定积分的换元法和分布积分法

0 t 5dt t 6 1 1 .
1
66
0
例2
计算
sin3 x sin5 xdx.
0
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
x
sin
一、定积分的换元法
定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t ) 在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t ) 的值 在[a,b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b，
则
有 b a
f
(
x)dx
f [ (t)] (t)dt .
0
0
（2）设 x t dx dt,
x 0 t ,
x t 0,
0
0 xf (sin x)dx ( t) f [sin( t)]dt
0 ( t) f (sin t)dt,
0 xf (sin x)dx 0 f (sin t)dt 0 tf (sin t)dt
0 f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
Hale Waihona Puke Baidu
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x2
2
2 sin
2 5
x2
4.
5
05
5
2
3
e4
dx
例3
计算 e
x
. ln x(1 ln x)
3
解
原式 e4 e
d(ln x) ln x(1 ln x)
3
3
e4
e
d(ln x)
e4
ln x (1 ln x) 2 e
a
20 f (t)dt;
② f ( x)为奇函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
0.
例6 计算 1 2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
3
2 arcsin(
ln x)
e4 e
. 6
d ln x 1 ( ln x)2
例4
a
计算
0 x
1
dx.
a2 x2
(a 0)
解 令 x a sin t, dx a cos tdt,
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
f (sin x)dx .
0
20
由此计算
x sin x 0 1 cos2 x
dx .
证 （1）设 x t dx dt, 2
x 0 t ,
2
x t 0, 2
2 f (sin x)dx
0
0
2
f
sin
2
t
dt
2 f (cos t)dt 2 f (cos x)dx;
x2 1
x
2
dx
1
40
x2(1 1 x2 ) 1 (1 x2 ) dx
1
40 (1
1
x2
)dx
4
4 1 0
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx ;
0
0
（2）
xf (sin x)dx
导数，则有
b
a udv
uv b a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
推导
uv uv uv,
b
a (
uv
)dx
b
uv a
,
uv
b a
b
a
uvdx
b
a
uvdx,
b
udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
1
例8 计算 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 1 ln sin t
22 2
cos
t
2 0
. 4
例 5 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a
a
f
( x)dx
a
20
f
( x)dx ；
证 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
b
a f ( x)dx F (b) F (a),
(t) F[(t)],
(t) dF dx f ( x) (t) f [(t)](t),
dx dt
(t)是 f [ (t )] (t )的一个原函数.
f
[(t )](t )dt
()
(),
( ) a、( ) b,
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t ) 然后相减就行了.
例1 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
解 令 t cos x, dt sin xdx,
x t 0,
2
2 cos5 x sin xdx 0
x 0 t 1,
1
2 0
arcsin
xdx
x
arcsin
x
1 2
0
1
2 0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1
1 x2
②
f
(
x
)
为奇函数，则
a
a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
a
a
0
在 0 a
f
( x)dx 中令x
t,
0
a
f
( x)dx
0
a
f
( t )dt
a
0
f
( t )dt ,
① f ( x)为偶函数，则 f (t) f (t),
a
0
a
a f ( x)dx a f ( x)dx 0 f ( x)dx
( ) ( ) F[( )] F[( )]
F(b) F(a),
b
a
f
(
x
)dx
F
(b)
F
(a
)
(
)
(
)
f [ (t)](t)dt.
注意 当 时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t )把变量 x 换成新变量t 时，积分限也
相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t ) 后，不
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin cos
x
2
x
dx
2
0
1
sin x cos2
x
dx
2
0
1
1 cos 2
x
d
(cos
x)
2
arctan(cos
x)0
( ) 2 . 2 44 4
二、分部积分公式
设函数u( x)、v( x)在区间a,b上具有连续