传热学数值模拟
热传导问题的数值模拟
热传导问题的数值模拟热传导是自然界中一种普遍存在的物理现象，其在许多领域都有着广泛的应用。
在工程领域，对于许多工程问题的求解过程中，需要对热传导问题进行数值模拟。
本文将从热传导问题的基本理论出发，介绍一些热传导问题的数值模拟方法及其应用。
一、热传导基本理论热传导是指热量从高温区传递到低温区的现象。
在热传导过程中，热流量的方向和大小受到热传导物质的性质及其温度差等因素的影响。
热传导物质分为导热性能好的导体和导热性能差的绝缘体两种类型。
根据傅里叶定律和傅立叶热传导方程，热传导问题可以用以下的偏微分方程来描述：∂u/∂t = α(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²+∂²u/∂z²)+f(x,y,z,t)其中，u(x,y,z,t)表示温度分布，f(x,y,z,t)表示源项（可能是热源或热损失），α为导热系数，t为时间，x、y、z为空间坐标。
二、数值模拟方法热传导问题的数值模拟主要采用有限元法、有限体积法、有限差分法等方法进行计算。
下面将分别介绍这三种方法。
1. 有限元法有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种广泛应用于数值分析领域的方法。
在热传导问题的数值模拟中，有限元法的基本思想是将要求解的物理问题离散化，将其分解成有限个简单的元件来进行求解。
具体而言，可以将热传导区域分解成一系列的小单元，然后根据有限元法的原理，通过计算每个单元内的热传导能量，并利用边界条件，在整个区域内拼凑成一个整体的方程组，在求解这个方程组后得到热传导问题的解。
2. 有限体积法有限体积法（Finite Volume Method, FVM）是一种以连续性方程为基础，采用体积平均原理离散化控制体积的方法。
有限体积法在处理不规则域的问题时具有重要的优势。
在热传导问题的求解中，可以采用有限体积法离散分析过程。
对于一个立方体体积元，可以用守恒方程将体积元内部的能量和热流量进行刻画。
热物理过程的数值模拟-计算传热学3
四、非线笥问题迭代式解法的收敛性每一层次上满足迭代法求解的收敛条件+相邻次间代数方程的系数变化不太大（亦即未知量的变化不太大←多数情形下非线性问题迭代式解法是可以收敛的）。
使相邻两层次间未知量变化不太大的措施：1、欠松弛迭代 常用逐次欠弛线迭法（SLUR ）：一组临时系数下逐线迭代求解+对所得的解施以欠松弛，再用欠松弛后的解去计算新的系数，常数，以进入下一层次的迭代。
实施：常把欠松弛处理纳入迭代过程，而不是在一个层次迭代完成后再行欠松弛。
)()()()1(n p pn n n p n p t a b bt a t t -∑+=+ω )()1()1()(n p pn n n p pt a b b t b a t a ωωω-+++∑=+∑+=+')1('b b bt a t a n n n p p)('))(1(',n p p p p t a b b a a ωωω-+==，用交替方向线迭代法求解这一方程，就实现了SLUR的迭代求解。
为一般化起见，上式中b t n 上没有标以迭代层次的符号（J ，GS 时不相同）。
2、采用拟非稳态法前面已指出，稳态问题的迭代解法与非稳态问题的步进法十分相似。
对于非线性稳态问题，从代数方程的一组临时系数进入到另一组临时系数亦好象非稳态问题前进了一个时间层，非稳态问题的物理特性：系数热惯性越大（↑∆∆=τρ/v c a op ），温度变化越慢，仿此，对稳态非线性问题，可在离散方程中加入拟非稳态项，以减小未知量托两个层次间的变化，即由)()1()1()()(n p o p n n n p o p p n n n n p p n t a b b bt a t a V S b a b b bt a t V S b a ++∑=+∆-∑⇒+∑=∆-∑++o pp n n po p n n n pa V Sb a t a b b bt a t+∆-∑++∑=+)()1(一直进行到b t t n p ,收敛，虚拟时间步τ∆的大小通过计算实践确定。
传热学数值模拟实例教程(袁老师)
传热学数值模拟实例教程王志军编著邓权威河南理工大学二〇〇九年十二月前言一、实验说明导热问题实际上就是对导热微分方程（能量方程）在规定的定解条件下进行求解，而对流问题除了对能量方程进行求解外，往往还需对质量守恒方程以及动量方程进行求解。
对于少数几何形状以及边界条件简单的问题能获得分析解，但对于大多数工程技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热对流问题，数学上还无法得除其分析解。
另一方面，在近几十年中，随着计算机技术的迅速发展，数值模拟技术得到了飞速的发展，其中CFD （计算流体力学）能解决流体流动，传热传质等很多工程问题，因而发展非常快。
Fluent 作为目前国际上最流行的商用CFD软件之一，在美国和中国的市场占有率都超过60%。
只要涉及到流体、热传递以及化学方法等问题都可以用Fluent进行求解。
它具有丰富的物理模型、先进的数值方法以及强大的前后处理功能，在航空航天、汽车设计、石油天然气、消防火灾、环境分析等方面都有着广泛的应用。
本模拟实例库主要是运用成熟的Fluent软件对传热学的一些简单问题进行数值求解，主要包括一维稳态导热问题的求解，二维多热源的稳态导热问题，二维方腔内自然对流和混合对流，管内强制对流换热问题的数值模拟。
模拟实验的目的在于是为同学们提供一个形象直观而又生动的工具，为本科传热学的学习提供一个新的视角，使传热学的学习从抽象的理论中解放出来，变得直接而有主动，增强他们学习的兴趣与动力，从枯燥的灌输中解放出来。
另一方面数值模拟还能加深学生对基本概念、基本规律的理解。
杨世铭说：“传热学课程的教学应当从以往的单纯地为后续专业课服务而转变到着重培养学生的素质与能力方面来。
通过将CFD数值模拟方法渗透到传热学的本科实验中，为培养学生的素质与能力提供一个强有力的工具，最终促进学生创新能力和应用能力的全面提升。
二、Fluent软件简介Fluent软件是美国Fluent公司开发的通用CFD流场计算分析软件，囊括了Fluent Dynamic International、比利时Polyflow和Fluent Dynamic International（FDI）的全部技术力量（前者是公认的粘弹性和聚合物流动模拟方面占领先地位的公司，而后者是基于有限元方法CFD软件方面领先的公司）。
热处理工艺中的传热与流动数值模拟分析
热处理工艺中的传热与流动数值模拟分析热处理工艺是在材料加工过程中非常重要的一环，旨在改变材料的力学性能、组织结构和性能，以满足特定的工程要求。
而在热处理工艺中，传热与流动现象起着至关重要的作用。
通过数值模拟分析传热与流动过程，可以帮助我们更好地理解这些现象，并为工程实践提供指导。
热处理工艺中的传热主要包括热传导、对流传热和辐射传热。
热传导是指热量在固体内部传递的过程，对流传热是指热量在流体中传递的过程，而辐射传热则是通过电磁辐射传递热量的过程。
在进行数值模拟分析时，我们可以使用计算流体力学（CFD）方法来模拟和计算这些传热过程。
首先，我们需要建立一个合适的数值模型，包括热处理装置的几何形状、材料的性质以及边界条件等。
通过分析工艺参数和实际应用需求，我们可以确定所需模拟的时间步长、计算网格和求解方案。
然后，我们可以利用CFD软件对模型进行网格划分，该网格将在求解过程中用于离散方程和几何形状。
接下来，我们可以通过计算和求解传热方程来分析传热过程。
热传导方程是描述热传导现象的基本方程，它考虑了热量在材料内部的传递。
对于对流传热，我们可以使用流体力学方程（Navier-Stokes方程）来描述流体的运动和热传递。
辐射传热通常需要考虑辐射热通量的传递，可以通过辐射传热方程来描述。
在进行数值模拟分析时，我们需要输入材料的热物理性质参数，例如热导率、比热容和密度等。
这些参数对模拟结果的准确性和可靠性起着重要的影响。
此外，我们还需要考虑所使用的物理模型和边界条件的选择，这些也会对模拟结果产生重要影响。
利用数值模拟分析传热与流动过程，我们可以评估热处理工艺的效果，并优化工艺参数以获得最佳性能。
例如，在淬火过程中，对流传热和相变行为的数值模拟分析可以帮助我们确定冷却介质的最佳选择和冷却速率。
此外，对于焊接或熔化过程的热处理，我们可以通过数值模拟来分析熔池的形状和温度分布，以优化焊接质量。
然而，数值模拟分析也有一些局限性。
热传导问题的数值模拟及解析研究
热传导问题的数值模拟及解析研究热传导问题是工程、物理和材料科学领域中一个重要的课题。
在实践应用中，解决热传导问题可以帮助我们优化生产过程、改善设备性能以及预测材料的寿命，具有极大的意义。
数值模拟和解析研究是解决热传导问题的两种常用方法，它们各自有着自己的特点和应用范围。
数值模拟方法是在计算机上通过建立数学模型和求解方程组来模拟热传导过程的一种方法。
数值模拟方法的主要优点在于可以模拟复杂的边界条件和几何结构，具有较强的适用性。
不管是传统的有限差分法还是较新的有限元方法，数值模拟方法都可以提供非常精确的结果。
然而，数值模拟方法也存在着一些局限性。
首先，数值模拟方法需要大量的计算资源和计算时间，特别是在三维场景下，计算成本更加显著。
其次，模型设置和参数选择对结果的精确性有着重要影响，需要经验和专业知识的支持。
解析研究是研究热传导问题的传统方法，通过数学分析和求解热传导方程得到解析解。
解析解具有数学上的精确性，可以提供问题的全局性和稳定性，从而为我们提供问题的一些重要性质。
然而，在实际应用中，解析解往往只适用于简单几何形状和较为理想的边界条件。
对于复杂的问题，解析解往往无法得到，需要借助数值模拟方法。
在实际的研究和工程应用中，数值模拟和解析研究常常结合使用，互为补充。
首先，可以通过解析研究来对热传导问题进行预研，了解问题的一些基本性质和规律。
其次，可以通过数值模拟方法模拟复杂的工程场景和真实条件，提供更加详细和全面的结果。
数值模拟方法可以通过调整模型参数，优化边界条件等方式，逐步逼近真实情况，使研究结果更加准确和可靠。
当然，热传导问题的数值模拟和解析研究也面临一些挑战和限制。
首先，热传导问题的数学模型并不是完美的，它们常常需要在实际应用中进行修正和改进。
其次，参数的选择和设定需要经验和专业知识的支持，否则可能会导致结果的偏差。
此外，数值模拟方法在建模过程中需要进行网格划分，网格的选择和划分对结果的准确性和计算效率有重要影响。
烟气管道传热性能的数值模拟研究
烟气管道传热性能的数值模拟研究随着环境保护意识的日益增强，空气污染问题也越来越受到重视。
作为污染源之一，烟气排放不仅对环境造成了严重影响，也给人们的生活带来了诸多危害。
传热是烟气管道运行的重要参数之一，其性能的优化对于减少能源消耗和烟气排放至关重要。
本文将对烟气管道传热性能进行数值模拟研究，并探讨如何优化这一过程，从而实现绿色环保的目标。
一、烟气管道传热原理在燃煤、燃油、燃气等能源的燃烧过程中，产生大量的烟气，这些烟气需要通过管道输送出去。
在这个过程中，由于管道的存在，烟气会通过管道的壁面和传导传热到管道的外部，同时也会通过管道内部的对流传热实现热传递。
管道内部和外部的烟气温度差越大，则管道传热越快。
二、数值模拟方法为了定量地描述和分析管道传热过程，需要进行数值模拟。
该方法可以在计算机模拟中进行，通过电脑模拟来预测烟气传输的温度和流动，帮助我们设计管道的尺寸和结构，进一步优化传热过程。
数值模拟研究通常包括以下几个步骤：1.模型建立：在计算机上建立一个具有几何形状和特定物理参数的模型，以模拟管道的运行。
2.数学建模：通过物理规律和数学公式，将烟气流动和热传导过程进行数学建模。
3.求解方程：采用数值方法，通过计算机程序求解数学方程式，得到烟气温度场和流场等重要参数。
4.结果分析：对计算结果进行分析和解释，得出相应结论和方法。
三、烟气管道传热性能的数值模拟研究1.数值模型的建立首先，需要建立烟气管道传热数值模型，包括烟气输送管道、管道壁面和管道外部环境。
建模时需考虑以下几个方面：（1）管道壁面的热传导特性，包括导热系数、热容和密度等参数。
（2）烟气输送管道内部的流动特性，包括质量流率、流速和流体压力等参数。
（3）烟气输送管道外围环境的温度变化和气流的影响等因素。
2.数学建模在建立好数值模型后，需要对烟气在管道内部和外部的传热及流动过程建立数学模型。
在此过程中，我们需要考虑以下几个方面：（1）对流传热：考虑烟气在管道内部的流动和传热。
多孔介质流动与传热特性的数值模拟与优化
多孔介质流动与传热特性的数值模拟与优化多孔介质是一种具有复杂结构和多尺度特性的材料，广泛应用于工程领域中的流体力学与传热过程。
对多孔介质的流动与传热特性进行准确的数值模拟和优化，对于提高工程设备的效率和性能具有重要意义。
一、多孔介质流动与传热的数值模拟方法多孔介质的数值模拟方法主要包括连续介质模型和离散介质模型。
连续介质模型基于宏观平均方程，将多孔介质看作均匀、各向同性的连续介质，通过求解宏观平均方程，得到多孔介质的宏观流动和传热特性。
离散介质模型则采用微观尺度的方法，将多孔介质看作由许多微观单元组成的离散介质，通过求解微观单元的运动方程，得到多孔介质的微观流动和传热特性。
1.1 连续介质模型连续介质模型是最常用的多孔介质数值模拟方法之一。
在连续介质模型中，多孔介质的宏观流动和传热特性通过求解质量守恒、动量守恒和能量守恒方程得到。
对于流体流动，常用的连续介质模型包括达西-布里兹模型和林布尔格-奥斯特罗姆模型等。
对于传热过程，连续介质模型可以采用经验规则，如埃尔福特数、修正努塞尔数等，进行数值模拟。
1.2 离散介质模型离散介质模型是一种基于微观尺度的多孔介质数值模拟方法。
在离散介质模型中，多孔介质的微观流动和传热特性通过求解微观单元的运动方程得到。
常用的离散介质模型包括网格模型、直接模拟孔隙度、分子动力学模型等。
离散介质模型通常具有更高的计算精度和更丰富的物理细节，但计算复杂度也更高。
二、多孔介质流动与传热特性的数值模拟优化方法多孔介质的数值模拟优化方法主要包括网格优化和参数优化两个方面。
网格优化通过调整计算网格的精细程度和结构，提高数值模拟的计算精度和效率。
参数优化通过调整模型中的各种参数，提高数值模拟的准确性和可靠性。
2.1 网格优化网格优化是提高多孔介质数值模拟精度和效率的重要手段。
传统的网格优化方法包括均匀网格划分、自适应网格划分和多重网格方法等。
近年来，基于人工智能和机器学习的网格优化方法也得到了广泛应用。
数值模拟在传热学中的运用
科学技术 应用
数值模 拟在传 热学 中的运 用
徐 剑波 贵 州 省节 能监 测 中心 ，贵 州贵 阳 ５５０００１
摘 要 在传 热学 中 ，边 界 效应 一 直是 讨论 的重 要 问题 ，由于边 界 效应 的 不 确定 性 ，其 对 计 算和 实验 精 度 都会 存 在一定的影响。对影响边界效应因素的讨论和分析可以为计算和实验结果提供参考。本文在常功率二维非稳 态传热 的条件下 ，根据二维常功率平面热源法测量材料导热系数的基本原理 ，建立了考虑边界效应 的二 维传热模型 ，并进 行 数值 求 解 。讨论 了对 流 换 热 系数 、模 型 尺 寸大 小 、无量 纲数 毕 渥数对 边 界效 应 的影 响 。边界 效应 随 着对对 流换 热 系数的增 大而增强 ，随着模型尺寸的增大而减小。边界效应随着无量纲数毕渥数的变化分为两种情况 ：１）当导热 系数 和长度 不变 时 ，随毕 渥数 的增 大 而增 大 。２）当导 热 系数 和 对 流换 热 系数 不变 时 ，随毕 渥数 的增 大 而减 小。 关键 词 数 值模 拟 ；边界 效应 ；非稳 态 中图 分类 号 ＴＱＯ 文 献标 识码 Ａ 文章 编号 ２０９５—６ ３６３（２０１６）０５一Ｏ１ ３８一Ｏ１
伴 随 计 算 机 技 术 的 进 步 ，我们 之 前很 多遗 留 需 要 解 决 的传 热 问题 可 以用 数值 求解 的方 式 进 行 模 拟 解 决 。 数值 模 拟解 决 传热 学 问题 的基 本 的 思路 可 以大 概 总结 为 如 下 ：把 空间 、时 间坐 标 系 中 的温度 场 用根 据情 况 设 定 数量 的离散 点 上 的值 的集 合 来 替代 ，采 用计 算机 模 拟 求 解按 ～ 定方 程 建立 起 来 的这些 值 的循 环代 替方程 ，来 获 得 离散 点 上我 们 需要 的温 度场 的值 。这 一基 本 求解 思 路 描述 成 以 下几 点 ：１）根 据 实 际情 况 建 立 控 制 方 程及 定 解条 件 ；２）确 定研 究本 体 的相 关 节 点 ；３）建立 节 点物 理量 的相关代数方程 ；４）通过计算机设立温度场 的符 合研究对象的迭代初值 ；５）求解相关的代数方程组 ；６） 根据 计 算 出 的解 ，分析 我 们研 究所 要 达 到 的 目的 。这 ６ 个步 骤就 是 导热 问题 数值 求解 的基本 步骤 。
热物理过程的数值模拟-计算传热学3
四、非线笥问题迭代式解法的收敛性每一层次上满足迭代法求解的收敛条件+相邻次间代数方程的系数变化不太大（亦即未知量的变化不太大←多数情形下非线性问题迭代式解法是可以收敛的）。
使相邻两层次间未知量变化不太大的措施： 1、欠松弛迭代 常用逐次欠弛线迭法（SLUR ）：一组临时系数下逐线迭代求解+对所得的解施以欠松弛，再用欠松弛后的解去计算新的系数，常数，以进入下一层次的迭代。
实施：常把欠松弛处理纳入迭代过程，而不是在一个层次迭代完成后再行欠松弛。
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为一般化起见，上式中b t n 上没有标以迭代层次的符号（J ，GS 时不相同）。
2、采用拟非稳态法前面已指出，稳态问题的迭代解法与非稳态问题的步进法十分相似。
对于非线性稳态问题，从代数方程的一组临时系数进入到另一组临时系数亦好象非稳态问题前进了一个时间层，非稳态问题的物理特性：系数热惯性越大（↑∆∆=τρ/v c a op ），温度变化越慢，仿此，对稳态非线性问题，可在离散方程中加入拟非稳态项，以减小未知量托两个层次间的变化，即由)()1()1()()(n p o p n n n p o p p n n n n p p n t a b b bt a t a V S b a b b bt a t V S b a ++∑=+∆-∑⇒+∑=∆-∑++o pp n n po p n n n p a V S b a t a b b bt a t +∆-∑++∑=+)()1(一直进行到b t t n p ,收敛，虚拟时间步τ∆的大小通过计算实践确定。
流体学和传热学中的数值模拟
流体学和传热学中的数值模拟在现代科学技术的领域中，流体学和传热学作为研究流体动力学、热力学等基础理论的重要分支，在研究和应用领域中都有着广泛的应用。
而数值模拟作为流体学和传热学的重要手段，在实验和理论研究中具有不可替代的作用。
本文将探讨流体学和传热学中的数值模拟，并阐述其应用价值和未来发展趋势。
一、流体学中的数值模拟流体学作为研究流体运动及动力学规律的学科，涉及领域广泛，如气体、水流、油液等液态物质，甚至还包括感性认识中不易观察到的物质，如大气、地球等。
流体学的实验研究受到许多限制，而数值模拟则成为新的研究手段。
数值模拟的实现需要借助计算机运算，它可以对流体场、气态物质和混合物等的特性进行精确的数值计算，以得出它们的运动规律和属性。
数值模拟在流体学的研究中起到了重要作用，可以大大降低流体学研究成本，提高研究效率。
在流体学中，常用的数值模拟方法有有限元方法、有限体积方法、边界元法等。
有限元方法适用于复杂流动的数值模拟，它采用离散化的方法把流场分解为若干个小单元，进而用有限元的形式来处理流动方程。
有限体积法则是适用于自然对流、边界层和分界层等问题的数值模拟方法，它利用流量守恒原理将流场划分成网格区域，并通过对各点处物理量的计算反演整个流场的状态。
二、传热学中的数值模拟传热学作为热力学的重要分支，涵盖了热传导、对流传热和辐射传热等问题，其研究范围广泛。
在实验研究中，由于测试环境受到许多复杂因素的影响，为了精确测定物体热传递特性需要大量的试验研究，难以满足实际科研工作的需要。
而数值模拟技术可以通过模拟传热过程中能量的变化及其规律，准确地分析和预测温度场分布和热传递规律，具有较高的精度和低成本的优势。
传热学中的数值模拟方法也有很多，如有限差分法、有限元法、迭代法等。
有限差分法是一种经典的数值模拟方法，众所周知，通过把问题离散化在一定的几何形状行为网格,并在每个节点分别求解控制体积的方式，通过差分或差分方法预测物理过程的未来状态的数值方法。
数值传热学
数值传热学
t为了更好地理解热学中的非稳态传热现象，需要对其进行数值模拟，在数值传热学方法中，有一种方法叫做有限元方法，它是一种基于网格方法的非线性有限元方法。
ttt在研究和处理复杂工程问题时，为简化计算机求解代价高的无限大规模的实际物理问题，常采用网格技术，对复杂的多相流动或物体的运动状态进行模拟，并将该计算过程和成果称之为“数值模拟”。
ttt在应用数值传热学方法的过程中要注意这样几点：一是网格划分、初始条件及边界条件的选取要适当二是系统初始化要合理三是尽可能使所有的网格之间相互独立四是保证结果的重现性五是不要
忽视分辨率的概念六是分析与综合要紧密联系起来七是数值计算过
程要符合数学规，使输出的数据便于人们分析比较八是在数值计算过程中若发现新的或难以理解的情况或事件，应记录下来，待分析完后再去验证九是对所得到的结果要进行认真检查。
t有限单元法是在有限空间或无限体积中把某些大块区域作为节点，其他区域为单元，用有限个节点（单元）组成有限个相互连接的单元链。
这种方法将无限的区域离散化成有限个单元，在每个单元内假定一定的约束条件和单元本身的物理属性。
网格在三维空间中的布置形式，可以由连续函数来描述。
有限元法通过把物理问题分解成许多微小的单元，然后按照一定的节点连接关系进行组合，并假定这些单元遵循各自的约束条件。
当计算机通过网络将数据存入存储器中时，有限元法就得到了充分发挥，可以利用计算机快速运算获得高精度的解。
但由于有限元法是一
种离散化方法，因此如果计算时出现局部收敛性差的问题，很可能导致整个求解过程失败，从而影响最终结果的准确性。
数值传热_传热学上机实验_墙角稳态导热问题数值模拟
图一
二、 计算原理
本次上机模拟实验选等温边界条件。墙角是中心对称的，所以取其 1/4 研究， 方便计算机计算。上机模拟选取网格划分方法同实际实验，可根据热平衡法列 出节点方程，各方向导入单元体的热量之和为零。该边界条件下共有四类节点，
Hale Waihona Puke 内节点、内边界点、外边界点和绝热边界点。
图二
四种节点的节点方程简化如下：
eps=1; temp=A[i][j]; A[i][j]=(A[i-1][j]+A[i+1][j]+A[i][j-1]+A[i][j+1])/4; eps=A[i][j]-temp;
} eps=1; temp=A[0][j]; A[0][j]=(A[0][j-1]+A[0][j+1]+2*A[1][j])/4; eps=A[i][15]-temp; } //计算墙体外表面导热量 q_out=0; for(i=1;i<11;i++) q_out=q_out+A[i][0]-A[i][1]; for(j=1;j<15;j++) q_out=q_out+A[11][j]-A[10][j]; q_out=q_out+(A[0][0]-A[0][1]+A[11][15]-A[10][15])/2; q_out=q_out*0.53; //计算墙体内表面导热量 q_in=0; for(i=1;i<7;i++) q_in=q_in+A[i][4]-A[i][5]; for(j=5;j<15;j++) q_in=q_in+A[7][j]-A[6][j]; q_in=q_in+(A[0][4]-A[0][5]+A[7][15]-A[6][15])/2; q_in=q_in*0.53; //计算平均导热量和相对误差 q=(q_in+q_out)/2; eps=abs(q_in-q_out); } //输出结果 for(i=11;i>5;i--) { for(j=0;j<16;j++) out<<setw(8)<<setprecision(2)<<A[i][j]<<" "; out<<endl; } for(i=5;i>=0;i--) { for(j=0;j<6;j++) out<<setw(8)<<setprecision(2)<<A[i][j]<<" "; out<<endl; } out<<"墙体内表面导热量q_in="<<q_in<<"\n"; out<<"墙体外表面导热量q_out="<<q_out<<"\n"; out<<"墙体平均导热量q="<<q<<"\n"; return 0; }
传热学数值模拟
计算机在材料科学中的应用课程设计材料0707班组长：赵宇组员：杨林波阴晓宁王昆陈晓辉周琦2011/5/27目录一、课程设计及团队介绍 (2)二、课程设计内容 (3)模型1：蒸汽管道保温层的稳态温度场 (3)1、建立模型 (3)2、边界条件 (3)3、差分方程 (4)模型2：台式电脑CPU散热片的二维稳态温度场 (4)1、建立模型 (4)2、热传导方程 (5)3、边界条件 (5)4、初始条件 (6)5、差分方程 (6)模型3：无限大钢板淬火冷却过程一维非稳定温度场 (7)1．建立模型 (7)2. 热传导方程 (8)3．边界条件 (8)4．初始条件 (8)5．差分方程 (9)模型4：平板焊接过程的二维温度场 (11)1、建立模型 (11)2、边界条件 (12)3、初始条件 (12)4、差分方程 (13)模型5：立方体钢锭三维非稳定温度场 (14)1、建立模型 (14)2、边界条件 (14)3、初始条件 (15)4、差分方程 (15)模型6：T型钢淬火 (18)1、模型建立 (18)2、边界条件 (19)3、初始条件 (19)4、差分方程 (20)5、C语言源程序。
（略） (21)6、数据处理 (21)三、课程总结与感想 (25)1 / 26一、课程设计及团队介绍我们小组共有6人，包括组长赵宇，组员杨林波、阴晓宁、王昆、陈晓辉、周琦。
经过组员的共同努力，我们顺利的完成了本次作业。
我们的作业内容包括，6个实际问题的模型建立与差分方程推导，以及T型钢淬火模型的编程计算与数据处理等。
以下是我们小组各组员的任务完成情况：以下是我们小组各成员的排序情况：二、课程设计内容模型1：蒸汽管道保温层的稳态温度场1、建立模型为减少供热损失、保证管道工作安全，常在管道外加一层矿棉作为保温材料。
已知保温材料内径为，外径为，管道内饱和水蒸气的温度为，保温材料的热传导率为λ。
忽略沿管道方向的热传导，采用柱坐标系，可建立以下模型。
非均匀温度场下多孔介质传热数值模拟分析
非均匀温度场下多孔介质传热数值模拟分析在非均匀温度场下，多孔介质的传热特性成为了研究的重点。
通过数值模拟的方法，我们可以更好地理解多孔介质传热的机理，并为相关工程应用提供指导。
本文将通过分析非均匀温度场下的多孔介质传热数值模拟研究，来探讨其中的关键问题和应用前景。
首先，我们需要明确多孔介质传热现象的特点。
多孔介质是由固体颗粒和孔隙组成的材料，这些孔隙可以是连通的，也可以是孤立的。
在非均匀温度场下，传热现象往往会受到温度梯度的影响，导致热流的不均匀分布。
此外，多孔介质的传导、对流和辐射传热机制也需要同时考虑。
接下来，我们可以通过数值模拟的方法来研究非均匀温度场下的多孔介质传热问题。
数值模拟的基本思路是将传热问题转化为数学方程，然后通过计算机求解这些方程。
常用的数值模拟方法有有限元方法、有限体积法和边界元法等。
这些方法可以对多孔介质的不同尺度、不同物理过程进行模拟和分析，从而提供了详细的传热特性和温度场分布信息。
在进行数值模拟之前，我们需要先建立多孔介质的模型。
模型建立的关键是选择合适的几何形状和边界条件。
常见的多孔介质几何形状有平板、圆柱和球等。
边界条件可以是固定温度、热流量或热通量等。
根据不同的研究目的和实际情况，选择合适的模型和边界条件对于准确模拟多孔介质传热至关重要。
模型建立完成后，我们可以通过数值方法求解传热方程，得到多孔介质的温度场分布和热流分布。
在非均匀温度场下，热流的分布往往会导致温度场的不均匀变化。
通过数值模拟，我们可以分析不同的参数对传热特性的影响，如孔隙率、多孔介质的导热系数、温度梯度等。
数值模拟不仅可以提供多孔介质传热特性的定量分析，还可以为相关工程应用提供指导。
例如，在地热能开发中，多孔介质传热数值模拟可以帮助我们了解地下热储层的温度分布和热流分布，从而指导热储层的设计和开发。
在建筑节能领域，多孔介质传热数值模拟可以帮助我们分析建筑材料的传热特性，优化建筑结构和绝热层的设计。
浅谈数值模拟软件在本科教学中的应用——以能源动力专业传热学课程为例
［摘要］能源动力专业主要研究能源开发与利用，对热工设备进行设计和测试。
该专业学生需要学习能量的转换和利用理论，提高能量利用效率。
传热学作为能源动力专业的核心基础课程之一，在学生了解专业内容、架构专业知识体系过程中有着重要的作用。
因数学性和逻辑性较强，在传热学理论学习过程中，学生面临着很大的困难。
因此，为强化学生对传热理论的理解，在传热学教学中，引入数值模拟方法，将实际的传热问题理论化、模型化，运用计算机进行求解，并利用后处理软件描绘温度场。
通过实践证明，通过利用模拟软件对传热问题进行计算和后处理，能够使学生直观地观察温度分布，有助于学生深入理解传热机理，有利于学生对传热学知识的学习和掌握，更有利于培养学生的创新意识和科学素养，激发学生投身科学研究事业的兴趣和热情。
［关键词］传热学；数值模拟；教学方法［中图分类号］G642［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2024）12-0097-04浅谈数值模拟软件在本科教学中的应用①———以能源动力专业传热学课程为例吴青，王广，李林永，宁培杰，廖英可（桂林航天工业学院航空宇航学院，广西桂林530001）一、引言数值传热学是传热学与数值计算方法相结合的交叉学科[1]，在探索未知领域和促进科技发展方面有着不可替代的作用[2]，因而，在现有本科生及研究生的传热学教学设计中，已经将数值模拟计算作为一种重要的教学方法。
王锁芳在能源动力类研究生的协同培养中提出，在传热学的教学中，增加学生对模拟软件的使用频率，鼓励学生将仿真模拟结果与实验结果相结合，培养学生解决问题的动手能力，锻炼学生思维的转化能力[3]。
杜敏和王助良提出将CFD 技术引入“数值传热学”教学中，介绍了网格划分技术和湍流模型的选择，并对耦合传热问题进行求解，通过CFD 的图显功能解决传热学抽象不易理解的问题，提高了教学质量和效率[4]。
向夏楠在课堂教学中引入CFD 技术，以网格划分、外掠管束和换热器等几个实践教学案例，提高教学质量，奠定专业课基础[5]。
热传导和导热性质的数值模拟
热传导和导热性质的数值模拟热传导是物质内部由于温度差异而产生的热能传递现象，是我们日常生活中不可忽视的物理过程。
研究热传导过程及物质导热性质的数值模拟，对于工业生产、能源利用和环境保护等方面都具有重要意义。
热传导的基本原理是热能从高温区传递到低温区，它的速率受到环境条件、材料性质和结构形态等多种因素的影响。
因此，准确地描述和预测热传导的过程对于设计高效的热交换设备和热障涂层等应用具有重要价值。
数值模拟是一种通过计算机仿真来预测物理现象的方法。
在热传导和导热性质的数值模拟中，常用的方法有有限元法（Finite Element Method，FEM）和有限差分法（Finite Difference Method，FDM）等。
有限元法是一种常用的数值模拟方法，它将待模拟的物理系统离散成有限数量个单元，在每个单元内用简单的数学模型描述系统的行为。
通过对这些单元进行组合和连接，可以得到整个物理系统的模型。
有限元法简化了计算复杂度，可以用来模拟包括热传导在内的复杂物理过程。
有限差分法则是一种基于差分近似的数值模拟方法，相对于有限元法而言，它对计算单元的选取和组合没有那么大的要求。
有限差分法将连续的物理系统离散成网格，通过近似计算导数和微分方程，来获取物理系统在离散点上的数值解。
而在热传导和导热性质的数值模拟中，我们首先需要确定热传导的基本方程。
热传导方程是一个偏微分方程，描述了热量在物质中的传递过程。
它可以通过热传导定律得到，即热流密度等于导热系数与温度梯度的乘积。
利用有限元法和有限差分法可以求解热传导方程，进而得到物质的热传导过程和导热性质。
在模拟中，我们通常需要提供初始条件和边界条件，以便得到准确的数值解。
初始条件是指在模拟开始时系统中各点的温度分布情况，而边界条件则是指在热传导过程中特定位置的温度或热流的变化情况。
通过热传导和导热性质的数值模拟，我们可以研究材料的热传导过程，分析导热性能对材料性能的影响，优化材料的导热性能，提高热能利用效率。
热物理过程的数值模拟-计算传热学1
热物理过程的数值模拟Numerical Simulation of Thermophysics Process讲稿主讲：李隆键第一章概论1．1流动与传热过程的予测方法及特点流动、传热、燃烧问题是热工类各专业和机械类动力机械专业所研究和解决的主要问题之一，燃烧问题实际上是有化学反应的流动与传热问题，推而广之，在所有热物理过程中，几乎都涉及到流动、传热问题。
预测的重要性：①在规定设计参数的相应的结构下，热物理过程是否满足要求，达到预定的指标？要预测；②优化设计，不同方案的比较，要预测；③减少设计、生产、再设计和再生产的费用；④减少设计更改；⑤减少试验和测量次数。
问题的核心：速度场、温度场（传热量）、浓度场等。
一、热物理问题的予测方法：理论分析法、实验测定、数值模拟1、理论分析以数学分析为基础，求解描述热物理过程的定解问题，获得函数形式的解，表示求解区域内物理量连续分布的场（速度场、温度场、浓度场……）。
控制方程+单值条件（数学模型）→理论解（分析解，解析解）根据解的准确程度，又可再分为：（1）精确分析解（严格解）特点：函数形式的解；它在求解区域精确地满足定解问题。
具体解法：直接积分法、分离变量法、积分变换法、热源法、映射法。
（2）近似分析解法特点：函数形式的解，在求解区域上近似地满足定解问题（但在总量上满足相应的守恒原理，动量守恒、动量守恒、能量守恒、质量守恒）。
具体解法：积分法（从积分方程出发）变分近似解法摄动法（从微分方程出发）2、实验测定（1）纯实验法（2）相似理论实验法：同类相似，减少变量数目→减少工作量，得到规律性结果，可直接应用。
（3）实验类比法：异类相似—物理现象不同，规律相同：微分方程形式相同，单值性条件类似电热类比，水热类比……3、数值模拟以数值计算方法为基础，借助（利用）电子计算机求解物理过程的方法—热物理过程的数值模拟，对传热过程称为传热的数值模拟、数值传热、计算传热。
如前述，传热过程函盖了流动、燃烧，所以计算传热学实质上就代表了热物理过理过程的数值模拟。
热物理过程的数值模拟-计算传热学2
2．迁移性传递过程的两种机制：扩散传递、对流传递两种机制在物理特上的差异：对信息或扰动的传递性质上有很大的区别扩散传递：物质分子不规则热运动所致，这种分子的不规则热运动对空间不同方向的几率是一样，所以扩扩散作用可以把发生在某一位置处的扰动影响向各个方向传递。
对流传递：是流体微团的宏观定向运动，带有强烈的方向性。
对流作用只能将发生在某一位置处的扰动向其下游方向传递，而不会逆向传播。
图示xετo τ1 τ2 扩散对流xετo τ1τ2扩散与对流作用在物理本质上的这种差异，应在其各自的差分格式中反映出来。
（1）扩散项的中心差分把扰动向四周均匀传递 一堆非稳态扩散方程：)()(xx ∂∂Γ∂∂=∂∂φτρφ 对于常物性22222xφτφρ∂Γ= 差分格式（时间导数向前差分，空间导数中心差分（显示）），均匀网格x x δ=∆2111)(2x n i n i n i n i n i ∆+-Γ=∆-=-++φφφτφφρ 为简化起见，假定初始时刻物理量场已均匀化，且0=φ，在某一时刻（例如第n 时层），节点i 处突然有一个扰动ε，而其余各节点的扰动均匀为零，如图所示，随着时间的推移，这一扰动传递的情形可由上述差分方程来确定，（n+1）时层：2111)(2x ni n i n i n i n i ∆+-Γ=∆--++φφφτφφρ 其中011==-+ni n i φφ ∴)21())(21(221xx n i n i ∆Γ∆-=Γ∆∆-=+ρτερτφφ 在这里，网格傅里叶数)/(2x F ∆Γ∆=∆ρτ，按稳定性要求，1210,2/122≤∆Γ∆-≤∴≤∆Γ∆x x ρτρτ，对节点i+1：2121112xn i n i n i n i n i ∆+-Γ=∆-+++++φφφτφφρ 其中0211==+++ni n i φφ∴)()(2211x x ni n i ∆Γ∆=∆Γ∆=++ρτερτφφ 类似地有：211)(xn i ∆Γ∆=+-ρτεφ 如果取25.0)/(2=∆Γ∆x ρτ，则：εφφεφ25.0,5.011111===+-+++n i n i n ini-2 i-1 ii +1 i +2 i +3xφεi-2 i-1 ii +1 i +2 i +3xφN+125.0)/(2=∆Γ∆x ρτ时，在扩散作用下扰动的传递由图可见，在扩散作用下，n 时刻发生在节点i 处的扰动ε，到n+1时刻均匀地向两侧传递开去。
传热换热过程的数值模拟与优化
传热换热过程的数值模拟与优化热传导是指物体之间因温度差异而产生的热量传递过程。
在工程学和物理学中，热传导是非常重要的一项研究内容，尤其是在传热换热领域中。
传热换热是指通过热传导、对流和辐射等方式在物体之间传递热量的过程。
对于不同的传热换热问题，我们需要进行数值模拟和优化来得到更加准确的结果。
在传热换热领域中，数值模拟是一种非常重要的手段。
数值模拟是指通过数学模型和计算机模拟的方法来研究物理现象的过程。
在传热换热领域中，我们可以根据不同的物理现象建立不同的数学模型。
例如，对于热传导问题，我们可以使用热传导方程进行建模。
热传导方程可以用来描述热量在时间和空间上的变化规律。
对于一个具体的传热换热问题，我们可以使用有限元方法或有限差分方法等数值方法对热传导方程进行求解，从而得到比较准确的数值结果。
除了数值模拟外，优化也是传热换热领域中非常重要的一部分。
优化是指通过不断改进设计以得到更好性能的过程。
在传热换热领域中，我们通常需要优化一些参数，如热传导系数、几何形状等，以提高传热效率或者减少传热损失等。
针对不同的优化问题，我们可以使用不同的优化方法。
例如，对于单目标优化问题，我们可以使用梯度下降法和遗传算法等方法；对于多目标优化问题，我们可以使用多目标遗传算法或粒子群优化等方法。
通过选择合适的优化方法并对其进行改进，我们可以得到更加精确和高效的优化结果。
在实际应用中，数值模拟和优化也经常被应用于传热换热器的设计中。
传热换热器是一种能够在物体之间传递热量的设备，广泛应用于化工、电力、食品等行业中。
传热换热器的性能往往与其结构和工艺有很大关系。
通过运用数值模拟和优化方法，我们可以对传热换热器的结构和工艺进行优化，以提高性能和减少能源损耗。
总之，在传热换热领域中，数值模拟和优化都是非常重要和有效的手段。
通过有效使用这些手段，我们可以得到更加准确的结果和更加高效的解决方案，为传热换热领域的研究和应用提供有力的支持。
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计算机在材料科学中的应用课程设计材料0707班组长：赵宇组员：杨林波阴晓宁王昆陈晓辉周琦2011/5/27目录一、课程设计及团队介绍 (2)二、课程设计内容 (3)模型1：蒸汽管道保温层的稳态温度场 (3)1、建立模型 (3)2、边界条件 (3)3、差分方程 (4)模型2：台式电脑CPU散热片的二维稳态温度场 (4)1、建立模型 (4)2、热传导方程 (5)3、边界条件 (5)4、初始条件 (6)5、差分方程 (6)模型3：无限大钢板淬火冷却过程一维非稳定温度场 (7)1．建立模型 (7)2. 热传导方程 (8)3．边界条件 (8)4．初始条件 (8)5．差分方程 (9)模型4：平板焊接过程的二维温度场 (11)1、建立模型 (11)2、边界条件 (12)3、初始条件 (12)4、差分方程 (13)模型5：立方体钢锭三维非稳定温度场 (14)1、建立模型 (14)2、边界条件 (14)3、初始条件 (15)4、差分方程 (15)模型6：T型钢淬火 (18)1、模型建立 (18)2、边界条件 (19)3、初始条件 (19)4、差分方程 (20)5、C语言源程序。
（略） (21)6、数据处理 (21)三、课程总结与感想 (25)1 / 26一、课程设计及团队介绍我们小组共有6人，包括组长赵宇，组员杨林波、阴晓宁、王昆、陈晓辉、周琦。
经过组员的共同努力，我们顺利的完成了本次作业。
我们的作业内容包括，6个实际问题的模型建立与差分方程推导，以及T型钢淬火模型的编程计算与数据处理等。
以下是我们小组各组员的任务完成情况：以下是我们小组各成员的排序情况：二、课程设计内容模型1：蒸汽管道保温层的稳态温度场1、建立模型为减少供热损失、保证管道工作安全，常在管道外加一层矿棉作为保温材料。
已知保温材料内径为，外径为，管道内饱和水蒸气的温度为，保温材料的热传导率为λ。
忽略沿管道方向的热传导，采用柱坐标系，可建立以下模型。
2、边界条件内表面：=，内表面温度近似等于饱和蒸汽温度外表面：是环境温度,h是保温层表面的换热系数。
3 / 263、差分方程沿径向取N个节点，步长为。
内表面节点差分方程：内部节点差分方程：外表面节点差分方程：模型2：台式电脑CPU散热片的二维稳态温度场1、建立模型传统CPU散热片如图1所示。
为了模拟散热片的稳态传热过程，忽略散热片在水平方向的传热，建立二维模型近似描述散热片的二维稳态传热过程。
4 / 265 / 26在这个二维模型中采用以下几点假定： （1）材料的热物性不随温度变化; （2）材料各向同性;（3）考虑工件与空气的对流换热; （4）工件为二维有限大物体。
2、热传导方程根据工件的形状，如上图所示，采用直角坐标系，这样材料内部的热传导方程为：)(2222y T x T t T ∂∂+∂∂=∂∂α （1-1）式中：pC ρλα=，为材料的热扩散率，ρ为密度，Cp 为比热, λ为热传导率，T 为温度，t 为时间。
材料的热物性参数，比热Cp ，热传导系数λ和密度ρ均不随温度变化。
又因为CPU 散热片为稳态散热过程，所以（1-1）式中=0。
所以本模型中采用下式为热传导方程：=03、边界条件 靠近CPU 的表面（ ）,q 为CPU 对散热片表面的热流密度上下表面，为散热片与空气的对流换热系数靠近风扇的表面，为风扇条件下散热片与空气的对流换热系数4、初始条件室温为一常数，取20℃或293K5、差分方程x方向节点数为N1，y方向的节点数为N2；x方向步长为Δx,y方向步长为Δy，x方向与y方向的步长相等（Δx=Δy）；时间步长为Δt。
内部节点差方程，，，（，，）边上节点差分方程，，，，，，，，6 / 26，，角上节点差分方程模型3：无限大钢板淬火冷却过程一维非稳定温度场1．建立模型钢铁材料在炉中加热到超过奥氏体转变点后，发生奥氏体化转变，然后放到淬火介质中现快速冷却，就可获得马氏体，从而实现钢铁材料的淬火硬化。
钢板是一种在工业界常用的工件，它的淬火硬化过程是一个涉及到相变、热传导、热对流的三维非稳态传热问题。
当长方柱体的长度与其截面尺寸都较大时，可忽略Y、Z方向导热，这时可用一维模型来近似地描述无限大钢板淬火冷却过程的传热过程，在这个一维模型中采用以下几点假定1）工件为一维无限大平板。
2）材料的热物性参数不随温度变化。
7 / 268 / 263）不考虑相变潜热。
4）考虑工件与淬火介质的对流换热。
5）材料各向同性。
2. 热传导方程根据工件的形状，采用一维直角坐标系，这样材料内部的热传导方程为： ¶T ¶t=a ¶2T ¶x 2式中：pC ρλα=，为材料的热扩散率，ρ为密度，Cp 为比热, λ为热传导率，T 为温度，t 为时间。
材料的热物性参数，比热Cp ，热传导系数λ和密度ρ均不随温度变化。
3．边界条件外表面：)(a T T h n T-=∂∂-λ， T 是工件表面的温度，Ta 是淬火介质温度，n 是外表面的外法线方向，h 是材料表面与淬火介质的换热系数。
4．初始条件初始时刻工件整体温度分布均匀，9 / 265．差分方程心部节点差分方程（绝热）：X 方向的步长为x ∆，时间步长为t ∆。
心部节点编号为（1），右边相邻节点为（2）,假定截面积为1，围绕节点（1）的单元控制体积为（D x2.1）。
对（1）单元体，t ∆时间间隔内的内能变化为D U D t =r ×C p ×(D x 2×1)T i n +1-T i nD t在t ∆时间间隔内从右边相邻的单元体流入（1）单元体的热量分别为Q 2®1=l ×T 2n -T 1nD x根据能量守恒原则D UD t =Q 2®1将以上各式代入，整理后得T1n +1=h l D t r C p ×T 2n -T 1n (D x )2+T 1n令，pC ρλα=，2x tF x ∆∆=α，则心部节点差分方程变为：T 1n +1=T 1n +2F x (T 2n —T 1n) 内部节点差分方程X 方向的步长为x ∆，时间步长为t ∆。
心部节点编号为（i ），左右10 / 26相邻两节点为（i-1）和（i+1）,假定截面积为1，围绕节点（i ）的单元控制体积为D x ×1()。
对（i ）单元体，t ∆时间间隔内的内能变化为D U D t =r ×C p ×D x (×1)T i n +1-T i nD t在t ∆时间间隔内从左右两个相邻的单元体流入（i ）单元体的热量分别为Q i -1®i =l ×T i -1n -T inD xQ i +1®i =l ×T i +1n -T in D x 根据能量守恒原则D UD t =Q i -1®i +Q i +1®i将以上各式代入，整理后得T in +1=h l D t r C p ×T i +1n -2T i n +T i -1n(D x )2+T i n令，pC ρλα=，2x tF x ∆∆=α，则内部节点差分方程变为：T in +1=T i n +F x (T i +1n -2T i n +T i -1n) 外部节点方程（换热h ， ）X 方向的步长为N ，时间步长为t ∆。
外部节点编号为（N ），左边相邻节点为（N －1）,假定截面积为1，围绕节点（N ）的单元控制体积为（D x2.1）。
对（N ）单元体，t ∆时间间隔内的内能变化为D U D t =r ×C p ×(D x 2×1)T N n +1-T NnD t11 / 26在t ∆时间间隔内从左边相邻的单元体流入（N ）单元体的热量别为Q N -1®N=l ×T N -1n -T Nn D x从边界流入（N ）单元体的热量为Q =h (T a -T N n) 根据能量守恒原则D UD t =Q N -1®N +Q将以上各式代入，整理后得TNn +1=2h l D t r C p ×T N -1n -T N n (D x )2+2h D t r C P ×T a -T N nD x +T Nn令，pC ρλα=，2x tF x ∆∆=α，则外部节点差分方程变为：)(2)(211nN f xnN nN x nN n NT T xh F T T F T T -∆+-+=-+λ模型4：平板焊接过程的二维温度场1、建立模型平板焊接过程是一个涉及到相变、热传导、热对流、热辐射的三维非稳态传热问题。
当平板长宽的长度与厚度相差较大且焊接速度较快时，可忽略其厚度方向上的热传导，这时可是二维模型来近似地描述焊接过程中的传热过程。
在这个二维模型中采用以下几点假定。
1）材料表面对热能的吸收系数不随温度变化。
2）材料的热物性参数不随温度变化。
3）不考虑相变潜热。
4）考虑工件的辐射与空气对流换热。
5）焊条与平板材料相同且初始温度一定。
6）材料各向同性。
7）工件为二维有限大物体。
8）不考虑焊点处形变2、边界条件上表面：),,(txQyT-=∂∂-λ其它表面：)(aTThnT-=∂∂-λ式中，T是工件表面的温度，Ta是环境温度。
n是其它表面的外法线方向。
h是材料表面总的换热系数，包括空气对流和热辐射换热。
h=hk+hs, hk 为对流换热系数，hs为辐射换热系数。
Q（x，t）是焊接过程中材料能量随时间的变化函数3、初始条件初始时刻工件整体温度分布均匀。
12 / 2613 / 264、差分方程由于焊点的对称性，取工件整体区域的一半求解。
X 方向节点数为N1，Y 方向节点数为N2。
X 方向的步长为x ∆，Y 方向的步长为y ∆，时间步长为t ∆内部节点差分方程：))(2)(2(21,,1,2,1,,1,1,y T T T x T T T tT T nj i n j i n j i nji n j i n j i nji n ji ∆+-+∆+-=∆--+-++α令，2x tF x ∆∆=α，2y tF y ∆∆=α，y x F F F 2211--=则内部节点差分方程变为：)()(1,1,,1,1,11,nj i nj i y nj i nj i x nj i n ji T T F T T F T F T -+-++++++=四条线边界节点的差分方程： 1) )(21,11,1,2,111,1nj n j y n j x n j n jT T F T F T F T -+++++=2) )()(22)(1,2,1,11,11,111,i Q T T yC t h T F T T F T F T ni a p ni y ni ni x ni n i +-∆∆++++=-++ρ 3) )(22)(2,12,2,12,12,112,nN i a p nN i y nN i n N i x n N i n N i T T yC t h T F T T F T F T -∆∆++++=--++ρ 4))(2)(2,11,11,1,11,111,1nj N a p nj N n j N y n j N x n j N n jN T T xC t h T T F T F T F T -∆∆++++=+--+ρ四个角边界节点的差分方程：1) )1()(2)221,11,12,11,21,1111,1Q T T yC t h T T F T F T F T na p nj n y n x n n +-∆∆++++=-+ρ2) )(2222,112,12,22,1112,1nN a p nN y n N x n N n N T T yC t h T F T F T F T -∆∆+++=-+ρ3))1()(2221,12,11,111,1111,1N Q T T yC t h T F T F T F T nN a p nN y n N x n N n N +-∆∆+++=-+ρ4)))(11(2222,112,12,112,1112,1nNNapnNNynNNxnNNnNNTTxyCthTFTFTFT-∆+∆∆+++=--+ρ模型5：立方体钢锭三维非稳定温度场1、建立模型采用以下几点假定:1)材料的热物性参数不随温度变化。