2019年上海市高二数学上期末试题附答案
2019-2020学年上海市嘉定二中高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市嘉定二中高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．有下列四个命题：①若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=； ②若0n a >，lim n n a A →∞=，则0A >；③若()lim 0n n n a b →∞-=，则lim lim n n n n a b →∞→∞=；④若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=.其中正确命题的个数是（ ） A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】利用极限的性质与运算逐项判断即可 【详解】对①, 若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=±,故错误 对②, 若0n a >，lim n n a A →∞=，则可能0A =；如：1n a n=，A =0,故错误 对③,若()lim 0n n n a b →∞-=，则lim ,lim n n n n a b →∞→∞可能不存在，如n n a n b ==，故错误 对④，若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=，正确 故选：A 【点睛】本题考查极限的运算即性质，考查推理能力，是基础题 2．在下列各式中，正确的是（ ） A.a b a b ⋅=⋅ B.若()a b c ⊥-，则a b a c ⋅=⋅ C.222()a b a b ⋅=⋅ D.若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =【答案】B【解析】由题意结合向量的数量积的运算法则逐一考查所给的选项是否正确即可. 【详解】逐一考查所给的选项：A . cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>，若两向量的夹角不等于0，则a b a b ⋅≠⋅，题中说法错误；B . 若()a b c ⊥-，则()0a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅=，据此可得a b a c ⋅=⋅，题中说法正确；C . 2222()cos ,a b a b a b ⎡⎤⋅=⋅⨯<>⎣⎦，若两向量不共线，则222()a b a b ⋅≠⋅，题中说法错误；D . 若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则cos cos b a b c a c <⋅>=<⋅>，不一定有b c =，题中说法错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的概念，向量的运算法则，向量数量积的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知12,e e 为不共线的非零向量，且12e e =，则以下四个向量中模最大的是（ ） A.121122e e + B.121233e e +C.121344e e +D.122355e e +【答案】C【解析】由题意首先计算选项中所给的向量的平方，然后利用作差法比较大小即可. 【详解】设向量12,e e 的夹角为θ，向量不共线，则1cos 0θ->则原问题等价于考查：2121122e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2121233e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2121344e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2122355e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值，由于：2121111cos 2222e e θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，2121254cos 3399e e θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，21213106cos 441616e e θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，212231312cos 552525e e θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 且：()221212131111cos 044228e e e e θ⎛⎫⎛⎫+-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()221212135451cos 0449972e e e e θ⎛⎫⎛⎫+-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2212121323211cos 04455200e e e e θ⎛⎫⎛⎫+-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 综上可得，所给的四个向量中模最大的是121344e e +. 故选：C. 【点睛】本题主要考查向量的模的计算，等价转化的数学思想，作差法比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．在ABC △，若0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC △的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形D.无法判断【答案】C【解析】由题意结合向量的运算法则逐一考查所给的等式，得到相应的等量关系即可确定△ABC 的形状. 【详解】 由题意可得：()cos cos AB BC B AC BC C AB AC BC AB AC AB AC ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯ ⎪+⋅=+⎪⎝⎭()cos cos BC C B =⨯-，故()cos cos 0BC C B ⨯-=，cos cos ,B C B C ∴==，且：cos 1cos 2AB AC A AB AC A ABACAB AC⨯⨯⋅===⨯，则3A π=， 结合,3B C A π==可知△ABC 为等边三角形.故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题5．线性方程组2132x y x y +=⎧⎨-=-⎩的增广矩阵是___________.【答案】1 2 13 1 2⎛⎫⎪--⎝⎭【解析】由所给的方程组确定方程的增广矩阵即可. 【详解】由线性方程组2132x y x y +=⎧⎨-=-⎩可知其增广矩阵为：1 2 13 1 2⎛⎫⎪--⎝⎭.故答案为：1 2 13 1 2⎛⎫⎪--⎝⎭．【点睛】本题主要考查增广矩阵的含义，属于基础题.6．平面向量(3,4)a =-的单位向量坐标为___________. 【答案】34,55⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】结合所给的向量将其单位化即可确定平面向量的单位向量. 【详解】由所给的向量可知其单位向量为：⎛⎫，即34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查向量的单位化及其计算，属于基础题.7．计算：2221lim 3n n n n n→∞+++=___________.【答案】2【解析】由题意结合极限的运算法则计算其极限即可. 【详解】由题意可得：22211221200limlim233101n n n n n n n n n→∞→∞++++++===+++. 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查极限的运算法则，属于中等题. 8．设向量32a =，2b =，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=___________.【答案】3±【解析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可确定λ的值. 【详解】由题意可得：()()0a b a b λλ+⋅-=，即：2220a b λ-=， 据此有：21820,3λλ-=∴=±. 故答案为：3±． 【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．向量(3,1)a =在(2,1)b =-方向上的射影为___________.【解析】由题意首先求得向量的数量积，然后利用射影的定义即可确定向量的射影. 【详解】由题意可知：()32115a b ⋅=⨯+⨯-=，且41b =+=据此可得向量(3,1)a =在(2,1)b =-方向上的射影为5a b a ⋅==【点睛】本题主要考查平面向量数量积的计算与几何意义，平面向量射影的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．在无穷等比数列{}n a 中，121lim(...)2n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围是___________. 【答案】110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】由题意首先确定公比的范围，然后结合等比数列前n 项和的极限得到1a 关于q 的表达式即可确定首项的范围. 【详解】等比数列的极限存在，则：11q -<<且0q ≠，即()()1,00,1q ∈-.由等比数列的极限有：112lim(...)1n n a a a a q→∞+++=-，则：1111,122a qa q -=∴=-， ()()1,00,1q ∈-，11110,,1222q a -⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和极限的计算，等比数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．已知O 为坐标原点，点(4,2)A ,(6,4)B --,(,1)C x -共线，且OC mOA nOB =+,则mn =___________. 【答案】14【解析】由题意首先利用共线的充分必要条件得到x 的值，然后利用向量的坐标运算法则求得m ，n 的值即可确定mn 的值. 【详解】ABC 三点共线，则：AB BC k k =，即：4214646x ---+=--+，解得：1x =-，即()1,1C --， 结合OC mOA nOB =+有：()()()1,14,26,4m n --=+--，整理可得：461241m n m n -=-⎧⎨-=-⎩，解得：1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故111224mn =⨯=.故答案为：14． 【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，方程的数学思想，平面向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．已知两点()1P 2，-1、()2P 0,5，点P 在12PP 延长线上，且满足1223PP PP =，则P 点的坐标为___________. 【答案】2,73⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】结合向量关系得到关于点的坐标的方程组，求解方程组即可确定点P 的坐标.【详解】由题意可得：1223PP P P=，设点P 的坐标为(),P x y ，则： ()()1222,6,,5PP P P x y =-=-，故：()23635x y -=⎧⎨=-⎩，解得：237x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 则P 点的坐标为2,73⎛⎫-⎪⎝⎭. 故答案为：2,73⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，由向量求解点的坐标的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13．已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_______．【答案】【解析】根据条件,可知BC 为圆O 的直径,因而由直径所对圆心角为可知,.【详解】 由，故三点共线，且是线段中点，故是圆的直径，从而，因此与的夹角为所以答案为【点睛】本题考查了平面向量基本定理及圆的性质,属于基础题.14．如图，在ABC ∆中， D 、E 分别为边BC 、AC 的中点. F 为边AB 上的点，且3AB AF =，若AD xAF y AE =+， ,x y R ∈，则x y +的值为 .【答案】52. 【解析】试题分析：D 为BC的中点，， AD AB BD ∴=+1111113322222222AB AC AB AB AC AF AE AF AE xAF y AE⎛⎫=+-=+=⨯+⨯=+=+ ⎪⎝⎭， 32x ∴=， 1y =， 35122x y ∴+=+=. 【考点】平面向量的基底表示15．如图，在梯形ABCD 中，AB //DC ，AD AB ⊥，122AD DC AB ===，点N 是CD 边上一动点，则AN AB ⋅的最大值为【答案】8【解析】试题分析：由平面向量数量积知识得，||||cos |||||'|||248AN AB AN AB NAB AM AB AM AB ⋅=⋅⋅∠=⋅≤⋅=⨯=【考点】1.平面向量数量积的概念.16．有一列向量{}{}{}1112222:(,),:(,),,:(,)n n n n n a a x y a a x y a a x y ===，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列.已知等差向量列{}n a ，满足13(20,13),(18,15)a a =-=-，那么这列向量{}n a 中模最小的向量的序号n =_______ 【答案】4或5【解析】由题意结合等差向量列的定义首先确定向量{}n a 的坐标表示，然后求解向量的模即可确定最小的向量的序号. 【详解】由题意可得：()()()3118,1520,132,2a a -=---=， 则每一项与前一项的差所得的同一个向量为：()1,1， 结合等差向量列的定义和等差数列通项公式可得：()201121n x n n =-+-⨯=-，()131112n y n n =+-⨯=+，即：()21,12n a n n =-+，这列向量{}n a 的模：(n a n ==考查二次函数()2218585f x x x =-+，当18942x ==时，二次函数有最小值， 则这列向量{}n a 中模最小的向量的序号n =4或5. 故答案为：4或5． 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、解答题17．在四边形ABCD 中，AB ＝(6，1)，BC ＝(x ，y )，CD ＝(－2，－3)，且BC ∥DA . (1)求x 与y 的关系式；(2)若AC ⊥BD ，求x 、y 的值．【答案】（1）0（2）62,31x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩【解析】(1)利用向量的坐标运算求出BC 与DA ，根据向量平行的充要条件可得结果；（2）利用向量的坐标运算求出AC 与BD ，根据向量垂直的充要条件列方程，结合（1）的结论可得结果. 【详解】(1)因为＝＋＋＝(x ＋4，y －2)，所以＝－＝(－x －4，2－y )．又因为∥，＝(x ，y )，所以x (2－y )－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0. (2)由于＝＋＝(x ＋6，y ＋1)，＝＋＝(x －2，y －3)．因为⊥，所以·＝0， 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，所以y 2－2y －3＝0，所以y ＝3或y ＝－1当y ＝3时，x ＝－6，当y ＝－1时，x ＝2，综上可知或【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答. 18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足*11()4n n S a n N =+∈. （1）若1a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 满足21n n b a -=，求123lim(...)n n b b b b →∞++++. 【答案】(1)143a =，14133n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）32. 【解析】(1)由题意首先求得1a 的值，然后将递推关系式转化为关于1,n n a a +的关系式，进而可得数列的通项公式；(2)结合(1)的结论首先求得数列{}n b 的通项公式，然后求解其前n 项和的极限即可. 【详解】(1)递推关系式中，令1n =可得：111114S a a ==+，解得：143a =， 当2n ≥时，结合递推关系式：114n n S a =+，11114n n S a --=+，两式作差可得：11144n n n a a a -=-，整理可得：113n n a a -=-，据此可得数列{}n a 是首项为143a =，公比13q =-的等比数列，则：1114133n n n a a q --⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭；(2)结合(1)的结果可得：()21112141413339n n n n b a ----⎛⎫⎛⎫==⨯-=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则数列{}n b 是首项为43，公比为19的等比数列， 故123lim(...)n n b b b b →∞++++143311219b q ===--. 【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n n n S S a +-=转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .19．在平面直角坐标系中，已知点1(,2)A a ，*1(21,2)()n n n A A n n N +=+∈. （1）若123OA A A ，求a 的值；（2）若1a =，求n OA 的坐标.【答案】（1）52a =；（2）2(,2)n n ； 【解析】(1)由题意首先求得23A A 的值，然后利用向量平行的充分必要条件即可确定实数a 的值；(2)利用题意结合向量的坐标运算和等差数列的通项公式即求得n OA 的坐标.【详解】(1)由题意可得：1(,2)OA a =， 在*1(21,2)()n n n A A n n N +=+∈中令2n =可得：()235,4A A =，由向量平行的充分必要条件有：4250a -⨯=，解得：52a =； (2)设点n A 的坐标为(),n n n A x y ，由题意可得：111,2x y ==，且：()111,n n n n n n A A x x y y +++=--，即：11212n n n n nx x n y y ++-=+⎧⎨-=⎩， 据此可得： ()()()121321n n n x x x x x x x x -=+-+-++-()213521n n =++++-=， ()()()121321n n n y y y y y y y y -=+-+-++-1212222n -=++++ ()12122212n n -⨯-=+=-，即()2,2n n A n ，则()2,2n nOA n =. 【点睛】 本题主要考查平面向量的坐标运算，等差数列的通项公式及其应用，函数与方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．设数列{}n a 的前n 项和n S ，已知11a =，*3(1)()n n S na n n n N =--∈.（1）求证:数列{}n a 为等差数列，并求出其通项公式；（2）设12n n n b a a +=，又12...3n b b b m +++<对一切*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知k 为正整数且2k ≥，数列{}n c 共有2k 项，设121n n a c k =-，又122121111 (82222)k k c c c c --+-++-+-<，求k 的所有可能取值. 【答案】（1）证明见解析；65n a n =-；（2）1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）*215,k k N ≤≤∈；【解析】(1)当2n ≥时，由所给的递推关系式进行作差变形证明后项与前项之差为常数即可证得数列为等差数列，进一步可得数列的通项公式；(2)结合(1)中的通项公式裂项求和，然后结合题意可确定实数m 的取值范围；(3)首先确定数列{}n c 为等差数列，然后结合数列的单调性确定绝对值符号进行求和，得到关于k 的不等式，最后求解关于k 的不等式即可确定实数k 的所有可能取值.【详解】(1)当2n ≥时，11(1)3(2)(1)n n S n a n n --=----，3(1)n n S na n n =--， 两式作差得1(1)(1)6(1)n n n a n a n --=-+-，故16n n a a --=，所以数列{}n a 是公差为6的等差数列，又11a =，所以65n a n =-；(2)由于16n n a a +-=，故1121113n n n n n b a a a a ++⎛⎫==- ⎪⎝⎭.12111111113361n n b b b a a n +⎛⎫⎛⎫+++=-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 显然111361n ⎛⎫-⎪+⎝⎭单调递增，且11lim 136113n n →+∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭， 故133m ≥， 所以19m ≥. (3)65121121n n a n c k k -==--，则{}n c 是公差为60121d k =>-的等差数列， 故当1n k ≤≤时，12n c <; 当12k n k +≤≤时，12n c >， 设数列{}n c 的前n 项和为n T ，于是：()122121221211112222k k k k k k c c c c c c c c c c -++-+-++-+-=+++-+++22k k T T =-，注意到()32121n n nT k -=-，则2261212k k T k T k =-=-，题中的不等式即268121k k <-， 所以00.088815.9216k <≈<<≈<， 所以，k 的所有可取值为215,k k N ≤≤∈.【点睛】本题主要考查等差数列的证明，裂项求和的方法，绝对值型等差数列前n 项和的求解，二次不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
长乐市外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
长乐市外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k ＞5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为（ ）P （K 2＞k ） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.7081.3232.072 2.7063.8415.0246.6357.879 10.828A ．25%B ．75%C ．2.5%D ．97.5%2． 已知在平面直角坐标系xOy 中，点),0(n A -，),0(n B （0>n ）.命题p ：若存在点P 在圆1)1()3(22=-++y x 上，使得2π=∠APB ，则31≤≤n ；命题：函数x xx f 3log 4)(-=在区间 )4,3(内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）A ．)(q p ⌝∧B ．q p ∧C ．q p ∧⌝)(D ．q p ∨⌝)( 3． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x << 4． 已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个5． 函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（ ） A ． C ． D ．时，函数f （x ）的最大值与最小值的和为（ ） A ．a+3 B ．6 C ．2D ．3﹣a6．在二项式的展开式中，含x 4的项的系数是（ ）A ．﹣10B ．10C ．﹣5D ．57． 函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，设(0)a f =，b f =，2(log 8)c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a b c >>C ．c a b <<D ．a c b << 8． 等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15=45，则a 8等于（ ） A．B ．6C．D ．39． 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，]C ．（0，）D ．[，1）10．空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ） A ．（4，1，1） B ．（﹣1，0，5）C ．（4，﹣3，1）D ．（﹣5，3，4）11．“m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的（ ）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．两个随机变量x ，y 的取值表为若x ，y 具有线性相关关系，且y ^＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）A ．x 与y 是正相关B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6C ．随机误差e 的均值为0D ．样本点（3，4.8）的残差为0.65二、填空题13．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若2810810=-S S ，则2016S 的值等于 . 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度. 14．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为 .【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n 项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.15．设曲线y=x n+1（n ∈N *）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+…+a 99的值为 ．16．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ．17．定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>x x e x f e （其 中为自然对数的底数）的解集为 . 18．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为___________．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．三、解答题19．（本小题满分12分）△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知k sin B ＝sin A ＋sin C （k 为正常数），a ＝4c .（1）当k ＝54时，求cos B ；（2）若△ABC面积为3，B＝60°，求k的值．20．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（0，4）；B（﹣3，0），C（1，1）（1）求点C到直线AB的距离；（2）求AB边的高所在直线的方程．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=a n﹣，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上．（1）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．22．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点A南偏西45方向10海里的B处有一艘海难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；（2）若最短时间内两船在C 处相遇，如图，在ABC ∆中，求角B 的正弦值.23．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】已知函数()()2ln 1.f x x mx m R =--∈ （1）当1m =时，求()f x 的单调区间；（2）令()()g x xf x =，区间1522,D e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，e 为自然对数的底数。
上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)
由
由于B在直线 上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图， 的 边长为 ， 分别是 中点，记 ， ，则（）
A. B.
C. D. ，但 的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 分别是 中点，所以根据平面向量的线性运算 可得 ,所以 由 可得 ,故选C.
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
【答案】（1） ；（2） ， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设 分别是直线l和圆C上的动点，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1） 所在的直线方程为 ，圆C的方程为 （2）
【解析】
【详解】（1）直线 设 .
的倾斜角为 ， 反射光线 所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与 垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为 ，请利用行列式求解此方程组.
徐水区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
徐水区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设数集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．2． 如果点P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点是边上的动点，记四面体的体M AB FMC E -积为，多面体的体积为，则（ ）1111]1V BCE ADF -2V =21V V A ．B ．C ．D ．不是定值，随点的变化而变化413121M4． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）A ．1：2：3B ．2：3：4C ．3：2：4D ．3：1：25． 函数y=e cosx （﹣π≤x ≤π）的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．6． 已知三棱锥A ﹣BCO ，OA 、OB 、OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）A．B．或36+C．36﹣D．或36﹣7．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（）A．10个B．15个C．16个D．18个8．已知f（x）=，则“f[f（a）]=1“是“a=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件9．函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣110．若函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0B．0C．﹣2或0D．﹣2或211．（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．D．12．设集合S=|x|x＜﹣1或x＞5}，T={x|a＜x＜a+8}，且S∪T=R，则实数a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜﹣1B．﹣3≤a≤﹣1C．a≤﹣3或a≥﹣1D．a＜﹣3或a＞﹣1二、填空题13．已知复数，则1+z50+z100= ．14．（本小题满分12分）点M（2pt，2pt2）（t为常数，且t≠0）是拋物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l1与l2与C的另外交点分别为P、Q.（1）求证：直线PQ的斜率为－2t；（2）记拋物线的准线与y轴的交点为T，若拋物线在M处的切线过点T，求t的值．15．已知变量x ，y ，满足，则z=log 4（2x+y+4）的最大值为 ．16．已知函数的一条对称轴方程为，则函数的最大值为21()sin cos sin 2f x a x x x =-+6x π=()f x （）A ．1B ．±1CD ．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．17．如图，一船以每小时20km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为 km ．18．若x ，y 满足线性约束条件，则z=2x+4y 的最大值为 ．三、解答题19．已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆过点，直线()2222:10x y C a b a b +=>>12,F F C P ⎛ ⎝1PF 交轴于，且为坐标原点．y Q 22,PF QO O =（1）求椭圆的方程；C （2）设是椭圆上的顶点，过点分别作出直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率M C M ,MA MB ,A B 分别为，且，证明：直线过定点．12,k k 122k k +=AB20．在△ABC中，cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．21．（1）已知f（x）的定义域为[﹣2，1]，求函数f（3x﹣1）的定义域；（2）已知f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，求函数f（x）的定义域．22．斜率为2的直线l经过抛物线的y2=8x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．23．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．24．已知z是复数，若z+2i为实数（i为虚数单位），且z﹣4为纯虚数．（1）求复数z；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．徐水区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，∴根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是=．故选：C．2．【答案】D【解析】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．【点评】本题考查了象限角的三角函数符号，属于基础题．3．【答案】B【解析】考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．4．【答案】D【解析】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，则球的体积V球=圆柱的体积V圆柱=2πR3圆锥的体积V圆锥=故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：：=3：1：2故选D【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．5．【答案】C【解析】解：函数f（x）=e cosx（x∈[﹣π，π]）∴f（﹣x）=e cos（﹣x）=e cosx=f（x），函数是偶函数，排除B、D选项．令t=cosx，则t=cosx当0≤x≤π时递减，而y=e t单调递增，由复合函数的单调性知函数y=e cosx在（0，π）递减，所以C选项符合，故选：C．【点评】本题考查函数的图象的判断，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．6．【答案】D【解析】【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：或．故选D7．【答案】B【解析】解：a※b=12，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，所以满足条件的个数为4+11=15个．故选B8．【答案】B【解析】解：当a=1，则f（a）=f（1）=0，则f（0）=0+1=1，则必要性成立，若x≤0，若f（x）=1，则2x+1=1，则x=0，若x＞0，若f（x）=1，则x2﹣1=1，则x=，即若f[f（a）]=1，则f（a）=0或，若a＞0，则由f（a）=0或1得a2﹣1=0或a2﹣1=，即a2=1或a2=+1，解得a=1或a=，若a≤0，则由f（a）=0或1得2a+1=0或2a+1=，即a=﹣，此时充分性不成立，即“f[f（a）]=1“是“a=1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据分段函数的表达式解方程即可． 9．【答案】D【解析】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选D．10．【答案】D【解析】解：由题意：函数f（x）=2sin（ωx+φ），∵f（+x）=f（﹣x），可知函数的对称轴为x==，根据三角函数的性质可知，当x=时，函数取得最大值或者最小值．∴f（）=2或﹣2故选D．11．【答案】C【解析】解：不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，即（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立若m+1=0，显然不成立若m+1≠0，则 解得a ．故选C ．【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需．12．【答案】A【解析】解：∵S=|x|x ＜﹣1或x ＞5}，T={x|a ＜x ＜a+8}，且S ∪T=R ，∴，解得：﹣3＜a ＜﹣1．故选：A ． 二、填空题13．【答案】 i ．【解析】解：复数，所以z 2=i ，又i 2=﹣1，所以1+z 50+z 100=1+i 25+i 50=1+i ﹣1=i ；故答案为：i ．【点评】本题考查了虚数单位i 的性质运用；注意i 2=﹣1． 14．【答案】【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为k ，其方程为y －2pt 2＝k （x －2pt ）．①将①与拋物线x 2＝2py 联立得，x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2），∴k PQ ＝＝－2t ，2p （－k －t ）2－2p （k －t ）22p（－k －t ）－2p （k －t ）即直线PQ 的斜率为－2t .（2）由y ＝得y ′＝，x 22p x p∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝＝2t .2pt p其切线方程为y －2pt 2＝2t （x －2pt ），又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0，－）．p 2∴－－2pt 2＝2t （－2pt ）．p 2解得t ＝±，即t 的值为±.121215．【答案】 【解析】解：作的可行域如图：易知可行域为一个三角形，验证知在点A （1，2）时，z 1=2x+y+4取得最大值8，∴z=log 4（2x+y+4）最大是，故答案为：．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 16．【答案】A 【解析】17．【答案】 【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，在△ABC中，根据正弦定理得：BC==海里，则这时船与灯塔的距离为海里．故答案为．18．【答案】 38 ．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（3，8），此时z=2×3+4×8=6+32=32，故答案为：38三、解答题19．【答案】（1）；（2）证明见解析.2212x y +=【解析】试题解析：（1），∴，∴，22PF QO =212PF F F ⊥1c =，2222221121,1a b c b a b+==+=+∴，221,2b a ==即；2212x y +=（2）设方程为代入椭圆方程AB y kx b =+，，22212102k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭22221,1122A B A B kb b x x x x k k --+==++A ，∴，11,A B MA MB A B y y k k x x --==()112A B A B A B A B MA MB A B A By x x y x x y y k k x x x x +-+--+=+==A ∴代入得：所以， 直线必过．11k b =+y kx b =+1y kx k =+-()1,1--考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．20．【答案】【解析】（本题满分为12分）解：（1）∵cos2A ﹣3cos （B+C ）﹣1=0．∴2cos 2A+3cosA ﹣2=0，…2分∴解得：cosA=，或﹣2（舍去），…4分又∵0＜A ＜π，∴A=…6分（2）∵a=2RsinA=，…又∵a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=b 2+c 2﹣bc ≥bc ，∴bc ≤3，当且仅当b=c 时取等号，…∴S △ABC =bcsinA=bc ≤，∴三角形面积的最大值为． … 21．【答案】【解析】解：（1）∵函数y=f （x ）的定义域为[﹣2，1]，由﹣2≤3x ﹣1≤1得：x ∈[﹣，]，故函数y=f （3x ﹣1）的定义域为[﹣，]；’（2）∵函数f （2x+5）的定义域为[﹣1，4]，∴x∈[﹣1，4]，∴2x+5∈[3，13]，故函数f（x）的定义域为：[3，13]．22．【答案】【解析】解：设直线l的倾斜解为α，则l与y轴的夹角θ=90°﹣α，cotθ=tanα=2，∴sinθ=，|AB|==40．线段AB的长为40．【点评】本题考查抛物线的焦点弦的求法，解题时要注意公式|AB|=的灵活运用．23．【答案】【解析】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．24．【答案】【解析】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R）．由z+2i=x+（y+2）i为实数，得y+2=0，即y=﹣2．由z﹣4=（x﹣4）+yi为纯虚数，得x=4．∴z=4﹣2i．（2）∵（z+mi）2=（﹣m2+4m+12）+8（m﹣2）i，根据条件，可知 解得﹣2＜m＜2，∴实数m的取值范围是（﹣2，2）．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，属于基础题． 。
上海市进才2019 2020学年高二数学上学期10月月考试题(含解析)
【解析】
【分析】
(1)当 时，写出 ， ， ，结合 ，利用待定系数法即可求解；
(2)将 表示为坐标形式，建立方程组，得到 ，根据 的取值，即可判断.
【详解】(1)当 时， ， ，
因为 ，所以
则 ，解得： ，
(2)因为
所以
则 ，得到
当 时，等式 不成立
所以
因为 ，所以 的值不唯一，即 ， 的值不唯一
16.设 、 、 、…、 是平面上给定的2019个不同点，则使 成立的点M的个数为（ ）
A.0B.1C.5D.无数个
【答案】B
【解析】
【分析】
将 、 、 、…、 、 表示为坐标，利用向量的坐标运算，即可求解.
【详解】在平面坐标系内，是 ， ， ， ， 。因为
所以
解得 ，
因为 、 、 、…、 给定，则 固定，所以 只有一个
则 ，解得： 或
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量的模长以及数量积、向量的夹角的求法，属于中等题.
8.已知平面内三点A、B、C满足 ， ， ，则 的值为________.
【答案】
【解析】
分析】
由勾股定理得到 ，从而得到 ，利用向量 运算法则及向量的运算律求出值..
【详解】
,即
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面பைடு நூலகம்量的数量积以及向量的运算法则，属于基础题.
【详解】(1)
,得到
同理可得： ，
则
即三角形 是正三角形
(2)
由于 、 、…、 为单位向量，则n边形 内接于半径为 的圆
表示n边形 的周长
当 时， 为半径为1的圆的周长
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
【沪科版】高中数学必修三期末试卷(附答案)(2)
一、选择题1．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）A ．518B ．13C ．718D ．492．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．163．在一个棱长为3cm 的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为1cm 的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（） A ．49B ．827C ．29D ．1274．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则满足()()22lg 2lg 3lg x y x y +=+的概率为（ ）A ．18B ．14C ．13D ．125．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为( )A ．34B ．78C ．1516D ．31326．在如图算法框图中，若6a =，程序运行的结果S 为二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）A ．3k <B ．3k >C ．4k <D ．4k >7．执行如图所示的程序框图，若输人的n 值为2019，则S ＝A ．B ．C ．D ．8．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．9-B ．16-C ．25-D ．36-9．工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为=50+80x ，下列判断不正确的是（ ）A ．劳动生产率为1000元时，工资约为130元B ．工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系C ．劳动生产率提高1000元时，则工资约提高130元D ．当月工资为210元时，劳动生产率约为2000元 10．①45化为二进制数为(2)101101；②一个总体含有1000个个体（编号为0000，0001，…，0999），采用系统抽样从中抽取一个容量为50的样本，若第一个抽取的编号为0008，则第六个编号为0128；③已知a ，b ，c 为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，其中3a =，4c =,6A π=，则这样的三角形有两个解.以上说法正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．某校高中三个年级共有学生1050人，其中高一年级300人，高二年级350人，高三年级400人.现要从全体高中学生中通过分层抽样抽取一个容量为42的样本，那么应从高三年级学生中抽取的人数为 A ．12B ．14C ．16D ．1812．已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下： 月份1 2 3 4 5 广告投入（x 万元） 9.5 9.3 9.1 8.9 9.7 利润（y 万元）9289898793由此所得回归方程为7.5ˆyx a =+，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（ ） A ．97万元B ．96.5万元C ．95.25万元D ．97.25万元二、填空题13．掷一颗骰子，向上的点数第一次记为x ，第二次记为y ，则()2log 3x y +=的概率________．14．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.15．在区间[]0,2中随机地取出一个数x ，则sin6x π>的概率是__________．16．我国元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没有壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，问一开始输入的x =______斗.遇店添一倍，逢友饮一斗，意思是碰到酒店就把壶里的酒加1倍，碰到朋友就把壶里的酒喝一斗，店友经三处，意思是每次都是遇到店后又遇到朋友，一共是3次．17．如图所示的伪代码，最后输出的S 值为__________．18．右图程序框图的运行结果是____________________19．已知数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，且()()()222123222x x x -+-+-()2102170x ++-=，则数据1x ，2x ，…，10x 的平均数是________. 20．已知由样本数据集合(){}11,1,2,3,...,x y i n =，求得的回归直线方程为1.2308ˆ.0y x =+，且ˆ4x =，若去掉两个数据点 (4.1，5.7）和(3.9，4.3）后重新求得的回归直线方程l 的斜率估计值为1.2，则此回归直线l 的方程为_______.三、解答题21．某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的物理成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后得到如图频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计众数和中位数；（2）用分层抽样的方法从[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，求这两人的分数至少一人落在[50,60)的概率.22．在一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，从中任取3支.求（1）恰有1支一等品的概率； （2）恰有两支一等品的概率； （3）没有三等品的概率.23．以下给出了求1234+++的一个算法，按照逐一相加的程序进行： 第一步：计算12+，得到3；第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6； 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10. 请设计一个求12345⨯⨯⨯⨯的一个算法.24．图是求239111112222S =+++++的一个程序框图． (1)在程序框图的①处填上适当的语句； (2)写出相应的程序．25．随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x （亿元与科技升级直接收益y （亿元）的数据统计如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 y1322314250565868.56867.56666当017x <≤时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：ˆ 4.111.8yx =+；模型②：ˆ21.314.4yx =；当17x >时，确定y 与x 满足的线性回归方程为ˆ0.7y x a =-+． （1）根据下列表格中的数据，比较当017x <≤时模型①、②的相关指数2R 的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．（附：刻画回归效果的相关指数()()22121ˆ1ni i i nii y yR y y ==-=--∑∑ 4.1≈）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．（附：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数：()()()1122211ˆn ni iiii i nni i i i x y nx y x x y y bx nx x x ====-⋅--==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-） （3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X 大幅提高，经实际试验得X 大致服从正态分布()20.52,0.01N ．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励，求()E Y （精确到0.01）． （附：若随机变量()2~,(0)X N μσσ>，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=）26．现有某高新技术企业年研发费用投入x（百万元）与企业年利润y （百万元）之间具有线性相关关系，近5年的年科研费用和年利润具体数据如下表： （1）画出散点图；（2）求y 对x 的回归直线方程；（3）如果该企业某年研发费用投入8百万元，预测该企业获得年利润为多少？参考公式：用最小二乘法求回归方程ˆˆˆybx a =+的系数ˆˆ,a b 计算公式： 1221ˆˆˆ·,ni ii nii x y nx y bay bx xnx ==-==--∑∑【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形，其面积为112112S =⨯⨯=，巧板④的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .2．C解析：C 【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解． 【详解】联立2y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S =正方形，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A）3123120021)()|33x dx x x ==-⎰13=． 所以P （A ）1()1313OBCAS A S ===正方形． 故选：C ． 【点睛】本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．C解析：C 【分析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，所以所求概率为62279=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答根据几何体的结构特征，得出基本事件的总数和所求事件所包含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4．B解析：B 【分析】 先化简()()22lg 2lg 3lg x yx y +=+，得到x y =或2x y =.利用列举法和古典概型概率计算公式可计算出所求的概率. 【详解】 由22320xxy y ，有()()20x y x y --=，得x y =或2x y =，则满足条件的(),x y 为()1,1，()2,2，()3,3，()4,4，()5,5，()6,6，()2,1，()4,2，()6,3，所求概率为91364p == ．故选B. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查列举法求得古典概型概率有关问题，属于基础题.5．B解析：B 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算输入时变量x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得到答案. 【详解】本题由于已知输出时x 的值，因此可以逆向求解： 输出0x =,此时4i =； 上一步：1210,2x x -==,此时3i =； 上一步：1321,24x x -==,此时2i =； 上一步：3721,48x x -==,此时1i =； 故选：B . 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题.6．C解析：C 【分析】根据二项式（2+x ）5展开式的通项公式，求出x 3的系数，模拟程序的运行，可得判断框内的条件． 【详解】∵二项式5(2)x +展开式的通项公式是5152r r r r T C x -+=⋅⋅,令3r =，3233152T C x +∴=⋅⋅，332356(4)21408x x C x∴⨯⋅⋅=，∴程序运行的结果S 为120， 模拟程序的运行，由题意可得 k=6，S=1不满足判断框内的条件，执行循环体，S=6，k=5 不满足判断框内的条件，执行循环体，S=30，k=4 不满足判断框内的条件，执行循环体，S=120，k=3此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为120． 故判断框中应填入的关于k 的判断条件是k ＜4？ 故选：C【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于中档题．7．B解析：B 【分析】根据程序框图可知，当时结束计算，此时.【详解】计算过程如下表所示：周期为6 n 2019k 1 2 (2018)2019S…k<n 是是是是否【点睛】本题考查程序框图，选用表格计算更加直观，此题关键在于判断何时循环结束.8．D解析：D 【分析】执行循环结构的程序框图，逐次运算，根据判断条件终止循环，即可得到运算结果，得到答案. 【详解】由题意，执行循环结构的程序框图，可知：第一次运行时，1(1)11,0(1)1,3T S n =-=-=+-=-=•；第二次运行时，3(1)33,1(3)4,5T S n =-=-=-+-=-=•； 第三次运行时，5(1)55,4(5)9,7T S n =-=-=-+-=-=•； 第四次运行时，7(1)77,9(7)16,9T S n =-=-=-+-=-=•； 第五次运行时，9(1)99,16(9)25,11T S n =-=-=-+-=-=•； 第六次运行时，11(1)1111,25(11)36T S =-=-=-+-=-•， 此时刚好满足9n >，所以输出S 的值为36-.故选D. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中熟练应用给定的程序框图，逐次运算，根据判断条件，终止循环得到结果是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．C解析：C 【解析】试题分析：根据线性回归方程=50+80x 的意义，对选项中的命题进行分析、判断即可． 解：根据线性回归方程为=50+80x ，得；劳动生产率为1000元时，工资约为50+80×1=130元，A 正确； ∵=80＞0，∴工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系，B 正确；劳动生产率提高1000元时，工资约提高=80元，C 错误；当月工资为210元时，210=50+80x ，解得x=2， 此时劳动生产率约为2000元，D 正确． 故选C ．考点：线性回归方程．10．C解析：C 【解析】分析：①根据进位制的互化可得结果；②根据系统抽样的性质可得结论；③由正弦定理可得结论.详解：①45222...1÷=，22211...0÷=，112 5...1÷=，52 2...1÷=，22 1...0÷=，120...1÷=，故()()10245101101=，①正确;②因为1000个个题抽取50个样本，∴每个样本编号间隔为20，第六个编号为8205108+⨯=，即编号为0108，故②错误；③由正弦定理可得342,1sin 32sinC C ==，,c a C >∴∠可能是锐角，也可能是钝角，三角形有两个解，③正确,故选C.点睛：本题主要考查进位制、正弦定理的应用，分层抽样的应用，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.11．C解析：C 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在高三年级中抽取的人数. 【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为421105020=，则在高三年级抽取的人数是14001625⨯=人， 故选C. 【点睛】该题所考查的是有关分层抽样的问题，在解题的过程中，需要明确无论采用哪种抽样方法，都必须保证每个个体被抽到的概率是相等的，所以注意成比例的问题.12．C解析：C 【解析】 【分析】首先求出x y ，的平均数，将样本中心点代入回归方程中求出a 的值，然后写出回归方程，然后将10x =代入求解即可 【详解】()19.59.39.18.99.79.35x =⨯++++=()19289898793905y =⨯++++=代入到回归方程为7.5ˆy x a =+，解得20.25a = 7.25ˆ50.2yx ∴=+ 将10x =代入7.50.5ˆ22yx =+，解得ˆ95.25y = 故选C 【点睛】本题是一道关于线性回归方程的题目，解答本题的关键是求出线性回归方程，属于基础题。
(沪教版2020选修二)2022年上海高二数学同步讲义-第6章 计数原理(典型题专练)(教师版)
第6章 计数原理典型题专练一、单选题1．（2019·上海嘉定·高二期末）已知n ，*m N ∈，n m ≥，下面哪一个等式是恒成立的（ ）A ．!!mn n C m =B ．!()!A mn n n m =-C ．111m m m n n n C C C --++= D ．111m m m n n n C C C -+++=【答案】B【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.【详解】由组合数的定义可知()!!!mn n C m n m =-，A 选项错误；由排列数的定义可知()!!mn A n n m =-，B 选项正确；由组合数的性质可知111r r r n n n C C C ++++=，则C 、D 选项均错误.故选B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.2．（2021·上海·高二专题练习）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为( ) A ．240种 B ．120种 C ．96种 D ．480种【答案】A【分析】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘即可得答案．【详解】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有2510C =种可能，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有4424A =种可能，所以不同的分法种数为1024240⨯=种，故选A.【点睛】本题考查排列组合与分步计数原理，属于一般题．3．（2019·上海松江·高二期末）如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是A ．36B ．64C ．80D ．96【答案】C【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形..【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.4．（2018·上海中学高三阶段练习）现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种【答案】D【分析】将原图从上而下的4个区域标为1、2、3、4，分类讨论1、4同色与不同色这两种情况，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果. 【详解】将原图从上而下的4个区域标为1、2、3、4，因为1、2、3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1、4同色与不同色这两种情况.①若1、4同色，则区域1、4有4种选择，区域2有3种选择，区域3有2种选择，由分步乘法计数原理可知，此时共有43224⨯⨯=种涂色方法；②若1、4不同色，则区域1有4种选择，区域4有3种选择，区域2有2种选择，区域3只有1种选择，此时共有432124⨯⨯⨯=种涂色方法. 故不同的着色方法种数为242448+=.故选：D.【点睛】本题考查涂色问题，涉及分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.5．（2020·上海市七宝中学高二阶段练习）某个比赛安排4名志愿者完成6项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式有多少种（ ） A ．7200种 B ．4800种 C ．2640种 D ．1560种【答案】D【分析】分两类，第一类，4人完成的工作数是3，1，1，1，第二类，4人完成的工作数是2，2，1，1，再将工作分组，进行分配即可. 【详解】由题意，分两类：第一类，当4人完成的工作数是3，1，1，1时，首先将6项工作分成4组，一组3项，另外三组各1项，共有3111632133C C C C A 种不同方式，再分配给4个人共311146321433480C C C C A A = 种不同方式；第二类，当4人完成的工作数是2，2，1，1时，首先将6项工作分成4组，两组2项，另外两组各1项，共有221164212222C C C C A A 种不同方式，再分配给4个人共221146421422221080C C C C A A A = 种不同方式；综上，共有1560种不同安排方式. 故选：D【点睛】本题考查排列与组合的综合应用问题，涉及到部分均匀分组问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.6．（2021·上海·高二专题练习）若m 是小于10的正整数，则()()()151620m m m ---等于（ ） A ．515m P - B ．1520mm P --C ．520m P -D ．620m P -【答案】D【分析】利用排列数的定义可得出正确选项. 【详解】()()()()()()()()()()1231415162020!1516201231414!m m m m m m m m m m ⋅⋅--------==⋅⋅--()()20!206!m m -=--⎡⎤⎣⎦，由排列数的定义可得()()()620151620m m m m P ----=.故选D.【点睛】本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题7．（2020·上海·高三专题练习）现有某病毒记作m n X Y 其中正整数m 、n （7,9m n ≤≤）可以任意选取，则m 、n 都取到奇数的概率为_____ 【答案】2063【详解】∵07m <≤，09n <≤，且m 、n N *∈，基本事件的总数是7963⨯=种，m 、n 都取到奇数的事件有4520⨯=种，由古典概型公式，m 、n 都取到奇数的概率为2063. 【考点定位】考查奇数、偶数的定义，古典概型.注意古典概型与几何概型的区别.容易题.8．（2019·上海松江·高二期末）若552x C C =，则实数x =________.【答案】2或3【分析】根据组合数的性质得解.【详解】由组合数的性质得2x =或25x +=， 所以2x =或 3.x =【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题.9．（2019·上海市延安中学高二期末）540的不同正约数共有______个． 【答案】24【分析】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯，然后利用约数和定理可得出540的不同正约数个数.【详解】将540进行质因数分解为23540235=⨯⨯， 因此，540的不同正约数共有()()()12131124+⨯+⨯+=. 故答案为：24.【点睛】本题考查合数的正约数个数的计算，一般将合数质因数分解，并利用约数和定理进行计算，也可以采用列举法，考查计算能力，属于中等题.10．（2021·上海·高二专题练习）()41+x 的展开式中2x 的系数为________________． 【答案】6【分析】在二项展开式的通项中令x 的指数为2，求出参数值，然后代入通项可得出结果. 【详解】()41+x 的展开式的通项为414rrr T C x-+=⋅，令422r r -=⇒=，因此，()41+x 的展开式中2x 的系数为246C =. 故答案为：6.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.11．（2022·上海·高三专题练习）设常数a R ∈，若25()a x x+的二项展开式中7x 项的系数为-10，则=a ________． 【答案】-2【详解】试题分析：∵25()a x x+的展开式的通项为102103155()r rr r r r r a T C xC a x x--+==，令1037r -=，得1r =，∴7x 的系数是155aC a =，∵7x 项的系数为-10，∴510a =-，得2a =-.考点：二项式定理.12．（2019·上海市七宝中学高三开学考试）若二项式6a (x )x+展开式的常项数为20，则a =______． 【答案】1【分析】利用二项式展开的通项公式1r T +，令其指数为0，可得出r ，再写出常数项，得到a 的值．【详解】解：二项式6()a x x+展开式的通项公式：662166()r r r r r r r aT x a x x--+==，令620r -=，解得3r =．∴常项数为33620a =，则1a =．故答案为1．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13．（2019·上海市川沙中学高二期末）在6(2x二项式展开式中，第五项为________. 【答案】60【分析】根据二项式()na b +的通项公式1r n r rr n T C a b -+=求解.【详解】二项式62x⎛⎝的展开式的通项公式为：()366621662=2rr rrr r r T C x C x---+= ， 令4r =，则364422416260T C x-⨯+==，故第五项为60.【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，注意1r T +是第1r +项.14．（2020·上海市大同中学高三阶段练习）在报名的2名男教师和4名女教师中，选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）. 【答案】16【分析】分两种情况讨论，两男一女和两女一男，然后利用分类计算原理可得出选取的方法种数.【详解】由题意可知，所选的3人中应为两男一女和两女一男，由分类计数原理可知，不同的选取方式的种数为2112242416C C C C +=.故答案为16.【点睛】本题考分类计数原理的应用，对问题合理进行分类讨论是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.15．（2019·上海市延安中学高二期末）不等式46n n C C >的解为n =______．【答案】6或7或8或9【分析】利用组合数公式得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围，即可得出正整数n 的取值.【详解】46n n C C >，由组合数公式得()()!4!4!6!6!n n n n >--！，得()()4!6!6!4!n n -<-，整理得()()4530n n --<，即29100n n --<，解得110n -<<，由题意可知6n ≥且n *∈N ，因此，不等式46n n C C >的解为6n =或7或8或9.故答案为：6或7或8或9.【点睛】本题考查组合不等式的求解，解题的关键就是利用组合数公式列出不等式，考查运算求解能力，属于中等题.16．（2021·上海中学高二阶段练习）计算：103237n nn n C C -+++=________（用数值作答）【答案】46【分析】由已知，1001023037n n n n n -≥⎧⎪-≤+⎨⎪≤≤+⎩，解不等式组可得3n =，再代入原式计算即可.【详解】由已知，1001023037n n n n n -≥⎧⎪-≤+⎨⎪≤≤+⎩，解得7732n ≤≤，又n N ∈，所以3n =，所以10379237910361046n n n n C C C C -+++=+=+=.故答案为：46【点睛】本题考查组合数公式的计算，要注意题目中隐含的条件，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.17．（2020·上海市行知中学高二阶段练习）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.18．（2019·上海交大附中高三期末）已知()()()()()23n2012111...+1...*n n x x x x a a x a x a x n N +++++++=++++∈，且012126n a a a a +++⋯+=，那么n的展开式中的常数项为______．【答案】-20【分析】由题意令x ＝1，可得n ＝6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．【详解】∵已知()()()()()232*0121111nn n x x x x a a x a x a x n N ++++++⋯++=+++⋯+∈，且012126n a a a a +++⋯+=，∴令1x =，可得()210122122222212612n nn n a a a a +-+++⋯+=++⋯+==-=-，∴6n =，那么6n=的展开式的通项公式为()3161r rr r T C x -+=⋅-⋅， 令30r -=，求得3r =，可得展开式中的常数项为3620C -=-，故答案为﹣20．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．19．（2019·上海市七宝中学三模）求值：1220192019201920192019124(2)C C C -+-⋅⋅⋅+-=________【答案】1-【分析】根据二项式定理展开式配凑，即可求出． 【详解】1220192019201920192019124(2)C C C -+-⋅⋅⋅+-()()()()12201902019120182201720190201920192019201912121212C C C C =⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-()2019121=-=-．故答案为1-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生对二项展开式的理解．20．（2019·上海市延安中学高二期末）计算：01220181232019C C C C ++++=______．【答案】2039190【分析】将01C 变为02C ，然后利用组合数性质111k k k n n n C C C ++++=即可计算出所求代数式的值.【详解】()111,,1k k k n n n C C C n N k N k n ++*++=∈∈≤+，012201801220181220182018123201922320193320192020C C C C C C C C C C C C ∴++++=++++=+++=2039190=.故答案为：2039190.【点睛】本题考查组合数的计算，利用组合数的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.21．（2020·上海市七宝中学高三阶段练习）已知()402401234123x a a x a x a x +=++++，若数列1a 、2a 、、()141,k a k k N ≤≤∈是一个单调递增数列，则k 的最大值为____.【答案】17【分析】先由展开式通项求得k a ，根据11k k kk a a a a -+≥⎧⎨≥⎩可得k a 最大，由此求得k 的最大值.【详解】()402401234123x a a x a x a x +=++++，展开式通项为()4040140403232kk k kk k k k T C x C x --+=⋅⋅=⋅⋅⋅，14114032k k k k a C ---∴=⋅⋅， 由于数列1a 、2a 、、()141,k a k k N ≤≤∈是一个单调递增数列，11k k k k a a a a -+≥⎧∴⎨≥⎩，即141124224040141140404032323232k k k k k k k k k k k kC C C C ----------⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩，解得828755k ≤≤， 因此，k 的最大值为17. 故答案为：17.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查项的系数最大值的求法，属于中档题． 22．（2022·上海·高三专题练习）已知正项等比数列{}n a 中，3123a a a =，42563a =，用{}x 表示实数x 的小数部分，如{}1.50.5=，{}2.40.4=，记{}n n b a =，则数列{}n b 的前15项的和15S 为______.【答案】5【分析】通过3123a a a =和42563a =可计算出数列{}n a 的通项公式43n n a =，即()31433n n +=，由二项式定理结合题意可得13n b =，进而可得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由3123a a a =得22113a q a q =，则13q a =，由42563a =和425633q =，解得4q =，143a =，则1143nn n a a q -==.由()()11111213141113333333333nnn n n n n n n n n n C C C C -----+==++++=++++，13n b ∴=，则1511553S=⨯=，故答案为：5.【点睛】本题主要考查了等比数列中基本量的计算，二项式定理的应用，对新定义的理解是解题的关键，属于中档题.23．（2021·上海·高二专题练习）如图，我们在第一行填写整数0到()1n n ≥，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在Pasoal 三角（杨辉三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是______.012311352148n n n --【答案】12n n -⋅【分析】将数阵倒置，记第m 行第()11k k m n ≤≤≤+个数为km T ，由此可得出所求的数为11T ，且有性质111k k k m m m T T T +++=+并且11k n T k +=-，通过112122T T T =+结合规律111k k k m m m T T T +++=+逐项推导得出1011211111n n n n n n n n T C T C T C T ++++=+++，利用组合数公式以及二项式定理可得出结果.【详解】将数阵倒置，计第m 行第()11k k m n ≤≤≤+个数为km T ，则倒置后的数阵为：11122212333312311111n n n n n T T T T T T T T T T +++++则有111k k k m m m T T T +++=+，且有11kn T k +=-. 11201121221212T T T C T C T =+=+，()()11212230112231223333232323T T T T T T T C T C T C T =+=+++=++，()()()11231223340112233413334444443434343422T T T T T T T T T T C T C T C T C T =++=+++++=+++.依此类推10112111110nn n kn n n n n n n k T C TC TC TC k ++++==+++=⋅∑， ()()()()()()111!!!!!1!!1!!kk n n n n n kC k n nC k n k k n k k n k ---=⋅==⋅=-----， 因此，()11111101112nnn kk n nn k k T C k n C n n ----===⋅==⋅+=⋅∑∑.故答案为12n n -⋅.【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键在于找出一般规律并借助二项式定理进行计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于难题.24．（2021·上海·高二专题练习）对任意正整数i ，设函数()414034log 2i f x x i =-⋅的零点为i a ，数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，则使得n S 能被2n +整除的正整数n 的个数是________． 【答案】0【分析】要求零点，应先把函数()i f x 解析式中的对数化为相同底数，再求函数的零点可得2017i x a i ==，进而写出数列{}n a 的前n 项和201720172017123n S n =++++，用二项式定理和整除思想说明2017n 不能被2n +整除即可。
上海市普陀区教育学院附属中学2019年高二数学文联考试题含解析
上海市普陀区教育学院附属中学2019年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．1参考答案：A略2. 数列的一个通项公式是( )A. B. C. D.参考答案：BD略4. 如右图所示的程序框图,输出的结果的值为( )A.0B.1C.D.参考答案：A5. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（）．A．B．C．D．参考答案：D设圆心，∴，，∴，∴，整理得．故选．6. 集合，则M∩N等于（）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：集合，,，，故选B.考点：指数函数、对数函数的性质及集合的运算.7. 设是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：C略8. 如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=(x＞0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（）A．ln2 B．1﹣ln2 C．2﹣ln2 D．1+ln2参考答案：D【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】阴影部分E由两部分组成，矩形部分用长乘以宽计算，曲边梯形的面积，利用定积分计算．【解答】解：由题意，阴影部分E由两部分组成因为函数，当y=2时，x=，所以阴影部分E的面积为+=1+=1+ln2故选D．9. 数列满足，且，则= （）A.10 B．11 C．12 D．13参考答案：B10. 设函数，记则（）A. B.C. D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在三角形ABC中，若A=60°，AB=4，AC=1，D是BC的中点，则AD的长为 .参考答案：12. 已知的展开式中的常数项是＿＿＿＿（用数字作答）；参考答案：1513. 已知双曲线=1（a＞b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x2=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出①及=2c②，求出a=b，即可得双曲线的离心率．【解答】解：∵右顶点为A，∴A（a，0），∵F为抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，∴F（0，），∵|FA|=c，∴①抛物线的准线方程为y=﹣，代入双曲线的方程得x=±，∴=2c②，由①②，得=2c，即c2=2a2，∵c2=a2+b2，∴a=b，∴双曲线的离心率为．故答案为：．【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．14. 已知i为虚数单位，复数在复平面内对应的点关于原点对称，且，则.参考答案：－2－3i由题意得复数对应的点为（2，-3），它关于原点的对称点为（-2,3），故，所以．15. 如图的程序，当输入A=2,B=10，程序运行后输出的结果为。
学易金卷：段考模拟君之2019学年高二理科数学上学期期末原创卷04(考试版)
高二理科数学试题 第1页（共6页） 高二理科数学试题 第2页（共6页）绝密★启用前|学科网试题命制中心2018-2019学年上学期期末原创卷04高二理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教必修3+选修2-1。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需的时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为 A ．分层抽样，简单随机抽样 B ．简单随机抽样，分层抽样 C ．分层抽样，系统抽样D ．简单随机抽样，系统抽样2．若点(1,2)P --在抛物线y =ax 2(a ∈R ,a ≠0)的准线上，则实数a 的值为 A ．8B ．18C ．4D ．143．用秦九韶算法计算多项式6532()25238103,4f x x x x x x x =++-+-=-时，4v 的值为 A ．92B ．1529C ．602D ．148-4．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数4, 5.6x y ==，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是 A ．0.44y x =+B ． 1.20.7y x =+C ．0.68y x =-+D ．0.78.2y x =-+5．已知命题p :方程22153x y k k+=+-表示椭圆，命题q :-5<k <3，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是 A ．34B ．23C ．12D ．137．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与x 2+(y -2)2=1没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1,+∞)D ．(2,+∞)8．有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计,通过分层抽样抽取一些样本进行数据分析,如果在区间[2,4)内抽取2个样本,那么在区间[10,12)内应抽取的样本个数为A ．2B ．4C ．6D ．99．2018年平昌冬季奥运会于2月9日~2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P ，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟在长为8，宽为5的长方形内随机取了N 个点，经统计，落入五环及其内部的点数为，圆环半径为1，则比值的近似值为A ．325πnNB ．32πnNC ．8πnND ．5π32nN。
2019-2020学年上海市浦东新区陆行中学高二数学文上学期期末试卷含解析
2019-2020学年上海市浦东新区陆行中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x的值为()A．29 B．31 C．32 D．33参考答案：C2. 已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，?的值为( )A．2 B．C．D．3参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算；简单线性规划．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin=，=此时cosα=，?==．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．3. 在中,分别为内角的对边，且则等于A．30°B．45°C．60°D．120°参考答案：D结合余弦定理，得，可求出。
解：由得：，，则=120°。
故选D。
考点：余弦定理．点评：本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础试题4. 设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（﹣1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使，则直线AB的斜率k=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】由题意可得直线AB的方程 y﹣0=k （x+1），k＞0，代入抛物线y2=4x化简求得x1+x2和x1?x2，进而得到y1+y2和y1?y2，由，解方程求得k的值．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），直线AB的方程 y﹣0=k （x+1），k＞0．代入抛物线y2=4x化简可得 k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1?x2=1．∴y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=+2k=，y1?y2=k2（x1+x2+x1?x2+1）=4．又=（x1﹣1，y1）?（x2﹣1，y2）=x1?x2﹣（x1+x2）+1+y1?y2=8﹣，∴k=，故选：B．5. 已知数列的前项积为，且满足，若，则为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据题意，求出前5项，确定数列是以4为周期的数列，求出前4项的乘积，即可求出结果.【详解】因为，，所以，所以，所以，所以，所以数列以为周期，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查周期数列的应用，会根据递推公式推出数列的周期即可，属于常考题型.6. “”是“” 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B7. 已知函数y=f（x）（x∈R）上任一点（x0，f（x0））处的切线斜率k=（x0﹣2）（x0+1）2，则函数f（x）的极值点的个数（）A．0个B．1个C．两个D．三个参考答案：B【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可知函数的导函数为（x0﹣2）（x0+1）2 ，求出函数的单调区间，求出函数的极值点的个数即可．【解答】解：由题意可知函数的导函数为f′（x）=（x0﹣2）（x0+1）2，令f′（x）＞0，解得：x＞2，∴f（x）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f（x）在极小值是f（2），故函数f（x）的极值点的个数是1个，故选：B．【点评】此题主要考查函数导函数的性质及函数的单调性，考查函数的极值点，是一道基础题．8. 设实数x，y满足，则的取值范围为( ) A．B．C．D．参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合．【分析】画出可行域，将目标函数变形，赋予几何意义，是可行域中的点与点（0，0）连线的斜率，由图求出取值范围，从而求出所求即可．【解答】解：画出可行域：设k=表示可行域中的点与点（0，0）连线的斜率，由图知k∈[，2]∴∈[，2]∴=k﹣取值范围为故选：D【点评】本题考查画出可行域、关键将目标函数通过分离参数变形，赋予其几何意义、考查数形结合的数学思想方法，属于基础题．9. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．参考答案：A【考点】等差数列的性质．【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．10. 设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB、BC、CA 的距离分别为d1、d2、d3，则有d1＋d2＋d3为定值a；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d1、d2、d3、d4，则有d1＋d2＋d3＋d4为定值 ( )．A． B． C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有种（用数字作答）；参考答案：14012. 一物体沿着直线以v = 2 t + 3 ( t的单位：s, v的单位：m/s)的速度运动，那么该物体在3~5s间行进的路程是米。
上海市嘉定二中2019_2020学年高二数学上学期10月月考试题(含解析)
上海市嘉定二中2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）一、填空题（每题5分，一共60分）：1.线性方程组2132x y x y +=⎧⎨-=-⎩的增广矩阵是___________.【答案】1 2 13 1 2⎛⎫⎪--⎝⎭【解析】 【分析】由所给的方程组确定方程的增广矩阵即可. 【详解】由线性方程组2132x y x y +=⎧⎨-=-⎩可知其增广矩阵为：1 2 13 1 2⎛⎫⎪--⎝⎭.故答案：1 2 13 1 2⎛⎫⎪--⎝⎭．【点睛】本题主要考查增广矩阵的含义，属于基础题.2.平面向量(3,4)a =-r的单位向量坐标为___________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】结合所给的向量将其单位化即可确定平面向量的单位向量.【详解】由所给的向量可知其单位向量为：⎛⎫，即34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查向量的单位化及其计算，属于基础题.3.计算：2221lim 3n n n n n→∞+++=___________.【答案】2 【解析】 【分析】由题意结合极限的运算法则计算其极限即可.【详解】由题意可得：22211221200limlim 233101n n n n n n n n n→∞→∞++++++===+++. 故答案为：2．【点睛】本题主要考查极限的运算法则，属于中等题.4.设向量a =r b =r ()()a b a b λλ+⊥-r r r r，则实数λ=___________.【答案】3± 【解析】 【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可确定λ的值.【详解】由题意可得：()()0a b a b λλ+⋅-=r r r r ，即：2220a b λ-=r r ，据此有：21820,3λλ-=∴=±. 故答案为：3±．【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.向量(3,1)a =r 在(2,1)b r=-方向上的射影为___________.【解析】 【分析】由题意首先求得向量的数量积，然后利用射影的定义即可确定向量的射影.【详解】由题意可知：()32115a b ⋅=⨯+⨯-=r r，且b ==r 据此可得向量(3,1)a =r 在(2,1)b r=-方向上的射影为a b a⋅==r r r【点睛】本题主要考查平面向量数量积的计算与几何意义，平面向量射影的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.在无穷等比数列{}n a 中，121lim(...)2n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围是___________. 【答案】110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】由题意首先确定公比的范围，然后结合等比数列前n 项和的极限得到1a 关于q 的表达式即可确定首项的范围.【详解】等比数列的极限存在，则：11q -<<且0q ≠，即()()1,00,1q ∈-U . 由等比数列的极限有：112lim(...)1n n a a a a q→∞+++=-， 则：1111,122a qa q -=∴=-， ()()1,00,1q ∈-Q U ，11110,,1222q a -⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和极限的计算，等比数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知O 为坐标原点，点(4,2)A ,(6,4)B --,(,1)C x -共线，且OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r,则mn =___________.【答案】14【解析】 【分析】由题意首先利用共线的充分必要条件得到x 的值，然后利用向量的坐标运算法则求得m ，n 的值即可确定mn 的值.【详解】ABC 三点共线，则：AB BC k k =，即：4214646x ---+=--+，解得：1x =-，即()1,1C --，结合OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r有：()()()1,14,26,4m n --=+--，整理可得：461241m n m n -=-⎧⎨-=-⎩，解得：1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故111224mn =⨯=.故答案为：14． 【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，方程的数学思想，平面向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知两点()1P 2，-1、()2P 0,5，点P 在12PP 延长线上，且满足1223PP PP =u u u u r u u u u r，则P 点的坐标为___________. 【答案】2,73⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】结合向量关系得到关于点的坐标的方程组，求解方程组即可确定点P 的坐标.【详解】由题意可得：1223PP P P =u u u u r u u u r，设点P 的坐标为(),P x y ，则： ()()1222,6,,5PP P P x y =-=-u u u u r u u u r ，故：()23635x y -=⎧⎨=-⎩，解得：237x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 则P 点的坐标为2,73⎛⎫-⎪⎝⎭. 故答案为：2,73⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，由向量求解点的坐标的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为_______．【答案】90o【解析】 【分析】根据条件,可知BC 为圆O 的直径,因而由直径所对圆心角为90︒可知,AB AC ⊥.【详解】由1+2AO AB AC =u u u r u u u r u u u r（），故,,O B C 三点共线，且O 是线段BC 中点，故BC 是圆O 的直径，从而090BAC ∠=，因此AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为090所以答案为90︒【点睛】本题考查了平面向量基本定理及圆的性质,属于基础题.10.如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点.F 为边AB 上的点，且3AB AF =u u u r u u u r，若AD x AF y AE =+u u u r u u u r u u u r，,x y R ∈，则x y +的值为 .【答案】52. 【解析】试题分析：D Q 为BC 的中点，，AD AB BD∴=+u u u r u u u r u u u r 1111113322222222AB AC AB AB AC AF AE AF AE xAF y AE⎛⎫=+-=+=⨯+⨯=+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，32x ∴=，1y =，35122x y ∴+=+=. 考点：平面向量的基底表示11.如图，在梯形ABCD 中，AB //DC ，AD AB ⊥，122AD DC AB ===，点N 是CD 边上一动点，则AN AB ⋅u u u r u u u r的最大值为 ．【答案】8 【解析】 试题分析：由平面向量数量积知识得，cos '248AN AB AN AB NAB AM AB AM AB ⋅=⋅⋅∠=⋅≤⋅=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u r u u u r考点：1.平面向量数量积的概念.12.有一列向量{}{}{}1112222:(,),:(,),,:(,)n n n n n a a x y a a x y a a x y ===u u r u r u u r u u r u u r u u rL ，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列.已知等差向量列{}n a u u r ，满足13(20,13),(18,15)a a =-=-u r u u r，那么这列向量{}n a u u r 中模最小的向量的序号n =_______【答案】4或5 【解析】 【分析】由题意结合等差向量列的定义首先确定向量{}n a u u r的坐标表示，然后求解向量的模即可确定最小的向量的序号.【详解】由题意可得：()()()3118,1520,132,2a a -=---=u u r u r，则每一项与前一项的差所得的同一个向量为：()1,1， 结合等差向量列的定义和等差数列通项公式可得：()201121n x n n =-+-⨯=-，()131112n y n n =+-⨯=+，即：()21,12n a n n =-+u u r，这列向量{}n a u u r 的模：n a ==u u r考查二次函数()2218585f x x x =-+，当18942x ==时，二次函数有最小值， 则这列向量{}n a u u r中模最小的向量的序号n =4或5.故答案为：4或5．【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 二、选择题（每题5分，一共20分）：13.有下列四个命题：①若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=； ②若0n a >，lim n n a A →∞=，则0A >；③若()lim 0n n n a b →∞-=，则lim lim n n n n a b →∞→∞=；④若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=.其中正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A 【解析】 【分析】利用极限的性质与运算逐项判断即可【详解】对①, 若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=±,故错误 对②, 若0n a >，lim n n a A →∞=，则可能0A =；如：1n a n=，A =0,故错误 对③,若()lim 0n n n a b →∞-=，则lim ,lim n n n n a b →∞→∞可能不存在，如n n a n b ==，故错误 对④，若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=，正确 故选：A【点睛】本题考查极限的运算即性质，考查推理能力，是基础题 14.在下列各式中，正确的是（ ）A. a b a b ⋅=⋅r r r rB. 若()a b c ⊥-r r r ，则a b a c ⋅=⋅r r r rC. 222()a b a b ⋅=⋅r r r r D. 若a b a c ⋅=⋅r r r r ，且0a ≠r ，则b c =r r【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合向量的数量积的运算法则逐一考查所给的选项是否正确即可. 【详解】逐一考查所给的选项：A . cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>r r r r r r ，若两向量的夹角不等于0o，则a b a b ⋅≠⋅r r r r，题中说法错误；B . 若()a b c ⊥-r r r ，则()0a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅=r r r r r r r ，据此可得a b a c ⋅=⋅r r r r，题中说法正确；C . 2222()cos ,a b a b a b ⎡⎤⋅=⋅⨯<>⎣⎦r r r r r r，若两向量不共线，则222()a b a b ⋅≠⋅r r r r ，题中说法错误；D . 若a b a c ⋅=⋅r r r r ，且0a ≠r，则cos cos b a b c a c <⋅>=<⋅>r r r r r r ，不一定有b c =r r ，题中说法错误. 故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的概念，向量的运算法则，向量数量积的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已知12,e e u r u u r为不共线的非零向量，且12e e =u r u u r ，则以下四个向量中模最大的是（ ） A. 121122e e +ur u u rB. 121233e e +ur u u rC. 121344e e +ur u u rD.122355e e +ur u u r 【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先计算选项中所给的向量的平方，然后利用作差法比较大小即可.【详解】设向量12,e e u r u u r的夹角为θ，向量不共线，则1cos 0θ->则原问题等价于考查：2121122e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u r u u r ，2121233e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u r u u r ， 2121344e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u r u u r ，2122355e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u r u u r 的最大值，由于：2121111cos 2222e e θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭u r u u r ，2121254cos 3399e e θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭u r u u r ，21213106cos 441616e e θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭u r u u r ，212231312cos 552525e e θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭u r u u r ， 且：()221212131111cos 044228e e e e θ⎛⎫⎛⎫+-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r u u r u r u u r ，()221212135451cos 0449972e e e e θ⎛⎫⎛⎫+-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ur u u r u r u u r ，()2212121323211cos 04455200e e e e θ⎛⎫⎛⎫+-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ur u u r u r u u r ， 综上可得，所给的四个向量中模最大的是121344e e +ur u u r .故选：C.【点睛】本题主要考查向量的模的计算，等价转化的数学思想，作差法比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.在ABC △，若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，且12AB AC AB AC ⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r ，则ABC △的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 无法判断【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合向量的运算法则逐一考查所给的等式，得到相应的等量关系即可确定△ABC 的形状.【详解】由题意可得：()cos cos AB BC B AC BC C AB AC BC AB ACAB AC ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()cos cos BC C B =⨯-u u u r ，故()cos cos 0BC C B ⨯-=u u u r，cos cos ,B C B C ∴==，且：cos 1cos 2AB AC A AB AC A AB AC AB AC⨯⨯⋅===⨯u u u r u u u r u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r u u u r ，则3A π=， 结合,3B C A π==可知△ABC 为等边三角形.故选： C.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题（14+16+18+22=70分）：17.在四边形ABCD 中，AB u u u r ＝(6，1)，BC uuu r ＝(x ，y )，CD uuu r ＝(－2，－3)，且BC uuu r ∥DA uuu r. (1)求x 与y 的关系式；(2)若AC u u u r ⊥BD u u u r，求x 、y 的值．【答案】（1）0（2）62,31x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩【解析】 【分析】(1)利用向量的坐标运算求出BC uuu v 与DA u u u v，根据向量平行的充要条件可得结果；（2）利用向量的坐标运算求出AC u u u v 与BD u u u v，根据向量垂直的充要条件列方程，结合（1）的结论可得结果. 【详解】(1)因为＝＋＋＝(x ＋4，y －2)，所以＝－＝(－x －4，2－y )．又因为∥，＝(x ，y )，所以x (2－y )－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0. (2)由于＝＋＝(x ＋6，y ＋1)，＝＋＝(x －2，y －3)．因为⊥，所以·＝0， 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，所以y 2－2y －3＝0，所以y ＝3或y ＝－1 当y ＝3时，x ＝－6，当y ＝－1时，x ＝2，综上可知或【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答. 18.已知数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足*11()4n n S a n N =+∈.（1）若1a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 满足21n n b a -=，求123lim(...)n n b b b b →∞++++. 【答案】(1)143a =，14133n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）32. 【解析】【分析】(1)由题意首先求得1a 的值，然后将递推关系式转化为关于1,n n a a +的关系式，进而可得数列的通项公式；(2)结合(1)的结论首先求得数列{}n b 的通项公式，然后求解其前n 项和的极限即可. 【详解】(1)递推关系式中，令1n =可得：111114S a a ==+，解得：143a =， 当2n ≥时，结合递推关系式：114n n S a =+，11114n n S a --=+， 两式作差可得：11144n n n a a a -=-，整理可得：113n n a a -=-， 据此可得数列{}n a 是首项为143a =，公比13q =-的等比数列，则：1114133n n n a a q --⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭；(2)结合(1)的结果可得：()21112141413339n n n n b a ----⎛⎫⎛⎫==⨯-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则数列{}n b 是首项为43，公比为19的等比数列， 故123lim(...)n n b b b b →∞++++143311219b q ===--. 【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n n n S S a +-=转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .19.在平面直角坐标系中，已知点1(,2)A a ，*1(21,2)()n n n A A n n N +=+∈u u u u u u r .（1）若123OA A A u u u r u u u u r P ，求a 的值；（2）若1a =，求n OA u u u u r 的坐标.【答案】（1）52a =；（2）2(,2)n n ； 【解析】【分析】 (1)由题意首先求得23A A u u u u r 的值，然后利用向量平行的充分必要条件即可确定实数a 的值；(2)利用题意结合向量的坐标运算和等差数列的通项公式即求得n OA u u u u r的坐标. 【详解】(1)由题意可得：1(,2)OA a =u u u r ， 在*1(21,2)()n n n A A n n N +=+∈u u u u u u r 中令2n =可得：()235,4A A =u u u u r ，由向量平行的充分必要条件有：4250a -⨯=，解得：52a =； (2)设点n A 的坐标为(),n n n A x y ，由题意可得：111,2x y ==，且：()111,n n n n n n A A x x y y +++=--u u u u u u r ，即：11212n n n n nx x n y y ++-=+⎧⎨-=⎩， 据此可得：()()()121321n n n x x x x x x x x -=+-+-++-L ()213521n n =++++-=L ， ()()()121321n n n y y y y y y y y -=+-+-++-L 1212222n -=++++L()12122212n n -⨯-=+=-， 即()2,2n n A n ，则()2,2n n OA n =u u u u r .【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，等差数列的通项公式及其应用，函数与方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.设数列{}n a 前n 项和n S ，已知11a =，*3(1)()n n S na n n n N =--∈.（1）求证:数列{}n a 为等差数列，并求出其通项公式；（2）设12n n n b a a +=，又12...3n b b b m +++<对一切*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围； （3）已知k 为正整数且2k ≥，数列{}n c 共有2k 项，设121n n a c k =-，又122121111 (82222)k k c c c c --+-++-+-<，求k 的所有可能取值. 【答案】（1）证明见解析；65n a n =-；（2）1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）*215,k k N ≤≤∈；【解析】【分析】(1)当2n ≥时，由所给的递推关系式进行作差变形证明后项与前项之差为常数即可证得数列为等差数列，进一步可得数列的通项公式；(2)结合(1)中的通项公式裂项求和，然后结合题意可确定实数m 的取值范围；(3)首先确定数列{}n c 为等差数列，然后结合数列的单调性确定绝对值符号进行求和，得到关于k 的不等式，最后求解关于k 的不等式即可确定实数k 的所有可能取值.【详解】(1)当2n ≥时，11(1)3(2)(1)n n S n a n n --=----，3(1)n n S na n n =--， 两式作差得1(1)(1)6(1)n n n a n a n --=-+-，故16n n a a --=，所以数列{}n a 是公差为6的等差数列，又11a =，所以65n a n =-；(2)由于16n n a a +-=，故1121113n n n n n b a a a a ++⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 12111111113361n n b b b a a n +⎛⎫⎛⎫+++=-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭L ， 显然111361n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭单调递增，且11lim 136113n n →+∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭， 故133m ≥， 所以19m ≥. (3)65121121n n a n c k k -==--，则{}n c 是公差为60121d k =>-的等差数列， 故当1n k ≤≤时，12n c <;当12k n k +≤≤时，12n c >， 设数列{}n c 的前n 项和为n T ，于是：()122121221211112222k k k k k k c c c c c c c c c c -++-+-++-+-=+++-+++L L L 22k k T T =-，注意到()32121n n n T k -=-，则2261212k k T k T k =-=-，题中的不等式即268121k k <-，所以00.088815.9216k <≈<<+≈<， 所以，k 的所有可取值为215,k k N ≤≤∈.【点睛】本题主要考查等差数列的证明，裂项求和的方法，绝对值型等差数列前n 项和的求解，二次不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一.填空题1．（3分）函数y＝log（5﹣x）的定义域为．2．（3分）函数y＝x2+1（x≤﹣1）的反函数为．3．（3分）已知log23＝a，试用a表示log912＝．4．（3分）幂函数（a，m∈N）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则a+m＝．5．（3分）函数的递增区间为．6．（3分）方程的解是．7．（3分）已知关于x的方程x2+kx+k2+k﹣4＝0有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为．8．（3分）若函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．9．（3分）已知的反函数为f﹣1（x），当x∈[﹣3，5]时，函数F（x）＝f﹣1（x﹣1）+1的最大值为M，最小值为m，则M+m＝．10．（3分）对于函数f（x），若对于任意的a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）＝是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是．11．（3分）若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|＝m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为．12．（3分）已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．二.选择题13．（3分）若命题甲：x﹣1＝0，命题乙：lg2x﹣lgx＝0，则命题甲是命题乙的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分也非必要条件14．（3分）下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y＝x﹣2C．y＝|log2x|D．15．（3分）设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≤f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值．这些命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．316．（3分）已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f （x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）三.解答题17．已知函数f（x）＝4x﹣a•2x+1+1．（1）若a＝1，解方程：f（x）＝4；（2）若f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围．18．已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数．（1）求a的值；（2）设集合，B＝{x|f（x）+log2（x﹣1）＜m}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本＝固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）＝，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数y＝f（x）的解析式（利润＝销售收入﹣总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20．若函数f（x）满足：对于其定义域D内的任何一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数f（x）在D上封闭．（1）若下列函数的定义域为D＝（0，1），试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．f1（x）＝2x﹣1，f2（x）＝2x﹣1．（2）若函数g（x）＝的定义域为（1，2），是否存在实数a，使得g（x）在其定义域（1，2）上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．若x0∈D且f（f（x0））＝x0，求证：f（x0）＝x0．21．已知函数，其中a∈R．（1）若a＝﹣1，解不等式；（2）设a＞0，，若对任意的t∈[，2]，函数g（x）在区间[t，t+2]上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a的取值范围；（3）已知函数y＝f（x）存在反函数，其反函数记为y＝f﹣1（x），若关于x的不等式f﹣1（4﹣a）≤f（x）+|2x﹣a2|在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）函数y＝log（5﹣x）的定义域为（﹣∞，5）．【分析】由对数式的真数大于0求解x的范围得答案．【解答】解：由5﹣x＞0，得x＜5．∴函数y＝log（5﹣x）的定义域为（﹣∞，5）．故答案为：（﹣∞，5）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．2．（3分）函数y＝x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2）．【分析】由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．【解答】解：由y＝x2+1（x≤﹣1），得x2＝y﹣1，∴x＝（y≥2），x，y互换得：（x≥2），∴函数y＝x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2），故答案为：（x≥2）．【点评】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．3．（3分）已知log23＝a，试用a表示log912＝．【分析】利用换底公式以及对数的运算性质即可求解．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题主要考查了对数的运算性质以及换底公式，是基础题．4．（3分）幂函数（a，m∈N）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则a+m＝3．【分析】先利用幂函数的定义和单调性求出a的值和m的范围，再结合偶函数确定m的值，即可求出结果．【解答】解：∵幂函数（a，m∈N），在（0，+∞）上是减函数，∴a﹣1＝1，且m2﹣2m﹣3＜0，∴a＝2，﹣1＜m＜3，又∵m∈N，∴m＝0，1，2，又∵幂函数f（x）为偶函数，∴m＝1，∴a+m＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了幂函数的性质，是基础题．5．（3分）函数的递增区间为（1，+∞）．【分析】先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数y＝log3（x2﹣x）的单调递增区间．【解答】解：函数y＝log3（x2﹣x）的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），令t＝x2﹣x，则y＝log3t，∵y＝log3t为增函数，t＝x2﹣x在（﹣∞，0）上为减函数；在（1，+∞）为增函数，∴函数y＝log3（x2﹣x）的单调递增区间为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键，本题易忽略真数大于零．6．（3分）方程的解是x＝1．【分析】利用对数运算性质解方程．【解答】解：∵log2（9x﹣5）＝log2（3x﹣2）+2＝log2[4（3x﹣2）]，∴9x﹣5＝4（3x﹣2），令3x＝t，则t2﹣4t+3＝0，解得t＝1或t＝3．由式子有意义可知，解得3x＞，即t，∴t＝3．∴x＝1．故答案为：x＝1．【点评】本题考查了对数的运算性质，换元法解题思想，属于基础题．7．（3分）已知关于x的方程x2+kx+k2+k﹣4＝0有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为（﹣3，0）．【分析】设函数f（x）＝x2+kx+k2+k﹣4，由题意可得f（2）＜0，解得k的取值范围．【解答】解：令f（x）＝x2+kx+k2+k﹣4，由题意可得f（2）＜0，即：22+2k+k2+k﹣4＜0，整理：k2+3k＜0，解得：﹣3＜k＜0，所以实数k的取值范围为（﹣3，0）；故答案为：（﹣3，0）．【点评】考查方程的根的分布，属于基础题．8．（3分）若函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，2]．【分析】当x≤2时，检验满足f（x）≥4．当x＞2时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．【解答】解：由于函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）＝6﹣x≥4．①若a＞1，f（x）＝3+log a x在它的定义域上单调递增，当x＞2时，由f（x）＝3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2．②若0＜a＜1，f（x）＝3+log a x在它的定义域上单调递减，f（x）＝3+log a x＜3+log a2＜3，不满足f（x）的值域是[4，+∞）．综上可得，1＜a≤2，故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．9．（3分）已知的反函数为f﹣1（x），当x∈[﹣3，5]时，函数F（x）＝f﹣1（x﹣1）+1的最大值为M，最小值为m，则M+m＝2．【分析】由题意可得换元可得f（t）为奇函数在[﹣4，4]上，所以f﹣1（t）也是奇函数，且值域为[﹣4，4]，F（x）为对称中心为（0，1）的函数且值域为[﹣3，5]，【解答】解：由题意可得f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）＝﹣f（x），即函数f（x）在R上为奇函数，当x∈[﹣3，5]，令t＝x﹣1∈[﹣4，4]，则f（x﹣1）＝f（t）＝（3t﹣3﹣t）为奇函数且单调递增所以反函数f﹣1（t）也是单调递增的奇函数，所以F（x）＝f﹣1（t）是y＝f﹣1（t）向上平行移动1个单位也为单调递增，对称中心（0，1），由互为反函数的性质可得M+m＝﹣3+5＝2，故答案为：2【点评】考查换元法求函数的定义域，及互为反函数的性质，属于中档题．10．（3分）对于函数f（x），若对于任意的a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）＝是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是[，2]．【分析】因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k的取值范围．【解答】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）＝＝1+，①当t﹣1＝0，f（x）＝1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1＝t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故实数t的取值范围是[，2]，故答案为：[，2]【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．11．（3分）若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|＝m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为（6，）．【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．【解答】解：当x≥时，5x﹣≥0，∵方程（4x+）﹣|5x﹣|＝m，∴（4x+）﹣（5x﹣）＝m，即﹣x+＝m；∴m≤．当0＜x＜时，5x﹣＜0，∵方程（4x+）﹣|5x﹣|＝m，∴（4x+）+（5x﹣）＝m，即9x+＝m；∵9x+≥6；∴当m＜6时，方程9x+＝m无解；当m＝6时，方程9x+＝m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程9x+＝m在（0，1）上有两个解；当m＝10时，方程9x+＝m的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为（6，）．故答案为：（6，）．【点评】本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．12．（3分）已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．【分析】可求得，，根据题意f（x）max≤g （x）min（x＞﹣2），由此得到，解该不等式即可求得实数k的取值范围．【解答】解：对函数f（x），当x≤1时，；当x＞1时，，∴f（x）在（﹣2，+∞）上的最大值；对函数g（x），函数g（x）若有最小值，则a＝0，即，当x∈（﹣2，0）∪（0，+∞）时，，易知函数；又对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），∴f（x）max≤g（x）min（x＞﹣2），即，∴，∴，即实数k的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．二.选择题13．（3分）若命题甲：x﹣1＝0，命题乙：lg2x﹣lgx＝0，则命题甲是命题乙的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分也非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：若命题甲：x﹣1＝0，命题乙：lg2x﹣lgx＝0，①若命题甲：x﹣1＝0，则x＝1，lg2x﹣lgx＝lg21﹣lg1＝0，则命题甲：x﹣1＝0，能推出命题乙：lg2x﹣lgx＝0，成立；②若命题乙：lg2x﹣lgx＝0，则lgx（lgx﹣1）＝0，所以lgx＝0或lgx＝1，即x＝1或x＝10；命题乙：lg2x﹣lgx＝0，不能推出命题甲：x﹣1＝0成立，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断．命题甲是命题乙的充分非必要条件；故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14．（3分）下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y＝x﹣2C．y＝|log2x|D．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．函数为偶函数，当x＞0时，f（x）＝，为减函数，不满足条件．B．函数为偶函数，当x≥0时，f（x）为减函数，不满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．D．函数为偶函数且在区间（0，+∞）上为增函数，满足条件故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．比较基础．15．（3分）设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≤f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值．这些命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值判断出各命题的真假．【解答】解：①错．原因：M不一定是函数值，可能“＝”不能取到．因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值所以②③对故选：C．【点评】本题考查函数的最大值的定义并利用最值的定义判断命题的真假．16．（3分）已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f （x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）【分析】由{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}可得f（0）＝0，从而求得m＝0；从而化简f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，从而讨论求得【解答】解：设x1∈{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}，∴f（x1）＝f（f（x1））＝0，∴f（0）＝0，即f（0）＝m＝0，故m＝0；故f（x）＝x2+nx，f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，当n＝0时，成立；当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n＝0的根，故△＝n2﹣4n＜0，解得：0＜n＜4；综上所述，0≤n+m＜4；故选：A．【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题三.解答题17．已知函数f（x）＝4x﹣a•2x+1+1．（1）若a＝1，解方程：f（x）＝4；（2）若f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入f（x）中，然后根据f（x）＝4，求出2x的值，再解出x即可；（2）令t＝2x，则由f（x）＝0可得t2﹣2at+1＝0，再根据t的范围求出a的范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝4x﹣2•2x+1．∵f（x）＝4，∴4x﹣2•2x+1＝4，∴2x＝3或2x＝﹣1（舍），∴x＝log23．（2）当x∈[﹣1，1]时，令t＝2x，则，∴由f（x）＝0，得t2﹣2at+1＝0，∴．∵在上单调递减，在[1，2]上单调递增，∴当x＝1时，；当x＝2或时，，∴，∴．【点评】本题考查了指数方程的解法和根据函数的零点求参数的范围，考查了整体思想和转化思想，属中档题．18．已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数．（1）求a的值；（2）设集合，B＝{x|f（x）+log2（x﹣1）＜m}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据f（x）的图象关于原点对称，得f（x）是奇函数，由f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，解得a的值即可．（2）先解分式不等式，求得集合A；由于A∩B≠∅，所以B有解，解得集合B；再根据集合的关系求得m的取值范围即可．【解答】解：（1）∵函数的图象关于原点对称，其中a为常数．∴＝﹣＝，∴，解得a＝±1．当a＝1时，＝＝﹣1，与条件矛盾，舍去．∴a＝﹣1；（2）∵集合解不等式得A＝{x|3≤x＜7}．由（1）知，f（x）+log2（x﹣1）＝log2+log2（x﹣1）＜m；∴，且A∩B≠∅，解得1＜x＜2m﹣1；由于A∩B≠∅，所以2m﹣1＞3，解得，m＞2．故m的取值范围是（2，+∞）．【点评】本题考查了奇函数的定义，分式不等式的解法，根据交集运算求参数取值范围，考查了运算求解能力，属于中档题．19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本＝固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）＝，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数y＝f（x）的解析式（利润＝销售收入﹣总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？【分析】（1）先求得P（x），再由f（x）＝Q（x）﹣P（x），由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到．【解答】解：（1）由题意得P（x）＝12+10x，…（1分）则f（x）＝Q（x）﹣P（x）＝即为f（x）＝…（4分）（2）当x＞16时，函数f（x）递减，即有f（x）＜f（16）＝212﹣160＝52万元…6 分当0≤x≤16时，函数f（x）＝﹣0.5x2+12x﹣12＝﹣0.5（x﹣12）2+60，当x＝12时，f（x）有最大值60万元．…9 分所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．…10 分【点评】本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，正确求出分段函数式，求出各段的最值是解题的关键，属于中档题．20．若函数f（x）满足：对于其定义域D内的任何一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数f（x）在D上封闭．（1）若下列函数的定义域为D＝（0，1），试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．f1（x）＝2x﹣1，f2（x）＝2x﹣1．（2）若函数g（x）＝的定义域为（1，2），是否存在实数a，使得g（x）在其定义域（1，2）上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．若x0∈D且f（f（x0））＝x0，求证：f（x0）＝x0．【分析】（1）根据定义域，求得函数的定义域，利用新定义，即可得到结论；（2）分类讨论，确定函数的单调性，建立不等式组，可求a的值．（3）函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增，根据单调函数性质f（x0）∈D，则有唯一的x0∈D，由此能证明f（x0）＝x0．【解答】解：（1）在f1（x）＝2x﹣1中，对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f1（x0）∈（﹣1，1）∉D1，故函数f1（x）＝2x﹣1在D1上不封闭；在f2（x）＝2x﹣1中，2x﹣1∈（0，1），在D1上封闭．（2）g（x）＝的定义域为（1，2），对称中心为（﹣2，5），当a+10＞0时，函数g（x）＝在D2上为增函数，只需，解得a＝2当a+10＜0时，函数g（x）＝在D2上为减函数，只需，解得a∈∅．综上，所求a的值等于2．证明：（3）∵函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．x0∈D且f（f（x0））＝x0，∴根据单调函数性质f（x0）∈D，则有唯一的x0∈D，∴f（x0）＝x0．【点评】本题以新定义函数为载体，考查新定义，考查学生的计算能力，关键是对新定义的理解，有一定的难度．21．已知函数，其中a∈R．（1）若a＝﹣1，解不等式；（2）设a＞0，，若对任意的t∈[，2]，函数g（x）在区间[t，t+2]上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a的取值范围；（3）已知函数y＝f（x）存在反函数，其反函数记为y＝f﹣1（x），若关于x的不等式f﹣1（4﹣a）≤f（x）+|2x﹣a2|在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）把a＝﹣1代入函数，分段解不等式即可；（2）∵a＞0，t∈[，2]，x∈[t，t+2]，∴f（x）＝x+a，g（x）＝，再由复合函数的单调判断出g（x）在[t，t+2]上单调递减，从而得到在t∈[，2]上恒成立，然后用换元法，令m＝2﹣t，构造新函数h（m），再求出该函数的最大值即可；（3）由函数y＝f（x）存在反函数，可得a≥1且f﹣1（x）＝；再令F（x）＝f（x）+|2x﹣a2|，x∈[0，+∞），得其最小值为，然后分类讨论解不等式即可．【解答】解：（1）当a＝﹣1，f（x）＝，当x≥0时，f（x）＝|x﹣1|，解得或，所以或；当x＜0时，f（x）＝，解得x≥﹣2，所以﹣2≤x＜0；综上所述，不等式的解为．（2）∵a＞0，t∈[，2]，x∈[t，t+2]，∴f（x）＝x+a，＝，由复合函数的单调判断原则，可知g（x）在x∈[t，t+2]上单调递减，∴g（x）max﹣g（x）min＝g（t）﹣g（t+2）＝≤1，化简得，在t∈[，2]上恒成立，令m＝2﹣t∈，则，当m＝0时，h（m）＝0，当时，，由对勾函数性质可知，在上单调递减，∴，即，故实数a的取值范围为；（3）∵函数y＝f（x）存在反函数，∴y＝f（x）单调，又∵f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴y＝f（x）在R上必须单调递增，∴0+a≥20＝1即a≥1，∴f﹣1（x）＝，令F（x）＝f（x）+|2x﹣a2|，x∈[0，+∞），则F（x）＝x+a+|2x﹣a2|＝，∴，∵f﹣1（4﹣a）≤f（x）+|2x﹣a2|在x∈[0，+∞）上恒成立，∴当0＜4﹣a＜1即3＜a＜4时，恒成立，∴3＜a＜4，当4﹣a≥a即a≤2时，，解得，综上所述，实数a的取值范围为．【点评】本题考查函数的综合应用，涉及绝对值函数、指对函数的单调性、函数的恒成立问题，在解题过程中用到换元法、构造法、分类讨论法，考查了学生灵活运用知识的能力和逻辑推理能力，属于难题。
徐水区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
徐水区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 在正方体1111ABCD A BC D 中，,E F 分别为1,BC BB 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）A ．直线1AAB ．直线11A B C. 直线11A D D ．直线11B C2． 设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0，则当+取得最小值时，实数a 的值是（ ）A ．B ．C ．或 D ．33． 过点（﹣1，3）且平行于直线x ﹣2y+3=0的直线方程为（ ）A ．x ﹣2y+7=0B ．2x+y ﹣1=0C ．x ﹣2y ﹣5=0D ．2x+y ﹣5=04． 从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5． 设M={x|﹣2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．6． 已知α是△ABC 的一个内角，tan α=，则cos （α+）等于（ ）A ．B ．C ．D ．7． 设方程|x 2+3x ﹣3|=a 的解的个数为m ，则m 不可能等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48． 已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅=，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则|2|a b +=（ ）A B ． C ． D ．9． 若函数y=x 2+bx+3在[0，+∞）上是单调函数，则有（ ）A ．b ≥0B ．b ≤0C ．b ＞0D ．b ＜010．已知双曲线和离心率为4sinπ的椭圆有相同的焦点21F F 、，P 是两曲线的一个公共点，若 21cos 21=∠PF F ，则双曲线的离心率等于（ ） A ． B ．25 C ．26 D ．2711．已知A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣D ．12．函数f （x ）=3x +x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0）D ．（0，1）二、填空题13．设所有方程可以写成（x ﹣1）sin α﹣（y ﹣2）cos α=1（α∈[0，2π]）的直线l 组成的集合记为L ，则下列说法正确的是 ； ①直线l 的倾斜角为α；②存在定点A ，使得对任意l ∈L 都有点A 到直线l 的距离为定值； ③存在定圆C ，使得对任意l ∈L 都有直线l 与圆C 相交； ④任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1∥l 2；⑤任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1⊥l 2．14．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数()2ln f x x x =-的单调递增区间为__________．15．已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M ，N ，F 三点不共线，则△MNF的重心到准线距离为 ．16．已知()212811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________.17．在复平面内，记复数+i 对应的向量为，若向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为 ．，两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，18．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为__________元.三、解答题19．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲．已知函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|（a∈R）．（1）若函数f（x）的最小值为3，求a的值；（2）在（1）的条件下，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象围成一个三角形，求m的范围，并求围成的三角形面积的最大值．20．对于任意的n∈N*，记集合E n={1，2，3，…，n}，P n=．若集合A满足下列条件：①A⊆P n；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω．如当n=2时，E2={1，2}，P2=．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，所以P2具有性质Ω．（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω．（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．（Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P n=A∪B，求n的最大值．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA⊥PD，Q为PD的中点．（Ⅰ）证明：CQ ∥平面PAB ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥底面ABCD ，求直线PD 与平面AQC 所成角的正弦值．22．设M 是焦距为2的椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）上一点，A 、B 是椭圆E 的左、右顶点，直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2=﹣．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）上点N （x 0，y 0）处切线方程为+=1，若P是直线x=2上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为C 、D ，求证直线CD 恒过定点，并求出该定点坐标．23．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为23π，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧AC 、线段CD 及线段BD 组成．其中D 在线段OB 上，且//CD AO ，设AOC θ∠=．（1）用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，观光道路最长？24．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+（n∈N*）．证明：对一切n∈N*，有（Ⅰ）＜；（Ⅱ）0＜a n＜1．徐水区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】D 【解析】试题分析：根据已满治安的概念可得直线11111,,AA A B A D 都和直线EF 为异面直线，11B C 和EF 在同一个平面内，且这两条直线不平行；所以直线11B C 和EF 相交，故选D. 考点：异面直线的概念与判断. 2． 【答案】C【解析】解：∵a+b=3，b ＞0， ∴b=3﹣a ＞0，∴a ＜3，且a ≠0．①当0＜a ＜3时， +==+=f （a ），f ′（a ）=+=，当时，f ′（a ）＞0，此时函数f （a ）单调递增；当时，f ′（a ）＜0，此时函数f （a ）单调递减．∴当a=时， +取得最小值．②当a ＜0时， +=﹣（）=﹣（+）=f （a ），f ′（a ）=﹣=﹣，当时，f ′（a ）＞0，此时函数f （a ）单调递增；当时，f ′（a ）＜0，此时函数f （a ）单调递减．∴当a=﹣时， +取得最小值．综上可得：当a=或时，+取得最小值．故选：C ．【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．3． 【答案】A 【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x ﹣2y+c=0∵过点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x﹣2y+7=0故选A．【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣2y+c=0．4．【答案】B【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到，这三个事件是相互独立的，第一次不被抽到的概率为，第二次不被抽到的概率为，第三次被抽到的概率是，∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是=，故选B．5．【答案】B【解析】解：A项定义域为[﹣2，0]，D项值域不是[0，2]，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符．故选B．【点评】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．6．【答案】B【解析】解：由于α是△ABC的一个内角，tanα=，则=，又sin2α+cos2α=1，解得sinα=，cosα=（负值舍去）．则cos（α+）=cos cosα﹣sin sinα=×（﹣）=．故选B．【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．7．【答案】A【解析】解：方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数可化为函数y=|x2+3x﹣3|与y=a的图象的交点的个数，作函数y=|x2+3x﹣3|与y=a的图象如下，，结合图象可知，m的可能值有2，3，4；故选A．8．【答案】A【解析】考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系.9．【答案】A【解析】解：抛物线f（x）=x2+bx+3开口向上，以直线x=﹣为对称轴，若函数y=x2+bx+3在[0，+∞）上单调递增函数，则﹣≤0，解得：b≥0，故选：A ．【点评】本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．【答案】C 【解析】试题分析：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为c 2，m PF =1，n PF =2，且不妨设n m >，由12a n m =+，22a n m =-得21a a m +=，21a a n -=，又21c os 21=∠PF F ，∴由余弦定理可知：mn n m c -+=2224，2221234a a c +=∴，432221=+∴c a c a ，设双曲线的离心率为，则4322122=+e）（，解得26=e .故答案选C ．考点：椭圆的简单性质．【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率.根据椭圆和双曲线的定义，由P 为公共点，可把焦半径1PF 、2PF 的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴21,a a 来表示，接着用余弦定理表示21cos 21=∠PF F ，成为一个关于21,a a 以及的齐次式，等式两边同时除以2c ，即可求得离心率.圆锥曲线问题在选择填空中以考查定义和几何性质为主. 11．【答案】B【解析】解：由A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且||=，即有||2+||2=||2，可得△OAB 为等腰直角三角形，则，的夹角为45°，即有•=||•||•cos45°=1××=1．故选：B ．【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．12．【答案】C【解析】解：由函数f （x ）=3x +x 可知函数f （x ）在R 上单调递增，又f （﹣1）=﹣1＜0，f （0）=30+0=1＞0，∴f （﹣1）f （0）＜0，可知：函数f （x ）的零点所在的区间是（﹣1，0）． 故选：C ．【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．二、填空题13．【答案】 ②③④【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误； 对于②：（x ﹣1）sin α﹣（y ﹣2）cos α=1，（α∈[0，2π）），可以认为是圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1的切线系，故②正确；对于③：存在定圆C ，使得任意l ∈L ，都有直线l 与圆C 相交，如圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=100，故③正确；对于④：任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1∥l 2，作图知④正确； 对于⑤：任意意l 1∈L ，必存在两条l 2∈L ，使得l 1⊥l 2，画图知⑤错误． 故答案为：②③④．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．14．【答案】⎛ ⎝⎭【解析】15．【答案】．【解析】解：∵F 是抛物线y 2=4x 的焦点， ∴F （1，0），准线方程x=﹣1， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴|MF|+|NF|=x 1+1+x 2+1=6，解得x 1+x 2=4，∴△MNF的重心的横坐标为， ∴△MNF的重心到准线距离为．故答案为：．【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．16．【答案】()2245f x x x =-+ 【解析】试题分析：由题意得，令1t x =-，则1x t =+，则()222(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+，所以函数()f x 的解析式为()2245f x x x =-+.考点：函数的解析式.17．【答案】 2i ．【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为（+i ）（cos60°+isin60°）=（+i）（）=2i，故答案为 2i ．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（+i ）（cos60°+isin60°），是解题的关键．18．【答案】2300 【解析】111]试题分析：根据题意设租赁甲设备，乙设备，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥14020y 10x 506y 5x 0y 0x ，求目标函数300y 200x Z +=的最小值.作出可行域如图所示，从图中可以看出，直线在可行域上移动时，当直线的截距最小时，取最小值2300.1111]考点：简单线性规划.【方法点晴】本题是一道关于求实际问题中的最值的题目，可以采用线性规划的知识进行求解；细查题意，设甲种设备需要生产天，乙种设备需要生产y 天，该公司所需租赁费为Z 元，则y x Z 300200+=，接下来列出满足条件的约束条件，结合目标函数，然后利用线性规划的应用，求出最优解，即可得出租赁费的最小值.三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）f （x ）＝|x ＋1|＋2|x －a 2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a 2－1，x ≤－1，－x ＋2a 2＋1，－1＜x ＜a 2，3x －2a 2＋1，x ≥a 2，当x ≤－1时，f （x ）≥f （－1）＝2a 2＋2， －1＜x ＜a 2，f （a 2）＜f （x ）＜f （－1）， 即a 2＋1＜f （x ）＜2a 2＋2， 当x ≥a 2，f （x ）≥f （a 2）＝a 2＋1，所以当x ＝a 2时，f （x ）min ＝a 2＋1，由题意得a 2＋1＝3，∴a ＝±2. （2）当a ＝±2时，由（1）知f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤－1，－x ＋5，－1＜x ＜2，3x －3，x ≥2，由y ＝f （x ）与y ＝m 的图象知，当它们围成三角形时，m 的范围为（3，6]，当m ＝6时，围成的三角形面积最大，此时面积为12×|3－（－1）|×|6－3|＝6.20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意的n ∈N *，记集合E n ={1，2，3，…，n}，P n =．∴集合P 3，P 5中的元素个数分别为9，23，∵集合A 满足下列条件：①A ⊆P n ；②∀x 1，x 2∈A ，且x 1≠x 2，不存在k ∈N *，使x 1+x 2=k 2，则称A 具有性质Ω，∴P 3不具有性质Ω．…..证明：（Ⅱ）假设存在A ，B 具有性质Ω，且A ∩B=∅，使E 15=A ∪B ．其中E 15={1，2，3，…，15}． 因为1∈E 15，所以1∈A ∪B ，不妨设1∈A ．因为1+3=22，所以3∉A ，3∈B ．同理6∈A ，10∈B ，15∈A ．因为1+15=42，这与A 具有性质Ω矛盾． 所以假设不成立，即不存在A ，B 具有性质Ω，且A ∩B=∅，使E 15=A ∪B ．…..解：（Ⅲ）因为当n ≥15时，E 15⊆P n ，由（Ⅱ）知，不存在A ，B 具有性质Ω，且A ∩B=∅，使P n =A ∪B ． 若n=14，当b=1时，，取A 1={1，2，4，6，9，11，13}，B 1={3，5，7，8，10，12，14}， 则A 1，B 1具有性质Ω，且A 1∩B 1=∅，使E14=A 1∪B 1． 当b=4时，集合中除整数外，其余的数组成集合为，令，，则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=∅，使．当b=9时，集中除整数外，其余的数组成集合，令，．则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=∅，使．集合中的数均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=∅，且P14=A∪B．综上，所求n的最大值为14．…..【点评】本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．21．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接QN，BN．∵Q，N是PD，PA的中点，∴QN∥AD，且QN=AD．∵PA=2，PD=2，PA⊥PD，∴AD=4，∴BC=AD．又BC∥AD，∴QN∥BC，且QN=BC，∴四边形BCQN为平行四边形，∴BN∥CQ．又BN⊂平面PAB，且CQ⊄平面PAB，∴CQ∥平面PAB．（Ⅱ）解：取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO．由（Ⅰ）知PA=AM=PM=2，∴△APM为等边三角形，∴PO⊥AM．同理：BO⊥AM．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，3，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，），C（，2，0），Q（0，，）．∴=（，3，0），=（0，3，﹣），=（0，，）．设平面AQC的法向量为=（x，y，z），∴，令y=﹣得=（3，﹣，5）．∴cos＜，＞==﹣．∴直线PD与平面AQC所成角正弦值为．22．【答案】【解析】（1）解：设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则+=1，即n2=b2•，由k1k2=﹣，即•=﹣，即有=﹣，即为a2=2b2，又c2=a2﹣b2=1，解得a2=2，b2=1．即有椭圆E 的方程为+y 2=1；（2）证明：设点P （2，t ），切点C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则两切线方程PC ，PD 分别为：+y 1y=1，+y 2y=1，由于P 点在切线PC ，PD 上，故P （2，t ）满足+y 1y=1，+y 2y=1，得：x 1+y 1t=1，x 2+y 2t=1，故C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均满足方程x+ty=1， 即x+ty=1为CD 的直线方程． 令y=0，则x=1， 故CD 过定点（1，0）．【点评】本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．23．【答案】（1）cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭;（2）设∴当6πθ=时，()L θ取得最大值，即当6πθ=时，观光道路最长.【解析】试题分析：（1）在OCD ∆中，由正弦定理得：sin sin sin CD OD CO COD DCO CDO==∠∠∠2cos 3CD πθθθ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，OD θ=1sin 03OD OB πθθθ<<∴<<<cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭（2）设观光道路长度为()L θ， 则()L BD CD AC θ=++弧的长= 1cos θθθθ+++= cos 1θθθ++，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()sin 13L θθθ=--+'由()0L θ'=得：sin 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭6πθ∴= 列表：∴当6πθ=时，()L θ取得最大值，即当6πθ=时，观光道路最长.考点：本题考查了三角函数的实际运用点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。
文圣区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
文圣区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若AD →＝2DB →，则|CD →|为（ ）A ．1 B.43C.53D ．2 2． 如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O 交于A ，B ，C 三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x 轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（ ）A ．B ．C ．D ．π3． 已知一元二次不等式f （x ）＜0的解集为{x|x ＜﹣1或x ＞}，则f （10x ）＞0的解集为（ ） A ．{x|x ＜﹣1或x ＞﹣lg2} B ．{x|﹣1＜x ＜﹣lg2} C ．{x|x ＞﹣lg2} D ．{x|x ＜﹣lg2}4． 棱台的两底面面积为1S 、2S ，中截面（过各棱中点的面积）面积为0S ，那么（ ）A ．=B ．0S =C ．0122S S S =+D ．20122S S S =5． 函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．RB ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．[2，+∞）6． 函数y=x+xlnx 的单调递增区间是（ ） A ．（0，e ﹣2）B ．（e ﹣2，+∞）C ．（﹣∞，e ﹣2）D ．（e ﹣2，+∞）7． 已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()y f x =的图象如图甲所示，则函数(||)f x 的图象是 图乙中的（ ）8． （+）2n （n ∈N *）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）A ．120B ．210C ．252D ．459． 设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为（ ）A ．B ． C. D ．10．已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （2015）=（ ） A ．2B ．﹣2C ．8D ．﹣811．直线l 过点P （2，﹣2），且与直线x+2y ﹣3=0垂直，则直线l 的方程为（ ）A ．2x+y ﹣2=0B ．2x ﹣y ﹣6=0C ．x ﹣2y ﹣6=0D ．x ﹣2y+5=012．已知圆C 方程为222x y +=，过点(1,1)P -与圆C 相切的直线方程为（ ）A ．20x y -+=B ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．20x y ++= 13．在下面程序框图中，输入44N =，则输出的S 的值是（ ）A ．251B ．253C ．255D ．260【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类. 14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16163π-B．32163π-C．1683π-D．3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．15．若集合M={y|y=2x ，x ≤1}，N={x|≤0}，则 N ∩M （ ）A ．（1﹣1，]B ．（0，1]C ．[﹣1，1]D ．（﹣1，2]二、填空题16．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC=5，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为 ．17．已知x ，y 为实数，代数式2222)3(9)2(1y x x y ++-++-+的最小值是 .【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力. 18．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 ．19．已知[2,2]a ∈-，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则的取值范围为__________.三、解答题20．在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题可获得分，答对问题可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对问题的概率分别为．（Ⅰ）记甲先回答问题再回答问题得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．21．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．22．在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上任意一点P（x，y）变换为点P（2x+y，3x）．（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M﹣1；（Ⅱ）求曲线4x+y﹣1=0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C′的方程．23．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．24．（本题满分15分）设点P 是椭圆14:221=+y x C 上任意一点，过点P 作椭圆的切线，与椭圆)1(14:22222>=+t t y t x C 交于A ，B 两点．（1）求证：PB PA =；（2）OAB ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．25．已知函数，．（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间．文圣区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】【解析】解析：选C.设D 点的坐标为D （x ，y ）， ∵A （0，1），B （3，2），AD →＝2DB →，∴（x ，y －1）＝2（3－x ，2－y ）＝（6－2x ，4－2y ），∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2x ，y －1＝4－2y 即x ＝2，y ＝53，∴CD →＝（2，53）－（2，0）＝（0，53），∴|CD →|＝02＋（53）2＝53，故选C.2． 【答案】 A【解析】（本题满分为12分）解：由题意可得：|AA'|=sin α、|BB'|=sin β、|CC'|=sin （α+β）， 设边长为sin （α+β）的所对的三角形内角为θ， 则由余弦定理可得，cos θ= =﹣cos αcos β=﹣cos αcos β=sin αsin β﹣cos αcos β =﹣cos （α+β）， ∵α，β∈（0，）∴α+β∈（0，π） ∴sin θ==sin （α+β）设外接圆的半径为R ，则由正弦定理可得2R==1，∴R=，∴外接圆的面积S=πR 2=．故选：A ．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．3． 【答案】D【解析】解：由题意可知f （x ）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，故可得f （10x ）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，由指数函数的单调性可知：x ＜﹣lg2 故选：D4． 【答案】A 【解析】试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2h 上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：220()2()a S a h S a S a hS '⎧=⎪+⎪⎨'⎪=+⎪⎩，解得=A ． 考点：棱台的结构特征． 5． 【答案】C【解析】解：由于f （x ）=x 2﹣2ax 的对称轴是直线x=a ，图象开口向上，故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a ，+∞）上为增函数，又由函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则a ≤1．故答案为：C6． 【答案】B【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得f ′（x ）=lnx+2，令f ′（x ）＞0，可得x ＞e ﹣2， ∴函数f （x ）的单调增区间是（e ﹣2，+∞）故选B ．7． 【答案】B 【解析】试题分析：(||)f x 的图象是由()f x 这样操作而来：保留y 轴右边的图象，左边不要.然后将右边的图象关于y 轴对称翻折过来，故选B ． 考点：函数图象与性质．【思路点晴】本题主要考查函数的奇偶性、数形结合的数学思想方法.由()f x 加绝对值所得的图象有如下几种，一个是()f x ——将函数()f x 在轴下方的图象翻折上来，就得到()f x 的图象，实际的意义就是将函数值为负数转化为正的；一个是()f x ，这是偶函数，所以保留y 轴右边的图象，左边不要.然后将右边的图象关于y 轴对称翻折过来.8． 【答案】B【解析】【专题】二项式定理．【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n ，可求常数项．【解答】解：由已知（+）2n （n ∈N *）展开式中只有第6项系数为最大，所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5，又展开式的通项为=，令5﹣=0解得k=6，所以展开式的常数项为=210；故选：B【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n ，利用通项求特征项．9． 【答案】A【解析】试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 10．【答案】B【解析】解：∵f （x+4）=f （x ）， ∴f （2015）=f （504×4﹣1）=f （﹣1）， 又∵f （x ）在R 上是奇函数， ∴f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2．故选B ．【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．11．【答案】B 【解析】解：∵直线x+2y ﹣3=0的斜率为﹣，∴与直线x+2y ﹣3=0垂直的直线斜率为2， 故直线l 的方程为y ﹣（﹣2）=2（x ﹣2），化为一般式可得2x ﹣y ﹣6=0故选：B【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．12．【答案】A 【解析】试题分析：圆心(0,0),C r =，设切线斜率为，则切线方程为1(1),10y k x kx y k -=+∴-++=，由,1d r k =∴=，所以切线方程为20x y -+=，故选A.考点：直线与圆的位置关系． 13．【答案】B14．【答案】D【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为21132244428233V =π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-，故选D ． 15．【答案】B【解析】解：由M 中y=2x，x ≤1，得到0＜y ≤2，即M=（0，2]，由N 中不等式变形得：（x ﹣1）（x+1）≤0，且x+1≠0， 解得：﹣1＜x ≤1，即N=（﹣1，1]， 则M ∩N=（0，1]， 故选：B ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．二、填空题16．【答案】 5 ．【解析】解：如图所示：延长BC ，过A 做AE ⊥BC ，垂足为E ， ∵CD ⊥BC ，∴CD ∥AE ， ∵CD=5，BD=2AD ，∴，解得AE=，在RT △ACE ，CE===，由得BC=2CE=5，在RT △BCD 中，BD===10，则AD=5， 故答案为：5．【点评】本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题．17． 【解析】18．【答案】30°．【解析】解：取AD的中点G，连接EG，GF则EG DC=2，GF AB=1，故∠GEF即为EF与CD所成的角．又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在Rt△EFG中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．故答案为：30°【点评】此题的关键是作出AD 的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．19．【答案】(,0)(4,)-∞+∞ 【解析】试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可，设关于的函数44)2(24)4(x f(x)y 22+-+-=-+-+==x x a x a x a 对任意的2]，[-2a ∈，当-2a =时，044)42(x )2(f(a)y 2>++--+=-==x f ，即086x )2(2>+-=-x f ，解得4x 2x ><或；当2a =时，044)42(x )2(y 2>-+-+==x f ，即02x )2(2>-=x f ，解得2x 0x ><或，∴的取值范围是{x|x 0x 4}<>或；故答案为：(,0)(4,)-∞+∞．考点：换主元法解决不等式恒成立问题.【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围.三、解答题20．【答案】【解析】【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列 【试题解析】（Ⅰ）的可能取值为．，，分布列为：（Ⅱ）设先回答问题，再回答问题得分为随机变量，则的可能取值为．，，，分布列为：．应先回答所得分的期望值较高．21．【答案】【解析】解：p：，q：a≤x≤a+1；∴（1）若a=，则q：；∵p∧q为真，∴p，q都为真；∴，∴；∴实数x的取值范围为；（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；∴，∴；∴实数a的取值范围为．【点评】考查解一元二次不等式，p∧q真假和p，q真假的关系，以及充分不必要条件的概念．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′），则即=，∴M=．又det（M）=﹣3，∴M﹣1=；（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′），则=M﹣1=，即，∴代入4x+y﹣1=0，得，即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．23．【答案】【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．24．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.∴点P 为线段AB 中点，PB PA =；…………7分（2）若直线AB 斜率不存在，则2:±=x AB ，与椭圆2C 方程联立可得，)1,2(2--±t A ，)1,2(2-±t B ，故122-=∆t S OAB ，…………9分若直线AB 斜率存在，由（1）可得148221+-=+k km x x ，144422221+-=k t m x x ，141141222212+-+=-+=k t k x x k AB ，…………11分点O 到直线AB 的距离2221141kk km d ++=+=，…………13分∴12212-=⋅=∆t d AB S OAB ，综上，OAB ∆的面积为定值122-t ．…………15分 25．【答案】【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合【试题解析】（Ⅰ）由已知当，即，时，（Ⅱ)当时，递增即，令，且注意到函数的递增区间为。
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2019年上海市高二数学上期末试题附答案一、选择题1．在如图所示的算法框图中，若()321a x dx =-⎰，程序运行的结果S 为二项式()52x +的展开式中3x 的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）A ．3K <B ．3K >C ．2K <D ．2K >2．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．253．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为（ ）（参考数据：020sin 200.3420,sin()0.11613≈≈）A ．01180sin ,242S n n =⨯⨯B ．01180sin ,182S n n=⨯⨯C．1360sin,542S nn=⨯⨯D．1360sin,182S nn=⨯⨯4．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于A．14B．13C．12D．235．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（）A．45B．47C．48D．636．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（）A．没有白球B．2个白球C．红、黑球各1个D．至少有1个红球7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A．7B．4C．5D．118．设A为定圆C圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径2倍的概率（）A．34B．35C．13D．129．已知线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，则点P到点M，N的距离都大于2的概率为()A．34B．23C．12D．1310．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF 2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A．B．C．D．11．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是12,x x，则下列叙述正确的是（）A ．12x x >，乙比甲成绩稳定B ．12x x >，甲比乙成绩稳定C ．12x x <，乙比甲成绩稳定D ．12x x <，甲比乙成绩稳定12．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A ．92，94B ．92，86C ．99，86D ．95，91二、填空题13．执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．14．如果执行如图的程序框图，那么输出的S =__________．15．一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为____.16．变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表： X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．17．已知集合{1,U =2，3，⋯，}n ，集合A 、B 是集合U 的子集，若A B ⊆，则称“集合A 紧跟集合B ”，那么任取集合U 的两个子集A 、B ，“集合A 紧跟集合B ”的概率为______．18．袋中有2个白球，1个红球，这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球，每次任取1个记下颜色后放回，直到红球出现2次时停止，设停止时共取了X 次球，则(4)P X ==_______．19．在区间[0,1]中随机地取出两个数，则两数之和大于45的概率是______. 20．使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为__________．数据：19.3a =，29.6a =，39.3a = 49.4a =，59.4a =，69.3a = 79.3a =，89.7a =，99.2a = 109.5a =，119.3a =，129.6a =三、解答题21．某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如下表（其中20181Q 表示2018年第一季度，以此类推）： 季度 20181Q 20182Q 20183Q 20184Q 20191Q季度编号x 1 2345销售额y （百万元）4656 67 86 96（1）公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司20193Q 的销售额.附：线性回归方程：y bx a =+$$$其中()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑$，$$a y bx=-$ 参考数据：511183i ii x y==∑.22．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[]70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问： （1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列及数学期望.23．今年4月的“西安奔驰女车主哭诉维权事件”引起了社会的广泛关注，某汽车4S 店为了调研公司的售后服务态度，对5月份到店维修保养的100位客户进行了回访调查，每位客户用10分制对该店的售后服务进行打分．现将打分的情况分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到频率分布直方图如图所示．已知第二组的频数为10．（1）求图中实数a ，b 的值；（2）求所打分值在[6，10]的客户人数；（3）总公司规定，若4S 店的客户回访平均得分低于7分，则将勒令其停业整顿．试用频率分布直方图的组中值对总体平均数进行估计，判断该4S 店是否需要停业整顿． 24．1766年；人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU ，AU 是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据： 行星编号（x ） 1（金星） 2（地球） 3（火星） 4（ ）5（木星） 6（土星）离太阳的距离（y ）0.7 1.0 1.6 5.2 10.0受他的启发，意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星. （1）为了描述行星离太阳的距离y 与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论即可）；①y ax b =+；②(1)xy a b c b =⋅+>；③log (1)b y a x c b =⋅+>.（2）根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；（3）请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离.25．随着社会的进步与发展，中国的网民数量急剧增加.下表是中国从20092018-年网民人数及互联网普及率、手机网民人数（单位：亿）及手机网民普及率的相关数据. 年份 网民人数互联网普及率手机网民人数手机网民普及率20093.8 28.9% 2.3 17.5%（互联网普及率=（网民人数/人口总数）×100%；手机网民普及率=（手机网民人数/人口总数）×100%） （Ⅰ）从20092018-这十年中随机选取一年，求该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的概率；（Ⅱ）分别从网民人数超过6亿的年份中任选两年，记X 为手机网民普及率超过50%的年数，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）若记20092018-年中国网民人数的方差为21s ，手机网民人数的方差为22s ，试判断21s 与22s 的大小关系.（只需写出结论）26．一个盒子中有5只同型号的灯泡，其中有3只一等品，2只二等品，现在从中依次取出2只，设每只灯泡被取到的可能性都相同，请用“列举法”解答下列问题： （Ⅰ）求第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品的概率； （Ⅱ）求至少有一次取到二等品的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据二项式5(2)x +展开式的通项公式，求出3x 的系数，由已知先求a 的值，模拟程序的运行，可得判断框内的条件． 【详解】解：由于32300(21)|6a x dx x x =-=-=⎰，Q 二项式5(2)x -展开式的通项公式是5152r r r r T C x -+=⋅⋅，令3r =，3233152T C x +∴=⋅⋅；3x ∴的系数是32352140C ⋅⋅=．∴程序运行的结果S 为360，模拟程序的运行，可得6k =，1S = 不满足条件，执行循环体，6S =，5k = 不满足条件，执行循环体，30S =，4k = 不满足条件，执行循环体，120S =，3k = 不满足条件，执行循环体，360S =，2k =由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S 的值为360． 则判断框中应填入的关于k 的判断条件是3k <？ 故选A ． 【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．2．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．3．C解析：C 【解析】分析：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形，可得正n 边形面积是13602S n sinn=⨯⨯o，按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可的结果.详解：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形，每一个等腰三角形两腰是1，顶角是360n ⎛⎫ ⎪⎝⎭o，所以正n 边形面积是13602S n sin n=⨯⨯o，当6n =时，332.6S =≈； 当18n =时， 3.08S ≈；当54n =时， 3.13S ≈；符合 3.11S ≥，输出54n =，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．C解析：C 【解析】 【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答． 【详解】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C ． 【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．5．A解析：A 【解析】 【分析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可. 【详解】各数据为：12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63， 最中间的数为：45，所以，中位数为45． 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．C解析：C 【解析】分析：写出从红球3个、白球2个、黑球1个中随机摸出2个球的取法情况，然后逐一核对四个选项即可得到答案详解：从红球3个、白球2个、黑球1个中随机摸出2个球的取法有：2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共五种情况则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是红球，黑球各一个包括1红1白，1黑1白两种情况． 故选C点睛：本题主要考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题，只要理解其概念，结合本题列举出所有情况即可得出结果．7．C解析：C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-；3i =，()282131645m a a =--=-； 4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.8．D解析：D【解析】【分析】先找出满足条件弦的长度超过2R的图象的测度，再代入几何概型计算公式求解，即可得到答案．【详解】根据题意可得，满足条件：“弦的长度超过2R对应的弧”，其构成的区域为半圆»NP,则弦长超过半径2倍的概率»12NPP==圆的周长，【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算中的“几何度量”，对于几何概型的“几何度量”可以线段的长度比、图形的面积比、几何体的体积比等，且这个“几何度量”只与“大小”有关，与形状和位置无关，着重考查了分析问题和解答问题的能力．9．D解析：D【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形即可得出结论．【详解】如图所示，线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，则点P到点M，N的距离都大于2的概率为2163 P==．故选D．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10．B解析：B【解析】【分析】 由题意可得，设,求得，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率，即可求解.【详解】 由题意可得，设,可得,在中，由余弦定理得，所以，，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点， 则此点取自小等边三角形的概率是，故选B.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型，以及余弦定理的应用，其中解答中认真审题、把在大等边三角形中随机取一点，取自小等边三角形的概率转化为面积比的几何概型是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．C解析：C 【解析】 甲的平均成绩11(7378798793)825x =++++=，甲的成绩的方差22222211[(7382)(7882)(7982)(8782)(9382)]50.45s =-+-+-+-+-=；乙的平均成绩21(7989899291)885x =++++=，乙的成绩的方差22222221[(7988)(8988)(8988)(9288)(9188)]21.65s =-+-+-+-+-=.∴12x x <，乙比甲成绩稳定. 故选C .12．B解析：B 【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.二、填空题13．63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】解：模拟程序的运行可得x=3y=7不满足条件|解析：63 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：模拟程序的运行，可得 x=3 y=7不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=7，y=15 不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=15，y=31 不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=31，y=63 此时，满足条件|x-y|＞31，退出循环，输出y 的值为63． 故答案为63． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．14．42【解析】【分析】输入由循环语句依次执行即可计算出结果【详解】当时当时当时当时当时当时故答案为42【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环语句的运算求出输出值较为基础解析：42 【解析】 【分析】输入1k =，由循环语句，依次执行，即可计算出结果 【详解】当1k =时，0212S =+⨯= 当2k =时，021226S =+⨯+⨯= 当3k =时，021222312S =+⨯+⨯+⨯= 当4k =时，021********S =+⨯+⨯+⨯+⨯= 当5k =时，0212223242530S =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 当6k =时，021222324252642S =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为42 【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环语句的运算，求出输出值，较为基础15．【解析】【分析】由题求得基本事件的总数15种再求得2只颜色相同包含的基本事件的个数根据古典概型及其概率的计算公式即可求解【详解】由题意一只口袋中装有形状大小都相同的6只小球其中有3只红球2只黄球和1解析：415【解析】 【分析】由题，求得基本事件的总数15种，再求得2只颜色相同包含的基本事件的个数，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解。