2012考研数学二真题(文字版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析
2 0 0 1
2
故选（B）。 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（9）设 y = y(x) 是由方程 x2 − y +1 =ey 所确定的隐函数，则
【答案】：1
________。
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（10）计算
lim
x→∞
n
1
1 + n2
+
22
1 +
n2
+…+
n2
1 +
n2
= ________。
π
【答案】：
4
【解析= 】：原式
∑ lim
n→∞
1 n
n i=1
1+= 1ni 2
∫= 1 dx
0 1+ x2
arc= tan x 1 0
（A）
2
1
1
（B）
1
2
2
（C）
1
2
2
（D）
2
1
【答案】：（B）
1 0 0
1 0 0
【解析】：
Q
=
P
1
1
0
，则
Q
−1
=
−1
1
0
P
−1
，
0 0 1
2012年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x xy x +=-的渐近线条数( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '=( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是()(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -=( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2， (I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ）【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。
2012考研数学二真题及参考答案
2012考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!nn -- （C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn - 【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件. 【答案】：(A)【解析】：由于0na >，则1n n a ∞=∑为正项级数，S n=a 1+a 2+…a n为正项级数1n n a ∞=∑的前n 项和。
正项级数前n 项和有界与正向级数1nn a∞=∑收敛是充要条件。
故选A（4）设2kx keI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3. (B) I 2< I 2< I 3.(C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3. 【答案】：(D) 【解析】：：2sin kx k eI e xdx=⎰看为以k为自变量的函数，则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈，即可知2sin k x k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数，又由于()1,2,30,π∈，则123I I I <<，故选D（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f(x 2,y 2)成立的一个充分条件是(A) x 1> x 2, y 1< y 2. (B) x 1> x 2, y 1>y 1.(C) x 1< x 2, y 1< y 2.(D) x 1< x 2, y 1> y 2.【答案】：(D) 【解析】：(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂表示函数(,)f x y 关于变量x 是单调递增的，关于变量y 是单调递减的。
2012年考研数学二真题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（当x=1时，y=无穷，为垂直渐近线。
当x=无穷时，y=1，为水平渐近线。
）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ）【解析】：221lim 1x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。
（2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -【答案】：（C ）【解析】：''22()(2)()(1)(2)()x x nx x x nxf x e e e n e e e n ⎡⎤=--+---⎣⎦所以'(0)f =1(1)!n n --，故选（C ）。
（3）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)【解析】：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim nn s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。
2012年考研数学二真题及解析
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2012年考研数学二真题及答案解析
数学(二)试题 第 5 页 (共 11 页)
（23）（本题满分 11 分）已知
1）求 a 的(k=1,2,3),则有（）
0
（A）I1< I2 <I3.
(B) I3< I2< I1.
(C) I2< I3 <I1,
(D) I2< I1< I3.
（5）设函数 f (x,y) 可微，且对任意 x,y 都 有 f (x, y) x
f (x, y) >0, y <0,f(x1,y1)<f
（A） (1)n1(n 1)!
（B） (1)n (n 1)!
（C） (1)n1n!
（D） (1)n n!
（3）设 an>0(n=1,2,…)，Sn=a1+a2+…an，则数列(sn)有界是数列（an）收敛的
(A)充分必要条件.
(B)充分非必要条件.
（C）必要非充分条件.
（D）既非充分也非必要条件.
已知函数 f (x) 1 x 1 ，记 a lim f (x)
sin x x,
x0
（1）求 a 的值
（2）若当 x 0 时， f (x) a 是 xk 的同阶无穷小，求 k
（16）（本题满分 10 分）
( ) -x2+y2
求函数 f x, y = xe 2 的极值。
（17）（本题满分 10 分）
（2）记（1）中的实根为
xn
，证明
lim
n
xn
存在，并求此极限。
（22）（本题满分 11 分）
1 a 0 0
1
设
A
0
1
a
2012年全国硕士研究生入学考试数学二试题及解析
2012年全国硕士研究生入学考试数学二试题及解析D2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线221x xy x +=-渐进线的条数________（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2）设函数2()(1)(2)()xx nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则(0)________f '= （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!nn -- （C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn -（3）设0(1,2,3)nan >=，123nnSa a a a =++++，则数列{}nS 有界是数列{}na 收敛的_______.（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分也非必要 （4）设2sin (1,2,3)k x kI e xdx k π==⎰，则有______（A ）123I I I << （B ）321I I I <<（C ）231I I I <<（D ）213I I I <<二、填空题：9-14小题，每小题4分。
请将答案写在答题纸指定位置上。
（9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则22x d y dx ==____________（10）22222111lim ()12n n nn n n →∞+++=+++____________（11）设1(ln )z f x y =+，其中函数()f n 可微，则2z z xy x y∂∂+=∂∂____________（12）微分方程2(3)0ydx x y dy +-=满足条件11x y ==的解为____________ （13）曲线2(0)y xx x =+<2的点的坐标是____________（14）设A 为3阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则*BA =____________三、解答题：15-23，共94分。
2012年全国硕士研究计划生入学专业考试数学二试题及其解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xy x +=-渐进线的条数________（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则(0)________f '=（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -（3）设0(1,2,3)n a n >=L ，123n n S a a a a =++++L ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的_______.（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分也非必要 （4）设2sin (1,2,3)k x k I e xdx k π==⎰，则有______（A ）123I I I << （B ）321I I I <<（C ）231I I I <<（D ）213I I I <<（5）设函数(,)f x y 为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > （6）设区域D 由曲线sin y x =，2x π=±，1y =围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰ （A ）π （B ）2 （C ）2- （D ）π-（7）设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，4411c α-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则线性相关的向量组为（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα（8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123(,,)P ααα=，1223(,,)Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）（A ）100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分。
2012年考研数学二真题和答案
100 P 1 1 0 ，则 Q 1
001
1 00 1 1 0 P 1， 0 01
故
Q 1 AQ
1 00
100
1 1 0 P 1 AP 1 1 0
0 01
001
1 00 1
100
110
1
110
0 01
2 001
1 1 2
故选（ B）。 二、填空题： 9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题．纸．．指定位置上 .
(A) 充分必要条件 . （C）必要非充分条件 . 【答案】： (B)
(B) 充分非必要条件 . （ D）即非充分地非必要条件 .
【解析】：由于 an 0 ， sn 是单调递增的， 可知当数列 sn 有界时， sn 收敛，也即 lim sn n
是存在的，此时有 lim an lim sn sn 1 lim sn lim sn 1 0 ，也即 an 收敛。
d2y
2
dx
(A) x1 x 2 , y1 y 2
(B) x1 x 2 , y1 y 2
(C) x1 x 2 , y1 y 2
(D) x1 x 2 , y1 y 2
【答案】： (D)
f ( x, y)
f ( x, y)
【解析】：
0，
0 表示函数 f ( x , y ) 关于变量 x 是单调递增的，关于变
x
y
量 y 是单调递减的。因此，当 x1 x2 , y1 y 2 时，必有 f ( x1 , y1 ) f ( x 2 , y2 ) ，故选 D
n1
1) ( n
1)!
n
（ B） ( 1) (n 1)!
（C） (
2012年考研数学二真题及答案
2012年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)．(1)． 设3(),(1),t x f t y f e π=-⎧⎨=-⎩其中f 可导,且(0)0f '≠,则0t dy dx ==＿＿＿＿＿＿. (2)． 函数2cos y x x =+在[0,]2π上的最大值为＿＿＿＿＿＿.(3)．0x →=＿＿＿＿＿＿. (4)． 21(1)dx x x +∞=+⎰＿＿＿＿＿＿. (5)． 由曲线x y xe =与直线y ex =所围成的图形的面积S =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)．(1)． 当0x →时,sin x x -是2x 的( )．(A)． 低阶无穷小 (B)． 高阶无穷小(C)． 等价无穷小 (D)． 同阶但非等价的无穷小(2)． 设22 , 0(),0x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩,则( )． (A)． 22 , 0()(),0x x f x x x x ⎧-≤⎪-=⎨-+>⎪⎩ (B)． 22(),0() , 0x x x f x x x ⎧-+<⎪-=⎨-≥⎪⎩ (C)． 22 , 0(),0x x f x x x x ⎧≤⎪-=⎨->⎪⎩ (D)． 22,0() , 0x x x f x x x ⎧-<⎪-=⎨≥⎪⎩ (3)． 当1x →时,函数12111x x e x ---的极限( )．(A)． 等于2 (B)． 等于0(C)． 为∞ (D)． 不存在但不为∞(4)． 设()f x 连续,220()()x F x f t dt =⎰,则()F x '等于( )．(A)． 4()f x (B)． 24()x f x(C)． 42()xf x (D)． 22()xf x(5)． 若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为( )．(A)． 1sin x + (B)． 1sin x -(C)． 1cos x + (D)． 1cos x -三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)．(1)． 求123lim()6xx x x-→∞++. (2)． 设函数()y y x =由方程1y y xe -=所确定,求220x d y dx =的值.(3)．求3. (4)．求0π⎰.(5)． 求微分方程3()20y x dx xdy --=的通解.四、(本题满分9分)．设21,0() , 0x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩,求31(2)f x dx -⎰.五、(本题满分9分)．求微分方程32x y y y xe '''-+=的通解.六、(本题满分9分)．计算曲线2ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤的一段弧的长度.七、(本题满分9分)．求曲线y =的一条切线l ,使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成的平面图形面积最小.八、(本题满分9分)．已知()0,(0)0f x f ''<=,试证：对任意的二正数1x 和2x ,恒有1212()()()f x x f x f x +<+成立.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)．(1)．【答案】：3(2)．【答案】6π(3)．【答案】：0 (4)．【答案】：1ln 22(5)．【答案】：12e - 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)．(1)．【答案】：(B)．(2)．【答案】：(D)．(3)．【答案】：(D)．(4)．【答案】：(C)．(5)．【答案】：(B)．(3)．【答案】：322(1)x C + 其中C 为任意常数.方法1：积分的凑分法结合分项法,有(4)．【答案】：1)(5)．【答案】：315y x =,其中C 为任意常数四、(本题满分9分)．分段函数的积分应六、(本题满分9分)．由于2ln(1)y x =-, 2222222(1),1,1(1)x x y y x x -+''=+=--2211,(0)12x ds dx x x +==≤≤-, 所以 221/21/2220012(1)11x x s dx dx x x +--==--⎰⎰1/21/21/22000211111112dx dx dx x x x ⎛⎫=-=+- ⎪--+⎝⎭⎰⎰⎰ 1/20111ln ln 3122x x +⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭. 七、(本题满分9分)．过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中当0()y x '存在时,0()k y x '=.如图所示,设曲线上一点(,)t t 处的切线方程为 1()2y t x t t -=-,化简即得 22xt y t =+. 面积 2014()2232x t S t x dx t t t ⎡⎤⎛⎫=+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰, 其一阶导数 3/21/2111()222t S t t t t t---'=-+=. 令()0S t '=解得唯一驻点1t =,而且S '在此由负变正,即()S t 在(,1]-∞单调递减,在[1,)+∞单调递增,在此过程中()S t 在1t =时取极小值也是最小值,所以将1t =代入先前所设的切线方程中,得所求切线方程为122x y =+.八、(本题满分9分)．证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设210x x >>,要证的不等式是 1221()()()(0)f x x f x f x f +-<-.在1[0,]x 上用中值定理,有 11()(0)(),f x f f x ξ'-=10x ξ<<,在212[,]x x x +上用中值定理,又有 1221212()()(),f x x f x f x x x x ηη'+-=<<+,由()0,f x ''<所以()f x '单调减,而12x x ξη<<<,有()()f f ξη''>,所以12211()()()(0)()f x x f x f x f f x +-<-=,O 2即 1212()()()f x x f x f x +<+. 证法二：用函数不等式来证明.要证 11()()(),0f x x f x f x x +<+>. 令辅助函数11()()()()x f x f x f x x ϕ=+-+,则1()()()x f x f x x ϕ'''=-+. 由()0,()f x f x '''<单调减,1()(),()0f x f x x x ϕ'''>+>,由此, 11()(0)()(0)()0(0)x f x f f x x ϕϕ>=+-=>. 改x 为2x 即得证.。
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2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（） （A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）3（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e ee n =---，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的(A)充分必要条件.(B)充分非必要条件. （C)必要非充分条件.（D ）即非充分地非必要条件. （4）设2k x k e I e =⎰ sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3.(B) I 2< I 2< I 3. (C) I 1< I 3 <I 1, (D) I 1< I 2< I 3.（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f (x 2,y 2)成立的一个充分条件是(A) x 1> x 2, y 1< y 2.(B) x 1> x 2, y 1>y 1. (C) x 1< x 2, y 1< y 2. (D) x 1< x 2, y 1> y 2.（6）设区域D 由曲线,1,2,sin =±==y x x y π围成，则())(15⎰⎰=-dxdy y x ππ--)(2)(2)()(D C B A（7）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα（C ）134,,ααα （D ）234,,ααα（8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21y x y e -+=所确定的隐函数，则________。
2012年考研数学真题及参考答案(数学二)
(B) I2< I2< I3.
(C) I1< I3 <I1,
(D) I1< I2< I3.
【答案】：(D)
∫ 【 解 析 】：：
Ik =
k ex2 sin xdx
e
看为以
k
为自变量的函数，则可知
∫ Ik ' = ek2 sin k ≥ 0, k ∈(0,π ) ，即可知 Ik =
k ex2 sin xdx 关于 k 在(0,π ) 上为单调增
=
(
y3
+
C
)
1 y
又因为 y = 1时 x = 1，解得 C = 0 ，故 x = y2 .
（13）曲线 y = x2 + x(x < 0) 上曲率为
2
的点的坐标是________。
2
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又因为,当 x → 0 时， x − sin x 与 1 x3 等价，故 f (x) − a ~ 1 x ，即 k = 1
6
6
（16）（本题满分 10 分）
求 f ( x, y) = xe − x2 + y2 的极值。
2
【解析】： f ( x, y) = xe − x2 + y2 ，
2
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(C) x1< x2, y1< y2.
(D) x1< x2, y1> y2.
【答案】：(D)
【解析】： ∂f (x, y) > 0 ， ∂f (x, y) < 0 表示函数 f (x, y) 关于变量 x 是单调递增的，关于变
2012考研数二真题及解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 【答案】：C【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的(A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件.（D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(A)【解析】：由于0na >，则1n n a ∞=∑为正项级数，S n =a 1+a 2+…a n 为正项级数1n n a ∞=∑的前n 项和。
正项级数前n 项和有界与正向级数1n n a ∞=∑收敛是充要条件。
故选A（4）设2kx keI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3. (B) I 2< I 2< I 3. (C) I 1< I 3 <I 1,(D) I 1< I 2< I 3.【答案】：(D) 【解析】：：2sin kx k eI e xdx =⎰看为以k 为自变量的函数，则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈，即可知2sin kx k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数，又由于()1,2,30,π∈，则123I I I <<，故选D（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有(,)f x y x∂∂ >0,(,)f x y y ∂∂<0,f (x 1,y 1)<f(x 2,y 2)成立的一个充分条件是 (A) x 1> x 2, y 1< y 2. (B) x 1> x 2, y 1>y 1. (C) x 1< x 2, y 1< y 2.(D) x 1< x 2, y 1> y 2.【答案】：(D) 【解析】：(,)0f x y x ∂>∂，(,)0f x y y∂<∂表示函数(,)f x y 关于变量x 是单调递增的，关于变量y 是单调递减的。
2012考研数二真题及解析
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .．．．x2x （ 1）曲线yx2 1 （A ） 0（C） 2渐近线的条数为（）（B） 1（D） 3（ 2）设函数 f ( x) (e x1)(e2 x2) (e nx n) ，其中 n 为正整数，则 f ' (0)（ A ）( 1)n 1(n 1)! （ B）（ C）( 1)n 1n! （ D）( 1)n ( n 1)! ( 1)n n!（3）设a n>0(n=1,2, )，S n=a1+a2+ a n，则数列(s n)有界是数列（a n）收敛的(A) 充分必要条件 .(B)充分非必要条件 .（C)必要非充分条件 .（D）即非充分地非必要条件.（ 4）设I kk e x2 sinxdx(k=1,2,3),则有 De（A）I1< I2 <I 3. (B) I2< I2< I3.(C) I1< I3 <I 1, (D) I1< I2< I3.（ 5）设函数f (x,y)可微，且对任意x,y都有f ( x, y)> 0,f ( x, y)<0,f(x1,y1)<f x y(x2,y2)成立的一个充分条件是(A) x1> x2, y1< y2. (B) x1> x2, y1>y1.(C) x1< x2, y1< y2. (D) x1< x2, y1> y2.（ 6）设区域 D 由曲线y sin x, x , y 1, 围成，则x5 y 1 dxdy ( )2(A)(B)2 (C) 2 (D)0 1 1 （7）设 1 0 ,21,3 1 , 41 其中 c 1, c 2 , c 3 , c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关c 1 c 2 c 3 c 4的是（ ）（A ） 1, 2 , 3 （B ） 1, 2 , 4（C ） 1, 3 , 4 （D ） 2, 3 , 41（8）设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且P 1AP 1，P 1,2,3， 2Q 1 2, 2, 3 则Q 1AQ （ ）1 1（ A ） 2 （ B ） 11 22 2（ C ） 1 （ D ） 22 1二、填空题： 9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置上 .．．．（ 9）设 y y( x) 是由方程 x 2 y 1 e y 所确定的隐函数，则 ________。
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2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. (1)曲线221
x x y x +=-的渐近线条数 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )
(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 设1230(1,2,3),
n n n a n S a a a a >==++++ ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的
( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要
(4) 设2
sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π
==⎰则有
( )
(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有
(,)(,)
0,0,x y x y x y
∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是
( )
(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12
y x x y π
==±
=围成，则5(1)d d D
x y x y -=⎰⎰
( )
(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π
(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量
组线性相关的为 ( )
(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα
(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
.若()123,,P =ααα，
()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )
(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程2
1y
x y e -+=所确定的隐函数，则20
2
x d y dx
== .
(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫
+++= ⎪+++⎝⎭ . (11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
其中函数()f u 可微，则2z z x y x
y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()
2
d 3d 0y x x y y +-=满足条件1
1x y
==的解为y = .
(13) 曲线()2
0y x x x =+<
上曲率为
2
的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*
A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵
B ，则
*BA = .
三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)
已知函数()11
sin x f x x x
+=-，记()0lim x a f x →=，
(I)求a 的值;
(II)若0x →时，()f x a -与k
x 是同阶无穷小，求常数k 的值.
(16)(本题满分 10 分)
求函数()22
2
,x y f x y xe
+-=的极值.
(17)(本题满分12分)
过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
(18)(本题满分 10 分)
计算二重积分
d D
xy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.
(19)(本题满分10分)
已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;
(II) 求曲线2
20()()d x
y f x f t t =-⎰的拐点.
(20)(本题满分10分)
证明2
1ln cos 112
x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)
(I)证明方程1x x x ++= n n-1
+()
1n >的整数，在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内有且仅有一个实根； (II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞
存在，并求此极限.
(22)(本题满分11 分)
设1
0001000100
1a a A a a
⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
(I) 计算行列式A ；
(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.
(23)(本题满分11 分)
已知
101
011
10
01
A
a
a
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
-
⎪
-
⎝⎭
，二次型()()
123
,,T T
f x x x x A A x
=的秩为2，
(I) 求实数a的值；
(II) 求正交变换x Qy
=将f化为标准形.。