2013中考数学求最短距离大全含答案

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最短距离专题(答案部分)

4、如图，∠AOB 内有一点 P，在 OA 和 OB 边上分别找出 M、N，使Δ PMN 的周长最小。
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基本应用
1．如图，∠AOB=30°，内有一点 P 且 OP=5，若 M、N 为边 OA、OB 上两动点，那么△PMN 的周长最小为 5 ．
【分析】根据题意画出符合条件的图形，求出 OD=OE=OP，∠DOE=60°，得出等边三角形 DOE，求出 DE=5，求出△PMN 的周长=DE，即可求出答案．【解答】解：作 P 关于 OA 的对称点 D，作 P 关于 OB 的对称点 E，连接 DE 交 OA 于 M，交 OB 于 N，连接 PM，PN，则此时△PMN 的周长最小，连接 OD，OE， ∵P、D 关于 OA 对称，∴OD=OP，PM=DM，同理 OE=OP，PN=EN，∴OD=OE=OP=5， ∵P、D 关于 OA 对称，∴OA⊥PD， ∵OD=OP，∴∠DOA=∠POA，同理∠POB=∠EOB，∴∠DOE=2∠AOB2×30°═60°， ∵OD=OE=5，∴△DOE 是等边三角形， ∴DE=5 即△PMN 的周长是 PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=5，
【分析】（1）首先作出∠AOB 角平分线，再作出 MN 的垂直平分线，交点即为 P；（2）先作出 M 点关于 AB 的对称点 G，连接 NG 交 AB 于 Q，则 Q 就是所求．【解答】解：（1）如图所示：
∴点 P 是所求做的点；（2）由题意，得 ∴点 Q 是所求作的点．【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，线段的垂直平分线的性质的运用，轴对称最短路径问题的运用，解答时熟练掌握基本作图的方法是关键．
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作 B 点关于 l 的对称点 B′，连接 AB′交E⊥AE，

（完整版）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧

（完整版）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧初中数学［最短路径问题］典型题型及解题技巧最短路径问题中，关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利⽤平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作⽤。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移” “⽴体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题” “⽴体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有⾓、三⾓形、菱形、矩形、正⽅形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

⼀、两点在⼀条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求⼀点P，使得PA+PB h 最⼩。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）⼆、两点在⼀条直线同侧例：图所⽰，要在街道旁修建⼀个奶站，向居民区A、B提供⽜奶，奶站应建在什么地⽅，才能使从A、B到它的距离之和最短.■解：只有A、C、B在⼀直线上时，才能使AC+BC最⼩.作点A关于直线“街道”的对称点A '，然后连接A ' B,交“街道”于点C,则点C就是所求的点.、⼀点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐⾓/ MON内部任意⼀点，在/ MON的两边OM，ON上各取⼀点B，C,组成三⾓形，使三⾓形周长最⼩.解：分别作点A 关于0M , ON 的对称点AAOM , ON 于点B 、点C ,则点B 、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在⼀条直线上时，三⾓形的周长最⼩例：如图，A.B 两地在⼀条河的两岸，现要在河上建⼀座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平⾏的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的⽅向平移⼀个河宽到 E ,2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥证明：由平移的性质，得 BN // EM 且 BN=EM, MN=CD, BD // CE, BD=CE,所以 A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在⼛ACE 中AC+CE >AE,⼆ AC+CE+MN >AE+MN,即 AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。

中考专题复习——最短路径问题(有答案)

B CD AL 中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。

（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。

请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为。

四、练习题（巩固提高）张村李庄ABCD 图(2)EBDACP图(3)D OP（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为。

4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN的最小值为。

第4题第5题第6题第7题5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为。

（完整）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧

（完整）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利⽤平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作⽤。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“⽴体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“⽴体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有⾓、三⾓形、菱形、矩形、正⽅形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

⼀、两点在⼀条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求⼀点P，使得PA+PB最⼩。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）⼆、两点在⼀条直线同侧例：图所⽰，要在街道旁修建⼀个奶站，向居民区A、B提供⽜奶，奶站应建在什么地⽅，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在⼀直线上时，才能使AC+BC最⼩．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、⼀点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐⾓∠MON内部任意⼀点，在∠MON的两边OM，ON上各取⼀点B，C，组成三⾓形，使三⾓形周长最⼩.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在⼀条直线上时，三⾓形的周长最⼩例：如图，A.B两地在⼀条河的两岸，现要在河上建⼀座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平⾏的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的⽅向平移⼀个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。

中考数学复习题方法技巧专题十最短距离训练(含答案)

方法技巧专题 ( 十)最短距离训练【方法解读】研究平面内最短路径的原理主要有以下两种: 一是“垂线段最短”, 二是“两点之间, 线段最短”.立体图形上的最短路径问题需借助平面睁开图转变为平面问题. 求平面内折线的最短路径往常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转变为两点之间的线段.1.矩形OABC在平面直角坐标系中的地点如图F10- 1, 点B的坐标为 (3,4),D是 OA的中点,点 E 在 AB上,当△ CDE的周长最小时 , 点E的坐标为 ()图 F10- 1A. (3,1)B. (3, )C. (3, )D. (3,2)2. [2018 ·宜宾 ]2222在△ ABC中,若 O 为 BC边的中点,则必有: AB+AC=2AO+2BO建立 . 依照以上结论,解决以下问题:如图F10- 2, 在矩形DEFG中 , 已知DE=4, EF=3, 点P在以DE为直径的半圆上运动22, 则PF+PG的最小值为 ()图 F10- 2 A.B.C. 34D. 101BP+EP最小值的是()图 F10- 3A.BCB.CEC.ADD.AC4. [2017 ·莱芜 ]如图F10-4,菱形ABCD的边长为6, ∠ABC=120°,M是BC边的一个三均分点, P是对角线AC上的动点,当 PB+PM的值最小时, PM的长是()图 F10- 4A.B.C.D.5. [2017 ·乌鲁木齐 ]如图F10-5,点A(a,3),B( b,1)都在双曲线y= 上,点 C, D分别是 x 轴、y 轴上的动点,则四边形 ABCD周长的最小值为()图 F10- 5A.5B.626. [2018 ·泰安 ]如图F10-6,☉M的半径为2, 圆心M的坐标为 (3,4),点P是☉ M上的随意一点,PA⊥PB, 且PA, PB与x轴分别交于 A, B两点,若点 A, B 对于原点 O对称,则 AB的最小值为()图 F10- 6A.3B.4C.6D.87. [2018 ·滨州 ]如图F10-7,∠ AOB=60°,点P是∠ AOB内的定点且OP=, 若点M, N分别是射线OA, OB上异于点 O的动点 , 则△PMN周长的最小值是()图 F10- 7A.B.C.6D.38. [2018 ·遵义 ]如图F10-8,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点 P 是抛物线对称轴上随意一点,若点 D, E, F 分别是 BC, BP, PC的中点,连接 DE, DF,则 DE+DF的最小值为.39. [2018 ·黑龙江龙东 ]如图F10-9,已知正方形ABCD的边长为4,点 E是 AB边上一动点,连接 CE.过点 B 作 BG⊥ CE于点G.点 P是 AB边上另一动点,则 PD+PG的最小值为.图 F10- 910. [2018 ·广安改编 ]如图F10-10,已知抛物线y= x2+bx+c与直线 y= x+3订交于 A, B两点,交 x 轴于 C, D两点,连接 AC, BC,已知 A(0,3),C( - 3,0) .(1)求此抛物线的分析式 ;(2)在抛物线的对称轴 l 上找一点 M,使 |MB-MD|的值最大,并求出这个最大值 .图 F10- 1011. [2018 ·广州 ]如图F10-11,在四边形ABCD中,∠B=∠ C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.(1)利用尺规作∠ ADC的均分线 DE,交 BC于点 E,连接 AE(保存作图印迹,不写作法);(2)在 (1) 的条件下 ,①证明 : AE⊥DE;②若 CD=2, AB=4,点 M, N分别是 AE, AB上的动点,求 BM+MN的最小值 .图 F10- 11参照答案1. B [ 分析 ]如图,作点D对于直线AB的对称点 H,连接 CH与 AB的交点为 E,此时△ CDE的周长最小 . ∵ D( ,0), A(3,0),∴H( ,0),可求得直线CH的分析式为y=- x+4.当 x=3时, y= ,∴点 E 的坐标为(3,) .应选 B.2.D [分析]222222222取 GF的中点 O,连接 PO,则依据资料可知 PF+PG=2PO+2OG=2PO+2×2=8+2OP,若使 PF+PG的值最小,则2210.应选 D.一定 OP的值最小,所以 PO垂直于 GF时 PO的值最小,此时 PO=1,所以 PF+PG的最小值为3 B [分析]连接由, 可得△是等腰三角形 , 依据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B 与点C对于直.PC.AB=AC ABC线 AD对称, BP=CP,所以 BP+EP的最小值为 CE.应选B.4. A [ 分析 ]如图,连接BD,DM,BD交AC于点O,DM交AC于点P,则此时PB+PM的值最小.过点D作DF⊥BC于点F,过点M作 ME∥ BD交 AC于点 E.∵∠ ABC=120°,6∴BF=CF=BC=3.∴ MF=CF-CM=3-2=1, DF= BF=3.∴ DM==2 .∵ME∥BD,∴△ CEM∽△ COB.∴= ==.又∵ OB=OD,∴= .∵ME∥BD,∴△ PEM∽△ POD.∴= = ,∴ PM=DM=×2 = .应选 A.5 B[分析]∵点 (,3),(,1) 都在双曲线y=上,∴ 1,3, ∴ (1,3),(3,1),则AB=2作. A a B b a=b=A B= =.点A 关于y轴的对称点1,作点B关于x轴的对称点1,连接1 1,交y轴于点 ,交x轴于点 ,则A B A B D CA( - 1,3),B (3,- 1), AB===4, 依据轴对称的性质,四边形ABCD周长的最小值是1111AB+A1B1=2+4=6. 应选B.6. C [ 分析 ]连接OP,∵PA⊥ PB,∴∠ APB=90° .∵ AO=BO,∴AB=2PO.若要使 AB获得最小值,则 PO需获得最小值,如图,连接 OM,交☉ M于点 P' ,当点 P位于点 P' 地点时, OP'获得最小值,过点 M作 MQ⊥ x 轴于点 Q,则 OQ=3, MQ=4,∴OM=5.又∵ MP'=2,∴ OP'=3,∴AB=2OP'=6.应选 C.7. D [ 分析 ]如图,分别以OA,OB为对称轴作点P 的对称点 P1, P2,连接 P1P2, OP1, OP2, P1P2分别交射线OA, OB于点 M, N,则此时△PMN 的周长有最小值 , △PMN周长等于12, 依据轴对称的性质可知, 1 2, ∠=PM+PN+MN=PN+MN OP=OP=OP=POP=120°,∠ OPM=30°,过点 O作 MN的垂线段,垂足为 Q,在△ OPQ中,可知 PQ=,所以 P P =2P Q=3,故△ PMN周长的最12111121小值为 3.应选 D.8.[ 分析 ]因为点D, E, F 分别是BC, BP, PC 的中点,所以DE, DF 是△ PBC 的中位线,所以DE=PC, DF= PB,所以DE+DF=( PC+PB),即求 PC+PB的最小值 . 因为 B, C 为定点, P 为对称轴上一动点, 点A, B对于对称轴对称, 所以连接AC,与对称轴的交点就是点P 的地点, PC+PB的最小值等于AC的长度,由抛物线的分析式可得, A( - 3,0),C(0, - 3), AC=3, 所以DE+DF=( PC+PB)=.9. 2- 2[ 分析 ]由问题“ PD+PG的最小值”考虑到“最短路径问题”, 因为点D为定点 , 所以考虑作点D对于 AB轴对称的点M,如图①,连接PM,GM,则 MP=DP根.据两点之间线段最短, 当M, P, G三点不在同一条直线上时, PM+PG>MG,即8DP+PG>MG;当 M, P, G三点在同一条直线上时, PM+PG=MG,即DP+PG=MG,所以 , 当PD+PG取最小值时 , M, P, G三点在同一条直线上 , 此时DP+PG=MG进.一步获得 : 当MG获得最小值时 , DP+PG随之获得最小值.下边剖析MG何时获得最小值.注意到问题与点相关,点G 是△的直角极点 , △的斜边为定值 , 所以 , 其斜边的一半也为定值 , 所以取中点, 连接,G BCG BCG BC N GN 则 GN的长为2. 连接 MN,联合定点 M,可知 MN也为定值 . 再剖析点 G,不论点 E如何变化,点 G一直在以 N为圆心, NG长为半径的圆上 . 依据三角形两边之差小于第三边,可知,当点 M, G, N 不在同向来线上时, MG>MN-GN,进一步可知,当点 G在线段MN上时, MG=MN-GN,此时 MG最小,最小值为 MN-GN如.图②,易知 MN的长,进一步可得结果 .如图② , 作点D对于AB轴对称的点M,取 BC中点 N,连接 MN,交 AB于点 P,以 BC为直径画圆,交 MN于点 G,则 DP=MP,∴DP+PG=MP+PG=MG=MN-GN.作 NQ⊥ AD于 Q,则 MN==2, ∴MN-GN=2- 2,∴PD+PG的最小值为2- 2.10.解 :(1)∵抛物线y= x2+bx+c 经过点 A(0,3),C( - 3,0),∴解得∴抛物线的分析式为y= x2+ x+3.(2)依据二次函数图象的对称性可知MD=MC,要求 |MB-MD|的值最大,就是使 |MB-MC|的值最大,由三角形两边之差小于第三边 , 适当点B, C, M在同一条直线上时 , |MB-MD|的值最大.由一次函数和二次函数的图象交于A, B两点,得 x2+ x+3= x+3,解得 x=- 4或 x=0. 当 x=- 4时, y=1,即点 B( - 4,1) .∵点 (3,0), ∴BC==,C -∴ |MB-MD|的最大值为.11.解 :(1)如图:(2)①证明 :如图,延伸∵∠ ABC=∠ C=90°,∴∠ ABC+∠ C=180° .∴AB∥CD.∴∠ CDE=∠∵ DE均分∠ ADC,∴∠ ADE=∠ CDE.∴∠ ADE=∠ F.∴AD=AF=AB+BF.又 AD=AB+CD,DE, AB订交于点 F. F.∴AB+BF=AB+CD∴.BF=CD.在△ CED和△ BEF中,∴△ CED≌△ BEF.∴ DE=EF.又 AD=AF,∴ AE⊥ DE.②如图 , 作DH垂直AB于点H, 作点N对于AE的对称点N' , 连接MN', 则MN=MN'∴. BM+MN=BM+MN'由①.可得AE均分∠DAB, ∴点 N' 在 AD 上 . ∴当点 B, M, N' 共线且 BN' ⊥ AD 时, BM+MN'有最小值,即 BM+MN有最小值 . 在Rt△ ADH中 , AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2, 由勾股定理可得, DH===4.∵∠ DHA=∠ BN'A=90°,∠ DAH=∠ BAN',∴△ DAH∽△ BAN',∴=, ∴= .∴ BN'= . ∴ BM+MN的最小值为.。

中考数学最短距离专题

最短距离基本图形1、垂线段最短2、两点之间，线段最短3、（1）若点A、B在直线m异侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小（两点之间，线段最短）（2）若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．4、圆外一点与圆的最短距离、最大距离典例分析：1、（2016·山东省东营市·3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE 的最小值是_______．2、（2016·福建龙岩4分）如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE=1，AF=2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP+FP 的最小值为（）A ．1 B ．2 C ．3 D ．43、（2015成都）如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例ky x =（K为常数，且0k ≠）的图象交于()1,A a ，B 两点.（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使PA PB +的值最小，求满足条件的点P 的坐标及PAB∆的面积.思路分析：在x轴上找一点P，使PA PB +的值最小,是构建基本图形:4、(2016·陕西·3分）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为__．分析：5、（2017邢台市二模，14分）如图，∠A=45°，∠ABC=60°，AB∥MN，BH⊥MN于点H，BH=8，点C在MN上，点D在AC上，DE⊥MN于点E，半圆的圆心为点O，直径DE=6，G为的中点，F是上的动点．发现：CF的最小值是，CF的最大值为．。

数学考点---最短距离问题(带答案)

数学考点---最短距离问题1.我们常利用“两点之间线段最短”解决两条线段和最小的相关问题，下面是熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）2.作图题（不写作法，保留作图痕迹）：（1）如图①，点A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（2）如图②，点A、B在直线l的同一侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（3）如图③，点A是锐角三角形MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使三角形周长最小；（4）如图④，AB是锐角三角形MON内部一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C、D组成四边形，使四边形周长最小；（5）如图，连结M、N与直线l相交于点O，当两直线的夹角等于450，且OM=6，MN=2时，PM+PN的最小值是3.（1）如图，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使得四边形APBC的周长最小，请写出作法（2）AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小．（如图所示）4.已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（）D．（）5.(1)如图，A、B两村位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且平行，现要在河上垂直于河岸建一座桥.问：应把桥建在什么位置，才能使A村经过这座桥到B村的路程最短？请画出草图，并简要说明作法及理由(2)A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥．（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来．（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC=40米，你能求出两村的最短路程吗？若能，请求出来6.在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，求m／n 的值7.如图，已知平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3）、B（4，﹣1）．（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求x值；（2）若C（a，0）、D（a+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M、N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）和（0，π），使四边形ABMV周长最短，若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由8.在平面直角坐标系中，点A（2，1）、B（4，2），坐标原点为O点．（1）在y轴上有一动点C，求当AC+BC最小时，C点的坐标；（2）在直线y=x上有一动点D，求当AD+BD最小时，D点的坐标；（3）在x轴上有两个点E（m，0）、F（m+1，0），求当四边形CEFD周长最小时，m的值9.已知线段AB在x轴上（A在B的左边），且AB=3，点C（2，-4）、点D（4，-1），当AC+BD最小时，点A的坐标是（） A（0,0） B（1，0） C（1.2,0） D（2，0）10.如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（结果保留根号）11.如图1，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B 处．（1）如图2是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P，使蚂蚁沿A-P-B路线爬行，距离最短．（2）结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长12.如图，长方体的长BE=5cm，宽AB=3cm，高BC=4cm，一只小蚂蚁从长方体表面由A点爬到D点去吃食物，则小蚂蚁走的最短路程是 cm13.如图，长方体的长BE=7，宽AB=5，高BC=5，一只小蚂蚁从A点爬到棱BC上，再爬到D点去吃糖，则小蚂蚁走的最短路程是14.如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=6，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为15.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，=6，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值（）A．8 B．6 C．2+2D．416.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（2，0），B（6，0）是x轴上的两点，则PA+PB 的最小值为17.如图，∠MON=90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为18.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）A． B．C．2 D．数学考点---最短距离问题答案1.解：（1）∵点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，∴EP+CP的最小值=AE=；（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，∵点C'坐标为（0，﹣2），点A坐标为（6，4），∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，故点D的坐标为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点．2.解：（1）如图①，连接两点与直线的交点即为所求作的点P，则点P即为所求；（2）如图②，过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′交直线l于P点，则点P即为所求；（3）作A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，与OM、ON相交于B、C，连接AB，BC，AC，则△ABC即为所求三角形；（4）作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，则四边形ABCD即为所求；（5）作出点M关于直线l的对称点M′，连结M′N交直线l于点P；∵两直线的夹角等于45°，且OM=6，MN=2，∴∠MOP=45°，OM=OM′=6，NO=8，∴∠NOM′=90°，∴M′N==10，故答案为：103.解：(1)作点A关于直线l的对称点A′，②连接A′B于直线l交于P，则点P就是所求作的点．(2)解：如图，作A关于OM的对称点E,再作B关于ON的对称点F，连接EF即可．如图．ABCD便是周长最小的．4.解：找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴的交于M点，连接BM，此时|AM|+|BM|为最短，由B 与B′关于x轴对称，B（2，2），所以B′（2，﹣2），又A（﹣3，8），则直线AB′的方程为y+2=（x﹣2）化简得：y=﹣2x+2，令y=0，解得x=1，所以M（1，0）故选：B5.(1)先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．(2)解：（1）桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形．（2）作MH⊥BC垂足为H．两村A、B之间的最短路程=AN+KN+BK，∵四边形AMKN是平行四边形，∴AN=MK，在RT△BMH中，∵BH=70，MH=40，∴BM==10，∴AN+KN+BK=BM+KN=10+30，∴两村的最短路程为（10+30）米6.解：根据题意，作出如图所示的图象,过点B作B关于y轴的对称点B′、过点A关于x轴的对称点A′，连接A′B′，直线A′B′与坐标轴交点即为所求．设过A′与B′两点的直线的函数解析式为y=kx+b．∵A（﹣8，3），B（﹣4，5），∴A′（﹣8，﹣3），B′（4，5），依题意得：，解得，所以，C（0，n）为（0，）．D（m，0）为（﹣，0）所以，=﹣．故答案为﹣7.解：（1）设点B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），设直线AB'的解析式为y=kx+b，把A （2，﹣3），B'（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0，得x=，即当△PAB的周长最短时，x=．（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．那么A'（2，3）．直线A'F 的解析式为y﹣1=•（x﹣1），即y=4x﹣5，∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，∴0=4a﹣5，解得a=．∴当四边形ABDC的周长最短时，a=．（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直线A′B′的解析式为：y=x﹣，∴M（，0），N（0，﹣）．∴m=，n=﹣8.解：（1）如图1，作A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于C，∴AC=A′C，∴AC+BC=A′C+BC=A′B，根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值，∵点A（2，1），∴A′（﹣2，1），∵B（4，2），设直线A′B的解析式为y=kx+b，∴-2k+b=1,4k+b=2，解得k=1／6，b=4／3．∴直线A′B的解析式为y=x+，∴C （0，）；（2）如图2，作A点关于直线y=x的对称点A″，连接A″B，交直线y=x于D，∴AD=DA″，∴AD+BD=DA″+BD=A″B，根据两点之间线段最短可知A″B就是AD+BD的最小值，∵点A（2，1），∴A″（1，2），∵B（4，2），∴直线BA″∥x轴，∴y=2，代入y=x中得x=2，∴D（2，2）；（3）作点C关于x轴的对称点C′，则C′的坐标为（0，﹣），把C′向右平移1个单位得到点D'（1，﹣），连接DD′，与x轴交于点F，如图3，∴C′E=CE，又∵点E（m，0）、F（m+1，0），∴EF=1，∴C′D′∥EF，∴四边形C′D′FE为平行四边形，∴C′E=D′F，∴CE=D′F，∴CE+DF=DD′，此时CE+DF最小，而CD与EF的长一定，∴此时四边形CEFD周长最短．设直线DD′的解析式为y=k′x+n，把D（2，2）、D′（1，﹣）分别代入得2k′+n=2，k′+n= -4／3，解得k′=，n=﹣，∴直线DD′的解析式为y=x﹣，令y=0，则x ﹣=0，解得x=，∴D点坐标为（，0），∴m+1=，∴m=10.解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，A′C2=A′D2+CD2=82+122=208，∴CA′=4cm答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是4cm12.解：（1）如图（1），AD==；（2）如图（2），AD==；（3）如图（3），AD===4．可见，AD的最小值为．故选C．13.解：AE=AB+BE=5+7=12．DE=BC=5．AD===13．蚂蚁爬的最短路径长为1314.解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵AB=8，AE=6，∴DE=BQ+QE==10，∵AB=8，AE=6，∴BE=2，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=10+2=1215.解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，连接OC交C′D于N，连接OD，∵AB是⊙O的直径，=6，∴，∵，∴，∴OC⊥C′D，C′D=2DN，∴∠COD=60°，∴∠D=30°，∵AB=8，∴OD=4，∴DN=OD•sin60°=2，∴C′D=4．∴CM+DM的最小值=4．故选：D16.解：如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，∵OA′=2，BO=6，∴PA+PB=A′B==2．故答案为：217.解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，∵△ABC是等边三角形，∴CD==2，∵∠MON=900，∴OD=AB==2，由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，最大值为2+2．故答案为：2+218.解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，∵∠MON=90°，∴OE=AE=AB=×2=1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE=1+2=3，过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE==，即=，解得DF=，∵OD=3，∴点F是OD的中点，∴AF垂直平分OD，∴OA=AD=．故选：B．。

中考数学专题复习《利用勾股定理求最短路径》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《利用勾股定理求最短路径》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图一个牧童在小河的南4km的A处牧马而他正位于他的小屋B的西8km北7km 处他想把他的马牵到小河边去饮水然后回家他要完成这件事情所走的最短路径是km．2．如图长方体的长为3cm 宽为2cm 高为1cm的长方体蚂蚁沿着表面从A爬行到B 的最短路程是．3．如图在△ABC中AD是BC边上的高垂足为D已知BD=1,AD=CD=2,BC上方有一动点P且点P到A,D两点的距离相等则△BCP的周长最小值为．4．如图这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图该U型池可以看成是长方体去掉m的半圆其边缘AB＝CD＝15m 一个“半圆柱”而成中间可供滑行部分的截面是直径为32π点E在CD上CE＝3m一滑板爱好者从A点滑到E点则他滑行的最短距离约为m．（边缘部分的厚度忽略不计）5．如图四边形ABCD∠BAD＝60° ∠ADC＝150° 且BD∠DC已知AC的最大值是3 则BC＝．6．如图在一个长为5m宽为3m的长方形草地上放着一根长方体的木块它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD木块从正面看是边长为1m的正方形一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程约为m．（精确到1m）7．如图C为线段BD上一动点分别过B D作AB⊥BD ED⊥BD连接AC EC已知AB=5DE=1BD=8设CD=x．请用含x的代数式表示AC+CE的长为根据上述方法求出√x2+4+√(12−x)2+9的最小值为．8．如图四边形ABCD为矩形AD=3AB=4点E是AD所在直线的一个动点点F 是对角线BD上的动点且BF=DE则AF+BE的最小值是．9．如图长方形BCFG是一块草地折线ABCDE是一条人行道BC＝12米CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD践踏绿草管理部门分别在B D处各挂了一块牌子牌子上写着“少走米踏之何忍”．10．如图BD是RtΔABC的角平分线点F是BD上的动点已知AC=2AE=2√3−2∠ABC=30°则（1）BE=（2）AF+EF的最小值是．11．如图AB是半圆O的直径半圆的半径为4 点C D在半圆上OC⊥AB,BD=2CD 点P是OC上的一个动点则BP+DP的最小值为．12．如图一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直点P在墙面上若P A＝AB＝5米点P到AD的距离是4米有一只蚂蚁要从点P爬到点B它的最短行程是米13．如图在Rt∠AOB中∠AOB＝90° OA＝4 OB＝6 以点O为圆心3为半径的∠O与OB交于点C过点C作CD∠OB交AB于点D点P是边OA上的动点则PC+PD的最小值为．14．如图台阶阶梯每一层高20cm宽40cm长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是．15．已知正方形ABCD的边长为1 点E F分别是边BC CD上的两个动点且满足BE= CF连接AE AF则AE+AF的最小值为．16．如图在菱形ABCD中AB=4∠ABC=60°M为AD中点P为对角线BD上一动点连接PA和PM则PA+PM的最小值是．17．如图圆柱形容器高为18cm 底面周长为24cm 在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处则蚂蚁从外币A 处到达内壁B处的最短距离为．18．如图直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A B两点点C的坐标是（1 0）DE分别是AB OA上的动点当∠CDE的周长最小时点E的坐标是．19．如图菱形ABCD的边长为4 ∠BAD＝120° E是边CD的中点F是边AD上的一个动点将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF' 连接AF' BF' 则∠ABF'的周长的最小值是．20．如图已知矩形ABCD中AB＝4 AD＝3 E F分别为AB DC上的两个动点且EF∠AC则AF+FE+EC的最小值为．参考答案1．解：如图做出点A关于小河MN的对称点A` 连接A`B交MN于点P则A`B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．在Rt∠A`DB中由勾股定理求得A`B=√A`D2+DB2=√(7+4+4)2+82=17(km)．则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．2．解：如图1AB= √52+12=√26（cm）如图2AB= √32+32=3√2（cm）如图3AB= √22+42=√20=2√5（cm）故沿长方体的表面爬到对面顶点B处只有图2最短其最短路线长为：3√2cm．故答案为：3√2.3．解：∠P到AD两点的距离相同∠P在线段AD的垂直平分线上取AD的中点H作HF//BC作B关于HF的对称点E连接CE与直线FH交于P点P 即为所求∠∠BFH=90° BF=EF EP=BP∠要使∠BCP的周长最小∠BP+CP最小即为CE长又∠EF//BC∠ADC=90°∠∠FHD=∠HDB=90°∠四边形BDHF是矩形AD=1∠FBD=90°∠BF=DH=EF=12∠BE=2∠CE=√BC2+BE2∠CE=√13∠BCP的周长最小值=BC+BP+CP=3+√13故答案为：3+√13．4．解：如图是其侧面展开图：AD=12π⋅32π=16（m）AB=CD=15m．DE=CD-CE=15-3=12（m）在Rt∠ADE中AE=√AD2+DE2=√162+122=20（m）．故他滑行的最短距离约为20m．故答案为：20．5．解：如图取BC的中点F以BC为边在∠BCD另一侧作等边三角形∠BCG连接DG DF FG∠∠ADC＝150° 且BD∠DC∠∠ADB＝150°﹣90°＝60°∠∠BAD＝60°∠∠ADB＝∠BAD＝60°∠∠ABD是等边三角形而∠BCG也是等边三角形∠AB＝DB BC＝BG∠ABD＝∠CBG＝60°∠∠ABD+∠DBC＝∠CBG+∠DBC即∠ABC＝∠DBG在∠ABC和∠DBG中{AB=DB ∠ABC=∠DBG BC=BG∠∠ABC∠∠DBG（S A S）∠AC＝DG∠AC 的最大值是3∠DG 的最大值也是3在∠DGF 中 DG ≤DF +FG∠当DF FG 在同一条直线上时 DG 取最大值3 即DG ＝DF +FG ＝3 ∠BD ∠DC BC 的中点F∠DF ＝BF ＝CF ＝12BC∠等边三角形∠BCG BC 的中点F∠GF ∠BC ∠BGF ＝∠CGF ＝12∠BGC ＝30°∠BF ＝CF ＝12BG ＝12BC∠设DF ＝BF ＝CF ＝x 则BC ＝BG ＝2x∠FG ＝√BG 2−BF 2=√(2x)2−x 2=√3x∠DF +FG ＝x +√3x ＝3解得：x ＝3√3−32∠BC ＝2x ＝2×3√3−32＝3√3﹣3故答案为3√3﹣3．6．解：由题意可知将木块展开如图长相当于是AB +2个正方形的宽∠长为5+2×1＝7m 宽为3 m ．于是最短路径为：√32+72=√58≈8 m ．故答案为8．7．解：AC +CE =√BC 2+AB 2+√CD 2+DE 2=√(8−x)2+25+√x 2+1 当A C E 三点共线时 AC +CE 的值最小如右图所示作BD =12 过点B 作AB ∠BD 过点D 作ED ∠BD 使AB =2 ED =3连接AE交BD于点C设BC=x则AE的长即为代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值．过点A作AF∠BD交ED的延长线于点F得矩形ABDF则AB=DF=2 AF=BD=12 EF=ED+DF=3+2=5所以AE=√AF2+EF2=√122+52=13即√x2+4+√(12−x)2+9的最小值为13故答案为：√(8−x)2+25+√x2+113．8．解：如图延长BC至G使得BG=BD连接GF∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB=∠ABC=90°,AD//CB∴∠EDB=∠FBC在△EDB与△FBG中{ED=BF ∠EDB=∠FBG BD=BG∴△EDB≌△FBG∴BE=GF∴AF+BE=AF+GF≥AG 在Rt△ABD中AD=3,AB=4BD=√AD2+AB2=5∴BG=5在Rt△ABG中BG=5,AB=4AG=√AB2+BG2=√42+52=√41∴AF+BE的最小值是√41．故答案为：√41．9．解：在Rt△BCD中∴BD=√BC2+CD2=13则BC+CD−BD=12+5−13=4（米）故答案为：410．解：（1）∠AC=2∠ABC=30°∠BAC=90°∠BC=2AC=4∠AB=√BC2−AC2=√42−22=2√3∠BE=AB−AE=2√3−(2√3−2)=2故答案为：2（2）如图所示作E点关于BD的对称点G连接EG AG GF∠BD是∠ABC的平分线∠点G在线段BC上∠根据对称性可得EF=GF BG=BE=2∠EF+AF=GF+AF≥AG∠当点A F G三点共线时GF+AF的长度最短即EF+AF的最小值为AG的长度．∠GC=BC-BG=4-2=2又∠∠ABC=30°∠BAC=90°∠∠C=60°又∠AC=2∠△AGC是等边三角形∠AG=AC=2．∠AF+EF的最小值是2．故答案为：2．11．解：作点D关于OC的对称点为D1连接BD1OD1过点D1作D1Q⊥AB由题知OC⊥AB BD=2CD∠BC=3CD可得CD对应的圆心角∠COD=30°又点D关于OC的对称点为D1∠∠COD1=30°∠AOD1=60°∠BD1长为BP+DP的最小值在RtΔQOD1中OD1=4∠OQ=2D1Q=2√3在RtΔQD1B中BQ=OQ+OB=6D1Q=2√3∠BD1=√62+(2√3)2=4√3故填：4√312．解：如图过P作PG∠BF于G连接PB∠AG=4 AP=AB=5∠PG=√AP2−AG2=3BG=9∠PB=√GB2+GP2=3√10故这只蚂蚁的最短行程应该是3√10故答案为：3√1013．解：延长CO交∠O于点E连接ED交AO于点P则PC+PD的值最小最小值为线段DE的长．∠CD∠OB∠∠DCB＝90°∠∠AOB＝90°∠∠DCB＝∠AOB ∠CD∠AO∠CD AO =BCBO∠CD 4=36∠CD＝2在Rt∠CDE中DE＝√CD2+CE2=√22+62=2√10∠PC+PD的最小值为2√10．故答案为：2√10．14．解：如图所示∠楼梯的每一级的高宽长分别为20cm宽40cm长50cm ∠AB=√502+[2(20+40)]2=130(cm)即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．故答案为：130cm．15．解：连接DE∠BE=CF且四边形ABCD为正方形∠CD-CF=BC-BE即DF=CE在△ADF和△DCE中{AD=DC ∠ADF=∠DCE DF=CE∴△ADF∠∠DCE∠AF=DE AE+AF=AE+DE以BC为对称轴作A点关于BC的对应点A′连接DA′与BC交点即为点E∠点A和点A′关于BC对称∠AE=A′EAE+DE=A′E+DE=A′D由勾股定理可得：A′D=√AD2+A′A2=√22+12=√5∠AE+AF的最小值为√5故答案为：√516．解：作点M关于BD的对称点N交CD于点N连接AN则AN就是P A+PM的最小值∠在菱形ABCD 中 AB =4 ∠ABC =60° M 为AD 中点 AC ∠BD∠∠ADC =60° DA =DC 点N 为CD 的中点∠∠DAC 是等边三角形 AN ∠CD∠AC =AD =AB =4∴AN =√AD 2−DN 2=√42−22=2√3故答案为：2√317．解∠如图将杯子侧面展开作A 关于EF 的对称点A ′ 连接A ′B 则A ′B 即为最短距离．根据勾股定理得A ′B =√A ′D 2+BD 2=√122+162=20m ．故答案为：20cm ．18．解：如图点C 关于OA 的对称点C ′（-1 0）点C 关于直线AB 的对称点C ″ ∠直线AB 的解析式为y =-x +7∠直线C C ″的解析式为y =x -1由{y =−x +7y =x −1得{x =4y =3∠F（4 3）∠F是C C″中点∠可得C″（7 6）．连接C′C″与AO交于点E与AB交于点D此时∠DEC周长最小∠DEC的周长=DE+EC+CD=E C′+ED+D C″=C′C″=√82+62=10．故答案为10．19．解：取AD中点G连接EG F'G BE作BH∠DC的延长线于点H∠四边形ABCD为菱形∠AB＝AD∠∠BAD＝120°∠∠CAD＝60°∠∠ACD为等边三角形又∠DE＝DG∠∠DEG也为等边三角形．∠DE＝GE∠∠DEG＝60°＝∠FEF'∠∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG即∠DEF＝∠GEF'由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'所以EF＝EF'．在∠DEF和∠GEF'中{DE=GE∠DEF=∠GEF′EF=EF′∠∠DEF∠∠GEF'（SAS）．∠∠EGF'＝∠EDF＝60°∠∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°则点F'的运动轨迹为射线GF'．观察图形可得A E关于GF'对称∠AF'＝EF'∠BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE在Rt∠BCH中∠∠H＝90° BC＝4 ∠BCH＝60°∠CH=12BC=2,BH=2√3,在Rt∠BEH中BE＝√BH2+EH2＝√12+16＝2√7∠BF'+EF'≥2√7∠∠ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2√7故答案为：4+2√7．20．解：过B作BH∠EF交CD于H过A作AG∠EF且使AG＝EF连接GE∠四边形AGEF是平行四边形∠AF＝GE∠当G E C三点共线时AF+EC最小∠EF ∠AC∠BH ∠AC∠∠HBC +∠BCA ＝90° ∠BCA +∠ACH ＝90° ∠∠HBC ＝∠ACH∠tan∠HBC ＝tan∠ACD 即HC BC =AD CD∠AB ＝4 AD ＝3∠ HC 3=34∠HC ＝94∠BH =√BC 2+CH 2=√9+(94)2=154∠AF +EF +EC ≥GC +BH∠GA ∠AC∠∠ACG 为直角三角形∠AB ＝4 AD ＝3∠AC ＝5∠EF ＝BH ＝AG∠AG ＝154∠GC ＝√AG 2+AC 2=√52+(154)2=254∠GC +EF ＝254+154＝10∠AF +FE +EC 的最小值为10故答案为：10．。

几何体上两点间最短距离(参考答案)

几何体上两点间最短距离1.如图，侧棱长为的正三棱锥V—ABC中，ZAVB=ZBVC=ZCVA=40,过点A作截面AEF9则截面AQ的周长的最小值为A.y∕3B.2C.3D.4【答案】C2.一圆台上底半径为5cm,下底半径为IoCm,母线AB长为20cm,其中A在上第面上，B在下底面上，从AB中点M,拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B点，则这条绳子最短长为A.30cm B.40cm C.50cm D.60cm【答案】C3.如图，圆锥的母线长为4,点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到5点，这条绳子的长度最短值为2正，则此圆锥的表面积为（）4【答案】B5.如图，在正三棱锥AASC中，ZAPB=ZBPC=ZCPA=3(),PA=PB=PC=4,一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到4点，则虫子爬行的最短距离是（）A.4√2B,4√3C,3√3D,4√6【答案】A5.《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高.已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（）A.21尺B.25C.29尺D.33尺【答案】C6.在侧棱长为26的正三棱锥S-ABC中，NASB=N8SC=NCS4=40。

，过A作截面4所，交SB于E,交SC于尸，则截面AEb周长的最小值为.【答案】67.如图，在正三棱柱中，AB=4,AA=4√J,D,尸分别是棱A3,AA∣的中点，£为棱AC上的动点，则1Z）E尸周长的最小值为.89.已知正三棱柱ABC-AgG底边长为1,侧棱长为2,P9。

分别为线段AC】，BCT上的动点，则∣AH+∣PQ∣+∣CQ∣的最小值为d,贝!1"2=.【答案】5+巫510.在侧棱长为2。

的正三棱锥S-ABC中，ZASB=ZBSC=ZCSA=40°,过点A作截面AEF,则截面最小的周长为.【答案】611.已知圆锥底面半径为1,母线长为3,某质点从圆锥底面圆周上一点4出发，绕圆锥侧面一周，再次回到A点，则该质点经过的最短路程为.【答案】3√312.圆锥的底面半径为一，母线长是底面半径4倍，在底面圆周上有一点A,则一个动点夕自点A出发在侧面上绕一周回到点A的最短路程为.【答案】4√2r13.如图，在底面半径为1,高为石的圆锥中，。

最短距离专题(答案部分)

6．已知：如图，点 M 是锐角△AOB 的 AB 边上任意一点．（1）请在 OA 边上求作一点 P，在 OB 边上求作一点 Q，使得△PMQ 的周长最小；如果 OM=2，∠AOB=30°，求此时△PMQ 的周长．作法：作 M 关于 OA 的对称点 M′，作 M 关于 OB 的对称点 M″，连接 M′M″交 OA 于 P，交 OB 于 Q，则线段 M′M″的长度=△PMQ 的周长最小值；（2）当点 M 在 AB 边上运动时，△PMQ 的周长会发生变化吗？如果会发生变化，请研究△PMQ 的周长何时会取到最小值．
（2）作图如下：
（3）①作图如下：
6 / 13
②∵∠BAE=125°， ∴∠P+∠Q=180°﹣125°=55°， ∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠P+∠Q）=2×55°=110°．【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题关键．
回到原理，不按套路基本图形
1、直线 l 的一侧有一点 P，在直线 l 上求一点 Q，使得 PQ 的长度最短。
2、（1）直线 l 的两侧分别有 A，B 两点，在直线 l 上求一点 C，使 AC+BC 最小；（2）直线 l 的同侧有 A，B 两点，在直线 l 上求一点 C，使 AC+BC 最小。
3、（1）直线 l 的同侧有 A，B 两点，在直线 l 上求一点 C，使得 AC BC 最大；（2）直线 l 的两侧分别有 A，B 两点，在直线 l 上求一点 C，使得 AC BC 线段最短，作 A 关于直线 MN 的对称点 E，连接 BE 交直线 MN 于 C，即可得出答案；（2）作 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD 角 OA、OB 于 E、F．此时△PEF 周长有最小值；（3）①取点 A 关于 BC 的对称点 P，关于 DE 的对称点 Q，连接 PQ 与 BC 相交于点 M，与 DE 相交于点 N，根据轴对称的性质可得 AM=PM，AN=QN，然后求出 △AMN 周长=PQ，根据轴对称确定最短路线问题，PQ 的长度即为△AMN 的周长最小值； ②根据三角形的内角和等于 180°求出∠P+∠Q，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可得出答案．【解答】解：（1）作 A 关于直线 MN 的对称点 E，连接 BE 交直线 MN 于 C，连接 AC，BC，则此时 C 点符合要求．

完整版本初中数学最短路径问题典型题型及解题技巧

初中数学 [ 最短路径问题 ]典型题型及解题技巧最短路径问题中 , 关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论依据：“两点之间线段最短〞，“垂线段最短〞，“点关于线对称〞，“线段的平移〞“立体图形展开图〞。

教材中的例题“饮马问题〞，“造桥选址问题〞“立体展开图〞。

考的较多的还是“饮马问题〞。

知识点：“两点之间线段最短〞，“垂线段最短〞，“点关于线对称〞，“线段的平移〞。

“饮马问题〞，“造桥选址问题〞。

考的较多的还是“饮马问题〞，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折〞转“直〞，近两年出现“三折线〞转“直〞等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：：如图，A ，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P，使得 PA+PB最小。

解：连接 AB, 线段 AB 与直线 L 的交点 P ，就是所求。

〔根据：两点之间线段最短 .〕二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A 、B 到它的距离之和最短．解：只有A 、C 、B 在一直线上时，才能使AC +BC 最小．作点A 关于直线“街道〞的对称点 A ′，然后连接 A ′B，交“街道〞于点 C ，那么点 C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：：如图 A 是锐角∠ MON 内部任意一点，在∠ MON的两边OM ，ON 上各取一点 B， C ，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点 A 关于 OM ， ON 的对称点 A ′， A ″；连接 A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点 B、点 C ，那么点 B、点 C 即为所求分析：当 AB 、BC 和 AC 三条边的长度恰好能够表达在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图， A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何A·M 处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？〔假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直〕解： 1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，NEB2.连接 AE 交河对岸与点M,那么点 M 为建桥的位置， MN 为所建的桥。

中学数学平面几何最短路径练习题(含答案)

平面图形上的最短路径问题知识点：1.两点之间，线段最短2.垂线段最短3.线段垂直平分线是的点到线段两端点的距离相等4.三角形任意两边之差小于第三边总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”常考题型题：将军饮马、造桥选址、费马点（一）根据两点之间，线段最短题型一两点在直线同侧（将军饮马）题型二相交直线之间一点或两点题型四费马点（二）根据垂线段最短题型五和最小（三）根据线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等题型六差最小（四）根据三角形任意两边之差小于第三边题型七差最大题型一两点在直线同侧例题1：如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．3B．6解：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N′，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，则BM+MN’最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），∵AD平分∠CAB，AE=AB，∴EO=OB，AD⊥BE，∴AD是BE的垂直平分线（三线合一），∴E和B关于直线AD对称，∴EM=BM，即BM+MN′=EM+MN′=EN′，∵EN’⊥AB，∴∠EN’A=90°，∵∠CAB=60°，∴∠AEN′=30°，∵AE=AB=6，∴AN’=3，在△AEN’中，由勾股定理得：EN’即BM+MN B．巩固练习：如图，在平面直角坐标系中，R t△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则P A+PC的最小值为____ _____．解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时P A+PC的值最小．∵DP=P A，∴P A+PC=PD+PC=CD．∵B（3，∴AB OA=3，∠B=60°．由勾股定理得：OB OA×AB OB×AM，∴AM AD．∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°．∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°．∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°．∴AN由勾股定理得：DN C（1，0），∴CN=3-1在R t△DNC中，由勾股定理得：DC∴P A+PC题型二相交直线之间一或两点例题2：如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R ．若△PQR 周长最小，则最小周长是（）A ．10B ．15C ．20D ．30 解：设∠POA =θ，则∠POB =30°﹣θ，作PM ⊥OA 与OA 相交于M ，并将PM 延长一倍到E ，即ME =PM ．作PN ⊥OB 与OB 相交于N ，并将PN 延长一倍到F ，即NF =PN ．连接EF 与OA 相交于Q ，与OB 相交于R ，再连接PQ ，PR ，则△PQR 即为周长最短的三角形．∵OA 是PE 的垂直平分线， ∴EQ =QP ；同理，OB 是PF 的垂直平分线， ∴FR =RP ， ∴△PQR 的周长=EF ． ∵OE =OF =OP =10，且∠EOF =∠EOP +∠POF =2θ+2（30°﹣θ）=60°， ∴△EOF 是正三角形，∴EF =10，即在保持OP =10的条件下△PQR 的最小周长为10，故选A ．巩固练习：如图，∠AOB =30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM =5，ON =12，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP +PQ +QN 的最小值是．解：作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M’N’，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM’=OM =5，ON’=ON =12， ∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形， ∴∠N′OM′=90°，∴在Rt M ON ''中，''13M N = 故答案为：13．题型三造桥选址例题3：荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A 到B点路径最短？解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作B G⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E’、D’，作DD’、EE’即为桥证明：由做法可知，AF∥DD’，AF=DD’，则四边形AFDD’为平行四边形于是AD=FD’同理，BE=G E’由两点之间线段最短可知，GF最小即当桥建于如图所示位置时，ADD’E’EB最短巩固练习：如图，工厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个工厂水平距离是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B的距离最短（河岸是平行的）①请画出架桥的位置（不写画法）②求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程.解：①如图所示，AA’=1km，则MN为架桥位置A B===②过点B作BE⊥AA’，交其延长线于点E。

(完整版)中考数学专题---最短距离问题

中考数学专题---最短距离问题考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

问题原型：“饮马问题”，“造桥选址问题”。

出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型：条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小模型转化应用：在锐角三角形中探求线段和的最小值如图1，在锐角三角形ABC 中，AB =24,∠BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为．在等边三角形中探求线段和的最小值（2010 山东滨州）如图2所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE =2,EM+CM 的最小值为 . 在直角梯形中探求线段和的最小值（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．在等腰梯形中探求线段和的最小值如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC =60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为．在菱形中探求线段和的最小值如图5菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD =60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为．在正方形中探求线段和的最小值如图6所示，已知正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM =2，N 是AC 上的一个动点，则DN+MN 的最小值为．A B A '′ P l（2009达州）如图7，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为 cm ．（结果不取近似值）．在圆背景下探求线段和的最小值（2010年荆门）如图8，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为________ 在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值（2010山东济宁）如图9，正比例函数x y 21=的图象与反比例函数)0(≠=k xky 在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知三角形OAM 的面积为1.如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小,则点P 坐标为_________. 在二次函数背景下探求线段和的最小值（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，3），△AOB 的面积是3.在过点A 、O 、B 的抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△AOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点.（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.ADE PBC 经典考题如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是_______.如图2，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，则PQR △周长的最小值为_________．(2009年抚顺)如图3所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（） A ．3 B ．26 C ．3 D 6(2009年鄂州) 如图3所示，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（） A 、17172B 、17174 C 、 17178D 、3 如图，四边形ABCD 是正方形， 10AB cm =，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，则PC PE +的最小值为____________.如图，若四边形ABCD 是菱形,10AB cm =，45ABC ∠=°，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，则PC PE +的最小值为_____________.如图，若四边形ABCD 是矩形，10AB cm =，20BC cm =，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，则PC PE +的最小值为_____________.OAB PRQ 图2AB EC P 图1A DBCADBCEPACDAC NME O PF D B（2009陕西）如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是_________．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。

初中数学最短路径问题专练习题附答案

最短路径问题专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，点A ，B 的坐标分别为(2,0),(0,2)A B ，点C 为坐标平面内一点，1BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（）A1B 12C ．1D ．12【答案】B【解析】【分析】如图所示，取AB 的中点N ，连接ON ，MN ，根据三角形的三边关系可知OM ＜ON+MN ，则当ON 与MN 共线时，OM= ON+MN 最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．【详解】解：如图所示，取AB 的中点N ，连接ON ，MN ，三角形的三边关系可知OM ＜ON+MN ，则当ON 与MN 共线时，OM= ON+MN 最大，∵(2,0),(0,2)A B ，则∵ABO 为等腰直角三角形，N 为AB 的中点，∵ON=12AB = 又∵M 为AC 的中点，∵MN 为∵ABC 的中位线，BC=1，则MN=1212BC =，12，∵OM 12【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大．2．如图，在∵ABC中，AB＝2，∵ABC＝60°，∵ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE∵l，BF∵l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）B．C．D．A【答案】A【解析】【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．【详解】解：如图，过点C作CK∵l于点K，过点A作AH∵BC于点H，在Rt∵AHB中，∵BH ＝1，AH在Rt∵AHC 中，∵ACB ＝45°，∵AC=∵点D 为BC 中点，∵BD ＝CD ，在∵BFD 与∵CKD 中，90BFD CKD BDF CDK BD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵BFD∵∵CKD （AAS ），∵BF ＝CK ，延长AE ，过点C 作CN∵AE 于点N ，可得AE+BF ＝AE+CK ＝AE+EN ＝AN ，在Rt∵ACN 中，AN ＜AC ，当直线l∵AC，综上所述，AE+BF．故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．3．如图，在ABC 中，AB AC =，边AC 的垂直平分线MN 分别交AB ，AC 于点M ，N ，点D 是边BC 的中点，点P 是MN 上任意一点，连接PD ，PC ，若A α∠=，CPD β∠=，PCD 周长最小时，α，β之间的关系是（）A ．αβ>B ．αβ<C ．αβ=D ．90αβ=︒-【答案】C连接AP ，根据线段垂直垂直平分线的性质可知P A =PC ，PAC PCA ∠=∠．由PCD L DP PC CD =++，即得出PCD LDP PA CD =++，由此可知当A 、P 、D 在同一直线上时，PCD L 最小．再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知AD 为BAC ∠的平分线，即1122PAC A α∠=∠=．最后根据三角形外角性质即得出PAC PCA β=∠+∠，由此即可判断αβ=．【详解】如图，连接AP ，∵直线MN 是线段AC 的垂直平分线，且P 在线段MN 上，∵P A =PC ，PAC PCA ∠=∠．∵PCD LDP PC CD =++, ∵PCDL DP PA CD =++．由图可知CD 为定值，当A 、P 、D 在同一直线上时，DP PA +最小，即为AD 的长， ∵此时PCD L 最小．∵D 是边BC 的中点，AB =AC ，∵AD 为BAC ∠的平分线， ∵1122PAC A α∠=∠=． ∵CPD PAC PCA ∠=∠+∠，即PAC PCA β=∠+∠，∵αβ=．本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质．根据题意理解当A 、P 、D 在同一直线上时PCD L 最小是解题关键． 4．如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，AB AC ⊥，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上一动点，则ABP △周长的最小值是（）A ．6B ．7C ．8D ．128【答案】B【解析】【分析】根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 与点E 重合时，AP BP +的最小值，求出AC 长度即可得到结论．【详解】解：设AC 交EF 于点E ，连接CP ，EF 垂直平分BC ，B ∴、C 关于EF 对称，∵CP BP =，∵CP AP AC +≥∵BP AP AC +≥，∴当P 和E 重合时，AP BP +的值最小，最小值等于AC 的长，ABP ∴∆周长的最小值是437AC AB +=+=．故选：B ．【点睛】题的关键是找出P的位置．5．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）cmA B．13cm C．D．【答案】B【解析】【分析】将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短即可知A′B的长度即为最短距离．利用勾股定理求出A′B即可．【详解】如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∵A′D＝5cm，A′E=AE=3，BD＝12﹣3+A′E＝12cm，∵A′B13cm．故选：B．【点睛】和勾股定理进行求解是解题的关键．6．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则MC+MD的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD∵BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，∵∵ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∵AD∵BC，∵S△ABC=12BC•AD=12×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∵点C关于直线EF的对称点为点A，∵AD的长为CM+MD的最小值，∵MC+MD的最小值为8．故选：B．【点睛】7．如图，在ABC 中，10AB AC BC ==，，60ABC S =△，AD BC ⊥于点D ，EF 垂直平分AB ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】【分析】根据三角形的面积公式得到6AD =，由EF 垂直平分AB ，得到点A ，B 关于直线EF 对称，于是得到AD 的长度PB PD =+的最小值，即可得到结论．【详解】解：∵AB AC =，10BC =，60ABC S =△，AD BC ⊥， ∵1=602BC AD ⨯， ∵12AD =，∵EF 垂直平分AB ，∵点A ，B 关于直线EF 对称，∵EF 与AD 的交点即为P 的，此时PA PB =，AD 的长度PB PD =+的最小值，即PB PD +的最小值为12，故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道AD 的长度PB PD =+的最小值是解题的关键．分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则∵CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解析】【分析】根据题意，点A，点C关于EF对称，连接AD，交EF于点M，则△CDM周长的最小值AD+DC，利用三角形面积公式计算AD即可．【详解】∵AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，∵点A，点C关于EF对称，连接AD，交EF于点M，则△CDM周长的最小值是AD+DC，∵AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，点D为BC边的中点，∵AD∵BC，DC=2，11416 22BC AD AD=⨯⨯=，解得AD=8，∵△CDM周长的最小值为：AD+DC=8+2=10，故选C．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，将军饮马河原理，三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的性质，将军饮马河原理是解题的关键．9．如图，菱形ABCD的边长为9，面积为P、E分别为线段BD、BC上的动点，则PE+PC的最小值为___．【答案】【解析】【分析】如图，连接AP，过点A作AH∵BC于H．说明P A=PC，再根据垂线段最短，解决问题即可．【详解】解：如图，连接AP，过点A作AH∵BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∵A、C关于BD对称，∵P A=PC，∵PE+PC=AP+PE，∵AP+PE≥AH，∵S菱形ABCD=BC•AH，∵AH ，∵PE+PC∵PE+PC的最小值为故答案为：．垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在y 轴和x 轴上，已知点A （0，4）．以AB 为直角边在AB 左侧作等腰直角△ABC ，∵CAB ＝90°．(1)当点B 在x 轴正半轴上，且AB ＝8时∵求AB 解析式；∵求C 点坐标；(2)当点B 在x 轴上运动时，连接OC ，求AC +OC 的最小值及此时B 点坐标．【答案】(1)∵4y =+；∵C (4,4--(2)(2,0)B【解析】【分析】（1）∵根据(0,4)A ，8AB =，推出OB B ，0)，设直线AB 的解析式为4y kx =+，将A 、B 坐标代入即可求出AB 解析式；∵过点A 作x 轴的平行线，分别过点C 、B 作y 轴的平行线，交于G 、H ．则AHB CGA ∆∆，所以4AG HB ==，CG AH ==C (4,4--；（2）由AGC BHA ∆≅∆可知4AG =，点C 在直线4x =-上运动，作点O 关于直线4x =-的对称点O '，所以AC OC AC O C '+=+，AC OC +的最小值为AO '的长度，此时2OB AH CG ===，即可求出B 坐标．(1)解：∵(0,4)A ，8AB =，OB ∴B ∴0)，设直线AB 的解析式为4y kx =+，04∴=+，k =AB ∴解析式：4y x =+； ∵过点A 作x 轴的平行线，与分别过点C 、B 作y 轴的平行线交于G 、H ．则AHB CGA ∆∆()AAS4AG HB ∴==，CG AH ==C ∴(4,4--；(2)由AGC BHA ∆≅∆可知4AG =，(B 在x 轴负半轴同理可说明）点C 在直线4x =-上运动，作点O 关于直线4x =-的对称点O '，4OC O C '∴==，448OO '=+=，AC OC AC O C '∴+=+．AC OC +的最小值为AO '=此时2OB AH CG ===，(2,0)B ∴．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、利用轴对称求最短线路．这里构造三角形全等找到点C的运动轨迹是关键．。

中考数学高频考点突破——轴对称的应用——最短距离问题

中考数学高频考点突破——轴对称的应用——最短距离问题一、综合题1．已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c 的图象经过点A （2，0），B （5，0），过点D （0， 54）作y 轴的垂线DP 交图象于E 、F ．（1）求b 、c 的值和抛物线的顶点M 的坐标；（2）求证：四边形OAFE 是平行四边形；（3）将抛物线向左平移的过程中，抛物线的顶点记为M′，直线DP 与抛物线的左交点为E′，连接OM′，OE′，当OE′+OM′的值最小时求直线OE′的解析式． 2．（1）问题提出：如图①在 ABC 中， AD 是 ABC 边 BC 的高，点E 是 BC 上任意一点，若 3,AD = 则 AE 的最小值为_ ；（2）如图②，在等腰 ABC 中， ,120,AB AC BAC DE =∠=︒ 是 AC 的垂直平分线，分别交 BC AC 、于点 D E 、， 1DE cm = ，求 ABD 的周长；（3）问题解决：如图③，某公园管理员拟在园内规划一个 ABC 区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路 AB BC 、和 AC ，满足 90,BAC ∠=︒ 点 A 到 BC 的距离为 2km .为了节约成本，要使得 ,,AB BC AC 之和最短，试求AB BC AC ++ 的最小值(路宽忽略不计).3．（1）【问题提出】如图1，在矩形ABCD 中， 10AD = ， 12AB = ，点E 为AD 的中点，点P 为矩形ABCD 内以BC 为直径的半圆上一点，则PE 的最小值为；（2）【问题探究】如图2，在ABC 中，AD 为BC 边上的高，且 4AD BC == ，点P 为 ABC 内一点，当 12PBC ABC S S = 时，求 PB PC + 的最小值；（3）【问题解决】李伯伯家有一块直角三角形菜园ABC ，如图3， 2003BC = 米，90C ∠=︒ ， 60ABC ∠=︒ ，李伯伯准备在该三角形菜园内取一点P ，使得120APB ∠=︒ ，并在 ABP 内种植当季蔬菜，边BC 的中点D 为菜园出入口，为了种植方便，李伯伯打算在AC 边上取点E ，并沿PE 、DE 修两条人行走道，为了节省时间，要求人行走道的总长度（ PE DE + ）尽可能小，问 PE DE + 的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.4．如图1，已知直线l 的同侧有两个点A ，B ，在直线l 上找一点P ，使P 点到A ，B 两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l 的对称点，对称点与另一点的连线与直线l 的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(5，4)，动点P 在x 轴上，求PA+PB 的最小值；（2）如图3，在锐角三角形ABC 中，AB=8，∠BAC=45°，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为（3）如图4，∠AOB=30°，OC=4，OD=10，点E ，F 分别是射线OA ，OB 上的动点，则CF+EF+DE 的最小值为。

数学考点---最短距离问题（带答案）

数学考点---最短距离问题（带答案）数学考点---最短距离问题1.我们常利用“两点之间线段最短”解决两条线段和最小的相关问题，下面是熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP 最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△AB C周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）2.作图题（不写作法，保留作图痕迹）：（1）如图①，点A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（2）如图②，点A、B在直线l的同一侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（3）如图③，点A是锐角三角形MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使三角形周长最小；（4）如图④，AB是锐角三角形MON内部一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C、D组成四边形，使四边形周长最小；（5）如图，连结M、N与直线l相交于点O，当两直线的夹角等于450，且OM=6，MN=2时，PM+PN的最小值是3.（1）如图，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使得四边形APBC的周长最小，请写出作法（2）AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小．（如图所示）4.已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（）D．（）5.(1)如图，A、B两村位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且平行，现要在河上垂直于河岸建一座桥.问：应把桥建在什么位置，才能使A村经过这座桥到B村的路程最短？请画出草图，并简要说明作法及理由(2)A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥．（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来．（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC=40米，你能求出两村的最短路程吗？若能，请求出来6.在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，求m／n 的值7.如图，已知平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3）、B（4，﹣1）．（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求x值；（2）若C（a，0）、D（a+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M、N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）和（0，π），使四边形ABMV周长最短，若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由8.在平面直角坐标系中，点A（2，1）、B（4，2），坐标原点为O点．（1）在y轴上有一动点C，求当AC+BC最小时，C点的坐标；（2）在直线y=x上有一动点D，求当AD+BD最小时，D点的坐标；（3）在x轴上有两个点E（m，0）、F（m+1，0），求当四边形CEFD周长最小时，m的值9.已知线段AB在x轴上（A在B的左边），且AB=3，点C（2，-4）、点D（4，-1），当AC+BD最小时，点A的坐标是（） A（0,0）B（1，0） C（1.2,0） D（2，0）10.如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（结果保留根号）11.如图1，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B 处．（1）如图2是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P，使蚂蚁沿A-P-B路线爬行，距离最短．（2）结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长12.如图，长方体的长BE=5cm，宽AB=3cm，高BC=4cm，一只小蚂蚁从长方体表面由A点爬到D点去吃食物，则小蚂蚁走的最短路程是 cm13.如图，长方体的长BE=7，宽AB=5，高BC=5，一只小蚂蚁从A点爬到棱BC上，再爬到D点去吃糖，则小蚂蚁走的最短路程是14.如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=6，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为15.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，=6，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值（）A．8 B．6 C．2+2D．416.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（2，0），B（6，0）是x轴上的两点，则PA+PB 的最小值为17.如图，∠MON=90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为18.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）A． B．C．2 D．数学考点---最短距离问题答案1.解：（1）∵点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，∴EP+CP的最小值=AE=；（2）作点C关于x 轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，∵点C'坐标为（0，﹣2），点A坐标为（6，4），∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，故点D的坐标为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点．2.解：（1）如图①，连接两点与直线的交点即为所求作的点P，则点P即为所求；（2）如图②，过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′交直线l于P点，则点P 即为所求；（3）作A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，与OM、ON相交于B、C，连接AB，BC，AC，则△ABC即为所求三角形；（4）作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，则四边形ABCD即为所求；（5）作出点M关于直线l的对称点M′，连结M′N交直线l于点P；∵两直线的夹角等于45°，且OM=6，MN=2，∴∠MOP=45°，OM=OM′=6，NO=8，∴∠NOM′=90°，∴M′N==10，故答案为：103.解：(1)作点A关于直线l的对称点A′，②连接A′B于直线l交于P，则点P就是所求作的点．(2)解：如图，作A关于OM的对称点E,再作B关于ON的对称点F，连接EF即可．如图．ABCD便是周长最小的．4.解：找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴的交于M点，连接BM，此时|AM|+|BM|为最短，由B 与B′关于x轴对称，B （2，2），所以B′（2，﹣2），又A（﹣3，8），则直线AB′的方程为y+2=（x﹣2）化简得：y=﹣2x+2，令y=0，解得x=1，所以M （1，0）故选：B5.(1)先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．(2)解：（1）桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形．（2）作MH⊥BC垂足为H．两村A、B之间的最短路程=AN+KN+BK，∵四边形AMKN是平行四边形，∴AN=MK，在RT△BMH中，∵BH=70，MH=40，∴BM==10，∴AN+KN+BK=BM+KN=10+30，∴两村的最短路程为（10+30）米6.解：根据题意，作出如图所示的图象,过点B作B关于y轴的对称点B′、过点A关于x轴的对称点A′，连接A′B′，直线A′B′与坐标轴交点即为所求．设过A′与B′两点的直线的函数解析式为y=kx+b．∵A （﹣8，3），B（﹣4，5），∴A′（﹣8，﹣3），B′（4，5），依题意得：，解得，所以，C（0，n）为（0，）．D（m，0）为（﹣，0）所以，=﹣．故答案为﹣7.解：（1）设点B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），设直线AB'的解析式为y=kx+b，把A （2，﹣3），B'（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0，得x=，即当△PAB的周长最短时，x=．（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F （1，﹣1），连接A'F．那么A'（2，3）．直线A'F 的解析式为y﹣1=?（x﹣1），即y=4x﹣5，∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F 上，∴0=4a﹣5，解得a=．∴当四边形ABDC的周长最短时，a=．（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直线A′B′的解析式为：y=x﹣，∴M（，0），N（0，﹣）．∴m=，n=﹣8.解：（1）如图1，作A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于C，∴AC=A′C，∴AC+BC=A′C+BC=A′B，根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值，∵点A（2，1），∴A′（﹣2，1），∵B（4，2），设直线A′B的解析式为y=kx+b，∴-2k+b=1,4k+b=2，解得k=1／6，b=4／3．∴直线A′B的解析式为y=x+，∴C （0，）；（2）如图2，作A点关于直线y=x的对称点A″，连接A″B，交直线y=x于D，∴AD=DA″，∴AD+BD=DA″+BD=A″B，根据两点之间线段最短可知A″B就是AD+BD的最小值，∵点A（2，1），∴A″（1，2），∵B（4，2），∴直线BA″∥x轴，∴y=2，代入y=x中得x=2，∴D（2，2）；（3）作点C关于x轴的对称点C′，则C′的坐标为（0，﹣），把C′向右平移1个单位得到点D'（1，﹣），连接DD′，与x轴交于点F，如图3，∴C′E=CE，又∵点E（m，0）、F（m+1，0），∴EF=1，∴C′D′∥EF，∴四边形C′D′FE为平行四边形，∴C′E=D′F，∴CE=D′F，∴CE+DF=DD′，此时CE+DF最小，而CD与EF的长一定，∴此时四边形CEFD周长最短．设直线DD′的解析式为y=k′x+n，把D（2，2）、D′（1，﹣）分别代入得2k′+n=2，k′+n= -4／3，解得k′=，n=﹣，∴直线DD′的解析式为y=x﹣，令y=0，则x ﹣=0，解得x=，∴D点坐标为（，0），∴m+1=，∴m=10.解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，A′C2=A′D2+CD2=82+122=208，∴CA′=4cm答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是4cm12.解：（1）如图（1），AD==；（2）如图（2），AD==；（3）如图（3），AD===4．可见，AD的最小值为．故选C．13.解：AE=AB+BE=5+7=12．DE=BC=5．AD===13．蚂蚁爬的最短路径长为1314.解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D 关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵AB=8，AE=6，∴DE=BQ+QE==10，∵AB=8，AE=6，∴BE=2，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=10+2=1215.解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，连接OC交C′D于N，连接OD，∵AB是⊙O的直径，=6，∴，∵，∴，∴OC⊥C′D，C′D=2DN，∴∠COD=60°，∴∠D=30°，∵AB=8，∴OD=4，∴DN=OD?sin60°=2，∴C′D=4．∴CM+DM的最小值=4．故选：D16.解：如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，∵OA′=2，BO=6，∴PA+PB=A′B==2．故答案为：217.解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，∵△ABC是等边三角形，∴CD==2，∵∠MON=900，∴OD=AB==2，由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O 的距离最大，最大值为2+2．故答案为：2+218.解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，∵∠MON=90°，∴OE=AE=AB=×2=1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE=1+2=3，过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE==，即=，解得DF=，∵OD=3，∴点F是OD的中点，∴AF垂直平分OD，∴OA=AD=．故选：B．。

2013中考数学求最短距离大全含答案解读

2013求最短距离问题大全一、填空题（共6小题）1、边长为2的正方形的顶点A到其内切圆周上的最远距离是_________，最短距离是_________．2、已知点P到⊙O上的点的最短距离为3cm，最长距离为5cm，则⊙O的半径为_________cm．3、（2011•广安）如图所示，若⊙O 的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为_________．4、如图，圆锥的底面半径为OB=3，母线SB=9，D为SB上一点，且SD=，则点A沿圆锥表面到D点的最短距离为_________．5、如图，P为半圆直径AB上一动点，C为半圆中点，D为弧AC的三等分点，若AB=2，则PC+PD的最短距离为_________．6、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是_________米．二、解答题（共4小题）7、正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为多少？8、己知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离．9、已知如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为9cm，C是母线PB中点且在圆锥的侧面上，求从A到C的最短距离为多少厘米？10、如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP．三、选择题（共4小题）11、如图，在底面周长为12，高为8的圆柱体上有A、B两点，则A、B两点的最短距离为（）A、4B、8C、10D、512、（2003•贵阳）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S的最短距离为（）A、B、C、D、13、如图，已知圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A 处．则小虫所走的最短距离为（）A、12B、4πC、D、14、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）A 、750米B 、1000米C 、1500米D 、2000米用轴对称求最短距离最值问题，也就是最大值和最小值问题，这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，本文举例介绍一些常见的求解方法，供读者参考。

中考数学：最短路径问题(珍藏版)

10．点 C 为∠AOB 内一点．（1）在 OA 求作点 D，OB 上求作点 E，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．
11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE、CE 交于 F，连 AF，求证：AF+BF+CF＝CD； -5-
，
此时 C、D 两点的坐标分别为
．
9．已知 A（1，1）、B（4，2）．（1）P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值和此时 P 点的坐标；
（2）P 为 x 轴上一动点，求 PA PB 的值最大时 P 点的坐标；
（3）CD 为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且 CD＝1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标；
7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B( 6 3 ，0)． OC 平分∠AOB，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA＋MN 的最小值是______．
-4-
8．已知 A（2，4）、B（4，2）．C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值为
初中数学最短路径问题精华版
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
【问题 7】
将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A＇，作 A＇关于 l 的对称点 A＇＇，连 A＇＇B，交直线 l 于点 N，将 N 点向左平移 a 个单位得 M．

初中最短路径问题例题

初中最短路径问题例题一、初中最短路径问题例题1. 例题1如图，A、B两个村庄位于一条小河的两侧，现要在小河上建一座桥，使得从A村到B村的路程最短，桥应建在何处？（假设小河两岸平行）解题思路：我们可以把小河的宽度平移，将A点沿垂直于河岸的方向平移小河的宽度到A'点，然后连接A'B，A'B与靠近B村的河岸交点为建桥的位置。

因为两点之间线段最短，我们通过平移把折线转化为直线，就找到了最短路径。

2. 例题2在一个正方形ABCD中，E为AB中点，F为AD上一点，且AF = 1/4AD，P为对角线BD上一动点，求PE+PF的最小值。

解题思路：利用正方形的对称性。

因为正方形关于对角线BD对称，所以点F关于BD的对称点F'在CD上，且CF'=AF。

连接EF'，则EF'的长度就是PE + PF的最小值。

根据勾股定理可求出EF'的长度。

3. 例题3已知平面直角坐标系中有A(1,3)、B(5, - 1)两点，在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求P点坐标。

解题思路：作A点关于x轴的对称点A'(1, - 3)，连接A'B，设A'B所在直线的解析式为y = kx + b，把A'(1, - 3)和B(5, - 1)代入可求出解析式，令y = 0，即可求出P点坐标。

因为A'和A 关于x轴对称，所以PA = PA'，那么PA+PB = PA'+PB，当A'、P、B三点共线时，值最小。

4. 答案与解析例题1答案：按上述方法确定建桥位置。

解析：平移是关键，把实际的折线路程转化为直线的两点间距离问题，利用两点之间线段最短的原理。

例题2答案：先求出EF'的长度。

根据E为AB中点，AB = AD，AF = 1/4AD，可得AE = 1/2AD，CF'=1/4AD，DF'=3/4AD。

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