2015-2016-上海理工大学高数A1-期中考试 - 答案

4
(端点处连续可导必须利用定义)
1
又 f (0 ) lim f ( x) lim x e x 0 ， f (0) 0 ， f ( x) 0 ， f (0 ) lim
x 0 x 0 x 0
则 f ( x) 在 x 0 处连续, 进而 f ( x) 在 ( , ) 上连续. 当 x 0 时， f ( x) 0 ；当 x 0 时， f ( x) 4 x e x x e x
圆柱体体积 V πr h π( R
2 2
当x
2R 3π 2R 时， f ( x) 0 ，唯一驻点； f ( x) x ， f ( ) 0 ， 2 3 3 2R 时， f ( x) 取极大值，也就是最大值. 3 2R 2 2 ， r R h4 3
2 3
3 4 1 1 1 1 2 x ； (4 1)e x x 2 x
1 x 4e x 0 00 3 x ， 当 x 0 时， f (0) lim f (0) lim lim x e 0 ，则 f (0) 0 0 x 0 x 0 x 0 x x 1 x 2 (4 x 1)e x , x 0 故 f ( x) 在 ( , ) 上可导，且 f ( x) . 0, x0 六、(本题 12 分) 求内接于半径为 R 的球内体积最大的圆柱体的半径和高.
x2 2 x x2 2 x 1 1 lim f ( x) lim lim lim ; 2 2 x 0 x 0 | x | ( x 4) x 0 x ( x 4) x 0 ( x 2) 2 lim f ( x) lim
2
ln(1 x) . 1 x2
2015--2016--A(1)期中----
2
1 x 4 e x , x 0, 五、(本题 16 分) 设 f ( x) 讨论 f ( x) 的连续性和可导性，并求 f ( x) . 0, x 0,
解： f ( x) 在 ( , 0) 和 (0, ) 上连续,
1 1 2 x sin x x 2 1 x lim 2 2 lim 2 lim 2 2 1 . x 0 x 0 x x 0 x 2 x
3. lim x x 1 . ( 1 利用重要极限或者洛必达法则)
x 1
1 x 2 1
1 2

解： lim x
x 1
sin x
arccos 1 2 x ，求 y . (幂指函数求导转化为指数函数)
) (arccos 1 2 x ) esin x ln x (cos x ln x sin x 1 . ) x 2 x(1 2 x) 2 sin x 1 ) x 1 (1 2 x) 2 1 2 x
证明： 令 f ( x) (1 x ) arctan x ln(1 x) ， 则 f ( x) 2 x arctan x 1 当 x 0 时， f ( x) 0 ， f ( x) 在 [0, ) 单调增加, 又 f (0) 0
则当 x 0 时， f ( x) 0 ，即 (1 x ) arctan x ln(1 x) 0 ，亦即 arctan x
解： y (e
sin x ln x
x sin x (cos x ln x
x
5. 设 e xy 1 0 确定函数 y f ( x) , 求 y (1) . 解：方程两边对 x 求导，有 e y xy 0 ，解得 y
x
ex y . 当 x 1 时， y e 1 . 故 y (1) 1 x
x2 2x 1 1 lim f ( x) lim lim ， x 2 为 f ( x) 的可去间断点. x 2 x 2 | x | ( x 2 4) x 2 x 2 4
四、(本题 12 分) 证明：当 x 0 时， arctan x
2
ln(1 x) . 1 x2 1 x 2 x arctan x 1 x 1 x
x
y 2x 1
. ( y 1 e ， y(0) 2 ，过点 (0,1) )
x
二、计算下列各题. (每小题 5 分，共 30 分)
x 2 sin
1.
lim
x 0
sin x
1 x . (等价无穷小，有界函数与无穷小乘积)
1 1 x 2 sin x lim x lim x sin 1 0 解： lim x 0 sin x x 0 x 0 x x x 2 sin
( f ( x)
2a 1 1 0 , a , 注：不包含端点，因为端点处，为常函数) 2 ( x 2) 2
3 2 2
5. 函数 y x 3 x 6 x 的拐点为 (1, 4) . ( y 3 x 6 x 6 , y 6 x 6 ，注意拐点形式) 6. 曲线 y x e 在 x 0 处的切线方程为
2.
1 x sin x e x . (拆项后利用等价无穷小) lim x 0 ln(1 x 2 )
2 2 2
2
1 x sin x e x 1 x sin x 1 1 e x 1 x sin x 1 1 ex 解： lim lim lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 2 ln(1 x 2 ) x2 x2
6. 设
x ln(1 t )
2 y t 2t
，求
dy d 2 y ， . dx dx 2
dy dt dx dt
(参数方程求导)
解：
dx 2 dy dy 2t 2 ， , dt 1 t d t dx

百度文库
2t 2
1 1 t
2(t 1) 2 ；
d2 y dx 2
x 0
x 0
x2 2 x x2 2 x 1 1 lim lim ; x 0 为 f ( x) 的跳跃间断点. 2 2 | x | ( x 4) x0 x ( x 4) x 0 x 2 2
x 2
lim f ( x) lim
x2 2 x 1 lim ， x 2 为 f ( x) 的无穷间断点. 2 x 2 | x | ( x 4) x 2 x2
lim(1 x 1)
x 1
1 1 x 1 x 1
e
lim
1
x1 x 1
e 或 lim x
x 1
1 2
1 x 2 1
e
lim
ln x
x1 x 2 1
e
lim
1 x
x1 2 x
e2 .
1
2015--2016--A(1)期中----
1
4. 设 y x
1
. 解：设圆柱体的半径为 r ，高为 h ，则 r h 2 R
2 2 2
1 2 π h )h πR 2 h h3 ， 0 h 2 R 4 4 π 3 3π 2 2 2 令 f ( x) πR x x (0 x 2 R ) ，则 f ( x) πR x ， 4 4
2 2 2
2. 当 x 0 时， sin(sin x ) 是 x 的 3. 已知 f (0) 1 ， lim
h 0
f (h) f (3h) 2h
2
.
(导数定义)
4. 设函数 f ( x)
ax 1 1 在，且 f ( x) 在 ( 2, ) 上单调递增，则 a 的取值范围为 ( , ) . x2 2
d dt
y (d dx ) dx dt

4(t 1)
1 1 t
4(t 1) 2 .
三、(本题 12 分) 确定函数 f ( x )
x2 2x 的间断点，并指出类型. | x | ( x 2 4)
解：当 x 0 ， x 2 ， x 2 时，分母为零，为 f ( x) 的间断点.
2015/2016 学年第一学期 高等数学 A1(期中)课程考核试卷 A□、B□
一、填空题：(每空 3 分，共 18 分) 1. lim
cos n n 2n 1
0
.
2
( lim
1 0 ， cos n 有界，无穷小乘以有界函数为无穷小) n 2n 1
2
阶无穷小. ( x 0 ， sin(sin x ) sin x x )
当x
故当高 h
R 时，圆柱体体积最大.
2015--2016--A(1)期中----
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