几何知识在高中物理中的运用——圆的妙用
圆的几何知识在物理解题中的应用
“圆”的几何知识在物理解题中的应用圆是一个很重要的模型，物理中很多物体的运动轨迹都是圆，人造卫星绕地球的运动可近似看作圆周运动，带电粒子在匀强磁场中的运动是匀速圆周运动，绕轴旋转的物体上的每一点都做圆周运动等等，解决这类问题常常涉及到有关圆的一些知识。
以下从几个方面说明它在物理解题中的应用.1、弧长等于半径乘以圆心角，即θ·r s=例1 已知一颗人造卫星在某行星表面上空绕行星做匀速圆周运动，经过时间t ，卫星的行程为s ，卫星与行星的中心连线扫过的角度是rad 1，那么卫星的环绕周期T 等于 ，该行星的质量M 等于 .【分析与解答】卫星在一个同期的时间内半径要转过2π，由π21T t=得t T π2=;由2324GT r M π=，关键求出卫星的半径，再根据弧长等于半径乘以圆心角得s r=，代入得23Gt sM =2、直径所对的圆周角为直角例2 如图2ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点，每一根杆上都套着一个小滑环（图中末画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速度为0），用1t 、2t 、3t 依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ）A 、321t t t <<B 、321t t t >>C 、213t t t >>D 、321t t t ==【分析与解答】如图2连结ac ,过d 作圆的切线。
设圆的半径为R ，由直径所对的圆周角为直角，则三角形acd 为直角三角形，环沿cd 下滑就像沿倾角为θ的光滑斜面下滑.加速度θsin g a=，θsin 2R cd =，时间gRg R a cdt 2sin 222=⨯==θ与倾角无关，故选D3、所有的几何图形，周长一定时圆的面积最大例3 如图3所示正方形的导线框与磁场垂直，现将正方形整成圆形，则导线框中应有 （顺、逆）时针的感应电流.【分析与解答】由正方形到圆形，周长一定时圆的面积最大，导线框中磁通量向下增大，由楞次定律得线圈中感应电流为逆时针方向4、直径为最长的弦，弦越长对应的圆心角越大 例4 在真空中有半径2100.3-⨯=rm 的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度T B 2.0=，方向如图4，一带负电的粒子初以速度60100.1⨯=v m/s ，从磁场边界上直径的一端a 向着各个方向射入磁场，且速度方向与磁场方向垂直.已知粒子比荷为q/m=1.0×108C/kg，d图2图3图1不计重力，求：（1）轨道半径；（2）粒子在磁场中运动的最长时间.【分析与解答】（1）设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为R，由m R B qv qB mv Rmv 20105,020-⨯===（2）根据粒子运动时间T t πθ2=，周期T 一定，t 与θ成正比，要时间最长则圆心角θ最大，由圆的知识，即要求弦最长，而最长的弦应为磁场圆的直径，也就是要带电粒子从a点射入,从b点射出.如图三角形1aoo 为直角三角形，,37,6.0sin o Rr ===αα带电粒子在磁场中运动的最长时间为s t Bqm82360372105.60-⨯⨯==π5、弦切角等于所夹弧所对的圆心角的一半 例5 如图5在0<y 的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸外，磁感应强度为B ，一带正电的粒子以速度v ，从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正向的夹角为θ，若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为l ，求该粒子的电荷量与质量之比mq？【分析与解答】粒子在磁场中作匀速圆周运动，运动半径Bqmv R =，如图x NO ⊥1，N O 1是圆心角的平分线，由弦切角等于所夹弦所对的圆心角的一半，所以θ＝O NO 1∠，Rl 2sin =θ，所以lBv mq θsin 2=圆还有一些几何性质，如弦切角等于所夹弧所对的圆周角（在例1中即有应用）；垂直于弦的直径必平分弦（例5中的x NO ⊥1轴，所以N 点平分弦，2lON ＝）；圆的切线垂直于过切点的半径（例4，例5中轨迹圆圆心的确定，粒子的速度与圆弧相切，两速度垂线的交点即是圆心）；两圆相交时连心线必垂直平分弦（例4中的1OO 垂直平分ab ），等在解题中也是经常用到的。
圆的性质及其应用
**圆的性质及其应用**一、引言圆，作为数学中最基础的图形之一，自古以来就在各个领域发挥着重要的作用。
从几何学到物理学，从工程学到美学，圆都以其独特的性质和应用，让人们感受到了数学的魅力和力量。
本文将详细探讨圆的性质及其在各领域的应用，旨在让读者更加深入地了解圆的重要性。
二、圆的性质1. 定义与基本性质圆是由平面上所有到某一定点（圆心）距离相等的点组成的图形。
这个固定的距离被称为圆的半径。
根据定义，我们可以推断出圆的一些基本性质，如圆心到圆上任一点的距离相等、圆的对称性等。
2. 圆的周长与面积圆的周长（或称为圆的周界）是圆上所有点的距离之和。
圆的面积是圆所占的平面空间大小。
这两个量都与圆的半径有关，分别由公式C=2πr 和S=πr² 来计算。
3. 圆的切线性质圆的切线与半径垂直是圆的一个重要性质。
此外，切线上的任何一点到圆心的距离都等于圆的半径，这也是圆的一种独特性质。
三、圆的应用1. 几何学在几何学中，圆被广泛应用于证明各种定理和构建图形。
例如，在欧几里得几何中，圆是构建和证明许多基本定理的重要工具。
此外，圆的切线性质在解决几何问题中也起到了关键作用。
2. 物理学在物理学中，圆的应用更是广泛。
例如，在天文学中，行星和卫星的轨道往往呈圆形或椭圆形状；在光学中，光的传播路径经常被认为是直线或圆形的；在力学中，圆的性质也常用于分析物体的运动轨迹和受力情况。
3. 工程学在工程学中，圆的应用更是随处可见。
例如，在建筑设计中，建筑师经常利用圆的性质来设计美观的建筑结构，如圆形拱门、圆形窗户等；在机械工程和车辆工程中，圆的性质被广泛应用于设计轮子、轴承等部件；在电气工程和电子工程中，圆的性质也被用于设计电线、电缆等。
4. 美学在美学领域，圆也被广泛应用。
无论是自然界中的植物、动物还是人造的艺术品，都可以看到圆的身影。
这是因为圆的形状可以给人带来一种和谐、平衡和美感。
在许多文化中，圆形也是象征着完美、团结和无尽的。
“圆”的妙用
“圆”的妙用作者：许双利来源：《中学物理·高中》2013年第05期对于带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题的处理，若用“画轨迹、找圆心、定半径”的一般的固定思路去处理这类临界极值问题时，容易陷入困境，主要原因是无法在有限的磁场中准确的画出粒子运动的轨迹.然而，找出“临界点”是解决这类问题的关键之处，巧妙利用题设中“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等关键的隐含条件作为解题的突破口和出发点，同时可以采取化有界磁场为无界，突破有界磁场的限制画出草图等手段分析找出临界状态和临界条件，一般采取轨迹圆的“缩放”和“旋转”来寻找临界点.1利用轨迹动态圆的缩放寻找“临界点”对于粒子v方向一定，大小变化，根据F洛⊥v的特点确定圆周运动的圆心，但轨迹半径不能确定，通过一系列半径不断变化的轨迹圆的动态变化，从而发现“临界点”.例题1在矩形区域abcd内存在一垂直于纸面向里的匀强磁场B，O为ad边的中点，如图1所示，质量为m，电量为q的粒子以v0进入磁场区域，ad=l，求：粒子入射速度v0满足什么条件，能从ab边上射出以及粒子在磁场中运动时间的最大值.解析根据题意可知：粒子运动轨迹如图2所示；其中运动轨迹与cd相切时，对应的半径最大，粒子的速度最大；其中运动轨迹与ab相切时，对应的粒子速度最小，由几何关系可得则θ↑→t↑，当粒子从ad边上射出时对应的θ为最大，且θmax=5π3，则粒子运动最长时间tmax=5πm3qB.题后反思本题中v0越大，圆的半径越大，将圆由小到大画出，找出从ab边射出的临界情况；由t=θmqB可知，θ→θmax，则t→tmax.2利用轨迹圆的旋转寻找“临界点”粒子运动方向改变，速率不变时，所有粒子在匀强磁场中运动的轨迹圆的半径是一样的，它们具有绕入射点按照一定的方向旋转的特点，我们可以从这样定圆的动态旋转中，寻找所要需求的“临界点”.例题2如图3中S为离子源，能够在纸面内各个方向发射速率相等质量m，电量-q的负离子，离子源离挡板MN的垂直距离为L，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向里，求：（1）能够打击到挡板上离子速度的最小值；（2）若离子发射速度变成最小值的两倍，则离子击中挡板的区域范围是多少？题后反思（1）本题在审题时，通过“速率相等”可知离子运动的轨迹圆的半径相等，由于离子向“各个方向发射”可知离子运动的轨迹各不相同；然后作出一系列轨迹圆.（2）造成离子打击到挡板上左和右边最远点情况不同的原因是离子在磁场中总是沿着顺时针方向做匀速圆周运动.总而言之，利用“动圆”和“定圆”处理带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题，有利于培养学生分析思维和创新想象能力；作为一线的高中物理教师在平时的课堂教育教学中要有意识的让学生进行一些针对性和代表性的习题训练，通过对“圆的缩放”和“定圆的旋转”来快速确定临界状态，从而达到高效处理带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题，真正实现高中物理课堂教学效果的最大化.。
高中数学几何之圆的性质及其应用
高中数学几何之圆的性质及其应用圆是几何学中的重要概念，它的性质和应用广泛存在于高中数学中。
本文将重点介绍圆的性质及其应用，并通过具体的例题来说明考点和解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的性质1. 圆的定义圆是由平面上到一个定点的距离等于定值的所有点组成的集合。
这个定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
2. 圆的元素圆包括圆心、半径、直径、弦、弧等元素。
其中，直径是通过圆心的任意两点所确定的线段，它的长度等于两倍的半径；弦是圆上任意两点所确定的线段；弧是圆上两个端点之间的部分。
3. 圆的性质（1）圆上任意两点与圆心的距离相等；（2）圆上任意一点到圆心的距离等于半径；（3）圆的直径是圆的最长弦；（4）圆的弦与半径垂直时，弦的中点与圆心和弦的两个端点在同一条直线上；（5）圆的内切圆与外切圆的切点在圆的半径上。
二、圆的应用1. 圆的面积圆的面积公式为S=πr²，其中S表示圆的面积，r表示半径。
例如，已知一个圆的半径为5cm，求其面积。
根据公式，可得S=π×5²=25π(cm²)。
2. 圆的周长圆的周长公式为C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径。
例如，已知一个圆的半径为3cm，求其周长。
根据公式，可得C=2π×3=6π(cm)。
3. 弧长和扇形面积（1）弧长公式为L=2πr，其中L表示弧长，r表示半径。
例如，已知一个圆的半径为4cm，求其弧长。
根据公式，可得L=2π×4=8π(cm)。
（2）扇形面积公式为A=0.5r²θ，其中A表示扇形面积，r表示半径，θ表示扇形的圆心角的度数。
例如，已知一个扇形的半径为6cm，圆心角为60°，求其面积。
根据公式，可得A=0.5×6²×60/360=6π(cm²)。
三、例题分析1. 已知圆的半径为8cm，求其面积和周长。
圆形的应用和设计原理
圆形的应用和设计原理应用领域圆形在各个领域都有广泛的应用，包括科学、工程、艺术等等。
以下是圆形的一些常见应用领域：1.几何学–圆是几何学中最基本的图形之一，具有许多独特的性质和定义。
–圆的面积和周长计算公式是几何学中的重要知识点。
2.物理学–圆形运动是物理学中重要的概念。
例如，天体运动可以近似为圆形轨道运动。
–圆形运动的速度、加速度和力学等因素对物体的运动轨迹和力学特性有重要影响。
3.工程学–圆形在工程学中经常用于设计和制造各种圆形零件和设备。
–圆孔、圆柱、轴承等都是常见的圆形工程部件。
4.计算机科学–圆形在计算机图形学中被广泛应用。
例如，圆形可以通过数学算法绘制在计算机屏幕上。
–圆形的边界检测、碰撞检测等技术在游戏开发和计算机模拟中起着重要作用。
5.艺术设计–圆形在艺术设计中常被用作一种视觉元素和构图元素。
–圆形符号经常被用于表示和象征一些特定意义的事物，如和平、完整性等。
圆形的设计原理圆形作为一种基本的几何形状，有其独特的设计原理和特性。
以下是几个圆形设计的重要原理：1.对称性–圆形具有高度的对称性，无论从任何角度观察，都能保持一致的形状。
–在设计中，利用圆形的对称性可以实现平衡、和谐和简洁的效果。
2.流动性–圆形具有流动的特性。
它的曲线和边界呈现出柔和和连续的感觉。
–在设计中，利用圆形的流动性可以传达温暖、优雅和精致的感觉。
3.完整性–圆形具有完整性和无限性的意义。
其内外边界呈现出封闭和一体的特点。
–在设计中，利用圆形的完整性可以传达完美、和谐和永恒的概念。
4.平衡性–圆形在视觉上具有平衡的特性。
圆心作为焦点可以使整个图形保持平衡。
–在设计中，利用圆形的平衡性可以实现稳定、均衡和合适的效果。
5.重点突出–圆形在视觉上具有突出的特性。
它可以吸引人们的注意力并成为焦点。
–在设计中，利用圆形的重点突出可以实现强调、夺目和引人注目的效果。
总结：圆形作为一种基本的几何形状，在各个领域都有广泛的应用。
“圆模型”在高中物理解题中的妙用
“圆模型”在高中物理解题中的妙用高考对应用数学知识处理物理问题的能力要求是“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并能根据结果得出物理结论，必要时能用几何图形、函数图像进行表达、分析”。
平面几何中的“圆”模型，既是物理中一个重要的基本运动模型，又是一个重要的解题工具与方法，解题中若能合理构建“圆模型”，能把抽象问题直观化，把复杂问题简单化，让学生易于理解和接受，下面就构建“圆模型”在物理习题中的应用分析说明。
一、动态平衡问题中的“动态平衡圆”物体处于动态平衡，如果物体所受三个力中只有一个力恒定不变，另外两个力的大小、方向都在变，如在矢量三角形的基础上再借助圆，利用圆的一些性质就能直观求解。
例1（2017·新课标Ⅰ卷）如图1，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。
初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（）。
现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变。
在OM由竖直被拉到水平的过程中A ．MN上的张力逐渐增大B．MN上的张力先增大后减小C．OM上的张力逐渐增大D．OM上的张力先增大后减小解析：以重物为研究对象，受重力mg、OM绳上拉力TOM, MN上拉力TMN，缓慢拉，三个力合力始终为零，矢量三角形如图2所示，对力平移，得到图3闭合矢量三角形，因为TOM , TMN夹角不变，mg恒定，可把此矢量三角形移入一个圆中，利用“圆内同一条弦所对圆周角相等”性质构造出圆内接动态三角形，如图4，在点A逆时针变动中，MN长度（表示TMN 大小）由较短逐渐变为直径，OM由竖直到水平的过程中，先从弦增大为直径再减先变大后变小，立即获得答案AD。
小为弦，即TOM例2、如图5所示，金属棒MN两端由等长的轻质绝缘细线水平悬挂，处于垂直纸面水平向里的匀强磁场中，棒中通有由M到N 的恒定电流，细线中拉力不为零，两细线竖直。
保持匀强磁场磁感应强度大小不变，方向缓慢地转过90°变为竖直向下，在这个过程中A.细线向纸面外偏转，其中的拉力先增大后减小B.细线向纸面外偏转，其中的拉力一直增大C.细线向纸面内偏转，其中的拉力先增大后减小D.细线向纸面内偏转，其中的拉力一直增大解析：在匀强磁场大小不变方向缓慢转过90°变为竖直向下的过程中，导体棒所受安培力由竖直向上逐渐向内偏转，大小保持不变。
圆的知识在物理学习中的妙用
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圆的知识在物理学习中的妙用
作者：周鹏
来源：《数理化学习·高三版》2013年第01期
在高中物理学习中，很多地方都会用到数学上圆的知识，其中以“圆周运动”、“带电粒子在磁场中的运动”等知识点最为典型，在以上知识点中，圆的知识必然会被强调，学生在学习时自然也会想到去用，所以在这里就不再赘述.本文主要就在其他不易联想到圆的知识的场合下，运用圆的知识解决问题的常见思路作一总结.一、利用圆来保证矢量的大小不变利用“圆的半径相等”这一特点，可以保证在矢量的方向改变时大小不变.典型的应用是在“力的合成与分解”、“运动的合成与分解”等知识点中.如图1所示，将已知力F分解，在已知两个分力F1、F2的大小时，可以分别以已知力的F起点和终点为圆心，以F1、F2的大小为半径画圆，若有两个（或一个）交点则表明存在两种（或一种）分解方式，若没有交点则表明不能将已知力分解相应大小的两个分力.。
圆的几何性质应用举例
圆的几何性质应用举例圆的几何性质是指围绕在同一个中心点上的所有点到该中心点的距离都相等的特点。
在许多实际应用中，圆的几何性质都会被广泛运用。
下面是一些常见的例子：1. 圆的面积计算：在计算圆的面积时，可以利用圆的性质，使用公式πr²来计算。
在城市规划中，需要计算一个圆形公园的面积，使用这个公式可以方便地得出结果。
3. 圆的圆心角计算：在解决许多几何问题时，需要计算圆上的角度。
圆的性质告诉我们，圆心角是圆周角度的一半。
在建筑设计中，需要确定一个圆形凉亭的朝向时，可以通过计算凉亭所处位置的圆心角来确定。
4. 圆的切线与切点计算：在解决许多物理问题时，需要计算圆的切线方程与切点位置。
圆的几何性质可以帮助我们确定切线与切点的位置。
在求解一个物体在圆形轨道上的运动轨迹时，需要计算物体在某一时刻的切线方程与切点位置，来确定物体的运动状态。
5. 圆的相交及重合性质：在解决许多几何问题时，需要考虑两个或多个圆的相交情况。
根据圆的性质，两个圆相交的情况可以分为内切、外切、相交、内含等不同情况。
在计算两个圆形园区重合部分的面积时，可以根据圆的几何性质，确定两个圆形园区的相对位置和相交情况。
6. 圆的外接与内切性质：在解决许多几何问题时，需要确定一个圆与多边形外接或内切的情况。
根据圆的性质，可以通过圆的外接或内切的情况来确定多边形的特点。
在求解一个多边形的内切圆时，可以利用圆的性质，设置多边形的内切圆与多边形的共边问题，来解决该问题。
圆的几何性质在许多实际应用中都有广泛的运用。
通过运用这些性质，我们可以解决各种几何问题，并得出准确的结果。
高中物理课件-等时圆的妙用
b.将长木板_____________________
C.将光滑小球从长木板上端由静止滑下;
d.____________________________
e.求出圆弧半径R=_______________
二、“等时圆”的应用 (三)测定圆周半径
例3
a.用小球找出底部的最低点；
例4:如图所示,在离坡底15m的山坡上,竖直地固 定长为15m的直杆AO,A端与坡底B间连有一纲 绳,一个穿于绳上的小球从A点由静止开始无摩 擦地滑下,求其在绳上滑行的时间t(g取10m/s2).
A
O
B
二、“等时圆”的应用 (四)计算运动时间
例4:如图所示,在离坡底15m的山坡上,竖直地
固定长为15m的直杆AO,A端与坡底B间连有一 纲绳,一个穿于绳上的小球从A点由静止开始无 摩 擦 地 滑 下 , 求 其 在 绳 上 滑 行 的 时 间 t(g 取 10m/s2).
B
A
t2 R g
间,这个圆就是重力场中的 “等时圆”，这个性质叫 做圆的自由弦的等时性。
一、等时圆的性质
问题2：若杆是粗糙的，上述规律还成立吗？
O
t2 R g
θ 2R
B A
问题2：若杆时粗糙的，上述规律还成立吗？
解
O
mgcos mgsin ma
FN
Ffθ
a g cos sin
2R
xOB
a g cos
xOB 1 at 2 2
xOB 2R cos
O
FN
θ
2R θ Gy
B
Gx
A
mg
t 2xOB 2 2R cos 2 R
a
带有圆的应用
带有圆的应用圆是几何学中最基本的形状之一，在我们的日常生活和各个领域中都具有广泛的应用。
无论是建筑设计、艺术创作还是科学研究，圆都是不可或缺的元素。
本文将探讨几个带有圆的应用领域，展示圆在我们生活中的重要性。
一、建筑设计建筑设计中，圆形作为一种经典的几何形状，被广泛运用于建筑物的外观设计、空间布局以及结构支撑等方面。
圆形的建筑物给人以和谐、稳定的感觉，常常在公共建筑、宗教建筑和文化场馆等领域中被采用。
著名的建筑师弗兰克·劳埃德·赖特就善于使用圆形设计，他设计的古根海姆博物馆和弗雷尼斯阶梯等建筑都以圆形为特色，创造出独特的建筑风格。
二、艺术创作圆形在艺术创作中常被用来表达和传达各种情感与意象。
在绘画和雕塑中，圆形可以创造出流动、平衡和和谐的感觉。
例如，文艺复兴时期的艺术家米开朗基罗的作品《大卫像》中，他通过运用圆形的线条和造型，打破了传统的平衡感，创造出独特的动感和力量感。
另外，圆形还常常被用于设计装饰品和珠宝，给人以华丽、精致的感觉。
三、科学研究圆形在科学研究中也有着广泛的应用。
物理学中，圆的性质在光学、机械和电磁学等领域发挥着重要的作用。
例如，在光学中，圆形的球面镜能够将光线反射、折射或聚焦，广泛应用于显微镜、望远镜以及激光等领域。
此外，许多科学实验也采用圆形的装置，如环形加速器用于粒子物理实验，圆形培养皿用于细胞培养等。
圆形的形状和特性赋予了这些装置与实验更高的精确度和稳定性。
四、日常生活在日常生活中，我们也可以找到圆形的应用。
例如，轮胎是由圆形胎面和圆形胎体构成，它的设计使得汽车能够更好地行驶，在路面上能够提供更大的摩擦力。
此外，圆形的餐桌、椅子和灯具等家具能够为我们提供更加舒适和和谐的生活环境。
圆形的餐具和杯子也在一定程度上符合人体工学原理，使我们用餐更加方便愉悦。
综上所述，圆形在建筑设计、艺术创作、科学研究和日常生活中都有着广泛的应用。
其所具有的和谐、稳定和平衡的特性赋予了它不同领域中的重要地位。
圆在物理解题中的巧妙应用
圆在物理解题中的巧妙应用物理学中经常会涉及用圆的相关知识求解的问题，可以说物理与圆有着不解之缘.本文拟通过一些具体的实例，阐明圆在求解物理问题中的巧妙应用.圆在物理解题中有很多应用，本文主要介绍圆的三个应用。
用半径表示大小相等的矢量，应用于力的合成与分解和船在流水中过河的问题中；圆的对称性应用于圆周问题的求解和点电荷电场问题的求解；最后介绍物理解题中经常用到的“等时圆”。
一、 用半径表示大小相等的矢量圆的第一个特征就是圆任意一点到圆心的距离都等于半径，这个特征在矢量的合成与分解过程中就能得到很好的应用。
应用1：力的合成与分解已知力F 的一个分力1F 跟F 成300角，大小未知，另一个分力2F/3，方向未知，则1F 的大小可能是（ ）A/3 B/2 C、/3 D解析：根据题意先作出1F 跟F 成300角，再以O 点为圆/3为半径作圆，然后过F 未端作1F 的平行线交圆于C 、D 两点，则OC 、OD 为2F 的两种可能方向，由平行四边形法则可知1F 的大小有两种可能值。
图中OB 、OB '为1F 的大小可能值。
由三角形知识求出正确答是A 、C 。
应用2：船在流水中过河的问题一条河宽m d 200=，小船在静水中的速度s m v /21=，水流速度s m v /42=。
求小船过河的最短位移。
解析：根据题意，因船速小于水速，故船不能垂直过河。
下面我们就用圆来求解小船过河的最短路程。
如图，m 、n 分别为河的两岸，作出水速2v 沿河岸，以2v 的端点为圆心，1v 的大小为半径作圆。
则小船过河路程最短时过河速度v 和2v 的夹角为ϑ，根据几何关系求解即可得到过河的位移ϑsin dx =21sin 21==v v ϑ 所以带值得m x 400=二、 圆的对称性的应用圆的对称性在物理解题中有很多应用，对称性给解题带来了很多方便，下面我们就两个例子来说明。
应用1：圆周运动问题的求解质量为m 的小车以恒定的速率v 沿半径为R 的竖直圆环轨道运动。
(完整版)高中物理运动学中等时圆应用技巧(含答案),推荐文档
2s a = 2 d sin = g sin 2dg 2s a = 2d sin = g sin 2dg Rg (1- cot )运动学等时圆运用问题一 等时圆问题引出（1） 讨论：小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间结论：沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
（2） 讨论：小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间结论：小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的 底端的时间相等。
（如图 b ，证明同上）t 0 == 2图 a图 b设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为d （如图a ） 。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速（式中 R 为圆的半径。
） 说明：如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为 μ，设弦与水平方向的夹角为 θ，则弦长 2R sin θ， 下滑受力 F =mg sin θ－mg cos θ沿斜面加速度： a = F= g sin θ－g cos θm度为a = g sin，位移为s = d sin ，所以运动时间为由运动学公式有12R sin θ= (g sin θ—μg cos θ) t 2， 2t 0 == 2解得t = 2= 2 ，（式中 R 为圆的半径。
） θ 增大，时间 t 减小，规律不成立.R gR gR sin g (sin - cos )二等时圆的应用（1）比较运动快慢（2）确定运动路径（3）测定圆周半径（4）计算运动时间例 1 直接利用等时圆结论解题（2004 年高考试题）如图所示，ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c 处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（）A. t1<t2<t3B. t1>t2>t3C. t3>t1>t2 D .t1=t2=t3【答案】D二、“等时圆”的应用,1：如图，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【答案】A解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A 正确。
平面几何圆的性质与应用
平面几何圆的性质与应用在平面几何中，圆是一种重要的几何图形，具有独特的性质和广泛的应用。
本文将介绍圆的基本性质，并探讨其在实际生活和工程领域中的应用。
一、圆的基本性质1. 定义：圆是由平面上与一个确定点的距离等于常数的所有点组成的集合。
这个确定点称为圆心，常数称为半径。
2. 圆心与半径：圆心是圆的中心点，通常用字母O表示。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
3. 直径与周长：直径是通过圆心的一条线段，长度等于半径的两倍。
周长是圆上所有点到圆心的距离之和，也称为圆的周长或圆周长，通常用字母C表示，公式为C = 2πr，其中π是一个无理数，近似等于3.14。
4. 弧长与扇形面积：弧是圆上的一段曲线，弧长是弧的长度。
扇形是由圆心、圆上两点和与这两点相连的弧组成的图形，扇形面积是扇形所占的区域面积。
弧长和扇形面积的计算公式根据实际情况而定。
5. 弦与切线：弦是圆上两点之间的线段，切线是与圆只有一个交点的直线。
弦的长度可以通过勾股定理计算，切线与半径的关系可以根据切线定理得出。
二、圆的性质应用1. 圆的定位：在平面几何中，通过圆心和半径可以确定一个圆的位置。
利用这个性质，我们可以在地图上标记出具体位置，或者在工程图纸上确定某个点的位置。
2. 圆的划分：圆可以被划分为若干个扇形、弧和弦，这种划分可以应用在工程设计中，例如建筑设计中的旋转楼梯、机械设计中的齿轮等。
3. 圆的相交关系：两个圆可以相交于两个交点，也可以相切于一个交点，还可以相离不相交。
这种相交关系在交通规划、轨道设计等领域中有重要应用。
4. 圆的包围性质：一个圆可以包围在另一个圆内部，这种包围关系可以应用在物流运输中的最优路径规划、环保设备的设计等。
5. 圆的旋转对称：圆具有旋转对称性，即围绕圆心旋转180度后，图形仍然保持不变。
这种性质在艺术设计、物体制作等方面有广泛应用。
6. 圆的投影：当一个圆柱体或球体在光线照射下，其投影形状是一个圆。
几何知识在高中物理中的运用——圆的妙用
几何知识在高中物理中的运用——圆的妙用方程与函数知识在高中物理中有非常广泛的应用，与之相比，几何知识的应用范围就狭窄得多，但有些物理问题能够巧妙运用几何知识便捷地解决。
在高中物理课程中与几何知识结合最紧密的应该是图像问题，关于物理图像与数学图像的联系与区别，以后我们会专门讨论，接下来以“圆”为角度总结下高中物理相关知识。
高中物理知识中需用到的“圆”按其作用与功能可分为“矢量圆”“等时圆”“等势圆”“等圆系”“谐振圆”等。
本文试通过几例来阐述辅助圆在解题中的妙用。
一、矢量圆矢量即有大小，又有方向，且运算时满足平行四边行法则。
在矢量的合成与分解中若能借助“矢量圆 ”就能有效地化繁为简，并能加深对矢量概念的理解。
在力度分解与运动的合成与分解处常会用到。
例1一条宽为L 的河流，水流速度为u ,船在静水中划行的速度为v ,且u v <。
要使船到达对岸的位移最短，船的航向如何？解析：水流速度u 、船在静水中的速度v 与船的合速度1v 构成一矢量三角形，且船在静水中的速度v 大小不变，方向不定，构建如图1所示的矢量圆。
显然，当AD 与矢量圆相切时，船航行的位移最短。
由图可得船的航向与河岸的夹角.arccos u v =θ二、等时圆等时圆模型如图所示，竖直放置的圆环，若物体从最高点沿各光滑弦下滑至轨道与圆弧的交点，或圆弧上任意一点沿各光滑弦下滑至最低点，其下滑的时间相等.这样的圆环称之为“等时圆”。
在解决有关动力学问题时，恰当地构建等时圆不但能化解难点，而且能激发学生的解题思维。
例２两光滑斜面的高度都为h ，OC 、OD 两斜面的总长度都为l ，只是OD 斜面由两部分组成，如图3所示，将甲、乙两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面低端？解析：（解法1）本题往往采用t v -图像求解，作出物体分别沿OC 、OD 斜面运动的t v -图像（如图所示4），由图像可得乙球先到达斜面低端。
圆在物理解题中的妙用
圆在物理解题中的妙用圆是完美的象征。
在我们的周围圆随处可见；在物理学中圆的知识应用非常广泛。
下面列举的是圆在求解物理问题时的巧妙应用。
一、用半径表示大小相等的矢量例1、已知力F 的一个分力F 1跟F 成300角，大小未知，另一个分力F 2/3，方向未知，则F 1的大小可能是（ ）A/3 B/2C、/3 D解析：根据题意先作出F 1跟F 成300角，再以O 点为圆/3为半径作圆，然后过F 未端作F 1的平行线交圆于C 、D 两点，则OC 、OD 为F 2的两种可能方向，由平行四边形法则可知F 1的大小有两种可能值。
图1中OB 、OB '为F 1的大小可能值。
由三角形知识求出正确答是A 、C 。
二、用弦设置运动的比较两个重要结论：（1）物体从竖直圆环的顶点沿任何弦由静止开始无摩擦下滑到圆周上，所用的时间都等于它沿圆的直径做自由落体的时间。
（2）物体从竖直圆环的圆周上沿任何弦由静止开始无摩擦下滑到圆周的最低点，所用的时间都等于它沿圆的直径做自由落体的时间。
例2、如图2所示，由竖直墙壁和斜坡构成一凹形槽，竖直墙壁和斜坡相交于O ，从墙最高处A 到斜坡有两条光滑的轨道AB 、AC ，已知OA=OB ，C 点在B 点的下方。
两小孩同时从A处开始自由滑下，问两小孩谁最先滑到斜坡？解析：该题似乎少了条件，给思维造成了很大障碍。
如果用上面结论（1）该题可即刻求解。
因OA=OB ，故可以O 点为圆心OA 为半径作圆，AB 为圆的一条弦，由结论（1）可知，沿AB 滑下的小孩比沿AC 滑下的所用时间长，即沿AC 滑下的小孩先达到斜坡。
例3、如图3所示，在同一竖直线上有A 、B 两点，相距h ，B 点离地高度为H ，现要在地面上找到一点C ，使得物体由静止沿从A 、B 两点分别向C 点安放的光滑木板滑动时，满足运动时间相等。
求O 到C 的距离。
解析：由结论（2）可知，该题中涉及的A 、B 、C 三点分别是竖直圆周上的三个不同位置，其中C 点是最低点；AC 和BC分别是圆的两条弦。
高中物理课件：“几何圆模型”在磁场中的应用
A. B. C. D.
应强度大小为 .一群质量为 、电荷量为 的带正电粒子以速率 从 垂直射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，则粒子进出磁场一次所用的时间可能是( )
磁聚焦与磁发散问题
当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时,存在两条特殊规律:
规律一:带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场,如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等,则所有粒子的出射速度方向都与圆形磁场上入射点的切线方向平行,如图甲所示.
规律二:电性相同的带电粒子平行射入圆形有界磁场,如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等,则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出,并且出射点的切线都与入射速度方向平行,如图乙所示.
平移圆：粒子速度大小相同、方向相同,但入射点在一条直线上移动
粒子发射速度大小和方向不变,则轨迹半径相同;入射点沿一直线移动时,轨迹圆在平移,则圆心在同一直线上,如图所示.
例3 [2022·嘉兴模拟] （多选）如图所示， 、 、 是以 为圆心、半径为 的圆周上的三点， ， 为 的中点，在 内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感
例2 如图所示，虚线圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场， 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过 点，在纸面
C
A. B. C. D.
内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为 ，则这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为 ，则相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用，则 为( )
与直径 共线， 、 间的距离等于半圆的半径.一束质量为 、电荷量为 的粒子在纸面内从 点垂直于 射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子其运动时间为( )
探索圆的性质与应用
探索圆的性质与应用圆是几何学中一个重要且常见的概念，它具有独特的性质和广泛的应用。
本文将探索圆的性质和应用，并对其进行详细阐述。
一、圆的定义与性质圆是平面上所有距离某一点（圆心）相等的点的集合。
圆的性质有以下几点：1. 圆心与半径：圆心是圆上所有点的中心点，用字母O表示。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
2. 直径与半径的关系：直径是通过圆心的一条线段，它恰好等于半径的两倍。
3. 圆的周长和面积：圆的周长是圆周上相邻两点之间的弧长，用字母C表示。
圆的面积是圆内部所有点与圆心的距离之积，用字母A表示。
4. 圆的弧度和角度：弧度是一个角所对应的弧长与半径的比值。
角度是一个角所对应的圆心角与360°的比值。
二、圆的应用领域圆具有广泛的应用，适用于以下几个领域：1. 圆的几何建模：圆的性质使得它可以被广泛应用于几何建模中。
在建筑设计、机械制图等领域，圆的几何特性常被用于绘制平面图形、配件设计等。
2. 圆的运动轨迹：圆的运动轨迹在物理学和工程学中有重要应用。
在天文学中，行星绕太阳的轨道呈现出近似圆形；在机械运动学中，圆轨迹被广泛应用于机械零件的设计与运动模拟。
3. 圆的电子设计：在电子设计中，圆形的导线布局可减少电导路径的长度，从而降低电阻和功耗。
此外，圆形的PCB板设计也有助于提高信号传输的可靠性和稳定性。
4. 圆的数据处理与分析：在数据处理与分析领域，圆的数学模型被广泛运用于信号处理、图像处理和数据拟合等方面。
例如，通过对图像进行圆检测，可以用于目标识别、缺陷检测等应用。
5. 圆的统计分析：在统计学中，圆统计是一种特殊的统计方法，用于描述和分析在二维环形数据上的分布规律。
三、圆的实际案例分析为了更深入了解圆的应用，我们来分析一个实际案例：研究环形光源的光强分布。
假设我们有一个环形光源，我们想要了解光源在不同角度上的光强分布情况。
我们可以使用探测器测量不同位置的光强，并将其绘制在极坐标系中。
圆的几何知识在物理解题中的应用
“圆”的几何知识在物理解题中的应用圆是一个很重要的模型，物理中很多物体的运动轨迹都是圆，人造卫星绕地球的运动可近似看作圆周运动，带电粒子在匀强磁场中的运动是匀速圆周运动，绕轴旋转的物体上的每一点都做圆周运动等等，解决这类问题常常涉及到有关圆的一些知识。
以下从几个方面说明它在物理解题中的应用.1、弧长等于半径乘以圆心角，即θ·r s=例1 已知一颗人造卫星在某行星表面上空绕行星做匀速圆周运动，经过时间t ，卫星的行程为s ，卫星与行星的中心连线扫过的角度是rad 1，那么卫星的环绕周期T 等于 ，该行星的质量M 等于 .【分析与解答】卫星在一个同期的时间内半径要转过2π，由π21T t=得t T π2=;由2324GT r M π=，关键求出卫星的半径，再根据弧长等于半径乘以圆心角得s r=，代入得23Gt sM =2、直径所对的圆周角为直角例2 如图2ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点，每一根杆上都套着一个小滑环（图中末画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速度为0），用1t 、2t 、3t 依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ）A 、321t t t <<B 、321t t t >>C 、213t t t >>D 、321t t t ==【分析与解答】如图2连结ac ,过d 作圆的切线。
设圆的半径为R ，由直径所对的圆周角为直角，则三角形acd 为直角三角形，环沿cd 下滑就像沿倾角为θ的光滑斜面下滑.加速度θsin g a=，θsin 2R cd =，时间gRg R a cdt 2sin 222=⨯==θ与倾角无关，故选D3、所有的几何图形，周长一定时圆的面积最大例3 如图3所示正方形的导线框与磁场垂直，现将正方形整成圆形，则导线框中应有 （顺、逆）时针的感应电流.【分析与解答】由正方形到圆形，周长一定时圆的面积最大，导线框中磁通量向下增大，由楞次定律得线圈中感应电流为逆时针方向4、直径为最长的弦，弦越长对应的圆心角越大 例4 在真空中有半径2100.3-⨯=rm 的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度T B 2.0=，方向如图4，一带负电的粒子初以速度60100.1⨯=v m/s ，从磁场边界上直径的一端a 向着各个方向射入磁场，且速度方向与磁场方向垂直.已知粒子比荷为q/m=1.0×108C/kg，d图2图3图1不计重力，求：（1）轨道半径；（2）粒子在磁场中运动的最长时间.【分析与解答】（1）设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为R，由m R B qv qB mv Rmv 20105,020-⨯===（2）根据粒子运动时间T t πθ2=，周期T 一定，t 与θ成正比，要时间最长则圆心角θ最大，由圆的知识，即要求弦最长，而最长的弦应为磁场圆的直径，也就是要带电粒子从a点射入,从b点射出.如图三角形1aoo 为直角三角形，,37,6.0sin o Rr ===αα带电粒子在磁场中运动的最长时间为s t Bqm82360372105.60-⨯⨯==π5、弦切角等于所夹弧所对的圆心角的一半 例5 如图5在0<y 的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸外，磁感应强度为B ，一带正电的粒子以速度v ，从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正向的夹角为θ，若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为l ，求该粒子的电荷量与质量之比mq？【分析与解答】粒子在磁场中作匀速圆周运动，运动半径Bqmv R =，如图x NO ⊥1，N O 1是圆心角的平分线，由弦切角等于所夹弦所对的圆心角的一半，所以θ＝O NO 1∠，Rl 2sin =θ，所以lBv mq θsin 2=圆还有一些几何性质，如弦切角等于所夹弧所对的圆周角（在例1中即有应用）；垂直于弦的直径必平分弦（例5中的x NO ⊥1轴，所以N 点平分弦，2lON ＝）；圆的切线垂直于过切点的半径（例4，例5中轨迹圆圆心的确定，粒子的速度与圆弧相切，两速度垂线的交点即是圆心）；两圆相交时连心线必垂直平分弦（例4中的1OO 垂直平分ab ），等在解题中也是经常用到的。
“圆”在高中物理中的妙用
“圆”在高中物理中的妙用利用几何图形，解决物理问题，通常会收到事半功倍的效果。
现把日常教学中的关于几何“圆”的点滴体会奉献给师生们，希望以此起到“抛砖引玉”的效果。
一、“矢量圆”的应用关于共点力作用下力的合成与分解，特别是互成角度的两个力作用下力的合成问题，当合力不变，而其中一个力大小不变，判断另一个力大小和方向变化时，可以把大小不变的力作为圆的半径，通过一个“圆”来形象处理合力和分力的大小方向关系。
（2017年全国高考I卷21）如图1，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。
初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为（）。
现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变。
在OM由竖直被拉到水平的过程中：A.MN上的张力逐渐增大B.MN上的张力先增大后减小C.OM上的张力逐渐增大D.OM上的张力先增大后减小以重物为研究对象，受重力mg，OM绳上拉力F2，MN上拉力F1，由题意知，三个力合力始终为零，且在运动过程中F2和F1的夹角不变，利用圆周角不变规律，矢量三角形如图2，在F2转至水平的过程中，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以AD正确，BC错误。
本题考查动态平衡，注意重物受三个力中只有重力恒定不变，且要求OM、MN两力的夹角不变，两力的大小、方向都在变。
三力合力为零，能构成封闭的三角形，再借助圆，同一圆弧对应圆周角不变，难度较大。
练习1：在两个共点力合成的实验中，如图3所示，用A、B两弹簧秤拉橡皮条的结点D，使其位于E处，然后保持A的读数不变，当角a由图示位置逐渐减小时，欲使点似在E处，可采用的方法是：A.增大β的读数，减小β角B.减小β的读数，减小β角C.减小β的读数，增大β角D.增大β的读数，增大β角本题可以通过余弦定理等数学公式加以求解β的读数变化，但关于β角变化，则不容易判断。
如果根据力的合成规律，由于A的读数，即力的大小不变，把它作为圆的半径，以合力F合为直径画一个圆，则本题的答案就会一目了然。
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几何知识在高中物理中的运用——圆的妙用
方程与函数知识在高中物理中有非常广泛的应用，与之相比，几何知识的应用范围就狭窄得多，但有些物理问题能够巧妙运用几何知识便捷地解决。
在高中物理课程中与几何知识结合最紧密的应该是图像问题，关于物理图像与数学图像的联系与区别，以后我们会专门讨论，接下来以“圆”为角度总结下高中物理相关知识。
高中物理知识中需用到的“圆”按其作用与功能可分为“矢量圆”“等时圆”“等势圆”“等圆系”“谐振圆”等。
本文试通过几例来阐述辅助圆在解题中的妙用。
一、矢量圆
矢量即有大小，又有方向，且运算时满足平行四边行法则。
在矢量的合成与分解中若能借助“矢量圆 ”就能有效地化繁为简，并能加深对矢量概念的理解。
在力度分解与运动的合成与分解处常会用到。
例1一条宽为L 的河流，水流速度为u ,船在静水中划行的速度为v ,且u v <。
要使船到达对岸的位移最短，船的航向如何？
解析：水流速度u 、船在静水中的速度v 与船的合速度1v 构成
一矢量三角形，且船在静水中的速度v 大小不变，方向不定，
构建如图1所示的矢量圆。
显然，当AD 与矢量圆相切时，
船航行的位移最短。
由图可得船的航向与河岸的夹角
.arccos u v =θ
二、等时圆
等时圆模型
如图所示，竖直放置的圆环，若物体从最高点沿各光
滑弦下滑至轨道与圆弧的交点，或圆弧上任意一点沿
各光滑弦下滑至最低点，其下滑的时间相等.这样的圆
环称之为“等时圆”。
在解决有关动力学问题时，
恰当地构建等时圆不但能化解难点，而且能激发学生的解题思维。
例２两光滑斜面的高度都为h ，OC 、OD 两斜面的总长度都为l ，只是OD 斜面由两部分组成，如图3所示，将甲、乙两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面低端？
解析：
（解法1）本题往往采用t v -图像求解，作出物体分别沿OC 、OD 斜面运动的t v -图像（如图所示4），由图像可得乙球先到达斜面低端。
（解法2）构建如图5所示的等时圆，交OC 于A 点，交OD 于B 点。
由“等时圆”可知，OB OA t t =. 由机械能守恒定律可知：D C A B v v v v =>,，所以AC BD v v >。
由因为两斜面的总长度相等，所以AC BD s s <， 根据公式t
s v =
得，AC BD t t <，所以有 t t >，即乙球先到达斜面低端。
例3 如图6，在斜坡上有一根旗杆长为L ，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知OB=L.求小环从A 滑到B 的时间。
解析：可以以O 为圆心，以L 为半径画一个圆。
根据“等时圆”
的规律可知，从A 滑到B 的时间等于A 点沿直径到底端D 的时间，
所以有：
g
L g L g d t t AD AB 242==== 例4 如图7所示，在倾角为α的传送带的正上方，有一发货口A 。
为了使货物从静止开始，由A 点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带，则斜槽与竖直方向的夹角β应为多少？
解析：如图8所示，首先以发货口A 点为最高点作一个圆O 与传送带相切，切点为B ，然后过圆心O 画一条竖直线AB ′，而连接A 、B 的直线，就是既过发货口A ，又过切点B 的惟一的弦。
根据“等时圆”的规律，货物沿AB 弦到达传送带的时间最短。
因此，斜槽沿AB 方向安装。
AB 所对的圆周角β为圆心角的一半，而圆心角又等于α，所以αβ2
1=。
例5如图9所示，直角三角形的斜边倾角为30°，底边BC 长为2L ，处在水平位置，斜边AC 是光滑绝缘的，在底边中点O 处放置一正电荷Q ，一个质量为m ，电量为q 的带负电的质点从斜面顶端A 沿斜边滑下，滑到斜边上的垂足D 时速度为v 。
则：该质点运动到非常挨近斜边低端C 点时速度C v 为多少？沿斜面向下的加速度C a 为多少？
解析：点电荷沿斜面AC 下滑时，电场力在不断变化，
无法利用动能定理及能量守恒关系直接列式求解，
从而使解题陷入困境。
由几何关系可引入图10所示的
等势圆，由于D 、C 二点位于同一等势圆上，电荷从
D 运动到C 电场力做功为零，只有重力做功，所以电荷
在D 点的机械能与C 点的机械能相等，即：
gl v v CD mg mv mv C o D C 330sin 2
121222+=⇒+= 对电荷在C 点受力（如图8所示），由牛顿第二定律得：C o o ma L Qq k mg =-30cos 30sin 2 解得：2
2321ml KQq g a C ⋅-=
三、等圆系
带电粒子进入匀强磁场，若带电粒子的速度大小、方向不定，则粒子在磁场中作一系列圆心、半径在时刻变化的“等圆系”，构建等圆系能化俗为奇。
例6 半径为R=10cm 的圆形匀强磁场，区域边界与y 轴相切于坐标原点，磁感应强度B=0.332T ，方向垂直纸面向里。
在原点O 处有一放射源S ，可沿纸面向各个方向射出速率均为s m v /102.36⨯=的α粒子，已知α粒子的质量为Kg m 271064.6-⨯=，电量c q 19102.3-⨯=，试确定α粒子通过磁场的最大偏向角。
解析：α粒子在磁场中作半径为r 的匀速圆周运动，可得：
cm m qB mv r 20332
.0102.3102.31064.6196
27=⨯⨯⨯⨯⨯==-- 从而可构建一系列半径为20cm 并交于O 点的等圆系（如图11所示），
有等圆系不难得到要使α粒子的偏向角最大，必然α粒子在磁场区域
内的弦最长。
所以α粒子的最大偏向角
o r
R 60arcsin 2==α 例7 核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高度运动的粒子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。
如图12所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场外边缘而被约束在该区域内。
设环状磁场的内半径为R 1=0.5m ，外半径R 2=1.0m ，磁场的磁感应强度B=1.0T ， 若被束缚带电粒子的荷质比为kg C m
q /1047⨯=， 中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。
试计算
（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
解析：
（1）粒子沿环状半径方向射入磁场，在磁场区域中作圆周运动，由于粒子的速度大小不定，构建如图13所示的半径不同的圆系，要使粒子不能穿越磁场，圆系中不难得到粒子的临界组圆心必须与外圆相切。
由图中知2
122121)(r R R r -=+,解得m r 375.01= 由1
211r V m BqV =得s m m Bqr V /105.1711⨯== 所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，
不能穿越磁场的最大速度为s m V /105.171⨯=.
（2）所有粒子在磁场中作半径不定，圆心也不定的系列圆，在所有圆中粒子以2V 的速度沿与内圆相切方向射入磁场且动态圆与外圆相切时，则以2V 速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界（如图13所示）。
由图中知m R R r 25.02122=-=,算出对应的速度s m m
Bqr V /100.1722⨯==,这一速度即为所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
四、谐振圆
当一个质点在一平面上做匀速圆周运动时，它的投影点的运动是简谐运动，这个圆通常称为“谐振圆”。
换个说法，匀速圆周运动可以分解为两个相互正交的简谐运动。
利用谐振圆，可以把振动这部分知识融为一体，而且它利用学生相对熟悉的圆周运动为起点，降低了学生的认知难度。
利用谐振圆，能使问题直观明了，在求解振动的时间问题时尤显优势。
例8 如图14所示，一只椭球形的鸡蛋长轴是6cm ，短轴是4cm ，鸡蛋在x 轴上做简谐运动，运动过程中椭球的焦点在x 轴上，鸡蛋的端点正好不碰到A 、B 两点，即在A 、B 之间往复运动，现有一支固定在支架上，以垂直于x 轴的方向射出子弹正好瞄准x=12cm 处，子弹可看成质点，子弹的速度比鸡蛋的速度大得多，现有一个瞎子扣动扳机，那么他击中鸡蛋的概率是多大？
解析：鸡蛋中心在cm x 21-=到cm x 21=之间作简谐运动，但只有在cm x 9=到cm x 15=之间时能被击中。
构建如图15所示的谐振圆，要击中鸡蛋相当于质点位于弧CD 之间。
其对应的相位为
219arccos =C θ，21
15arccos =D θ 则击中鸡蛋的概率为
ππθθπθ2115arccos 219arccos -=-==
D C P。