高中数学必修5基本不等式练习题
新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析),强列推荐
2x
(8
Байду номын сангаас
2 x)
8 为定值，故只需将
y
x(8 2 x) 凑上一个系数即可。
当
，即 x ＝ 2 时取等号
当 x ＝ 2 时， y
x(8 2 x) 的最大值为 8 。
变式：设 0
x
3 2
，求函数 y
4 x( 3
2 x) 的最大值。
2
解：∵ 0
x
3 2
∴3
2x
0 ∴y
4 x( 3 2 x)
2 2 x( 3 2 x)
f ( x)
x
a x
的单
y
x
2 2
5 4
的值域。
x
解：令
x
2
4
t (t
2) ，则 y
1 t
x
2 2
5 4
x
2
4 x
1
2
t 4
1 t
(t
2)
x 因t
0, t t
1 t 1 t
1 ，但 t
在区间
解得 t
1 不在区间 2,
，故等号不成立，考虑单调性。
因为 y
1,
5 2
单调递增，所以在其子区间
2,
为单调递增函数， 故 y
y
4x 2
1 4x 5
5 4x
1 5 4x
3
2 3 1
4x
1 5 4x
，即 x
1 时，上式等号成立，故当
x
1 时， ymax
1。
技巧二：凑系数 例： 当 解析：由 时，求 y 知，
x(8 2 x) 的最大值。
，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，
高中数学基本不等式 同步练习(一)新人教版必修5(A)
基本不等式 同步练习(一)选择题1、下列函数中，最小值为4的函数是（ ）A 、x x y 4+=B 、)0(sin 4sin π x xx y += C 、x x e e y -+=4 D 、81log log 3x x y +=2、已知正数y x ，满足194=+yx ，则xy 有（ ） A 、最小值12 B 、最大值12 C 、最小值144 D 、最大值1443、设*N n z y x ∈， ，且zx n z y y x -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、54、一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地间铁路线长为400 km ，为了安全，两列货车间的间距不得小于220⎪⎭⎫ ⎝⎛v km ，那么这批货物全部运到B 市最快需要（ ）A 、6 hB 、8 hC 、10 hD 、12 h5、若)2lg()lg (lg 21lg lg 1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=，，， ，则（ ） A 、Q P R B 、R Q P C 、R P Q D 、Q R P6、若a ，b 是任意实数，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．22a b >B ．1>ab C ．1<ba D ．0)(3>-ab 7、Rc b a ∈,,且b a >，则下列各式中恒成立的是（ ）A ．c b c a ->+B ．bc ac >C ．02>-ba c D ．0)(2≥-cb a 8、若b a >、dc >，那么（ ）A ．d b c a ->-B ．bd ac >C ．c b d a ->-D ．cd b a > 9、给定0>>b a ，R d ∈，下列各式中不正确的是（ ）A ．2b ab >B ．c b c a +>+C ．b a >D ．bc ac >解答题10．已知0,0,0>>>c b a ，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．11．已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：)()()()(2222222b a c a c b c b a c b a +++++>++．12．已知a ，b ，c 都是正数，且1=++c b a ，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---．答案：1、C2、C3、C4、B5、B6、D7、D8、C9、D10、证明略 11、证明略 12、证明略。
高中数学：基本不等式(含答案)
高中数学：必修5 基本不等式一、基础知识1．重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )一般地，对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当______________时，等号成立．2．基本不等式如果a ＞0，b ＞0，那么2a bab +≤，当且仅当______________时，等号成立． 其中，2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．基本不等式的证明（1）代数法：方法一 因为a ＞0，b ＞0，所以我们可以用a ，b 分别代替重要不等式中的a ，b ，得22()()2a b a b +≥⋅，当且仅当a b =时，等号成立．即2a bab +≥( a ＞0，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 方法二 因为2222()()2()0a b ab a b ab a b +-=+-=-≥， 所以20a b ab +-≥，即2a b ab +≥，所以2a bab +≤． 方法三 要证2a bab +≥，只要证2a b ab +≥，即证20a b ab +-≥，即证2()0a b -≥，显然2()0a b -≥总是成立的，当且仅当a ＝b 时，等号成立．（2）几何法：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD ．易证Rt Rt ACD DCB △∽△，则CD 2＝CA ·CB ，即CD ＝______________．这个圆的半径为2a b +，显然它大于或等于CD ，即2a bab +≥，当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．2a bab +≤的几何意义：半径不小于半弦．4．重要不等式和均值不等式的常用变形公式及推广公式（1）2b a a b +≥(a ，b 同号)；2b aa b +≤-(a ，b 异号)． （2）12a a +≥(a ＞0)；12a a+≤-(a ＜0)． （3）114a b a b +≥+(a ＞0，b ＞0)；22a a b b≥-(a ＞0，b ＞0)．（4）222a b ab +≤，2()2a b ab +≤，4ab ≤a 2＋b 2＋2ab ，2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(,)a b ∈R ． （5）12212(,,,,2)nn n a a a a a a a n n n+++≥∈≥∈R N ,．（6）2121212111()()(,,,n n na a a n a a a a a a ++++++≥为正实数，且2)n n ≥∈N ,．5．均值不等式链若a ＞0，b ＞0，则2112a b a b+≤≤≤+，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中211a b +分别叫做a ，b 的调和平均数和平方平均数．6．最值定理已知x ＞0，y ＞0，则若x＋y 为定值s ，则当且仅当x ＝y 时，积xy 有最大值24s (简记：和定积最大)； 若xy 为定值t ，则当且仅当x ＝y 时，和x ＋y有最小值简记：积定和最小)．参考答案：重难易错点：一、利用基本不等式判断不等式是否成立要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件．例1.（1）设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f )，q ＝()2a b f +，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是 A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q（2）给出下列不等式：①12x x +≥；②1||2x x+≥；③21(0)4x x x +>>；④1sin 2sin x x +≥；⑤若0＜a ＜1＜b ，则log a b ＋log b a ≤－2．其中正确的是______________． 【答案】（1）B ；（2）②⑤．【点析】基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等．一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换（利用基本不等式可将整式和根式相互转化），使其中的不等关系明晰即可解决问题．二、利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的一般思路：先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有其他条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．例2.（1）已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：222a b c a b c b c a++≥++；（2）已知a ＞b ，ab ＝2，求证：224a b a b+≥-．观察a－b，a2＋b2，可联想到通过加减2ab的方法配凑出(a－b)2，从而化为可使用基本不等式的形式，结合ab ＝2可使问题得到解决．三、利用基本不等式求最值（1例3.（1）已知f(x)＝x＋1x＋2(x＜0)，则f(x)有A．最大值为4B．最小值为4 C．最小值为0 D．最大值为0（2）已知0＜x＜4，则x(4－x)取得最大值时x的值为A．0 B．2 C．4 D．16（3）已知函数f(x)＝2x(x＞0)，若f(a＋b)＝16，则f(ab)的最大值为_______________；（4）已知a，b∈R，且ab＝8，则|a＋2b|的最小值是_______________．【答案】（1）D；（2）C；（3）16；（4）8．【点析】利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备．（2使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等．例4.（1）已知x＞0，则函数y＝231x xx++的最小值为_______________；（2）若x＞1，则函数y＝11xx+-的最小值为_______________；（3）若0＜x＜125，则函数y＝x(12－5x)的最大值为_______________．（31”的替换，或构造不等式求解．例5.（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则11a b+的最小值为_______________；（2）已知a＞0，b＞0，11a b+＝2，则a＋b的最小值为_______________；（3）若正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，则xy的最小值是_______________；（4）已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值是_______________． 【答案】（1）4；（2）2；（3）9；（4）2．【点析】在构造不等式求最值时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用．例如，当a ＞0，b ＞0时，a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤222a b +；2a b+≥ab 逆用就是ab ≤2()2a b +等．还要注意“添项、拆项、凑系数”的技巧和等号成立的条件等．四、基本不等式在实际中的应用利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型2bax ab x+≥(a ＞0，b ＞0，x ＞0)上靠拢． 例6.如图，要规划一个矩形休闲广场，该休闲广场含有大小相等的左右两个矩形草坪（如图中阴影部分所示），且草坪所占面积为18 000 m 2，四周道路的宽度为10 m ，两个草坪之间的道路的宽度为5 m ．试问，怎样确定该矩形休闲广场的长与宽的尺寸（单位：m ），能使矩形休闲广场所占面积最小？【答案】当矩形休闲广场的长为140 m ，宽为175 m 时，可使休闲广场的面积最小．【点析】本题容易出现的思维误区：①未能理清草坪边长与休闲广场边长之间的关系；②求出目标函数后不会运用基本不等式求最值，缺乏必要的配凑、转化变形能力，从而无法利用基本不等式求最值，或者不会利用基本不等式等号成立的条件求变量的取值．五、忽略等号成立的条件导致错误例7、函数22()2f x x =+的最小值为_______________．【错解】2222223211()22222x x f x x x x x +++===++≥+++，所以函数()f x 的最小值为2．【错因分析】错解中使用基本不等式时，等号成立的条件为22122x x +=+，即22x +＝1，显然x 2≠－1，即等号无法取到，函数()f x 的最小值为2是不正确的． 【正解】()21222+++=x x x f ，令()()t t t g t x t 1,2,22+=≥+=.易知函数()tt t g 1+=在[)∞+，2上六、忽略等号成立的一致性导致错误例8、若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则11x y+的最小值为_______________．基本不等式：基础习题强化1．已知01x <<，则(1)x x -取最大值时x 的值为A B C D 2．若实数,a b 满足323a b +=，则84a b +的最小值是A ．B ．4C ．D ．3．若0,0,x y >>且22x y +=，则21x y+的最小值是A ．3BC ．3D ．924．若1a >，则211a a a -+-的最小值是A ．2B ．4C ．1D ．35．已知2212,202b m a a n b a -=+>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是 A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．不能确定6．己知,a b 均为正实数，且直线60ax by +-=与直线()3250b x y --+=互相垂直，则23a b +的最小值为 A ．12B ．13C ．24D ．257．已知0a >，0b >，11a b a b +=+，则12a b+的最小值为A ．4B ．C ．8D ．168．若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围为________________． 9．已知,,a b c +∈R ，且3a b c ++=，则111a b c++的最小值是________________．10．若实数a ，b 满足12a b+=ab 的最小值为________________． 11．设230<<x ，则函数4(32)y x x =-的最大值为________________． 12．已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________________时，22log log (2)a b ⋅取得最大值．能力提升13．已知a ，b 都是正实数，且满足2a b ab +=，则2a b +的最小值为A ．12B ．10C ．8D ．614．已知1,1a b >>，且11111a b +=--，则4a b +的最小值为 A ．13B ．14C ．15D ．1615．已知不等式1)()9ax y x y++≥（对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 A ．8B ．6C ．4D ．216．若正实数,a b 满足1a b +=，则A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14C ．a b +有最大值2D ．22a b +有最小值2217．已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为 A ．4B ．16C ．9D ．318．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为A ．252B ．492C ．12D ．1419．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则111a b c++的最小值为_________________． 20．在4×＋9×＝60的两个中，分别填入一个自然数，使它们的倒数之和最小，则中应分别填入____________和____________．21．若a ，b ，c ＞0且(a ＋c )(a ＋b )＝423-，则2a ＋b ＋c 的最小值为________________． 22．已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是________________．其他23．某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图所示）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米． （1）列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？24．（1）求函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值；（2）已知正数a ，b 和正数x ，y ，若a ＋b ＝10，1a bx y+=，且x ＋y 的最小值是18，求a ，b 的值．25．已知函数2()21,f x x ax a a =--+∈R ．（1）若2a =，试求函数()(0)f x y x x=>的最小值； （2）对于任意的[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立，试求a 的取值范围．26．（天津文理）已知a ，b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_______________． 27．（江苏）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_______________．28．（山东理）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．()21log 2aba ab b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b<+<+ C ．()21log 2a b a a b b +<+<D ．()21log 2a ba b a b +<+< 29．（天津文理）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为________________．30．（江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________________． 31．（山东文）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点（1，2），则2a b +的最小值为________________．【参考答案】1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B8．【答案】[)+∞,9 9．【答案】3 10．【答案】 11．【答案】9212．【答案】4 13．【答案】C 14．【答案】B 15．【答案】C 16．【答案】C 17．【答案】B 18．【答案】A19．【答案】9 20．【答案】6 4 21．【答案】2 22．23．【答案】（1）9003(0150)y x x x=+-<<；（2）长为30米，宽为15米时，所用的钢筋网的总长度最小． 24．【答案】（1）9；（2）28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩． 25．【答案】（1）2-；（2）3[,)4+∞．26．【答案】0.25 27．【答案】9 28．【答案】B 29．【答案】4 30．【答案】30 31．【答案】8。
高中数学必修五：不等式
二.一元二次不等式：
1.已知不等式2kx2 kx 3 0 的解集为R,求k 的范围. 8
2.设函数f (x) x2 (a 4)x 4 2a.(1)对任意x [1,1]， f (x) 0恒成立,求a 的范围；(2)若a [1,1]，f (x) 0恒 成立，求x 的范围.
7
3.(2018浙江)已知函数f
则m 的取值范围为 ___ .
14
3.已知a b c, (a c)( 1 + 4 ) k 恒成立,则k 的 ab bc
范围是 ___ .
4.设正实数x, y, z ,求(x y z)( 1 1) 的最小值. xy z
15
重点类型四：对等取相等
1.已知正数x, y 满足(2a b)2 1 6ab，求 ab 的 2a b 1
11
3.若b，a R，ab 0，则 a4 b4 1的最小值为 ______ . ab
4.已知k
1，a
0，则k 2a2
(k
4 1)a2
的则xy
的最小
值为 ___ .
12
重点类型二：和与积的转化 1.若b 0，a 0，a b 2ab 4 0，则a b 最小值 为 ______ .
3
9
5.若关于x 的不等式(2x 1)2 ax2 的解集中的整数恰 有3个，求实数a 的取值范围.
10
三.基本不等式：
重点类型一：a 与 1 型最值 a
1.若b a，则 b a 1 b a 的最小值为 ______ . ba
2.已知x y 0，且xy 1，求函数 x2 y2 的 最小值为 ___ . x y
1
一.绝对值不等式的求解：
1.(2018全国1)已知函数f (x)= x 1 ax 1 .(1)当a 2 时， 求不等式f (x) 1 的解集；(2)当a 1 时,求f (x) 的最大值； (3)若x (0，1) 时,不等式f (x) x 成立,求a 的取值范围.
人教新课标版数学高一必修5练习 3.4.1基本不等式
第三章 3.4 第1课时一、选择题1．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( )A.25 B ．12C.22D ．1[答案] B[解析] 令t ＝x (t ≥0)，则x ＝t 2， ∴f (x )＝x x ＋1＝tt 2＋1.当t ＝0时，f (x )＝0； 当t >0时，f (x )＝1t 2＋1t ＝1t ＋1t.∵t ＋1t ≥2，∴0<1t ＋1t ≤12.∴f (x )的最大值为12.2．若a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3[答案] C[解析] ∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2， ∴b ＝2－a (0≤a ≤2)，∴ab ＝a (2－a )＝－a 2＋2a ＝－(a －1)2＋1. ∵0≤a ≤2，∴0≤ab ≤1，故A 、B 错误； a 2＋b 2＝a 2＋(2－a )2＝2a 2－4a ＋4 ＝2(a －1)2＋2.∵0≤a ≤2，∴2≤a 2＋b 2≤4.故选C.3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是 ( )A.12 B ．a 2＋b 2 C ．2ab D ．a[答案] B[解析] 解法一：∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜12，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， ∵1＝a ＋b ＞2ab ， ∴ab ＜14，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12，即a 2＋b 2＞12.故选B.解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59＞12＞49＞13，∴a 2＋b 2最大． 4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14[答案] B[解析] 根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B.5．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4[答案] C[解析] 1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝1＋12⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立． 6．已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4[答案] D[解析] 由等差、等比数列的性质得 (a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x y ＋yx ＋2≥2y x ·xy＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4. 二、填空题7．若0<x <1，则x (1－x )的最大值为________． [答案] 14[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0， ∴x (1－x )≤[x ＋(1－x )2]2＝14，等号在x ＝1－x ，即x ＝12时成立，∴所求最大值为14.8．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值是________．[答案] －2[解析] ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋14＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时，等号成立．三、解答题 9．已知x >0，y >0.(1)若2x ＋5y ＝20，求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)若lg x ＋lg y ＝2，求5x ＋2y 的最小值．[解析] (1)∵x >0，y >0，由基本不等式，得2x ＋5y ≥22x ·5y ＝210·xy . 又∵2x ＋5y ＝20， ∴20≥210·xy ， ∴xy ≤10，∴xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y 2x ＋5y ＝20， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2.∴当x ＝5，y ＝2时，xy 有最大值10. 这样u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1. ∴当x ＝5，y ＝2时，u max ＝1. (2)由已知，得x ·y ＝100， 5x ＋2y ≥210xy ＝2103＝2010.∴当且仅当5x ＝2y ＝103，即当x ＝210， y ＝510时，等号成立． 所以5x ＋2y 的最小值为2010.10．求函数y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a 的最小值，其中a >0.[解析] 当0<a ≤1时， y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a≥2，当且仅当x ＝±1－a 时，y min ＝2. 当a >1时，令x 2＋a ＝t (t ≥a )，则有y ＝f (t )＝t ＋1t.设t 2>t 1≥a >1，则f (t 2)－f (t 1)＝(t 2－t 1)(t 1t 2－1)t 1t 2>0，∴f (t )在[a ，＋∞)上是增函数． ∴y min ＝f (a )＝a ＋1a，此时x ＝0. 综上，当0<a ≤1，x ＝±1－a 时，y min ＝2；当a >1，x ＝0时，y min ＝a ＋1a.一、选择题1．设a 、b ∈R ，且ab >0.则下列不等式中，恒成立的是 ( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D ．b a ＋a b≥2[答案] D[解析] a ＝b 时，A 不成立；a 、b <0时，B 、C 都不成立，故选D.2．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是 ( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b [答案] D[解析] 解法一：∵0<a <1,0<b <1， ∴a 2＋b 2>2ab ，a ＋b >2ab ，a >a 2，b >b 2， ∴a ＋b >a 2＋b 2，故选D.解法二：取a ＝12，b ＝13，则a 2＋b 2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．3．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b2[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x ∴A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )，∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，由题设a ＞0，b ＞0. ∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤(1＋a )＋(1＋b )2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b 2，等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．∴选B.4．(2013·山西忻州一中高二期中)a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )(x 、y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1[答案] A[解析] 由已知得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.∴xy ＝x (2－2x )＝2x (2－2x )2≤12×(2x ＋2－2x 2)2＝12，等号成立时2x ＝2－2x ，即x ＝12，y ＝1，∴xy的最大值为12.二、填空题5．已知2x ＋3y ＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．[答案] 6 [解析] 2x ＋3y≥26xy，∴26xy≤2，∴xy ≥6. 6．已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是________．[答案] 1[解析] ∵x ＜54，∴4x －5＜0，y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3＝3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(5－4x )＋15－4x≤3－2＝1，等号在5－4x ＝15－4x，即x ＝1时成立． 三、解答题7．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长． [解析] 设一条直角边长为x cm ，(0<x <10)，则另一条直角边长为(10－x )cm ， 面积s ＝12x (10－x )≤12[x ＋(10－x )2]2＝252(cm 2)等号在x ＝10－x 即x ＝5时成立， ∴面积最大时斜边长L ＝x 2＋(10－x )2＝52＋52＝52(cm)．8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x 台(x 是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析] 设总费用为y 元(y ＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k ，则y ＝3 600x ×400＋k (2000x )，依条件，当x ＝400时，y ＝43 600，可得k ＝5%，故有y ＝1 440 000x ＋100x≥21 440 000x·100x ＝24 000(元)． 当且仅当1 440 000x ＝100x ，即x ＝120时取等号．所以只需每批购入120台，可使资金够用．。
高中数学必修五同步练习题库：基本不等式(选择题：较难)
基本不等式（选择题：较难）1、若正数满足，且的最小值为18，则的值为（）A．1 B．2 C．4 D．92、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点(异于点)，则的最大值为A． B． C． D．3、若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4、若，，，则的最小值是A． B． C． D．5、如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（）A．2 B． C． D．6、若，，，则的最小值是A． B． C． D．7、已知实数满足，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48、如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（）A． B． C． D．9、已知，则的最小值为（）A． B． C． D．10、已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．3 B．4 C． D．11、半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是（）A．2 B．0 C． D．12、抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．1 B． C．2 D．13、抛物线的焦点为F，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）A． B． C． D．14、已知，且满足，那么的最小值为（）A．3﹣ B．3+2 C．3+ D．415、曲线（）在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．16、函数的值域为（）A． B． C． D．17、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点 (异于点)，则的最大值为A． B． C． D．18、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．19、已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．20、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．21、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．22、设且，则的最小值是A． B． C． D．23、已知，则的最小值是A．6 B．5 C． D．24、设正实数满足.则当取得最大值时，的最大值为() A．0 B． C．1 D．325、已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是()A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞)26、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．27、已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为.当时，恒成立.设，记，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．28、已知函数，则不等式成立的概率是（）A． B． C． D．29、在中,角所对的边分别为，若，则当角取得最大值时，的周长为（）A． B． C． D．30、锐角三角形ABC的三边长成等差数列，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．（6，7]31、若，，，则的最小值为（）A． B． C． D．32、在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是抛物线上位于第一象限内的任意一点，是线段上的点，且满足，则直线的斜率的最大值为（）A． B． C． D．33、已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．34、正项等比数列｛a n｝中，存在两项a m，a n（m，n）使得a m a n=16a12，且a7=a6+2a5，则+的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．835、已知圆的半径为1，为该圆上四个点，且，则的面积最大值为（）A．2 B．1 C． D．36、长方体中，,,,点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是( )A． B． C．8 D．37、若直线过点，则的最小值等于（）A．6 B．3 C．7 D．438、若直线和直线相交于一点，将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为，则角就叫做到的角，，其中分别是的斜率，已知双曲线：的右焦点为，是右顶点，是直线上的一点，是双曲线的离心率，，则的最大值为（）A． B． C． D．39、中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A． B． C． D．40、若正数满足则的最小值是（）A． B． C． D．41、已知函数，对任意的，恒成立，则的最小值为（）A．3 B．2 C．1 D．042、已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（）A．8 B．4 C．2 D．143、中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（）A． B． C．6 D．844、圆：和圆：有三条公切线，若，，且，则的最小值为（）A．1 B．3 C．4 D．545、在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的最大值为（）A． B． C． D．46、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．47、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．48、设正实数，满足，，不等式恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．49、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．50、已知函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A．3 B．C．4 D．851、若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．52、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．53、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．54、设均为正实数，且，则的最小值为（）A．4 B． C．9 D．1655、已知是内的一点，且，若的面积分别为，则的最小值为（）A． B． C． D．56、已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数），与圆x+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．4 B．2 C．5 D．857、设，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．58、设，对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（）A． B． C． D．59、已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）.A．2n B．3n C．n2 D．n n60、已知关于的不等式的解集是，且，则的最小值是（）A． B．2 C． D．161、下列推理正确的是()A．如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－cC．若a>0，b>0，则＋≥D．若a>0，b<0，则62、对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1 B．2 C．3 D．463、已知,且,成等比数列,则xy( )A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值64、对于函数y=f(x)(x∈I),y=g(x)(x∈I),若对任意x∈I,存在x0使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0)且f(x0)=g(x0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知f(x)=x2+px+q,g(x)=是定义在区间上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间上的最大值为()A． B．2 C．4 D．65、已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值为()A．5 B．7 C．8 D．966、设第一象限内的点满足约束条件，若目标函数的最大值为40，则的最小值为（）A． B． C．1 D．467、定义域为的函数的图象的两个端点为,是图象上任意一点，其中，向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”. 若函数上“阶线性近似”，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D．68、不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－4,2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)69、已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC外接的球表面积等于()．A．8π B．16π C．48π D．不确定的实数70、在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，则为定值；②用表示两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知三点不共线，则必有.A．②③ B．①④ C．①② D．①②④参考答案1、B2、B3、D4、B5、C6、B7、B8、B9、C10、B11、D12、D13、D14、B15、B16、C17、B18、D19、B20、B21、D22、A23、C24、C25、A26、B27、B28、B29、C30、C31、A32、D33、D34、B35、B36、B37、A38、C39、B40、D41、A42、B43、D44、A45、A46、D47、D48、C49、D50、D51、B52、D53、D54、D55、B56、A57、C58、D59、D.60、A61、D62、A63、C64、B65、B66、B67、C68、C69、B70、C【解析】1、由题意，应用基本不等式可得令则方程，所以是方程的根，所以选B.点睛：（1）应用基本不等式构造关于的不等式.(2)换元法将不等式转化为一元二次不等式.(3)结合二次函数图像知是一元二次方程的根.2、由题意可得：A（1，0），B（2，3），且两直线斜率之积等于﹣1，∴直线x+my﹣1=0和直线mx﹣y﹣2m+3=0垂直，则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥．即.故选B.点睛：含参的动直线一般都隐含着过定点的条件，动直线，动直线l2分别过A（1，0），B（2，3），同时两条动直线保持垂直，从而易得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，然后借助重要不等式，得到结果.3、函数的定义域为，，由已知有，所以对于恒成立，恒成立，所以，而，当且仅当时等号成立，所以，选D.点睛：本题主要考查用导数研究函数的单调性，基本不等式等，属于中档题。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
苏教版必修5高一数学第2章基本不等式测试题及解析
基本不等式测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.若xy>0,则x y y x+的最小值是 。
1.2.提示：x y y x+≥2. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2、a 2＋b 22的大小关系是 。
2.a ＋b 2≤a 2＋b 22。
提示：平方作差，利用a 2+b 2≥2ab 可得。
3.若x ＋y ＝4，x ＞0，y ＞0，则lg x ＋lg y 的最大值是 。
3.lg4.提示：lg x ＋lg y =lg x y ≤lg(2x y +)2=lg4. 4.已知121(0,0),m n m n+=>>则mn 的最小值是4. 121mn m n =+≥≥5.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿5.9.提示： 6 = 22x y +≥2， ∴22x y ≤9 。
故2x y +的最大值是9，此时x=y=2log 3。
6 某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处 6.8.提示 由已知y 1=x20；y 2=0 8x (x 为仓库与车站距离)， 费用之和y =y 1+y 2=0 8x + x 20≥2x x 208.0⋅=8，当且仅当0 8x =x 20即x =5时“=”成立。
7.已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的范围是 。
7.[9,)+∞。
提示：由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ⇒-=+≥，即230-+≥解得13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。
8. 给出下列命题：①a,b 都为正数时,不等式a+b ≥②y=x+1x的最小值为2。
高中数学《 3.4 基本不等式 》评估训练 新人教A版必修5
3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2双基达标 限时20分钟1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )．A.1x ＋y ≤14B.1x ＋1y≥1C.xy ≥2D.1xy≥1解析 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1. 答案 B2．下列各函数中，最小值为2的是( )．A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝x ＋1x解析 对于A ：不能保证x >0， 对于B ：不能保证sin x ＝1sin x ，对于C ：不能保证x 2＋2＝1x 2＋2，对于D ：y ＝x ＋1x≥2.答案 D3．若0<a <b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )．A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a解析 a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12.a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab .∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12.∴a 2＋b 2最大． 答案 B 4．设a >2，则a ＋1a －2的最小值是________． 解析 ∵a >2，∴a －2>0. ∴a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4. 当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，等号成立． 答案 45．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 解析 ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴ab ≥3，即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)6．已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求2x ＋5y的最小值．解 法一 由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得：x >0，y >0，且xy ＝10. 则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝5x ，xy ＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5时等号成立．法二 由已知条件lg x ＋lg y ＝1可得：x >0，y >0，且xy ＝10，2x ＋5y ≥22x ·5y＝21010＝2(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y ，xy ＝10.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5.时取等号)．综合提高 限时25分钟7．设a >0，b >0.若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )．A ．8B ．4C ．1D.14解析 因为3a ·3b＝3，所以a ＋b ＝1， 1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立，故选B.答案 B8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )．A ．6.5 mB ．6.8 mC ．7 mD ．7.2 m解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C. 答案 C9．(2011·潍坊高二检测)在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________． 解析 设两数为x ，y ，即4x ＋9y ＝60， 又1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 4x ＋9y 60＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4x y ＋9y x ≥160×(13＋12)＝512，当且仅当4x y ＝9y x，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6，y ＝4时，等号成立． 答案 6 410．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n的最小值为________．解析 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，(－2)·m ＋(－1)·n ＋1＝0， 2m ＋n ＝1，m ，n >0， 1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ·(2m ＋n )＝4＋n m＋4m n≥4＋2n m ·4mn＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝1n m＝4mn，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14n ＝12时等号成立．答案 811．求函数y ＝x 2＋6x ＋1x 2＋1的值域．解 函数的定义域为R ， y ＝x 2＋1＋6x x 2＋1＝1＋6x x 2＋1. (1)当x ＝0时，y ＝1； (2)当x >0时，y ＝1＋6x ＋1x≤1＋62＝4. 当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，y max ＝4；(3)当x <0时，y ＝1＋6x ＋1x＝1－6－x ＋1－x ≥1－62＝－2.当且仅当－x ＝－1x时，即x ＝－1时，y min ＝－2.综上所述：－2≤y ≤4，即函数的值域是[－2,4]．12．(创新拓展)(2012·济宁高二检测)某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N )，f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000≥250x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)．当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时上式取“＝”因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．。
2019年人教版高中数学必修五考点练习：基本不等式的配凑技巧(含答案解析)
6a 2b 当且仅当 b ＝ a 且2a＋b－1＝0，即a＝2－ 3，b＝2 3－3时取等号．
32 故b＋a的最小值为7＋4 3. 答案：7＋4 3
10. 【解析】选D. log4 (3a 4b) log2 ab, 可得 3a 4b ab, 且 a 0,b 0
3a 4b 1, 即 3 4 1,
5
10
A.3
B. 3
3
C. 2
D．3
9. 已知x＞y＞0，求
的最小值及取最小值时的x、y的值.
2 10. 若b>a>1，且3logab＋6logba＝11，则a3＋b－1的最小值为________．
二、“1”的变换
14 1. 已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝a＋b的最小值是
7
A. 2
B．4
9
C. 2
4. 已知 x , y , z 0 , 1 且 x y z 2 ，求 xy yz zx 的最大值．
5. 已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1 ，则x＋y的最大值为________． 6. 设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
12 7. 若实数a，b满足a＋b＝ ab，则ab的最小值为( )
3y 4x
31
＋ x＋y
·
∴x＋y＝ x y 3 ＝2＋2＋ x ＋3y≥4＋2 x 3y＝8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号，
32 故x＋y的最小值是8.
16 1 8. 解析：已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy. 即 x ＋y＝1.
( ) 16 1
16y x
＋
则x＋y＝(x＋y) x y ＝16＋1 ＋ x ＋y≥17＋2
(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(答案解析)(4)
一、选择题1．若实数x ，y 满足1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3-B ．0C ．1D ．32．已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤3．已知x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．324．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215C ．516D ．6545．已知实数x ，y 满足222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，3z x y =-，则z 的最小值是（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-6．当x ，y 满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2=+t x y 最小值是（ ）A ．-4B ．-3C ．3D ．327．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（ ） A ．275B ．245C ．5D ．68．已知0,0x y >>，且21x y +=，则xy 的最大值是（ ） A ．14B ．4C ．18D ．89．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2>b 2B ．1b a< C ．lg(a －b )>0D ．11()()33ab<10．设x ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）A ．5-B ．3C ．5-或3D ．5或3-11．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则AB =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}2x x ≥-C ．{}16x x <≤D ．{}6x x ≥-12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为___________. 14．设实数s ，t 满足0t >，且24s t +=，则128s s t+的最小值是____________. 15．若x >1，y >1，且a b x y xy ==，则a +4b 的最小值为___________. 16．已知0a >，0b >且3a b +=.式子2021202120192020a b +++的最小值是___________.17．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+，则()tan A C -的最大值为__________. 18．已知实数,x y 满足102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3yx +的最大值为_______．19．实数,x y 满足2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则24z x y =+-的最大值是___.20．非负实数x ，y ，满足360x y +-≥，则521z x y =+-的最小值为__________．三、解答题21．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入.据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名(x ∈N 且4575x ≤≤)，调整后研发人员的年人均投入增加()4%x ，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元.（1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？（2）是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由. 22．已知函数()()()23f x x a x =-+. （1）当72a >-时，解关于x 的不等式()46f x x >+； （2）若关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围. 23．已知函数2()()f x x ax a R =-∈. （1）若2a =，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若[1,)x ∈+∞时，2()2f x x ≥--恒成立，求a 的取值范围.24．已知函数2()12af x x x =-+ （1）若()0f x ≥，在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若[]1,2,()2x f x ∃∈≥成立，求实数a 的取值范围. 25．已知函数2()3f x x x m =++. （1）当m =-4时，解不等式()0f x ≤； （2）若m >0，()0f x ＜的解集为(b ，a )，求14a b+的最大値. 26．已知函数2()(3)2f x ax a x =+-+（其中a ∈R ）. （1）当a ＝－1时，解关于x 的不等式()0f x <； （2）若()1f x ≥-的解集为R ，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可求出结果. 【详解】由x ，y 满足条件1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩作出可行域，如图.则()()1,1,2,1B C ---，由1x y y x+=⎧⎨=⎩得11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭目标函数2z x y =+，化为2y x z =-+ 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.由图可知，当直线2y x z =-+过点C 时，z 有最大值. 所以z 的最大值为：2213z =⨯-= 故选：D【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2．D解析：D 【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式1a x x ≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，由函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，则函数()1f x x x =+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤，所以实数a 的取值范围为52a ≤， 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <. 3．A解析：A 【分析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：11y x y =-⎧⎨+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A -，据此可知目标函数的最大值为：max 2213z =⨯-=. 故选：A【点睛】方法点睛：求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值，当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.4．A解析：A 【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n +的最小值. 【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=. 因为1161116116116()()(17)(17)5555n m n mm n m n m n m n m n+=++=++≥⋅+=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以116m n +的最小值为5. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.5．D解析：D 【分析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为133zy x =-在y 轴截距最大值的求解问题，利用数形结合的方式可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由3z x y =-得：133zy x =-， ∴当z 取最小值时，133zy x =-在y 轴截距最大； 由图象可知，当133zy x =-过点A 时，在y 轴截距最大，由222x x y =-⎧⎨+=⎩得：()2,2A -，min 2328z ∴=--⨯=-. 故选：D . 【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将所求最值转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，属于常考题型.6．B解析：B 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得2=+t x y 在点(1,1)A --处取得最小值()()min 2113t =⨯-+-=-，本题选择B 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.7．A解析：A 【解析】正数x ，y 满足35x y xy +=,则13155y x+=，()1349362743433325555255x y x y x y y x y x⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭ 故答案为A.点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．8．C解析：C【分析】根据基本不等式求解即可得到所求最大值． 【详解】由题意得，221121112222228x y xy xy +⎛⎫⎛⎫=⨯≤⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11,42x y ==时等号成立，所以xy 的最大值是18． 故选C ． 【点睛】运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab+≥逆用就是222a b ab +；(,0)2a b ab a b +≥>逆用就是2(,0)2a b ab a b +⎛⎫> ⎪⎝⎭等．当应用不等式的条件不满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件．9．D解析：D 【详解】试题分析：A 中1,2a b ==-不成立，B 中1,12a b =-=-不成立，C 中0,1a b ==-不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的10．B解析：B 【分析】画出可行域，讨论当0a =时,当0a <时，当0a >时三种情况，分别求出目标函数的最值，即可筛选出符合题意的a 的值. 【详解】根据题中约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩可画出可行域如图所示，两直线交点坐标为：11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭， 当0a =时，z x ay =+无最小值； 当0a <时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，无最小值． 当0a >时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处有最小值： 21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得3a =，故选B.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.11．C解析：C 【分析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.12．A解析：A 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.二、填空题13．6【分析】由条件可得则由均值不等式可得答案【详解】实数满足即所以则当且仅当又即时取得等号故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各解析：6 【分析】由条件可得()22312a b ++=，则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭由均值不等式可得答案. 【详解】实数a ，b 满足22221a b +=，即2212a b +=，所以()22312a b ++=则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭()2222214221455463133b a a b ⎛⎛⎫+=⨯+++≥⨯+=⨯+= ⎪ +⎝⎭⎝ 当且仅当2222141b a a b +=+, 又2212a b +=，即22120a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 时，取得等号. 故答案为：6 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.14．【分析】变换得到利用均值不等式计算得到答案【详解】当且时即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值意在考查学生的计算能力和转化能力 解析：716【分析】变换得到22816132s t s s s t s s t+=++，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】24s t +=，222178321163216162s s s s t s t s s t s s t t +=+=++≥-+=+， 当232t s s t =且0s <时，即23s =-，163t =时等号成立. 故答案为：716. 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 15．9【分析】首先由已知确定然后利用基本不等式求最小值【详解】因为所以又所以所以当且仅当时等号成立所以的最小值为9故答案为：9【点睛】易错点睛：易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件 解析：9【分析】首先由已知确定1,1a b >>，然后利用基本不等式求最小值．【详解】因为a b x y xy ==，所以1a y x -=，1b x y -=，又1,1x y >>，所以10,10a b ->->， 111(1)(1)()b a b a b x y x x -----===，所以(1)(1)1a b --=，4(1)4(1)559a b a b +=-+-+≥=，当且仅当14(1)a b -=-时等号成立，所以4a b +的最小值为9．故答案为：9．【点睛】易错点睛：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．16．2【分析】令从而可得再利用基本不等式即可求解【详解】令则且∴∴当且仅当取等号即时成立故答案为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项必 解析：2【分析】令2019a x +=，2020b y +=，从而可得1()14042x y +=，再利用基本不等式即可求解. 【详解】令2019a x +=，2020b y +=， 则2019x >，2020y >且4042x y +=， ∴1()14042x y +=， ∴202120211111120212021()201920204042x y a b x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1111222y x x y⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭≥， 当且仅当y x x y=取等号，即2021,2,1x y a b ====时成立. 故答案为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方17．【分析】利用正弦定理将化为然后利用三角形内角和定理将用代换再利用两角和的正弦公式展开整理可得再由同角三角函数关系可得将其代入展开式消去结合基本不等式即可求出的最大值【详解】解：∵由正弦定理边角互化得解析：12【分析】利用正弦定理将3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+化为3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+，然后利用三角形内角和定理将B 用()A C π-+代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅，再由同角三角函数关系可得3tan tan 2A C =，将其代入()tan A C -展开式消去tan A ，结合基本不等式即可求出()tan A C -的最大值．【详解】解：∵ 3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+由正弦定理边角互化得3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+，又∵ ()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，∴ 3sin cos 2sin cos sin cos cos sin A C A C C A A C +⋅=⋅+，∴ 2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅∵ 当cos 0C ≤或cos 0A ≤时，等式不成立，∴ ,0,2A C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan tan 2A C =， ∴ ()22tan tan tan tan tan tan 112tan ==32123132tan tan tan tan C A C C A C C C A C C C-==++++-， 又∵ tan 0C >，∴2tan tan 3C C ≥=+当且仅当23tan tan C C ==，即tan 3C =等号成立， ∴ ()tan tan tan tan tan tan 1tan =213A C A C C C A C -≤++-=【点睛】 本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本不等式时，要根据条件确定tan 0C >.18．【分析】根据约束条件画出可行域目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率从而找到最大值时的最优解得到最大值【详解】根据约束条件可以画出可行域如下图阴影部分所示目标函数可以看成是可行域内的点和的连线 解析：78【分析】根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值.【详解】根据约束条件102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩可以画出可行域，如下图阴影部分所示， 目标函数3y x +可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率， 因此可得，当在点A 时，斜率最大联立2801x yx+-=⎧⎨=⎩，得172xy=⎧⎪⎨=⎪⎩即71,2A⎛⎫⎪⎝⎭所以此时斜率为()7072138-=--，故答案为78.【点睛】本题考查简单线性规划问题，求目标函数为分式的形式，关键是要对分式形式的转化，属于中档题.19．21【分析】画出满足的可行域当目标函数经过点时取得最大值求解即可【详解】画出满足的可行域由解得点则目标函数经过点时取得最大值为【点睛】本题考查的是线性规划问题解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化解析：21【分析】画出,x y满足的可行域，当目标函数24z x y=+-经过点()7,9B时，z取得最大值，求解即可．【详解】画出,x y满足的可行域，由20250x yx y-+=⎧⎨--=⎩解得点()7,9B，则目标函数24z x y=+-经过点()7,9B时，z取得最大值为718421+-=.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．20．3【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义即可得到结论【详解】解：解：不等式组为对应的平面区域为如图阴影所示由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时最小代入目标函数得即 解析：3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【详解】解：解：不等式组为00360x y x y ⎧⎪⎨⎪+-≥⎩，对应的平面区域为如图阴影所示，由521z x y =+-得5122z y x +=-+，平移直线5122z y x +=-+， 由图象可知当直线5122z y x +=-+经过点()0,2时， 直线5122z y x +=-+的截距最小，此时z 最小． 代入目标函数521z x y =+-得02213z =+⨯-=．即目标函数521z x y =+-的最小值为3．故答案为：3【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于中档题．三、解答题21．（1）最多75人；（2）存在，{}7m ∈.【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；（2）由①可得2125x m ≥+，由②可得100325x m x ≤++，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为()14%x a +⎡⎤⎣⎦万元，则()()10014%100x x a a -+≥⎡⎤⎣⎦，(0a >)解得075x ≤≤， 4575x ，所以调整后的技术人员的人数最多75人；（2）①由技术人员年人均投入不减少有225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得2125x m ≥+. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有()()210014%25x x x a x m a ⎛⎫-+≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥-⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得100325x m x ≤++， 故有2100132525x x m x +≤≤++，因为10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时等号成立，所以7m ≤， 又因为4575x ≤≤，当75x =时，225x 取得最大值7，所以7m ≥， 77m ∴≤≤，即存在这样的m 满足条件，使得其范围为{}7m ∈.【点睛】本题考查不等式的应用，解题的关键是正确理解题中数量关系，建立正确的不等式，进而求解.22．（1）3|2x x ⎧<-⎨⎩或}2x a >+；（2）112a <-或51325a <<. 【分析】（1）对一元二次不等式分解因式，通过72a >-得出322a +>-，可得不等式的解集； （2）关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根，可得0∆>，设()22(32)38g x x a x a =+--+，则有()10g >且对称轴小于1，解不等式可得实数a 的取值范围．【详解】（1）∵()()()2346f x x a x x =-+>+∴22(12)3(2)0x a x a -+-+>，即()3202x x a ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭ 73,222a a >-+>- 3|2x x ⎧∴<-⎨⎩或}2x a >+ （2）解法一：∵22(32)380x a x a +--+=在(–),1∞上有两个不相等实根∴2412550a a ∆=+->112a <-或52a > 设()22(32)38g x x a x a =+--+，则()10g >∴()232380a a +--+> ∴135a <， 又()g x 的对称轴为324a x -=-，∴3214a --<，∴72a < ∴综上112a <-或51325a <<. 解法二： ∵22(32)380x a x a +--+=在(,1)-∞上有两个不相等实根 ∴223823x x a x ++=+ 令2238()23x x g x x ++=+ 令()()23,00,5t x =+∈-∞ 则2316()2t t g t t-+=，即183()22g t t t =+- 由图象可知，该题转化为y a =与18322y t t =+-有两个不同的交点 ∴112a <-或51325a << 【点睛】方法点睛：本题考查一元二次不等式的解法，考查一元二次方程根的分布，考查了学生计算能力，不妨设一元二次方程所对应的二次函数()f x 开口向上，则两根都小于k 时，则()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩； 2.两根都大于k 时，则()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ 3.一根小于k ，一根大于k 时，则()0f k <．23．（1）{|1x x ≤-或3}x ≥；（2）(,4]-∞.【解析】试题分析：（1）先对不等式移项并因式分解得()()310x x -+≥，再根据不等号方向得不等式解集，（2）先化简不等式，并分离12a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，转化为求对应函数最值：()min a h x ≤，其中()12h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式求()h x 最值，即得a 的取值范围.试题（1）若()2,3a f x =≥即()()2230,310x x x x --≥-+≥ 所以原不等式的解集为{|1x x ≤-或3}x ≥（2）()22f x x ≥--即12a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭在[)1,x ∈+∞时恒成立， 令()12h x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，等价于()min a h x ≤在[)1,x ∈+∞时恒成立，又()124h x x x ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当1x x =即1x =等号成立，所以4a ≤. 故所求a 的取值范围是(],4-∞. 24．（1）[]44-，；（2）(],3∞-． 【分析】（1）由二次不等式()0f x ≥恒成立可得0∆≤，于是可求得a 的取值范围；（2）分离参数得12a x x ≤-在区间[]1,2上有解，转化为求1y x x =-在区间[]1,2上的最大值求解即可．【详解】（1）由题意得()2102a f x x x =-+≥在R 上恒成立， ∴2404a ∆=-≤， 解得44a -≤≤，∴实数a 的取值范围为[]4,4-．（2）由题意得[]21,2,122a x x x ∃∈-+≥成立， ∴[]11,2,2a x x x ∃∈≤-成立． 令()[]1,?1,2g x x x x=-∈， 则()g x 在区间[]1,2上单调递增，∴()()322max g x g ==， ∴322a ≤， 解得3a ≤，∴实数a 的取值范围为(],3∞-．【点睛】解题时注意以下结论的运用：（1）()a f x >恒成立等价于()max a f x >，()a f x >有解等价于()min a f x >； （2）若函数()f x 的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替．25．（1）[-4，1]；（2）-3.【分析】(1)当m ＝﹣4时，利用十字相乘法解出不等式的解集；(2)()0f x ＜的解集为(b ，a )，等价于()0f x =的根即为a ，b ，根据韦达定理判断出a ，b 的符号，利用＂1＂的代换以及基本不等式求出最大值，并验证取等条件．【详解】（1）当m ＝﹣4时，不等式f （x ）≤0，即为x 2+3x ﹣4≤0，可得：（x +4）（x ﹣1）≤0，即不等式f （x ）≤0的解集为[﹣4，1].(2)由题()0f x =的根即为a ，b ，故a +b =-3，ab =m >0，故a ，b 同负，则14a b+=114141()5(53333a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫-++=-++≤-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1,2a b =-=- 等号成立.【点睛】本题考查一元二次不等式，基本不等式在求最值中的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”，属于中档题．26．（1）(2)(62)-∞--+∞，，；（2）99a -+≤【分析】（1）当0a =时，解一元二次不等式求得不等式()0f x <的解集.（2）化简不等式()1f x ≥-，对a 分成0a ≠和0a >两种情况进行分类讨论，结合一元二次不等式恒成立，求得实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =-时，由()0f x <得，2420x x --+<，所以2420x x +->，所以不等式的解集为(2)(62)-∞-+∞，，；（2）因为()1f x ≥-解集为R ，所以2(3)21ax a x +-+-≥在R 恒成立，当0a =时，得321x -+-≥，不合题意；当0a ≠时，由2(3)30ax a x +-+≥在R 恒成立，得()203120a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩，所以99a -+≤【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.。
(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．设正数m ，n ，2m n u +=，222v m n mn =++，则2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．12．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ） A ．32-B ．28-C ．2D ．33．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b+的最小值为（ ） A ．15B．8+C ．16D．8+4．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x++=的最小值为（ ）A ．2B．C ．4D．6．已知函数()()log 31a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（ ） A ．23B ．43C ．2D ．47．已知实数x y 、满足不等式组21010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩,若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4,则实数m 的取值范围是 A．(B．⎡⎣ C．⎡⎤⎣⎦D ．[ 8．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于D .若3BAC π∠=，4AB AC +=，则AD 长度的最大值为（ ） AB ．2C ．3D．9．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．a 2＞b 2 C ．a 3＞b 3 D ．a b b a> 10．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A．(1,1 B．()1++∞ C ．（1，3）D ．（3，+∞）11．设变量,x y 、满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．912．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21a c +>21b c + D ．a |c |>b |c |二、填空题13．123,,x x x 为实数，只要满足条件1230x x x >>>，就有不等式121233log 20202log 2020log 2020x x x x x x k +≥恒成立，则k 的最大值是__________．14．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z =__________．15．已知x ，y 满足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.16．已知实数x ，y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为________.17．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．18．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足570a a ，1122S =，则7811572a a a a a 的最小值为_________.19．某港口的水深y （米）随着时间t （小时）呈现周期性变化，经研究可用sincos66y a t b t c ππ=++来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则+a b的取值范围为_______．20．已知正实数x ，y 满足22462x y xy ++=，则2x y +的最小值是_________.三、解答题21．设矩形ABCD 的周长为20，其中AB AD >，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P .设AD x =，DP y =.（1）将y 表示成x 的函数，并求定义域； （2）求ADP △面积的最大值. 22．选修4-5 不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝2m ，求ab ＋bc 的最大值． 23．已知函数()243f x ax ax =--(1)当a=-1时,求不等式f(x)>0的解集;(2)若对于任意的x ∈R,均有不等式f(x)≤0成立,求实数a 的取值范围.24．若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<. （1）求m 的值；（2）已知正实数a ，b 满足4a b mab +=，求+a b 的最小值. 25．已知函数2()2,,f x x ax x R a R =-∈∈． （1）当1a =时，求满足()0f x <的x 的取值范围；（2）解关于x 的不等式2()3f x a <．26．（1）已知()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-，不等式()1xf x ≥的解集为A .求集合A ；（2）解关于x 的不等式()2220ax a x +--≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 化简22211()44u mn vm n mn=+⨯++，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，正数m ，n ，2m nu +=，222v m n mn =++， 则2222222222()12112()444m n u m n mn mn v m n mn m n mn m n mn+++===+⨯++++++ 2111111111444444213()11mnm m m n n n n m=+⨯=+⨯≤+⨯=+++++， 当且仅当m n n m =时，即m n =时，等号成立,所以2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是为13.故选：B . 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．D解析：D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344z yx =-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4z-最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)，故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).3．D解析：D 【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=，则()12122388282343412843a b a b a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅=+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当34b a b a =，即3133,46a b --==时等号成立，故12a b +的最小值为843+. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用2x y xy +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.4．C解析：C 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z ＝3x ﹣2y 变形为y ＝32x ﹣2z，由024y x y =⎧⎨-=⎩，解得B （2，0）当此直线经过图中B 时，在y 轴的截距最大，z 最小， 所以z 的最小值为3×2﹣2×0＝6； 故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．C解析：C 【解析】0,tan 02xx π<∴，()21cos28sin sin2x x f x x++=2222cos 8sin 28tan 14tan 42sin cos 2tan tan x x x x x x x x ++===+≥=，当且仅当1tan 2x =时取等号，函数()21cos28sin sin2x x f x x ++=的最小值为4，选C.6．C解析：C 【分析】由对数函数的图象得出A 点坐标，代入直线方程得,m n 的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值． 【详解】令31+=x ，2x =-，(2)1f -=-，∴(2,1)A --，点A 在直线40mx ny ++=上，则240m n --+=，即24m n +=， ∵0mn >，24m n +=，∴0,0m n >>，∴12112141(2)442444n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4n mm n=，即1,2m n ==时等号成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值．是一道综合题，属于中档题．7．D解析：D 【分析】将2z x y =-+化为2y x z =+,作出可行域和目标函数基准直线2y x =(如图所示),当直线2y x z =+将左上方平移时,直线2y x z =+在y 轴上的截距z 增大,由图象,得当直线2y x z =+过点A 时,z 取得最大值,联立2010x y m x y ⎧-+=⎨+-=⎩,得2211,22m m A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则22112422m m -+-⨯+≤,解得33m -≤≤;故选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.8．A解析：A 【分析】根据题意，设,,,AD t AB c AC b ===由三角形面积公式1sin 2S a b θ=⋅⋅可表示出,,ACD ABD ABC ∆∆∆三者之间的关系，进而得边长关系为3,t bc =最后通过基本不等式求得AD 的最大值。
(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》测试(有答案解析)(3)
一、选择题1．已知实数x ，y 满足221x y x m -≤-≤⎧⎨≤≤⎩且2z y x =-的最小值为-6，则实数m 的值为（ ）． A ．2B ．3C ．4D ．82．已知()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．[)0,4C ．()0,2D ．[)0,23．实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则242x y z x +-=-的最大值为（ ）A ．53-B ．15-C ．13D ．954．若x ，y 满足约束条件32100260220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则6z x y =+的最大值为（ ）A ．30B ．14C ．25D ．365．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-16．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D7．当0x ＞时，不等式290x mx -+＞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(6)∞－，B ．(6]∞－，C ．[6)∞，＋D ．(6)∞，＋8．已知变量,x y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则目标函数=21z x y =+-的最大值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．99．设0a >，0b >，则下列不等式中不．恒成立的是（ ）． A ．12a a+≥B ．222(1)a b a b +≥+- C≥D ．3322a b ab +≥10．下列函数中最小值为4 的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin sin y x x=+（0πx << ） C ．343xx y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+11．已知实数x ，y 满足260,{0,2,x y x y x -+≥+≥≤若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,1-B ．[]1,3-C ．[]1,2-D ．[]2,312．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则AB =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}2x x ≥-C ．{}16x x <≤D ．{}6x x ≥-二、填空题13．已知实数x y ，，正实数a b ，满足2x y a b ==，且213x y+=-，则2a b +的最小值为__________．14．123,,x x x 为实数，只要满足条件1230x x x >>>，就有不等式121233log 20202log 2020log 2020x x x x x x k +≥恒成立，则k 的最大值是__________．15．已知110,0,1x y x y >>+=，则2236x y y xy++的最小值是_________．16．满足关于x 的不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是______． 17．在下列函数中， ①1y x x=+②1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭③()2114141xy x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭ ④22221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中最小值为2的函数是__________.18．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为______.19．已知正实数,x y 满足 20x y xy +-=,则2x y +的最小值为 ,y 的取值范围是 ．20．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h 、2h ，加工1件乙产品所需工时分别为2h 、1h ，A ，B 两种设备每月有效使用时数分别为400h 和500h ．若合理安排生产可使收入最大为______元． 三、解答题21．在平面直角坐标系中，圆C 是以（1，1）为圆心、半径为1的圆，过坐标原点O 的直线l 的斜率为k ，直线l 交圆C 于P ，Q 两点，点A（1）写出圆C 的标准方程； （2）求△APQ 面积的最大值． 22．已知函数()f x =（1）若()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求实数a 的值；（2）若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.23．已知关于x 的不等式2430ax x -+<的解集为{}|1x x b <<． （1）求a ，b 的值；（2）求关于x 的不等式()20ax ac b x bc +--<的解集．24．已知关于x 的不等式23240x ax -++>. （1）当2a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为()4,m -，求实数a ，m 的值.25．已知函数2(4)()x f x x +=(0)x >． （1）解不等式：f （x ）＞503； （2）求函数f （x ）的最小值．26．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ，已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加mol/L y ，y 与x 的函数关系可近似地表示为关系可近似地表示为168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩.根据经验，当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用.（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6mol/L ，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 作出不等式组221x y x m -≤-≤⎧⎨≤≤⎩对应的区域，利用数形结合平移直线即可得到结论 .【详解】由题意可作图：当2z y x =-经过点P 时，z 取最小值6， 此时P 符合：2x my x =⎧⎨=-⎩，即(,2)P m m -代入2z y x =-得：m -2-2m =-6,解得m =4 故选：C 【点睛】简单线性规划问题的解题步骤： (1)画出可行域;(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值； (3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值； (4)下结论．2．B解析：B 【分析】由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解. 【详解】()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立， 当0a =时，10>恒成立，满足题意， 当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，a 的取值范围为[)0,4. 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立. 3．D解析：D 【分析】首先画出可行域，变形24222x y y z x x +-==+--，利用2yx -的几何意义求z 的最大值.【详解】24222x y yz x x +-==+--设2ym x =-，m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率， 4250x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得：1,3x y ==，即()1,3C ， 250270x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得：3,1x y =-=，即()3,1B -， 如图，101325BD k -==---，30312CD k -==--，所以m 的取值范围是13,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，即z 的取值范围是91,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，z 的最大值是95.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是变形242x y z x +-=-，并理解z 的几何意义，利用数形结合分析问题.4．A解析：A 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合目标函数确定出最优解，代入即可求解. 【详解】画出约束条件32100260220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所标示平面区域，把目标函数6z x y =+，化为直线166z y x =-+，当直线166zy x =-+平移到点A 时， 此时直线在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由32100220x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得()6,4A ，所以目标函数的最大值为666430z x y =+=+⨯=. 故选：A.【点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如z ax by =+ .求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+ 转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+ ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值； （2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解； （3）斜率型：形如y bz x a-=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.5．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】 作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值， 解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得1x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.6．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.7．A解析：A 【分析】当x＞0时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立⇔m＜（x9x+）min，利用基本不等式可求得（x9x+）min＝6，从而可得实数m的取值范围．【详解】当x＞0时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立⇔当x＞0时，不等式m＜x9x+恒成立⇔m＜（x9x+）min，当x＞0时，x9x+≥=6（当且仅当x＝3时取“＝”），因此（x9x+）min＝6，所以m＜6，故选A．【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数m是关键，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．8．C解析：C【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件5021010x yx yx+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩作出可行域如图，联立150xx y=⎧⎨+-=⎩，解得A（1，4），化目标函数z＝x+2y﹣1为y1222x z=-++，由图可知，当直线y1222x z=-++过A时，z有最大值为8．故选C．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式、作差法、分析法论证A,B,C 正确，举反例得D 错误. 详解：332222()()a b ab a b a ab b +-=-+-， 51a b -<<有3322a b ab <+， 故D 项错误，其余恒成立：11122,a a a a a a+≥⋅=⇒+≥ 2222222(1)(1)(1)02(1),a b a b a b a b a b +-+-=-+-≥⇒+≥+-当a b ≥时2220a b a b ab a b a b b a b a b ---+≥---+=⇒-当a b <0a b a b ->>D ．点睛：本题考查根据基本不等式、作差法、分析法论证等知识点，考查推理论证能力.10．C解析：C 【解析】 A. 4y x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y tt（，），，＜，=∈∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．244x x y e e -≥⋅=， 当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜， 不成立． 故选C ．11．C解析：C 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点()2,10取得最大值，在点()2,2-取得最小值.由图可知，当0m ≥时，[]0,2m ∈，当0m <时，[)1,0m ∈-，故取值范围是[]1,2-.考点：线性规划.12．C解析：C 【分析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】由条件化简可得利用均值不等式求最小值即可【详解】正实数满足取对数可得所以所以由均值不等式知当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（解析：2【分析】由条件化简可得218a b =，利用均值不等式求最小值即可.【详解】正实数a b ，满足2x y a b ==, 取对数可得log 2,log 2a b x y ==， 所以2222212log log log 3a b a b x y+=+==-， 所以218a b =，由均值不等式知，2a b +≥=，当且仅当2a b =，即a =，b =.故答案为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】根据对数的运算性质可得设原不等式可化为由可得令小于等于的最小值即可【详解】由题意设则又所以原不等式可化为由可得则原不等式可化为又当且仅当时等号成立所以即的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛解析：3+【分析】根据对数的运算性质，可得1212lg 2020log 2020lg lg x x x x =-，23232lg 20202log 2020lg lg x x x x =-，1313lg 2020log 2020lg lg x x k k x x =-，设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，原不等式可化为12k a b a b +≥+，由0,0a b >>，可得()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，令k 小于等于()12a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值即可. 【详解】 由题意，121122lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，2322332lg 20202lg 20202log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，131133lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x k k k x x x x ==-， 设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，则13lg lg x x a b -=+， 又lg 20200>，所以原不等式可化为12ka b a b+≥+， 由1230x x x >>>，可得0,0a b >>，则原不等式可化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭， 又()1221233b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=+⎪⎝⎭2b a a b =时，等号成立，所以3k ≤+k的最大值为3+故答案为：3+ 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.本题中利用对数的运算性质，将三个对数转化为以10为底的对数，进而设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，可将原不等式化为12k a b a b+≥+，进而结合,a b 的范围可得到()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.15．【分析】由题得化简整理得再利用基本不等式可得解【详解】由得则当且仅当时等号成立此时或；则的最小值是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一解析：11【分析】 由题得1x yx y xy xy+=⇒+=，化简整理得()2223636361xy xy x y y xy xy xy xy-+++==+-再利用基本不等式可得解.【详解】由110,0,1x y x y >>+=， 得1x yx y xy xy+=⇒+=， 则()2223636x y x y x y y xy xy+++++=()2223636x y xy x xy y xy xy+-++++==()236361111xy xy xy xy xy -+==+-≥=，当且仅当6xy =时等号成立，此时33x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩33x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩则2236x y y xy++的最小值是11.故答案为：11. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．【分析】根据题意知不等式对应方程的实数根由此求出写出满足条件的一组有序实数对即可【详解】不等式的解集为方程的实数根为和2且即则满足条件的一组有序实数对的值可以是故答案为【点睛】本题考查了一元二次不等 解析：()2,1--【分析】根据题意知，不等式对应方程的实数根，由此求出20a b =<，写出满足条件的一组有序实数对即可． 【详解】不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<， ∴方程()()20ax b x --=的实数根为12和2，且012a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩，即20a b =<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是()2,1--． 故答案为()2,1--． 【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．17．①③【分析】结合基本不等式对四个函数逐个分析可得出答案【详解】对于①函数是定义域为的偶函数当时当且仅当时等号成立根据对称性可知函数的最小值为2满足题意；对于②因为所以则当且仅当即时等号成立所以即函数解析：①③ 【分析】结合基本不等式，对四个函数逐个分析，可得出答案. 【详解】对于①，函数1y x x=+是定义域为()(),00,-∞+∞的偶函数，当()0,x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立， 根据对称性可知，函数1y x x=+的最小值为2，满足题意； 对于②，11123214124212112y x x x x x x ⎛⎫=++=-++=--+- ⎪---⎝⎭， 因为12x <，所以120x ->， 则11244212x x -+-≥=--，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立， 所以1124212y x x ⎛⎫=--+-≤ ⎪-⎝⎭，即函数1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭的最大值为2，没有最小值，不满足题意；对于③，222114144141x x xy x x x x x +⎛⎫=++=+ ⎪++⎝⎭，因为1x >，所以2104x x+>，所以2214241x x y x x +=+≥=+，当且仅当221441x x x x +=+，即2x =所以()2114141xy x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭的最小值为2，符合题意； 对于④，22221sin cos sin cos y x x x x=+，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0x x >，所以22221sin cos 2sin cos x x x x +≥=，当且仅当22221sin cos sin cos x x x x=，即sin cos 1x x =时等号成立，因为11sin cos sin 222x x x =≤，所以sin cos 1x x ≠， 即函数22221sin cos sin cos y x x x x=+的最小值不是2，不符合题意；故答案为：①③. 【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.18．1【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则表示直线在轴的截距当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划问题意在考查学生的解析：1 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y =+，则y x z =-+，z 表示直线在y 轴的截距，当直线过点()0,1时，即0,1x y ==时，z 有最大值为1. 故答案为：1.【点睛】本题考查了线性规划问题，意在考查学生的应用能力，画出图像是解题的关键.19．【解析】试题分析:因故又因为因故即所以故应填答案考点：基本不等式的运用【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知 解析：()8,1,+∞【解析】试题分析:因20x y xy +-=,故,又因为.因,故,即,所以.故应填答案.8,1y >.考点：基本不等式的运用．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知20x y xy +-=,变形为,然后将其代入可得,最后达到获解之目的.关于的范围问题,则借助题设条件,推得,解之得.20．800000【分析】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元列出实际问题中xy 所需满足的条件作出可行域数形结合求出目标函数的最大值【详解】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元目标函数为需要满解析：800000 【分析】设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，列出实际问题中x 、y 所需满足的条件，作出可行域，数形结合求出目标函数30002000z x y =+的最大值. 【详解】设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是2400250000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，作出可行域如图所示，目标函数30002000z x y =+可转化直线3122000y x z =-+，数形结合知当直线经过点A 时z 取得最大值．解方程组24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩，可得点()200,100A ，则z 的最大值为30002002000100z =⨯+⨯=800000元． 故答案为：800000 【点睛】本题考查线性规划解决实际问题，属于基础题.三、解答题21．（1）()()22111x y -+-=；（2）212+ 【分析】（1）根据圆心和半径，即可直接写出圆C 的方程；（2）联立直线l 方程和圆方程，求得k 的范围，结合弦长公式，求得PQ ，再利用点到直线的距离公式，即可求得点A 到直线l 的距离，结合基本不等式，即可求得面积的最大值.【详解】（1）根据题意可得，圆C 的圆心为()1,1，半径1r =， 故圆方程为：()()22111x y -+-=；（2）设直线l 的方程为y kx =，联立圆C 方程可得：()()2212210k x k x +-++=，因为直线l 圆交于两点，故可得()()22Δ22410k k =+-+>，解得0k >；又圆心()1,1到直线l的距离d =故可得PQ ==；又点A 到直线l的距离h =故三角形APQ的面积)()21112212121k S PQ h k k k +=⨯⨯==≤=++++-+. 当且仅当1k=时取得面积的最大值12+. 【点睛】本题考查圆方程的求解，涉及直线截圆的弦长求解，涉及基本不等式的应用，属综合中档题.22．(1) 2a = (2) 7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知不等式()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系即可求解. （2）()f x 的定义域为R ，可知不等式()()221120a x a x ---+≥恒成立，然后讨论二次项系数，借助二次函数的性质即可求解. 【详解】解：（1）()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故()()()()22210221*********a a a a a ⎧-<⎪⎪⎛⎫-⋅---+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪---+=⎩，解得2a =；（2）()f x 的定义域为R ，即()()221120ax a x ---+≥恒成立，当210a -=时，1a =±，经检验只有1a =满足条件；当210a -≠时，()()222101810a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪⎩，解得7,19a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭， 综上，7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、一元二次不等式与二次函数的关系，综合性比较强. 23．（1）13a b =⎧⎨=⎩；（2）分类讨论，答案见解析． 【分析】（1）根据题意利用根与系数的关系列方程求出a 、b 的值；（2）不等式化为2(3)30x c x c +--<，求出对应方程的解，利用分类讨论写出不等式的解集． 【详解】（1）由题意知：0a >且b 和1是方程2430ax x -+=的两根，由根与系数的关系有4131b ab a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩．（2）不等式2()0axac b x bc +--<可化为2(3)30x c x c +--<，即(3)()0x x c -+<．其对应方程的两根为13x =，2x c =-①当3c ->即3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-； ②当3c -<即3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<； ③当3c -=即3c =-时，原不等式的解集为∅；综上所述：当3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-；当3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；当3c =-时，原不等式的解集为∅；【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查运算求解能力，求解时注意进行分类讨论．24．（1）223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）13m =，112a =-. 【分析】（1）当2a =时，不等式为23440x x -++>，即23440x x --<，利用一元二次不等式求解.（2）根据不等式的解集为()4,m -，则由4-，m 为方程23240x ax -++=的两根求解.【详解】（1）当2a =时，不等式为23440x x -++>，所以23440x x --<， 所以()23203x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭， 解得223x -<<， 所以不等式23440x x -++>的解集为223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； （2）由已知得4-，m 为方程23240x ax -++=的两根， 则有243a m -+=--且443m -=-， 解得13m =，112a =-. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于中档题.25．（1）8|03x x ⎧<<⎨⎩或}6x >；（2）16 【分析】 （1）令2(4)503x x +>，解得x 的范围与0x >求交集即可得解集. （2）将2(4)()x f x x+=展开整理，然后用基本不等式求最值. 【详解】（1）220(4)50()(4)5033x x f x x x x >⎧+⎪=>⇔⎨+>⎪⎩， 208|03264803x x x x x >⎧⎧⇔⇔<<⎨⎨-+>⎩⎩或}6x >. （2）22(4)81616()8816x x x f x x x x x +++===++≥=， 当且仅当16x x =，即4x =时函数2(4)()x f x x+=取得最小值16. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，和基本不等式求最值，属于基础题.26．（1）6天.（2）第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .见解析【分析】（1）由题可知168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，分类讨论求解满足4y ≥时的x 的范围，即可得出在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的天数； （2）根据已知求出函数解析式()16162014666y x x x x ⎡⎤=--=--+⎢⎥--⎣⎦，利用基本不等式即可求得当10x =时，max 6y =，从而得出结论.【详解】解：（1）由题意，x (单位：天)时刻后水中含有物质N 的量为：168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，由于当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用，即需4y ≥，则当06x ≤≤时，16842x -≥+且当612x <≤时，124x -≥， 解得：28x ≤≤，所以若在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的时间为：8-2=6天.（2）设第()812x x ≤≤天水中所含物质N 的量为mol/L y ，则()1220(8)26 16168y x x x x ⎡⎤-⎢⎣=-+=--+⎦--⎥， ()161461466y x x ⎡⎤=--+≤-=⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1666x x -=-，即[]108,12x =∈时，等号成立， 即当10x =时，max 6y =，所以第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .【点睛】本题考查利用函数解决实际问题，考查分段函数和基本不等式的应用，确定函数的解析式是关键.。
高一数学必修5_基本不等式练习题
高一数学（必修5）不等式测试题一、选择题：1、若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．c b c a -≥+B ．bc ac >C ．02>-ba c D ．0)(2≥-cb a 2、函数)12lg(21)(-+-=x xx f 的定义域为（ ）A ．),21(+∞ B ．)2,21( C ．)1,21(D ．)2,(-∞3、已知01<<-a ，则（ ）A ．a aa 2212.0>⎪⎭⎫ ⎝⎛> B ．aa a ⎪⎭⎫⎝⎛>>212.02C ．a a a22.021>>⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．a aa 2.0212>⎪⎭⎫⎝⎛>4、不等式21≥-xx 的解集为（ ）A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞5、已知正数y x 、满足811x y+=，则2x y +的最小值是（ ） A ．18 B ．16 C ．8 D ．10 6、下列命题中正确的是( )A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．当0>x ，21≥+x xC ．当20πθ≤<，θθsin 2sin +的最小值为22 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 7、在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当53≤≤s 时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（ ）A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]二、填空题8、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是 .9、已知变量y x ,满足约束条件22,41≤-≤-≤+≤y x y x .若目标函数(0)z ax y a =+>仅在点)1,3(处取得最大值，则a 的取值范围为___________.10、设0>a ，且1≠a ，函数)12lg()(2+-=a x a x f 有最小值,则不等式0)75(log 2>+-x x a 的解集为___________.11、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_____________班级 姓名 座号 成绩 一、选择题二、填空题8、 9、10、 11、三、解答题12、已知b a ,都是正数，并且b a ≠，求证：233255b a b a b a +>+.17．已知函数3222)(a b x a ax x f -++=，当)6()2(∞+--∞∈，， x 时，0)(<x f ；当)62(，-∈x 时，0)(>x f .①求b a 、的值；②设)16(2)1(4)(4)(-+++-=k x k x f kx F ， 则当k 取何值时, 函数)(x F 的值恒为负数?。
高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.2知识点总结含同步练习及答案
（2）因为
为整式不等式
解得 x <
3 或 x > 4，所以原不等式的解集为 2 3 ∣ {x ∣ x < 或x > 4} . ∣ 2
4.高次不等式的解法 描述： 高次不等式的解法 解一元高次不等式一般利用数轴穿根法（或称根轴法）求解，其步骤是： （1）将 f (x) 最高次项系数化为正数； （2）将 f (x) 分解为若干个一次因式的乘积或二次不可分因式的乘积； （3）求出各因式的零点，并在数轴上依次标出； （4）从最右端上方起，自右至左依次通过各根画曲线，遇到奇次重根要一次穿过，遇到偶次重根 要穿而不过； （5）记数轴上方为正，下方为负，根据曲线显现出的 f (x) 的值的符号变化规律，写出不等式 的解集． 例题： 解不等式 (x + 2)(x + 1)2 (x − 1)3 (x − 2) < 0 ． 解：不等式中各因式的实数根为 −2，−1，1 ，2 ． 利用根轴法，如图所示．
2 )(x − a) ⩽ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 a > √2 时，原不等式的解集为 {x| ⩽ x ⩽ a}． a a 2 2 ② 当 > a ，即 0 < a < √2 时，原不等式的解集为 {x|a ⩽ x ⩽ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = √2 时，原不等式的解集为 {x|x = √2 } ． a 2 （3）当 a < 0 时，原不等式化为 (x − )(x − a) ⩾ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 −√2 < a < 0 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ 或x ⩾ a} ． a a 2 2 ② 当 > a ，即 a < −√2 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ a或x ⩾ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = −√2 时，原不等式的解集为 R． a
人教A数学必修5第十单元单元测试卷：基本不等式(有答案)
人教A数学必修5第十单元单元测试卷：基本不等式一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1. 若x，y是正数，且1x +4y=1，则xy有（）A.最小值16B.最小值116C.最大值16 D.最大值1162. 当x∈R且x≠0时，下列不等式恒成立的是()A.x+1x ≥2 B.x+1x≤−2 C.|x|x2+1≥12D.|x+1x|≥23. 已知a>−3，b>−4，(a+3)(b+4)=25，则a+b的最小值是()A.2B.3C.5D.104. 若0<a<1，0<b<1且a≠b，则a+b，2√ab，a2+b2，2ab中最大的是()A.a+bB.2√abC.a2+b2D.2ab5. 已知正数x，y满足x2+2xy−3=0，则2x+y的最小值是()A.1B.3C.6D.126. 已知点P(x, y)在经过A(3, 0)，B(1, 1)两点的直线上，则2x+4y的最小值为()A.2√2B.4√2C.16D.47. 当0<x<π2，函数f(x)=1+cos2x+8sin2xsin2x的最小值为()A.2B.2√3C.4D.4√38. 在腰长为10cm的等腰直角三角形中作一个内接矩形，使它的一边在斜边上，另外两个顶点在两个腰上，则矩形面积的最大值为()A. 25cm2B. 5cm2C. 10cm2D. 8cm29. 已知向量a →=(3, −2)，b →=(x, y −1)且a → // b →，若x ，y 均为正数，则3x +2y 的最小值是（ ） A.53 B.83C.8D.2410. 无字证明是指利用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，观察此图象，同学们能无字证明的结论是( )A.a 2+b 2≥a +bB.4ab ≥a 2+b 2C.a +b >2√abD.a 2+b 2≥2ab11. 在实数集R 中定义一种运算“∗”，对任意a ，b ∈R ，a ∗b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a ∗0=a ；(2)对任意a ，b ∈R ，a ∗b =ab +(a ∗0)+(b ∗0)． 则函数f(x)=(e x )∗1e x 的最小值为( ) A.2 B.3 C.6 D.812. 已知与两坐标轴正半轴都相交的直线xa+yb =1恒过定点(2,5)，则使不等式lg a +lg b ≥m 恒成立的m 的最大值为( ) A.1 B.2 C.1+2lg 2 D.2+2lg 2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)已知x >2，则函数y =x 2−4x+8x−2的最小值为________．若函数f(x)=x +m 2x在(0, +∞)上的最小值为4，则m 的值为________.已知正实数x，a1，a2，y成等差数列，正实数x，b1，b2，y成等比数列，则√b1b2a1+a2的取值范围是________．若a，b∈R，ab>0，则a 4+4b4+1ab的最小值为________．三、解答题(本大题共4小题,共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 回答下列问题：(1)求证：4a−3+a≥7(其中a>3)；(2)已知a，b，c∈(0,+∞)，且a+b+c=1，求证：1a +1b+1c≥9.已知函数f(x)=log4(4x+1)−(k−1)x（x∈R，k为常数）为偶函数．(1)求常数k的值；(2)当x取何值时，函数f(x)的值最小？并求出f(x)的最小值.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m，求1x +2y的最小值．设x，y满足约束条件{2x−y+2≥0,8x−y−4≤0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0, b>0)的最大值为8.(1)求1a +1b的最小值；(2)求a2+16b2−4ab的最小值.四、附加题(本大题共2小题,每小题10分,共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（也是该厂的年产量）x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3−km+1(k如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.预计2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．(1)设2018年该产品的利润为y万元，将y表示为m的函数；(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时获得的利润最大？已知函数f(x)=xx+1(x≠−1)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a>b>0，且c=1(a−b)b ，求证：f(a2)+f(c)>45.参考答案与试题解析人教A数学必修5第十单元单元测试卷：基本不等式一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】由题意可得1x +4y=1≥2√4xy=4√1xy，可得1xy≤116，即xy≥16，从而得到结论．【解答】解：由于x，y是正数，且1x +4y=1，∴1x+4y=1≥2√4xy=4√1xy，∴1xy≤116，∴xy≥16，当且仅当1x =4y=12时，等号成立，∴xy有最小值为16，故选A．2.【答案】D【考点】不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x+1x≥2(当且仅当x=1时取等号)，当x<0时，−x>0，所以x+1x =−(−x+1−x)≤−2(当且仅当x=−1时取等号)，所以排除A，B；又x2+1≥2|x|，所以|x|x2+1≤12(当且仅当|x|=1时取等号)，所以排除C；因为|x+1x|≥|2|=2，所以D正确. 故选D.3.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：由a>−3，b>−4，可得a+3>0，b+4>0，则a+b=(a+3)+(b+4)−7≥2√(a+3)(b+4)−7=3，当且仅当a+3=b+4=5，即a=2，b=1时取等号.故选B.4.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：由基本不等式，可知a+b≥2√ab，a2+b2≥2ab，又0<a<1，0<b<1，所以a+b>a2+b2，所以最大的一个是a+b.故选A.5.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由x2+2xy−3=0，得y=3−x 22x =32x−12x，所以2x+y=32x+32x≥2×32=3（当且仅当x=1时，等号成立）.故选B.6.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用 直线的点斜式方程 斜率的计算公式【解析】由点P(x, y)在经过A(3, 0)，B(1, 1)两点的直线上可求得直线AB 的方程，即点P(x, y)的坐标间的关系式，再利用基本不等式可求得2x +4y 的最小值． 【解答】解：由A(3, 0)，B(1, 1)可求直线AB 的斜率k AB =−12， ∴ 由点斜式可得直线AB 的方程为：x +2y =3．∴ 2x +4y =2x +22y ≥2√2x ⋅22y =2√2x+2y =2√23=4√2， 当且仅当x =2y =32时取等号． 故选B ． 7.【答案】 C【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 基本不等式同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为0<x <π2，所以tan x >0. 所以f(x)=1+cos 2x+8sin 2xsin 2x=2cos 2x+8sin 2x 2sin x cos x=1+4tan 2x tan x =1tan x +4tan x≥2√1tan x⋅4tan x =4，当且仅当tan x =12时取等号， 所以函数f(x)=1+cos 2x+8sin 2xsin 2x的最小值为4.故选C . 8. 【答案】 A【考点】等腰三角形的性质基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式【解析】本题考察基本不等式的运用。
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一．选择题
1.若,,a b c R ∈,且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A.a b b c +≥-
B.ac bc ≥
C.2
0c a b
>- D 2()0a b c -≥ 2.对于任意实数,,,a b c d ，命题①若,0,a b c ><则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc <，则a b <；④若a b >，则 11a b
<；⑤若0,0a b c d >>>>，则ac bd >。
其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知22π
π
αβ-≤<≤，则2αβ
-的取值范围是（ ） A.,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
B.[,0]2π-
C.[,0)2π-
D.[0,]2π 4.已知,a b R +∈,且5a b +=，则22a b
+的最小值是（ ）
A.32
B.
C.
D. 10 5．下列命题中，其正确的命题个数为①1x
x +的最小值是2；2的最小值是2；③2log log 2x x +的最小值2；④ 0,2x π
<<tan cot x x +的最小值是2；⑤33x x -+的最小值是2.
A.1
B.2
C.3
D.4
6.若,a b R +
∈,下列不等式中正确的是（ ） A.22222a b a b ab ++⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭ B.22222a b a b ab ++⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭ C. 22222a b a b ab ++⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭ D.22222a b a b ab ++⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭
7.已知,x y 是正数，且191x y
+=，则x y +的最小值是（ ） A.6 B.12 C.16 D.24
8.设0,0,4x y xy >>=，则s
=+取最小值时x 的值为（ ）
A.1
B.2
C.
D.422
9.甲乙两人同时从A 地出发B 地，甲在前一半路程用速度1v ，在后一半路程用速度2v （12v v ≠），乙在前一半时间用速度1v ，在后一般时间用速度2v ，则两人中谁先到达（ ）
A.甲
B.乙
C.两人同时
D.无法确定
10.若,x y R ∈,且224x y +=，则22
xy x y +-的最小值为（ ）
A.2-
B.1+
C.-2
D.13-
二．填空题
11.若14,24a b <<-<<，则2a b -的取值范围是
12.若x R ∈,则2x 与1x -的大小关系是
13.函数2
y =的最小值是
14.已知4,x >函数14y x x
=-+
-，当x = 时，函数有最 值是 三．解答题 15.已知正数,x y 满足21x y +=，求
11x y +的最小值。
16.已知0,a >且321,log (1),log (1)a a a x a y a ≠=+=+，试比较,x y 的大小。