山东省济南市山东建筑大学电气工程及其自动化07-08代数B+答案

2007-2008学年第二学期线性代数试题（B 卷）
一、单项选择题（每小题4分，本大题共20分）
1. 行列式0
010213
21=A 的值为( )
(A) 1 ； (B) 2 ； (C) 0 ； (D) -6.
2. 设A ,B 为n 阶方阵，则下列式子成立的是（ ） （A ）||||||B A B A +=+； （B ）111)(---+=+B A B A ； （C ）||||||B A AB ⋅=； （D ）BA AB =.
3．当=λ（ ）时，方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧-=---=+=-+4
)3)(2)(1(2212332321λλλλx x x x x x 有唯一解. (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4.
4．设1ξ,2ξ是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，则以下结论正确的是（ ） (A)12ξξ+是λ对应的特征向量； (B) 22ξ是λ对应的特征向量； (C) 1ξ,2ξ一定线性相关； (D) 1ξ,2ξ一定线性无关. 5. 设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）
(A) 2||A 必为1；
(B) |A|必为1；
(C) 1A -=T A ； (D) A 的行（列）向量组是正交单位向量组.
二、填空题（每小题4分，本大题共20分）
1. 设矩阵200020002A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则行列式12A -= .
2．矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-θθθθcos sin sin cos 的逆矩阵为 .
3、若n 元齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩为r ，且n r <，则方程组的基础解
系中有 个解. 4．设3阶矩阵A 的特征值为1，3，5，则A 的行列式|A |等于 .
5．当t 满足 时，二次型 22
1212
12(,)2f x x x x tx x =++是正定的.
三、（本题10分）计算4阶行列式11
223344
00000000a b a b D b a b a =
.
四、（本题10分）解矩阵方程 B X AX +=2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=410110004A ，
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=321163B .
五、（本题12分） 求线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=--+=+-+=+-+1
222241
2432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.
六、（本题12分）.
求三阶方阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=163053064
A 的特征值与特征向量，并判断A 是否与对角形矩阵相似？
七、（本题8分）
求向量组 )1,3,1,1(1=α，)3,1,1,1(2--=α，)9,8,2,5(3--=α，
)7,1,3,1(4-=α的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示. 八、（本题8分） 证明：向量组121,,,(0)s αααα≠线性相关的充分必要条件是至少有一个
(1)i i s α<≤可由向量组121,,,i ααα-线性表示.
2007-2008学年第二学期线性代数试卷B 参考答案和评分标准
一、单项选择题（每小题4分，本大题共20分） 1. D. 2. C. 3．D. 4．B. 5. B 二、填空题（每小题4分，本大题共20分）
1. 1. 2．⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-θθ
θθ
cos sin sin cos . 3、r n -. 4．15. 5．11t -<<. 三、（本题10分）计算4阶行列式11223344
00000000a b a b D b a b a =
解：0
000
00
0033221
44
33221a b b a b b a a b b a a D -= ………………………………（3分）
142323142323()()a a a a b b b b a a b b =---………………………………….…（6分） ))((32324141b b a a b b a a --=……………………………………………..（10分）
四、（本题10分）解矩阵方程B X AX +=2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=410110004A ，⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-=321163B .
解. 因为2002011012A E ⎛⎫
⎪
-=-- ⎪ ⎪⎝⎭
……………………………………….…..（3分）
求得其逆矩阵为()1
1
0220
21011A E -⎛⎫ ⎪ ⎪
-=-- ⎪ ⎪
⎪⎝⎭…………………………….…（7分） 于是所求的矩阵()B I A X 1
2--= =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--2314323……………………………（10分）
五、（本题12分） 求线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=--+=+-+=+-+1
2222412432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.
解
(1) B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-00000010002/102/12/11 …………………
（2分） 所以原方程组等价于 1
2322334111222
x x x x x x x x ⎧
=-++⎪⎪⎪
=⎨⎪=⎪=⎪⎩………………………………（5分）
取231,0x x ==得141
,02x x =-=;………………………………………….…（7分）
取230,1x x ==得141
,02x x ==.………………………………………………（9分）
因此通解为121234111222100010000x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(k 1, k 2为任意常数)。

……..（12分） 六、（本题12分）.
求三阶方阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=163053064A 的特征值与特征向量，并判断A 是否与对角形矩阵相似？
解.A 的特征方程为1
6
3
05
30
64
||-+--=
-λλλλA E =0)1)(2(2=-+λλ，…..（2分）
故A 的特征值为21-=λ，132==λλ. ……………………………………….（5分） (1) 对于特征值21-=λ，
属于特征值2-的全部特征向量为,111⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-k (0≠k ).…………….…………..（7分）
(2) 对于特征值132==λλ，
属于特征值1的全部特征向量为,10001221⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k (21,k k 不全为零).……….（9分）
因此A 与对角形矩阵相似. .…………….……………………………….（12分） 七、（本题8分）
求向量组 )1,3,1,1(1=α，)3,1,1,1(2--=α，)9,8,2,5(3--=α，
)7,1,3,1(4-=α的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
解. 把向量4321,,,αααα按列排，进行初等行变换，化简为
()⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=79311
813321115114321αααα ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-→00
00002271012301……….………（2分） 因此21,αα为一个极大线性无关组 …………………………………….…（4分）
且 2132
7
23ααα-= ……………………………….……..…....（6分）
2142ααα+= ……………………………………………….（8分）
八、（本题8分） 证明：向量组121,,
,(0)s αααα≠线性相关的充分必要条件是至少有一个
(1)i i s α<≤可由向量组121,,
,i ααα-线性表示.
证明：“必要性”： 向量组121,,
,(0)s αααα≠线性相关，即存在不全为零的常数12,,
,,s k k k 使11220,s s k k k ααα++
=……….…………….…..…（2分）
则有0i k ≠,而0(),j k j i =>(1)i s <≤, 从而
1
12121i i i i i
i
k k k
k k k αααα--=-
---
……….………………………....…（4分） “充分性” : 设i α可由向量组121,,,i ααα-线性表示,
则向量组121,,,,i i αααα-线性相关，……….…………………………….…（6分） 从而向量组12,,,s ααα线性相关. ……………………..………………..（8分）。