青岛市高三一模试题及答案数学理

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2023届山东省青岛市高考(一模)丨数学答案

青岛市2023年高三年级第一次适应性检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1--8：A C B B D C C A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9．AC 10．AB 11．ABD 12．BCD 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．(1,2)--答案不唯一；14．3；15．；16．0，11011．四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）解：（1）由题意得x x x f ωω2sin cos 2)(2+=xx ωω2sin 2cos 1++=π)14x ω=++························································2分因为2πT =，所以2π21T ω==······································································3分所以π())14f x x =++令πππ42x k +=+得，ππ4x k =+（Z k ∈）所以函数)(x f 图象的对称轴方程为ππ4x k =+（Z k ∈）····································5分（2）由31)(=αf得πsin(43α+=-···························································6分所以32cos sin -=+αα，所以94)cos (sin 2=+αα，即942sin 1=+α所以952sin -=α·······················································································10分18．（本小题满分12分）解：（1）因为2454S S S +，，成等差数列，248a a a ，，成等比数列所以425242824S S S a a a =++⎧⎨=⋅⎩·················································································2分所以11121112(46)(2)(510)4(3)()(7) a d a d a d a d a d a d +=++++⎧⎨+=++⎩，整理得1214a d a d d +=⎧⎨=⎩因为0d ≠，解得：12a d ==·······································································5分所以2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+·································································6分（2）由（1）得22(1)n n n b T n n +-=+，1132(1)(2)n n n b T n n +++-=++，·····················7分所以两式相减得：112322+(1)(1)(2)n n n n n n b b T T n n n n ++++--=-+++························8分整理得：1212(1)(1)(2)n n b b n n n n +-=-+++所以1112[](1)(1)(2)n n b b n n n n +-=-+++即11112()n n n n b b S S ++-=-············································································10分因为1131,10212b b =-=≠⨯，所以1{}n n b S -是以1为首项，2为公比的等比数列············································11分所以112(1)n n b n n --=+，所以112(1)n n b n n -=++···········································12分19．（本小题满分12分）解：（1）当D 为圆弧BC 的中点，即π3CAD ∠=时，BC PD ⊥···························1分证明如下：因为D 为圆弧BC 的中点，所以π3CAD BAD ∠=∠=，即AD 为CAB ∠的平分线因为AC AB =，所以AD 为等腰CAB △的高线，即AD BC ⊥····························2分因为,,,,PA AB PA AC AB AC A AB AC ⊥⊥=⊂ 平面ABDC所以PA ⊥平面ABDC ，所以PA BC ⊥··························································3分因为PA AD A = ，所以BC ⊥面PAD所以BC PD ⊥····························································································4分（2）由（1）得，PA 为四棱锥P ABDC -的高，因为4PA =，所以，当底面积ABDC S 取最大值时，四棱锥P ABDC -体积最大·······5分设CAD α∠=，则2π2π,(0,)33BAD αα∠=-∈11222sin 22sin()223ABDC CAD BAD S S S παα∆∆=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-2π2[sin sin()]3αα=+-π)6α=+因为2πππ5π(0,),(,)3666αα∈+∈所以π3α=时，πsin()1,6α+=ABDC S取最大值所以，当四棱锥P ABDC -体积最大时，π3CAD BAD ∠=∠=····························7分过A 在平面ABDC 内作直线AE AB ⊥，交圆弧BC 于点E ，由题，,,AE AB AP 两两垂直，以A 为原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，································································8分则(0,0,0),(0,0,4),(0,2,0),1,0)A PB DC -因为4),(0,2,0),(PD CD DB =-== ，······································9分设平面PCD 的法向量为111(,,)n x y z = 则00n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11114020y z y +-==⎪⎩，令1z =n =·····························10分设平面PBD 的法向量为222(,,)m x y z =则00m PD m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222240y z y +-=+=⎪⎩，令2z =，得(2,m =···································································11分设平面PCD 与平面PBD 的夹角为θ，则||11cos 19||||m n m n θ⋅==⋅所以平面PCD 与平面PBD 夹角的余弦值为1119·············································12分20．（本小题满分12分）解：（1）因为前2个矩形面积之和为(0.010.03)100.40.5+⨯=<，前3个矩形面积之和为(0.010.030.04)100.80.5++⨯=>，则中位数在(80,90)内，设为m ，则(80)0.040.50.40.1m -⨯=-=，解得82.5m =，即中位数为82.5．·································································3分（2）因为成绩在[90100]，的频率为15，所以概率为15，则1~(10,)5X B ，所以101014()((55k k kP X k C -==，········································5分所以101011111014(()()11555114(1)4()(55k k k k k k C P X k k P X k kC ----=-==+=-，······································6分当12k ≤≤时，()(1)P X k P X k =>=-，(0)(1)(2)P X P X P X =<=<=；当3k ≥时，()(1)P X k P X k =<=-，(2)(3)P X P X =>=> ，所以2k =时，()P X k =取到最大值．····························································7分P A B C D x y z E（3）甲进入复赛的概率314424146C C C 3C 5P +==，乙进入复赛的概率3133246C C 1C 5P ==，故甲、乙两人进入复赛的概率分别为3155，．····················································8分由题意可得：ξ的可能取值为012，，，则有：12248(0)(1)(1)5525P P P ξ==--==，1212342114(1)(1)(1)555525P P P P P ξ==-+-=⨯+⨯=，12313(2)5525P PP ξ===⨯=，所以ξ的分布列为：ξ012P8251425325················································································11分所以81434()0122525255E ξ=⨯+⨯+⨯=························································12分21．（本小题满分12分）解:（1）记12||2F F c =，由题意知：12||||AF AF a ==，2c =······················1分所以122112AF F S a ∆==，解得a =·······························································2分所以1,1b c ==····························································································3分所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=····························································4分（2）（ⅰ）选②③为条件：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，当直线l 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点P 在第一象限，则由1212=-k k ，可得122k =，此时直线WP的方程为22y x =，联立2212+=x y ，解得(1,2P 所以2S =·······························································································6分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：=+y kx t ，则12121212y y k k x x ==-，即121220x x y y +=将=+y kx t 代入2212+=x y 得：222(12)4220k x ktx t +++-=所以2121222422,,1212kt t x x x x k k -+=-=++····························································7分所以22221212121222()()()12t k y y kx t kx t k x x kt x x t k -=++=+++=+所以22222222201212t t k k k--+=++，即22122k t +=① (8)分122|||12PQ x x k =-==+····10分因为点O 到直线l的距离d =所以211222122S k ==+综上，结论成立.························································································12分（ⅱ）选①③为条件：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，当直线l 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点P 在第一象限，则由2=S，可得11111222S x y x y =⋅=⋅=，又221112x y +=，解得(1,2P ，(1,)2Q -，所以1212=-k k ·····························6分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：=+y kx t ，将=+y kx t 代入2212+=x y 得：222(12)4220k x ktx t +++-=所以2121222422,,1212kt t x x x xk k -+=-=++····························································7分122|||12PQ x xk=-==+······8分因为点O到直线l的距离d=所以22112122||212122S t k k ==⋅++即22122k t +=························································································10分因为22221212121222()()()12t k y y kx t kx t k x x kt x x t k -=++=+++=+所以2222221212222122221112222222212t k y y t k t k k k t x x t t k ---+=====----+综上，结论成立.························································································12分（ⅲ）选①②为条件：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)W x y 当直线l 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点P 在第一象限，则11(,)Q x y -，0(0)W y ，，所以11111222S x y x y =⋅=⋅=，又221112x y +=，解得(1,)2P，(1,2Q -所以2101012011()()1122y y y y k k y x x ---==-=-⋅，所以00y =所以(0,0)W 为坐标原点，满足题意·································································6分当直线l 的斜率存在时，设00()W x kx ，，直线l 的方程为：y kx t =+，将y kx t =+带入2212x y +=得：222(12)4220k x ktx t +++-=所以2121222422,,1212kt t x x x x k k -+=-=++ (7)分12212|||12PQ x x k =-==+······8分点W 到直线l的距离d =所以1222S t =⋅==即22122k t+=························································································10分因为22221212121222()()()12t k y y kx t kx t k x x kt x x t k -=++=+++=+12121222()212t y y kx t kx t k x x t k +=+++=++=+则由1020121020()()1()()2y kx y kx k k x x x x --==---，即10201020()()2()()0x x x x y kx y kx --+--=得：222120120120120()22()20x x x x x x y y kx y y k x -+++-++=即222220(12)(442)0k x k t +--+=，因为22122k t +=，224420k t -+=所以00x =即(00)W ，综上所述，W 满足条件.··············································································12分22．（本小题满分12分）解:（1）曲线()y f x =与圆C 一条公切线的方程为1y x =-·································3分（2）（ⅰ）设曲线()y f x =与圆C 公切线l 的方程为y kx m =+（显然，k 存在）因为l 与曲线()y f x =相切，且1()f x x'=，所以切点为11(,ln k k ，11:ln()l y k x k k-=-，所以:1ln l y kx k =--，即1ln m k =--因为l 与圆C=，即22()220b m k ---=所以22(1ln )220b k k ++--=令22()(1ln )22g x b x x =++--，0x >，则22(1ln )2[(1ln )2]()4b x b x x g x x x x++++-'=-=设2()(1ln )2h x b x x =++-，则1(12)(12)()4x x h x x x x-+'=-=························5分易证明：ln 1x x ≤-·····················································································6分①当1b >时，因为()h x 在1(0,2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减；所以1()()2h x h ≤，因为11()ln 2022h b =+->，112(e )2(e )0b b h ----=-<，22(2)1ln(2)8380h b b b b b b =++-<-<；所以存在111(e,),(,2)22b b αβ--∈∈，使得()()0h h αβ==所以21ln 2b αα++=，21ln 2b ββ++=所以()g x 在(0,)α上单调递减，在(,)αβ上单调递增，在(,)β+∞上单调递减；··7分因为42()4220g ααα=--<，且2()(1)(1)40g g b β≥=+->，又因为312312(e)42(e )20b b g b ----=-->，且2222(3)[1ln(3)]182161820g b b b b b b =++--<--<，所以存在31123(e,),(,),(,3)b x x x b ααββ--∈∈∈，使得123()()()0g x g x g x ===所以当1b >时，曲线()y f x =与圆C 恰有三条公切线··································8分②当10ln 212b <-<≤时，因为11()0,(e )0,2b h h --><2(1)(1)40h b =+-≤；所以存在111(,),(,1]22b eαβ--∈∈，使得()()0h h αβ==所以()g x 在(0,)α上单调递减，在(,)αβ上单调递增，在(,)β+∞上单调递减；所以42()4220g ααα=--<，且42()4220g βββ=--≤，所以()g x 不可能存在三个零点，所以当1ln 212b -<≤时，曲线()y f x =与圆C 不可能有三条公切线··················9分③当1ln 22b ≤-时，1()02h ≤；所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，最多一个零点；所以()g x 最多一个极值点，不可能有三个零点；所以当1ln 22b ≤-时，曲线()y f x =与圆C 不可能有三条公切线····················10分综上，若曲线()y f x =与圆C 恰有三条公切线，则b 的取值范围为1b >．（ⅱ）函数22()(1ln )22g x b x x =++--的零点，即方程|1ln |b x ++=的解，即曲线|1ln |y b x =++和曲线y =（221(0)2y x y -=>）交点的横坐标，结合图象，显然存在(,)T m n ，使得1ln b m n ++=成立所以()()ln ()1f mx f x m f x n b =+=+--对任意0x >恒成立·······················12分。

山东省青岛市一模2024届高三数学答案

2024年高三年级第一次适应性检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1--8：A D B A C C B A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．AB 10．AC 11．BCD三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12．0；13．512；14．1．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（13分）解：（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1······················3分日均阅读时间的平均数为：300.15500.25700.3900.21100.167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）·······················6分（2）由题意，在[60,80),[80,100),[100,120]三组分别抽取3,2,1人·······················7分ξ的可能取值为：0,1,2·················································································8分则3042361(0)5C C P C ξ===················································································9分2142363(1)5C C P C ξ===···············································································10分1242361(2)5C C P C ξ===··············································································11分所以ξ的分布列为：ξ012P153515131()0121555E ξ=⨯+⨯+⨯=······································································13分16．（15分）解：（1）当1a =时，21()x x f x x-+'=，0()1f x '=解得01x =························3分又因为1(1)2f =-，所以切线方程为：302x y --=···········································5分（2）()f x 的定义域为(0,)+∞，21()x ax f x x-+'=········································6分当0a ≤时，得()0f x '>恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增·································8分当0a >时，令22()1,4g x x ax a =-+∆=-····················································9分（ⅰ）当0∆≤即02a <≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增··········································11分（ⅱ）当0∆>即2a >时，(22()x x f xx --'=···············12分由()0f x '>得，02a x -<<或2a x +>，由()0fx '<得，4422a a x +<<所以()f x在(0,),(,)22a a -+∞单调递增，在(,22aa -+单调递减···········································14分综上：当2a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当2a >时，()f x 在(0,,)22a a -+∞单调递增；()f x 在44(,)22a a +单调递减·······················15分17．（15分）解：(1)取棱1A A中点D ，连接BD ，因为1AB A B =，所以1BD AA ⊥·················1分因为三棱柱111ABC A B C -，所以11//AA BB ······················································2分所以1BD BB ⊥，所以BD =·····································································3分因为2AB =，所以1AD =，12AA =；因为2AC =，1A C =，所以22211AC AA A C +=，所以AC ⊥1AA ，············4分同理AC ⊥AB ，·························································································5分因为1AA AB A = ,且1,AA AB ⊂平面11A ABB ，所以AC ⊥平面11A ABB ，因为AC ⊂平面ABC ，所以平面11A ABB ⊥平面ABC ··············6分（2）取AB 中点O ，连接1A O ，取BC 中点P ，连接OP ，则//OP AC ，由（1）知AC ⊥平面11A ABB ，所以OP ⊥平面11A ABB ·······················7分因为1AO ⊂平面11A ABB ，AB ⊂平面11A ABB ，所以OP ⊥1AO ，OP ⊥AB ，因为11AB A A A B ==，则1A O AB ⊥······························································8分1B PO 1C CMB 1A A xyzD以O 为坐标原点，OP ，OB ，1OA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0)A -，1A，1B ,(2,1,0)C -，设点((02)N a a ≤≤，···········································································9分11(0,2,0)A B =，1(2,1,A C =-，1(A N a =，设面11A B C 的法向量为(,,)n x y z = ，得11100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，取x =02y z ==，，所以2)n =·············································10分设直线AN 与平面11A B C 所成角为θ，则||sin |cos ,|||||n AN n AN n AN θ⋅=<>=⋅===································11分若0a =，则sin7θ=，·········································································12分若0a ≠，则sin 7θ=≤=，·······························13分当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立，·······················································14分所以直线AN 与平面1A MB 所成角的正弦值的最大值7·································15分18．（17分）解:（1）设(,)M x y ，切点为N ，则2222||||||||MN MW OM OW ==+，所以222|2|4x x y +=++··············································································3分化简得24y x =，所以C 的方程为：24y x =····················································4分（2）（ⅰ）因为12//l l ，所以可设,GA GA GB GB λλ''==，又因为1()()22GE GA GB GA GB GF λλ''=+=+= ，所以,,G E F 三点共线，同理，,,H E F 三点共线，所以,,G E H 三点共线···················································································6分（ⅱ）设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y A x y B x y ''，AB 中点为E ，A B ''中点为F ，将x y m =+代入24y x =得：2440y y m --=，所以12124,4y y y y m +==-，所以1222E y y y +==，同理2F y =（,,,G E H F 均在定直线2y =上）················8分因为1//TT l '，所以EAT ∆与EAH ∆面积相等，EBT '∆与EBH ∆面积相等；所以四边形GTET '面积等于四边形GAHB 面积···············································10分设(,2),(,2)G H G x H x ，直线131113:()y y AA y y x x x x -'-=--，即213112231()444y y y y y x y y --=--，整理得：直线13134:x y y AA y y y +'=+，又因为2G y =，所以13132()4G y y y y x +-=，同理，直线23234:x y y BA y y y +'=+，2H y =，所以23232()4H y y y y x +-=·············12分所以||||G H GH x x =-123()(2)||4y y y --=34123()()2||4y y y y y +--=1234|()()|8y y y y --=····························14分所以四边形GAHB 面积2123412()||1||||216y y y y S GH y y -⋅-=⋅-==(1616)161616m +==22(1)14[]2(22)162m n m m n +++≤=+++=············16分当且仅当2(1)1m n +=+，即22226m m n n m m ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，即13m n =⎧⎨=⎩时取等号，所以GAT ∆面积的最大值为16······································································17分19．（17分）解：（1）因为33414233241()m x a b a b a b a b x =+++，所以414233241m a b a b a b a b =+++···································································4分（2）因为({}{})({})({})n n n n f a b f a f b ⊗=⋅，所以({})({})({})({}{})({})(({}{}){})n n n n n n n n n f a f b f c f a b f c f a b c ⋅⋅=⊗⋅=⊗⊗，又因为({})({})({})({})[({})({})]n n n n n n f a f b f c f a f b f c ⋅⋅=⋅⋅({})({}{})n n n f a f b c =⋅⊗({}({}{}))n n n f a b c =⊗⊗所以(({}{}){})({}({}{}))n n n n n n f a b f c f a b f c ⊗⊗=⊗⊗所以({}{}){}{}({}{})n n n n n n a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗···············································10分（3）对于{},{}n n a b S ∈，因为111121212()()n n n n n n a a x a x b b x b x d d x d x ---++++++++=++++所以1112111121()()()n n k n k n n n n k n k n n d xa b x a x b x a x b x a x b ------+--=+++++ ，所以1211121n n n k n k n n d a b a b a b a b a b -+--=++++++ ，所以11{}{}{}{}nn n n k n kk a b d a b+-=⊗==∑····························································13分220010020010010020020120120120121110111(1)1(1)2k k k k k kk k k k k k k k k d a b a b a b a b k k ----+=====++==+==+∑∑∑∑∑·········14分所以10020021121(1)21k k d k k +==+-+∑10010021211111[]22(1)2k k k k k k k +++===+-⋅+⋅∑∑10211021210122=-<⨯········································································17分。

山东省青岛市2022届高三下学期高考一模考试数学试题(含答案)

2022年高三年级统一质量检测（青岛真一模）数学试题2022.3一、单项选择题1. 已知集合 {}2|230,{|ln(1)}A x x x B x y x =--≤==-, 则 A B ⋂=A. ∅B. [1,1)-C. [1,3]D. (1,3]2. 已知复数 i 1iz =- (其中 i 为虚数单位）, 则在复平面内 z 对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知非零向量 ,a b , 则 “ ||||a b a b +=- ” 是 “ a b ⊥ ” 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知双曲线 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> 的离心率为则双曲线 C 的渐近线方程为A. 12y x =± B. 2y x =± C. y = D. 2y x =± 5. 已知函数 2,()2()(),()2f xg x f x f x -<-⎧=⎨≥-⎩, 若函数 ()22x f x =-, 则 ()2log 3g 的值为 A. 1-B. 2- C. 1D. 26. 已知 30,,cos 2sin 454ππααα⎛⎫⎛⎫∈=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则 sin 2α 的值为 A. 725B. 2425C. 725- D. 2425- 7. 已知圆 22:4O x y +=, 点 (1,1)P , 圆 O 内过点 P 的最长弦为 AB , 最短弦为 CD , 则 ()AD CB CD +⋅ 的值为A. 2B. 4C. 8D. 168. 数列 1,1,2,3,5,8, 是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，称为 “斐波那契数列”，该数列从第三项开始, 每项等于前两个相邻项之和. 若该数列的前 2020 项的和为 T , 则它的第 2022 项为A. 2T -B. 1T -C. TD. 1T +二、多项选择题9. 已知函数 ()f x 的导函数为 ()f x ', 若存在 0x 使得 ()()00f x f x '=, 则称 0x 是 ()f x 的一个 “新驻点”, 下列函数中, 具有 “新驻点” 的是A. ()sin f x x =B. 3()f x x =C. ()ln f x x =D. ()x f x xe =10. 若正实数 ,a b 满足 4a b +=, 则下列结论正确的是 A. 111a b +≤ B. 22a b +≤C. 228a b +≥D. 22log log 2a b +≥11. 已知奇函数 ()3sin()cos()(0,0)f x x x ωϕωϕωϕπ=+-+><< 的周期为 π, 将函数 ()f x 的图象向右平移6π 个单位长度, 可得到函数 ()y g x = 的图象, 则下列结论正确的是 A. 函数 ()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B. 函数 ()g x 在区间 ,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 函数 ()g x 的图象关于直线 12x π=- 对称D. 当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, 函数 ()g x 的最大值是 3 12. 《九章算术»中, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑, 如图, 在鳖臑 P ABC - 中, PA ⊥ 平面 ,,2ABC AB BC AB ⊥=. 若鳖臑 P ABC - 外接球的体积为 323π, 则当此鳖臑的体积最大时, 下列结论正确的是 A. 6PA BC ==B. 鳖臑 P ABC - 体积的最大值为 6C. 直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为4D. 鳖臑 P ABC - 内切球的半径为3 三、填空题13. 命题 “ 0,,sin 02x x π⎡⎤∀∈≥⎢⎥⎣⎦” 的否定为 _____________. 14. 已知函数 ()f x 同时满足性质: (1) ()()f x f x -=, (2)当 (0,1)x ∈ 时, ()0f x '<, 写出 ()f x 一个解析式 _____________.15. 五声音阶是中国古乐基本音阶, 故有成语 “五音不全”. 中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽, 把这五个音阶排成一列, 形成一个的音序, 若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后, 则可排成不同的音序的种数为 _____________. （用数字作答）.16. 已知抛物线 2:2(0)C y px p =>, 过其焦点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点(点P 在第一象限), ||3||PF FQ =,则直线l 的斜率为___ 若 ||1FQ =, 点A 为抛物线C 上的动点, 且点A 在直线l 的左上方, 则APQ ∆面积的最大值为 _____________. (本小题第一问 2 分, 第二问 3 分)四、解答题17. (10 分)已知数列 {}n a 的前 n 项和为 n S , 且满足___.从①{}n a 是递增的等比数列, 327,2S a ==; ②21n n S =-; ③21n n S a =- 三个条件中任选一个, 补充在横线上, 并解答下列问题.(1) 求数列 {}n a 的通项公式;(2) 若 ()2*log ,2N ,21n n n a n k b k a n k =⎧=∈⎨=-⎩, 求数列 {}n b 的前 2n 项的和. 注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.18.(12 分)如图, 在四边形 ABCD 中, BCD ∆ 为锐角三角形, 224,sin 3CD DBC =∠=, 3cos 3BDC ∠=. (1) 求 BC ;(2) 若 ,3m AB m AC BC ==+, 是否存在正整数 m , 使得 ABC ∆ 为钝角三角形?若存在, 求出 m 的值; 若不存在, 说明理由.19. (12 分)如图, 在四棱锥P ABCD - 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 2PA PD AB BD ====, PA PD ⊥, 平面 PAD ⊥ 平面 ,ABCD E 是 BC 的中点.(1) 证明: AP⊥平面PDE;(2) 若13PQ PC=, 求平面PDE与平面QDE夹角的余弦值.20. (12 分)2022 年北京冬奧会圆满落幕, 我国运动健儿获得9 金4 银2 铜共15 枚奖牌的骄人战绩。

山东省青岛市2019届高三3月教学质量检测(一模)数学(理)试题(PDF版)

1 k2
(
8k 2 4k 2
) 3
2
4(4k 2 4k 2
12) 3
12(k 2 1) 4k 2 3
·································· 11
分
所以 | MF | 1 为定值················································································· 12 分 | PQ | 4
|m||n| 5
设二面角 A EB D 的平面角为，则 cos 15 ···································· 12 分 5
青岛市高三年级教学质量检测数学（理科）答案第 2页（共 6页）
19．（本小题满分 12 分）
解：（1）由
x2 a2
y2 b2
1，令 x
（2）由（1）知：当 a 0 时， f (x) 的极大值等于 0 ，符合题意··························· 6 分 ①当 0 a 1时，因为当 x (0, a) 时， g(x) 0 ；当 x (a, ) 时， g(x) 0 ；
1
1
1
且 g(1) 0 ， g(e a ) 1 e a 1 e a 0
2019 年青岛市高三年级教学质量检测
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．
CAAD C
C BAB B
BD
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 3 5
14． 4
15． (14 6 5)
16． 3

2022年山东省青岛市高考数学一模试卷+答案解析(附后)

2022年山东省青岛市高考数学一模试卷1.已知全集，，则( )A. B.C.D.2.若命题“，”为真命题，则实数a 的取值范围为( )A. B.C.D.3.设为虚数单位，则( )A. B.C.D.4.若双曲线的焦距为6，则该双曲线的离心率为( )A.B.C. 3D.5.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设，则( )A.B. 7C. 13D. 266.甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为( )A. B.C.D.7.已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为( )A. B.C.D.8.设是定义域为R 的偶函数，且在上单调递增，若，，，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.B.C.D.9.某市为了更好的支持小微企业的发展，对全市小微企业的年税收进行适当的减免，为了解该地小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业减免前和减免后的年收入进行了抽样调查，将调查数据整理，得到如下所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是( )A. 推行减免政策后，某市小微企业的年收入都有了明显的提高B. 推行减免政策后，某市小微企业的平均年收入有了明显的提高C. 推行减免政策后，某市小微企业的年收入更加均衡D. 推行减免政策后，某市小微企业的年收入没有变化10.已知向量，，则下列结论正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则与的夹角为锐角11.已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论正确的是( )A. 的周长为6B. 的面积为C. 的内切圆的半径为D. 的外接圆的直径为12.已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线AB长为2，E为母线AB中点，则下列结论正确的是( )A. 圆台母线AB与底面所成角为B. 圆台的侧面积为C. 圆台外接球半径为2D. 在圆台的侧面上，从C到E的最短路径的长度为513.的展开式中的系数是______用数字作答14.已知，若，则______.15.截角四面体亦称“阿基米德多面体”的表面由四个正三角形和四个正六边形组成，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得到的几何体．若一正四面体的棱长为3，则由其截得的截角四面体的体积为______.16.已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为______；若数列为等差数列，，______.17.已知为等比数列，，，分别是下表第一、二、三行中的数，且，，中的任何两个数都不在下表的同一列，为等差数列，其前n项和为，且，第一列第二列第三列第一行152第二行4310第三行9820求数列，的通项公式；若，其中是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如，，求数列的前100项的和18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求角A；若，BC边上的高为，求边19.如图①，在梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，以DE为折痕把ADE折起，连接AB，AC，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题．证明：；请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角的余弦值．①四棱锥的体积为2；②直线AC与EB所成角的余弦值为20.已知O为坐标原点，点，过动点W作直线的垂线，垂足为点F，，记W 的轨迹为曲线求曲线C的方程；若，，，均在C上，直线，的交点为，，求四边形面积的最小值．21.规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下：t12345y23298604020求y关于t的回归方程，并预测成功的总人数精确到；证明：附：经验回归方程系数：参者数据：其中22.已知函数若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；设函数，若，求a的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：全集，，故选：利用补集定义求出本题考查补集的求法，是基础题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，命题“，为真命题”，即不等式恒成立，当时，不等式为，恒成立，当时，必有，解可得，综合可得：，故选：分与两种情况讨论，求出a的取值范围，即可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：，故选：首先化简z可得，即可求出答案．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：双曲线的焦距为6，可得，解得，双曲线方程为：，所以，，所以双曲线的离心率为：故选：通过双曲线的焦距，求解k，然后求解a，c，得到离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．5.【答案】C【解析】解：这个人原来持金为a斤，第1关收税金为，第2关收税金为，第3关收税金为，以此类推可得，第4关收税金为，第5关收税金为，所以，即，解得，由，则故选：根据题意求得每次收的税金，结合题意可得，，求得a的值，代入函数的解析式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，概率为，二是前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为：，这两种情况互斥，甲最终获胜的概率为故选：由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，然后由独立事件和互斥斥事件的概率公式求解即可．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算运解能力，是基础题．7.【答案】A【解析】解：因为将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数，若图象关于对称，则，所以，，故，因为，所以故选：根据三角函数图象的平移先求出，然后结合正弦函数的对称性可求．本题主要考查了三角函数图象的平移，正弦函数对称性的应用，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：因为是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，，，，又，所以，所以，则故选：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．9.【答案】ACD【解析】解：对于A，从图中无法确定推行减免政策后，某市小微企业的年收入是否都有了明显的提高，故A错误，对于B，从图中可以看出，减免前占比最多的平均年收入为万元，其次是万元及万元，减免后占比最多的为万元，其次是万元及万元，明显增多，所以平均年收入也有明显提高，B正确．对于C，从图中看出，推行减免政策后，年收入的频率差距增大，而减免前差距较小，所以减免后年收入不均衡，C错误；对于D，从图中看出，推行减免政策后，某市小微企业的年收入有明显变化，所以D错误．故选：根据减免前，减免后的频率分布直方图，逐个分析选项即可．本题主要考查了频率分布直方图的实际应用，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：对于选项A，，则，则，即选项A正确；对于选项B，，则，则，即选项B错误；对于选项C，，则，即选项C错误；对于选项D，，则，则，又与不共线，即与的夹角为锐角，即选项D正确，故选：由平面向量数量积运算结合共线向量及向量的夹角公式逐一判断即可．本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了共线向量，属基础题．11.【答案】ABC【解析】解：由题意知，，，，由椭圆的定义知，，，所以的周长为，即选项A正确；将代入椭圆方程得，，解得，所以的面积为，即选项B正确；设的内切圆的半径为r，则，即，所以，即选项C正确；不妨取，则，，所以的面积为，即，所以，由正弦定理知，的外接圆的直径，即选项D错误．故选：A，结合椭圆的定义可得的周长为；B，将代入椭圆方程，求得的值，由，得解；C，设的内切圆的半径为r，由，得解；D，不妨取，由两点间距离公式计算和的长，再由，求出，最后利用正弦定理，得解．本题考查椭圆的几何性质，正弦定理及其变形公式，三角形面积公式等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线AB长为2，E为母线AB中点，如图所示：由于，，利用勾股定理，解得，所以，即圆台母线AB与底面所成的角为，故A正确；圆台的展开面如图所示：对于B：圆台的侧面积为，故B错误．根据比例关系求出，展开面为半圆环；点E为母线的中点，所以，根据设球心在圆台的中心连线上，设到上底面的距离为x，所以，解得，所以外接球的球心在圆台的下底面的圆心；所以外接球的半径为2，故C正确；根据展开图：，故D正确．故选：首先利用圆台中的底面半径和母线的长度求出圆台的展开图为半圆环，进一步利用圆台的展开面，及圆台和外接球的关系求出球的半径，最后判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：圆台的展开图，线面的夹角，圆台和外接球的关系，勾股定理的应用，圆台的展开面，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：根据二项式定理可得展开式中含的项为，所以的系数为，故答案为：根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：设，则，，则，则，设的终边上的点，则，，则，故答案为：利用换元法以及三角函数的定义进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，根据两角和差的正弦公式利用换元法进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．15.【答案】【解析】解：因为原正四面体的棱长为3，则该正四面体的底面外接圆的半径为，所以该正四面体的高为，底面积为，所以该正四面体的体积为，同理可得棱长为1的正四面体的体积，则这个截角四面体的体积为故答案为：求出棱长为3的正四面体的体积和棱长为1的正四面体的体积，再用棱长为3的正四面体的体积减去四个棱长为1的正四面体的体积可得解．本题考查了正四面体的结构特征，考査了正弦定理，考査了三角形的面积公式，考查了锥体的体积公式，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由，得，是奇函数，对称中心为，是将的图象向右平移4个单位长度得到，故其对称中心为，，则函数的图象的对称中心为数列为等差数列，，，，，函数的图象的对称中心为，故答案为：；先利用函数的奇偶性判断是奇函数，对称中心为，即可得到函数的对称中心，再利用等差数列的性质和的对称性即可求解．本题考查了函数的奇偶性，对称性的判断，等差数列的性质，属于中档题．17.【答案】解：由表可知，，，，所以数列的首项为2，公比为2，所以，因为，，所以，解得，，所以，综上，，，所以……………………【解析】由表可知，，，，利用等比数列的通项公式可得，再结合等差数列的通项公式与前n项和公式，求得；根据对数的运算性质和分组求和法，即可得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式，对数的性质，以及分组求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：由正弦定理及，知，化简得，由余弦定理知，，因为，所以由，及，知①，设BC边上的高为h，则，所以的面积，即，化简得②，由①②得，，即，所以或舍负【解析】利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理，得解；由可得①，利用其中h为BC边上的高，推出②，再联立①②，解方程即可．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：在图①中，因为为AB中点，所以，，所以ADCE为平行四边形，所以，同理可证，在图②中，取DE中点O，连接，因为，所以，，因为，所以平面AOC，因为平面AOC，所以；若选择①：因为平面AOC，平面BCDE，所以平面平面BCDE且交线为OC，所以过点A作，则平面BCDE，因为，所以四棱锥的体积，所以，所以AO与AH重合，所以平面BCDE，建系如图，则，平面DAE法向量为，设平面AEC法向量为，因为，所以，得，设二面角的大小为，则，所以二面角的余弦值为；若选择②：因为，所以即为异面直线AC与EB所成角，在中，，所以，所以，即，因为平面AOC，平面BCDE，所以平面平面BCDE且交线为OC，所以平面BCDE，建系如图，则，平面DAE法向量为，设平面AEC法向量为，因为，所以，得，设二面角的大小为，则，所以二面角的余弦值为【解析】通过证明线面垂直来证得选①，结合四棱锥的体积，证得平面BCDE；选②，结合直线AC与EB所成角的余弦值，证得平面BCDE；由此建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值．本题考查了线线垂直的证明以及二面角的求解，属于中档题．20.【答案】解：设，则，所以，，所以，所以W的轨迹C的方程为：；由题知直线，斜率必存在，且不为0，设，，，，设，代入抛物线C方程中得：，整理得，，所以，，因为，设，代入抛物线C方程中得：，整理得：，，所以，，所以四边形的面积，当且仅当，即时等号成立，此时四边形的面积最小，最小值为2，综上，四边形的面积最小值为【解析】设，根据条件列出方程化简即可得曲线C的方程；分别设出直线，的方程，与抛物线的方程联立，借助韦达定理，由弦长公式表示出，，将四边形的面积表示为关于k的表达式，利用基本不等式可得最小值．本题考查了轨迹方程，抛物线中的四边形面积最值问题，属于中档题．21.【答案】解：由题知，X的取值可能为1，2，3所以；，所以X的分布列为：X 1 2 3P所以数学期望为，令，则，由题知：，所以，所以，，故所求的回归方程为：，所以，估计时，；估计时，；估计时，；预测成功的总人数为，证明：由题知，在前n轮就成功的概率为，又因为在前n轮没有成功的概率为，故【解析】求出X的取值，再求概率及分布列即可，利用回归直线方程公式求回归直线方程即可，求出，再进行化简，放缩，即可证明．本题考查分布列及线性回归方程，考查数学运算能力及数据分析能力，属于中档题．22.【答案】解：由题意可知，，，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，设，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，所以，所以a的取值范围；由题意可得，，所以，，因为，所以，，即为的最小值．为的一个极小值点，所以，，则，当，，所以，当时，，当且仅当时等号成立，所以，在上单调递增，当时，若，，若，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，所以，当时，【解析】求导，由题意，可转为在上恒成立，构造函数，求导，根据函数的单调性即可求得a的范围；求得，求导，根据题意可得，为的一个极小值点，代入即可求得a的值，将代入，分类讨论，根据函数的单调性，可得当时，本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性，极值与最值，考查导数与三角函数结合，考查函数思想，计算能力，属于难题．。

山东省青岛市2019届高三数学3月教学质量检测(一模)试卷理(含解析)

三、解答题（本大题共 7 小题，共 82。0 分）
17.已知数列的前项和为，满足：
，
,数列为等比数列，满足
,
,
．
（Ⅰ）求数列 , 的通项公式；
（Ⅱ）若数列
的前项和为 ,数列的前项和为，试比较与的大小．
【答案】（Ⅰ）
；
.（Ⅱ）
.
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得数列为首项和公差均为 1 的等差数列，即可得到所求的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到的通项公式；
9.已知双曲线：
, 为坐标原点，过的右顶点且垂直于轴的直线交的渐近线于，
,过的右焦点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，若
与
近线方程为（）
A。
B。
C.
【答案】B
【解析】
【分析】
的面积比为，则双曲线的渐 D。
由三角形的面积比等于相似比的平方，可得＝，即可求出渐近线方程．
【详解】由三角形的面积比等于相似比的平方，
D. 3
【详解】作出 , 满足约束条件
对应的平面区域如图（阴影部分）：
则的几何意义为区域内的点到定点
的直线的斜率,
由图象可知当直线过点时对应的斜率最小，由
，解得
，
此时的斜率
，
故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义．
6。过抛物线
焦点作倾斜角为的直线，若与抛物线交于 , 两点，且的中点到抛物线
准线的距离为 4，则的值为（ )
的 A.
【答案】C 【解析】【分析】
设
，

青岛市高三一模试题及答案(数学理)

青岛市高三教学质量统一检测数学试题（理科） 2018.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 (i 为虚数单位)等于A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．若集合}11,|{31≤≤-==x x y y A ，}1{x y x B -==，则A B =A ．(]1,∞-B ．]1,1[-C ．φD ．{1}3．设p 和q 是两个简单命题，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则p 是q ⌝的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是1=a 3=b b a a += b a b -= PRINT b a ,A ．1 3 B ．4 1 C ． 0 0 D ．605．若dx x a ⎰=22sin π，dx x b ⎰=1cos ，则a 与b 的关系是A ．b a <B ．b a >C ．b a =D ．0=+b a 6．圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是A ．2 B. 1C ．22+D. 1+7．已知抛物线2x ay =的焦点恰好为双曲线222y x -=的上焦点，则a 的值为A ．1B ．4C ．8D ．168．将奇函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωφωφ=+≠>-<<的图象向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为A ．2B ．3C ．4D ．6 9．已知281(0,0)x y x y+=>>，则x y +的最小值为A ．12B ．14C ．16D ．1810．过原点的直线与函数x y 2=的图像交于B A ,两点，过B 作y 轴的垂线交于函数x y 4=的图像于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是A ．)2,1(B ．)4,2(C ．)2,21( D ．)1,0(11．在数列}{n a 中，a a a n n +=+1（a n ,N *∈为常数），若平面上的三个不共线的非零向量,,满足a a 20101+=，三点C B A ,,共线且该直线不过O 点，则2010S 等于A ．1005B ．1006C ．2010D ．201212．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是直线1m 和直线1n ，给出下列四个命题： ①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ； ③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合；其中不正确．．．的命题个数是 A.1 B. 2 C.3 D. 4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．若nxx )1(+展开式中第2项与第6项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数为；14．已知区域}0,5,0|),{(},0,0,10|),{(≥≤≥-=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率()P A = ； 15．关于x 的不等式|2||1|5x x ++-<的解集为；16．已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的范围是．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量)cos ,2sin 3(x t x m +=，)cos 2,1(x n =，设函数n m x f ⋅=)(. (Ⅰ)若21)32cos(=-πx ，且⊥，求实数t 的值; (Ⅱ)在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,若1,3)(==b A f ,且ABC ∆的面积为23,实数1=t ,求边长a 的值.18．（本小题满分12分）某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品, 2种家电商品, 3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.(Ⅰ)试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率;(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高x 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为40元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是21,若使促销方案对商场有利，则x 最少为多少元？19.(本题满分共12分)下图分别为三棱锥ABC S -的直观图与三视图，在直观图中，SA SC =，N M 、分别为SB AB 、的中点.（Ⅰ）求证：SB AC ⊥;（Ⅱ）求二面角B NC M --的余弦值.CSN侧视图20.(本题满分共12分)已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a ,且42342+=+a a a ,其中*∈N n .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,令2n n a b =,其中*∈N n ,试比较n n T T 4121++与1log 22log 2212-++n n b b 的大小,并加以证明.21.(本题满分12分)已知定义在正实数集上的函数ex x x f 221)(2+=,b x e x g +=ln 3)(2（其中e 为常数，2.71828e =⋅⋅⋅）,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同.(Ⅰ)求实数b 的值;(Ⅱ)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1时,x a e x g e aex x f )2())(2(6)2)((222+≤++-恒成立,求实数a 的取值范围.22.(本题满分14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两焦点分别为21,F F ，P 是椭圆C 上的一点，且在x 轴的上方，H 是1PF 上一点，若12120,0PF F F PF==⋅=⋅， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31λ（其中O 为坐标原点）.(Ⅰ)求椭圆C 离心率e 的最大值;(Ⅱ)如果离心率e 取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知22=b ，点），（01-M ，设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 、M 两点的直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM , 求直线l 的方程.青岛市高三教学质量统一检测数学试题（理科）答案 2018.3一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBBBA BCDDA AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13．20 14．4115．），（23- 16．），（∞+1三、解答题（共74分）． 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)由题意得01)62sin(2cos 2)2sin 3(2=+++=++=⋅t x x t x π…………3分所以21)32cos(21)62sin(2-=---=-+-=ππx x t …………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2)62sin(21)62sin(2)(++=+++=ππx t x x f由题意得32)62sin(2)(=++=πA A f所以21)62sin(=+πA …………………8分因为6136260ππππ<+<<<A A ，，所以6562ππ=+A解得3π=A因为ABC ∆的面积为23,所以23sin 21=A bc ,2=bc 即2=c …………10分由余弦定理得32121241cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a …………12分 18．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)选出3种商品一共有37C 种选法, …………2分选出的3种商品中至多有一种是家电商品有251235C C C +种. …………4分所以至多有一种是家电商品的概率为7637251235=+=C C C C P .…………5分 (Ⅱ)奖券总额是一随机变量,设为ξ,可能值为0, 40,80,120.…………6分(),81212103003=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ…………7分 (),832121402113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ…………8分(),832121801223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ …………9分 ().1111200333=⎪⎫ ⎛⋅⎪⎫ ⎛==C P ς…………10分所以60812088084080=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .所以60≥x ,因此要使促销方案对商场有利，则x 最少为60元. …………12分19.(本题满分12分)解: 由题意知: 32==SC SA ，侧面⊥SAC 底面ABC ，底面ABC ∆为正三角形…………2分 (Ⅰ) 取AC 的中点O ,连结OB OS ,. 因为BC AB SC SA ==,, 所以OB ACSO AC ⊥⊥,. 所以⊥AC 平面OSB .所以SB AC ⊥ …………4分(Ⅱ) 如图所示建立空间直角坐标系xyz O -,则)2,3,0(),0,3,1(),22,0,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,2(N M S C B A -.(4,0,0),AC SB ∴=-=-.).2,0,1(),0,3,3(-==…………6分设=n ),,(z y x 为平面CMN 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅02033z x y x ，取1=z ,得6,2-==y x . 所以)1,6,2(-=n …………8分又由上可得).2,3,2(),0,32,2(==CN CB 设),,(c b a m =为平面NBC 的法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=+=⋅02320322c b a b a ,得02=+c a , 令1=c ，则)1,36,2(-=…………10分所以11333333122||||,cos -=⨯+--=>=<n m所以二面角B NC M --的余弦值为1133. …………12分 20.(本题满分12分)解:(Ⅰ)因为12212+++=n n n n a a a a ,即0)2)((11=-+++n n n n a a a a又0>n a ,所以有021=-+n n a a ,所以12+=n n a a 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列…………2分由42342+=+a a a 得4882111+=+a a a ,解得21=a 故数列{}n a 的通项公式为n n a 2=)N (*∈n …………4分 (Ⅱ) 因n n n n a b 4222===，所以4,411==+nn b b b 即数列{}n b 是首项为4,公比是4的等比数列所以)14(34-=nn T …………6分则1431)14(48441211-+=-+=+++n n n n n T T 又147114641log 22log 2212-+=-+=-++n n n b b n n )14)(14()4713(41471431log 22log 241212121--⋅-+=---=-+-+-++n n n b b T T nn n n n n n 猜想：13471+>⋅-n n …………8分①当1=n 时，41137470=+⨯>=⋅,上面不等式显然成立； ②假设当k n =时，不等式13471+>⋅-k k 成立…………9分当1+=k n 时，1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k综上①②对任意的*∈N n 均有13471+>⋅-n n …………11分又410,410n n ->->01log 22log 24122121<-+-+∴++n n n n b b T T 所以对任意的*∈N n 均有1log 22log 24122121-+<+++n n n n b b T T …………12分 21.(本题满分12分)解:(Ⅰ)e x x f 2)(+=',xex g 23)(='………………1分设函数ex x x f 221)(2+=与b x e x g +=l n 3)(2的图象有公共点为),(00y x 由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=++=+032ln 3221002002020x x e e x b x e ex x ………………………3分解得:22e b -= ………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2ln 3)(22e x e x g -=所以x a x e x g eaex x f ln ))(2(6)2)((2222+=++- 即)1(2)ln 2x x x x a -≥-（当)1,1[ex ∈时，0ln <x ，0ln >-∴x x当[]e x ,1∈时，x x ≤≤1ln ，且等号不能同时成立，0ln >-∴x x所以,则由(1)式可得x x x x a ln 22--≥在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒成立……………………7分设x x x x x F ln 2)(2--=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1又2)ln (ln 22)(1()(x x x x x x F --+-='）……………………9分令0)(='x F 得：1=x 又0ln 22,1ln >-+∴≤x x x所以，当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，0)(<'x F ；当(]1,x e ∈时，0)(>'x F ；所以，)(x F 在)1,1[e上为减函数，)(x F 在(]1,e 上为增函数…………11分又<<+-=0)1(21)1(e e ee F 12)(2--=e e e e F故12)()(2max--==e ee e F x F所以实数a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--,122e e e ……………12分 22.(本题满分14分)解:(Ⅰ)由题意知1212,PF OH F F PF ⊥⊥ 则有OH F 1∆与21PF F ∆相似所以λ==PF PF OF OH 121……………2分设0),0,(),0,(21>-c c F c F ,),(1y c P则有122122=+b y a c ,解得a b y 21=所以ab y PF 212==根据椭圆的定义得:a b a PF a P F 22122-=-= ……………4分2222b a b -=∴λ,即λλ+=1222ab 所以112122222-+=-==λab ac e ……………6分显然1122-+=λe 在]21,31[上是单调减函数当31=λ时,2e 取最大值21 所以椭圆C 离心率e 的最大值是22……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知21211222222=-=-==a a b a c e ,解得42=a 所以此时椭圆C 的方程为12422=+y x ……………10分由题意知直线l 的斜率存在,故设其斜率为k ,则其方程为),0(),1(k N x k y +=设),(11y x Q ,由于2=,所以有),1(2),(1111y x k y x ---=-3,3211k y x =-=∴……………12分又Q 是椭圆C 上的一点,则12)3(4)32(22=+-k 解得4±=k所以直线l 的方程为044=+-y x 或044=++y x ……………14分。

青岛高三一模数学试题及答案

青岛高三一模数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，那么f(-1)的值为（）。

A. 8B. 6C. 4D. 2答案：A2. 已知等差数列{a_n}的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C3. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心为（）。

A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)答案：A4. 已知函数y = x^3 - 3x^2 + 4的导数为y' = 3x^2 - 6x，若y' = 0，则x的值为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 若向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a与向量b的点积为（）。

A. 10B. 8C. 6D. 4答案：B6. 已知函数y = sin(x) + cos(x)，那么y'的值为（）。

A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -cos(x) + sin(x)D. -cos(x) - sin(x)答案：A7. 已知等比数列{a_n}的前三项分别为1，2，4，则该数列的公比为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B8. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，那么f'(x)的值为（）。

A. 3x^2 - 12x + 9B. 3x^2 - 6x + 9C. 3x^2 - 12x + 3D. 3x^2 - 6x + 3答案：A9. 已知直线y = 2x + 3与x轴的交点为（）。

A. (-3/2, 0)B. (0, 3)C. (3/2, 0)D. (3, 0)答案：C10. 若向量a = (1, 0)，向量b = (0, 1)，则向量a与向量b的叉积为（）。

A. 1B. -1C. 0D. 2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，那么函数的最小值为______。

2023届山东省青岛市高三年级(一模)第一次适应性检测数学试题及参考答案

2023届山东省青岛市高三年级（一模）第一次适应性检测数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合R U =，{}73<<=x x A ，集合{}42<-=x x B ，则下图中阴影部分表示的结合为（）A .{}32≤<-x xB .{}32<<-x xC .{}2,1,0,1-D .{}3,2,1,0,1-2.已知复数z 满足()21=+z i ，则复数z 则虚部为（）A .1B .iC .1-D .i-3.在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛32cos ,32sin ππ，则=αsin （）A .23B .21-C .23-D .214.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm.现往盆内倒入水，当水深6cm 时，盆内水的体积近似为（）A .π24B .π12C .π48D .π325.定义域为R 的函数()x f 满足：当[)1,0∈x 时，()13-=xx f ，且对任意实数x ，均有()()11=++x f x f ，则()=4log 3f （）A .3B .2C .34D .326.已知双曲线C ：()0012222>>=-b a by a x ，的左、右焦点分别为21F F ，，直线xy 3=与C 的左右两支分别交于B A ,两点，若四边形21BF AF 为矩形，则C 的离心率为（）A .213+B .3C .13+D .15+7.某次考试共有4种单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路.有思路的题目每道做对的概率为0.8.没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25.若从这4道题中任选2题，则这个学生2道题全做对的概率为（）A .34.0B .37.0C .42.0D .43.08.已知函数()x x x f sin 213-=，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈120πθ，，()()()()θθθθsin sin sin cos f b f a ==，，⎪⎭⎫⎝⎛--=21f c ，则c b a ,,的大小关系为（）A .cb a >>B .ca b >>C .b c a >>D .ba c >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在812⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，下列说法正确的是（）A .常数项系数是1120B .第四项和第六项的系数相等C .各项的二项式系数之和为256D .各项的系数之和为25610.下列说法正确的是（）A .若直线a 不平行于平面α，α⊄a ，则α内不存在与a 平行的直线B .若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则βα∥C .设n m l ,,为直线，n m ,在平面α内，则“α⊥l ”是“m l ⊥且n l ⊥”的充要条件D .若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补11.1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉1个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后，也将桃子分成5等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有对少个桃子：最后至少剩下多少个桃子？”.下列说法正确的是（）A .若第n 只猴子分得n b 个桃子（不含吃的），则()5,4,3,2,11451=-=-n b b n nB .若第n 只猴子连吃带分共得到n a 个桃子，则{}()5,4,3,2,1=n a n 为等比数列C .若最初有3121个桃子，则第5只猴子分得256个桃子（不含吃的）D .若最初有k 个桃子，则4+k 必为55的倍数12.已知B A ,是平面直角坐标系xOy 中的两点.若()R OB OA ∈=λλ，()02>=⋅r r OB OA ，则称B 是A 关于圆222r y x =+的对称点.下面说法正确的是（）A .点()1,1关于圆422=+y x 的对称点是()22--，B .圆422=+y x 上的任意一点A 关于圆422=+y x 的对称点就是A 自身C .圆()()0222>=-+b b b y x 上不同于原点O 的点M 122=+y x 的对称点N 的轨迹方程是by 21=D .若定点E 不在圆C ：422=+y x 上，关于圆C 的对称点为D ，A 为圆C 上任意一点，则AEAD 为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()()132100-，，，，，B A O ，若向量OA m ∥ ，且m与OB 的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为.14.已知O 为坐标原点，在抛物线()022>=p px y 上存在两点F E ,，使得OEF ∆是边长为4的正三角形，则=p .15.湿地公园时国家湿地保护体系的重要组成部分.某市计划在如图所示的四边形ABCD 区域建一处湿地公园.已知︒=∠90DAB ，︒=∠45DBA ，︒=∠30BAC ，︒=∠60DBC ，22=AB 千米，则=CD 千米.16.设函数()x f 时定义在整数集Z 上的函数，且满足()10=f ，()01=f ，对任意的Z y x ∈,都有()()()()y f x f y x f y x f 2=-++，则()=3f ；()()()()=++++++222222202321202321f f f f .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数()()02sin cos 22>+=ωωωx x x f .21,x x 是()x f 的两个相邻极值点，且满足π=-21x x .（1）求函数()x f 图象的对称轴方程；（2）若()31=αf ，求α2sin .18.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0≠d ，4542+S S S ，，成等差数列，842,,a a a 成等比数列.（1）求n S ；（2）记数列{}n b 的前n 项和为n T ，n n n S n T b 22+=-.证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n S b 1为等比数列，并求{}n b 的通项公式.19.（12分）如图，在P AB Rt ∆中，AB P A ⊥，且4=P A ，2=AB ，将P AB ∆绕直角边P A 旋转32π到P AC ∆处，得到圆锥的一部分，点D 时地面圆弧BC （不含端点）上的一个动点.（1）是否存在点D ，使得PD BC ⊥？若存在，求出CAD ∠的大小；若不存在，请说明理由；（2）当四棱锥ABCD P -体积最大时，求平面PCD 与平面PBD 夹角的余弦值.20.（12分）今天，中国航天任然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就.某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[60,70),[70,80)[80,90),[90,100]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；（2）用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用()k X P =表示这10名学生中恰有k 名学生的成绩在[90,100]上的概率，求()k X P =取最大值对应的k 的值；（3）从测试成绩在[90,100]的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛.现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.记甲、乙两人中进入复赛的人数为ξ，求ξ的分布列及期望.21.（12分）已知O 为坐标原点，椭圆C ：12222=+b y a x ()0>>b a 的左、右焦点分别为21,F F ，A 为椭圆C 的上顶点，21F AF ∆为等腰直角三角形，其面积为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 交椭圆C 于Q P ,两点，点W 在过原点且与l 平行的直线上，记直线WP ，WQ 的斜率分别为21,k k ,WPQ ∆的面积为S .从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立.①22=S ；②2121-=k k ；③W 为原点O .注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.22.（12分）已知函数()x x f ln =，圆C ：()222=-+b y x .（1）若1=b ，写出曲线()x f y =与圆C 的一条公切线的方程（无需证明）；（2）若曲线()x f y =与圆C 恰有三条公切线.（ⅰ）求b 的取值范围；（ⅱ）证明：曲线D ：1222=-x y 上存在点()n m T ,)0,0>>n m （，对任意0>x ，()()b n x f mx f --+=1.参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.()21--，答案不唯一；14.33；15.32；16.0，10111.四、解答题17.解：由题意得()xx x x x f ωωωω2sin 2cos 12sin cos 22++=+=142sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πωx ∵π2=T ，∴122==T πω，∴()14sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f .令24πππ+=+k x 得()Z k k x ∈+=4ππ.∴函数()x f 图象的对称轴方程为()Z k k x ∈+=4ππ.（2）由()31=αf 得324sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，∴32cos sin -=+αα，∴()94cos sin 2=+αα，即942sin 1=+α.∴952sin -=α18.解：（1）∵4542+S S S ，，成等差数列，842,,a a a 成等比数列.∴⎩⎨⎧⋅=++=822452442a a a S S S ，∴()()()()()()⎩⎨⎧++=+++++=+da d a d a d a d a d a 73410526421121111。

山东省青岛市高三数学第一次模拟考试理(青岛市一模)新人教A版

青岛市高三统一质量检测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．参考公式：球的表面积为：24S R π=,其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. i 是虚数单位，复数ii+12的实部为 A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-2. 设全集R U =，集合{}2|lg(1)M x y x ==-，{}|02N x x =<<，则()U NM =ðA ．{}|21x x -≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|1x x < 3. 下列函数中周期为π且为偶函数的是 A ．)22sin(π-=x y B. )22cos(π-=x y C. )2sin(π+=x y D ．)2cos(π+=x y4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3a a a ==,则9S = A ．90 B ．54C ．54-D ．72-5. 已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若l m ⊥,l n ⊥,且,m n α⊂,则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//C ．若n m m ⊥⊥,α，则α//n正视图俯视图左视图D ．若α⊥n n m ,//，则α⊥m6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是A ．16πB ．14πC ．12πD ．8π7. 已知抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，l PA ⊥，垂足为A ，4PF =，则直线AF 的倾斜角等于A ．712π B. 23πC ．34π D. 56π8. 若两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a=-=+，则向量a b +与b a -的夹角为A ．6πB ．3π C ．32πD ．65π9. 已知函数2, 0(), 0x x f x x x x ≤⎧=⎨->⎩，若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为 A ．1[,1]2-B ．1[,1)2-C ．1(,0)4-D ．1(,0]4- 10. 已知()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ，则二项式1()nx x-展开式中2x 项的系数为A ．15B ．15-C ．30D ．30-11. 已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则A ．2(2)(3)(log )a f f f a <<B ．2(3)(log )(2)a f f a f <<C ．2(log )(3)(2)a f a f f <<D ．2(log )(2)(3)a f a f f <<12. 定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)的长度(21)(53)3d =-+-=. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中R x ∈.设()[]{}f x x x =⋅，()1gx x =-，当0x k ≤≤时,不等式()()f x gx <解集区间的长度为5，则k 的值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 某程序框图如右图所示，若3a =,则该程序运行后，输出的x 值为 ; 14. 若11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰，则a 的值是 ;15. 已知,x y 满足约束条件224200x y x y y ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是 ; 16．给出以下命题： ① 双曲线2212yx -=的渐近线方程为y =； ② 命题:p “+R x ∀∈，1sin 2sin x x+≥”是真命题； ③ 已知线性回归方程为ˆ32yx =+，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位； ④ 设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)0.2P ξ>=，则(10)0.6P ξ-<<=； ⑤ 已知2622464+=--，5325434+=--，7127414+=--，102210424-+=---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为824(8)4n nn n -+=---，（4n ≠）则正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,]3π上单调递增,在区间2[,]33ππ上单调递减;如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边，且满足A CB A CB cos cos cos 34sin sin sin --=+ω. （Ⅰ）证明：a c b 2=+；（Ⅱ）若c b =，设θ=∠AOB ，(0)θπ<<,22OA OB ==，求四边形OACB 面积的最大值. 18．（本小题满分12分）现有长分别为1m 、2m 、3m 的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取n 根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,19n ≤≤），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．（Ⅰ）当3n =时,记事件A ={抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求()P A ；（Ⅱ）当2n =时,若用ξ表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求ξ的分布列； ②令21ηλξλ=-++，()1E η>，求实数λ的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，几何体111ABCD B C D -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=，AB a =，面111B C D ∥面ABCD ,1BB 、1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,且1BB =，E 为1CC 的中点，F 为AB的中点.（Ⅰ）求证：1DB E ∆为等腰直角三角形；（Ⅱ）求二面角1B DE F --的余弦值. 20．（本小题满分12分）已知N n *∈,数列{}n d 满足2)1(3n n d -+=,数列{}n a 满足1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+；又知数列{}n b 中，21=b ，且对任意正整数n m ,，nmm n b b =. （Ⅰ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）将数列{}n b 中的第．1a 项，第．2a 项，第．3a 项，……，第．n a 项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前2013项和. 21．（本小题满分13分）已知向量(,ln )x m e x k =+，(1,())n f x =，//m n （k 为常数， e 是自然对数的底数），曲1线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直,()()x F x xe f x '=．（Ⅰ）求k 的值及()F x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数2()2g x x ax =-+(a 为正实数),若对于任意2[0,1]x ∈，总存在1(0,)x ∈+∞，使得21()()g x F x <，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为,离心率为2,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A .(Ⅰ)若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;(Ⅱ)若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 222213x y a b +=相交于两点G 、H ，设P 为N 上一点，且满足OG OH tOP +=（O 为坐标原点），当25PG PH -<t 的取值范围.青岛市高三统一质量检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C B A C D A B B C A C B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 31 14. 2 15. 16．①③⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， ……………………………2分ACB AC B cos cos -cos -2sin sin sin =+A C AB A AC A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴………………………………………………………4分 a c b A BC 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分（Ⅱ）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形21sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ ……………………………8分22sin -2cos )4OA OB OA OB θθ=++⋅ ……………………………………………9分 435cos 3-sin +=θθ2sin (-)3πθ=， ………………………………………10分 (0)θπ∈，,2--333πππθ∴∈(，)，当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S的最大值为212分 18．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)事件A 为随机事件，121336399()14C C C P A C ==………………………………………4分（Ⅱ）①ξ可能的取值为2,3,4,5,623291(2)12C P C ξ=== 1133291(3)4C C P C ξ===211333291(4)3C C C P C ξ+=== 1133291(5)4C C P C ξ=== 23291(6)12C P C ξ===∴ξ的分布列为：……………………………………………………9分 ②11111()2345641243412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………………………10分 21ηλξλ=-++，2()()1E E ηλξλ∴=-++241λλ=-++()1E η>，2141104λλλ∴-++>⇒<<…………………………………………12分 19．（本小题满分12分）解：（I ）连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=，所以BD a = 因为1BB 、1CC 都垂直于面ABCD ,∴11//BB CC ，又面111B C D ∥面ABCD ,11//BC B C ∴所以四边形11BCC B 为平行四边形 ,则11B C BC a ==……………………………2分因为1BB 、1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,则1DB ===2DE ===12B E ===…4分所以222222116634a a DE B E a DB ++=== 所以1DB E ∆为等腰直角三角形 ………………………………………………5分（II ）取1DB 的中点H ，因为,O H 分别为1,DB DB 的中点，所以OH ∥1BB 以,,OA OB OH 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则1(0,,0),(),(0,),,,0)224a a a D E B F -1所以13233(0,,2),(,,),(,,0)22244a DB a a DE a a DF a a ==-= ………………7分设面1DB E 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1110,0n DB n DE ⋅=⋅=，即110ay =且1110222a ax y -++= 令11z =，则1(0,)n = ………………………………………………………………9分设面DFE 的法向量为2222(,,)n x y z =，则220,0n DF n DE ⋅=⋅=22304ay +=且22202a y += 令21x =，则2(1,n =……………………………………………………11分则12cos ,n n +==则二面角1B DE F --…12分 20．（本小题满分12分）解：2)1(3nn d -+= ,∴1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+3232n n ⨯== …………………3分又由题知：令1m = ，则22212b b ==,33312b b ==12n n n b b == ………………5分若2n n b =，则2m nm n b =，2n mn m b =，所以m n n mb b =恒成立若2n n b ≠,当1m =,m n n mb b =不成立,所以2n n b = ……………………………………6分（Ⅱ）由题知将数列{}n b 中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{}nc 中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是12b =，24b =公比均是,8 …………9分201313520132462012()()T c c c c c c c c =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+1007100610062(18)4(18)208618187⨯-⨯-⨯-=+=--…………………………………………12分21．（本小题满分13分）解：（I ）由已知可得：()f x =1xnx k e+1ln ()x x k x f x e --'∴=，由已知，1(1)0kf e-'==，∴1k = …………………………………………………………2分 ∴()()x F x xe f x '=1(ln 1)1ln x x x x x x=--=--所以()ln 2F x x '=-- …………3分由21()ln 200F x x x e '=--≥⇒<≤，由21()ln 20F x x x e'=--≤⇒≥()F x ∴的增区间为21(0,]e ，减区间为21[,)e +∞ ………………………………………5分（II ）对于任意2[0,1]x ∈，总存在1(0,)x ∈+∞，使得21()()g x F x <，∴max max ()()g x F x < ……………………………………………………………………6分由（I ）知，当21x e=时，()F x 取得最大值2211()1F e e =+.………………………………8分对于2()2g x x ax =-+，其对称轴为x a = 当01a <≤时，2max ()()g x g a a ==， ∴2211a e<+，从而01a <≤………………10分当1a >时，max ()(1)21g x g a ==-， ∴21211a e -<+，从而21112a e<<+……12分综上可知： 21012a e <<+………………………………………………………………13分 22．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题意知：c =2c e a ==，又222a b c -=，解得：a b ==椭圆C 的方程为：22163x y += …………………………2分可得：B，F ,设00(,)A x y，则00()AB x y =-，(3,BF =，6AB BF ⋅=-，00)6y=-，即00y x =由220000163x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩000x y =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩03x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即(0,A，或A …………………………………………………………4分①当A 的坐标为(0,时，OA OB OF ===，∴ABF ∆外接圆是以O 为半径的圆，即223x y +=……………………………………………………………5分 ②当A的坐标为时，1AF k =，1BF k =-，所以ABF ∆为直角三角形，其外接圆是以线段AB为直径的圆，圆心坐标为，半径为12AB =，ABF ∴∆外接圆的方程为225((3x y += 综上可知：ABF ∆外接圆方程是223x y +=，或225((3x y += ……7分 (Ⅱ)由题意可知直线GH 的斜率存在.设:(2)GH y k x =-，11(,)G x y ，22(,)H x y ，(,)P x y由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(12)8820k x k x k +-+-= 由422644(21)(82)0k k k ∆=-+->得：212k <（*） ………………………9分 22121222882,1212k k x x x x k k-+==++ 25PG PH -<25HG ∴<12x -<422222648220(1)[4](12)129k k k k k -∴+-⨯<++ 214k ∴>，结合（*）得：21142k << ………………………………………………11分 OG OH tOP +=，1212(,)(,)x x y y t x y ∴++=从而21228(12)x x k x t t k +==+，1212214[()4](12)y y k y k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上，2222284[]2[]2(12)(12)k k t k t k -∴+=++，整理得：22216(12)k t k =+ 即228812t k=-+，2t ∴-<<2t <<………………………………13分。

山东省青岛市高三下学期一模考试数学(理)试题

青岛市高三统一质量检测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设为虚数单位，复数等于 A ．B ．C ．D ．2．设全集，集合2{|log ,2},{|A y y x x B x y ==>==，则 A ． B ． C ． D ．3．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ．和B ．和C ．和D ．和 4．“*12N ,2n n n n a a a ++∀∈=+”是“数列为等差数列”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线方程为A ．B ．C ．D ．7．设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若，则 B ．若，则 C ．若，则 D ．若，则8．函数 (为自然对数的底数)的图象可能是A B C D 9．对于函数，下列说法正确的是 A ．函数图象关于点对称B ．函数图象关于直线对称C ．将它的图象向左平移个单位，得到的图象D ．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图象10．已知点是的外心，是三个单位向量，且，如图所示，的顶点分别在轴的非负半轴和轴的非负半轴上移动，是坐标原点，则的最大值为 A ． B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数()tan sin 2015f x x x =++，若，则 ;12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ;13．设，则二项式展开式中的第项的系数为 ;14．若目标函数在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下当且仅当在点处取得最小值，则实数的取值范围是 ;15．若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合: ① {,{},{},{,,}}a c a b c τ=∅; ② {,{},{},{,},{,,}}b c b c a b c τ=∅; ③ {,{},{,},{,}}a a b a c τ=∅; ④ {,{,},{,},{},{,,}}a c b c c a b c τ=∅. 其中是集合上的一个拓扑的集合的所有序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）设的内角所对的边分别为，已知sin()sin sin a b a cA B A B+-=+-，.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求的面积.17．（本小题满分12分）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：（Ⅱ）从这名学生中随机选出名学生发言，设来自医学院的学生数为，求随机变量的概率分布列和数学期望.18．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，为中点. （Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若，求平面和平面所成角（锐角）的余弦值.19．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，为的前项和，且，；数列对任意，总有12312n n n b b b b b a -⋅⋅⋅=+成立.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和.20．（本小题满分13分）已知椭圆与直线相交于、两不同点，且直线与圆相切于点 (为坐标原点). （Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设，求实数的取值范围.21．（本小题满分14分）已知函数，，.（Ⅰ）若函数的图象在原点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；（Ⅱ）若在上单调递减，求实数的取值范围；（Ⅲ）若对于，总存在，且满，其中为自然对数的底数，求实数的取值范围.青岛市高三统一质量检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D A B C D A C A B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 12. 13. 14． 15．②④三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）sin()sin sin a b a cA B A B+-=+- …………………………2分2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴=== ………………………………5分， ………………………………………………………6分（Ⅱ）由，，，得 ……………………………7分由得，从而， …………………………………………9分故sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= …………………10分所以的面积为1sin 22S ab C ==. ……………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）从名学生随机选出名的方法数为，选出人中任意两个均不属于同一学院的方法数为111111111111464466446646C C C C C C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ……………………4分所以111111111111464466446646320819C C C C C C C C C C C C P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅== …………………6分（Ⅱ）可能的取值为3211616433202057162881548(0),(1),32019573201919C C C P P C C ξξ⨯⨯⨯⨯========⨯⨯⨯⨯1231644332020166841(2),(3)320199532019285C C C P P C C ξξ⨯========⨯⨯⨯⨯…………10分所以的分布列为所以2888157()012357199528595E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………12分 18．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连结交于，因为为四棱柱，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，又为中点，所以为的中位线，从而 ……………………………………4分又因为平面，平面，所以平面． …………………………5分（Ⅱ）因为底面，面，面，所以11,,AA A B A A AD ⊥⊥又，所以两两垂直. ……………6分如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，，，. 从而，.因为，所以2300AC BD t ⋅=-+=+，解得. ……………………8分所以，.设是平面的一个法向量，则1110,0.AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110330y y z +=+=⎪⎩令，则. …………………………………………………………9分又，.设是平面的一个法向量，则1220, n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222020z y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令，则. ………………………………………………………10分121212|11(0|1cos ,7n n n n n n ⨯+⋅<>===⋅ 分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设的公差为，则101109101002S a d ⨯=+⨯= 解得，所以 ………………………………………………………3分所以123121n n b b b b b n -⋅⋅⋅=+ …… ①当123121n b b b b n -⋅⋅=-……②①②两式相除得因为当适合上式，所以………………………………6分（Ⅱ）由已知，得411(1)(1)()(21)(21)2121nn n n c n n n n =-=-+-+-+则123n n T c c c c =++++1111111(1)()()(1)()335572121n n n =-+++-+++-+-+ ………………………7分当为偶数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+1111111(1)()()()335572121n n =--+++--+++-+1212121nn n =-+=-++ ………………………………………………………………9分当为奇数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+1111111(1)()()()335572121n n =--+++--++---+12212121n n n +=--=-++ ……………………………………………………………11分综上：2,2122,21n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数… ………………………………………………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为直线与圆相切所以圆的圆心到直线的距离，从而…2分由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：222(12)4220k x kmx m +++-= 设，则， …………………………………………………4分所以12121212()()OE OF x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++2222222121222222222224(1)()(1)12123222(1)2201212m k m k x x km x x m k mk k m k k k k k --=++++=+++++--+--===++ 所以………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）直线与圆相切于，222212121,1,22x x y y+=+=EWFWλ====………………………………8分由（Ⅰ）知，，即从而22221212(1)(1)22x x x x =--，即21234x λ+== ……………………………………………………………12分 ………………………………………………13分 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）原函数定义域为，，则，， ………………………………………………………2分由22112(1)202y x kx x k x y x ⎧=++⎪⇒+-+=⎨⎪=⎩与函数的图象相切，24(1)801k k ∴∆=--=⇒=4分（Ⅱ）由题21()1ln(1)12h x x kx x =+++++,令,因为221(2)()10(1)(1)x x x x x ϕ+'=-=>++对恒成立，所以，即在上为增函数 ………………………………6分 max 7()(2)3h x h k ''∴==+在上单调递减对恒成立，即…………………………………………………………………………………8分（Ⅲ）当时，()ln(1)10g x x '=++>()(1)ln(1)g x x x ∴=++在区间上为增函数，时， …………………………………………………………………………10分的对称轴为：，为满足题意，必须……11分此时2min 1()()12f x f k k =-=-，的值恒小于和中最大的一个对于，总存在，且满足，min ((),min{(1),(4)})f x f f ∴⊆-2min 41141()0102(4)493(1)2k k f x k f k f k -<<⎧-<-<⎧⎪⎪⎪<-<⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨<+⎪⎪<-⎪<-⎪⎩ …………………………………………………13分94k <<……………………………………………………………………14分。

2019年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2019年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅2．已知数据x1，x2，x3，...，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，...，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3， (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．定义min，则由函数f（x）的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．39．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB=2PN，则三棱锥N﹣PAC与三棱锥D﹣PAC的体积比为（）A．1：2 B．1：8 C．1：6 D．1：310．已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）A．k≥2 B．k≥4 C．0＜k≤2 D．0＜k≤4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为_______．12．二项式的展开式中，常数项等于_______（用数字作答）．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM 为等腰直角三角形，则f（x）=_______．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是_______．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是_______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的余弦值．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．2019年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出全集中y的值确定出U，再由B利用补集的定义求出B的补集，找出A与B 补集的交集即可．【解答】解：由全集U中y=log2x，x=，1，2，16，得到y=﹣1，0，1，4，即全集U={﹣1，0，1，4}，∵A={﹣1，1}，B={1，4}，∴∁U B={﹣1，0}，则A∩（∁U B）={﹣1}，故选：B．2．已知数据x1，x2，x3，...，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，...，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3， (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数与中位数的定义，分析这组数据，即可得出正确的结论．【解答】解：根据题意得，数据x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，其平均数应在50公斤左右，再增加一个数据500，这51个数据的平均数一定增大，而中位数有可能不变，如：按大小顺序排列后，第25、26个数据相等时，其中位数相等．故选：B．3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；函数的零点；古典概型及其概率计算公式．【分析】函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，可得ξ＞1，根据随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），可得曲线关于直线x=1对称，从而可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，∴△=4﹣4ξ＜0，∴ξ＞1∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于直线x=1对称∴P（ξ＞1）=故选C．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】要判断“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的条件，我们可先构造函数y=|x﹣2|+|x|并求出函数的值域，然后转化为一个恒成立的判断与性质问题，最后结合充要条件的定义，进行判断．【解答】解：函数y=|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞）则当a＜1时，|x﹣2|+|x|＞a恒成立反之若，|x﹣2|+|x|＞a，则说明a小于函数y=|x﹣2|+|x|的最小值2恒成立，即a＜2故“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的充分不必要条件故选：A．5．定义min，则由函数f（x）的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据题目给出的函数定义，写出分段函数f（x）=min{x2， }，由图象直观看出所求面积的区域，然后直接运用定积分求解阴影部分的面积．【解答】解：由=x2，得：x=1，又当x＜0时，＜x2，所以，根据新定义有f（x）=min{x2， }=，图象如图，所以，由函数f（x）的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分，其面积为S=x2dx+dx=|+lnx|=+ln2，故选：C．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用余弦定理可得|PF1|=2c，再由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得|PF2|=|F1F2|=2c，∠PF2F1=120°，即有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2F1=4c2+4c2﹣2•4c2•（﹣）=12c2，即有|PF1|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，即有c=a，可得e==．故选：A．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求2n cosnπ的和，n从1取到100，利用等比数列求和公式即可计算得解．【解答】解：通过分析知该算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π，由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+...+2100cos100π=﹣2+22﹣23+24﹣ (2100)=．故选：C．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=|x+2y|，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x ﹣z 经过点A 时，z 取得最大值，此时z 最大．即A （﹣2，﹣2），代入目标函数z=|x +2y |得z=2×2+2=6故选：C ．9．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB=2PN ，则三棱锥N ﹣PAC 与三棱锥D ﹣PAC 的体积比为（）A ．1：2B ．1：8C ．1：6D ．1：3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据两个棱锥的底面和高与棱锥P ﹣ABC 的底面与高的关系得出两棱锥的体积与棱锥P ﹣ABC 的关系，得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴S △ABC =S △ACD ．∴V D ﹣PAC =V P ﹣ACD =V P ﹣ABC ．∵NB=2PN ，∴NB=PB ，∴V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ，∴V N ﹣PAC =V P ﹣ABC ﹣V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ．∴．故选：D ．10．已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）A．k≥2 B．k≥4 C．0＜k≤2 D．0＜k≤4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），运用向量的数量积的坐标表示，由换元法可得二次方程，由判别式大于等于0和两根非负的条件，运用韦达定理，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由y=k（k＞0），代入抛物线x2=4y，可得x=±2，可设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），由，可得（2﹣m，k﹣）•（﹣2﹣m，k﹣）=0，即为（2﹣m）（﹣2﹣m）+（k﹣）2=0，化为m4+m2（1﹣）+k2﹣4k=0，可令t=m2（t≥0），则t2+t（1﹣）+k2﹣4k=0，可得△=（1﹣）2﹣（k2﹣4k）≥0，即1≥0恒成立，由韦达定理可得﹣（1﹣）≥0，k2﹣4k≥0，解得k≥4．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等，求出m，n然后求解复数的代数形式．【解答】解：m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，可得m=2，n=﹣2，====﹣i．它的共轭复数为i．故答案为：i．12．二项式的展开式中，常数项等于1215（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：展开式的通项公式为，由6﹣3k=0得k=2，所以常数项为，故答案为1215．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM为等腰直角三角形，则f（x）=cosπx．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的最值求出A，由函数的奇偶性求出φ的值，由周期求出ω，可得函数的解析式．【解答】解：由题意可得A=，φ=2kπ+，k∈Z，再结合0＜φ＜π，可得φ=，函数f（x）=sin（ωx+）=cosωx．再根据•=，可得ω=π，函数f（x）=cosπx，故答案为：cosπx．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是2+3．【考点】基本不等式．【分析】化简可得=++3，从而利用基本不等式求解即可．【解答】解：=2+++1=++3≥2+3，（当且仅当=，即a=b时，等号成立）；故答案为：2+3．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=+﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2] =，|x1﹣x2|≤|1﹣2|=1，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|≤=，由于|≤K恒成立，∴，∴K的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）化简f（x），根据对称轴求出ω，得出f（x）的解析式，利用周期公式计算周期；（2）由f（A）=解出A，利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面积公式得出面积的最大值．【解答】解：（I）f（x）=cos2ωx﹣[﹣cos（2ωx﹣）]=cos（2ωx﹣）﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx﹣）．令2ωx﹣=+kπ，解得x=．∴f（x）的对称轴为x=，令=π解得ω=．∵＜w＜1，∴当k=1时，ω=．∴f（x）=sin（x﹣）．∴f（x）的最小正周期T=．（2）∵f（）=sin（A﹣）=，∴sin（A﹣）=．∴A=．由余弦定理得cosA===．∴b2+c2=bc+1≥2bc，∴bc≤1．∴S△ABC==≤．∴△ABC面积的最大值是．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元．…都付0元的概率为P1==，都付40元的概率为P2==，都付80元的概率为P3=（1﹣）（1﹣）=，故所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=．（Ⅱ）由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和ξ的可能取值为0，40，80，120，160，P（ξ=0）==，P（ξ=40）==，P（ξ=80）=+=，P（ξ=120）=+=，P（ξ=160）=（1﹣）（1﹣）=，∴ξ的分布列为：ξ0 40 80 120 160P数学期望E（ξ）=+=80．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明CD∥l；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）取CD的中点H，∵AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，∴AH⊥CD，∠CAH=∠CAB=45°，即∠BAH=90°，即四边形ABCH是矩形，则AB∥CH，AB∥CD∵CD⊄面PAB，AB⊂面PAB，∴CD∥面PAB，∵CD⊂面PCD，面PAB∩面PCD=l，∴根据线面平行的性质得CD∥l．（Ⅱ）∵AC=2，∴AB=BC=AH=，DH=，建立以A为原点，AH，AB，AP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），B（0，，0），C（，，0），P（0，0，2），E（0，0，1），D（，﹣，0），=（﹣，﹣，1），=（，0，0），=（0，﹣2，0）设平面BPC的一个法向量为=（x，y，z），则，则x=0，令y=，则z=2，即=（0，，2），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），，则y=0，令x=，则z=2，=（，0，2），则cos＜，＞====，即二面角B﹣CE﹣D的余弦值是．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）由，可得=T1+2=22，解得a1．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，S n．可得2n+1=T n+2，利用递推关系可得b n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．可得：c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．n≥3，W n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵，∴=T1+2=2+2=4=22，∴+1=2，解得a1=1．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴S n==n2．∴2n+1=T n+2，+2）=b n，∴当n≥2时，2n+1﹣2n=T n+2﹣（T n﹣1∴b n=2n，当n=1时也成立．∴b n=2n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．∴c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．∴n≥3，W n=﹣c1﹣c2+c3+…+c n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，2Q n=1×22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，∴﹣Q n=2（2+22+…+2n）﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=2×﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴Q n=（2n﹣3）•2n+1+6．∴W n=．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，运用直线斜率公式和斜率之积为﹣1，可得m，再由直线MA与椭圆求得交点P；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，运用韦达定理，解得P的坐标；同理求得Q的坐标，运用直线的斜率公式可得PQ的斜率，由点斜式方程可得PQ的方程，再由恒过定点思想，即可得到所求定点．【解答】解：（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，可得k BH•k MA=﹣1，即有•=﹣1，可得m=，由MA的方程：y=（x+2），代入椭圆方程，可得8x2+4x﹣48=0，解得x=﹣2，或，即有P（，）；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，可得（36+m2）x2+4m2x+8m2﹣288=0，由﹣2x P=，可得x P=，y P=（x P+2）=；又MB：y=（x﹣2），代入椭圆方程，可得（4+m2）x2﹣4m2x+8m2﹣32=0，由2+x Q=，可得x Q=，y Q=（x Q﹣2）=﹣，即有直线PQ的斜率为k==，则直线PQ：y﹣=（x﹣），化简即有y=（x﹣1），由x﹣1=0，解得x=，y=0．故直线PQ恒过定点（，0）．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出a的范围即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式求出h（x）的单调区间，从而求出h（x）的最大值即可；（Ⅲ）构造函数f（x）=ln（1+x）﹣x，利用导数法可证得ln（1+x）≤x（当x≠0时，ln（1+x）＜x），令x=，利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣ax，f′（x）=cosx﹣a，若对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，即a＜cosx在（0，1）恒成立，故a≤0；（Ⅱ）a=1时，h（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）=﹣1=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴h（x）的最大值是h（1）=0；证明：（Ⅲ）构造函数g（x）=ln（1+x）﹣x，则g′（x）=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；所以，当x=0时，g（x）=ln（1+x）﹣x取得极大值，也是最大值，所以，g（x）≤g（0）=0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．令x=，则ln（1+）=ln（n+1）﹣lnn＜，即ln（n+1）﹣lnn＜，∴ln2﹣ln1＜1，ln3﹣ln2＜，…，lnn﹣ln（n﹣1）＜，ln（n+1）﹣lnn＜，以上n个不等式相加得：ln（n+1）﹣ln1＜1+++…+，即．2019年9月9日。

青岛市高三一模试题及答案(数学理)

青岛市高三教学质量统一检测数学试题（理科） 2020.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1(i 为虚数单位)等于 A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 2．若集合}11,|{31≤≤-==x x y y A ，}1{x y x B -==，则A B =I A ．(]1,∞- B ．]1,1[-C ．φD ．{1}3．设p 和q 是两个简单命题，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则p 是q ⌝的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是1=a 3=b b a a += b a b -= PRINT b a ,A ．1 3 B ．4 1 C ． 0 0 D ．605．若dx x a ⎰=22sin π，dx x b ⎰=1cos ，则a 与b 的关系是A ．b a <B ．b a >C ．b a =D ．0=+b a 6．圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是A ．2B. 1C ．22+D. 1+7．已知抛物线2x ay =的焦点恰好为双曲线222y x -=的上焦点，则a 的值为 A ．1B ．4C ．8D ．168．将奇函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωφωφ=+≠>-<<的图象向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为A ．2B ．3C ．4D ．69．已知281(0,0)x y x y+=>>，则x y +的最小值为A ．12B ．14C ．16D ．1810．过原点的直线与函数x y 2=的图像交于B A ,两点，过B 作y 轴的垂线交于函数x y 4=的图像于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是A ．)2,1(B ．)4,2(C ．)2,21( D ．)1,0( 11．在数列}{n a 中，a a a n n +=+1（a n ,N *∈为常数），若平面上的三个不共线的非零向量,,满足a a 20101+=，三点C B A ,,共线且该直线不过O 点，则2010S 等于A ．1005B ．1006C ．2010D ．201212．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是直线1m 和直线1n ，给出下列四个命题： ①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ； ③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合；其中不正确．．．的命题个数是 A.1 B. 2 C.3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．若n xx )1(+展开式中第2项与第6项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数为； 14．已知区域}0,5,0|),{(},0,0,10|),{(≥≤≥-=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率()P A = ； 15．关于x 的不等式|2||1|5x x ++-<的解集为；16．已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的范围是．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量)cos ,2sin 3(x t x m +=，)cos 2,1(x =，设函数n m x f ⋅=)(. (Ⅰ)若21)32cos(=-πx ，且⊥，求实数t 的值; (Ⅱ)在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,若1,3)(==b A f ,且ABC ∆的面积为23,实数1=t ,求边长a 的值. 18．（本小题满分12分）某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品, 2种家电商品, 3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率;(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高x 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为40元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是21,若使促销方案对商场有利，则x 最少为多少元？ 19.(本题满分共12分)下图分别为三棱锥ABC S -的直观图与三视图，在直观图中，SA SC =，N M 、分别为SB AB 、的中点.（Ⅰ）求证：SB AC ⊥;（Ⅱ）求二面角B NC M --的余弦值.20.(本题满分共12分)已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a ,且42342+=+a aa ,其中*∈N n .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,令2n n a b =,其中*∈N n ,试比较nn T T 4121++与1log 22log 2212-++n n b b 的大小,并加以证明.21.(本题满分12分)A B C M S N侧视图俯视图4已知定义在正实数集上的函数ex x x f 221)(2+=,b x e x g +=ln 3)(2（其中e 为常数，2.71828e =⋅⋅⋅）,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同. (Ⅰ)求实数b 的值;(Ⅱ)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1时,x a e x g e a ex x f )2())(2(6)2)((222+≤++-恒成立,求实数a 的取值范围.22.(本题满分14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两焦点分别为21,F F ，P 是椭圆C 上的一点，且在x 轴的上方，H 是1PF 上一点，若12120,0PF OH F F PF ==⋅=⋅，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31λ（其中O 为坐标原点）.(Ⅰ)求椭圆C 离心率e 的最大值;(Ⅱ)如果离心率e 取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知22=b ，点），（01-M ，设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 、M 两点的直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM =u u u r u u u u r, 求直线l 的方程.青岛市高三教学质量统一检测数学试题（理科）答案 2020.3一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBBBA BCDDA AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．20 14．4115．），（23- 16．），（∞+1 三、解答题（共74分）． 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)由题意得01)62sin(2cos 2)2sin 3(2=+++=++=⋅t x x t x π…………3分所以21)32cos(21)62sin(2-=---=-+-=ππx x t …………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知2)62sin(21)62sin(2)(++=+++=ππx t x x f由题意得32)62sin(2)(=++=πA A f所以21)62sin(=+πA …………………8分因为6136260ππππ<+<<<A A ，，所以6562ππ=+A解得3π=A因为ABC ∆的面积为23,所以23sin 21=A bc ,2=bc 即2=c …………10分由余弦定理得32121241cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a …………12分 18．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)选出3种商品一共有37C 种选法, …………2分选出的3种商品中至多有一种是家电商品有251235C C C +种. …………4分所以至多有一种是家电商品的概率为7637251235=+=C C C C P .…………5分 (Ⅱ)奖券总额是一随机变量,设为ξ,可能值为0, 40,80,120.…………6分(),81212103003=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ …………7分 (),832121402113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ …………8分 (),832121801223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ …………9分 ().1111200333=⎪⎫ ⎛⋅⎪⎫ ⎛==C P ς…………10分所以60812088084080=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .所以60≥x ,因此要使促销方案对商场有利，则x 最少为60元. …………12分 19.(本题满分12分)解: 由题意知: 32==SC SA ，侧面⊥SAC 底面ABC ，底面ABC ∆为正三角形…………2分 (Ⅰ) 取AC 的中点O ,连结OB OS ,. 因为BC AB SC SA ==,,所以OB ACSO AC ⊥⊥,. 所以⊥AC 平面OSB .所以SB AC ⊥ …………4分(Ⅱ) 如图所示建立空间直角坐标系xyz O -,则)2,3,0(),0,3,1(),22,0,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,2(N M S C B A -. (4,0,0),(0,AC SB ∴=-=-u u u r u u r.).2,0,1(),0,3,3(-==MN CM …………6分设=),,(z y x 为平面CMN 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅02033z x yx ，取1=z ,得6,2-==y x . 所以)1,6,2(-=n …………8分又由上可得).2,3,2(),0,32,2(==设),,(c b a m =为平面NBC 的法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=+=⋅02320322c b a CN m b a CB m ,得02=+c a , 令1=c ，则)1,36,2(-=…………10分所以11333333122||||,cos -=⨯+--=>=<n m所以二面角B NC M --的余弦值为1133. …………12分 20.(本题满分12分)解:(Ⅰ)因为12212+++=n n n n a a a a ,即0)2)((11=-+++n n n n a a a a又0>n a ,所以有021=-+n n a a ,所以12+=n n a a 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列…………2分由42342+=+a a a 得4882111+=+a a a ,解得21=a 故数列{}n a 的通项公式为n n a 2=)N (*∈n …………4分(Ⅱ) 因n n n n a b 4222===，所以4,411==+nn b b b 即数列{}n b 是首项为4,公比是4的等比数列所以)14(34-=nn T …………6分则1431)14(48441211-+=-+=+++nn n n n T T 又147114641log 22log 2212-+=-+=-++n n n b b n n)14)(14()4713(41471431log 22log 241212121--⋅-+=---=-+-+-++n n n b b T T nn n n n n n猜想：13471+>⋅-n n …………8分①当1=n 时，41137470=+⨯>=⋅,上面不等式显然成立； ②假设当k n =时，不等式13471+>⋅-k k 成立…………9分当1+=k n 时，1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k综上①②对任意的*∈N n 均有13471+>⋅-n n …………11分又410,410n n ->->01log 22log 24122121<-+-+∴++n n n n b b T T 所以对任意的*∈N n 均有1log 22log 24122121-+<+++n n n n b b T T …………12分 21.(本题满分12分)解:(Ⅰ)e x x f 2)(+=',xe x g 23)(='………………1分设函数ex x x f 221)(2+=与b x e x g +=ln 3)(2的图象有公共点为),(00y x 由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=++=+032ln 3221002002020x x e e x b x e ex x ………………………3分解得:22e b -= ………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2ln 3)(22e x e x g -=所以x a x e x g ea ex x f ln ))(2(6)2)((2222+=++- 即)1(2)ln 2Λx x x x a -≥-（当)1,1[ex ∈时，0ln <x ，0ln >-∴x x当[]e x ,1∈时，x x ≤≤1ln ，且等号不能同时成立，0ln >-∴x x所以,则由(1)式可得x x x x a ln 22--≥在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒成立……………………7分设x x x x x F ln 2)(2--=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1又2)ln (ln 22)(1()(x x x x x x F --+-='）……………………9分令0)(='x F 得：1=x 又0ln 22,1ln >-+∴≤x x x所以，当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，0)(<'x F ；当(]1,x e ∈时，0)(>'x F ；所以，)(x F 在)1,1[e上为减函数，)(x F 在(]1,e 上为增函数…………11分又<<+-=0)1(21)1(e e ee F 12)(2--=e e e e F故12)()(2max --==e ee e F x F所以实数a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--,122e e e ……………12分 22.(本题满分14分)解:(Ⅰ)由题意知1212,PF OH F F PF ⊥⊥ 则有OH F 1∆与21PF F ∆相似所以λ==PF PF OF OH 121……………2分设0),0,(),0,(21>-c c F c F ,),(1y c P 则有122122=+b y a c ,解得a b y 21= 所以ab y PF 212== 根据椭圆的定义得:ab a PF a P F 22122-=-= ……………4分 2222b a b -=∴λ,即λλ+=1222a b 所以112122222-+=-==λa b a c e ……………6分显然1122-+=λe 在]21,31[上是单调减函数当31=λ时,2e 取最大值21 所以椭圆C 离心率e 的最大值是22……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知21211222222=-=-==a a b a c e ,解得42=a 所以此时椭圆C 的方程为12422=+y x ……………10分由题意知直线l 的斜率存在,故设其斜率为k , 则其方程为),0(),1(k N x k y +=设),(11y x Q ,由于2=,所以有),1(2),(1111y x k y x ---=-3,3211k y x =-=∴……………12分又Q 是椭圆C 上的一点,则12)3(4)32(22=+-k解得4k±=所以直线l的方程为04=+4+yx……………14分+44=-yx或0。

山东省青岛市第一高级中学高三数学理模拟试卷含解析

山东省青岛市第一高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），右焦点F2（，0），PF2⊥x轴交双曲线于P点，若P点纵坐标为2，则双曲线离心率e=（）A．B．C．2 D．3参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】PF2⊥x轴交双曲线于P点，P点纵坐标为2，可得=2，结合右焦点F2（，0），求出a，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵PF2⊥x轴交双曲线于P点，P点纵坐标为2，∴=2，∵右焦点F2（，0），∴=2，∴a=1或﹣3（舍去），∴e==，故选B．2. 如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交其准线于点，若，且，则=（）A.1 B.2 C. D. 3参考答案：B3. 设函数在内有定义,对于给定的实数,定义函数，设函数=,若对任意的恒有,则A. 的最大值为B. 的最小值为C. 的最大值为D. 的最小值为参考答案：A略4. 设函数，是公差为的等差数列，，则A．B．C．D．参考答案：D5. 已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．【分析】先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．【解答】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g （x）单调递减．∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．故当0＜a＜时，g（x）=0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1﹣2a＞0，∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣．故选：D．6. 已知函数f（x）=4cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，若|a﹣b|的最小值是1，则f（）=（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣参考答案：B【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用余弦函数的奇偶性求得φ的值，利用余弦函数的周期性求得ω，可得函数的解析式，从而求得f（）的值．【解答】解：∵函数f（x）=4cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，∴φ=，f（x）=﹣4sinωx．A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，若|a﹣b|的最小值是1，则?=1，∴ω=π，f（x）=﹣4sinπx，则f（）=﹣4sin=﹣2，故选：B．7. cos240°=( )A．B．C．D．参考答案：B考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查．8. 已知：命题p：若函数f（x）=x2+|x﹣a|是偶函数，则a=0．命题q：?m∈（0，+∞），关于x的方程mx2﹣2x+1=0有解．在①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧q；④（￢p）∨（￢q）中为真命题的是（）A．②③B．②④C．③④D．①④参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用；2E：复合命题的真假．【分析】先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．【解答】解：若函数f（x）=x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|=x2+|x﹣a|，即有|x+a|=|x﹣a|，易得a=0，故命题p为真；当m＞0时，方程的判别式△=4﹣4m不恒大于等于零，当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，即p真q假，故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．综上可得真确命题为①④．故选：D．9. 执行如右图所示的程序框图，则输出的值是（）（A）10 （B）17 （C）26 （D）28参考答案：B10. 已知实数x，y满足时，z=（a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：D【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的最大值，确定最优解，然后利用基本不等式进行判断．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=（a≥b＞0）得y=，则斜率k=，则由图象可知当直线y=经过点B（1，4）时，直线y=的截距最大，此时，则a+b=（a+b）（）=1+4+，当且仅当，即b=2a取等号此时不成立，故基本不等式不成立．设t=，∵a≥b＞0，∴0＜≤1，即0＜t≤1，则1+4+=5+t+在（0，1]上单调递减，∴当t=1时，1+4+=5+t+取得最小值为5+1+4=10．即a+b的最小值为10，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设有一组圆C k ：（x ﹣k+1）2+（y ﹣3k ）2=2k 4（k∈N *）．下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．参考答案：②④【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；压轴题．【分析】根据圆的方程找出圆心坐标，发现满足条件的所有圆的圆心在一条直线上，所以这条直线与所有的圆都相交，②正确；根据图象可知这些圆互相内含，不存在一条定直线与所有的圆均相切，不存在一条定直线与所有的圆均不相交，所以①③错；利用反证法，假设经过原点，将（0，0）代入圆的方程，因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k 使上式成立，假设错误，则圆不经过原点，④正确．【解答】解：根据题意得：圆心（k ﹣1，3k ），圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；考虑两圆的位置关系，圆k ：圆心（k ﹣1，3k ），半径为k 2，圆k+1：圆心（k ﹣1+1，3（k+1）），即（k ，3k+3），半径为（k+1）2，两圆的圆心距d==，两圆的半径之差R ﹣r=（k+1）2﹣k 2=2k+，任取k=1或2时，（R ﹣r ＞d ），C k 含于C k+1之中，选项①错误；若k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k 2=2k 4，即10k 2﹣2k+1=2k 4（k∈N*），因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k 使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．则真命题的代号是②④．故答案为：②④【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．12. 若（m 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m的取值范围是▲参考答案：略13. 对于三次函数，给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则．参考答案：201714. 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝___________。

青岛高三一模数学试题及答案

青岛高三一模数学试题及答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(2)的值为：A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B2. 已知直线l的斜率为2，且过点(1,3)，则直线l的方程为：A. y=2x+1B. y=2x-1C. y=-2x+1D. y=-2x-1答案：A3. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数的模长为：A. 0B. 1C. 2D. 不确定答案：B5. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)：A. 3x^2-6xB. 3x^2-6x+2C. x^3-3x^2D. x^3-3x^2+2答案：A6. 已知向量a=(2,-1)，b=(1,3)，则向量a·b的值为：A. 3B. 5C. -1D. 1答案：D7. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则a5的值为：A. 96B. 48C. 24D. 12答案：A8. 若双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，且其渐近线方程为y=±(b/a)x，则双曲线C的离心率为：A. √2B. √3C. 2D. √5答案：B二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=75，则a3的值为______。

答案：1510. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值。

答案：-411. 已知圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25，求圆C的半径。

答案：512. 若直线l的倾斜角为45°，且过点(2,1)，则直线l的方程为y-1=x-2，即______。

答案：y=x-1三、解答题（本题共4小题，共52分）13. （本小题满分12分）已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(x)的周期。

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