参数方程求导法_高阶导数

B.
四.高阶导数
1. 问题提出 ——质点作变速直线运动的速度与加速度
设质点作变速直线运动的路程 S 关于时间 t 的函数为 s s(t)
质点在 t 时刻的瞬时速度为
v(t) s(t)
质点在 t 时刻的瞬时加速度为
a(t) v(t) [s(t)]
四.高阶导数
定义
参数方程求导法则：
设
x x(t)
tI
y y(t)
若 d y y(t), d x x(t) 存在, 且 x(t) 0, 则
dt
dt
dy
dy dx
y(t)
xt

dt dx
y对t求导数
dt
x对t求导数
例3 解
求由参数方程x y

2t 2 t sin
B. ×
第四节 小结
一.隐函数的求导法 二.取对数求导法 三.参数方程求导法
F(x, f (x)) 0
ln y ln f (x)
d d
y x
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y(t)
xt
d F(x, f (x)) 0 dx
y (ln f (x)) y
四.高阶导数
f (x) ( f (x)). f (x) ( f (x)).
或y a2 x2 ( t 2 )
例2
摆线方程
x y

a(1 sin t) a(1 cost)
三.参数方程求导法则
1. 参数方程的概念
选择一个适当的参数 t 后,
y = f (x) 可表示为
x x(t)

y

y(t
)
tI
的形式, 此式称为函数 y = f (x) 的参数方程.
y 30 x4 12 x 6
y 120 x3 12 y(4) 360 x2 y(5) 720 x
y(6) 720
y(7) 0
y(8) 0 y(n) 0
对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .
例5 求 y = ex 的各阶导数.
解 y ex
y ( y) (ex ) ex

y(n) ex

y = ex 的任何阶导数仍为 ex
(ex )(n) ex (n N)
练
判断： y = ax 的各阶导数可以表示为： (a x )(n) a x
A. √
所确定的函数y的导数 t
dy dx
.
dy (t sin t) 1 cost dx
dx (2t 2 ) 4t dt
dy
故
dy dx

dt dx
1 cost 4t
dt
练
椭圆
x y
a cost ,
bsin t
在t


2
时的切线方程为 y

b.
A.
一般说来, 如果函数 f (x) 的导函数 f (x) 仍然 可导, 则称 f (x) 的导数为原来函数 f (x) 的二 阶导数, 记为 f (x) ( f (x)).
例4 求幂函数 y x6 2x3 3x2 x 6, n Z 的高阶导数.
解 y 6x5 6x2 6x 1
高等数学之——
3.4 隐函数和高阶求导法则
第三章 导数与微分
第三节 隐函数和高阶求导法则
一.隐函数的求导法 二.取对数求导法 三.参数方程求导法 四.高阶导数
例1
圆的方程 xy

a cost a sin t
(0

t

2
)
消去t,可得 y a2 x2 (0 t )