8:30至10:00三、选择题(每小题4分,共40分)1.若a+b=10,ab=24,则a²+b²的值是()(A) 48 (B)76 (C)58 (D)52解析:因为(a+b)²=a²+b²+2ab,代入得10²=a²+b²+48,a²+b²=100-48=52这是完全平方公式(a+b)²=a²+b²+2ab 公式得变式应用,把a+b ,a²+b²,ab 看做一个整体,知道其中2个求第三个式子都可以,只要把其中2个值代入即可求得,这是数学的整体思想。
第20届希望杯初二第1试试题及答案
初二年级 第1试一、选择题(以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.)1.在一次视力检查中,初二(1)班的50人中只有8人的视力达标,用扇形图表示视力检查结果,则表示视力达标的扇形的圆心角是( )A .64.8︒B .57.6︒C .48︒D .16︒2.如图1,点B 在反比例函数k y x=的图像上,从点B 分别作x 轴、y轴的垂线,垂足分别是A ,C .若ABC △的面积是4,则反比例函数的解析式是( ) A .8y x =-B .8y x =C .4yx=-D .4yx=3.如果22a ab b ++=,且b 是有理数,那么( )A .a 是整数B .a 是有理数C .a 是无理数D .a 可能是有理数,也可能是无理数4.复印纸的型号有01234A A A A A ,,,,等,它们有如下的关系:将上一个型号(例如3A )的复印纸在长的方向对折后就得到两张下一个型号(得到4A )的复印纸,且各种型号的复印纸的长与宽的比相等,那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为( )A .1.414:1B .2:1C .1:0.618D .1.732:15.The number of integer solutions for the system of inequalities 2321x a x -⎧⎨->-⎩,≥0about x is图1yxO CBAjust 6,then the range of value for real number ais ( )A . 2.52a -<-≤B . 2.52a --≤≤C .54a -<-≤D .54a --≤≤(英汉词典:integer solution 整数解,system of inequalities 不等式组,the range of value取值范围)6.若分式232x x --的值是负数,则x 的取值范围是( ) A .223x <<B .23x >或2x <- C .22x -<<且23x ≠D .223x <<或2x <-7.在100到1000的整数中(含100和1000),既不是完全平方数,也不是完全立方数的数有 ()A .890个B .884个C .874个D .864个8.如图2,在正方形ABC D中,E 是D C 的中点,点F 在BC 上,E AF D A E ∠=∠,则下列结论中正确的( )A .EAF FAB∠=∠B .13FC BC=C .AF AE FC =+D .AFBC FC=+9.计算:()()233211471147++-,结果等于() A .58B .387C .247D .32710.已知在代数式2a bx cx ++中,a b c ,,都是整数,当3x =时,该式的值是2008;当7x =时,该式的值是2009,这样的代数式有( ) A .0个B .1个C .10个D .无穷多个二、A 组填空题11.某地区有20000户居民,从中随机抽取200户,调查是否已安装电话,结果如右表所示,则该地区已安装电话的户数大约是________________.图2F E DCBA12.若2145212x x +-=-,则2645x x -+的值等于______________.13.不等式12x x->的最大整数解是_______________.14.已知m 是整数,以4521m m +-,,20m -这三个数作为同一个三角形三边的长,则这样的三角形有__________________个. 15.当x 依次取1,2,3,…,2009,11112342009 ,,,,时,代数式221xx+的值的和等于___________. 16.由一次函数22y x y x =+=-+,和x 轴围成的三角形与圆心在点(11),、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于_____________. 17.在R t ABC △中,90C ∠=︒,斜边AB上的高为h ,则两条直角边的和a b+与斜边及其高的和c h+的大小关系是a b +___________c h +.(填“)”、“〈”或“=”)18.Figure 3 is composed of squareABC Dand triangleBEC,where BEC ∠ is a right angle,Suppose the lengthof C Eis a ,and the length of BEis b ,then the distance between point Aand lineC Eequals to _______________.(英汉词典:be composed of 由……组成,right angle 直角,length 长度,distance 距离) 19.如图4,在ABC △中,A BB C>,BD 平分ABC ∠,若BD 将ABC△的周长分为4:3的两部分,则ABD △和D B C △的面积之比等于_____________.20.将n 个棋子放入10个盒子内,可以找到一种放法,使每个盒子内都有棋子,且这10个盒子内的棋子数都不相同.若将()1n +个棋子放入11个盒子内,却找不到一种放法,能够使每个盒子内都有棋子,并且这11个盒子内的棋子数都不相同.则整数n 的最大值等于_____________,最小值等于_______________. 三、B 组填空题EDCBAFigure 3图4D CBA21.如果自然数a 和()b a b >的和、差、积、商相加得27,那么a =______________,b=____________.(拟题:李国威 上海市青浦区教师进修学院 201700)22.若a b c b cc aa b==+++,则223a b c a b c +++-=_____________或______________.23.若以x 为未知数的方程212(1)1232aa x xx x +-=---+无解,则a =__________或___________或________________.24.对于正整数k ,记直线111k yx k k =-+++与坐标轴所围成的直角三角形的面积为k S ,则kS =___________,1234S S S S +++=___________________.25.将1111234100,,,,这99个分数化成小数,则其中的有限小数有____________个,纯循环小数有________________个(纯循环小数,是从小数点后第一位开始循环的小数)参考答案一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BACAADCDBA提 示1.周角为360︒,对应全体学生,则表示视力达标的扇形的圆心角为836057.650⨯︒=︒,选B .2.点()B x y ,在第四象限,所以00x y ><,,且满足k y x=,即xy k =<,ABC△的面积12ABCS xy =,△由已知得1482xy xy ==,,则8k xy ==-,所以批比例函数的解析式是8y x =-,选A .3.由题目条件得()()()()()22221312221212121bb b b b a b b b b ---+-===-++-=()2221232121b b b b +---,因为b 是有理数,则2321bb -和22121b b +-也都是有理数,而2是无理数,所以a 是无理数.选C .4.设3A 型号的复印纸长为x ,宽为y ,对折后得到4A 型号的复印纸长为y ,宽为2x,由题意得2x y x y=,即222x y=,所以 :2:1 1.414:1x y =≈,选A5.译文:关于x 的不等式组20321x a x -⎧⎨->-⎩,≥的整数解恰好有6个,那么实数a 的取值范围是()A . 2.52a -<-≤B . 2.52a --≤≤C .54a -<-≤D .32a -<-≤解 解20x a -,≥得2x a ≥;解321x ->-,得2x <, 所以不等式组的解是22a x <≤,由题意知不等式组恰好有6个整数解,所以这6个整数解应为 -4,-3,-2,-1,0,1, 所以 524a -<-≤,解得 2.52a -<-≤,选A .6.由题意,分式232x x --的值为负,则2x -和32x -异号.当320x ->,即23x >时,应当有202x x -<<,,解得22x -<<,又23x >,所以 223x <<;当320x -<,即23x <时,应当有202x x ->>,,解得2x >或2x <-,又23x <,所以2x <-.综上可知,x 的取值是范围是223x <<或2x <-,选D .7.解法1 用()A n 表示不大于n 的非零自然数中既不是完全平方数也不是完全立方数的数的个数. 由于36999104100010310004<<<=<<,,,所以 (99)99(942)88A =-+-=. 由于3631100032100010310004<<=<<,,,所以 (1000)1000(31103)962A =-+-=故有(1000)(99)96288874A A -=-=.即在100到1000的整数中(含100和1000),既不是完全平方数也不是完全立方数的数有874个,选C .解法2 因为2221001031100032=<<,,所以在100到1000之间的完全平方数有222210111231 ,,,,,共22个, 又因为33341005100010<<=,,所以在100到1000之间的完全立方数有333356910 ,,,,共6个, 其中3629327==即是完全平方米,也是完全立方数.所以,在100到1000的整数中(含100和1000),既不是完全平方数也不是完全立方数的数有901-22-6+1=874(个),选C .8.如图5所示,从点E 作EG AF⊥,垂足为G .在R t D AE △和R t G AE△中,AE AE DAE EAG=∠=∠,,所以 D AE G AE≅△△,所以AG AD BC EG ED EC====,,AEDAEG∠=∠.GABCDE F图5又在R t EFG △和R t EFC △中,EF EF EG EC ==,,所以 EFG EFC≅△△,FC GF FEG FEC =∠=∠,,所以 AF AG G F BC FC=+=+,D 选项正确.又AEAD BC>=,可知AFAE FC<+,C 选项错误.由AED AEG FEGFEC∠=∠∠=∠,,且这四个角之和等于180︒,所以 90AEF ∠=︒.令1AB =,在R t AFE △中,22254AE AD DE =+=,所以 225(1)4G F EF-=+, ①在R t EFC △中,222214EFEC FC FC=+=+ ②①+②,并由G FFC=得14FC =,故14FC BC =,B 选项错误.据此可知FAB DAE FAB EAF ∠≠∠∠≠∠,,A 选项错误. 故选D . 9.原式=()()3322227227272272+⨯++-⨯+=()()3322227272⎡⎤⎡⎤++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=()()337272++-=()()()()3232223737237273723722+⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯-=277674387⨯+⨯=,选B .10.当3x=时,392008a b c ++=, ①当7x =时,7492009a b c ++=. ② ②-①,得4401b c +=.当b c ,都是整数时,上式左边总为偶数,不可能等于1.所以不存在这样的代数式,选A . 二、A 组填空题 题号 11 12 1314 1516 17 1819 20 答案 950073x =-2120082π42+<a b+4:364:55提 示11.抽取的200户居民中,已经安装电话的有60+35=95(户),则该地区的20000户居民中,已经安装电话的大约有95200009500200⨯=(户) 12.因为2145212x x +-=-, 所以 2211470x x --=,即23210x x --=,所以 ()22645232177x x x x -+=--+=. 13.由12x x->得21x x ->, 即()121x ->,因为 120-<,所以()121 2.41412x <=-+≈--,所以 原不等式的最大整数解是3x =-. 14.由450210200m m m +>->->,,,解得1202m <<, 因为m 是整数,所以 119m ≤≤,又由“三角形两边之和大于第三边”得452120452021212045m m m m m m m m m ++->-⎧⎪++->-⎨⎪-+->+⎩,,, 解得2272624.3m m m ⎧>⎪⎪>-⎨⎪⎪<⎩,,得222473m <<,因为m 是整数,所以只能取34,. 当3m =时,三角形三边的长分别是17517,,;当4m=时,三角形三边的长分别是21716,,.故满足题意的三角形共有2个. 15.当a 为实数时,把x a =与1x a=分别代入代数式221xx+中,得到的两个值的和是222222211111111aaa aaaa+=+=++++,所以,若将11112320092342009x = ,,,,,,,,代入代数式221xx+中求值,得到的所有值的和是2008,又当1x =时,22112xx=+所以,得到的所有代数式的值的和等于120082.16.由一次函数22y x y x =+=-+,和x 轴可以确定三条直线,每两条直线相交于一点,共得三个点(0,2)(-2,0),(2,0),它们构成了一个三角形,这个三角形的面积为4. 由于点(1,1)在直线2y x =-+上,所以圆的一半与三角图6yx(2,0)(1,1)(0,2)(0,0)(-2,0)形重叠,如图6所示.所以,所求图形的面积为21π4π1422+⨯⨯=+.17.因为ABC △是直角三角形,所以222a b c+=,又1122ABC S ab ch==△,所以 ab ch=则()()2222222222a b a ab b c ch c ch h c h +=++=+<++=+,所以 a b c h+<+18.译文:图3由正方形ABC D 和三角形BEC 构成,其中BEC ∠是直角,记C E 的长为a ,BE 的长为b ,则点A 到直线C E 的距离等于___________________. 解 如图7所示,从点A 作AF CE ⊥,交线段C E 于点F ,交线段BC 于点H ;从点B 作BGAF⊥交AF 于G ,则四边形B E F G 是矩形,G FBE b==.因为 90BAG BH A ∠=︒-∠,90BC E C H F∠=︒-∠, 又BH A C H F∠=∠, 所以 BAG BC E∠=∠.在R t ABG △与R t C BE △中,90BAG BCE AB CB AGB BEC ∠=∠=∠=∠=︒,,所以 ABG CBE AG CE a ≅==,△△,所以 AF AG G F a b===+19.如图8所示,作DE AB⊥于E ,D FBC⊥于F .因为BD是ABC ∠的平分线,GHF图7ABCDEF EBDE AB DF BC⊥⊥,,所以 DE DF=,则11:::22ABD D BC S S A B D EB C D E A B B C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△又 ::ABD DBC S S AD CD=△△,所以:():()4:3ABD DBC S S AB AD BC CD =++=△△.20.由题意,将n 个棋子放入10个盒子中,可以找到一种放法,使每个盒子内都有棋子,且这10个盒子内的棋子数都不相同,按最少的放法,盒子内依次放入1,2,3,…,10个棋子,即至少需要1+2+3+…+10=55(个)棋子,所以55n ≥.同理,将1n +个棋子放入11个盒子内,找不到一种放法,使每个盒子内都有棋子,并且这11个盒子内的柜子数都不相同,则11231166n +<++++= ,即65n <.综上,得5565n ≤≤,取5564n ≤≤. 三、B 组填空题题号 21 22 232425答案 6;2-5;14-2;32-;1-12(1)k k +;2514;39提 示21.将两数a 和b 的和、差、积、商相加得27,因为27是整数,所以a 必是b 的整数倍,设a kb=(k 是整数),则有227kb b kb b kb k ++-++=,化简得2227kb kb k ++=,222(1)33271k b +=⨯=⨯,则 326k b a ===,,,或2700k b a ===,,(不符合题意,舍去).所以 326k b a ===,,.22.令 a b ckb cc aa b===+++.当0a b c ++≠时,()122a b ck a b c ++==++,所以()12c a b =+,()()()()1222251332a b a b a b c a b ca b a b +++++==-+-+-⋅+.当0a b c ++=时,()c a b =-+, 所以()()()()2221334a b a b a b c a b ca b a b +-+++==+-+++.23.当10x -≠且20x -≠时,将原方程去分母得()()()2121x a x a -+-=+,整理得 ()134a x a +=+, 当1a≠-时,原方程的解为341a x a +=+.由于原方程无解,那么可能的情况是1a =-或求得的根是增根.当增根是1x =时,即 3411a a +=+,解得32a =-;当增根是2x =时,即 3421a a +=+,解得2a=-,所以a 的值为32-或-2或-1.24.直线111k yx k k =-+++与横轴的交点坐标为10k ⎛⎫⎪⎝⎭,,与纵轴的交点坐标为101k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,,所以该直线与坐标轴所围成的直角三角形的面积是()121k S k k =+,所以该直线与坐标轴所围成的直角三角形的面积是()()112321kS k n k k ==+ ,,,,.123411111212233445S S S S ⎛⎫+++=+++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭=11111111122233445⎛⎫-+-+-+- ⎪⎝⎭=25.25.⑴若p 为正整数,且1p是有限小数,则p 可以写成25mn⋅(m n ,是自然数)的形式.其中若0n =,则22100m ≤≤,得123456m =,,,,,.即248163264p =,,,,,共6个;若1n =,则1220m ≤≤,得01234m =,,,,,即510204080p =,,,,共5个; 若2n =,则124m ≤≤,得012m =,,,即25p =,50,100共3个; 若3n ≥,则不存在合理的m 的值. 所以可以化为有限小数的分数共有6+5+3=14(个).(2)若p 为正整数,且1p是纯循环小数,则p 的质因数一定没有2或5.在2到100的整数中,质因数含有2的数有50个,质因数含有5的数有20个,质因数同时含有2和5的数有10个,所以从2到100这99个整数中,质因数中不含有2且不含有5的整数有99-50-20+10=39(个)。