第3章整数线性规划解读
运筹学-第3章整数规划
2018/8/17
9
生产计划问题
某机器制造厂可生产四种产品，对于三种主要资源（钢， 人力，能源）的单位消耗及单位利润见表。问如何安排 生产，可使总利润最大？
消耗 产品1
1
产品2 产品3
10 6 0 7 3 4 2 8
产品4
0 1 5 4
资源量
5000 3000 3000
资源A（钢）
资源B（人力） 2 资源C（能源） 2 单位利润 1
这里取M=5000
2018/8/17
15
（2）批量生产
在前例中的基础上, 增加假设：产品4要求批量生 产，批量为不少于500件。 试建立最佳生产计划模型。
定义0-1变量y4
1 , x 4 500 y 4= 0 , x 4=0
500y4 x4 My4 y4 {0,1}
增加约束
2018/8/17 4
附加条件
项目1和项目3至少采纳一个; y1+y2 ≥1 项目2和项目5不能同时采纳; y2+y5 ≤1 项目1仅在项目2采纳后才可考虑是否采纳; y1≤ y2 项目1仅在项目2和3同时采纳后才可考虑是否采纳; 项目1，2，3不能同时采纳; y1+y2+y3 ≤2 或者选择项目1和2，或者选择项目3; y1= y2, y1+y3 =1; 或者 0.5(y1+y2) +y3 =1.
i 1 j 1 5 4
1, 采用Ai建厂 yi , i 3,4,5 0 ，不采用
s.t. x11 x12 x13 x14 400 x x x x 600 23 24 21 22 x31 x32 x33 x34 200y3 x41 x42 x43 x44 200y4 x x x x 200y 5 51 52 53 54 y3 y 4 y5 1 x11 x21 x31 x41 x51 300 x12 x22 x32 x42 x52 350 x13 x23 x33 x43 x53 400 x x x x x 150 24 34 44 54 14 xij 0, i 1,2,3,4,5, j 1,2,3,4 y3 , y4 , y5 {0,1}
整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
整数线性规划
解： 引入0-1变量xij ，
xij =1：第i人做第j项工作
xij =0：第i人不做第j项工作
• 一人只能完成一项任务
x11 x12 x13 x14 1 x21 x22 x23 x24 1 x31 x32 x33 x34 1 x41 x42 x43 x44 1
三、分支定界法
不考虑整数限制先求出相应松弛问题的最优解， 若松弛问题无可行解，则ILP无可行解； 若求得的松弛问题最优解符合整数要求，则是 ILP的最优解； 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件 的变量 xi0 来构造新的约束添加到松弛问题中形 成两个子问题
0 0 xi xi ; xi xi 1
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160x1 210x2 60x3 80x4 180x5 210x1 300x2 150x3 130x4 260x5 600 x1 x2 x3 1 x3 x 4 1 x x 1 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0或1
x1 ≤ 1
LP1 ： 7 10 x1 1, x2 , Z 3 3
41 10 9 3
x2 ≥3
x2≤2
LP3 ： x1 33 61 , x2 2, Z 14 14
LP4：无解，查清
x1 ≥3
LP6：
61 10 14 3
x1≤2
LP5：
10 4, 3 x1 3, x2 1, Z 4，查清 x1 2, x2 2, Z 4，查清 LP1被剪枝
假设：yj=1，要租用生产线j yj=0，不租用生产线j
第三章_整数线性规划
b
j 1
j
xj B
• 目标—总收益最大
max
c
j1
n
j
x
j
max
c
j1
n
j
x
j
n b j x j B s .t . j 1 x 1 , 0 ; j 1 , 2 ..., n j
旅游售货员问题
• 背景
• 案例 • 模型
背 景
• 旅游线路安排 预定景点走且只走一次 路上时间最短 • 配送线路—货郎担问题 送货地到达一次 总路程最短
混合整数规划模型
min c x Ax b s .t . x 0 x i 为整数 , i 1, 2 ,..., p
§2.2 整数线性规划算法
• 与线性规划的关系
• 分支定界算法
• 割平面算法 • 近似算法
与线性规划的关系
放松的线性规划 整数规划
min c
min c
x ij 1, 0 ; i 1, 2 ..., 17 , j 1, 2 , 3
• 约束
包裹容量限制
c
i 1
3
17
i
x ij r j ; j 1, 2 , 3
必带物品限制
3
x ij 1; i 1, 2 ..., 7
j 1
选带物品限制
x ij 1; i 8 , 2 ..., 17
3. 对于问题B，任选一个不符合整数条件的变量 xj=bj，对问题B进行分支，增加两个约束条件： xj[bj] 和 xj[bj] +1，形成两个后继问题B1 和 B2 ,求它们的松弛问题，得到目标函数值的上 界。转步骤4 。 4. 考察所有后继问题， (a)如果它的目标函数值的上界不如zb，舍去该支， 转步骤4 。 (b)如果没有后继问题, 则当前最优解就是原问题 的最优解，stop。 (c)寻找目标函数值的界最好的后继问题,转步骤5。
整数线性规划理论
例6M a x z=3xAi -2X2 5X3
X+2X2—X3兰2捲+4x2 +X3兰4
*捲+X2兰3
4X2 +X3兰6X1,X2,XAO或1
求解思路及改进措施：
(I)先试探性求一个可行解，易看出(Xi, X2, X3(1,0,0)满足约束条件，故为一个可 行解，且Z = 3。
一个 充分大的常数M,而下面这一组ml个约束条件
QlXi amXn •• y.M i=1,2, , m
ym =m -1
就合于上述的要求。这是因为，由于(2) ,口个％中只有一个能取0值， 设y* = 0,代入(1),就只有U卜的约束条件起作用，而别的式子都是多 余的。
3.1.3关于固定费用的问题(Fixed Cost Problem
0,当Aj点没被选中.
于是问题可列写成：
7
Max z八CiXi
i4
十7
ZbXj兰B
i二
*捲+X2 +X3兰2
X4 +X5兰1
X6 X7-1,Xi= 0或1
3.1.2相互排斥的约束条件有两个相互排斥的约束条件
5为4X2_24或7为3X2_45。
为了统一在一个问题中，引入0・1变量y,则上述约束条件可改写为：
规定24三个点中至多选两个；■&
在东区。 两个点中至少选一个；U力两
在西区。 个点中至少选一个。
在南区，由
如选用A点，设备投资估计为b元，每年可获利润估计为G元，但投资总额不能超过B元。问应选择哪几个点可使年利润为最大？
解题时先引入0・1变量xAi=1,2，…,7)
令
《管理运筹学》03- 整数规划
ppt课件整数规划整数规划
3
3.1 整数规划问题及其建模
例3-1背包问题
max z= 17x1 +72x +35x
s.t.
10x1 2 +42x 3 +20x ≤50
x1, 2 x2,
3 x3
≥0
x1,
x2,
x3为整数
线性规划最优解为: x1=0，x2=0，x3=2.5
而整数规划的最优解是 x1=1，x2=0，x3=2
T
5
ppt课件整数规划整数规划
22
-2x2+3x1+5x3≥5 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（0 1 0） 3
F
（0 1 1） 8
0
2
1
5
T
8
-2x2+3x1+5x3≥8 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（1 0 0） -2
F
（1 0 1） 3
F
（1 1 0） 1
工件
A
B
C
D
工人
效
甲
14
9
4
15
率
乙
11
7
9
10
矩
丙
13
2
10
5
阵
丁
17
9
15
13
ppt课件整数规划整数规划
24
设xij=1表示第 i人送j货，否则xij=0
上述问题的模型为：
44
数学中的线性规划与整数规划
数学中的线性规划与整数规划线性规划和整数规划是数学中两个重要的优化问题。
它们在实际生活和工业生产中有着广泛的应用。
本文将简要介绍线性规划和整数规划的概念、应用以及解决方法。
一、线性规划线性规划是一种优化问题，其目标是在给定的约束条件下，找到一个线性函数的最大值或最小值。
线性规划可以用来解决诸如资源优化分配、生产计划、物流运输等问题。
首先，我们来定义线性规划的标准形式：```最大化： c^Tx约束条件：Ax ≤ bx ≥ 0```其中，`c`是一个n维列向量，`x`是一个n维列向量表示决策变量，`A`是一个m×n维矩阵，`b`是一个m维列向量。
上述的不等式约束可以包括等式约束。
通过线性规划，我们希望找到一个满足所有约束的向量`x`，使得目标函数`c^Tx`达到最大或最小值。
解决线性规划问题的方法有多种，例如单纯形法、内点法等。
其中，单纯形法是应用广泛的一种方法。
它通过不断地移动顶点来搜索可行解的集合，直到找到最优解为止。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量`x`必须取整数值。
整数规划可以更准确地描述实际问题，并且在某些情况下具有更好的可解性。
例如，在生产计划问题中，决策变量可以表示生产的数量，由于生产数量必须为整数，因此整数规划更适用于此类问题。
整数规划的求解相对于线性规划更加困难。
由于整数规划问题是NP困难问题，没有多项式时间内的高效算法可以解决一般情况下的整数规划问题。
因此，为了获得近似最优解，通常需要使用一些启发式算法，如分支定界法、割平面法等。
三、线性规划与整数规划的应用线性规划和整数规划在实际生活和工业生产中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域：1. 生产计划：通过线性规划和整数规划，可以确定产品的生产量、原材料的采购量以及生产时间表，以实现最佳的生产效益。
2. 物流运输：线性规划和整数规划可以用来优化货物的配送路线和运输方案，减少物流成本，提高配送效率。
第三章整数线性规划
割平面法
IP LP xl*
Yes xI* = xl*
判别是否整数解
No 加入割平面条件 用对偶单纯型方法继续求解
§3.3 分枝定界方法
分枝定界方法的基本思想 分枝定界方法的实现——例题
1 分枝定界方法的基本思想
如果松弛问题(P0)无解，则(P)无解；
如果(P0)的解为整数向量，则也是(P)的解；
min -(x1 x2 ) s.t.-4x1 2 x2 1 (P1 ) 4x1 2 x2 11 x1 1 x1 , x2 0, Integer
P2
约束 x1 1, x1 2 (它们将x1=3/2排除在外)，得到两个子问题：
min -(x1 x2 ) s.t.-4x1 2 x2 1 (P2 ) 4x1 2 x2 11 x1 2 x1 , x2 0, Integer
运筹 帷幄之中
决胜 千里之外
运 筹 学
主讲教师
赵玉英
62338357(O) yuyingzhao@
北京林业大学理学院
第3章 整数线性规划
整数线性规划问题 Gomory割平面方法(1958) 分枝定界方法(Land doig and Dakin 1960’s) 0-1规划
3
(3/2,10/3)
3
x1
3 整数线性规划问题的求解
思路2：由于纯整数线性规划的可行集合就是一些离散 的格点，可否用穷举的方法寻找最优解？ 当格点个数较少时，这种方法可以； 对一般的ILP问题，穷举方法无能为力。
3 整数线性规划问题的求解
目前，常用的求解整数规划的方法有： 割平面法和分枝定界法； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
第三章 线性规划及图解法
max z＝11x1+8x2+0 sl +0 s2 +0 s3； 约束条件： 例2中 10x1+ 2x2-sl＝20， sl＝0 3x1+3 x2-s2＝18， s2＝0 4x1+9x2-s3＝36， s3＝13 x1，x2，sl，s2，s3≥0
六、线性规划数学模型的标准形式
引入了松驰变量和剩余变量后，就可以 将线性规划数学模型用“≤”，“≥”和“=” 建立的一般形式化为统一用“=”的标准形式：
兰州大学管理学院
运筹学
-------数据、模型与决策
2010年用
运筹学
第三章
线性规划及图解法
第三章 线性规划及图解法
确定型决策 ——线性规划方法
线性规划 ——所有资源限制条件式和目标 式都是自变量的一次方关系。
描述的是在一定资源限制下(自然状态)，给 出了很多个可以选择的不同方案(运行方案)， 从这些方案中找到一个最好的方案来执行。
二、线性规划问题的解
1、在线性规划问题的解集合中，若约束条件能构成 一个封闭的可行域，则可行域的任意点都是问题的 一个可行解，这些可行解中必有最优解。 若最优解是可行域中一个点，则这个解是线性 规划的唯一最优解。唯一最优解都必落在可行域的 顶点上，可行域的所有顶点称为基本可行解； 对于求最大目标的线性规划问题，取Z值最小的 基本可行解为初始基本可行解，再依次迭代至最优 解。 求最小目标的情况，可选可行域中任意目标初函 数值较大的点为初始基本可行解，再依次迭代至最
蛋白质 钙
食用量不能为负
一般线性规划问题的建模过程
（1）理解要解决的问题。明确在什么条件下，要 追求什么目标。 （2）定义决策变量。每个问题都用一组决策变量 (x1, x2, …, xn)表示，当这组决策变量取具体值时就 代表一个具体方案，一般这些变量取值是非负的。 （3）用决策变量的线性函数形式写出所要追求的 目标，即目标函数，按问题的不同，要求目标函数 实现最大化或最小化。 （4）用一组决策变量的等式或不等式来表示在解 决问题过程中所必须遵循的约束条件（决策分析中 的自然状态）。
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介
灵敏度分析是研究线性规划的参数(非可控输入)发生 变化对最优解的影响程度
线性规划的参数包括：
• 目标函数系数 • 约束条件右侧值 • 约束条件系数矩阵
最优解中包含的信息：
• 目标函数值 • 决策变量值 • 递减成本(reduced cost) • 松弛/剩余变量
4
3.1 灵敏度分析简介
利用Lingo 软件做灵敏度分析
16
17
利用Excel做灵敏度分析
Microsoft Excel 16.0 敏感性报告 工作表: [数据模型与决策第3章例题.xlsx]第三章例题1 报告的建立: 2021/5/29 10:48:56
可变单元格
单元格 $B$15 $C$15
名称 决策变量值 x1 决策变量值 x2
作者
John Loucks
St. Edward’s University
1
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介 3.2 目标函数系数变化的分析 3.3 约束条件右端值变化的分析 3.4 传统灵敏度分析的局限性
2
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介 3.2 目标函数系数变化的分析 3.3 约束条件右端值变化的分析 3.4 传统灵敏度分析的局限性
6
x1 < 6
2x1 + 3x2 < 19 x1 + x2 < 8
x1, x2 > 0
固定x2的系数7，改变x1 的系数
5
最优解:
Max 14/3x1 + 7x2
4
x1 = 5, x2 = 3
3
Max 7x1 + 7x2
整数线性规划
整数线性规划现在有⼀个⼚家打算⽤集装箱托运甲⼄两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表所⽰：其中，货物甲每箱 5 ⽴⽅⽶，重 200 ⽄，托运⼀箱可获利 2 千元，也就是 20 个百元；货物⼄每箱 4 ⽴⽅⽶，重 500 ⽄，托运⼀箱可获利 1 千元，也就是 10 个百元；由于集装箱的⼤⼩及承载量有限，只能托运不⼤于 24 ⽴⽅⽶且重量不超过 13 个百⽄的货物。
问两种货物各托运多少箱，可使获得利润为最⼤？显然这是⼀个最优化问题，⽬的是获取最⼤利润。
决策变量是托运甲、⼄两种货物的箱数，为此，我们设甲⼄两种货物分别托运x1箱和x2箱，于是⽬标就是求 1和 2，使得20x1 + 10x2最⼤。
注意到托运限制体积是 24 ⽴⽅⽶，因此5x1 + 4x2 ≤ 24；托运限制重量是 13，所以2x1 + 5x2 ≤ 13此外，我们还需要注意到托运的箱数必须⾮负；不仅如此，由于本题托运货物按箱计算，所以x1和x2还必须为整数。
因此本题的数学模型是：⽬标函数20 1 + 10 2取最⼤值，并且它受到 4 个约束条件的限制max\quad z=20x_1+10x_2\\ s.t. \begin{cases} 5x_1+4x_2\le 24\\ 2x_1+5x_2\le 13\\ x_1,x_2\ge 0,x_1,x_2\in Z \end{cases}这个模型和的线性规划⾮常像，唯⼀的区别是增加了对⾃变量是整数的限制，这类规划问题属于整数规划。
决策变量（全部或部分）限制为整数的规划称为整数规划。
整数规划的英⽂翻译是 integer program, 简称 IP。
若在线性模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划，即 ILP。
⽬前所流⾏的求解整数规划的⽅法往往只适⽤于整数线性规划。
整数规划⼜分以下四类：1. 纯整数规划：所有决策变量均要求为整数2. 混合整数规划：部分决策变量要求为整数3. 纯 0－1 规划：所有决策变量均要求为 0 或者 14. 混合 0－1 规划：部分决策变量要求为 0 或者 1整数规划与线性规划不同这处在于增加了整数约束。
第三章整数线性规划
第三章 整数线性规划【教学内容】整数线性规划问题举例、整数线性规划模型及其求解的困难性、可用线性规划求解的整数线性规划问题、求解整数线性规划问题的Gomory 割平面法、求解整数线性规划问题的分枝定界方法、0－1规划问题举例、0－1规划问题的解法、整数线性规划问题的一些例子、用LINGO 软件包求解整数线性规划问题。
【教学要求】要求学生熟悉整数线性规划模型，能熟练地掌握求解整数线性规划问题的Gomory 割平面法和分枝定界方法；熟悉并会求解0－1规划问题，能够建立整数线性规划模型并用软件求解整数线性规划问题。
【教学重点】整数线性规划模型，Gomory 割平面法，分枝定界方法，0－1规划问题。
【教学难点】Gomory 割平面法，分枝定界方法，0－1规划问题的求解。
【教材内容及教学过程】整数线性规划(Integer Linear Programming ，简记为ILP )问题研究的是要求变量取整数值时，在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题，是应用非常广泛的运筹学的一个重要分支。
其中变量只取0或1的整数线性规划问题称为0－1规划。
只要求部分变量取整数值的线性规划称为混合整数线性规划。
整数线性规划与线性规划有着密不可分的关系，它的一些基本算法的设计都是以相应的线性规划的最优解为出发点的。
但是变量取整数值的要求本质上是一种非线性约束，因此解整数线性规划的“困难度”大大超过线性规划，一些著名的“困难”问题都是整数线性规划问题。
本章主要介绍整数线性规划一些基本概念、基本理论、实际背景及常用算法。
第一节 整数线性规划模型§1．1 整数线性规划问题举例例3.1.1[2] 工地上需要长度为m l l l ,,,21 的钢材数分别为m b b b ,,,21 根，取长为l 的原材料进行截取。
已知有n 种截取方案：()12i iimi A a a a =，1,2,,i n =其中，ji a 表示一根原料用第i 种方案可截得长为j l 的钢材的根数（1,2,,i n =，1,2,,j m =），因此 1122i i m mi l a l a l a l +++≤，1,2,,i n =下料问题就是在满足要求：截取长度为m l l l ,,,21 的钢材数分别为m b b b ,,,21 根时，用的原料材根数最少的方案。
最优化理论和方法-第三章 线性规划拓展及应用
数学规划基础
2 1
e1
b
-4 1
c
3
e1
LHY-SMSS-BUAA
树解计算方式的线性代数解释
给定生成树 a点流平衡： d点流平衡： c点流平衡：
(共有 m-1 条弧)
-2 a 5d
2 1
-4
c
3
b
1
e1
b点流平衡：
第 3 章 线性规划：应用及扩展
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
树解计算方式的代数理解 (续)
第 3 章 线性规划：应用及扩展
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
原始网络单纯形法－既约费用系数的更新
新的树解去掉入弧，得两棵子树！
0a
T1
10 d
2 4
?
?
-13 4
c
?
23
3
b -11 与入弧同向桥接T1和T0
rab rab rde 1 2 1
T0 rdc rdc rde 0 2 2
(i, j) 使得
，称之为入弧.
Step 4. 确定出弧：入弧和出弧必形成一个圈. 如果圈中的所 有弧和入弧同向，则最优费用是 -∞，终止算法. 否 则，在与入弧反向的树弧中选一个流值最小的作为出弧.
Step 5. 转轴： 在当前树解中用入弧代替出弧，更新树解，得 新的树解. 转 Step2.
第 3 章 线性规划：应用及扩展
这里选取节点1作为根节点
5
7 个节点 8 条弧！
2
7-1=6 个基变量(树弧)，
6
8-6=2 个非基变量(非树弧) 3
7
第 3 章 线性规划：应用及扩展
4
数学规划基础
整数线性规划理论(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。
整数线性规划理论§1 概论1.1 定义规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
1.3 整数规划特点（i ） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1 原线性规划为 21m inx x z +=0,0,5422121≥≥=+x x x x其最优实数解为：45min ,45,021===z x x 。
LINGO1.lg4 LINGO11.lg4③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
例2 原线性规划为 21m inx x z +=0,0,6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：23min ,23,021===z x x 。
若限制整数得：2m in ,1,121===z x x 。
LINGO2.lg4 LINGO21.lg4（ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.4 求解方法分类：（i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。
（iv ）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
（v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
第三章 线性规划
例 将下列线性规划模型化为标准形式 数 学 模 型 的 标 准 形 式
数 学 模 型 的 标 准 形 式
数 学 模 型 的 标 准 形 式
数 学 模 型 的 标 准 形 式
第1章 线性规划
线性规划的数学模型 线性规划解的定义和图解法 单纯形算法
min Z = ∑ ci xi
i =1
n
(1)
每吨产品的消耗 甲 维生素/kg 设备/台班 30 5 乙 20 1 160 15 每周资源总量
max Z = 5 x1 + 2 x2
线 性 规 划 的 数 学 模 型
maximize
s.t. 30 x1 + 20 x2 ≤ 160 5 x1 + x2 ≤ 15 x1 x1 , x2 ≥ 0. ≤4
a i1 x1 + a i 2 x2 + ... + a in xn ≤ bi
a i1 x1 + a i 2 x2 + ... + a in xn + xn +i = bi , xn +i ≥ 0.
松弛变量
非标准形式化为标准形式 数 学 模 型 的 标 准 形 式
Questions
目标函数中松弛变量的价值系数是多少？
方案 1 长度/m 7 5 4 余料/m 2 0 0 1 1 1 0 3 1 0 2 0 0 3 0 0 0 2 1 1 0 1 2 2 0 0 3 3 2 3 4 5 6 7
min Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 s.t. 2 x1 + x2 + x 3 x2 + 2 x3 3 x4 + 2 x5 + x6 ≥ 120 ≥100 + x5 + 2 x6 + 3 x7 = 100
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背景
• 证券投资：把一定的资金投入到合适的 有价证券上以规避风险并获得最大的利 润。
• 项目投资：财团或银行把资金投入到若 干项目中以获得中长期的收益最大。
案例
• 某财团有 B万元的资金，经出其考察选中 n
个投资项目，每个项目只能投资一个。其
中 年第 后获j个利项c目（j 需j 投1资,2金...,额n）为万b元j万，元问，应预如计何5
割平面法和分枝定界法； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
§3.2 Gomory割平面方法
xij 1,0; i 1,2...,17, j 1,2,3
• 约束
包裹容量限制
必带物品限制 选带物品限制
17
ci xij rj ; j 1,2,3
i 1
3
xij 1;i 1,2...,7
j 1
3
xij 1;i 8,2...,17
j 1
• 目标函数—未带物品购买费用最小
3
1 xij ;i 8,2...,17 j 1
选择项目使得5年后总收益最大？
模型
• 变量—每个项目是否投资
x j 1,0 j 1,2...,n
• 约束—总金额不超过限制
n
bjxj B
j 1
• 目标—总收益最大
n
max c j x j j 1
n
max c j x j j 1
n
s.t. j1 b j x j B
x
j
1,0;
j
1,2...,n
旅游售货员问题
• 背景 • 案例 • 模型
背景
• 旅游线路安排 预定景点走且只走一次 路上时间最短
• 配送线路—货郎担问题 送货地到达一次 总路程最短
案例
• 有一旅行团从 v0 出发要遍游城市
v1, v2 ,..., v，n 已知从 vi到 v的j 旅费
为 cij，问应如何安排行程使总费 用最小？
整数线性规划模型 min cT x s.t. Ax b
x0
xi I , i J 1,2, n
其中xRn,cRn,bRm ,ARmn,I {0,1,2,...} 简称：ILP问题（integer linear programming） 依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整 数规划、混合整数规划、0－1整数规划。
第3章 整数线性规划
➢整数线性规划问题 ➢Gomory割平面方法 ➢分枝定界方法 ➢0-1规划
§3.1 整数线性规划问题
✓引例——建立整数线性规划模型 ✓整数线性规划的数学模型 ✓整数线性规划问题的求解
应用案例
• 投资组合问题 • 旅游售货员问题 • 背包问题
投资组合问题
• 背景 • 实例 • 模型
例 某公司拟建设A、B两种类型的生产基地若干个，两
种类型的生产基地每个占地面积，所需经费，建成后生
产能力及现有资源情况如下表所示。问A、B类型基地各
建设多少个，可使总生产能力最大？
A
B
资源限制
占地（m2） 2000 费用（万元） 5
5000 4
13000 24
生产能力
2000 1000
2 整数线性规划的数学模型
nn
min
cij xij
i0 j0
n
xij 1; i 1,2,..., n j0
s.t. n xij 1; j 1,2,..., n i0 ui u j nxij n 1;1 i j n xij 1,0, i 1,2,..., n, j 1,2,..., n
3 整数线性规划问题的求解
思路1：可否解决相应的线性规划问题，最后舍入到最 近的整数解？
例：设整数规划问题 min z x1 x2 s.t. 14x1 9x2 51 6x1 3x2 1 x1, x2 0且为整数
x2
⑴
min z x1 x2 s.t. 14x1 9x2 51 3
物品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
价格 15 45 100 70 50 75 200 90 20 30
问题分析
• 变量—对每个物品要确定是否带同时要确定
放在哪个包裹里，如果增加一个虚拟的包裹把 不带的物品放在里面，则问题就转化为确定每 个物品放在哪个包裹里。如果直接设变量为每 个物品放在包裹的编号，则每个包裹所含物品 的总容量就很难写成变量的函数。为此我们设 变量为第i个物品是否放在第j个包裹中
模型
• 变量—是否从i第个城市到第j个城市
• 约束
xij 1,0;
每个城市只能到达一次、离开一次
n
xij 1; i 1,2,...n
j0
n
xij 1; j 1,2,...n
i0
• 避免出现断裂
每个点给个位势 点比后点大
除了初始点外要求前
• 目标—总费用最小
nn
cij xij
i0 j0
背包问题
• 背景 • 案例 • 模型
背景
• 邮递包裹 把形状可变的包裹用尽量少的车辆运走
• 旅行背包 容量一定的背包里装尽可能的多的物品
实例
• 某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容 积大小分别为1000毫升、1500毫升和2000毫 升，根据需要列出需带物品清单，其中一些物 品是必带物品共有7件，其体积大小分别为400、 300、150、250、450、760、190、（单位毫 升）。尚有10件可带可不带物品，如果不带将 在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目 的地的价格（单位美元）。这些物品的容量及 价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案 把物品放在三个旅行包里。
6x1 3x2 1 x1, x2 0
⑵
(3/2,10/3)Байду номын сангаас
3
x1
3 整数线性规划问题的求解
思路2：由于纯整数线性规划的可行集合就是一些离散 的格点，可否用穷举的方法寻找最优解？ ☺当格点个数较少时，这种方法可以； 对一般的ILP问题，穷举方法无能为力。
3 整数线性规划问题的求解
目前，常用的求解整数规划的方法有：
17
3
pi (1 xij )
i 8
j 1
模型
17
3
min pi (1 xij )
i8
j 1
17
ci xij rj ; j 1,2,3
i 1
3
xij 1;i 1,2...,7
j 1
3
xij 1;i 8,2...,17
j 1
xij 1,0; i 1,2...,17, j 1,2,3