第3章整数线性规划解读

第3章 整数线性规划
➢整数线性规划问题 ➢Gomory割平面方法 ➢分枝定界方法 ➢0-1规划
§3.1 整数线性规划问题
✓引例——建立整数线性规划模型 ✓整数线性规划的数学模型 ✓整数线性规划问题的求解
应用案例
• 投资组合问题 • 旅游售货员问题 • 背包问题
投资组合问题
• 背景 • 实例 • 模型
6x1 3x2 1 x1, x2 0
⑵
(3/2,10/3)
3Biblioteka Baidu
x1
3 整数线性规划问题的求解
思路2：由于纯整数线性规划的可行集合就是一些离散 的格点，可否用穷举的方法寻找最优解？ ☺当格点个数较少时，这种方法可以； 对一般的ILP问题，穷举方法无能为力。
3 整数线性规划问题的求解
目前，常用的求解整数规划的方法有：
整数线性规划模型 min cT x s.t. Ax b
x0
xi I , i J 1,2, n
其中xRn,cRn,bRm ,ARmn,I {0,1,2,...} 简称：ILP问题（integer linear programming） 依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整 数规划、混合整数规划、0－1整数规划。
3 整数线性规划问题的求解
思路1：可否解决相应的线性规划问题，最后舍入到最 近的整数解？
例：设整数规划问题 min z x1 x2 s.t. 14x1 9x2 51 6x1 3x2 1 x1, x2 0且为整数
x2
⑴
min z x1 x2 s.t. 14x1 9x2 51 3
17
3
pi (1 xij )
i 8
j 1
模型
17
3
min pi (1 xij )
i8
j 1
17
ci xij rj ; j 1,2,3
i 1
3
xij 1;i 1,2...,7
j 1
3
xij 1;i 8,2...,17
j 1
xij 1,0; i 1,2...,17, j 1,2,3
nn
min
cij xij
i0 j0
n
xij 1; i 1,2,..., n j0
s.t. n xij 1; j 1,2,..., n i0 ui u j nxij n 1;1 i j n xij 1,0, i 1,2,..., n, j 1,2,..., n
背景
• 证券投资：把一定的资金投入到合适的 有价证券上以规避风险并获得最大的利 润。
• 项目投资：财团或银行把资金投入到若 干项目中以获得中长期的收益最大。
案例
• 某财团有 B万元的资金，经出其考察选中 n
个投资项目，每个项目只能投资一个。其
中 年第 后获j个利项c目（j 需j 投1资,2金...,额n）为万b元j万，元问，应预如计何5
xij 1,0; i 1,2...,17, j 1,2,3
• 约束
包裹容量限制
必带物品限制 选带物品限制
17
ci xij rj ; j 1,2,3
i 1
3
xij 1;i 1,2...,7
j 1
3
xij 1;i 8,2...,17
j 1
• 目标函数—未带物品购买费用最小
3
1 xij ;i 8,2...,17 j 1
选择项目使得5年后总收益最大？
模型
• 变量—每个项目是否投资
x j 1,0 j 1,2...,n
• 约束—总金额不超过限制
n
bjxj B
j 1
• 目标—总收益最大
n
max c j x j j 1
n
max c j x j j 1
n
s.t. j1 b j x j B
x
j
1,0;
j
1,2...,n
旅游售货员问题
• 背景 • 案例 • 模型
背景
• 旅游线路安排 预定景点走且只走一次 路上时间最短
• 配送线路—货郎担问题 送货地到达一次 总路程最短
案例
• 有一旅行团从 v0 出发要遍游城市
v1, v2 ,..., v，n 已知从 vi到 v的j 旅费
为 cij，问应如何安排行程使总费 用最小？
例 某公司拟建设A、B两种类型的生产基地若干个，两
种类型的生产基地每个占地面积，所需经费，建成后生
产能力及现有资源情况如下表所示。问A、B类型基地各
建设多少个，可使总生产能力最大？
A
B
资源限制
占地（m2） 2000 费用（万元） 5
5000 4
13000 24
生产能力
2000 1000
2 整数线性规划的数学模型
割平面法和分枝定界法； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
§3.2 Gomory割平面方法
物品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
价格 15 45 100 70 50 75 200 90 20 30
问题分析
• 变量—对每个物品要确定是否带同时要确定
放在哪个包裹里，如果增加一个虚拟的包裹把 不带的物品放在里面，则问题就转化为确定每 个物品放在哪个包裹里。如果直接设变量为每 个物品放在包裹的编号，则每个包裹所含物品 的总容量就很难写成变量的函数。为此我们设 变量为第i个物品是否放在第j个包裹中
模型
• 变量—是否从i第个城市到第j个城市
• 约束
xij 1,0;
每个城市只能到达一次、离开一次
n
xij 1; i 1,2,...n
j0
n
xij 1; j 1,2,...n
i0
• 避免出现断裂
每个点给个位势 点比后点大
除了初始点外要求前
• 目标—总费用最小
nn
cij xij
i0 j0
背包问题
• 背景 • 案例 • 模型
背景
• 邮递包裹 把形状可变的包裹用尽量少的车辆运走
• 旅行背包 容量一定的背包里装尽可能的多的物品
实例
• 某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容 积大小分别为1000毫升、1500毫升和2000毫 升，根据需要列出需带物品清单，其中一些物 品是必带物品共有7件，其体积大小分别为400、 300、150、250、450、760、190、（单位毫 升）。尚有10件可带可不带物品，如果不带将 在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目 的地的价格（单位美元）。这些物品的容量及 价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案 把物品放在三个旅行包里。